đường tròn và các đường conic - luyện thi đại học

Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 1
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.





. NG TRềN
A. KIN THC C BN
ng trũn tõm
0 0
( ; )
I x y
, bỏn kớnh R cú phng trỡnh
2 2 2
0 0
( ) ( )
x x y y R

.
Phng trỡnh
2 2
2 2 0
x y ax by c

vi
2 2
0
a b c

l phng trỡnh
ng trũn tõm
( ; )
I a b

, bỏn kớnh
2 2
R a b c

.
ng thng
: 0
ax by c

l tip tuyn ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh
R khi
( ; )
d I R

.
Phng tớch ca im
( ; )
A A
A x y
i vi ng trũn:

2 2 2
0 0
( ) : ( ) ( )

C x x y y R

l
2 2 2
/( ) 0 0
( ) ( )
M C A A
x x y y R

P
.

2 2
( ) : 2 2 0
C x y ax by c

l
2 2
/( )
2 2
M C A A A A
x y ax by c

P
.
Trc ng phng d ca hai ng trũn khụng ng tõm
1 2
( ), ( )
C C
:

1 2
/( ) /( )
( ; )
M C M C
M x y d
P P
.
B. CC DNG TON

. Dng

: Cỏc yu t ca ng trũn
a v phng trỡnh:
2 2
0 0
( ) ( )
x x y y k

, nu
0
k

thỡ ú l phng
trỡnh ng trũn (C) tõm
0 0
( ; )
I x y
, bỏn kớnh
R k

.
a v phng trỡnh:
2 2
2 2 0
x y ax by c

, nu
2 2
0
a b c

thỡ ú l
phng trỡnh ng trũn (C) tõm
( ; )
I a b

, bỏn kớnh
2 2
R a b c

.
tỡm qu tớch tõm I ca h cỏc ng trũn, ta phi tỡm iu kin xỏc nh
ng trũn, tỡm ta tõm, kh tham s gia x v y. Chuyn iu kin ca
tham s nu cú v iu kin ca x (hoc y).
tỡm qu tớch (tp hp) cỏc im M, ta gi
( ; )
M x y
ri dựng quan h ó
cho lp phng trỡnh ng trũn.

1. Tỡm tõm v bỏn kớnh ca ng trũn:
a.
2 2
( 1) ( 2) 5
x y

b.
2 2
( 2) ( 5) 16
x y


c.
2 2
2( 3) 2( 1) 9
x y


2. Mi phng trỡnh sau õy cú phi phng trỡnh ng trũn khụng? Nu cú,
hóy tỡm tõm v bỏn kớnh.
a.
2 2
2 2 2 0
x y x y

b.
2 2
4 6 2 0
x y x y

c.
2 2
6 8 30 0
x y x y



www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 2 Created by Nguyen Van Rin
Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.


3. Mi phng trỡnh sau õy cú phi phng trỡnh ng trũn khụng? Nu cú,
hóy tỡm tõm v bỏn kớnh.
a.
2 2
16 16 16 8 11
x y x y

b.
2 2
7 9 16 8 11
x y x y


c.
2 2 2

2 2 5 4 1 0
x y x y m


4. Cho ng cong
2 2
1
( ): 4 2 4 0,
2
m
C x y mx y m m

.
a. Chng minh rng
( )
m
C
l ng trũn vi mi m.
b. Tỡm tp hp tõm ca cỏc ng trũn
( )
m
C
khi m thay i.
5. Cho ng cong
2 2
( ) : 2( 1) 1 0
m
C x y mx m y

.

a. Vi m no thỡ
( )
m
C
l ng trũn.
b. Khi
( )
m
C
l ng trũn, tỡm tp hp cỏc tõm khi m thay i.
6. Cho phng trỡnh
2 2
2 2( 1) 4 0 (1)
x y mx m y m

a. Vi giỏ tr no ca m thỡ (1) l phng trỡnh ca mt ng trũn.
b. Chng minh rng cỏc ng trũn (1) luụn i qua 2 im c nh.
7. Cho ng cong
2 2
( ) : ( 2) ( 4) 1 0
m
C x y m x m y m

.
a. Chng minh rng
( )
m
C
luụn l ng trũn vi mi giỏ tr ca m.
b. Chng minh rng khi m thay i, h cỏc ng trũn

( )
m
C
luụn i qua 2 im
c nh.
c. Tỡm nhng im trong mt phng ta m h
( )
m
C
khụng i qua dự m ly
bt k giỏ tr no.
8. Cho
ABC

, bit
: 2 3 7 0
AB x y

,
: 2 1 0
BC x y

v
: 3 0
CA x y

.
Tỡm tp hp cỏc im M tha món:
2 2 2
44

MA MB MC

.
9. Cho hai im
(1;1)
A
v
(9;7)
B
.
a. Tỡm qu tớch cỏc im M sao cho
2 2
90
MA MB

.
b. Tỡm qu tớch cỏc im M sao cho
2 2 2
2 3
MA MB k

, trong ú k l mt s
cho trc.
10. Cho hai im c nh A v B. Tỡm tp hp cỏc im M tha
2 2 2
MA MB k


vi k l mt s cho trc.
(HD: Chn ng thng AB lm trc honh v ng trung trc ca AB lm

trc tung).
11. Cho hai im
( ;0)
A a
v
( ;0)
B a

. Tỡm tp hp cỏc im M tha
2 2 2
MA MB k


vi
0


.


