phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM




LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
KHÓA V : 2004 – 2008
Chuyên ngành : PPDH Toán học



PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY GIẢI BÀI
TẬP HÌNH HỌC












SVTH : HUỲNH CHÍ THIỆN
GVHD : NGUYỄN THỌ SÂM

Long Xuyên, tháng 05 năm 2008



LỜI CẢM ƠN

Lời cảm ơn gửi đến BGH, Ban Chủ Nhiệm Khoa Sư Phạm ĐHAG đã tạo điều
kiện cho em được nghiên cứu khoá luận Tốt Nghiệp này.
Để thực hiện khoá luận với đề tài “Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua dạy giải bài tập hình học” tôi đã được sự hướng dẫn tận tình, tận tâm giúp
đỡ của thầy Nguyễn Thọ Sâm. Em xin chân thành cả
m ơn thầy đã hướng dẫn em
thực hiện tốt đề tài này.
Em xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại Học An Giang đã trang bị cho em những
kiến thức trong các năm học đại học, từ đó giúp em có đủ điều kiện để thực hiện và
hoàn thành khoá luận Tốt Nghiệp. Những kiến thức ấy sẽ còn giúp ích cho em rất
nhiều trong công tác giảng dạy cũng như việ
c học tập và nghiên cứu sau này.
Nhân đây em cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô ở Trường THCS Mạc Đỉnh
Chi và Trường THPT Bình Khánh đã nhiệt tình giúp đỡ tạo mọi điều kiện cho em
dạy thực nghiệm cũng như sẵn lòng trao đổi giúp cho em có thêm những thông tin
cần thiết về công tác giảng dạy theo phương pháp mới của trường hiện nay. Cảm ơn
các em học sinh ở các lớp dạ
y thực nghiệm đã tích cực học tập, hợp tác vui vẻ để có
những tiết học thú vị và thành công !
Cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ, những người thân trong gia đình đã
ủng hộ, động viện con không ngừng. Và tôi chân thành cảm ơn những người bạn đã

giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luân.

Long xuyên,…tháng 05 năm 2008
SVTH

MỤC LỤC


Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài 2
2. Đối tượng nghiên cứu 3
3. Mục đích nghiên cứu 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
5. Phương pháp nghiên cứu 3

Phần II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH 6
THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
1.1 Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kỹ 6
năng thực hành toán học
1.1.1 Các dạng khác nhau của tri thức dạy học 6
1.1.2 Chất lượng của tri thức dạy học 7
1.1.3 Từ tri thức đến kỹ năng 7
1.2 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh 8
1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy 8
1.2.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác 16

2. CÁC TRÌNH ĐỘ TƯ DUY CỦA HỌ
C SINH 17
TRONG HỌC HÌNH HỌC

3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 19
3.1 Lược đồ chứng minh 19
3.2 Các phương pháp chứng minh 20
3.2.1 Chứng minh trực tiếp 20
3.2.2 Chứng minh gián tiếp 23
3.2.3 Chứng minh quy nạp 23

4. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC 25
4.1 Tìm hiểu đề toán 25
4.2 Tìm tòi lời giải của bài toán 26
4.2.1 Hãy nghĩ đến những bài toán liên quan 26
4.2.2 Tìm cách vẽ thêm phần tử phụ 28
4.2.3 Tìm tòi lời giải bằng cách xét một số 30
trường hợp đặc biệt hay tương tự
4.2.4 Tìm tòi theo sơ đồ “phân tích đi lên” hoặc sơ đồ 31
hoặc “phân tích đi xuống”
4.3 Trình bày lời giải của bài toán 35
4.4 Nhìn lại bài toán và lời giả
i 35

Chương 2 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH
THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC

1. Thực trạng của việc dạy và học hình học hiện nay 36
2. Các phương pháp suy luận trong giải toán chứng minh hình học 36

2.1 Phương pháp suy luận diễn dịch 36
2.2 Những suy luận có lí thường gặp trong giải toán chứng minh hình học . 41
2. 2.1 Dự đoán nhờ phép suy luận không hoàn toàn 41
2.2.2 Dự đoán nhờ tương tự 43
3. Khai thác bài toán chứng minh hình học phù hợp với trình độ học sinh 46


Chương 3 THỰC NGHIỆM
Mục đích thực nghiệm 54
Giả thuyết thực nghiệm 54
Hình thức thực nghiệm 54

A – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO GIÁO VIÊN 54
1. Mục đích thực nghiệm 54
2. Hình thức tổ chức thực nghiệm 55
3. Phân tích hệ thống câu hỏi 55
3.1 Nội dung câu hỏi 55
3.2 Phân tích hệ thống câu hỏi 57

B – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH 57
1. Mục đích của việc thực nghiệm 57
2. Biện pháp thực nghiệm 58
3. Nội dung thực nghiệm 58
4. Kết quả thực nghiệm 63
4.1 Phần giảng dạy 63
4.2 Kết quả bài kiểm tra 63


PHẦN III KẾT LUẬN

III.1 Kết quả nghiên cứu 67
III.2 Những hạn chế của đề tài 67
III.3 Hướng nghiên cứu tiếp tục 67

PHỤ LỤC 68
MỘT SỐ GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 71

GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 1










Phần I


PHẦN MỞ ĐẦU

GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 2

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học là một ngành của toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thước và vị
trí của các hình trong không gian.
Bộ môn hình học ở trường phổ thông có hai đặc trưng cơ bản : thứ nhất nó có
tính lôgíc chặt chẽ kết hợp với biểu tượng trực quan sinh động, thứ hai là mối liên hệ
giữa hình học thuần túy với hình học thực tế, trong đó hình học thuần túy lấy hình
học thực tế làm điể
m xuất phát để trừu tượng hóa đồng thời kiểm nghiệm tính đúng
đắn của nó. Đó là con đường lôgíc đến thực tiễn.
Việc dạy học hình học ở trường phổ thông phải thể hiện được hai đặc trưng trên.
Muốn vậy phải làm cho học sinh nắm được hệ thống kiến thức cơ bản vững chắc,
đồng thời có kĩ năng vận dụng vào th
ực hành toán học và thực tiễn. Các bài tập hình
học ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được
trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ

năng, kĩ xảo, ứng dụng vào thực tiễn. Việc giải các bài tập hình học là điều kiện tốt
để thực hiện các mục đích của dạy h
ọc toán ở trường phổ thông, được thể hiện thông
qua các chức năng của bài tập toán học là : chức năng dạy học, chức năng giáo dục,
chức năng phát triển và chức năng kiểm tra. Các chức năng trên được thể hiện tiềm
ẩn trong hệ thống các bài tập thể hiện ở sách giáo khoa. Có ba loại bài tập là:
• Loại toán chứng minh với hai phần chính là giả thiết và kết luậ
n. Giải toán thuộc
loại này là tìm ra bằng suy diễn, con đường từ giả thiết đến kết luận. Với loại
toán chứng minh thì nổi hơn cả là tính lôgíc.
• Loại toán tìm tòi, chẳng hạn tìm tập hợp điểm (quỹ tích), dựng hình, tính toán,
với ba phần chính là : ẩn, dữ kiện, điều kiện ràng buộc ẩn với dữ kiện. Giải toán
thuộc loại này là tìm ra ẩn thỏa mãn đi
ều kiện ràng buộc ẩn với các dữ kiện. Loại
toán này vừa thể hiện tính lôgíc, vừa thể hiện tính trừu tượng.
• Loại toán có nội dung thực tiễn. Với loại toán này, khi qua giai đoạn toán học
hóa sẽ trở về một trong hai loại nêu trên. Loại này nổi bật bởi tính thực tiễn.
Bài tập tổng hợp bao gồm ba loại nêu trên. Việc giải bài tâp hình học sẽ thể hiện
rõ tính lôgíc, tính trừu tượng và tính thực tiễn; muốn chú trọng khâu nào ta lựa chọn
bài tập theo mục đích đó; muốn rèn luyện chung thì ta lựa chọn bài tập tổng hợp là
thích hợp nhất.
Các bài toán chứng minh trong hình học có một tác dụng rất lớn trong việc rèn
luyện tư duy logic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến thức vừa giúp
học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh…
Bằng kinh nghiệm của b
ản thân, trải qua quá trình học tập ở trường phổ thông,
nhất là khi được đào tạo ở khoa sư phạm Trường Đại học An Giang để trở thành một
giáo viên dạy Toán ở trường Trung học phổ thông tôi lại nhận thức rõ hơn tầm quan
trọng trong việc phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh thông qua
việc giải các bài tập về chứng minh…

Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài “ PHÁT TRIỂ
N NĂNG LỰC CHỨNG MINH
THÔNG QUA DẠY GIẢI BÀI TẨP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH” như một lời
hứa của bản thân tôi rằng phải chú trọng đến việc hình thành và rèn luyện cho học
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 3
sinh năng lực chứng minh toán học trong việc dạy học toán sau này ở trường phổ
thông.
Năng lực chứng minh toán học như đã nói ở trên có một phạm vi rất rộng. Do
hạn chế về mặt thời gian cũng như năng lực cá nhân nên trong đề tài này tôi chỉ
nghiên cứu việc rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh ở trường phổ thông
thông qua giải lớp bài tập về chứng minh trong hình họ
c. Phạm vi nghiên cứu ở đây
bao gồm học sinh bậc Trung học Cơ sở và lớp 10 , lớp 11 bậc Trung học Phổ thông.

2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• Nghiên cứu nội dung hình học Sách giáo khoa môn Toán bậc Trung học và
lựa chọn một hệ thống bài tập phù hợp với nội dung của đề tài.

• Tình hình học tập của học sinh về chủ đề trên ở trung học cơ sở và phổ thông
trung học.

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu để đề ra được các biện pháp chủ yếu và có tính khả thi trong việc
phát triển năng lực chứng minh cho học sinh qua giải bài tập hình học.

4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
• Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa, sách bài tập từ lớp 6 đến lớp 11,
phân môn hình học (vì lớp 12 chưa thay đổi sách và chương trình toán) để tìm

hiểu nội dung và hệ thống bài tập
• Tìm hiểu quá trình học tập môn hình học của học sinh hiện nay từ lớp 6 đến
lớp 11 và khả năng giải các bài tập liên quan đến chứng minh. Trao đổi với
giáo viên dạy toán ở trường phổ thông về vấn đề này.
• T
ổ chức dạy thực nghiệm một số tiết hình học có nội dung liên quan đến chủ
đề đã lựa chọn.

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, liên quan đến dạy
học chứng minh và chứng minh định lí.
+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quan đến
vấn đề này.
• Phương pháp điều tra phỏng vấn
+ Phát phiếu điều tra nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng chứng minh một
định lí hay chứng minh một bài toán Hình học ở học sinh.
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 4
• Phương pháp quan sát
+ Dự giờ giáo viên dạy Toán nhằm tìm hiểu việc tổ chức dạy học phương pháp
chứng minh cho học sinh như thế nào.
• Phương pháp thực nghiệm
+ Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết ở Trung học Cơ sở và Trung học Phổ
thông.
+ Thu thập kết quả khảo sát bài kiểm tra của học sinh sau mỗi tiết dạy thực
nghi
ệm, thống kê kết quả đạt được, phân tích để bước đầu đánh giá hiệu quả
của phương pháp dạy học phát triển năng lực chứng minh cho học sinh.

GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 5

Phần II


KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU














GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 6

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN
Một trong những nhiệm vụ của dạy học toán ở trường phổ thông là làm cho học
sinh nắm vững tri thức và có kĩ năng thực hành toán học, đồng thời phát triển năng
lực trí tuệ cho học sinh thông qua học tập môn toán.


1.1 Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kỹ năng thực hành
toán học

1.1.1 Các dạng khác nhau của tri thức dạy học
Tri thức sự vật trong môn toán là tri thức về một khái niệm (khái niệm về một đối
tượng hoặc về một quan hệ toán học) hoặc về một sự kiện toán học, được trình bày
trực diện trong nội dung mỗi định nghĩa, định lí.
Tri thức phương pháp luôn gắn liền với tri thức sự vật, bám vào tri thức sự vật,
nói lên nh
ững phương pháp nhằm đạt được những tri thức sự vật hoặc những phương
pháp do tri thức sự vật mang lại. Có hai loại tri thức phương pháp: Tri thức phương
pháp thuộc loại tìm đoán và tri thức phương pháp thuộc loại thuật toán.
Ví dụ: Khi dạy định lí “Tổng số đo ba góc của tam giác bằng
0
180 ” ta đã dạy cho
học sinh một tri thức sự vật, đó chính là nội dung của định lí này. Có một tri thức
phương pháp thuộc loại tìm đoán, đó là việc vẽ tia Ax sao cho
·
xAB ,
·

