Đề thi và đáp án toán rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
Đề số 01
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC PHẦN
TOÁN RỜI RẠC
Dành cho:Sinh viên K48CNTT
Thời gian: 120 phút

Câu 1:
(2điểm). Mỗi đề thi có 3 câu bài tập và 2 câu lí thuyết. Trong ngân hàng các câu hỏi
đã có sẵn 7 câu bài tập và 5 câu lí thuyết. Hỏi với ngân hàng ấy có thể tạo ra bao nhiêu đề thi
khác nhau? Qui ước rằng đảo thứ tự khác nhau trong một đề thi ta không có được một đề thi
mới.
Câu 2:
(3 điểm) Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài bằng 10 có
a. Đúng 3 số 0? b. Số các số 0 bằng số các số 1
c. Hoặc được bắt đầu bằng bít 1 hoặc được kết thúc bằng hai bit 00
Câu 3: (3 điểm) Cho đồ thị có hướng G gồm
 5 đỉnh

 9 cung có các trọng số tương ứng trên hình vẽ:
6
5
3
6
2
2
5
2
B
D

3
E
A
C





Dùng thuật toán Dijks
tra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A tới đỉnh D trên đồ thị G.
Nêu rõ các bước thực hiện thuật toán?.
Câu 4:
(2 điểm)
Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
k
lm
1
2
5
6

4
6
5
1
2
3
3
3
1
2
1
2
5
6
4
6
5







TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
Đề số 02
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TOÁN RỜI RẠC
Dành cho: Sinh viên K48 CNTT

Thời gian: 120 phút

Câu 1:
(3 điểm):
a) Có bao nhiêu từ có thể khác nhau (có thể vô nghĩa) thu được bằng cách đổi chỗ các
chữ cái và chữ số trong từ “ngay20thang10nam2007”?
b) Có bao nhiêu từ gồm tất cả các chữ cái và chữ số trên sao cho các số 0 đứng ở vị trí
số 1, 4,8,12 trong trật tự từ?
Câu 2: (3 điểm):
a) Có bao nhiêu cách xếp một nhóm sinh viên n nam và n nữ ngồi xung quanh một bàn
tròn?
b) Có bao nhiêu cách xếp nhóm sinh viên trong câu a sao cho nữ ngồi xen kẽ nam?

Câu 3:
(3 điểm) Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến các đỉnh còn lại trong đồ thị.

4 4
9
a
b
c
d
e
z
4
2
1
5
10
8

2
6
3

2
11 1
4

2
2

1

1 2
2
1
c d
g
e

f
i
b

a

h


Câu 4:

(2 điểm):Trình bày giải thuật Kruskal áp dụng tìm cây khung nhỏ nhất trong đồ thị
sau:















TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
Đề số 03
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TOÁN RỜI RẠC
Dành cho: Sinh viên K48 CNTT
Thời gian: 120 phút

Câu 1:
(2 điểm)
Giả sử một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng có 6
uỷ viên trong đó số uỷ viên nam bằng số uỷ viên nữ?
Câu 2:

(2 điểm)
Có bao nhiêu xâu gồm 10 chữ số của hệ tam phân (0,1 hhoặc 2) chứa đúng hai chữ số
0,3 số 1 và 5 chữ số 2?
Câu 3:
(2 điểm)
Có bao nhiêu cách phân công 3 việc cho 5 người làm, nếu một người có thể làm nhiều
việc?
Câu 3:
(2 điểm) Dùng thuật toán Floyd tìm đường đi ngắn nhất mọi cặp đỉnh của đồ thị.

5
6
4
8
t
u
7
v
x





Câu 4:
(2 điểm) Xét đồ thị G gồm các đỉnh A,B,C,D,E,F được cho bởi ma trận trọng số sau:
A B C D E F
A 0 4 0 3 4 0
B 4 0 3 2 0 0
C 0 3 0 4 0 5

D 3 2 4 0 2 3
E 4 0 0 2 0 4
F 0 0 5 3 4 0
a) Hãy vẽ dạng biểu diễn hình học của đồ thị G
b) Dùng thuật toán PRIM để tìm cây khung bé nhất của đồ thị G









Đáp án- đề số 1
Môn Toán rời rạc
Câu 1: (2đ) C
3
7
C
2
5
=35.10=350
Câu 2: (3đ)
a. 10!/(3!7!)=120 b.10!/(5!5!)=252
c. Số xâu nhị phân có độ dài là 10 được bắt đầu bằng bit 1 là: 2
9