. Dng

: Lp phng trỡnh ng trũn.
Phng trỡnh ng trũn cú 2 dng nờn cú 2 cỏch lp phng trỡnh ng
trũn:
Tỡm tõm
0 0
( ; )
I x y
v bỏn kớnh R:

2 2 2
0 0
( ) ( )
x x y y R

.
Tỡm cỏc h s a, b, c(
2 2
0
a b c

):
2 2
2 2 0
x y ax by c

.
Cỏc quan h thng dựng i vi ng trũn (C):
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 3
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.


i qua 1 im A: ta A tha món phng trỡnh.
i qua 2 im A, B: ta A tha món phng trỡnh v tõm I thuc
ng trung trc ca AB.
i qua 3 im A, B, C: ta A, B, C tha món phng trỡnh v
,

IA IB IC R IA

.
ng kớnh PQ: Tõm I l trung im ca PQ v
2
PQ
R
.
Tõm I thuc ng thng d: ta I tha món phng trỡnh ca d.
ng trũn tip xỳc vi trc honh: tõm
0 0
( ; )
I x y
v
0
R y

.
ng trũn tip xỳc vi trc tung: tõm
0 0
( ; )
I x y
v
0
R x

.
ng trũn tip xỳc vi ng thng

:

( ; )
d I R

.
ng trũn ngoi tip vi tam giỏc vuụng: tõm I l trung im ca
cnh huyn.

12. Vit phng trỡnh ng trũn:
a. Tõm
(1;3)
I
v i qua im
( 2;5)
A

.
b. Tõm
( 2;0)
I

v tip xỳc vi
: 2 1 0
x y

.
13. Vit phng trỡnh ng trũn:
a. ng kớnh AB vi
( 1;1)
A

v
(5;3)
B
.
b. Tõm
(4; 7)
I

v tip xỳc vi trc honh.
14. Vit phng trỡnh ng trũn i qua 3 im:
a.
(1; 2), (1;2), (5;2)
A B C

.
b.
(1;2), (5;2), (1; 3)
A B C

.
15. Vit phng trỡnh ng trũn:
a. i qua im
( 1;2)
A

,
( 2;3)
B

v cú tõm trờn ng thng

:3 10 0
x y

.
b. i qua gc ta O v cú tõm
(1; 5)
I

.
16. Vit phng trỡnh ng trũn ni tip
ABC

bit
:3 4 6 0
AB x y

,
: 4 3 1 0
AC x y

v
: 0
BC y

.
17. Cho im
( 3;0)
A

v

(0;4)
B
. Vit phng trỡnh ng trũn ni tip
OAB

.
18. Vit phng trỡnh ng trũn tip xỳc vi hai trc ta v i qua im
(2;1)
M
.
19. Vit phng trỡnh ng trũn i qua
(1;1)
A
,
(1;4)
B
v tip xỳc vi trc Ox.
20. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm I thuc ng thng
: 2 4 0
d x y


v tip xỳc vi hai trc ta .
21. Vit phng trỡnh ng trũn tip xỳc vi trc honh ti im
(6;0)
A
v i
qua im
(9;9)
B

.
22. Vit phng trỡnh ng trũn i qua 2 im
( 1;0)
A

,
(1;2)
B
v tip xỳc vi
ng thng
: 1 0
x y

.
www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 4 Created by Nguyen Van Rin
Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.


23. Vit phng trỡnh ng trũn i qua gc ta O v tip xỳc vi 2 ng
thng
1
: 2 1 0
x y

,
2
: 2 2 0

x y

.
24. Cho ng trũn
2 2
( ) : 4 3 0
C x y x

. Vit phng trỡnh ng trũn (C)
i xng vi ng trũn (C) qua ng thng
: 4 3 0
x y

.
25. Cho hai im
(3;4)
A
v
(6;0)
B
.
a. Chng minh
OAB

cõn ti A.
b. Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip
OAB

.
c. Vit phng trỡnh ng trũn ni tip

OAB

.


. Dng

: Tng giao v tip tuyn.
Tng giao ca ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R v ng thng

:

( ; )
d I R

: khụng cú im chung.

( ; )
d I R

: tip xỳc (

: tip tuyn).

( ; )
d I R

: ng thng

ct ng trũn (C) ti 2 im.

Tng giao ca ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R v ng trũn (C) tõm
I, bỏn kớnh R:

' '
II R R

: ngoi nhau.

' '
II R R

: tip xỳc ngoi.

' ' '
R R II R R

: ct nhau.

' '
II R R

: tip xỳc trong.

' '
II R R

: ng nhau.
Tip tuyn vi ng trũn (C) tõm I ti im A: ng thng i qua A v cú
VTPT
n AI

.
Tip tuyn vi ng trũn (C) tõm I, bỏn kớnh R i qua im A: Vit
phng trỡnh ng thng qua A v cú VTPT
( ; )
n a b

,
2 2
0
a b

. Nu:

/( )
0
B C
IB R

P
: khụng cú tip tuyn.

/( )
0
B C
IB R

P
: cú 1 tip tuyn.

/( )
0
B C
IB R

P
: cú 2 tip tuyn.
Tip tuyn chung
: 0
ax by c

vi 2 ng trũn (C) v (C):
( ; )
( ; ) '
d I R
d I R





.
26. Tỡm giao im ca ng thng
1 2
:
2
x t
d
y t

vi ng trũn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 16
C x y

.
27. Tỡm m ng thng
:
y x m

cú im chung vi ng trũn
2 2
( ) : 4 2 3 0
C x y x y

.
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 5
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.


28. Chng minh ng thng
: ( 1) 0

x m y m

khụng tip xỳc vi ng
trũn
2 2
( ) : 4 8 5 0
C x y x y

.
29. Xột v trớ tng i ca ng thng
:3 0
x y m

vi ng trũn
2 2
( ) : 4 2 1 0
C x y x y

.
30. Tỡm ta giao im ca hai ng trũn:
2 2
( ) : 2 2 1 0
C x y x y

v
2 2
( ') : 2 2 7 0
C x y x y

.

