Công thức vật lý - Trường điện từ

Công thức vật lý

Trường điện từ
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY
Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector


zyxzyx
akajaia,a,aa








zyxzyx
bkbjbib,b,bb








zyxzyx
ckcjcic,c,cc







zzyyxx
bababab.a 




 
 
 
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
babakbabajbabai
bbb
aaa
kji
ba 











b,acosbab.a









cba





Phương:


b,ac






Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:


b,asinbac














b.a.cc.a.bcba












2. Toán tử nabla













z
,
y
,
x

3. Gradient
z
U
k
y

U
j
x
U
iU.gradU













4. Divergence
z
a
y
a
x
a
a.adiv
z
y
x












5. Rotary
















































y
a

x
a
k
x
a
z
a
j
z
a
y
a
i
aaa
zyx
kji
aarot
x
y
zx
y
z
zyx






Số phức

Hàm mũ


ysiniycoseee
xiyxz



Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2i. Thực vậy, ta có
1k2sinik2cose
ik2



Suy ra
zik2zik2z
ee.ee 


Công thức Euler
e
iy
= cosy +isiny
Khi đó số phức z = r e
i
= r(cos +isin)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và

các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21







(1)

Trong đó:
a
1
, a
2
và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0  (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x)  0  (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
a
1
, a
2
 const  (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0yayay
21








(2)

a
1
, a
2
là các hàm của biến x
Định lí 1. Nếu y
1
= y
1
(x) và y
2
= y
2
(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
(trong đó C

1
, C
2

là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
Hai hàm y
1
(x) và y
2
(x) là độc lập tuyến tính khi


 
const
xy
xy
2
1

, ngược lại là phụ thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y
1
(x) và y
2
(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường
cấp hai thuần nhất (2) thì y = C
1
y
1
+ C

2
y
2
(trong đó C
1
, C
2
là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng
quát của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y
1
(x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần
nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y
2
(x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với
y
1
(x) bằng cách đặt y
2
(x) = y
1
(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và
các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21








(3)

Trong đó:
a
1
và a
2
là các hàm của biến độc lập x; f(x)  0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không
thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất
)x(f)x(fyayay
2121








(4)

Nếu y
1

(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay
121







(5)

và y
2
(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay
221







(6)

thì y(x) = y
1
(x) + y
2

(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0qyypy







(7)

p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng
kx
ey 

(8)

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
kx
key 

,
kx2
eky 


(9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.


0qpkke
2kx


(10)

Vì e
kx
 0 nên
0qpkk
2


(11)

Nếu k thoả mãn (11) thì y = e
kx
là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7).
Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7)
Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k
1
và k
2

như sau
- k
1
và k
2
là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
xk
1
1
ey 
,
xk
2
2
ey 

(12)

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì
 
conste
y
y
xkk
2
1
21



(13)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xk
2
xk
121
21
eCeCyyy 

(14)

- k
1
và k
2
là 2 số thực trùng nhau: k
1
= k
2

Hai nghiệm riêng độc lập từ trường:
xk
1
1
ey 
,
xk
2
1

xey 

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là


xk
21
xk
2
xk
1
111
exCCxeCeCy 

(15)

- k
1
và k
2
là 2 số phức liên hợp: k
1
=  + i và k
2
=  - i
Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
 
 
xixxi
2

xixxi
1
eeey
eeey







(16)

Theo công thức Euler ta có
xsinixcose
xsinixcose
xi
xi





(17)

Suy ra
 
 
xsinixcoseeey
xsinixcoseeey

xxix
2
xxix
1







(18)

Nếu

1
y
và

2
y
là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm
xsine
i
2
yy
y
xcose
2
yy

y
x
21
2
x
21
1











(19)

cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì
constxtg
y
y
2
1


(20)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là


xsinCxcosCexsineCxcoseCy
21
xx
2
x
1



(21)


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Chương 1
CÁC ĐỊNH LUẬT
VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
1.1.1. Vector cường độ điện trường
 Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường
EqF