CBA so le trong
và do đó bằng nhau, vẽ tia Ay sao cho
·
yAC ,
·
BCA cũng ở vị trí so le trong và do đó
chúng bằng nhau. Việc vẽ thêm hai tia phụ nói trên đã gợi ý cho việc chứng minh
định lí. Đưa thêm yếu tố phụ (vẽ thêm đường phụ) là một tri thức phương pháp trong
giải toán chứng minh hình học. Học sinh học được phương pháp này khi học định lí
tương ứng .
Tri thức giá trị liên quan đến những mệnh đề đánh giá, bình luận nhân học một tri
thức sự vật.
Ch
ẳng hạn lời đánh giá sau đây về định lí ba đường vuông góc có thể xem là một
tri thức giá trị : “Trước đây (khi chưa biết định lí này), mỗi khi phải chứng minh hai
đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian ta phải chứng minh đường thẳng
này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia. Bây giờ nhờ định lí ba đường vuông
góc, trong nhiều trường hợp ta có một phương pháp mới chứng minh hai đường
thẳng vuông góc với nhau trong không gian ngắn gọn, thuậ
n tiện hơn”.
Tri thức chuẩn liên quan đến những qui định, giúp cho việc học tập và giao lưu tri
thức. Ví dụ, chuẩn mực về trình bày giả thiết, kết luận, chứng minh cho một bài toán,
các cách nói khác nhau để diễn tả mệnh đề “ “nếu A thì B” là mệnh đề đúng”, bảng
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 7
chỉ dẫn các kí hiệu dùng cho một cuốn sách…. là những điều cần phải biết trong học
tập môn toán, những tri thức này thuộc dạng tri thức chuẩn.
1.1.2 Chất lượng của tri thức dạy học
Tri thức giáo khoa là kết quả của phép biến đổi sư phạm từ tri thức khoa học,

phép biến đổi này được hội đồng bộ môn, các nhà nghiên cứu lí luận dạy học, các tác
giả sách giáo khoa thự
c hiện. Phép biến đổi này đảm bảo tính cơ bản, hiện đại, sát
với thực tiễn Việt Nam của tri thức giáo khoa. Khi dạy học trên lớp để biến tri thức
giáo khoa thành tri thức dạy học người giáo viên cần phải khai thác sách giáo khoa
và các sách tham khảo để bảo đảm các tính chất nói trên của tri thức dạy học. Ngoài
ra, người giáo viên còn phải bảo đảm tính hệ thống, tính vững chắc của tri thức dạy
họ
c.
Tính hệ thống của tri thức dạy học:
Nhận thức của con người luôn vận động và phát triển vì vậy một tri thức khoa học
bao giờ cũng là kết quả của những tri thức nào đó đã có trước và đồng thời cũng là
nguyên nhân ra đời của những tri thức khác tiếp sau. Khi dạy học một hệ thống các
tri thức nào đó, cần thiết lập được vị
trí của từng tri thức cụ thể trong toàn bộ hệ
thống của nó. Để làm việc này, tùy theo nội dung cần hệ thống hóa, ta sử dụng hợp lí
những sơ đồ hệ thống hóa tri thức bằng bảng, bằng sơ đồ mạng, bằng biểu đồ
Ven…Một tri thức, đứng trong một hệ thống tri thức liên quan với nó sẽ dễ dàng
được huy động khi cần thiết.
Tính vữ
ng chắc của tri thức dạy học:
Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm việc hiểu nội dung tri thức thông qua
hình thức biểu đạt của nó.
Ví dụ : Các đẳng thức
sin ,os=, tan, cot
AB AC AB AC
c
B
CBC AC AB
ααα α

=== là
hình thức biểu đạt các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Cần thông qua các đẳng thức
này làm cho học sinh thấy sự tương ứng giữa các góc nhọn với các tỉ số độ dài của
hai đoạn thẳng. Nhờ những hàm này người ta có thể chuyển việc so sánh các góc
nhọn về việc so sánh các tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng. Những hàm này
thiết lập quan hệ
về lượng giữa các yếu tố về cạnh và về góc trong tam giác.
Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm cả việc ghi nhớ tri thức. Trong mỗi
giai đoạn học tập của mình, học sinh phải nắm được những tri thức xác định để sẵn
sàng huy động chúng vào việc xây dựng tri thức mới. Vấn đề là phải biết ghi nhớ
những gì ? (cái cơ bản, cái phục vụ cho t
ừng giai đoạn nhất định) và biết ghi nhớ như
thế nào ? (phối hợp ghi nhớ máy móc và ghi nhớ ý nghĩa).
Nắm vững tri thức một cách vững chắc còn bao gồm cả việc không ngừng tự sắp
xếp lại, tự bổ sung các tri thức mới, tri thức cũ góp phần xây dựng tri thức mới, song
tri thức cũ so với tri thức mới bao giờ cũng mang tính địa phương, bộ phậ
n. Những
tri thức cũ nếu không được sắp xếp lại sẽ gây ra những sai lầm trong những tình
huống nhất định.
1.1.3 Từ tri thức đến kỹ năng
Theo tâm lí học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tạm thời tách tri thức và
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 8
kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì : Tri thức thuộc phạm vi nhận thức thuộc về
khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
Tri thức và kĩ năng thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành
các thao tác, độ thành thạo của các thao tác là kĩ năng, các thao tác này được thực
hiện dưới sự kiểm tra của tri th

ức.
Con đường đi từ chỗ có tri thức “biết” đến chỗ có tri thức tương ứng “biết làm” là
con đường luyện tập, nội dung của sự luyện tập này rất phong phú, song một nội
dung có tính cốt yếu, đó là việc luyện tập các thao tác nhận dạng và thể hiện sau khi
học một định nghĩa khái niệm, một định lí hay một phương pháp. Nhận dạng một
khái niệm là phát hiện xem m
ột đối tượng cho trước có các đặc trưng của khái niệm
đó không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng có các đặc trưng của khái
niệm đó. Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn
khớp với định lí đó không. Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp
với định lí đó. Nhận dạng m
ột phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có
phù hợp với phương pháp đó không. Thể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình
huống phù hợp với các bước của phương pháp đó.
Kĩ năng vận dụng tri thức toán học được thể hiện trên những bình diện khác nhau
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, giải các bài tập toán học.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức toán h
ọc để học tập các bộ môn khác.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống.