31. Vit phng trỡnh tip tuyn vi ng trũn:
a.
2 2
( ) : 4 4 17 0
C x y x y

ti
(2;1)
M
.
b.
2 2
( ) : 8 6 0
C x y x y

i qua gc O.
32. Vit phng trỡnh tip tuyn ca ng trũn
2 2
( ) : 4
C x y

, bit:
a. Tip tuyn song song vi ng thng
:3 17 0
x y

.
b. Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng
: 2 5 0
x y

.
33. Vit phng trỡnh tip tuyn vi ng trũn:
a.
2 2
( ) : 4
C x y

v i qua
(2; 2)
M

.
b.
2 2
( ) : 2 2 1 0
C x y x y

v i qua
(2;0)
N
.
34. Cho ng trũn
2 2
( ) : 4
C x y

v im
( 2;3)
A

.
a. Chng minh A ngoi ng trũn. Vit phng trỡnh 2 tip tuyn k t A.
b. Tớnh khong cỏch t A n 2 tip tuyn trờn v khong cỏch gia hai tip
im T, T.
35. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai ng trũn
2 2
( ) : 1
C x y

v
2 2
( ') : ( 8) ( 6) 16
C x y

.
36. Cho hai ng trũn
2 2
( ) : 6 5 0
C x y x

v
2 2
( ') : 12 6 44 0
C x y x y

.
a. Chng minh hai ng trũn ngoi nhau.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai ng trũn.
37. Cho ng trũn

2 2
( ) : 8 4 5 0
C x y x y

v im
(2;1)
A
.
a. Chng minh qua A k c hai tip tuyn n (C).
b. Vit phng trỡnh ng thng qua hai tip im.
38. Cho ng trũn
2 2
( ) : 2 6 5 0
C x y x y

v ng thng
: 2 1 0
d x y

.
Vit phng trỡnh tip tuyn

ca (C), bit

song song vi d. Tỡm ta tip
im.


. Dng

: Tng hp v ng trũn.
39. Cho ng trũn
2 2
( ) : 2 2 0
C x y ax by c

. Chng minh phng tớch
ca im
0 0
( ; )
M x y
i vi ng trũn (C) bng
2 2
/( ) 0 0 0 0
2 2
M C
x y ax by c

P
.
www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 6 Created by Nguyen Van Rin
Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.


40. Tớnh phng tớch ca im
(3;4)
M

i vi ng trũn (C) cú tõm
( 2;1)
I


v bỏn kớnh
3
R

.
41. Tỡm trc ng phng ca hai ng trũn:
2 2
( ) : 3 0
C x y x

v
2 2
( ') : 3 3 6 4 1 0
C x y x y

.
42. Cho hai ng trũn ng tõm
2 2
1 1 1
( ) : 2 2 0
C x y a x b y c

v
2 2
2 2 2

( ') : 2 2 0
C x y a x b y c

. Vit phng trỡnh trc ng phng ca
hai ng trũn.
43. Cho hai ng trũn
2 2
1 1 1
( ) : 2 2 0
C x y a x b y c

v
2 2
2 2 2
( ') : 2 2 0
C x y a x b y c

ct nhau ti M, N. Vit phng trỡnh
ng thng MN.
44. Cho hai ng trũn
2 2
1
( ) : 6 4 23 0
C x y x y

v
2
( )
C
i qua 3 im

( 1;3)
A

,
(0;2)
B
v
(1; 1)
C

.
a. Vit phng trỡnh ng trũn
2
( )
C
v tớnh phng tớch ca tõm mi ng
trũn i vi ng trũn cũn li.
b. Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn chung ca hai ng trũn.
45. Tỡm m h sau cú nghim
2 2
8 4 5 0
3 4 0
x y x y
x y m





.

46. Tỡm iu kin h sau cú nghim duy nht
2 2
2 2
2 2
1 ( 0)
0 ( 0)
x y
a b
a b
Ax By C A B







.
47. Tỡm a h cú nghim duy nht
2 2 2
2 2 2
( 1)
( 1)
x y a
x y a

.
48. Cho ng trũn
2 2
( ) : 4 8 5 0
C x y x y

.
a. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) i qua
( 1;0)
A

.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) i qua
(3; 11)
B

.
c. Gi BM, BN l cỏc tip tuyn vi (C) k t B (M, N l cỏc tip im).
i. Vit phng trỡnh ng thng MN.
ii. Tớnh MB, MN.
d. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng
: 2 0
d x y

.
e. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) song song vi ng thng
:3 4 1 0
x y

.
49. Cho ng trũn (C) tõm I cú phng trỡnh
2 2
2 4 11 0
x y x y

.
a. Vit phng trỡnh ng thng

i qua
(0;1)
M
v ct (C) ti 2 im A, B
sao cho AB nh nht.
b. Vit phng trỡnh ng thng

i qua
(0;1)
M
v ct (C) ti 2 im A, B
sao cho M l trung im ca AB.
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 7
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.


c. Vit phng trỡnh ng thng

i qua
(0;1)
M
v ct (C) ti 2 im A, B
sao cho
IAB

cú din tớch ln nht.
d. Vit phng trỡnh ng thng

i qua
(0;1)
M
v ct (C) ti 2 im A, B
sao cho
2 7
AB
.
e. Vit phng trỡnh ng thng

i qua
(0;1)
M
v chia ng trũn thnh 2
cung cú di bng 2.
f. Vit phng trỡnh ng thng

i qua
(0;1)

M
v ct (C) ti 2 im A, B
sao cho
2
MA MB

.
50. Cho
2 2
( ) : 2 4 0
C x y x y

v
: 1 0
d x y

.Tỡm
M d

m qua ú k
c 2 ng thng tip xỳc vi (C) ti A v B sao cho:
a.