(1.1)

Hay:
q
F
E




(1.2)

 Cđđt
E

tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng
lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó
 Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q
2
0
0
r
r
4
Qq
F





(1.3)

-
m/F10.854,8
12
0


- hằng số điện
-  - độ điện thẩm tương đối
-
0
r

- vector đơn vị chỉ phương
 Hệ đt điểm
n21
q, ,q,q





n
1i
2
i
i0i
0
n

1i
i
r
rq
4
1
EE




(1.4)

i0
r

- các vector đơn vị chỉ phương
 Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:




l
2
l
0
l
r
r
dl

4
1
E



(1.5)





S
2
S
0
S
r
r
dS
4
1
E



(1.6)






V
2
V
0
V
r
r
dV
4
1
E



(1.7)

1.1.2. Vector điện cảm
 Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện
cảm
D



ED
0




(1.8)

1.1.3. Vector từ cảm
 Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay
dòng điện theo định luật Lorentz
BvqF





(1.9)

 Từ trường do phần tử dòng điện
lId

tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL


rlId
r
4
Bd
2
0









(1.10)

-
m/H10.257,110.4
67
0


- hằng số từ
-  - độ từ thẩm tương đối
 Từ trường của dây dẫn có chiều dài l
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.





l
2
0
r
rlId
4
B





(1.11)

1.1.4. Vector cường độ từ trường
 Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường
độ từ trường
H



0
B
H





(1.12)

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
 Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển
qua mặt S trong một đơn vị thời gian
dt
dq
I 

(1.13)

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm
 Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta
đưa ra khái niệm mật độ dòng điện
EvvenJ
0






(1.14)

dạng vi phân của định luật Ohm
- n
0
- mật độ hạt điện có điện tích e
-  - mật độ điện khối
-
v

- vận tốc dịch chuyển của các hạt điện
-  - điện dẫn suất
 Dòng điện qua mặt S được tính theo


SSS
SdESdJdII






(1.15)

 Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có
(lưu ý: áp dụng c/t S = L
2
và
LS
L
R


)
R
U
LU)EL)(L(ESEdSI
S



(1.16)

dạng thông thường của định luật Ohm
Vì
E


và
Sd

cùng chiều, đặt
RL
1


(1.17)

 - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m
1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích
 Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi,
dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện.
 Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích giảm đi từ
thể tích V đó.
 Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có


V
dVQ

(1.18)

sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ


V
dV
dt

d
dt
dQ
I

(1.19)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mặt khác


S
SdJI



(1.20)

Suy ra





VS
dV
t
SdJ




(1.21)

Theo định lý OG
 





VVS
dV
t
dVJ.SdJ




(1.22)

Suy ra
0
t
J. 






(1.23)

Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên tục.
1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường
 Các đặc trưng cơ bản của môi trường: , , 
 Các phương trình:
ED
0




(1.24)



0
B
H



(1.25)

gọi là các phương trình vật chất
 , ,   cường độ trường : môi trường tuyến tính
 , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng
 , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường không đẳng
hướng. Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng số. Chẳng hạn ferrite bị từ

hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ
 , ,   vị trí : môi trường không đồng nhất
Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính.
Xecnhec có  >> 1 : môi trường phi tuyến
 > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không khí, ebonic,
các nguyên tố đất hiếm
 < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na
+
, Cl
-
có các lớp electron giống như
khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO
2
, H
2
O, thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu
cơ
 >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ
hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch
từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.
 Căn cứ vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách điện hay điện môi
Chất dẫn điện:  > 10
4
1/m,  =  : chất dẫn điện lý tưởng
Chất bán dẫn: 10
-10
<  < 10
4

Chất cách điện:  < 10

-10
,  = 0 : điện môi lý tưởng
Không khí là điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 0
1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường
 Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
 Thông lượng của vector điện cảm
D

qua mặt S là đại lượng vô hướng được xác định bởi
tích phân


S
E
SdD



(1.26)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.