1.2 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
Điều quan trọng nhất đối với người học là phải biết xây dựng tri thức mới xuất
phát từ những tri thức ban đầu. Cần các thao tác tư duy, đó là khả năng suy đoán và
tưởng tượng, là tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, những yếu tố cấu thành năng lực
trí tuệ, những yếu tố cần phải có để học tập môn toán và cũng là những yếu tố mà
việc h
ọc tập môn toán có thể mang đến cho người học.
1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy
1. Phân tích và tổng hợp
a. Khái niệm

Phân tích là sự suy nghĩ tạm thời tách một hệ thống những đối tượng (hoặc những
tính chất, quan hệ) thành những bộ phận để việc xem xét những bộ phận này được
đơn giản hơn.
Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết những kết quả
đã xem xét được ở từng bộ
phận của một hệ thống để việc xem xét cả hệ thống được toàn diện hơn. Việc học
toán, làm toán luôn gắn liền với thao tác tư duy phân tích và tổng hợp.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng nếu một hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật thì cạnh
bên vuông góc với đáy.
Ta có thể thực hiện cả phân tích và tổng hợp, quá trình này được mô tả nh
ư sau:
• Phân tích
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 9
A
B
D
C
A
'
B'
D'
C'
+ Tách mặt bên A’D’DA của hình lăng trụ ra khỏi các
mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có:
AA’
⊥ AD (1)
+ Tách mặt bên A’B’BA của hình lăng trụ ra khỏi các

mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có:
AA’
⊥ AB (2)
• Tổng hợp
+ Liên kết hai kết quả (1) và (2) ta có AA’
⊥
(ABCD).
Ở bước này ta nhìn A’A với tư cách là cạnh bên
của hình lăng trụ, khác với hai bước trước, nhìn A’A với tư cách là cạnh của hình
chữ nhật ta có điều phải chứng minh .
b. Tác dụng trong dạy học toán
Từ ví dụ đơn giản trên, ta thấy rằng phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy
trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất: đó là
quá trình nhận thứ
c. Do đó trong dạy học toán, phân tích và tổng hợp có tác dụng to
lớn như sau.
+ Nhờ phân tích mà học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường
hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lí…
+ Từ những thuộc tính riêng lẻ của một số các đối tượng nào đó, học sinh tổng hợp
lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí hay mộ
t vấn đề có
tính chất toán học nào đó.
Đây là hai thao tác cơ bản được luôn luôn sử dụng để tiến hành những thao tác
khác.
• Khi dạy khái niệm:
Tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất của mỗi khái niệm để từ đó
tổng hợp lại để hiểu sâu sắc hơn khái niệm đó, đồng thời giúp học sinh biết phân biệt
khái niệm này với các khái niệm khác hoặc để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm
gần gũi nhau.
Ví dụ 2:

– Phân tích các thuộc tính bản chất của khái niệm “ Tia phân giác của góc” để
hi
ểu sâu sắc hơn khái niệm này ( Toán 6) như sau:
• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu):
+ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy
+

x
Oz z Oy=
• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu)



xOz zOy
x
Oz z Oy x Oy
⎧
=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 10
• Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu)



2
x
Oy
xOz zOy==

– Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai khái niệm “chóp đều và
chóp có đáy là đa giác đều”
Chóp có đáy là đa giác đều
Chóp đều
+ Hình chóp + Hình chóp
+ Đáy là một đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau
– Phân tích để phân biệt (do đó hiểu sâu sắc hơn) hai khái niệm “ Hình vuông” và
“Hình chữ nhật”
Hình vuông
Hình chữ nhật
+ Tứ giác + Tứ giác
+ Hai cạnh liên tiếp bằng nhau + Hai cặp cạnh đối bằng nhau
+ Có một góc vuông + Có một góc vuông
• Khi dạy học định lí
Khi dạy định lí phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phân tích
để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sự giống nhau và
khác nhau giữa các định lí gần gũi nhau.
Ví dụ 3:
Phân tích để thấy sự giống nhau và khác nhau giữa các định lí nhận biết một hình
bình hành: có hai cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một,có hai đường chéo cắt nhau
tại trung đ
iểm của mỗi đường…
Ví dụ 4:
Định lí “ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó”.

- Phân tích giả thiết và kết luận:
+ Định lí cho biết điều gì ? Ta phải
chứng minh cái gì ? Hãy vẽ hình và ghi giả
thiết, kết luận của định lí?
Giả thiết Kết luận

α
γ
⊥

β
γ
⊥ d
γ
⊥


d
α
β
∩=
- Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh
+ Hiểu rõ giả thiết:

vaø aa
α
γαγ
⊥⇒∃⊂ ⊥

b vaø b

β
γβγ
⊥⇒∃⊂ ⊥
d
a
b
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 11
+ Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu
của kết luận. Phân tích thành các trường hợp sau :

hay b chöùng minh xong
;
//
;
//
ad d
adbd
ab
d
ab
aad
γ
γγ
α
≡≡⇒
⎫
⎫
≠≠

⇒
⎪
⎬
⇒⊥
⊥⊥
⎬
⎭
⎪
⊂⇒
⎭
o
o

- Phân tích, tổng hợp còn có thể được hiểu theo nghĩa sau:
• Phân tích là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết (giả thiết) với cái cần
tìm, cần chứng minh (kết luận) theo chiều đi từ cái cần tìm, cần chứng minh
đến cái đã biết (đi từ KẾT LUẬN đến GIẢ THIẾT)
Sơ đồ của phép phân tích là:

121

nn
YX X X X X
−
⇐⇐ ⇐⇐⇐⇐.
Nghĩa là: Muốn chứng minh Y, ta phải chứng minh X
n

Muốn chứng minh X
n

, ta phải chứng minh X
n-1


Muốn chứng minh X
1
, ta phải chứng minh X
• Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết với cái cần tìm (hoặc
điều phải chứng minh) theo chiều đi từ cái đã biết đến cái cần tìm ( đi từ GIẢ
THIẾT đến KẾT LUẬN)
Sơ đồ của phép tổng hợp là:

12

n
X
XX XY⇒⇒⇒⇒ ⇒.
Nghĩa là: Từ X, ta suy ra X
1
, từ X
1
ta suy ra X
2
, , từ X
n
ta suy ra Y
Ví dụ 5: Định lí :
Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt
phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy .

GT : a
⊂
(
)
α
, b ⊂
()
α
, a cắt b.
d
⊥
a , d ⊥ b.