60
o
AMB
.
b.

90

o
AMB
.
c.

120
o
AMB
.
d. Gúc gia hai tip tuyn bng
60
o
.
e.
2
MA

.


. CC NG CễNIC

. Dng

: ng elip
nh ngha:
1 2
( ) 2 ( 0)
M E MF MF a a

.



1 2
,
F F
l 2 tiờu im.



1 2
2
F F c

gi l tiờu c
( 0)
a c

.



( )
M E

thỡ
1 2
,
MF MF

l 2 bỏn kớnh qua tiờu ng vi im M.
Phng trỡnh chớnh tc:
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b

,
2 2 2
a b c

.
Tiờu im
1 2
( ;0), ( ;0)
F c F c

.
Bỏn kớnh qua tiờu:
Cho
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b

.

( ; ) ( )
M x y E

ta cú
1
cx
MF a
a

v
2
cx
MF a
a

.
Hỡnh dng ca elip:
Cho
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b




Hai trc i xng l
,

Ox Oy
, tõm i xng l O.



Ox
l trc ln,
Oy
l trc bộ.



1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
A a A a B b B b

l cỏc nh.



1 2
2
A A a

l di trc ln.
www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 8 Created by Nguyen Van Rin
Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.

1 2
2
B B b

l di trc bộ.


Hỡnh ch nht gii hn bi cỏc ng thng
, y= b
x a

gi l hỡnh
ch nht c s ca (E).


Din tớch hỡnh ch nht c s l
4
ab
.


Chu vi hỡnh ch nht c s l
4( )
a b

.

Tiờu im luụn nm trờn trc ln.
Tõm sai:
(0 1)
c
e e
a

.
Phộp co v trc honh vi h s co k,
0 1
k

: bin im
( ; )
M x y
thnh
'( '; ')
M x y
sao cho
'
'
x x
y ky





.

Tỡm nh ca (C) bng cỏch tớnh ta x, y theo x, y ri th vo phng trỡnh (C)
ta c phng trỡnh (C).

51. Xỏc nh di cỏc trc, ta cỏc tiờu im, ta cỏc nh v v elip
(E):
a.
2 2
1
25 9
x y

b.
2 2
3 9
x y

.
52. Tỡm ta cỏc tiờu im, cỏc nh, di cỏc trc v tõm sai ca mi elip
cú phng trỡnh sau:
a.
2 2
4 3 36
x y

b.
2 2
4 4
x y

.

53. Lp phng trỡnh chớnh tc ca elip (E) trong mi trng hp:
a. di trc ln bng 8 v tõm sai
3
2
e
.
b. di trc bộ bng 8 v tiờu c bng 4.
54. Lp phng trỡnh chớnh tc ca elip (E) trong mi trng hp:
a. Cú mt tiờu im
( 3;0)
F
v i qua
3
(1; )
2
M
.
b. Cỏc cnh hỡnh ch nht c s cú phng trỡnh:
7; 2
x y

.
55. Lp phng trỡnh chớnh tc ca elip (E) trong mi trng hp:
a. i qua hai im
9
(4; )
5
M
v
12

(3; )
5
N
.
b. i qua
3 4
( ; )
5 5
M
v M nhỡn hai tiờu im di mt gúc vuụng.
56. Tỡm tõm sai ca elip (E) trong cỏc trng hp sau:
a. Cỏc nh trờn trc bộ nhỡn hai tiờu im di mt gúc vuụng.
b. di trc ln bng k ln di trc bộ (k>1).
c. Khong cỏch t mt nh trờn trc ln ti mt nh nm trờn trc bộ bng
tiờu c.
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 9
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.


57. Qua tiờu im ca elip
2 2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b

v ng thng vuụng gúc vi trc
Ox, ct elip ti hai im A v B. Tớnh di dõy AB.
58. Cho elip (E):
2 2
( ) : 1
9 1
x y
E

cú 2 tiờu im
1 2
,
F F
. Tỡm im M thuc (E)
sao cho
1 2
2
MF MF

.
59. Cho elip
2 2
( ) :9 25 225
E x y
.
a. Tỡm ta hai tiờu im
1 2
,
F F
v tõm sai.

b. Tỡm im M thuc (E) sao cho M nhỡn
1 2
F F
di mt gúc vuụng.
60. Tỡm trờn elip
2 2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b

mt im M sao cho
1 2
2
MF MF

, trong ú
1 2
,
F F
l cỏc tiờu im ca elip.
61. Mt elip (E) cú di trc ln bng 6, tõm sai bng
1
2
v khong cỏch t
mt im M ca (E) n tiờu im
1
F
bng 7.

a. Tỡm khong cỏch t M n tiờu im
2
F
.
b. Vit phng trỡnh chớnh tc ca elip (E) v tỡm ta ca M.
62. Tỡm giao im ca ng thng
2
:
1
x t
d
y t





vi elip
2 2
( ) : 1
4 5
x y
E

.
63. Cho elip
2 2
( ) : 4 16
E x y

v ng thng

i qua im
1
(1; )
2
M
v song
song vi ng thng
: 2 3 0
d x y

. Tỡm ta cỏc giao im A v B ca
ng thng

v elip (E). Chng minh
MA MB

.
64. Cho ng thng
: 2 0
d x y m

v elip
2 2
( ) : 1
5 4
x y
E

. Tỡm m :
a. d ct (E) ti hai im phõn bit.
b. d v (E) cú im chung duy nht.
65. Cho elip
2 2
( ) : 1
25 9
x y
E

v ng thng

thay i cú phng trỡnh tng
quỏt
0
Ax By C

luụn tha món
2 2 2
25 9
A B C

. Tớnh tớch khong cỏch t
hai tiờu im
1 2
,
F F
ca (E) n ng thng

.