Số xâu nhị phân có độ dài bằng 10 kết thúc bằng hai bít 00 là: 2
8

Số xâu nhị phân có độ dài bằng 10 bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 00 là: 2
7

Theo nguyên lí bù trừ số xâu nhị phân bắt đầu bằng 1 và kết thúc là 00 là: 2
9
+2
8
-2
7
Câu 3: (2đ) thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị
S là tập đỉnh đã tính xong , L(v) là độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh A tới đỉnh v.
khởi tạo S= , L(A)=0, L(v)=


Bổ sung vào S Tính lại L(v)
Hàm

A L(B)=2,L(E)=5
(B)=A,(E)=A
B L(E)=4, L(C)=8
(C)=B
E L(C )=6,(D)=10
(C )=E,(D)=E
C L(D)=9
(D)=C
D

Câu 4 (2đ)
Thuật toán kruskal

(a,e), (e,i),(e,f),(f,b),(f,k),(f,q),(q,c),(q,l),(q,h),(h,d),(h,m)





















Đáp án- đề số 2
Môn Toán rời rạc
Câu 1: (3đ)
a. Hoán vị của các phần tử giống nhau.
C
4
20
C

3
16
C
2
13
C
3
11
C
2
9
C
1
7
C
1
6
C
1
5
C
1
4
C
1
3
C
1
2

b. Có A
1
4
cách xếp các số 0 vào các vị trí đã định. Kí tự còn lại xếp theo cách xếp hoán
vị của các phần tử giống nhau.
Theo nguyên lí nhân ta có A
1
4
* C
3
16
C
2
13
C
3
11
C
2
9
C
1
7
C
1
6
C
1
5
C

1
4
C
1
3
C
1
2


Câu 2: (3đ)
a. (2n-1)! Cách xếp n nam và n nữ ngồi quanh bàn tròn
b. (n-1)! cách xếp n nam ngồi quanh bàn tròn vào n vị trí để sao giữa hai người bất
kì cách nhau một khoảng trống.
Sau khi xếp xong n nam, ta có số khoảng trống là vậy có n! cách xếp n nữ vào n vị
trí.
Theo nguyên lí nhân số cách xếp nhóm sinh viên này ngồi quanh bàn tròn xen kẽ
nam và nữ là (n-1)!*n!
Câu 3: (2đ)
L(a)=0
L(b)=1 a->b
L(c)=5 a->b->c
L(d)=6 a->h->g->f->d
L(e)=6 a->h->g->f->e
L(f)=5 a->h->g->f
L(g)=3 a->h->g
L(i)= 4 a->h->i
L(h)=2
Câu 4( 2 đ): Cây khung nhỏ nhất gồm các cạnh sau.
(a,c),(c,b),(b,d),(d,e),(e,z)




















Đáp án đề số 3
Câu 1(2 điểm) C(10,3)*C(15,3)=5460
Câu 2( 2 điểm) 10!/(2!3!5!)=2520
Câu 3(2 điểm) 5
3

Câu 4(2 điểm)

0 6 9 5
12 0 8 7
9 15 0 4

5 11 4 0


Câu 5(
2 điểm)
A
B
C
D
E
F
4
3
4
2
4
5
4
3
3
3
a. hình vẽ







b. Thuật toán prim .

Bổ xung cạnh xét
Bổ xung cạnh Bổ xung
đỉnh
D
DE,DC,DB,DA,DF, DB B
BA,BC DE E
EA DF F
FC DA A
AB BC C






TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA TOÁN-LÍ-TIN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


ĐỀ THI HỌC PHẦN
Môn: Toán rời rạc
Dành cho sinh viên K46 CNTT
Thời gian: 120 phút
Câu 1:
(2điểm) Chứng minh số các tập con hữu hạn của một tâp hợp gồm n phần tử là 2
n
tập.
Câu 2:
(2điểm)
a) Chứng minh rằng (pq) tương đương với pq

b) Chứng minh rằng (pr)(qr) tương đương với (pq)r
Câu 3
: (2 điểm) Cho đồ thị có hướng G gồm
 5 đỉnh

 9 cung có các trọng số tương ứng trên hình vẽ:

B
A
DE
C




Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A tới đỉnh D trên đồ thị G. Nê
u rõ
các bước thực hiện thuật toán.
Câu 4:
(2 điểm) Xét đồ thị G gồm các đỉnh A,B,C,D,E,F được cho bởi ma trận trọng số sau:
A B C D E F
A 0 4 0 3 4 0
B 4 0 3 2 0 0
C 0 3 0 4 0 5
D 3 2 4 0 2 3
E 4 0 0 2 0 4
F 0 0 5 3 4 0
a) Hãy vẽ dạng biểu diễn hình học của đồ thị G
b) Dùng thuật toán PRIM để tìm cây khung bé nhất của đồ thị G
Câu 5:

(2điểm) Tối thiểu hóa hàm boole 3 biến bằng phương pháp Quine McCluskey.



TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA TOÁN-LÍ-TIN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


ĐỀ THI HỌC PHẦN
Môn: Toán rời rạc
Dành cho sinh viên K46 CNTT
Thời gian: 120 phút
Câu 1:
(4 điểm):
c) Có bao nhiêu từ có thể khác nhau (có thể vô nghĩa) thu được bằng cách đổi chỗ các
chữ cái và chữ số trong từ “ngay20thang10nam2007”?
d) Có bao nhiêu từ gồm tất cả các chữ cái và chữ số trên sao cho các số 0 đứng ở vị trí
số 1, 4,8,12 trong trật tự từ?
Câu 2:
(2 điểm)
Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài bằng 10 hoặc bắt đầu bằng bít 1 hoặc kết thúc là 00?
Câu 3:
(2 điểm) Một khu triển lãm có 16 phòng
được cho trong hình sau:
1
2
3
5
6
10

11
12
13
14
15
16
7
9
8
4
Với qui ước các phòng có cạnh chung thì có
cửa thông nhau. Hướng dẫn viê
n muốn dẫn khách
tham quan qua tất cả các phòng mà không phòng
nào quá một lần. Hỏi có thể thực hiện được ý định
đó không?

Câu 4:
(2 điểm) Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ
thị trên hình vẽ sau đây. Nêu rõ các bước thực hiện thuật toán.





Câu 5:
(2 điểm) Tối thiểu hóa và vẽ mạch tổ hợp của biểu thức sau:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA TOÁN-LÍ-TIN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC PHẦN
Môn: Toán rời rạc
Dành cho sinh viên K46 CNTT
Thời gian: 120 phút
Câu 1:(2 điểm)
Mỗi đề thi có 3 câu bài tập và 2 câu lí thuyết. Trong ngân hàng các câu hỏi đã có sẵn 7 câu
bài tập và 5 câu lí thuyết.
Hỏi với ngân hàng ấy có thể tạo ra bao nhiêu đề thi khác nhau? Qui ước rằng đảo thứ tự khác
nhau trong một đề thi ta không có được một đề thi mới.
Câu 2: (2 điểm)
Cho trước P(x,y,z): “z=x+y” là công thức 3 biến x,
y,z xác định trên tập các số thực. Hãy kiểm
tra công thức vị từ sau đúng hay sai? Giải
thích tại sao?
a)

x1
x2
x4
x3
5
4
6
8

7
b)

a
d
i
m
b
k
c
l
e
hf
g
53
5
1
6
1
1
61
2
6
226
2
4
3
4
5
3

5
Câu 3: (2 điểm)
a) Xác định số mặt lồi của khối đa diện
có 12 đỉnh và bậc của tất cả các đỉnh
đều bằng 5.
b) Cho đơn đồ thị như hì
nh bên. Tìm
cây khung bé nhất?
c) Không quan tâm tới trọng số của các
cạnh của đồ thị. Khi đó đồ thị có thể xem là bản đồ của một tỉnh gồm 10 huyện có
đường biên giới tạo bởi các cạnh của đồ thị. Hãy xác định số màu
tối thiểu để tô màu
bản đồ của tỉnh này. Sao cho hai huyện kề nhau( có chung biên giới) được tô bởi hai
màu khác nhau. Hai huyện chung nhau một đỉnh không được coi là kề nhau. Với số
màu tối thiểu vừa tìm được hãy chỉ ra một phương án tô màu bản đồ trên.
Câu 4: (2 điểm) Dùng thuật toán Floyd tìm đường đi ngắn nhất mọi cặp đỉnh của đồ thị.



Câu 5:(
2 điểm) Dùng phương pháp bảng Karnaugh để tối thiểu hóa biểu thức logic sau.