Sd

: vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài
dS.cos(
D


,
Sd

) : hình chiếu của S lên phương
D


 Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của
D

do q tạo ra qua mặt
kín S, ta có






 d
4
q
r
4
Sd,Dcos.dS.q
SdDd
2





(1.27)

d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS
Thông lượng của
D

qua toàn mặt kín S là
qd
4
q
SdD
S








(1.28)

 Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn toàn mặt S dưới
một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S' (có giao tuyến là AB). Pháp
tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau. Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị
nhưng trái dấu. Khi đó thông lượng của
D

qua toàn mặt kín S bằng 0.

 Xét hệ điện tích điểm q
1
, q
2
, , q
n
đặt trong mặt kín S, ta có



n
1i
i
DD



(1.29)

Thông lượng của
D

do hệ q
1
, q
2
, , q
n
gây ra qua toàn mặt kín S

QqSdDSdD
n
1i
i
n
1i
S
i
S









(1.30)

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm
D

qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng đại số các điện
tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S
Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q
1
, q
2
, , q

n
, do đó  có thể âm hoặc dương
 Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối  thì  được tính theo
QdVSdD
VS
E





(1.31)

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-Gauss đối với
điện trường.
D


S
d


S

d


r


q
D


Sd


A
B
q
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Nguyên lý liên tục của từ thông
 Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là dòng điện hay nam
châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này
 Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm
B

. Thông lượng của
B

qua
mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này. Do đường sức từ khép kín nên số
đường sức từ đi vào thể tích V bằng số đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông
lượng của
B

được tính theo
0SdB
S

M





(1.32)

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương trình cơ bản
của trường điện từ
1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday
Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này xh dòng điện
cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường
E

có chiều là chiều của dòng điện cảm
ứng đó.
Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác
nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải là nguyên nhân gây ra điện
trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó. Điện trường này cũng
không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện
trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện
được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !).
Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công
phải khác 0, có nghĩa là
0ldEq
l






(1.33)

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.
Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng tạo ra một
điện trường xoáy.
Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:
Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong một vòng
dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây
dt
d
e
c



(1.34)

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện cảm ứng có
chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông 


S
SdB



(1.35)

là thông lượng của vector từ cảm
B

qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra























SSS
c
Sd

t
B
Sd
dt
Bd
SdB
dt
d
dt
d
e







(1.36)

Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e
c
theo lưu số của vector cường độ điện trường
E




l
c

ldEe



(1.37)

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn của
B


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta có












Sl
Sd
t
B

ldE





(1.38)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một phương trình cơ
bản của trường điện từ.
Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kì
bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua
diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)




Sl
SdEldE





(1.39)

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)
t
B

E






(1.40)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng đối với từng
điểm một trong không gian có từ trường biến thiên.
1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere
Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy. Vậy ngược
lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối
liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II:
Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường.
(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)
Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là
thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II sự biến thiên của điện trường
theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có sự biến thiên của điện trường theo thời gian
mới tạo ra từ trường.
Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:
Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát
biểu định luật dòng điện toàn phần:
Lưu số của vector cường độ từ trường
H

dọc theo một đường cong kín bất kì bằng tổng
đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này
IIldH

n
1i
i
l







(1.41)


S
d


B


l
d


S

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.
Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện
J

thì


Sl
SdJldH





(1.42)

Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ
Khái niệm về dòng điện dịch
Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của
Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với
việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch. Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công
thức
dP0d0d
JJ
t
P
t
E
t
D

J
















(1.43)

Trong đó:
t
P
J
dP





- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các điện tích

t
E
J
00d





- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng điện dịch
Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt kín S bao quanh 1
trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ điện nên giữa 2 bản tụ có điện
trường biến thiên
E

và dòng điện biến thiên chạy qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện
dịch trong chân không vì giữa 2 bản tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:
t
E
SI
00d







(1.44)

Theo định luật Gauss
SESdEq
0
S
0






(1.45)