66. Cho elip
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E

v im
(1;2)
I
. Vit phng trỡnh ng thng i
qua I bit rng ng thng ú ct elip (E) ti hai im A, B m I l trung
im ca AB.
67. Cho elip
2 2
( ) : 1
9 4
x y
E

. Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng


i qua
(1;1)
M
v ct (E) ti hai im A, B sao cho M l trung im ca AB.
www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 10 Created by Nguyen Van Rin

Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.


68. Cho elip
2 2
( ) : 1
100 36
x y
E

cú hai tiờu im
1 2
,
F F
.
a. Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú ng kớnh l
1 2
F F
.
b. Chng minh (E) v (C) khụng cú im chung.
69. Cho elip
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b

. Gi

1 2
,
F F
l cỏc tiờu im v
1 2
,
A A
l
cỏc nh trờn trc ln ca (E). M l mt im tựy ý trờn (E) cú hỡnh chiu trờn
Ox l H. Chng minh rng:
a.
2 2 2
1 2
.
MF MF OM a b

.
b.

2
2 2
1 2
4( )
MF MF OM b

.
c.
2
2
1 2

2
. .
b
MH HA HA
a


.
70. Cho elip
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b

.
a. Chng minh rng vi mi M thuc (E), ta cú
b OM a

.
b. Gi A l giao im ca ng thng
: 0
d x y


vi (E). Tớnh OA theo
, , ,
a b

.
c. Gi B l im trờn (E) sao cho
OA OB

. Chng minh rng tng
2 2
1 1
OA OB


cú giỏ tr khụng i.
d. Chng minh rng ng thng AB luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh.
71. Tỡm nh qua phộp co v trc Ox theo h s k ca:
a.
2 2
2
( ) : 9,
3
C x y k

b.
2 2
( ) : 9, 2
25 9
x y
E k
.


. Dng

: ng hyperbol
nh ngha:



1 2
( ) 2 ( 0)
M H MF MF a a

.



1 2
,
F F
l hai tiờu im.



1 2
2
F F c

l tiờu c
( 0)
c a

.

Vi
( )
M H

thỡ
1 2
,
MF MF
l hai bỏn kớnh qua tiờu ng vi im M.
Phng trỡnh chớnh tc:



2 2
2 2
( ) : 1 ( 0, 0)
x y
H a b
a b

,
2 2 2
c a b

.

1 2
( ;0), ( ;0)
F c F c

l hai tiờu im.
Bỏn kớnh qua tiờu:


Cho
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0, 0)
x y
H a b
a b

v
( ; ) ( )
M x y H

.
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 11
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.



Nu x>0 thỡ

1 2
,
cx cx
MF a MF a
a a

.

Nu x<0 thỡ
1 2
,
cx cx
MF a MF a
a a

.
Hỡnh dng ca hyperbol (H):
Cho
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0, 0)
x y
H a b
a b

.


Hai trc i xng l Ox, Oy; tõm i xng l O.

Ox l trc thc, Oy l trc o.



1 2
( ;0), ( ;0)
A a A a

l hai nh ca (H).



1 2
2
A A a

l di trc thc.

1 2
2
B B b

l di trc o.


Hỡnh ch nht gii hn bi cỏc ng thng
,
x a y b

gi l hỡnh
ch nht c s ca (H).


Hai ng chộo ca hỡnh ch nht c s cú phng trỡnh
b
y x
a

gi l
hai ng tim cn.


Din tớch hỡnh ch nht c s l 4ab.


Chu vi hỡnh ch nht c s l 4(a+b).
Tõm sai:
( 1)
c
e e
a

.

72. Tỡm ta cỏc tiờu im, cỏc nh, di trc thc, trc o, phng trỡnh
cỏc tim cn v v hyperbol (H):
a.
2 2
1

9 4
x y

b.
2 2
1
9 16
x y

.
73. Tỡm ta cỏc tiờu im, cỏc nh, di trc thc, trc o, phng trỡnh
cỏc tim cn v tõm sai ca hyperbol (H):
a.
2 2
9 9
x y

b.
2 2
4 1
x y

.
74. Lp phng trỡnh chớnh tc ca (H):
a. Cú tiờu im
(5;0)
v di trc thc bng 8.
b. Cú tiờu c bng
2 3
v mt tim cn l

2
3
y x

.
c. di trc thc l 8, tiờu c l 10.
d. Tõm sai
5
e
v i qua
( 10;6)
M
.
75. Lp phng trỡnh chớnh tc ca (H):
a di ca trc o bng 6 v hai ng tim cn vuụng gúc vi nhau.
b. Gúc gia hai ng tim cn bng
60

v (H) i qua im N(6;3).
c. i qua hai im
(6; 1)
P

v
( 8;2 2)
Q
.
www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 12 Created by Nguyen Van Rin

Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.


d. i qua im
(4 2;3)
M
v cú cỏc tiờu im trựng vi cỏc tiờu im ca elip
2 2
( ) : 1
35 10
x y
E

