Tài liệu môn Tấm và Vỏ Chương 7 hiệu ưng biên của vỏ trụ tròn trong trạng thái màng

Chương 7
HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN
TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
Khi vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, ở vùng xa biên vỏ trạng thái biến
dạng, nội lực là trạng thái màng (phi mô men). Hiệu ứng biên trong trạng thái
màng là hiệu ứng xuất hiện biến dạng uốn, có đặc trưng cục bộ với vùng xuất
hiện biến dạng uốn tắt nhanh trong khoảng cách nhỏ từ nguồn gây ra hiệu ứng
biên như: tại liên kết ngàm, liên kết 02 vỏ có độ cứng khác nhau,…
Trong chương này, xét hiệu ứng biên trong trạng thái màng của vỏ trụ tròn
dưới tác dụng của tải trọng pháp tuyến đối xứng trục và sự thay đổi nhiệt độ
trong một số trường hợp thường gặp trong thực tế tính toán, thiết kế [21].
7.1. HIỆU ỨNG BIÊN CỦA VỎ TRỤ TRÒN TRONG TRẠNG THÁI MÀNG
7.1.1. Các phương trình cơ bản
Khảo sát vỏ trụ tròn có đường
kính
d
chịu tải trọng pháp tuyến đối
xứng trục là áp lực pháp tuyến
( )
p x
,
tại đầu vỏ liên kết ngàm, hình 7-1.
Ở vùng xa biên ngàm, vỏ biến
dạng tự do và sau biến dạng có đường
kính
d d+ ∆
, đường sinh là đường thẳng và vỏ ở trong trạng thái màng.
Tại vị trí biên ngàm, xuất hiện biến dạng uốn. Trong mục này sẽ xác định
các thành phần nội lực do biến dạng uốn gây ra.
Xét vỏ trụ tròn bán kính
r

, chiều dày
δ
với tọa độ cong của đường kinh
tuyến (đường sinh)
xα =
và tọa độ cong của đường vĩ tuyến
β = ϕ
. Do vỏ chịu
tải trọng đối xứng trục nên nội lực: lực trượt
0S =
, lực cắt theo phương vòng
2
0Q Q
ϕ
= =
, mô men xoắn
0H =
. Các thành phần nội lực khác không là: theo
phương dọc trục vỏ mô men uốn
1 x
M M=
, lực cắt
1 x
Q Q=
và theo phương vòng
2
N N const
ϕ
= =
,

2
M M const
ϕ
= =
, hình 7-2.
Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 7-2, lấy tổng hình chiếu của các lực lên
phương pháp tuyến, với hình chiếu của lực dọc
N
ϕ
lên phương pháp tuyến được
biểu diễn trên hình 7-2:
( )
. 0
x x x
Q rd Q dQ rd N dxd prd dx
ϕ
ϕ− + ϕ− ϕ+ ϕ =

119
Hình 7-1.
Sau khi biến đổi, nhận được:
( )
x
N
dQ
p x
dx r
ϕ
+ =
(7.1)

và liên hệ vi phân:
x
x
dM
Q
dx
=
(7.2)
Từ (7.1) và (7.2), có 3 nội lực chưa biết
là:
N
ϕ
,
x
Q
và
x
M
nên cần bổ sung một
phương trình bằng điều kiện biến dạng.
Nghiệm của bài toán nhận được
đơn giản hơn khi đưa vào biến mới là
chuyển vị theo phương pháp tuyến
w
.
Khi đó, không cần thiết lập thêm điều kiện biến dạng vì từ chuyển vị
w
có thể
biểu diễn các thành phần
x

M
,
x
dQ
dx
,
N
ϕ
trong các phương trình (7.1) và (7.2) như
đối với dầm có chiều rộng
1rdϕ =
, hình 7-3, với độ
cứng:
( )
3
2
12 1
E
K EJ
δ
= =
−µ
(7.3a)
Với dầm, có các liên hệ vi phân:
( )
4
4
d w
K p x
dx

= −
(7.3b)
3
3
x
d w
K Q
dx
=
(7.3c)

2
2
x
d w
K M
dx
=
(7.3d)
suy ra, thành phần thứ nhất của (7.1) có dạng:
4
4
x
dQ
d w
K
dx dx
=
(7.4)
Thành phần thứ hai chứa

N
ϕ
của (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp
tuyến
w
như sau: do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục nên biến dạng theo
phương vòng
ϕ
ε
, hình 7-4, được xác định bằng công thức:
( )
2 2
2
r w r
s w
s r r
ϕ
π + − π
∆
ε = = =
π
(7.5)
120
Hình 7-2.
Hình 7-3.
Hình 7-4.
với
s
và
s∆

là chu vi và gia số chu vi vỏ trụ tròn trước và sau biến dạng.
Xét trường hợp lực dọc theo phương dọc trục
0
x
N =
. Theo lý thuyết đàn
hồi:
N
E E
ϕ ϕ
ϕ
σ
ε = =
δ
, thay
ϕ
ε
từ (7.5) vào nhận được:
w
N E E
r
ϕ ϕ
= δε = δ
(7.6)
thay (7.4), (7.6) vào (7.1), sau khi biến đổi:
( )
2
IV
E
Kw w p x

r
δ
+ =
(1)
chia cho
K
và đặt:
( )
2
4
2 2 2
12 1
4
E
Kr r
−µ
δ
β = =
δ
(7.7a)
với vật liệu thép
0,3µ =
nên
1,28
r
β =
δ
(7.7b)
chú ý đến (7.7a) thì phương trình (1) có dạng:
( )

4
4
IV
p x
w w
K
+ β =
(7.8)
Phương trình (7.8) có dạng của phương trình vi phân dầm chịu uốn trên nền
đàn hồi.
7.1.2. Các phương trình cơ bản có xét lực dọc và nhiệt độ
Xét trường hợp vỏ trụ tròn, ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp tuyến
như đã xét trong mục 7.1.1, vỏ còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và sự
thay đổi nhiệt độ.
Giới hạn xét trường hợp nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo chiều dày vỏ,
hình 7-5. Nhiệt độ tại mặt trung bình:
0 0
0
1 2
2
s
t t
t
+
=
(7.9)
Gia số nhiệt độ
0
t∆
giữa mặt trong có nhiệt độ

0
1
t
và nhiệt độ mặt ngoài
0
2
t
của vỏ là:
0 0 0
1 2
t t t∆ = −
(7.10)
Nhiệt độ tại điểm cách mặt trung bình
khoảng cách
z
theo phương pháp tuyến:
0 0 0
Z
s
z
t t t= + ∆
δ
(7.11)
121
δ
o
S
t
o
1

t
o
2
t
z
Hình 7-5.
Tương tự như khi xét vỏ chịu tải trọng pháp tuyến, lực dọc
N
ϕ
và
x
dQ
dx
trong (7.1) được biểu diễn qua chuyển vị pháp tuyến
w
. Từ (7.5), khi kể đến sự
thay đổi nhiệt độ:
0
t s
w
t
r
ϕ
α + ε =
(
t
α
là hệ số dãn nở nhiệt) (7.12)
Từ lý thuyết đàn hồi:
( )

1
x
N N
E
ϕ ϕ
ε = −µ
δ
và chú ý đến (7.12), rút ra:
0
t s x
w
N E t N
r
ϕ
 
= δ − α + µ
 ÷
 
(7.13)
Biểu diễn thành phần thứ nhất
x
dQ
dx
của (7.1) qua chuyển vị
w
theo lý
thuyết dầm, với
ρ
là độ cong của dầm:
2

2
1 d w M
dx K
= =
ρ
(7.14)
Mô men
M
ở vế phải của (7.14) bằng tổng:
x t
M M M= +
(7.15)
với
x
M
là mô men gây ra do tải trọng, còn
t
M
là mô men gây ra do sự thay đổi
nhiệt độ.
Sự chênh lệch nhiệt độ
0
t∆
gây ra biến dạng:
0
. .
x t
z
t
ϕ