Đáp án đề số 1
Câu 1: Phương pháp qui nạp toán học tập A với |A|=n có 2
n
tập con.
Thật vậy: n=1 có A={a} có hai tập con là {a} và
.
Giả sử mọi tập A mà |A|=n và |P(A)|=2

n
ta chứng minh nếu B có n+1 phần tử thì
|P(B)
|=2
n+1
.Thật vậy B= B
1
với |B
1
| = n, b B
1
.Số tập con của B
1
là 2
n
và sau đó cứ mỗi tập
con của B
1
cho thêm b vào được một tập con của B. Như vậy có thêm 2
n
tâp con nữa.
|P(B)|=2
n
+2
n
=2.2
n
=2
n+1
.

Câu 2: chứng minh rằng.
a. Lập bảng chân lí.
b.

(pr)(qr)
(pq)r
(pq)r
(pq)r.
Câu 3: thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của đồ thị
S là tập đỉnh đã tính xong , L(v) là độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh A tới đỉnh v.
khởi tạo S= , L(A)=0, L(v)=


Bổ sung vào S Tính lại L(v)
Hàm

A L(B)=2,L(E)=5
(B)=A,(E)=A
B L(E)=4, L(C)=8
(C)=B
E L(C )=6,L(D)=10
(C )=E,(D)=E
C L(D)=9
(D)=C
D

A
B
C
D

E
F
4
3
4
2
4
5
4
3
3
3
Câu 4:
a. Đồ thị như hình vẽ.






b. Thuật toán prim.
Bổ xung cạnh xét
Bổ xung cạnh Bổ xung
đỉnh
D
DE,DC,DB,DA,DF, DB B
BA,BC DE E
EA DF F
FC DA A
AB BC C

Câu 5:

Đáp án đề số 2:
Câu 1:
c. Hoán vị của các phần tử giống nhau.
C
4
20
C
3
16
C
2
13
C
3
11
C
2
9
C
1
7
C
1
6
C
1
5
C

1
4
C
1
3
C
1
2

d. Có A
1
4
cách xếp các số 0 vào các vị trí đã định. Kí tự còn lại xếp theo cách xếp hoán
vị của các phần tử giống nhau.
Theo nguyên lí nhân ta có A
1
4
* C
3
16
C
2
13
C
3
11
C
2
9
C

1
7
C
1
6
C
1
5
C
1
4
C
1
3
C
1
2


Câu 2:
a. Hai mệnh đề A và B được gọi là tương đương nếu chúng có cùng giá trị chân lí.
b. P(QR)(PQ)(PR)
Câu 3: Coi mỗi phòng là một đỉnh và hai đỉnh được nối cạnh nếu hai phòng có chung cửa.
Bài toán qui về việc giải bài toán trên đồ thị. Tìm đường đi qua tất cả các đỉnh mỗi đỉnh
không quá một lần.

1
3
2
4

6
8
5
9
11
15
10
16
7
13
14
12






Chứng m
inh là đồ thị hamintơn. (Điều nà
y không xảy ra vì theo định lí Dark số bậc của mỗi
đỉnh phải

Hoặc: Chứng minh là đồ thị hai phía và không tồn tại một hành trình đi qua tất cả các đỉnh
mà không bị lặp lại một đỉnh nào đó.

Câu 4: Có thể dựng cây khung nhỏ nhất như sau (thuật toán Prim)
Bước chọn

cạnh Phí tổn

1 {c,d} 1
2 {c,a} 2
3 {a,e} 3
4 {e,f} 2
5 {a,b} 4
tổng 12

Câu 5:







Đáp án đề số 3.
Câu 1: C
3
7
C
2
5
=35.10=350
Câu 2: a) đúng (luôn luôn tồn tại tổng của hai số thực bất kì)
Câu 3:
a) f=e-v+2=30-12+2=20.
b) Thuật toán Kruscal
Bước chọn

cạnh Phí tổn

1 {a,e} 1
2 {b,f} 1
3 {c,g} 1
4 {d,h} 1
5 {e,i} 2
6 {f,k} 2
7 {g,i} 2
8 {h,m} 2
9 {f,g} 3
10 {e,f} 4
11 {g,h} 4
Tổng 23


1
2
3
4
5
7
8
9
10
6
c) . Coi mỗi phần đất là một đỉnh của đồ thị, các đỉnh đư
ợc đánh số từ 1 đến 10, hai phần
đất có chung biên giới thì có cạnh chung. Bài toán chuyển về bài toán tô màu của đồ thị
sau: 3

Đỉnh 2,
7,6 tô màu 1. Đỉnh 3,5,10, tô mầu 2. Đỉnh 1,4,8,9 tô mầu 3
Câu 4;

Câu 5: