(Luận Án Tiến Sĩ) Tính Ổn Định Của Một Số Lớp Hệ Vi Phân Có Trễ Và Ứng Dụng Trong Các Mô Hình Sinh Thái.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐỒN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ VI PHÂN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG
CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐỒN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CĨ TRỄ
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI

Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS LÊ VĂN HIỆN

2. TS. TRỊNH TUẤN ANH

HÀ NỘI-2019


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, được hồn
thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS. Trịnh Tuấn Anh.
Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí của các
đồng tác giả khi đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong cơng trình,
luận văn, luận án nào khác.
Tác giả

1


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại bộ mơn Giải tích, khoa Tốn-Tin, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện
và TS Trịnh Tuấn Anh. Tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các
thầy, đặc biệt là PGS.TS Lê Văn Hiện, đã có những định hướng đúng đắn và
chỉ dẫn sát sao cho tôi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành
luận án này. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin
tưởng của các thầy dành cho tác giả là nguồn động lực lớn lao đem lại niềm say
mê, giúp tác giả vượt qua những khó khăn trong nghiên cứu.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các thầy giáo, cơ
giáo trong bộ mơn Giải tích đã ln giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Đồng thời, tôi cũng
xin chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina
Phương trình vi phân và tích phân của bộ mơn Giải tích đã quan tâm, trao đổi
và góp ý cho tơi trong q trình học tập và làm luận án.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo
Hải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, các
thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp tại tổ Tốn-Tin, trường Trung học
phổ thơng Chuyên Trần Phú, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động
viên tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Sau cùng, tơi xin dành những tình cảm và lịng biết ơn chân thành tới gia
đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua khó khăn
để hồn thành luận án này.
Tác giả
2


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1. SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1. M-ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov . . . . . 16
1.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . 18
1.3.2. Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với
tính ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính
với trễ hỗn hợp biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ . . . . . 22
1.4.1. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên 23
1.4.2. Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ
lệ: Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến . . . . . . . . . 25
1.5. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1. Đạo hàm Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3


2. TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN
VÀ TRỄ TỈ LỆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Tính ổn định hữu hạn của mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số

biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mơ hình (2.1) . . . . . 34
2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MƠ
TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ . . . . . . . . 43
3.1. Thiết lập sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Tính tiêu hao tồn cục của mơ hình (3.1) . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1. Trường hợp hệ số phản hồi chính quy . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. TÍNH HÚT TỒN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA
MỘT MƠ HÌNH NICHOLSON CĨ TRỄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1. Kết quả sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Nghiệm dương tồn cục và tính bền vững . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1. Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2. Tính bền vững đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3. Tính hút tồn cục của nghiệm tuần hoàn dương . . . . . . . . . . . 69

4


4.4. Điểm cân bằng dương và tính hút tồn cục . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5. Ví dụ và mơ phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6. Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Danh mục công trình cơng bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

[n]

Tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, . . . , n}

a,b

b là biểu thức định nghĩa của a

R+

Tập các số thực không âm

Rn

Không gian Euclide n chiều

kxk∞

maxi∈[n] |xi |, chuẩn max của vectơ x = (xi ) ∈ Rn

Rm×n

Tập hợp các ma trận cấp m × n

A⊤

Ma trận chuyển vị của ma trận A

A>0

Ma trận A xác định dương, tức là x⊤ Ax > 0, ∀x 6= 0

Sn+

Tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n

In

Ma trận đơn vị trong Rn×n

diag{a1 , . . . , an }

Ma trận chéo với các phần tử a1 , a2 , . . . , an trên đường chéo

[A]ij

Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A

A0

Ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j

A≻0
xy

Rn+
ξ + (t.ư. ξ+ )
λ(A)

Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j

xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn và y = (yi ) ∈ Rn

Orthant dương {x ∈ Rn : x  0}

maxi∈[n] ξi (t.ư. mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0

Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

λmax (A), λmin (A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
C([a, b], Rn )

Tập các hàm giá trị trong Rn liên tục trên [a, b]

D + v(t)

lim suph→0+

v(t+h)−v(t)
,
h

6

đạo hàm Dini trên bên phải.

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định
nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều
khiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng
dụng từ cơ học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin đến các mơ hình trong sinh
thái học quần thể, kinh tế và môi trường [1, 21]. Trong thực tiễn, rất nhiều mơ
hình ứng dụng được mơ tả bởi các lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38].
Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của
hệ nói chung và tính ổn định, một trong những tính chất phổ dụng của các hệ
trong các mơ hình ứng dụng, nói riêng. Vì vậy, bài tốn nghiên cứu tính ổn định
của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mơ hình thực
tiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sự quan tâm của
nhiều tác giả trong và ngoài nước trong những năm gần đây [13].
Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tính
dừng, hệ có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan
trọng và hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định. Bằng việc xây dựng các phiếm
hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lập
thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Khi đó, các cơng cụ
giải số và một số thuật toán tối ưu lồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận
được của lớp điều kiện LMIs đó đảm bảo tính ổn định của hệ.
Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mơ hình thực tiễn và nhân tạo, nhất là
các hệ trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến không
dừng [30]. Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng,
7

cho các lớp hệ như vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và phương
pháp nghiên cứu đặc thù. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết
định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối
với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình
mơ tả các mơ hình trong sinh thái học, cần tiếp tục được nghiên cứu và phát
triển. Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu về
tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng trong các mơ
hình sinh thái.

2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
2.1. Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến
mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ
Trong hai thập kỉ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã được
nghiên cứu và ứng dụng thành cơng trong nhiều lĩnh vực như xử lí tín hiệu số,
nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệ nhân
tạo [28, 34]. Trong các mơ hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạng nơron
đã được thiết kế là hết sức quan trọng [40]. Mặt khác, trong các mơ hình mạng
nơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do q trình xử lí và truyền tín
hiệu qua các kênh với băng thông hạn chế. Sự xuất hiện của trễ thời gian thường
dẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng. Trong các
cơng trình đã cơng bố, tính ổn định và tính đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu
cho một số mơ hình mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ
bị chặn. Các kết quả đó hầu như khơng áp dụng được cho các mơ hình mạng
nơron với trễ tỉ lệ, một lớp trễ được sử dụng rất phổ biến trong mơ tả động lực
các hệ có cấu trúc mạng [41]. Chẳng hạn, với cấu trúc một mạng nơron có nhiều
tầng (layers), q trình xử lí và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mơ
tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian hiện tại. Về dáng
điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ
8

với khoảng thời gian. Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các
mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn so với các lớp trễ
khác, kể cả lớp trễ không bị chặn ở dạng phân phối.
Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thành
cơng trong nhiều bài tốn thực tiễn và đã được phát triển một cách sâu rộng,
khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định trong khoảng thời
gian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng [2]. Ra đời từ nửa sau của thế kỉ
XX [20], khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng
trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mơ hình điều khiển cơ học [2]. Một
hệ động lực gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng
của điều kiện đầu (chẳng hạn một lân cận của trạng thái cân bằng), mọi quỹ
đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một
khoảng thời gian xác định trước. Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov
(LS), một khái niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vơ
hạn, ổn định hữu hạn (FTS) là khái niệm có tính định lượng. Hơn nữa, LS và
FTS là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể khơng ổn
định theo Lyapunov và ngược lại (xem phản ví dụ trong [16]). Trước bài báo [1]
trong Danh mục công bố của luận án này, chúng tơi chưa tìm thấy một kết quả
nghiên cứu nào đề cập đến tính ổn định hữu hạn của mơ hình mạng nơron với
hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Đây sẽ là chủ đề được chúng tơi nghiên cứu và trình
bày trong Chương 2 của luận án này. Cụ thể hơn, dựa trên bài báo [1] trong
Danh mục cơng trình cơng bố, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của
mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng
sau đây
x′i (t)

= − ai (t)xi (t) +
+

n
X
j=1

n
X

bij (t)fj (xj (t))

j=1

(1)

cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > 0.

Dựa trên một số kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân, chúng tôi
9


thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ (1) trong một khoảng thời
gian hữu hạn cho trước.