ε = ε = α ∆
δ
(7.16)
Từ lý thuyết đàn hồi, ứng suất do sự thay đổi nhiệt độ:
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
2 2
1
1
1 1
t t
xt x
Ez t Ez t
E
ϕ
α ∆ α ∆
σ = ε + µε = +µ =
δ −µ
−µ δ − µ
(7.17)
Mô men uốn do nhiệt độ gây ra:
( )
/2
0
/2
1

t xt t
t
M zdz K
δ
−δ
∆
= σ = +µ α
δ
∫
(7.18)
Chú ý đến (7.15) và thay (7.18) vào (7.14):
( )
2 0
2
1
x t
d w t
K M K
dx
∆
= + +µ α
δ
, rút ra:
( )
2 0
2
1
x t
d w t
M K

dx
 
∆
= − +µ α
 
δ
 
(7.19)
Lực cắt
x
Q
xác định bằng công thức:
122
( )
( )
0
3
3
1
t
x
x
d t
dM
d w
Q K
dx dx dx
 
∆
+ µ α

 
= = −
δ
 
 
(7.20)
( )
( )
2 0
4
4 2
1
t
x
d t
dQ
d w
K
dx dx dx
 
∆
+ µ α
 
= −
δ
 
 
(7.21)
Thay (7.21), (7.13) vào (7.1) nhận được phương trình vi phân cân bằng của
vỏ trụ tròn chịu lực dọc trục, tải trọng pháp tuyến

p
và sự thay đổi nhiệt độ:
( )
2 0
0
4
4
4 2
1
4
x t s
t
d t
N E t
d w p p
w
dx K Kr Kr dx K
+
∆
δα
+µ
+ β = −µ − + α =
δ
(7.22)
Phương trình này có dạng như (7.8) chỉ khác thay
p
bằng
p
+
:

( )
( )
2 0
0
2
1
t
x t s
d t
K
N E t
p p
r r dx
+
∆
+µ α
µ δα
= − + +
δ
(7.23)
Giải phương trình (7.8) hoặc (7.22) xác định được chuyển vị pháp tuyến
w
.
Từ chuyển vị pháp tuyến
w
xác định được lực cắt
x
Q
theo (7.3c), mô men uốn
x

M
theo (7.3d), lực dọc
N
ϕ
theo (7.6) còn mô men uốn theo phương vòng
M
ϕ
được xác định tương tự như (7.19) theo công thức:
( )
2 0
2
1
t
d w t
M K
dx
ϕ
 
∆
= µ − +µ α
 
δ
 
(7.24)
7.1.3. Nghiệm phương trình thuần nhất
Phương trình vi phân cân bằng của vỏ trụ tròn chịu tải trọng pháp tuyến đối
xứng trục có dạng (7.8), trong trường hợp ngoài chịu tác dụng của tải trọng pháp
tuyến còn chịu tác dụng của tải trọng dọc trục và thay đổi nhiệt độ thì có dạng
(7.22). Có thể biểu diễn phương trình cân bằng (7.8), (7.22) dưới dạng chung:
4

4
4
4
d w p
w
dx K
+
+ β =
(7.25)
Nghiệm tổng quát của (7.25) là tổng của nghiệm tổng quát phương trình vi
phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất.
Nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng, [21]:
* * * *
1 2 3 4
. . . .w A Y B Y C Y D Y= + + +
(7.26)
trong đó:
*
A
,
*
B
,
*
C
,
*
D
là các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên.
123

1
.Y cos x ch x= β β
( )
2
1
. .
2
Y ch x sin x sh x cos x= β β + β β
3
1
.
2
Y sin x sh x= β β
( )
4
1
. .
4
Y ch x sin x sh x cos x= β β − β β
(7.27)
Các hàm này có tính chất:
( )
4
3
dY
Y
d x
=
β
;

( )
3
2
dY
Y
d x
=
β
;
( )
2
1
dY
Y
d x
=
β
;
( )
1
4
4
dY
Y
d x
= −
β
(7.28a)
( )
1

0 1Y =
;
( ) ( ) ( )
2 3 4
0 0 0 0;Y Y Y= = =
(7.28b)
nên từ (7.26):
( )
* * * *
4 1 2 3
.4 . . .
dw
A Y B Y C Y D Y
d x
= − + + +
β
(7.29a)
( )
2
* * * *
3 4 1 2
2
.4 .4 . .
d w
A Y B Y C Y D Y
d x
= − − + +
β
(7.29b)
Chú ý đến (7.26), (7.28), (7.29) các hằng số tích phân được xác định tại

0x
=
qua các thông số ban đầu:
( )
*
0A w=

( )
( )
*
0dw
B
d x
=
β

( )
( )
2
*
2
0d w
C
d x
=
β

( )
( )
3

*
3
0d w
D
d x
=
β
(7.30)
7.1.4. Tính vỏ trụ tròn ngắn - Phương pháp thông số ban đầu
Xét vỏ trụ tròn chịu tải trọng
p
+
, hình 7-6,
nghiệm của (7.25) là tổng nghiệm của phương trình
vi phân thuần nhất và nghiệm riêng của phương
trình vi phân không thuần nhất có dạng (7.31):
( )
* * * *
1 2 3 4
4
. . . .
4
p
w x A Y B Y C Y D Y
K
+
β = + + + +
β
( )
( )

' * * * *
4 1 2 3
4 . . . .w x A Y B Y C Y D Yβ = β − + + +
( )
( )
( )
2 0
2 * * * *
3 4 1 2
2
4 . 4 . . . 1
x t
d w t
M x K K A Y B Y C Y D Y K
dx
∆
β = = β − − + + − −µ α
δ

( )
( )
3
3 * * * *
2 3 4 1
3
4 . 4 . 4 . .
x
dM d w
Q x K K A Y B Y C Y D Y
dx dx

β = = = β − − − +
(7.31a
÷
d)
Trong (7.31a) đã giả thiết
( )
p x const
+
=
và
4
β
xác định theo (7.7a), nên:
2
4
2
4
p p p r
E
K E
K
Kr
+ + +
= =
δ
β δ
(7.32)
124
Hình 7-6.
Các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại

0x =
, hình 7-6,
với các thông số ban đầu:
( )
0
0w w=
( )
0
' 0 'w w=
( )
" 0
0 0
1
t
M K w t
+µ α 
= − ∆
 
δ
 

'''
0 0
.Q K w=
trong đó
0
M
,
0
Q

xác định từ (7.19) và (7.20). Thay các thông số ban đầu vào (7.31)
và với giá trị các hàm
1
Y
,
2
Y
,
3
Y
,
4
Y
tại
0x =
, nhận được các hằng số tích phân:

*
0
4
4
p
w A
K
+
= +
β
rút ra:
2
*

0
0 0
4
4
p
p r
A w w
K E
+
+
 
= − = −
 ÷
β δ
 

' *
0
.w B= β
rút ra:
* '
0
1
B w=
β
( )
2 * 0
0
1
t

M K C t
+µ α 
= β − ∆
 
δ
 
rút ra:
( )
* 0
0
2
1
1
t
K
C M t
K
+µ α 
= + ∆
 ÷
β δ
 
3 *
0
Q K D= β
rút ra:
*
0
3
1

D Q
K
=
β
Thay các hằng số tích phân vào (7.31), nhận được phương trình chuyển vị,
nội lực của vỏ ngắn theo (7.33):
( )
( )
( )
2
' 0
0 1 0 2 0 3 0 4 1
2 3
1
1 1 1
1
t
K
p r
w x w Y w Y M t Y Q Y Y
K K E
+
+µ α 
β = + + + ∆ + + −
 
β β δ β δ
 

( )
( )