.
76. Cho hyperbol
2 2
( ) : 9 16 144
H x y

a. Tỡm ta cỏc tiờu im ca (H).
b. Lp phng trỡnh ng trũn (C) ng kớnh
1 2
F F
v tỡm giao im ca (C)
v (H).
c. Vit phng trỡnh chớnh tc ca elip (E) cú cỏc tiờu im trựng vi cỏc tiờu
im ca (H) v ngoi tip hỡnh ch nht c s ca (H).
77. Cho elip
2 2

( ) : 1
25 9
x y
E


a. Xỏc nh hai tiờu im v cỏc nh ca (E).
b. Lp phng trỡnh chớnh tc ca hyperbol (H) nhn cỏc tiờu im ca (E)
lm nh v cú hai tiờu im l hai nh ca (E).
c. Lp phuuwong trỡnh ng trũn i qua cỏc giao im ca (E) v (H).
78. Cho bn im
(3;2), ( 3;2), ( 3; 2), (3;-2)
P Q R S

.
a. Vit phng trỡnh elip (E) v hyperbol (H) cựng cú hỡnh ch nht c s
PQRS.
b. Tỡm ta giao im ca elip (E) vi cỏc ng tim cn ca hyperbol (H).
79. Cho m>0. Chng minh rng hyperbol (H) cú cỏc tiờu im
1 2
( , ), ( , )
F m m F m m

v giỏ tr tuyt i ca hiu cỏc khong cỏch t mi im
trờn (H) ti cỏc tiờu im l 2m, cú phng trỡnh
2
2
m
xy
.

80. Cho
1 2
( 2, 2), ( 2, 2)
F F
. Chng minh mi im
( ; )
M x y
thuc th
1
y
x

u cú
1 2
2 2
MF MF
.
81. Tỡm cỏc im trờn hyperbol
2 2
( ) : 4 4 0
H x y

.
a. Nhỡn hai tiờu im di mt gúc vuụng.
b. Nhỡn hai tiờu im di mt gúc
120

.
c. Cú ta nguyờn.
82. Cho hyperbol

2 2
( ) : 1
4 5
x y
H

v ng thng
: 0
x y m

.
a. Chng minh rng

luụn ct (H) ti 2 im M, N thuc hai nhỏnh khỏc
nhau ca (H)
( )
M N
x x

.
b. Gi
1
F
l tiờu im trỏi v
2
F
l tiờu im phi ca (H). Xỏc nh m
2 1
2
F N F M

.
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 13
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.


83. Cho hyperbol
2 2
2 2
( ) : 1
x y
H
a b

. Chng minh rng tớch cỏc khong cỏch t
mt im tựy ý trờn (H) n hai ng tim cn bng
2 2
2 2
a b
a b

.
84. Cho hyperbol
2 2
2 2
( ) : 1
x y

H
a b

. Gi
1 2
,
F F
l cỏc tiờu im v
1 2
,
A A
l cỏc
nh ca (H). M l im tựy ý trờn (H) cú hỡnh chiu trờn Ox l N. Chng minh
rng:
a.
2 2 2
1 2
.
OM MF MF a b

. b.
2 2 2
1 2
( ) 4( )
MF MF OM b


c.
2
2

1 2
2
. .
b
NM NA NA
a

.


. Dng

: ng parabol
nh ngha:
( ) ( , )
M P d M MH

.




l ng chun.


F l tiờu im,
F

.

( , )
d F p

gi l tham s tiờu.



( )
M P

thỡ MF gi l bỏn kớnh qua tiờu ng vi M.
Phng trỡnh chớnh tc:
2
2 ( 0)
y px p




Tiờu im
( ;0)
2
p
F
.


ng chun

:
2
p
x


.
Bỏn kớnh qua tiờu:
Cho
2
( ) : 2 ( 0)
P y px p

v
( ; ) ( )
M x y P

:
2
p
MF x

.
Hỡnh dng ca parabol (P):
Cho
2
( ) : 2 ( 0)
P y px p

Trc i xng l Ox.


nh l gc O.


ng chun khụng ct parabol (P).
Mt s dng parabol cú nh l gc O v trc i xng l Ox hoc Oy:


Dng 1:

Phng trỡnh:
2
2 ( 0)
y px p

.

Tiờu im:
( ;0)
2
p
F
.

ng chun
:

2
p
x


.

Dng 2:

Phng trỡnh:
2
2 ( 0)
y px p

.

Tiờu im:
( ;0)
2
p
F
.

ng chun
:
2
p
x

.

www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 14 Created by Nguyen Van Rin
Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.



Dng 3:

Phng trỡnh:
2
2 ( 0)
x py p

.

Tiờu im:
(0; )
2
p
F
.

ng chun
:
2
p
y

.

Dng 4:

Phng trỡnh:
2
2 ( 0)
x py p

.

Tiờu im:
(0; )
2
p
F

.

ng chun
:
2
p
y

.

85. Tỡm tiờu im, ng chun v v parabol sau:
a.
2

4
y x

b.
2
0
y x

.