2.2. Tính tiêu hao của lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ trong mơ
hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên
Rất nhiều bài tốn trong vật lí và kĩ thuật được mơ tả bởi các hệ phương
trình vi phân hàm có tính tiêu hao [32]. Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân
đó được thể hiện qua sự tồn tại của một compact gọi là tập hấp thụ bị chặn mà
mọi quỹ đạo trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữu
hạn. Các nghiên cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cận
của nghiệm, một trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định tính các

hệ phương trình vi phân và ứng dụng.
Trong Chương 3 của luận án chúng tơi nghiên cứu bài tốn phân tích tính
tiêu hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mơ hình mạng nơron Hopfield
với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây
x′i (t)

= −ai (t)xi (t) +
+

n
X

j=1
n
X
j=1

bij (t)fj (xj (t))

(2)
cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, i ∈ [n].

Để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng (2), chúng
tơi phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để thiết lập
các điều kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suy rộng trong
cả hai trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế của nơron) thỏa
mãn điều kiện chính quy, ai (t) ≥ ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến,

tức là ai (t) > 0 và inf t≥0 ai (t) = 0. Nội dung của chương này được trình bày dựa
trên bài báo [2] trong Danh mục cơng trình cơng bố.

10


2.3. Sự tồn tại và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương của
một mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến
Các mơ hình tốn học đóng vai trị quan trọng trong việc mơ tả động lực
các mơ hình thực tiễn [11,30]. Ví dụ, trong [29], Nicholson sử dụng phương trình
vi phân
N ′ (t) = −αN(t) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) ,

(3)

ở đó α, β , γ là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể loài ve
châu Úc. Mơ hình (3) sau đó thường được gọi là mơ hình Nicholson và được sử
dụng rất phổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và sinh thái học
quần thể.
Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mơ hình Nicholson và các
biến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi [3,4]. Chẳng
hạn, dáng điệm tiệm cận của nghiệm tuần hồn dương của một số mơ hình
Nicholson có trễ đã được nghiên cứu trong [22,25,26] và [17]. Mơ hình Nicholson
với số hạng mô tả yếu tố đánh bắt hay thu hoạch cũng đã được nghiên cứu
trong [10, 23, 27, 35]. Gần đây, trong bài báo [6], các vấn đề về tính ổn định và
tính hút đã được nghiên cứu cho một lớp hệ Nicholson n chiều với hệ số hằng
số và trễ biến thiên.
Hầu hết các kết quả đã công bố đều được nghiên cứu cho mơ hình Nicholson
với tốc độ suy giảm (mortality rate) số lượng cá thể (sau đây gọi tắt là dân số)
tuyến tính. Như chỉ ra trong [3], một mơ hình với tốc độ suy giảm phụ thuộc
tuyến tính vào mật độ thường chỉ đúng đối với các quần thể có mật độ thấp.
Theo các nhà hải dương học, nhiều mơ hình trong thủy sản như khu bảo tồn

biển được mơ tả bằng các phương trình vi phân trễ trong mơ hình Nicholson
với tốc độ suy giảm phụ thuộc phi tuyến vào mật độ [3] dạng
N ′ (t) = −D(N(t)) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) ,

ở đó tỉ lệ tử vong D(N) có một trong các dạng D(N) = a − be−N (type-I) hoặc
11


D(N) =

aN
b+N

(type-II) với a, b là các hằng số dương.

Trong Chương 4 của luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy nhất
và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương đối với mơ hình Nicholson có
trễ
′

N (t) = −D(t, N(t)) +

p
X
k=1

βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t))

(4)

với tốc độ suy giảm dân số phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) =
a(t) − b(t)e−N . Dựa trên một số kĩ thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức

vi-tích phân, trước hết chúng tơi chỉ ra tính bền vững và tính tiêu hao đều của
mơ hình Nicholson (4). Trên cơ sở tính tiêu hao và bền vững đều, chúng tôi
chứng minh sự tồn tại và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương duy

nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4). Áp dụng kết quả tổng qt
cho mơ hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu được một số kết quả về
sự tồn tại, duy nhất và tính hút tồn cục của điểm cân bằng dương của mơ hình
tương ứng. Nội dung chương này được viết dựa trên bài báo [3] trong Danh mục
cơng trình cơng bố.

3. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp các công cụ trong giải tích cổ điển, phương trình
vi phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí so sánh, lý
thuyết ổn định Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàm năng lượng kiểu
Lyapunov. Đặc biệt, trong luận án, chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh
mới để thiết lập các điều kiện thông qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổn
định, tính tiêu hao cũng như các điều kiện cho sự tồn tại của nghiệm tuần hồn
dương đối với các lớp phương trình vi phân được nghiên cứu trong luận án.

4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:
12


1. Thiết lập được các điều kiện thơng qua tính chất phổ của M-ma trận đảm
bảo tính ổn định hữu hạn và tính đồng bộ với tốc độ lũy thừa của mơ hình
mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.

2. Chứng minh được tính tiêu hao tồn cục của lớp hệ phương trình vi phân
mơ tả lớp mạng nơron dạng Hopfiled trong cả hai trường hợp khi các hệ số
phản hồi thỏa mãn điều kiện chính quy và khi các hệ số phản hồi suy biến.
3. Chứng minh sự tồn tại tồn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều của
nghiệm dương đối với một mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy thối phi
tuyến.
4. Đưa ra điều kiện và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn
dương hút toàn cục đối với mơ hình Nicholson nói trên. Một áp dụng với
mơ hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cân
bằng dương hút toàn cục cũng được đưa ra.
Các kết quả trên đây của luận án được cơng bố trong 03 bài báo trên các
tạp chí quốc tế trong danh mục ISI và đã được báo cáo tại:
• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ mơn Giải tích, khoa Tốn-

Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

• Hội nghị khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội.

• Xemina Phịng Tối ưu và Điều khiển, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa

học và Công nghệ Việt Nam.

5. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố và tài liệu
tham khảo, luận án gồm 4 chương.
13

• Chương 1 trình bày một số kết quả liên quan về tính ổn định hữu hạn, tính

tiêu hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ cho
việc trình bày nội dung chính trong các chương sau của luận án.

• Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi

phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ
khơng đồng nhất.

• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu tính tiêu hao tồn cục của lớp

phương trình vi phân trong mơ hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến
thiên và trễ tỉ lệ.

• Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần

hoàn dương của một mơ hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phi
tuyến.

14


Chương 1
SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích
ma trận, phương trình vi phân và lý thuyết ổn định theo Lyapunov. Đồng thời,
chúng tôi cũng trình bày sơ bộ một số kết quả liên quan về tính ổn định trong
thời gian hữu hạn đối với lớp phương trình vi phân hàm tuyến tính làm cơ sở

cho việc trình bày nội dung chính của luận án trong các chương sau.

1.1. M-ma trận
Trong mục này chúng tôi giới thiệu sơ bộ một vài tính chất của M-ma
trận từ cuốn sách [5]. Ma trận A = (aij ) ∈ Rn×n được gọi là một M-ma trận

nếu aij ≤ 0 với mọi i 6= j và các định thức con chính của A dương. Ma trận
B = (bij ) ∈ Rm×n là một ma trận khơng âm, kí hiệu B  0, nếu bij ≥ 0 với mọi
i, j . Tính chất sau được sử dụng trong chứng minh kết quả ở Chương 2.

Mệnh đề 1.1.1. Cho A = (aij ) là một ma trận với aii > 0, i ∈ [n]. Các khẳng

định sau là tương đương:

(i) A là một M-ma trận không suy biến;
(ii) Reλj > 0 với mọi giá trị riêng λj của ma trận A;
(iii) Tồn tại một ma trận B  0 và hằng số s > ρ(B) sao cho A = sIn − B , ở đó
ρ(B) = max{|λj | : λj ∈ λ(B)} là bán kính phổ của ma trận B ;

(iv) Tồn tại một vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, sao cho Aξ ≻ 0;
(v) Tồn tại một vectơ η ∈ Rn , η ≻ 0, sao cho AT η ≻ 0.
15


Mệnh đề 1.1.2. Giả sử A ∈ Rn×n là một M-ma trận khơng suy biến. Khi đó,
tồn tại một vectơ χ ∈ Rn , χ ≻ 0, sao cho kχk∞ = 1 và Aχ ≻ 0.

1.2. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov
Với số thực r ≥ 0 cho trước, kí hiệu C = C([−r, 0], Rn ) là không gian Banach

các hàm liên tục trên đoạn [−r, 0] với chuẩn kφkC = sup−r≤s≤0 kφ(s)k. Xét bài
tốn giá trị ban đầu cho phương trình vi phân hàm sau đây
x′ (t) = f (t, xt ), t ≥ t0 ,

xt0 = φ,

(1.1)

ở đó f : D = [t0 , ∞) × C → Rn và φ ∈ C là hàm ban đầu. Sự tồn tại duy nhất
nghiệm địa phương của bài toán (1.1) được cho trong định lí dưới đây.

Định lí 1.2.1 ([15]). Giả sử f : D → Rn là hàm liên tục, Lipschitz địa phương

theo biến thứ hai trên D. Khi đó, với mỗi φ ∈ C , tồn tại một tφ ∈ (t0 , ∞] sao cho
(i) Tồn tại nghiệm x(t, φ) của (1.1) trên khoảng [t0 , tφ );
(ii) Trên mọi đoạn [t0 , t1 ] ⊂ [t0 , tφ ), nghiệm x(t, φ) là duy nhất;

(iii) [t0 , tφ ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ);
(iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f .
Trong Định lí 1.2.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện kiểu tăng trưởng
tuyến tính
kf (t, φ)k ≤ a(t)kφkC + b(t),

(1.2)

ở đó a(.), b(.) là các hàm liên tục, thì nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục, tức là
tφ = ∞. Tổng quát hơn, nếu hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo
kf (t, φ)k ≤ Φ (t, kφkC ) ,

(t, φ) ∈ D,

(1.3)

ở đó Φ : [t0 , ∞) × R+ → (0, ∞) là hàm liên tục, không giảm theo t và thỏa mãn
Z ∞
0

ds
= ∞,
Φ(t, s)
16

t0 ≤ t < ∞,


thì nghiệm x(t, φ) tồn tại và xác định trên [t0 , ∞).
Giả sử hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ [0, ∞) và

φ ∈ C , bài tốn (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t0 , ∞). Để xét tính ổn

định của một nghiệm x∗ (t) nào đó của hệ (1.1), sử dụng phép biến đổi z = x − x∗

ta đưa đến hệ dạng (1.1) với hàm vế phải là f˜(t, zt ) = f (t, zt + x∗t ) − f (t, x∗t ). Rõ

ràng f˜(t, 0) = 0. Do đó, để đơn giản kí hiệu, chúng tôi giả sử rằng f (t, 0) = 0, tức

là (1.1) có nghiệm x = 0.
Định nghĩa 1.2.1 ([13, 15]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định (theo
nghĩa Lyapunov) nếu với mọi ǫ > 0, t0 ∈ R+ , tồn tại δ(t0 , ǫ) > 0 sao cho kφkC <

δ(t0 , ǫ) kéo theo kx(t, φ)k < ǫ với mọi t ≥ t0 . Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là

ổn định đều nếu số δ nói trên khơng phụ thuộc t0 .

Định nghĩa 1.2.2 ([13]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận
đều nếu x = 0 ổn định đều và tồn tại một số δa > 0 sao cho với mọi η > 0 tồn tại
T = T (δa , η) > 0 sao cho kφkC < δa kéo theo kx(t, φ)k < η với mọi t ≥ t0 + T (δa , η).

Hơn nữa, nếu số δa có thể chọn tùy ý thì nghiệm x = 0 được gọi là ổn định tiệm
cận toàn cục đều.

Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều (GES)
nếu tồn tại các hằng số dương α, β sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏa
mãn đánh giá mũ
kx(t, φ)k ≤ βkφkC e−α(t−t0 ) ,

t ≥ t0 .

(1.4)

Giả sử V : R+ × C → R là hàm liên tục và x(t, φ) là một nghiệm của (1.1)

đi qua (t0 , φ). Đạo hàm của V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác định bởi
h
i
1
V ′ (t, φ) = lim sup
h→0+

h

V (t + h, xt+h (t, φ)) − V (t, φ) ,

ở đó xt (.) là kí hiệu đoạn quỹ đạo {x(t + θ) : θ ∈ [−r, 0]}.

Định lí 1.2.2 (Định lí Lyapunov-Krasovskii [13]). Giả sử f : R × C → Rn biến

mỗi tập R × Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C , thành tập bị chặn trong Rn và
u, v, w : R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = 0 và u(s) > 0,
17


v(s) > 0 khi s > 0. Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V : R × C → R+ thỏa mãn
u(kφ(0)k) ≤ V (t, φ) ≤ v(kφkC ), ∀φ ∈ C,

(1.5)

và đạo hàm của V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa
V ′ (t, φ) ≤ −w(kφ(0)k).

(1.6)

Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định đều. Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì
nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều. Hơn nữa, nếu lims→∞ u(s) = ∞
thì nghiệm x = 0 là ổn định tiệm cận tồn cục đều.

1.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn
1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn
Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX [20], khái niệm ổn định trong thời gian
hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các

mơ hình điều khiển cơ học [2]. Khác với tính ổn định theo Lyapunov, một khái
niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vơ hạn, ổn định hữu
hạn là khái niệm có tính định lượng. Cụ thể hơn, một hệ là ổn định trong thời
gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu, mọi quỹ đạo nghiệm
tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một đoạn thời
gian xác định trước. Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệ phương trình vi phân
thường sau đây
x′ (t) = f (t, x(t)),

x(t0 ) = x0 ,

(1.7)

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ.
Định nghĩa 1.3.1 ([2]). Cho trước một số dương T và các tập X0 , Xt trong Rn ,
hệ (1.7) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (t0 , T, X0 , Xt ) nếu với bất kì x0 ∈ X0 ,

quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t; t0 , x0 ) của (1.7) thỏa mãn
x(t; t0 , x0 ) ∈ Xt ,

∀t ∈ [t0 , t0 + T ].
18


Trong Định nghĩa 1.3.1, để đảm bảo tính đặt chỉnh ta giả thiết X0 ⊂ Xt0 .

Chú ý rằng, nói chung, ta không cần hạn chế X0 ⊂ Xt với t > t0 . Tuy nhiên,

trong nhiều trường hợp, các tập X0 (trạng thái đầu) và Xt (tập quỹ đạo) được
cho dưới dạng các ellipsoid ER (ρ) = {x⊤ Rx < ρ : x ∈ Rn }, ở đó R ∈ Sn+ là một ma

trận đối xứng xác định dương. Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạng sau.
Định nghĩa 1.3.2 ([2]). Cho trước một cận T > 0 (xác định khoảng thời gian),
một ma trận R ∈ Sn+ và các số dương r1 < r2 . Hệ (1.7) được gọi là ổn định hữu

hạn đối với (t0 , T, r1 , r2 , R) nếu với bất kì x0 ∈ ER (r1 ), quỹ đạo nghiệm tương ứng
x(t) = x(t; t0 , x0 ) của (1.7) thỏa mãn x⊤ (t)Rx(t) < r2 với mọi t ∈ [t0 , t0 + T ].

Về ý nghĩa hình học, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn chỉ ra rằng
với các tập trong X0 và tập ngoài Xt cố định, mọi quỹ đạo nghiệm của hệ xuất

phát từ X0 sẽ khơng vượt ra ngồi vùng Xt trên tồn khoảng thời gian [t0 , t0 + T ]
cho trước. Hình 1.1 dưới đây minh họa cho khái niệm ổn định trong thời gian

hữu hạn. Cụ thể, với chuẩn k.k∞ trên Rn , cho trước các hình cầu Br1 , Br2 trong
Rn với bán kính r1 < r2 , bất kì quỹ đạo nghiệm của hệ xuất phát từ Br1 sẽ luôn

chứa trong Br2 trên toàn khoảng thời gian hữu hạn [0, T ] xác định trước từ các
bài toán ứng dụng thực tiễn.