' ' 0
0 4 0 1 0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
4
t
K
p
w x w Y w Y M t Y Q Y Y
K K K
+
+µ α 
β = − β + + + ∆ + +
 
β δ β β
 
( )
( )
( )
0
2 ' 0
0 3 0 4 0 1 0 2 3
2
1
1
4 4 1
t
x t
K

p t
M x K w Y K w Y M t Y Q Y Y K
+
+µ α 
∆
β = − β − β + + ∆ + + − +µ α
 
δ β β δ
 
( )
( )
3 2 ' 0
0 2 0 3 0 4 0 1 2
1
4 4 4
t
x
K
p
Q x K w Y K w Y M t Y Q Y Y
+
+µ α 
β = − β − β − β + ∆ + +
 
δ β
 
(7.33a
÷
d)
Phương trình (7.33) biểu diễn phương trình chuyển

vị và nội lực theo phương pháp thông số ban đầu nên có
thể áp dụng tính cho vỏ có điều kiện biên bất kỳ. Dưới đây
áp dụng (7.33) tính cho vỏ trụ tròn ngắn trong các trường
hợp:
125
Hình 7-7.
1. Trường hợp 1: Xét vỏ có 02 đầu liên kết ngàm chịu tải trọng pháp tuyến
p
+
phân bố đều theo chiều dài vỏ, hình 7-7. Biên trái là ngàm nên:
( )
0 0w =

( )
'
0 0w =
(1)
Thông số ban đầu
0
M
,
0
Q
được xác định từ điều kiện biên phải tại
x l
=
:
( )
0w l =

( )
'
0w l =
(2)
Sử dụng (7.33) với điều kiện biên (1):
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
0
0 3 0 4 1
2 3
1
1 1
1
t
K
p r
w x M t Y x Q Y x Y x
K K E
+
+µ α 
β = + ∆ β + β + − β
 
β δ β δ
 
( )
( )
( ) ( ) ( )

' 0
0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
t
K
p
w x M t Y x Q Y x Y x
K K K
+
+µ α 
β = + ∆ β + β + β
 
β δ β β
 
Sử dụng điều kiện biên (2) tại
x l=
:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
0
0 3 0 4 1
2 3
1
1 1
1
t

K
p r
M t Y l Q Y l Y l
K K E
+
+µ α 
+ ∆ β + β = − − β
 
β δ β δ
 
( )
( ) ( ) ( )
0
0 2 0 3 4
2 3
1
1 1
t
K
p
M t Y l Q Y l Y l
K K K
+
+µ α 
+ ∆ β + β = − β
 
β δ β β
 
Sau khi biến đổi và chú ý đến (7.32):
( )

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
4 3 1
0
0
2 2 2
3 2 4
4 1
1
4 4
t
M
Y l Y l Y l
K
p p
M t Y l
Y l Y l Y l
+ +
β − β − β
+ µ α
+ ∆ = = β
δ β β − β β β
(3)
( )
( ) ( ) ( )
2 4
0

3
.
4
M
Y l Y l Y l
p
Q
Y l
+
 
β β β
= − +
 ÷
β β β
 
(4)
Thay các thông số ban đầu
0
M
,
0
Q
vào (7.33) nhận được phương trình
chuyển vị và nội lực theo chiều dài vỏ, ví dụ với mô men uốn và lực cắt:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 4 2
1 3

2 2
3
.
4 4
M
x M
Y l Y l Y l Y x
p p p
M x Y l Y x Y x
Y l
+ + +
 
β β β β
β = β β − + + β
 ÷
β β β β β β
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 4
4 1 2
3
.
.
4
M
x M
Y l Y l Y l

p p p
Q x Y l Y x Y x Y x
Y l
+ + +
 
β β β
β = − β β − + β + β
 ÷
β β β β β
 
(7.34a,b)
Xét quan hệ giữa chiều dài vỏ và mô men uốn
0
M
qua
( )
M
Y lβ
theo (3),
[21], khi chiều dài vỏ:
4lβ ≥
thì giá trị mô men uốn tại ngàm không thay đổi và
giá trị
( )
2
M
Y lβ =
, nghĩa là nếu
4
l ≥

β
thì mô men uốn tại ngàm không phụ thuộc
126
chiều dài vỏ và có giá trị:
,
2
2
x max
p
M
+
=
β
(5)
Từ (7.34a), mô men uốn
( )
M x
tăng từ vị trí ngàm với
( ) ( )
2
0
4
M
p
M Y l
+
= β
β

đến giá trị max (phụ thuộc chiều dài vỏ

lβ
) sau đó tắt dần, khi ở khoảng cách
2xβ ≥
thì giá trị mô men không đáng kể.
Chú ý đến (7.7b) và
4 4
3,12
1,28
r
l r
δ
= = = δ
β
nên khi chiều dài vỏ
3,12l r> δ
có thể xem là vỏ trụ dài và mô men uốn đạt giá trị lớn nhất tại ngàm:
,
2 2
0,306
2 2.1, 28
x max
p p r
M p r
+ +
+
δ
= = = δ
β
, ứng suất tương ứng:
,max

2
6
1,84
x
M
p r
+
σ = =
δ δ
.
Ứng suất lớn nhất trong vỏ ở vị trí ngàm và giảm dần theo khoảng cách từ
vị trí liên kết ngàm, với khoảng cách:
2
1,56x r≥ = δ
β
ứng suất do uốn không
đáng kể, có thể tính như trạng thái màng.
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn, hai đầu tựa khớp
chịu tải trọng phân bố trên một đơn vị chiều dài theo
chu vi có cường độ
F
, hình 7-8.
Điều kiện biên có dạng:
- tại
0x =
:
( ) ( )
0 0 0w M= =
- tại
x l

=
:
( ) ( )
0w l M l= =
Áp dụng phương pháp thông số ban đầu theo (7.33):

( ) ( ) ( ) ( )
'
0 2 0 4 4
3 3
1 1 1
| / 2 |
I II
w x w Y x Q Y x FY x l
K K
β = β + β − β −β
β β β
(6)
( ) ( ) ( ) ( )
' '
0 1 0 3 3
2 2
1 1
| / 2 |
I II
w x w Y x Q Y x FY x l
K K
β = β + β − β −β
β β
(7)

( ) ( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 | / 2 |
x I II
M x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
β β
(8)
( ) ( ) ( ) ( )
2 '
0 3 0 1 1
4 | / 2 |
x I II
Q x K w Y x Q Y x FY x lβ = − β β + β − β −β
(9)
Trong các công thức trên, ký hiệu
|
I
là vùng khảo sát với
x
có giá trị từ 0
đến
2
l
và ký hiệu
|
II
là vùng khảo sát với
x

có giá trị từ
2
l
đến
l
, hình 7-8. Các
phương trình (6)
÷
(9) chứa 02 thông số ban đầu chưa biết là
'
0
w
và
0
Q
, được xác
127
Hình 7-8.
định từ điều kiện biên tại
x l
=
:
( )
0w l =
và
( )
0M l =
. Từ phương trình (7) và
(9):
( ) ( ) ( )

'
0 2 0 4 4
3 3
1 1 1
/ 2w Y l Q Y l FY l
K K
β + β = β
β β β
( ) ( ) ( )
'
0 4 0 2 2
1 1
4 / 2K w Y l Q Y l FY l− β β + β = β
β β

rút ra:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 2
'
0
2 2 2
4 2
/ 2 / 2
4
Y l Y l Y l Y l
F
w
K Y l Y l
β β − β β

= −
β β + β
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4 2 2
0
2 2
4 2
4 / 2 / 2
4
Y l Y l Y l Y l
Q F
Y l Y l
β β + β β
=
β + β
Thay các thông số ban đầu này vào các phương trình (6)
÷
(9) nhận được
phương trình chuyển vị và nội lực tại điểm khảo sát
x
.
Mô men uốn có giá trị lớn nhất tại vị trí vành tăng cường,
2
l
x =
:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )

( ) ( )
2 2
4 4 2 2 2 4
2 2
4 2
8 / 2 / 2 / 2 4 / 2
/ 2
4
x F
Y l Y l Y l Y l Y l Y l
F F
M l Y
Y l Y l
β β β + β β − β
= =
β β + β β
Hàm
F
Y
phụ thuộc biến
l
β
, khi
4lβ >
giá trị
F
Y
không đổi và có giá trị
bằng 0,25. Khi chiều dài vỏ
3l r> δ

mô men uốn không phụ thuộc vào chiều dài
vỏ và có giá trị:
4
x
F
M =
β
và tắt rất nhanh về hai phía.
7.1.5. Tính vỏ trụ tròn dài
Ở mục trên đã chỉ ra rằng, khi chịu tải trọng đối xứng trục, nội lực trong vỏ
không phụ thuộc chiều dài vỏ khi
3l r> δ
và hiệu ứng uốn chỉ xuất hiện trong
vùng tương đối hẹp với chiều rộng khoảng
1,56 rδ
, ngoài vùng này ứng suất do
uốn tắt nhanh và là ứng suất màng. Ví dụ vỏ có bán kính
1.000r mm=
, chiều dày
vỏ
10mmδ =
thì giới hạn giữa vỏ dài và vỏ ngắn là
3 300l r mm= δ =
. Như vậy,
vỏ thường gặp trong thực tế có thể xét như vỏ trụ dài.
Khi tính vỏ trụ dài cũng xuất phát từ phương trình (7.25) với nghiệm tổng
quát của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
( ) ( ) ( )
1 2 3 4
x x

w x e C sin x C cos x e C sin x C cos x
−β β
β = β + β + β + β
Ở khoảng cách lớn, chuyển vị
w
và góc xoay
'
w
tắt dần, bằng không nên
hằng số tích phân
3
C
,
4
C
bằng không. Do đó, nghiệm
w
có dạng:
128
( ) ( )
1 2
x
w x e C sin x C cos x
−β
β = β + β
(7.35)
Hai hằng số tích phân được xác định từ điều kiện
biên tại
0x
=

, hình 7-9.
Nghiệm tổng quát của (7.25) là tổng nghiệm
tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất và
nghiệm riêng của phương trình vi phân không
thuần nhất, trong đó nghiệm riêng theo (7.31a) có
chú ý đến (7.32), có dạng:
( ) ( )
2
1 2
x
p r
w x e C sin x C cos x
E
+
−β
β = β + β +
δ
(7.36)
với
p
+
xác định theo (7.23).
Giả sử tải trọng
p
+
là hằng số hoặc là hàm bậc nhất theo
x
, từ (7.36):
( ) ( )
2

1 2 1 2
x
dw dp r
e C C cos x C C sin x
dx dx E
+
−β
= β − β − + β + 
 
δ
(7.37a)
( )
2
2
2 1
2
2
x
d w
e C sin x C cos x
dx
−β
= β β − β
(7.37b)
( ) ( )
3
3
1 2 1 2
3
2

x
d w
e C C sin x C C cos x
dx
−β
= β − β + + β 
 
(7.37c)
tại
0x
=
theo (7.19), (7.20):
( )
( )
2
0
0
2
0
1
t
d w
t
M K
dx
 
∆
= − + µ α
 
δ

 
(7.38a)
( ) ( )
( )
0
3
0
3
0 1
t
d t
d w
Q K
dx dx
 
∆
+µ α
 
= −
δ
 
 
(7.38b)
Chú ý đến (7.37), sau khi biến đổi, các hằng số tích phân xác định bằng
công thức:
( )
0
0
1
2 2

1
2 2
t
t
M
C
K
+µ α ∆
= − −
β β δ
(7.39a)
( )
( )
0
0
0 0
2
3 2 2
1
2 2 2
t
d t
Q M
C t
K K dx
 
∆
+ µ α
 
= + + ∆ −

β β β δ β
 
 
(7.39b)
thay (7.39) vào (7.36):
( ) ( )
( )
0
0
2 2
1
2 2
t
x
t
M
w x e cos x sin x
K
−β
 
+ µ α ∆
β = β − β + +
 
β β δ
 

129
Hình 7-9.

( )

( )
0
2
0
3 3
1
2 2
t
x
d t
Q
p r
e cos x
K dx E
+
−β
 
∆
α +µ
 
+ β − +
β β δ δ
 
 
(7.40)
Ký hiệu:
( ) ( )
x
x e cos x sin x
−β

ϕ β = β + β

( ) ( )
x
x e cos x sin x
−β
ψ β = β − β
(7.41a,b)
( )
x
x e cos x
−β
ϑ β = β

( )
x
x e sin x
−β
ξ β = β
(7.41c,d)
Các đạo hàm của chúng:
( )
2
d
x
dx
ϕ
= − βξ β
( )
2

d
x
dx
ψ
= − βϑ β
(7.41e,f)
( )
d
x
dx
ϑ
= −βϕ β
( )
d
x
dx
ξ
= βψ β
(7.41g,h)
thì từ (7.40) nhận được phương trình chuyển vị, nội lực:
( )
( )
( )
0
0
2
1
1
2
t

K
w x M t x
K
+µ α 
β = + ∆ ψ β +
 
β δ
 

( )
( )
( )
0
2
0
3
1
1
2
t
d t
K
p r
Q x
K dx E
+
 
∆
+ µ α
 

+ − ϑ β +
β δ δ
 
 
( )
( )
( ) ( )
2
' 0
0
0
2
1
1
2
t
K
Q
r dp
w x M t x x
K K E dx
+
+µ α 
β = − + ∆ ϑ β − ϕ β +
 
β δ β δ
 
( ) ( )
( )
( ) ( )

0
0
0
1
1
t
x
K
Q
M x M x t x x
+ µ α
β = ϕ β + ∆ ϕ β − + ξ β 
 
δ β

( ) ( )
( )
( )
0
0 0
1
2
t
x
K
Q x Q x M t x
+µ α 
β = ψ β − β + ∆ ξ β
 
δ

 
(7.42a
÷
d)
Từ đạo hàm bậc hai của phương trình (7.42a),
( )
( ) ( )
" 0
0
0
1
1
t
K
Q
w M t x x
K K
+µ α 
= + ∆ ϕ β + ξ β
 
δ β
 
(7.43)
theo (7.24), mô men uốn theo phương vòng:
( ) ( )
0
"
1
t
t

M x K w
ϕ
 
∆
β = µ − +µ α
 
δ
 
(7.44)
Thay
w
từ phương trình (7.42a) vào (7.13), lực màng theo phương vòng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
2
0
0
0
1 1
2
t t
t s x
d t
K t K

Q
N x r M x x
dx
p r E t N
ϕ
+
 
 
∆
 
+µ α ∆ + µ α
 
 
β = β + ψ β + − ϑ β +
 
 
δ β βδ
 
 
 
 
 
+ − δα +µ
130
trong đó
p
+
xác định theo (7.23). (7.45)
Dưới đây sử dụng (7.42)
÷

(7.45) xét cho 02 trường hợp:
1. Trường hợp 1: Vỏ trụ tròn dài, ngàm tại đầu trái, chịu tải trọng
p
+
không đổi
theo chiều dài, hình 7-9. Tại
0x =
vỏ liên kết ngàm nên
( ) ( )
'
0 0 0w w= =
, còn 02
thông số ban đầu chưa biết là mô men uốn
0
M
và lực cắt
0
Q
.
Sử dụng 02 phương trình đầu của (7.42) tại
0x =
với chú ý
( ) ( ) ( )
0 0 0 1ψ = ϑ = ϕ =
, nhận được 02 phương trình xác định 02 thông số ban đầu
chưa biết là mô men uốn
0
M
và lực cắt
0