SSd
S




vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ
Đối với môi trường chân không, ta có:  = 1
J


l
d


S
d



I
i

S

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng
t
E
SSdE
dt
d
dt
dq
I
0
S
0











(1.46)

Suy ra
I = I
d0
(1.47)

Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch ngoài tụ điện.
Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta có
(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương dòng điện
dẫn)




SSl
Sd
t
D
SdJldH







(1.48)

Hay












Sl
Sd
t
D
JldH






(1.49)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)





Sl
SdHldH





(1.50)

Suy ra
d
JJ
t
D
JH








(1.51)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một phương trình cơ
bản của trường điện từ

Nếu môi trường có điện dẫn suất  = 0 (điện môi lí tưởng và chân không) thì do
0EJ 


, ta có:
0d0
J
t
E
H








(1.52)

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra từ trường như
dòng điện dẫn.
1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell
Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường
xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ trường. Vậy trong không gian
điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại và có liên hệ chặt chẽ với nhau
Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống
nhất gọi là trường điện từ.
Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện.
S

S'

+q

-q

E


~

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
- Phương trình Maxwell-Faraday
Dạng tích phân












Sl
Sd

t
B
ldE





(1.53)

Dạng vi phân
t
B
E






(1.54)

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến thiên và điện
trường xoáy.
- Phương trình Maxwell-Ampere
Dạng tích phân













Sl
Sd
t
D
JldH






(1.55)

Dạng vi phân
t
D
JH






(1.56)

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh ra từ trường như
dòng điện dẫn.
- Định lí OG đối với điện trường
Dạng tích phân
qSdD
S





(1.57)

Theo giải tích vector:


VS
dVD.SdD



và


V
dVq
, ta có

Dạng vi phân
 D.


(1.58)

Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ các điện tích
dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn
- Định lí OG đối với từ trường
Dạng tích phân
0SdB
S





(1.59)

Dạng vi phân
0B. 


(1.60)

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn
Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình Maxwell
t
B
E








t
D
JH






(1.61)

 D.



0B. 



- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài
Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian. Dòng điện
trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không
chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
hoặc không điện. Để đặc trưng cho nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ
dòng điện ngoài
O
J

. Đ.luật Ohm dạng vi phân:


OO
EEJJ






(1.62)

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại những điểm trong
không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường điện từ tự do. Khi có nguồn
ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại
t
B
E








t
D
JJH
O






(1.63)

 D.



0B. 



Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và , tức là
môi trường điện môi:
ED
0




môi trường dẫn điện:
EJ




môi trường từ hoá:
HB
0



, ta có
t
H
E
0







t
E
JEH
0O







(1.64)

0
E.






0H. 



- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell
 Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không
điện tích tự do và nguồn ngoài
0JJ
O




t
H

E
0







t
E
H
0






(1.65)

0E. 



0H. 



Nhận xét:

E

và
H

đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau
 Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối xứng, cần phải
đưa thêm 2 đại lượng hình thức
M
J

- mật độ dòng từ ngoài

M
- mật độ từ khối
Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không điện tích tự do,
với nguồn điện và từ ngoài
t
H
JE
0M







t
E

JH
0E





, J
E


J
O

(1.66)

0
E.






Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
0
M
H.







Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì sử dụng
nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn điện), mà không cần
phải giải cả hai.
- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà
Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc  nên có thể biểu diễn dưới
dạng phức, ta có

 EreE




 HreH


(1.67)


 JreJ




 re

Với:
Trong đó:
 
z
y
x
i
mz
i
my
i
mx
mm
eEkeEjeEiz,y,xEE







gọi là biên độ phức của

E

; 
x
, 
y

,

z
là các pha ban đầu
Khi đó
m
0
m
HiE





Em
m
0
m
JEiEH




(1.69)

0
m
m
E.









0H. 