1.3.2. Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với tính ổn
định theo Lyapunov
Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (viết tắt là FTS) và khái niệm
ổn định theo Lyapunov là hai khái niệm độc lập. Cụ thể hơn, một hệ là FTS,
thậm chí với bất kì thời gian T > 0, có thể khơng ổn định theo Lyapunov [2,16].
Ngược lại, tính ổn định, ổn định tiệm cận theo Lyapunov không suy ra tính ổn
định hữu hạn của hệ.
Ví dụ 1.3.1 ([16]). Xét các phương trình vi phân có trễ sau
x′ (t) = −1.2x(t) +

t+2
x(t − 1),
t+1
19

t ≥ 0,

(1.8)


kx(t)k∞ < r2 , t ∈ [0, T ]

r1

kx0 k∞ ≤ r1

r2

Hình 1.1: Ổn định trong khoảng thời gian [0, T ]

và
x′ (t) = −0.8x(t) +

t
x(t − 1),
t+6

t ≥ 0.

(1.9)

Phương trình (1.8) ổn định tiệm cận tồn cục theo Lyapunov. Tuy nhiên
(1.8) không ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ), ở đó r1 = 1, r2 = 1.25 và T = 10.
Ngược lại, (1.9) là ổn định hữu hạn đối với r1 = 1, r2 = 1.5 và T = 10 nhưng
không ổn định tiệm cận. Quỹ đạo nghiệm của (1.8) và (1.9) với điều kiện đầu
φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0], được minh họa trong Hình 1.2 và Hình 1.3.

1.3.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với
trễ hỗn hợp biến thiên
Trong mục này chúng tơi trình bày một kết quả về tính ổn định hữu hạn
của lớp hệ tuyến tính với trễ biến thiên dạng phân phối từ bài báo [16]. Sử dụng
các hàm dạng Lyapunov-Krasovskii, các điều kiện ổn định hữu hạn được thiết
lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
20


1

1.4

0.8
Response x(t)

Response x(t)

1.5

1.3
1.2
1.1

1

0.6
0.4
0.2

0

2

4

6

8

0

10

0

2

4

Time (sec)

6

8

10

60

80

100

Time (sec)

1.5

2.5

Response x(t)

Response x(t)

2

1

0.5

1.5
1
0.5

0

0

20

40

60

80

0

100

0

20

40
Time (sec)

Time (sec)

Hình 1.2: Một quỹ đạo nghiệm của (1.8)

Hình 1.3: Một quỹ đạo nghiệm của (1.9)

Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau đây

Z t
x′ (t) = Ax(t) + Dx(t − τ (t)) + G
x(t) = φ(t),

t−κ(t)

x(s)ds, t ≥ 0,

(1.10)

t ∈ [−h, 0],

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, φ ∈ C([−h, 0], Rn ) là hàm ban đầu, A, D, G ∈

Rn×n là các ma trận thực cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện
0 ≤ τ1 ≤ τ (t) ≤ τ2 ,

τ ′ (t) ≤ µ ≤ 1,

0 ≤ κ1 ≤ κ(t) ≤ κ2 ,

với µ là hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ (t), τ1 , τ2 , κ1 , κ2 là
các cận trên của trễ, h = max{τ2 , κ2 }.
Định nghĩa 1.3.3. Cho trước số các số dương T, r1 , r2 , với r1 < r2 . Hệ (1.10)
được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ) nếu với mọi φ ∈ C([−h, 0], Rn ),

kφkC ≤ r1 , ta có kx(t, φ)k∞ < r2 với mọi t ∈ [0, T ].

Tính ổn định của (1.10) trong thời gian [0, T ] được trình bày trong định lí
dưới đây.

Định lí 1.3.1 ([16]). Với các số dương cho trước T, r1 , r2 , r1 < r2 , hệ (1.10) là
ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ) nếu tồn tại các số dương α, ρi , i = 1, 2, 3, 4, và
các ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau
21


(1.11a)

Π = Π0 + Π1 + Π2 < 0,
ρ1 In ≤ P ≤ ρ2 In ,
ρ2 + τ2 eατ2 ρ3 +
ρ1

Q ≤ ρ3 In ,

eακ2 −1
ρ4
α

<

ở đó
h

R ≤ ρ4 In ,

(1.11b)

e−αT ,

(1.11c)

 2
r2
r1

i

ei = 0n×(i−1)n In 0n×(3−i)n , i = 1, 2, 3,
A = Ae1 + De2 + Ge3 ,

⊤
⊤
Π0 = e⊤
1 P A + A P e1 − αe1 P e1 ,
ατ1 ⊤
Π1 = e⊤
e2 Qe2 ,
1 Qe1 − (1 − µ)e

Π2 = κ2 e⊤
1 Re1 −

1 ⊤
e Re3 .
κ2 3

Chi tiết chứng minh của định lí này đã được trình bày trong [16]. Chúng
tơi xin khơng nhắc lại ở đây.