Q
:
( )
2
0
0
0
2 2
1
1
0
2 2
t
K
Q
p r
M t
K K E
+
+µ α 
+ ∆ + + =
 
β δ β δ
 
( )
0
0
0
2
1

1
0
2
t
K
Q
M t
K K
+µ α 
− + ∆ − =
 
β δ β
 
Giải hệ phương trình, chú ý đến (7.32):
0
p
Q
+
= −
β
( )
0
0
2
1
2
t
K
p
M t

+
+ µ α
= − ∆
β δ
(7.46)
Thay (7.46) vào (7.42) và (7.44), (7.45) nhận được:
( ) ( )
2
1
p r
w x x
E
+
β = −ϕ β 
 
δ
(7.47a)
( ) ( )
2
'
p r
w x x
E
+
β = βξ β
δ
(7.47b)
( ) ( )
( )
0

2
1
2
t
x
K
p
M x x t
+
+µ α
β = ψ β − ∆
β δ
(7.47c)
( ) ( )
x
p
Q x x
+
β = − ϑ β
β
(7.47d)
( ) ( )
( )
0
2
1
2
t
K
p

M x x t
+
ϕ
+µ α
β = µ ψ β − ∆
β δ
(7.47e)
( ) ( )
0
1
2
t s
pr
N x p r x E t
+
ϕ
β = − ϕ β − δα +µ 
 
(7.47f)
p
+
xác định theo (7.23).
Các biểu thức (3), (4) của vỏ ngắn (mục 7.1.4)
khi
3lβ ≥
với
( )
2
M
Y lβ =

và
( )
4
T
Y lβ = −
thì có dạng
như vỏ dài theo (7.47).
131
Hình 7-10.
2. Trường hợp 2: Xét vỏ trụ tròn dài chịu tải trọng phân bố
F
theo chu vi vỏ
như đã xét đối với vỏ ngắn, hình 7-10. Gốc tọa độ tại vị trí tải trọng tác dụng.
Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ sẽ sử dụng (7.42) và cần xác định 02 thông
số ban đầu là
0
M
và
0
Q
. Lực cắt
0
Q
tại
0x =
được xác định trực tiếp từ phần phải,
phần trái tại vị trí tác dụng tải trọng của vỏ trụ dài:
0
2
F

Q = −
. Mô men uốn
0
M
tại
0x =
được xác định từ điều kiện
( )
'
0w
, từ phương trình thứ hai của (7.42):
0
0
2
1
0
2
Q
M
K K
− − =
β β
, thay
0
2
F
Q = −
vào phương trình trên và sau khi biến đổi:
0
4

F
M =
β
. Thay các thông số ban đầu là
0
M
và
0
Q
vào (7.42), (7.44) và (7.45)
nhận được:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2
Fr Fr
w x x x x
E E
β β
β = ψ β − ϑ β = − ϕ β
δ δ
(7.48a)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
'
Fr Fr

w x x x x
E E
β β
β = ϕ β − ϑ β = ξ β
δ δ
(7.48b)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
4 2
x
F F
M x x x xβ = ϕ β − ξ β = ξ β
β β
(7.48c)
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
x
F F
Q x x x xβ = − ψ β +ξ β = − ϑ β
(7.48d)
( ) ( )
x
M x M x
ϕ
β = µ β

(7.48e)
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1
2
2 2
N x Fr x x Fr x
ϕ
β = β ψ β − ϑ β = − βϕ β
(7.48f)
Hiệu ứng uốn có đặc trưng cục bộ, tắt nhanh. Khi
2xβ ≥
hay
2
1,56x r> > δ
β
tính từ vị trí tác dụng của tải trọng thì các giá trị chuyển vị, nội
lực gây ra do uốn tắt nhanh.
Dưới đây xét các bài toán hiệu ứng biên khi liên kết 02 vỏ trụ tròn; vỏ trụ
tròn với đáy là vỏ cầu, vỏ trụ tròn với đáy là vỏ xuyến, vỏ trụ tròn với chỏm cầu
có vành tăng cứng trên cơ sở phương pháp lực và các phương trình chuyển vị,
nội lực của vỏ trụ dài (7.42), [21].
7.2. HIỆU ỨNG BIÊN TẠI VỊ TRÍ LIÊN KẾT 2 VỎ TRỤ TRÒN
Trong mục này xét trường hợp biến dạng uốn phát sinh tại vị trí liên kết 2
vỏ trụ tròn trong các trường hợp: độ cứng và chiều dày khác nhau, chênh lệch
132
nhiệt độ giữa mặt trong và mặt ngoài vỏ.
7.2.1. Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình, chiều dày khác nhau
Xét 2 vỏ trụ tròn có bán kính, chiều dày vỏ trái

1
r
,
l
δ
và vỏ phải
2
r
,
p
δ
liên
kết với nhau, hình 7-11. Do vỏ trụ tròn chịu tải trọng đối xứng trục và xem là vỏ
trụ dài nên khi chưa liên kết, vỏ có biến dạng tự do tương ứng với chuyển vị
l l
r w∆ =
ở vỏ trái và và chuyển vị
2 p
r w∆ =
ở vỏ phải.
Gia số chuyển vị giữa 2 vỏ
2 1
r r∆ = ∆ − ∆
là nguyên nhân gây nên biến dạng
uốn cục bộ ở vùng liên kết 2 vỏ. Để xác định chuyển vị và nội lực của vỏ, sử
dụng phương pháp lực với hệ cơ
bản và ẩn số cơ bản trên hình 7-
11.
Hệ phương trình chính tắc
theo phương pháp lực có dạng:

11 1 12 2 1
0
p
X Xδ +δ + ∆ =


21 1 22 2
0X Xδ + δ =
(7.49)
Khi xác định các hệ số
chính, hệ số phụ (
12 21
δ = δ
) và số
hạng tự do dùng công thức (7.42)
của vỏ dài và chú ý đến hình 7-12.
Hệ số
11
δ
xác định bằng công thức:
11 l p
w wδ = +
với
l
w
,
p
w
là chuyển vị

của vỏ trái và vỏ phải tại vị trí liên kết
0x
=
do
0 1
1Q X= =
gây ra trên hệ cơ bản.
Từ (7.42a),
3
1
2
l
l l
w
K
=
β
và
3
1
2
p
p p
w
K
=
β
nên:
11
3 3

1 1

2 2
l l p p
K K
δ = +
β β
Tương tự, với
0 2
1M X= =
:
12 21
2 2
1 1

2 2
l p
l l p p
w w
K K
δ = δ = − = −
β β

22
1 1

l l p p
K K
δ = +
β β

Sử dụng (7.42a):
2 2
1 2
1

p
l p
pr pr
E E
∆ = −
δ δ
Thay các hệ số chính, hệ số phụ và
số hạng tự do vào (7.49), giải hệ phương
trình xác định được các ẩn số cơ bản
1
X
và
2
X
. Sau đó sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ
xác định được chuyển vị và nội lực tại
133
Hình 7-11.
Hình 7-12.
điểm bất kỳ theo giá trị
xβ
, với vỏ trái lấy
0 1

Q X=
,
0 2
M X=
, còn với vỏ phải lấy
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm
dần về hai phía. Tính toán trên mới chỉ xét với tải trọng pháp tuyến
p
, nếu kể
đến cả lực dọc trục thì thay
p
bằng
p
+
, xác định theo (7.23):
x
N
p p
r

+
µ
= −
. Dưới
tác dụng của áp lực pháp tuyến
p
, lực màng
x
N
tác dụng dọc trục có giá trị bằng
2
x
pr
N =
(bảng 6-1) nên
1
1
2 2
pr
p p p
r
+
µ
 