1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ
Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián đoạn của các
vector của trường điện từ và đã xác định được
- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường
D
1n
- D
2n
= 
S


S
mật độ điện mặt
Khi 
S
= 0 ta có: D
1n

= D
2n
hay
1
2
n2
n1
E
E




(1.70)

- đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường
E
1
= E
2
,
1
2
2
1
D
D







(1.71)

- đối với thành phần pháp tuyến của từ trường
B
1n
= B
2n
,
1
2
n2
n1
H
H




(1.72)

- đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường
H
1
- H
2
= I
S

I
S
dòng điện mặt
(1.73)

ti
m
e



;
ti
m
eEE




;
ti
m
eHH




;
ti

m
eJJ





(1.68)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Khi I
S
= 0 ta có: H
1
= H
2
hay
1
2
2
1
B
B






- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn lí tưởng có 
2

= . Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa là
0HE
22



.
Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ
0H;E
22



thì dưới tác dụng của
trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó cho đến khi trường phụ do
chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng
bằng 0. Trên bề mặt S của vật dẫn lí tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một
lớp mỏng vô hạn.
Khi đó ta được
E
1n
=
1
S



E
1
= 0
H
1n
= 0
H
1
= I
S

(1.74)

Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành phần pháp tuyến
của
E

và thành phần tiếp tuyến của
H


1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting
- Năng lượng của trường điện từ
W = W
E
+ W
M
=





V
ME
dV
=








 


V
2
0
2
0
dV
2
H
2
E

- Định lí Umov Poynting
Đã chứng minh được

Ot
S
PP
dt
dW
Sd 




(1.75)

Trong đó
H
E






(W/m
2
) vector Poynting
Phương trình =


V
2
V

dVEdVEJ



công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn
J

gây ra trong
V
P
O
=

V
E
dVEJ


công suất của nguồn ngoài trong thể tích V
(1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ trong thể tích V
Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn hao nhiệt và
công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của vector Poynting qua mặt kín S
bao thể tích V đó.
Vector Poynting


biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ.
1.10. Định lí nghiệm duy nhất
Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn các điều kiện
sau

1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t
0
= 0 ở tại bất kì điểm nào
trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu, tức là


0,z,y,xEE
0



khi t = 0



0,z,y,xHH
0




(1.76)

2. Biết thành phần tiếp tuyến của
E

và thành phần tiếp tuyến của
H

tại mặt giới hạn S bao

miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t <  hay còn gọi là điều kiện biên
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
E = E
|S
hoặc H = H
|S
với 0 < t < 
(1.77)

Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào đó ta nhận
được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm
nhận được là duy nhất.
1.11. Nguyên lí tương hỗ
Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và các nguồn tạo
ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian.
1. Bổ đề Lorentz
Dạng vi phân































m1
m2M
m2
m1M
m1
m2E
m2
m1E
m1m2m2m1
HJHJ
EJEJHE.HE.




(1.78)

Dạng tích phân


















































V
m1
m2M
m2
m1M
m1

m2E
m2
m1E
S
m1m2m2m1
dVHJHJEJEJ
dSHEHE



(1.79)

V  , ta có
0dVHJHJEJEJ
V
m1
m2M
m2
m1M
m1
m2E
m2
m1E
























(1.80)

2. Nguyên lí tương hỗ
Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân bố trong V
1
,
nguồn điện và từ 2 phân bố trong V
2
và 2 thể tích này không có miền chung. Do đó vế trái của
phương trình (1.80) tích phân trong miền V   chia thành 3 miền V
1
, V
2
và miền còn lại. Tuy

nhiên tích phân trong miền còn lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương
trình (1.80) được viết lại




















2V
m1
m2M
m1
m2E
1V
m2
m1M

m2
m1E
dVHJEJdVHJEJ


(1.81)

gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác nhau.
1.12. Nguyên lí đồng dạng điện động
Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định mối quan hệ
giữa trường điện từ. Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và môi trường đối với 2 hệ
điện từ đồng dạng điện động với nhau.
Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ
665544M33E2211
at;al;aJ;aJ;aE;aH 