KL : d
⊥
(
)
α


Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp phân tích như sau:
+ Muốn chứng minh d vuông góc với
(
)
α
, ta chứng minh điều gì ? ( câu trả lời
mong muốn : ta chứng minh d vuông góc với một đường thẳng c bất kì nằm trong
()
α
).

b
a
c
d
GVHD : Nguyn Th Sõm SVTH : Hunh Chớ Thin

Khúa lun tt nghip Trang 12
+ Mun chng minh d vuụng gúc vi mt ng thng c bt kỡ nm trong
(
)

, ta
chng minh iu gỡ ? ( cõu tr li mong mun : ta chng minh vộct ch phng
u
r

ca d v vộct ch phng
p
u
r
ca c vuụng gúc vi nhau, hay l
u
r
.
p
ur
= 0 ).
+ Mun chng minh
u
r

.
p
u
r
= 0, ta chng minh iu gỡ ? ( cõu tr li mong mun :
vộct
p
ur
biu th tuyn tớnh c qua 2 vộct ch phng
, nm
u
urr
ca hai ng thng
a v b ).
+ Bi toỏn ó cho bit iu gỡ ? ( ó cho : a

(
)

, b
(
)

, a ct b v d

a ,
d
b hay u
r
.

m
uur
= 0, u
r
.
n
u
r
= 0 ).
+ T gi thit ta cú iu gỡ ?
a ct b nờn
, nm
uurr
khụng cựng phng, suy ra tn ti cp s x, y duy nht m :

p
ur
= x. m
u
ur
+ y. n
u
r
.

p
ur
.u
r
= u

r
.( x.
m
uur
+ y.
n
u
r
) = 0
Da vo h thng cõu hi núi trờn hc sinh cú th t mỡnh chng minh c nh
lớ nh SGK hỡnh hc 11.
Khi dy hc sinh gii bi tp toỏn, cn phi
+ Nhỡn bao quỏt mt cỏch tng hp, xem bi toỏn ó cho thuc loi no? Phõn
tớch cỏi ó cho v cỏi cn tỡm
+ Thc hin phõn tớch v tng hp xen k nhau. Sau khi phõn tớch c mt s ý
thỡ tng hp li xem ta cú thu c iu gỡ b ớch khụng? Cũn thiu yu t no
na?
+ Tỏch bi toỏn ó cho ( thng l khú hn ) thnh nhiu bi toỏn thnh phn, bi
toỏn c bit n gin hn v d hn, cu
i cựng tng hp li cú kt qu.
Vớ d 6 : Cho hỡnh vuụng ABCD, dng cỏc hỡnh vuụng ABEF v ADGH nm
phớa ngoi hỡnh vuụng ABCD. Chng minh rng AC = HF.

GT :
ABCD laứ hỡnh vuoõng
ABEF laứ hỡnh vuoõng
ADGH la hỡnh vuoõng
ỡ
ù
ù

ù
ù
ớ
ù
ù
ù
ù
ợ

KL : AC = HF




1. Phõn tớch
Mun chng minh AC = HF ta chng minh D ABC = D HAF ( Y X
1
)
E
F
H
G
B
A
D
C
GVHD : Nguyn Th Sõm SVTH : Hunh Chớ Thin

Khúa lun tt nghip Trang 13
Mun chng minh

D
ABC =
D
HAF ta chng minh :

ã
ã
ABC = HAF , AF = AB , AH = BC ( X
1
X )
Bi toỏn ó cho: ABCD, ABEF, ADGH l cỏc hỡnh vuụng. ( X l GT )
2. Li gii bi toỏn
Xột
D
ABC v
D
HAF ta cú :

ã
ã
ABC = HAF (gt)
AF = AB (gt)
AH = BC (gt)
ỹ
ù
ù
ù
ù
ù
ị

ý
ù
ù
ù
ù
ù
ỵ
D ABC = D HAF ị AC = HF
Vớ d 7:
Trong mt phng Oxy cho cỏc im A (-3 ; 2), B ( -4 ; 5), C (-1 ; 3). Chng minh
rng cỏc im A (2 ; 3), B (5 ; 4), C (3 ; 1) theo th t l nh ca A, B, C qua phộp
quay tõm O gúc -
0
90 .
Hng dn chng minh
+ Nu gi M, N ln lt l hỡnh chiu ca
A trờn Ox v Oy. Gi M N ln lt l hỡnh
chiu ca A trờn Oy v Ox.
+ Mun chng minh im A l nh ca
im A qua phộp quay tõm O gúc quay -
0
90
ta
phi chng minh iu gỡ ? Ti sao ?


2. So sỏnh
a. So sỏnh l xỏc nh s ging nhau v khỏc nhau gia cỏc s vt v hin tng.
Mun vy ta phi phõn tớch cỏc du hiu thuc tớnh ca chỳng, i chiu chỳng vi
nhau ri tng hp li xem ch ging nhau v khỏc nhau.

b. Tỏc dng trong dy hc toỏn
+ Nh so sỏnh m hc sinh hiu sõu, hiu ỳng v y nhng thuc tớnh ca
cỏc i tng
c phn ỏnh trong mt khỏi nim, mt nh lớ
+ Nh so sỏnh m hc sinh thy c mi liờn h gia cỏc i tng.
+ Giỳp cho vic tin hnh thao tỏc tng t sau ny.
Vớ d 8: - So sỏnh ( nh ngha) cỏc khỏi nim hỡnh vuụng v hỡnh ch nht.
- So sỏnh ( nh ngha) khỏi nim hai tam giỏc bng nhau vi khỏi nim
hai tam giỏc ng dng. So sỏnh cỏc trng hp (nh lớ) bng nhau ca hai tam giỏc
vi cỏc trng hp ng dng ca hai tam giỏc.
3. Khỏi quỏt húa v c bit húa
a. Khỏi quỏt húa l dựng trớ úc tỏch ra cỏi chung trong cỏc i tng, hin tng,
s kin. Mun khỏi quỏt húa phi so sỏnh nhiu i tngvi nhau rỳt ra cỏi
O
A
A
'
M
N
N'
M'
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 14
chung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng…ta cũng có thể khái quát hóa để có
một tính chất hay một phương pháp.
Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung.
b. Trong việc dạy học môn toán ở trường phổ thông, giáo viên có nhiều cơ hội để
tổ chức cho học sinh tập khái quát hóa. Chẳng hạn, bước đầu giáo viên tập cho học
sinh khái quát hóa đối với sự kiện đơn giả