= − = − µ
 ÷
 
. Như vậy, khi vỏ chịu tác
dụng của áp lực pháp tuyến
p

và có kể đến ảnh hưởng của lực dọc (có đáy ở 2
đầu vỏ trụ) thì có thể sử dụng các công thức tính chuyển vị, nội lực khi chịu áp
lực pháp tuyến
p
đã nêu trên, nhân với hệ số
1
1
2
 
− µ
 ÷
 
.
7.2.2. Liên kết 2 vỏ có mặt trung bình lệch tâm nhau
Trong mục này xét trường hợp liên kết 2 vỏ trụ có chiều dày khác nhau và
mặt trung bình của 2 vỏ lệch tâm nhau với giá trị độ lệch tâm:
( )
1
2
l p
e = δ −δ
(7.50)
Ảnh hưởng của độ lệch tâm khi tính toán có thể thay thế bằng mô men uốn
phân bố đều theo chu vi vỏ đặt tại vị trí liên kết:
x
M N e=
(7.51)
Trong thực tế, giá trị độ lệch tâm
e
so với bán kính vỏ rất nhỏ nên trong

tính toán có thể xem:
l p
r r r= =
(với
l
r
,
p
r
là bán kính vỏ trái và vỏ phải) .
Nghiệm của bài toán nhận được bằng phương pháp chồng nghiệm của 2 bài toán:
1. Vỏ chịu áp lực pháp tuyến
p
, có kể ảnh hưởng của lực dọc trục
2
x
pr
N =
.
Nghiệm của bài toán này đã xét trong mục 7.2.1.
2. Vỏ chịu mô men uốn lệch tâm phân bố đều theo chu vi vỏ tại vị trí liên kết.
Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và các ẩn số cơ bản tương tự như
trong mục 7.2.1, chỉ khác các số hạng tự do.
Khi xác định
1e
∆
và
2e
∆
, mô men lệch tâm chỉ tác

dụng ở vỏ trái, hình 7-13, sử dụng (7.42):
134
Hình 7-13.

1
2
2
e
l l
M
K
∆ =
β

2e
l l
M
K
∆ =
β
(7.52)
Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị
và nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ
x
, với vỏ trái lấy
0 1
Q X=
,

0 2
M X=
còn với
vỏ phải lấy
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải có bước nhảy bằng mô
men lệch tâm
M
, sau đó giảm dần về hai phía.
Ảnh hưởng của độ lệch tâm đến ứng suất uốn lớn hơn trường hợp liên kết 2
vỏ trụ tròn có cùng mặt trung bình.
7.2.3. Liên kết 2 vỏ có cùng mặt trung bình chịu tác dụng của nhiệt độ
Xét hiệu ứng biên khi liên kết 2 vỏ trụ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt
độ với nhiệt độ phía trong vỏ
0
1
t
và phía ngoài vỏ
0
2

t
với giả thiết nhiệt độ thay đổi tuyến tính theo
chiều dày vỏ và
0 0
1 2
t t>
, hình 7-14. Bài toán
được giải tương tự như trong mục 7.2.1 chỉ
khác số hạng tự do
1t
∆
và
2t
∆
. Theo (7.9) và
(7.10) nhiệt độ ở mặt trung bình
0 0
0
1 2
2
s
t t
t
+
=
và gia số nhiệt độ giữa phía
trong và phía ngoài vỏ là:
0 0 0
1 2
t t t∆ = −

.
Giá trị chuyển vị
1t
∆
được xác định theo (7.42a) với chú ý là ở vị trí liên
kết, hình 7-12, tại đầu trái dưới tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cùng
chiều với
1
X
nên mang dấu dương, còn tại đầu phải chuyển vị ngược chiều với
1
X
nên mang dấu âm và do sự thay đổi nhiệt độ nên
p
+
xác định theo công thức
(7.23). Do đó:
( ) ( )
0 0
0 0
1
2 2
1 1
0
2 2
t t
t t s t s
l l p p
t t
r t r t

+ µ α ∆ + µ α ∆
∆ = + α − − α =
β δ β δ
(7.53)
Giá trị chuyển vị
2t
∆
được xác định theo (7.42b) với chú ý là nhiệt độ
0
s
t
không gây chuyển vị xoay, nên:
( )
0
2
1 1
1
t t
l l p p
t
 
∆ = +µ α ∆ +
 ÷
 ÷
β δ β δ
 
(7.54)
Tương tự như mục 7.2.1, sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị

và nội lực tại điểm bất kỳ theo tọa độ
x
, với vỏ trái lấy
0 1
Q X=
,
0 2
M X=
còn với
135
Hình 7-14.
vỏ phải lấy
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
.
Giá trị mô men
x
M
tại
0x =
của vỏ trái và vỏ phải bằng nhau, sau đó giảm
dần về hai phía và có giá trị không đổi.
Khi 2 vỏ có cùng bán kính, hiệu ứng biên chỉ xuất hiện khi có sự thay đổi
nhiệt độ
0
t∆
ở phía trong và phía ngoài vỏ. Ở cách xa vị trí liên kết, mô men uốn

có giá trị không đổi và không phụ thuộc bán kính và chiều dày vỏ.
- Vỏ trái:
( )
( )
2
0 0
1
1
12 1
l
x l t t
l
E
M K t t
δ
= + µ α ∆ = α ∆
δ −µ
- Vỏ phải:
( )
( )
2
0 0
1
1
12 1
p
x p t t
p
E
M K t t

δ
= + µ α ∆ = α ∆
δ −µ
Chú ý đến (7.18) và (7.24), mô men uốn theo phương vòng cũng có giá trị
bằng mô men uốn theo phương dọc trục,
( )
0
2
6
2 1
x t
x
M E t
ϕ
α ∆
σ = σ = ± =
δ −µ
m
. Giá trị ứng
suất của vỏ trái và vỏ phải ở cách xa vị trí liên kết, không phụ thuộc bán kính và
chiều dày vỏ.
7.2.4. Vỏ trụ có vành tăng cường
Vỏ trụ có vành tăng cường là kết cấu thường được sử dụng trong thực tế
như khi vỏ chịu tác dụng của tải trọng cục bộ tại gối tựa hoặc khi vỏ có thể bị mất
ổn định.
Trong mục này sẽ tính hiệu ứng uốn ở vùng có
vành tăng cứng tại vị trí liên kết vỏ trái và vỏ phải
chịu tác dụng của tải trọng
p
+

. Vỏ trái và vỏ phải có
bán kính
r
, chiều dày vỏ trái
l
δ
, chiều dày vỏ phải
p
δ
. Vành tăng cường có diện tích tiết diện
A
và mô
men quán tính độc cực (chống xoắn)
p
J
. Giả thiết
chiều rộng vành tăng cường tại vị trí liên kết nhỏ nên
có thể xem liên kết vành với vỏ là liên kết điểm nên
vành không chịu tác dụng của tải trọng
p
+
.
Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và ẩn
số cơ bản như trên hình 7-15. Hệ phương trình chính
tắc có dạng:
11 1 12 2 13 3 14 4 1
0
p
X X X Xδ + δ + δ + δ + ∆ =
136

Hình 7-15.
21 1 22 2 23 3 24 4 2
0
p
X X X Xδ + δ +δ +δ + ∆ =

31 1 32 2 33 3 34 4 3
0
p
X X X Xδ + δ + δ +δ + ∆ =
41 1 42 2 43 3 44 4 4
0
p
X X X Xδ + δ +δ +δ + ∆ =
Dưới đây sẽ xác định các hệ số:
- Chuyển vị
11
δ
là tổng của 2 chuyển vị: chuyển vị của vỏ trái và chuyển vị của
vành dưới tác dụng của tải trọng
1
1X =
. Sử dụng (7.42a), chuyển vị của vỏ trái
bằng:
3
1
2
l l
K β
. Chuyển vị của vành dưới tác dụng của