(1.82)

4321
a;a;a;a





là các vector đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của cường độ
trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian
65
a;a
là các đơn vị vô hướng xác định toạ độ không gian và thời gian
Các hệ số tỉ lệ 
i
có thứ nguyên tương ứng là

1
[A/m], 
2
[V/m], 
3
[A/m
2
], 
4
[V/m
2
], 
5
[m], 
6
[s]
Thay các đại lượng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây
t
E

JEH
0E





, J
E


J
O

(1.83)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
t
H
JE
0M







Ta được

33
6
2
211
ac
a
a
cca








(1.84)

6
1
5442
a
a
caca






Các hệ số tỉ lệ c
i
không có thứ nguyên tương ứng với các biểu thức sau
1
52
1
c




;
6
52
2
c




;
1
53
3
c





;
2
54
4
c




;
62
51
5
c





Hệ phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ khác nhau qua
hệ số c
i
. Hai hệ điện từ có các hệ số c
i
tương ứng bằng nhau gọi là 2 hệ đồng dạng điện động
với nhau.
1.13. Trường tĩnh điện
Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi theo thời gian,
ta có hệ phương trình Maxwell như sau
0E 




 D.

(1.85)

ED
0





1.14. Từ trường của dòng điện không đổi
0E 



 D.


(1.86)

ED
0




JH





0B. 


(1.87)

HB
0





Nhận xét: Điện trường của dòng điện không đổi cũng tương tự như điện trường tĩnh và là
một trường thế, chỉ khác nhau là điện trường của dòng điện không đổi tồn tại ngay cả trong vật
dẫn
EJ



, còn điện trường tĩnh thì không tồn tại bên trong vật dẫn.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.

Chương 2
TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường
Lưu ý:
-  là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường
-  là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường
Đặt ’ = 
0
và ’ = 
0

- ’ là độ điện thẩm tuyệt đối
- ’ là độ từ thẩm tuyệt đối
Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả nguồn điện và
từ ngoài
t
E
JEH
0E






(1)

t
H

JE
0M






(2) (2.1)

0
E.





(3)

0
M
H.





(4)

Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm

E

,
H

và các nguồn điện và từ nên khó
giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn.
Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2)








E
t
JEHH.H
0E
2












(1)







H
t
JEE.E
0M
2










(2)
(2.2)

Suy ra
M

M
0M
0
E0
2
2
00
2
J
t
J
1
J
t
H
t
H
H




















(1)
t
J
1
J
t
E
t
E
E
E
0
0
M0
2
2
00
2


















(2)
Nhận xét: Vế trái của các phương trình (1) và (2) trong (2.3) chỉ còn
E

hoặc
H

. Đây là
các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế phải là các hàm rất phức tạp.
Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn và điện môi lí tưởng  = 0, ta có
0
t
H
H
2
2
00
2








(1)

0
t
E
E
2
2
00
2







(2)
(2.4)

2.2. Phương trình cho các thế điện động
Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và từ thường được
kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau.

2.2.1. Đối với nguồn điện
Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng  = 0 hệ phương trình Maxwell (2.1) được
viết lại
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
t
E
JH
0E






(1)

t
H
E
0






(2)
(2.5)

0
E.





(3)

0H. 


(4)

Đặt:


E
0
A
1
H






(2.6)

E
A

gọi là thế vector điện
Dễ thấy rằng:


0A.
1
H.
E
0






Đưa (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được
0
t
A
E
E
















(2.7)

Suy ra
E
E
t
A
E 






(2.8)

Lưu ý
0
E







(2.9)


E
là thế vô hướng điện
E
A

và 
E
được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện
Như vậy:
H

và
E

được biểu diễn qua
E
A

và 
E
theo các công thức (2.6) và (2.8) tương
ứng.
Tìm

E
A

và 
E
?
Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay
H

và
E

vào (1) của (2.5) ta có
E0
E
00E
2
E
2
00E
2
J
t
A.
t
A
A



















(2.10)