1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ
Rất nhiều bài tốn trong vật lí và kĩ thuật được mơ tả bởi các hệ phương
trình vi phân hàm có tính tiêu hao [32]. Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân
đó được thể hiện qua sự tồn tại của một tập hấp thụ bị chặn mà mọi quỹ đạo
trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữu hạn. Các nghiên
cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, một
trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình
vi phân và ứng dụng. Trong mục này, chúng tơi trình bày một số kết quả về tính
tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ bổ trợ cho việc trình bày
kết quả chính trong Chương 3 của luận án.
Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây
x′ (t) = F (t, x(t), x(t − τ1 (t)), . . . , x(t − τm (t))),
x(t) = φ(t),

t ∈ [−τ, 0],
22

t ∈ [0, ∞),

(1.12)


ở đó τk (.) là các hàm trễ liên tục thỏa mãn 0 ≤ τk (t) ≤ τ với mọi t ≥ 0, k ∈ [m],

với τ > 0 là một hằng số. Hàm F : [0, ∞) × Rn × (C([−τ, ∞), Rn ))m → Rn liên tục
và thỏa mãn điều kiện [19, 36]

2

2hu, F (t, u, ψ1(.), . . . , ψm (.))i ≤ γ(t) + α(t)kuk +

m
X
k=1

βk (t)kψk (t − τk (t))k2 (1.13)

với mọi t ∈ [0, ∞), u ∈ Rn và ψk (.) ∈ C([−τ, ∞), Rn ), ở đó h., .i là tích vơ hướng
P
trên Rn , ha, bi = a⊤ b = ni=1 ai bi với a = (ai ) ∈ Rn và b = (bi ) ∈ Rn . Giả thiết
thêm rằng hàm F thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn ), bài
tốn (1.12) có nghiệm duy nhất x(t, φ) trên [−τ, ∞).

Định nghĩa 1.4.1 ([36]). Hệ (1.12) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại
một tập bị chặn B ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn , tồn tại t∗ = t∗ (B)

có tính chất với mọi hàm ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn ) mà φ(t) ∈ B với mọi
t ∈ [−τ, 0] thì nghiệm x(t, φ) ∈ B với mọi t ≥ t∗ (B). Tập B như vậy được gọi là

một tập hấp thụ của (1.12).

1.4.1. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên
Để chứng minh sự tồn tại của tập hấp thụ đối với các hệ phương trình vi
phân có trễ dạng (1.12), một cách tiếp cận rất phổ biến là sử dụng bất đẳng
thức Halanay và một số cải biên của nó [19, 36]. Trước hết, theo Mệnh đề 3.1
trong [36], nếu hàm F (.) ở (1.12) thỏa mãn điều kiện (1.13) thì γ(t) ≥ 0 và
βk (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, ∞). Bây giờ, cho x(t) là một nghiệm bất kì của (1.12).

Trong một số áp dụng, x(t) có thể mở rộng trên (−∞, ∞) bằng cách thác triển

hàm ban đầu x(t) = φ(−τ ) với t ∈ (−∞, −τ ]. Đặt u(t) = kx(t)k2 = hx(t), x(t)i. Từ
(1.12)-(1.13), ta có

u′ (t) = 2hx(t), F (t, x(t), x(t − τ1 (t)), . . . , x(t − τm (t)))i
2

≤ γ(t) + α(t)kx(t)k +
≤ γ(t) + α(t)u(t) +

m
X
k=1

m
X
k=1

23

βk (t)kx(t − τk (t))k2

βk (t)

sup
t−τk (t)≤s≤t

u(s).

(1.14)