1
1X =
phân bố đều theo chu
vi bằng:
2
r
EA
(7.56a)
Do đó,
2
11
3
1
2
l l
r
K EA
δ = +
β
- Chuyển vị
12
δ
là chuyển vị tại vỏ trái gây ra do mô men
2
1X =
, sử dụng (7.42a)
nhận được:
12 21
2
1

2
l l
K
δ = − = δ
β
.
- Chuyển vị
13
δ
là chuyển vị của vành gây ra do
3
1X =
:
2
13 31
r
EA
δ = − = δ
- Chuyển vị
14 41
0δ = = δ
;
- Chuyển vị
1p
∆
của vỏ trái dưới tác dụng của tải trọng
p
+
được xác định
bằng (7.42a):

2
1p
l
p r
E
+
∆ = −
δ
;
- Chuyển vị
22
δ
là tổng chuyển vị xoay của vỏ trái và
chuyển vị xoắn của vành gây ra do
2
1X =
. Sử dụng
(7.42b), chuyển vị xoay của vỏ trái:
1
l l
K β
. Chuyển vị
xoắn của vành do mô men xoắn phân bố đều theo
chu vi vành , hình 7-16, xác định bằng công thức:
2
1.
p
r
EJ
ϕ =

(
p
EJ
là độ cứng chống xoắn của vành) (7.56b)
Do đó:
2
22
1 1.
l l p
r
K EJ
δ = +
β
137
Hình 7-16.
(7.55a)
- Chuyển vị
23 32
0δ = δ =
(xác định tương tự như
14
δ
).
- Chuyển vị
24
δ
xác định tương tự như
22
δ
có dạng:

2
24 42
1.
p
r
EJ
δ = − = δ
.
Các hệ số còn lại xác định tương tự như trên. Các hệ số chính, hệ số phụ và
số hạng tự do cho trong bảng:
1
X
2
X
3
X
4
X
1
2
3
1
2
l l
r
K EA
+
β
2
1

2
l l
K
−
β
2
r
EA
−
0
2
l
p r
E
+
−
δ
2
1
2
l l
K
−
β
2
1 1.
l l p
r
K EJ
+

β
0
2
1.
p
r
EJ
−
0
2
r
EA
−
0
2
3
1
2
p p
r
K EA
+
β
2
1
2
p p
K β
2
p

p r
E
+
δ
0
2
1.
p
r
EJ
−
2
1
2
p p
K β
2
1 1.
p p p
r
K EJ
+
β
0
(7.55b)
Giải hệ phương trình chính tắc, xác định được các ẩn số cơ bản
1
X
÷
4

X
,
sau đó sử dụng (7.42)
÷
(7.45) sẽ xác định được chuyển vị và nội lực trong vỏ,
trong đó tại vỏ trái lấy:
0 1
Q X= −
,
0 2
M X=
và tại vỏ phải lấy:
0 3
Q X=
,
0 4
M X=
.
Để minh họa ảnh hưởng của vành, xét trường hợp đơn giản là 02 vỏ có
chiều dày như nhau
l p
δ = δ = δ
. Khi đó bài toán trở thành bài toán đối xứng:
1 3
X X= −
và
2 4
X X=
, thay vào (7.55b) nhận được hệ 02 phương trình:
2 2

1 2
3 2
1 2 1
2 2
r p r
X X
K EA K E
+
 
+ − =
 ÷
β β δ
 
1 2
2
1 1
0
2
X X
K K
− + =
β β
Giải hệ phương trình, chú ý đến (7.7a), sau khi biến đổi, nhận được:
2
2
4
2
p
X
A

+
=
βδ
β +

1 2
2
2
p
X X
A
+
= β =
δ
β+
(7.57)
138
Từ (7.57), có thể thấy rằng, độ cứng
A
của vành càng nhỏ thì
2
X
càng nhỏ.
Khi
0A
=
thì
1 2
0X X= =
. Khi

A
→ ∞
thì nhận được giá trị lớn nhất như trường
hợp vỏ liên kết ngàm theo (7.46):
2
2
2
p
X
+
=
β
1
p
X
+
=
β
(7.58)
7.2.5. Vỏ trụ liên kết với đáy phẳng
Xét vỏ trụ tròn liên kết với đáy phẳng, hình 7-17. Hệ phương trình chính tắc
theo phương pháp lực có dạng:
11 1 12 2 1
0
p
X Xδ +δ + ∆ =


21 1 22 2 2
0

p
X Xδ +δ + ∆ =
Xác định
11
δ
,
12
δ
và
1p
∆
: Bỏ qua biến
dạng nén của đáy, nên
11
δ
chỉ là chuyển vị
của vỏ. Sử dụng (7.42):
11
3
1
2K
δ =
β

12 21
2
1
2K
δ = = δ
β

2
1
4
1 1
2 4 2
p
pr p
E K
µ µ
   
∆ = − = −
 ÷  ÷
δ β
   
Xác định
22
δ
và
2 p
∆
: Chuyển vị của
tấm tròn chịu tải trọng phân bố đều
p
,
hình 7-18, [21]:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
4

64 1
p
p r
w r r
D
 
ρ = −ρ −ρ +
 
+µ
 
(7.60)
Mô men hướng tâm:

( )
( )
( )
2 2
3
16
r
p
M rρ = −ρ + µ
(7.61)
Góc xoay tại biên:
( )
3
'
8 1
p
pr

w
D
= −
+ µ
(7.62)
Với
p
D
là độ cứng trụ:
( )
3
2
12 1
p
Eh
D =
−µ
(7.63)
(
h
là chiều dày tấm đáy)
139
Hình 7-17.
Hình 7-18.
Tương tự, chuyển vị của tấm chịu tải trọng mô men phân bố
m
:

( )
( )

( )
2 2
2 1
p
m
w r
D
ρ = −ρ
+µ
(7.64)
Mô men uốn phân bố đều trên phạm vi toàn tấm:
r
M m=
(7.65)
Góc xoay tại
rρ =
:
( )
'
1
p
mr
w
D
= −
+µ
(7.66)
Từ (7.62) và (7.66):

( )

22
1
1
p
r
K D
δ = +
β +µ

3
2
8 1
p
p
p r
D
∆ = −
+µ
Thay các hệ số chính, phụ và số hạng tự do vào hệ phương trình chính tắc
(7.59):
1 2
3 2 4
1 1
1 0
2 2 4 2
p
X X
K K K
µ
 

+ + − =
 ÷
β β β
 
( ) ( )
3
1 2
2
1 1
0
2 1 8 1
p p
r pr
X X
K K D D
 
+ + − =
 ÷
 ÷
β β +µ +µ
 
Giải hệ phương trình, nhận được:
1 2
2
1
2 2
p
X X
 
µ

 
= −β + −
 ÷
 
β
 
 

( )
( )
3 3
3 3
2
3
3
1
2
4 8 1
1
2 1
p
p r
h
X
r
h
µ
 
−
 ÷

δ
 
+
β + µ
=
δ
+
β + µ
(7.67)
Sử dụng (7.42), (7.45) xác định được chuyển vị, nội lực của vỏ trụ tròn với
0 1
Q X=
và
0 2
M X=
.
Từ (7.61), (7.65), mô men uốn ở đáy phẳng:
( )
( )
( )
2 2
3
16
r
p
M r mρ = −ρ + µ −
(7.68)
Từ (7.67), xét ảnh hưởng độ cứng của đáy đến giá trị nội lực trong 2 trường
hợp:
h >> δ

và
hδ >>
:
* Trường hợp 1:
h >> δ
. Khi
h >> δ
, bỏ qua chiều dày vỏ
δ
so với chiều dầy đáy
h
:
2
2
1
2 2
p
X
µ
 
= −
 ÷
β
 
và
1
1
2
p
X

µ
 
= − −
 ÷
β
 
(7.69)
Biểu thức (7.69) tương ứng vỏ trụ tròn liên kết ngàm.
140
* Trường hợp 2:
hδ >>
. Khi
hδ >>
, bỏ qua chiều dày đáy
h
so với chiều dầy vỏ
δ
:
2
2
8
pr
X = −
và
2
1
1
8 2 2
pr p
X

µ
 
= −β − −
 ÷
β
 
(7.70)
Biểu thức (7.70) tương ứng tấm tròn liên kết ngàm.
Từ (7.69) và (7.70) rút ra nhận xét: mô men uốn
2
X
trong trường hợp 2
(chiều dày vỏ
δ
lớn hơn nhiều so với chiều dày đáy
h
) lớn hơn trường hợp 1
(chiều dầy đáy
h
lớn hơn nhiều so với chiều dày vỏ
δ
).
Từ đó rút ra kết luận: mô men uốn ở vỏ nhỏ nhất khi độ
cứng của đáy rất lớn, xem (7.69). Khi giảm chiều dày
đáy
h
, mô men trong vỏ tăng đến giá trị xác định
theo (7.70). Do đó, khi liên kết với đáy phẳng, tại vị trí
liên kết đáy phẳng được khoét theo chu vi và có
chiều dày bằng chiều dày vỏ, hình 7-19, để giảm mô

men ở đáy phẳng và vỏ tại vị trí liên kết.
Nếu biết mô men uốn
2
X
và lực cắt
1
X
thì theo (7.61), (7.65) xác định
được mô men uốn tại đáy:
( )
( )
2 2
3
16
r
p
M r m= −ρ +µ −
(7.71)
và theo hình 7-17,
2
m X=
là giá trị mô men uốn tại vị trí liên kết vỏ trụ và đáy
phẳng. Tương tự, từ (7.60) và (7.64) xác định được chuyển vị pháp tuyến
w
.
7.3. HIỆU ỨNG BIÊN KHI LIÊN KẾT VỎ TRỤ TRÒN VỚI VỎ CẦU, VỎ
HÌNH XUYẾN
Trong mục 7.2 đã nghiên cứu
hiệu ứng biên của vỏ trụ tròn. Trong
mục 7.3 sẽ xét cách giải gần đúng khi

liên kết vỏ trụ tròn với vỏ cầu, vỏ trụ
tròn với với vỏ hình xuyến bằng cách
gần đúng thay vỏ cầu, vỏ hình xuyến
bằng vỏ trụ, [21].
7.3.1. Liên kết vỏ trụ tròn với chỏm
cầu
Xét vỏ trụ tròn bán kính
r
,
chiều dày
v
δ
liên kết với đáy là vỏ
cầu chiều dày
k
δ
, chịu tải trọng pháp
141
Hình 7-20.
Hình 7-19.
tuyến
p
. Sử dụng phương pháp lực với hệ cơ bản và ẩn số cơ bản trên hình 7-20.
Hệ phương trình chính tắc có dạng:

11 1 12 2 1
0
p
X Xδ +δ + ∆ =

21 1 22 2 2
0
p
X Xδ +δ + ∆ =
Khi tính toán chuyển vị, vỏ cầu được thay thế bằng vỏ trụ, hình 7-20.1b, có
bán kính:
0
r
R
sin
=
α
(7.72)
a. Xác định
11
δ
: Lực
1
1X =
tác dụng vuông góc với trục vỏ được phân tích thành
02 lực, hình 7-20.1c: theo phương pháp tuyến của vỏ cầu là
0
1.sinα
và theo
phương tiếp tuyến với vỏ cầu là
0
1.cosα
. Khi
0
α

lớn, thành phần lực tiếp tuyến
chỉ gây lực màng nên bỏ qua biến dạng uốn do nó gây nên. Trường hợp khi
0
α
nhỏ, biến dạng uốn do thành phần tiếp tuyến gây nên cần phải xét đến.
Do vậy, tính toán vỏ cầu thay thế bằng vỏ trụ được giới hạn với
0
0
20α >
,
[21]. Khi giải chính xác không thể giải độc lập trạng thái màng và trạng thái uốn,
nghĩa là trong trường hợp này không xét được độc lập với việc khai triển
1
1X =
thành các thành phần
0
1.sinα
và
0
1.cosα
mà phải xét với tải trọng như trên hình
7-20.1a.
* Xét tác dụng của thành phần tải trọng
0
1.sinα
. Vỏ cầu tại vị trí liên kết, hình 7-
20.1b được thay thế bằng vỏ trụ có bán kính
R
xác định theo (7.72). Trong
trường hợp này, sử dụng (7.42a) với

0 0
1.Q sin= α
nhận được chuyển vị theo
phương pháp tuyến của vỏ trụ thay thế (phương lực khai triển
0
1.sinα
):
0
3
2
k k
sin
K
α
β
(7.73)
với
k
K
và
k
β
xác định theo (7.3) và (7.7a):
( )
3
2
12 1
k
k
E

K
δ
=
−µ

( )
2
4
2 2
3 1
k
k
R
−µ
β =
δ
(7.74a)
Theo hình 7-20.1a, cần xác định chuyển vị của vỏ trụ thay thế theo phương
lực đơn vị
1
X
vuông góc với vỏ trụ nghĩa là bằng hình chiếu của chuyển vị theo
phương pháp tuyến của vỏ trụ thay thế (7.73) nhân với
0
sinα
:
2
0
3
2

k k
sin
K
α
β
(7.75a)
142
* Chuyển vị do lực
1
1X =
tác dụng lên vỏ trụ bán kính
r
xác định theo (7.42a)
với
0 1
1Q X= =
bằng:
3
1
2
v v
K β
(7.75b)
trong đó:
( )
3
2
12 1
v
v

E
K
δ
=
−µ
( )
2
4
2 2
3 1
v
v
r
−µ
β =
δ
(7.74b)
* Chuyển vị
11
δ
bằng tổng chuyển vị của vỏ trụ thay thế cho vỏ cầu theo (7.75a)
và chuyển vị của vỏ trụ bán kính
r
theo (7.75b):
2
0
11
3 3
1
2 2

v v k k
sin
K K
α
δ = +
β β
(7.76)
b. Xác định
12
δ
: Tiến hành tương tự như trên, sử dụng (7.42a) với
0 2
1M X= =
,
chuyển vị đơn vị
12
δ
bằng tổng chuyển vị do mô men đơn vị
2
1X =
tác dụng lên
vỏ trụ tròn bán kính
r
bằng
2
1
2
v v
K β
và tác dụng lên vỏ trụ bán kính

R
thay thế
cho vỏ cầu bằng
2
1
2
k k
K
∆ =
β
với hình chiếu của nó lên
phương
1
X
, hình 7-21, là:
0
0
2
1.
2
k k
sin
sin
K
α
∆ α =
β
. Do đó,
0
12

2 2
1
2 2
v v k k
sin
K K
α
δ = −
β β
(7.77)
c. Xác định
1p
∆
: Chuyển vị
1p
∆
là tổng chuyển vị do
tải trọng
p
tác dụng lên vỏ trụ bán kính
r
và vỏ trụ bán kính
R
thay thế cho vỏ
cầu.
* Đối với vỏ trụ, tính
1p
∆
như trong bài toán liên kết vỏ trụ với đáy phẳng có kể
đến lực dọc

2
x
pr
N =
, nên chuyển vị theo phương
1
X
:
4
1
4 2
v v
p
K
µ
 
−
 ÷
β
 
(1)
* Đối với vỏ cầu được thay thế bằng vỏ trụ bán kính
R
, chuyển vị do hai thành
phần tải trọng gây ra: áp lực pháp tuyến
p
và lực dọc
trục vỏ
2
x

pr
N =
.
- Thành phần chuyển vị do áp lực pháp tuyến
p
,
đối với vỏ cầu xác định theo (6.95a):
143
Hình 7-21.
Hình 7-22.