E
A

và 
E
được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ
0
t
A.
E
00E








(2.11)

(2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn
Phương trình sóng (2.10) được viết lại
E0
2
E
2
00E
2
J
t
A
A








(2.12)

Từ công thức (2.8) thay

E

vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có
0
2
E
2
00E
2
t 






(2.13)

Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không thuần nhất hay các
phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường điện từ đối với nguồn điện.
E
A

và

E

2.2.2. Đối với nguồn từ
Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng  = 0 có dạng
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.
t
E
H
0






(1)

t
H
JE
0M






(2)
(2.14)

0E. 


(3)

0
M
H.





(4)

Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có


M
0
A
1
E







M
M
t
A

H 






(2.15)

M0
2
M
2
00M
2
J
t
A
A









0
M

2
M
2
00M
2
t 






(2.16)

0
t
A.
M
00M







(2.17)

M
A


và 
M
là các thế điện động đối với nguồn từ
Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và nguồn từ thì
trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và nguồn từ, có nghĩa là
 
EM
0
E
A
1
t
A
E 










 
M
M
E
0

t
A
A
1
H 









(2.18)

Nhận xét:
E

và
H

được biểu diễn qua
E
A

và 
E
hoặc
M

A

và 
M
làm cho hệ phương trình
Maxwell đơn giản hơn. Đây chính là ưu điểm của phương pháp dùng các thế điện động.
2.2.3. Đối với trường điều hoà
Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc  thì các
phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng biên độ phức như sau
Em
0
2
Em
2
2
Em
2
J
t
A
kA













0
m
2
Em
2
2
Em
2
t
k










Mm
0
2
Mm
2
2
Mm

2
J
t
A
kA











(2.19)

0
Mm
2
Mm
2
2
Mm
2
t
k











Trong đó:
00
k 
là số sóng trong môi trường
(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình Hemholtz
Biểu thức của
E

và
H

có dạng
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Em
Mm
0
Em
A
1
AiE


















(2.20)

Mm
Mm
Em
0
t
A
A
1
H
























Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau
Em
00
Em
A.
1








(2.21)

Mm
00
Mm
A.
1








Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều hoà chỉ cần tìm
nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector
Em
A


và
Mm
A



2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz
2.3.1 Vector Hertz điện
Đặt
t
A
E
00E






(2.22)

Trong đó:
E


gọi là vector Hertz điện
Thay (2.22) vào (2.6) ta được




E0E
0
t
A
1

H 









(2.23)

Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được


0.
t
EE





(2.24)

Suy ra
EE
.


(2.25)

Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được
 
2
E
2
00EE
E
t
.
t
A
E











(2.26)

Nhận xét:
E


và
H

đươc biểu diễn qua vector Hertz điện
E



Tìm
E


?
Thay (2.22) vào (2.12) ta được
E0
2
E
2
00E
2
00
2
E
2
00E
2
J
ttt
A
A

























(2.27)

Hay
E
0
2

E
2
00E
2
J
1
tt



















(2.28)

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được







t
0
E
0
2
E
2
00E
2
dtJ
1
t




(2.29)

Đặt


t
0
EE
dtJP



(2.30)

E
P

gọi là vector phân cực của nguồn điện
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Phương trình (2.29) được viết lại
0
E
2
E
2
00E
2
P
t 








(2.31)

Như vậy: vector phân cực
E
P

là nguồn tạo ra vector Hertz điện
E


. Do đó
E


còn gọi là thế
vector phân cực điện.
2.3.2 Vector Hertz từ
Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn của hệ phương
trình Maxwell ta có
t
A
M
00M






(2.32)

Trong đó:

M


gọi là vector Hertz từ
MM
.