n nhất.
Ví dụ 9:
Để có định lí về tổng số đo các góc trong tam giác, ta có thể tiến hành như sau:
+ Đầu tiên hãy yêu cầu mỗi học sinh vẽ một tam giác vào giấy, dùng thước đo
góc đo các góc của tam giác đó và tính tổng của chúng.
+ Cho học sinh nêu kết quả, giáo viên thống kê các kết quả lên bảng.
Kết quả mong muốn thu được là tần suất tổng các góc của tam giác bằng 180
0
là
phổ biến. Từ đó có thể nêu một giả thuyết tổng quát “ Trong một tam giác, tổng các
góc bằng 180
o
”
Cần lưu ý là khái quát hóa chỉ cho ta dự đoán, mệnh đề rút ra bằng khái quát hóa
có thể đúng hoặc sai, nó sẽ phải được chứng minh hoặc bác bỏ. Việc bác bỏ một dự
đoán khái quát có liên quan đến việc thử xem dự đoán khái quát đó có đúng không
trong các trường hợp riêng đơn giản. Việc làm này gọi là đặc biệt hóa.
c. Khái quát hóa và đặc biệt hóa có tác dụng to lớn trong dạy học toán. Nó giúp
cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiề
u cái riêng lẻ,
rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn.
Đây là một con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Lưu ý rằng:
các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa có thể đúng và có thể sai. Vì vậy phải
chứng minh.
Ví dụ 10:
Bài toán “Đếm số mặt m, số đỉnh đ và số cạnh c của một hình chóp, hình lăng
trụ. Sau mỗi lần đếm trên một hình lại tính số trị c
ủa biểu thức m + đ - c. Có nhận xét
gì về số trị của biểu thức ấy? ”
Đây là một dạng bài toán mang tính chất khái quát hóa để đi đến công thức về

đặc số Euler của hình đa diện: m + đ = c + 2
Ví dụ 11:
Từ bài toán “ Tập hợp những điểm M sao cho
+
=
222
M
AMBk là một đường
tròn” ta có hai bài toán khái quát như sau:

22222
, 0mMA nMB k m n+=+≠

22 22
12

n
M
AMA MAk+++=

4. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa:
a. Khi khái quát hóa ta đã tách cái chung trong các đối tượng, sự kiện, hiện tượng
đồng thời ta đã gạt bỏ những thuộc tính riêng của chúng, mà chính những thuộc tính
này làm cho chúng phân biệt với nhau. Đây là quá trình trừu tượng hóa tức là nói đến
cái chung nhất mà không gán cho một đối tượng cụ thể nào.
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 15
Nói cách khác: Trừu tượng hóa là quá trình gạt bỏ những thuộc tính riêng của các
đối tượng, chỉ giữ lại những thuộc tính chung nhất của các đối tượng đang được

nghiên cứu. Kết quả của quá trình này là ta nhận được khái niệm về các đối tượng đó
Cụ thể hóa là tìm một ví dụ minh họa cho cái chung đó. Tức là ta tìm một cái
riêng mà cái riêng này thỏa mãn các tính chất (điều kiện) của cái chung đã xác định.
b. Trong quá trình d
ạy học môn toán ở trường phổ thông, chúng ta có những cơ
hội để cho học sinh tập trừu tượng hóa.
Ví dụ 12: Hình thành khái niệm hình vuông
• Hình thành biểu tượng hình vuông
+ Cho học sinh ( lớp 1) quan sát một tấm bìa có hình dạng “hình vuông”, sau khi
giới thiệu “tấm bìa này có hình dạng hình vuông, gọi tắt là hình vuông” rồi cất đi khi
đó trong trí nhớ của các em sẽ lưu lại hình ảnh một “hình vuông” cụ thể với đầy đủ
các yếu tố về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt “hình vuông”.
+ Bây giờ lại cho học sinh quan sát cùng một lúc nhiều “hình vuông” khác nhau
về chất liệu, màu sắc, kích th
ước và vị trí đặt. Khi cất đi, trong trí óc các em đã có
biểu tượng về “hình vuông”, không phụ thuộc vào chất liệu, màu sắc, kích thước và
vị trí đặt. Lúc này nếu ta cho học sinh lựa chọn “hình vuông” trong các đồ chơi gồm
nhiều loại “tứ giác”, làm bằng các chất liệu khác nhau, màu sắc, kích thước khác
nhau thì các em sẽ nhặt ra được đúng “hình vuông” như mong muốn.
• Mô tả trực quan khái niệm hình vuông
+ Sau khi học sinh đã được học thêm các khái niệm về hai đường thẳng song
song, hai đường thẳng vuông góc (lớp 3), giáo viên vẽ hình vuông trên bảng, học
sinh vẽ trên giấy. Sau đó bằng thực nghiệm học sinh mô tả được bằng lời : “hình
vuông là hình có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông”.
Đây là một quá trình trừu tượng hóa : từ các mô hình bằng bìa, bằng gỗ với các
màu sắc, kích thước khác nhau ta đã thay bởi hình vẽ tượ
ng trưng hình vuông với các
thuộc tính cơ bản là : tứ giác có các cạnh bằng nhau, các góc vuông.
• Định nghĩa khái niệm bằng lôgíc chặt chẽ.
+ Lên THCS, khái niệm hình vuông được định nghĩa một cách chặt chẽ về mặt

lôgíc : “Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau”.
Đây lại là bước trừu tượng hóa cao hơn, từ sự trừu tượng hóa ở bước trên.
c. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa có tác dụng to lớn trong dạy học toán. Nhờ trừu
tượng hóa mà ta có được các khái niệm toán học và các tính chất củ
a chúng. Trừu
tượng hóa giúp cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong
nhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn.
5. Tương tự hóa, cụ thể hóa:
Tương tự hóa là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng
để từ những sự kiện đã biết đối với đối tượng này dự đoán những sự kiện tương ứng
đối với đối t
ượng kia.
Để tiến hành tương tự hóa bao giờ người ta cũng bắt đầu từ sự so sánh, tức là tìm
ra chỗ giống nhau, khác nhau của hai đối tượng mang ra so sánh, song sự so sánh
không bao giờ dừng ở đó, sự so sánh phải dẫn đến dự đoán những sự kiện mới. Ở
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 16
đây trong hai đối tượng mang ra so sánh, có một đối tượng mà ta đã biết tường tận,
còn đối tượng kia thì ta đang đặt vấn đề tìm hiểu nó. Vì vậy mục đích so sánh là dẫn
đến những dự đoán về những sự kiện sẽ xảy ra, đối với đối tượng mà ta đang nghiên
cứu. Như vậy so sánh là điểm bắt đầu của tương tự hóa và tương tự hóa là mục
đích
của sự so sánh.
Tương tự hóa giúp ta dự đoán những sự kiện chưa biết để từ những sự kiện đã biết
tương ứng với nó trong phép tương tự này. Trong quá trình dạy học các nội dung
toán học, có thể vận dụng các cơ hội thích hợp để cho học sinh dự đoán bằng tương
tự.
Chẳng hạn các trường hợp đồng dạng củ
a tam giác tương tự như các trường hợp