86. Lp phng trỡnh chớnh tc ca parabol
a. Cú tiờu im
(3;0)
F
b. i qua
(1; 1)
M

.
c. Cú ng chun
: 5
x

d. Cú tham s tiờu
1
3
p

.
87. Cho elip

2 2
( ) :9 16 144
E x y
.
a. Tỡm cỏc tiờu im, tiờu c v tõm sai ca elip (E).
b. Lp phng trỡnh chớnh tc ca hyperbol (H) cú cựng hỡnh ch nht c s
vi (E).
c. Lp phng trỡnh chớnh tc ca parabol (P) cú tiờu im trựng vi tiờu im
bờn phi ca elip (E).
88. Cho parabol
2
( ): 12
P y x

cú tiờu im F. Tỡm 2 im A, B trờn (P) sao cho
OAB

cú trc tõm l F.
89. Chng minh rng parabol (P) cú tiờu im
2
1 4
( ; )
2 4
b b ac
F
a a

v ng
chun
2

1 4
: 0
4
b ac
y
a


cú phng trỡnh
2
y ax bx c

.
90. Lp phng trỡnh ca parabol (P) bit tiờu im l gc ta d v ng
chun cú phng trỡnh
4 5 10 0
x y

.
91. Cho
(1; 2)
F

. Tỡm h thc gia x, y im M(x;y) cỏch u im F v
trc honh.
92. Tỡm tham s tiờu ca parabol (P) cú tiờu im F(1;2), ng chun
:3 4 5 0
x y

.

93. Cho parabol (P) cú phng trỡnh
2
4
y x

. Tỡm ta cỏc im M nm trờn
(P) v cỏch tiờu im mt khong bng 3.
94. Tỡm di dõy cung vuụng gúc vi trc i xng ca parabol
2
( ) : 2 ( 0)
P y px p

ti tiờu im F.
95. Qua mt im A c nh trờn trc i xng ca parabol
(P):
2
2 ( 0)
y px p

, ta v mt ng thng ct (P) ti 2 im M v N. Chng
minh rng tớch cỏc khong cỏch t M v N ti trc i xng ca (P) l hng
s.
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 15
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.


96. Cho dõy cung AB i qua tiờu im F ca parabol (P). Chng minh khong

cỏch t trung im I ca AB n ng chun

bng
2
AB
. Suy ra, ng trũn
ng kớnh PB tip xỳc vi ng chun.
97. Cho A, B l hai im trờn
2
( ) : 2 ( 0)
P y px p

sao cho tng cỏc khong
cỏch t A v B ti ng chun ca (P) bng di AB. Chng minh rng AB
luụn i qua tiờu im ca (P).
98. Cho parabol
2
1
( ) :
2
P y x

. Hai im lu ng M, N thuc (P) khỏc gc O
sao cho OM vuụng gúc vi ON. Chng minh rng ng thng MN luụn i
qua mt im c nh.
99. Cho parabol
2
( ) : 2 ( 0)
P y px p

, A l mt im c nh trờn (P). Mt gúc
vuụng uAt quay quanh nh A cú cỏc cnh ct (P) ti B v C. Chng minh rng
ng thng BC luụn i qua mt im c nh.
100. Cho hai parabol
2
( ) : 2
P y px

v
2
( '):
P y ax bx c

. Chng minh rng
nu hai parabol ct nhau ti bn im phõn bit thỡ bn im ú nm trờn mt
ng trũn.



. Dng

: Ba ng cụnic
1. ng chun:
Elip
2 2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b

v Hyperbol
2 2
2 2
( ) : 1 ( , 0)
x y
H a b
a b

cú 2
ng chun:



1
:
a
x
e

ng vi tiờu im
1
( ;0)
F c

.



2

:
a
x
e

ng vi tiờu im
2
( ;0)
F c
.
Parabol
2
( ) : 2 ( 0)
P y px p

cú 1 ng chun
:
2
p
x


ng vi tiờu im
( ,0)
2
p
F
.
2. Tớnh cht:

1 2
1 2
( ; )
( , ) ( , )
MF MF
M x y conic e
d M d M


.
3. nh ngha chung ca 3 ng conic:

( , )
MF
M conic e
d M


.
F l tiờu im.


l ng chun
( )
F

.

e
l hng s gi l tõm sai.

0 1
e

thỡ conic l elip.
www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 16 Created by Nguyen Van Rin
Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.





1
e

thỡ conic l hyperbol.



1
e

thỡ conic l parabol.

101. Tỡm tiờu im v ng chun ca cỏc ng conic:

a.
2 2
1
10 7
x y

b.
2 2
1
14 1
x y

c.
2
14
y x

.
102. Tỡm ta tiờu im, phng trỡnh ng chun v v cỏc ng conic:
a.
2 2
1
9 4
x y

b.
2 2
1
9 16
x y

c.
2
3 2 0
x y

.
103. Lp phng trỡnh chớnh tc ca conic:
a. Mt tiờu im l
2
(3,0)
F
, ng chun tng ng l
2
x

.
b. Mt tiờu im l
1
( 6,0)
F
, tõm sai
3
e

.
104. Lp phng trỡnh chớnh tc ca elip (E) bit:
a. Khong cỏch gia hai ng chun l 5 v khong cỏch gia hai tiờu im
l 4.
b. Tõm sai

3
4
e

v khong cỏch t tõm i xng n ng chun l
16
3
.
105. Lp phng trỡnh chớnh tc ca hyperbol (P) bit:
a. Phng trỡnh cỏc ng tim cn l
4 3 0
x y

v khong cỏch gia hai
ng chun l
18
5
.
b. Phng trỡnh mt ng chun l
16
5
x

, tõm sai
5
4
e

.
106. Cho ng thng

: 1 0
x y

v im
(1;1)
F
. Vit phng trỡnh ng
conic nhn F lm tiờu im v

lm ng chun trong mi trng hp:
a. Tõm sai
1
e

. b. Tõm sai
2
e
c. Tõm sai
2
2
e

107. Vit phng trỡnh cỏc ng conic trong cỏc trng hp sau:
a. Tiờu im
(2;3)
F
, ng chun
0
y

v tõm sai
1
e

.
b. Tiờu im
(0;3)
F
, ng chun
0
y

v tõm sai
1
2
e

.
c. Tiờu im
(0;3)
F
, ng chun
0
y

v tõm sai
2
e

.