(2.33)



M0
t
E 






(2.34)

 
2
M
2
00M
t
.H








(2.35)

Nhận xét:
E

và
H

đươc biểu diễn qua vector Hertz từ
M



Tìm
M


?
M
0
2
M
2

00M
2
J
1
tt



















(2.36)

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được







t
0
M
0
2
M
2
00M
2
dtJ
1
t




(2.37)

Đặt


t
0
MM
dtJP


(2.38)

M
P

gọi là vector từ hoá của nguồn từ
(2.37) được viết lại
0
M
2
M
2
00M
2
P
t 








(2.39)

Như vậy: vector từ hoá
M
P


là nguồn tạo ra vector Hertz từ
M


. Do đó
M


còn gọi là thế
vector từ hoá.
Nhận xét:
E

và
H

được biểu diễn qua vector Hertz điện
E


hoặc vector Hertz từ
M


đơn
giản hơn phương pháp dùng các thế điện động.
2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ
Trường hợp các vector Hertz điện
E



và vector Hertz từ
M


chỉ có một thành phần. Trong
hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện
E


và vector Hertz từ
M


theo phương z là
EE
k



(2.40)

MM
k



(2.41)

- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện

E


một thành phần) sẽ có
H

theo
phương z bằng 0 (H
z
= 0), còn các thành phần khác của
H

nói chung khác 0. Trường điện từ
loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ
M


một thành phần) sẽ có
E

theo phương
z bằng 0 (E
z
= 0), còn các thành phần khác của
E

nói chung khác 0. Trường điện từ loại này gọi

là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE
Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện từ có thể
xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ
2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng
Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình d’ Alambert
chỉ cần xác định
E

hoặc
H

. Do đó có thể sử dụng một hàm vô hướng để đại diện cho 
E
và 
M

hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decac của
E


,
M


,
E
A

và
M

A

, phương trình d’
Alambert được viết lại
g
t
2
2
00
2





(2.42)

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V
Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất không vế phải và
nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức là tìm nghiệm của phương trình
sau
0
t
2
2
00
2






(2.43)

Đối với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính đối xứng cầu nên
hàm  chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có
 









 r
rrr
1
rr
2
r
2
2
2
2
2

(2.44)

Đặt  = r ta có
0
tr
2
2
00
2
2







(2.45)

Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là















v
r
tf
v
r
tf
21

(2.46)

Suy ra
r
v
r
tf
r
v
r
tf
21


















(2.47)

Trong đó:
00
1
v


là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f
1
và f
2
là các hàm tuỳ ý
r
v
r
tf
1








mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn  vô cùng
r
v
r
tf
2







mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng  nguồn
Điều kiện bức xạ tại vô cùng:
0Eik
t
E
rlim
r

















0Hik
t
H
rlim
r
















(2.48)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Trong đó:
00
k 
là số sóng
Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên theo điều kiện
bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43) cho nguồn điểm là hàm f
1
và
loại bỏ hàm f
2

Vậy
r
v
r
tf
1









(2.49)

Nếu r  0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình sóng thuần
nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải chọn dạng của f
1
sao cho 
là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng.
Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại
g
2


(2.50)

gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là



V
dV
r
g
4
1

(2.51)

Lưu ý :
r là khoảng cách từ vị trí quan sát trường đến yếu tố vi phân gdV. Theo (2.49) và (2.51) ta
chọn dạng hàm của f

1
như sau
















v
r
tg
4
1
v
r
tf
1

(2.52)

Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là
 











V
dV
r
v
r
t,rg
4
1
t,r

(2.53)

Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở thời điểm t’ sớm
hơn t một khoảng thời gian là
v
r
t 



(2.54)

Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời gian t’ nên
(2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ.
Tương tự như nghiệm (2.53) ta có
 












V
E
0
E
dV
r
v
r
t,rJ
4

t,rA



(2.55)


 












V
M
0
M
dV
r
v
r
t,rJ
4

t,rA



(2.56)

Đối với trường điều hoà ta có
ikrtiikr
m
v
r
ti
m
egeegeg
v
r
tg






















(2.57)


 
ikr
E
v
r
ti
EmE
etAeA
v
r
tA





















(2.58)


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.