bằng nhau của tam giác vậy.
Cũng như khái quát hóa, tương tự hóa chỉ cho những dự đoán, dự đoán này sẽ
được chứng minh hoặc bị bác bỏ.
Tương tự còn có tác dụng tập cho học sinh nhìn các đối tượng, hiện tượng dưới
nhiều góc độ khác nhau, phát hiện chúng có những bộ phận, tính chất giống nhau, từ
đó suy ra những sự giống nhau khác có thể có.
Ví dụ 13:
Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chỗ chúng
được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường thẳng trong mặt phẳng và
mặt phẳng trong không gian). Từ đó, tam giác vuông tương tự với tứ diện vuông (tứ
diện có một góc tam diện là vuông). Trong tam giác vuông có định lí Pitago: “Bình
phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai c
ạnh góc vuông”.
Trong tứ diện vuông cũng có một định lí tương tự: “Bình phương diện tích “mặt
huyền” bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vuông”.
1.2.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
1. Nội dung:
Tư duy và ngôn ngữ gắn chặt với nhau. Tư duy phải được thể hiện qua ngôn ngữ
đối với toán là các thuật ngữ, ký hiệu….toán học.
Chẳng hạn các thuật ngữ: đạo hàm, hàm số, hình vuông…, các kí hiệu toán
học:
//, ,⊥∩, các kí hiệu lôgíc ,,
∀
⇔∃. Mỗi một thuật ngữ, kí hiệu đều chứa đựng
một nội dung xác định, do vậy viết đúng, hiểu đúng và diễn đạt đúng là một yêu cầu
quan trọng trong dạy học toán. Nội dung của vấn đề này bao gồm:
+ Nắm vững các thuật ngữ toán học, các kí hiệu toán học, kí hiệu lôgíc và sử dụng
đúng mà không được nhầm lẫn, ví dụ “giá trị cực đại” và “giá trị lớ
n nhất” của hàm
số trong một đoạn nào đó.

+ Phát triển khả năng định nghĩa các khái niệm: các cách định nghĩa, cấu trúc của
định nghĩa.
+ Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, có đầy đủ căn cứ…
2. Biện pháp:
a. Không chỉ học thuộc lòng các câu chữ mà phải hiểu rõ và đúng nội dung, phát
biểu chính xác bằng lời và bằng các kí hiệu thích hợp.
Ví dụ 14:
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 17
+ Có ít nhất một, kí hiệu:
∃
; Với mọi, kí hiệu
∀

+ a dương, kí hiệu a>0; a không âm, kí hiệu a
≥ 0
+ a
⊥ b : đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b
+
AB
uuur
,

, ABC ABC∆ là các kí hiệu quen thuộc trong hình học
b. Tập cho học sinh sử dụng đúng đắn các phép nối lôgíc cùng với các kí hiệu
và ngôn ngữ tương ứng.
Ví dụ 15:
Kí hiệu A
⇒

B, diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường là:
+ Nếu A thì B; Có A thì Có B
+ Điều kiện cần để có A là có B; B là điều kiện cần để có A
+ A là điều kiện đủ để có B
c. Nắm vững các cấu trúc của định nghĩa, định lí. Biết phát biểu dưới nhiều dạng
khác nhau (nếu được) nhưng phải gọn và đúng. Biết “phiên dịch” từ dạng ngôn ngữ
thông thường các mệnh đề
toán học sang kí hiệu, thuật ngữ toán học.
Ví dụ 16:
– Biết phát biểu định nghĩa hình bình hành dưới nhiều cách khác nhau.
– Định lí : “ Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Cho học sinh vẽ hình rồi dựa vào đó chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn
ngữ toán học như sau :
b
a
b'
M
P

d. Tập cho học sinh biết và sử dụng đúng các quy tắc chứng minh (tổng hợp, phản
chứng, quy nạp), các mệnh đề thuận, đảo.
e. Uốn nắn kịp thời các sai lầm, tùy tiện của học sinh khi phát biểu hay trình bày
lời giải.

2. CÁC TRÌNH ĐỘ TƯ DUY CỦA HỌC SINH TRONG
HỌC HÌNH HỌC

Trong việc dạy hình học, theo Van Hiele việc tiếp thu của học sinh phải trải qua
năm cấp độ.

GT : a và b chéo nhau.


KL :
∃
! (P)
⊃
a và b // (P)
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 18
Tư duy về mặt hình dạng không gian của học sinh trải qua năm trình độ và sự
chuyển biến từ trình độ này qua các trình độ khác xảy ra dưới ảnh hưởng của việc
dạy học chứ không phải tự phát theo sự phát triển sinh lí của trẻ em.

2.1 Cấp độ 1: Hình dung
Đặc trưng của cấp độ này là học sinh tri giác các hình như là một “tổng thể” và
sự phân biệt hình này với hình kia bằng dạng c
ủa chúng.
Ở trình độ này, nếu ta cho học sinh tiếp xúc với một số hình như hình vuông, hình
chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình tròn, và nói rõ tên gọi
tương ứng của các hình đó, thì sau một số lần lặp đi lặp lại, học sinh có thể nhận biết
hình bằng “trực giác”, phân biệt được hình này với hình kia cũng nhờ vào “trực
giác”, nhưng chưa có thể thấy được mối liên hệ giữa các hình đó.
Bằng quan sát, đo đạ
c, gấp, cắt giấy, học sinh có thể nhận biết một số tính chất
đơn giản của các hình.
Việc dạy hình học ở trình độ này có thể áp dụng cho học sinh tiểu học.

2.2 Cấp độ 2: Phân tích
Học sinh đã biết phân tích những mối quan hệ giữa hình dạng các hình hoặc giữa
các yếu tố của từng hình, qua đó có thể nhận biết tính chất của các hình bằ
ng quan
sát, đo đạc, gấp, cắt giấy, bằng con đường quy nạp, nhờ thực nghiệm.
Việc dạy hình học ở trình độ này có thể áp dụng cho học sinh lớp đầu cấp THCS
( lớp 6, lớp 7).