108. Mt ng thng i qua tiờu im
( ;0)
F c
ca elip
2 2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b

,
( 0)
a b

v ct (E) ti 2 im A, B. Chng minh rng ng trũn ng kớnh
AB khụng cú im chung vi ng chun
a
x
e

ca (E).
www.VNMATH.com
Đờng tròn và các đờng cônic Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Created by Nguyen Van Rin Page 17
Ngời có học không phải là ngời biết nhiều mà là ngời biết rõ những gì mình phải biết
và hiểu rõ những gì mình đã biết.


109. Mt ng thng i qua tiờu im

( ;0)
F c
ca hyperbol
2 2
2 2
( ) : 1
x y
H
a b


v ct (H) ti 2 im A, B. Chng minh rng ng trũn ng kớnh AB ct
ng chun
a
x
e

ca (H).
110. a. Chng minh rng on thng trờn ng tim cn b chn bi ng
chun v tõm ca hyperbol bng na trc thc.
b. Chng minh rng mi ng chun ca hyperbol luụn i qua chõn
ng vuụng gúc h t tiờu im tng ng ti hai ng tim cn.




.
thi tuyn sinh:
111. (KHI A-2008) Trong mt phng vi h ta Oxy, hóy vit phng
trỡnh chớnh tc ca elip (E) bit rng (E) cú tõm sai bng

5
3
v hỡnh ch nht
c s ca (E) cú chu vi bng 20.
(S:
2 2
( ) : 1
9 4
x y
E

).
112. (KHI D-2008) Trong mt phng vi h ra Oxy cho parabol
2
( ) : 16
P y x
v im
(1;4)
A
. Hai im phõn bit B, C (B v C khỏc A) di ng
trờn (P) sao cho

90
BAC

. Chng minh rng ng thng BC luụn i qua
mt im c nh.
(S:
(17; 4)
I

).
113. (KHI A-2007) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú
(0;2)
A
,
( 2; 2)
B

v
(4; 2)
C

. Gi H l chõn ng cao k t B; M, N ln
lt l trung im ca cỏc cnh AB v BC. Vit phng trỡnh ng trũn
i qua cỏc im H, M, N.
(S:
2 2
( ) : 2 0
C x y x y

).
114. (KHI D-2007) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 9
C x y

v ng thng
:3 4 0
d x y m

. Tỡm m trờn
d cú duy nht mt im P m t ú cú th k c hai tip tuyn PA, PB
ti (C) (A, B l cỏc tip im) sao cho tam giỏc PAB u.
(S:
19; 41
m m

).
115. (KHI B-2006) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn
2 2
( ) : 2 6 6 0
C x y x y

v im
( 3;1)
M

. Gi
1 2
,
T T
l cỏc tip im
ca cỏc tip tuyn k t M n (C). Vit phng trỡnh ng thng
1 2
TT
.
(S:
1 2
: 2 3 0

TT x y

).
116. (KHI D-2006) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn
2 2
( ) : 2 2 1 0
C x y x y

v ng thng
: 3 0
d x y

. Tỡm ta im M
nm trờn d sao cho ng trũn tõm M, cú bỏn kớnh gp ụi bỏn kớnh ng
trũn (C) v tip xỳc ngoi vi ng trũn (C).
www.VNMATH.com
Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Đờng tròn và các đờng cônic
Page 18 Created by Nguyen Van Rin
Nếu cứ mãi đi theo lối mòn đã đợc vạch sẵn, ta cũng chỉ có thể nhận lấy những gì ngời đi
trớc đã đạt đợc mà thôi.


(S:
(1;4), ( 2;1)
M M

).
117. (KHI B-2005) Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai im A(2;0)
v B(6;4). Vit phng trỡnh ng trũn (C) tip xỳc vi trc honh ti im A
v khong cỏch t tõm ca (C) n im B bng 5.

(S:
2 2
1
2 2
2
( ) : ( 2) ( 1) 1
( ): ( 2) ( 7) 49
C x y
C x y


).
118. (KHI D-2005) Trong mt phng vi h ta Oxy cho im C(2;0) v
elip
2 2
( ) : 1
4 1
x y
E

. Tỡm ta cỏc im
, ( )
A B E

, bit rng hai im A,
B i xng vi nhau qua trc honh v tam giỏc ABC l tam giỏc u.
(S:
2 4 3 2 4 3
( ; ), ( ; )
7 7 7 7

A B

hoc
2 4 3 2 4 3
( ; ), ( ; )
7 7 7 7
A B

).
119. (KHI D-2003) Trong mt phng vi h ta cỏc vuụng gúc Oxy cho
ng trũn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 4
C x y

v ng thng
: 1 0
d x y

. Vit
phng trỡnh ng trũn (C) i xng vi ng trũn (C) qua ng
thng d. Tỡm ta cỏc giao im ca (C) v (C).
(S:
2 2
( ') : ( 3) 4
C x y

,
(1;0), (3;2)
A B

).
120. (KHI D-2002) Trong mt phng vi h ta cỏc vuụng gúc Oxy cho
elip
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E

. Xột im M chuyn ng trờn tia Ox v im N
chuyn ng trờn tia Oy sao cho ng thng MN luụn tip xỳc vi (E).
Xỏc nh ta ca M, N on MN cú di nh nht. Tớnh giỏ tr nh
nht ú.
(S:
(2 7,0), (0, 21), ( ) 7
M N Min MN

).






Hết

Tài liệu lu hành nội bộ Nguyễn Văn Rin - ĐHSP Huế
Email:

www.VNMATH.com