2.3 Cấp độ 3: Suy diễn không hình thức
Đặc trưng của cấp độ này là học sinh biết thiết lập các quan hệ giữa các yếu tố của
các hình hoặc từng hình, rút ra các tính chất của hình bằ
ng con đường lôgíc. Các em
đã có thể hiểu sự phân loại, sắp xếp các hình theo một dấu hiệu nhất định, có thể từ
tính chất này tìm ra tính chất khác của hình bằng con đường suy diễn lôgíc.
Việc dạy học ở trình độ này bắt đầu từ lớp 7 đến lớp 9 THCS.

2.4 Cấp độ 4: Suy diễn
Ở cấp độ này, học sinh có thể nhận biết được cấu tạo lôgíc của hình học theo
phươ
ng pháp tiên đề, bằng trừu tượng hóa các hình ảnh của một loại thực tế khách
quan nhất định. Học sinh có thể hiểu bản chất của khái niệm cơ bản, tiên đề, định lí,
các quy tắc và các phương pháp suy luận để xây dựng hình học.
Trình độ này ứng với học sinh THPT.

2.5 Cấp độ 5: Chặt chẽ
Đặc trưng của cấp độ này là học sinh có thể so sánh các hệ hình học khác nhau, có
thể
làm việc trong một hệ hình học mà không cần các mô hình cụ thể. Việc xây dựng
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 19
hình học, với các đối tượng và tương quan cơ bản hoàn toàn trừu tượng, kết quả của
sự khái quát hóa nhiều loại thực tiễn khác nhau: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng bây
giờ tuy vẫn mang tên gọi như trước, nhưng mang nhiều nội dung thực tế khác nhau.
Chẳng hạn: Điểm có thể là điểm như ta hiểu ở trình độ thứ tư, nhưng cũng có thể
là
số, là màu sắc, là âm thanh, là một trạng thái nào đấy, Chỉ ở những năm cuối của
chương trình đại học mới có thể thực hiện được trình độ tư duy hòan toàn trừu tượng
này về hình dạng không gian.
Tóm lại, mức độ tư duy về hình dạng không gian của học sinh THCS tương
đương trình độ thứ ba, cho nên một trong những yêu cầu quan trọng của việc dạy
hình học là rèn luyện tư duy lôgíc cho họ
c sinh.
Những điều kiện tiên quyết để có tư duy lôgíc về hình học là học sinh phải nắm
vững hệ thống các kiến thức cơ bản về hình học (khái niệm cơ bản, đối tượng, tương
quan cơ bản, khái niệm dẫn xuất thể hiện qua các định nghĩa, các tiên đề và các định
lí, công thức quan trọng). Do vậy, trước khi đề cập đến vấn đề rèn luyện t
ư duy lôgíc
và năng lực chứng minh cho học sinh thì công việc đầu tiên rất quan trọng là phải
bàn đến tư duy lĩnh hội, ghi nhớ hệ thống kiến thức cơ bản của chương trình, SGK.
Biết vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, vào các bài tập, vì rằng không nắm
được kiến thức, không vận dụng được kiến thức thì không thể suy luận diễn dịch từ
những đ
iều đã biết đến những điều mới chưa biết.

3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

3.1 Lược đồ chứng minh
3.1.1 Nếu từ các tiền đề

12
, , ,
n
AA A
. Ta rút ra kết luận B bằng cách vận dụng
các quy tắc suy luận lùi thì ta bảo B là kết luận lôgíc của các tiên đề
12
, , ,
n
AA A và
suy luận đó là suy luận hợp lôgíc.
Nếu các tiên đề
12
, , ,
n
AA A đều đúng thì ta gọi kết luận B là một kết luận
chứng minh và suy luận đó gọi là một phép chứng minh.
3.1.2 Mọi phép chứng minh lôgíc đều gồm có 3 bộ phận
a) Luận đề : là mệnh đề cần phải chứng minh
Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh cái gì ?”
Ta còn gọi luận đề là kết luận
b) Luận cứ : là những mệnh đề đã được thừa nhận (đị
nh nghĩa, tiên đề, định lí)
được đưa ra làm tiên đề trong mỗi suy luận.
Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh dựa vào cái gì ?”. Trong mỗi bài toán
chứng minh, luận cứ còn là các dữ kiện, các quan hệ đã cho trong bài toán.
c) Luận chứng : là những quy tắc suy luận lôgíc.
Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh như thế nào ?”, “theo những qui tắc suy
luận nào ?”.
GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Khóa luận tốt nghiệp Trang 20


3.2 Các phương pháp chứng minh
3.2.1. Chứng minh trực tiếp:
Chứng minh trực tiếp là đưa ra luận cứ, dùng qui tắc suy luận để rút ra luận đề.
Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các qui tắc suy luận kết luận (Modus ponens) và
suy luận bắc cầu.
Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A
⇒ B là đúng ( A là giả thiết, B là kết
luận), ta lập các mệnh đề mới A
1
, A
2
, , A
n
gọi là các mệnh đề trung gian và chứng
minh các mệnh đề sau đây đúng: A
⇒ A
1
,

A
1
⇒ A
2
, , A
n
⇒ B. Tức là ta đã vận

dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:

1
1
,AA A
A
⇒
,
11 2
2
,,
, ,
nn
AA A A A B
AB
⇒⇒
.
Theo qui tắc bắc cầu, ta có:

(
)
(
)
(
)
11 2
, , ,
n
AAA A A B
B

⇒⇒ ⇒
.
Ví dụ 17: Chứng minh định lí:

Với mọi tam giác ABC ta có:
sin sin sin
abc
ABC
==

H
H
B
C
A
C
B
A

Sau khi cho học sinh vẽ hình, ghi GT, KL như trên, định lí được chứng minh như
sau:
Chứng minh:
Kẻ đường cao AH.Ta có

AH BC suy ra . ( ) 0 hay . . .
A
HBCAHACAB AHACAHAB⊥=−==
u
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Tức là:


. . os . . osAH AC c HAC AH AB c HAB=



vì cos sin và cos sin nên AC.sinC=AB.sinBHAC C HAB B==

Vậy bsinC=csinB


Vì sinB và sinC đều khác 0 nên
sin sin
bc
B
C
=

GT:
∆
ABC có
BC = a, AC = b, AB = c

KL:
sin sin sin
abc
ABC
==