Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải một số bài toán hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
PHẠM THỊ THU
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Hình học
Sơn La, năm 2010
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
PHẠM THỊ THU
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn: Th.S. Hoàng Ngọc Anh
Sơn La, năm 2010
2
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận này, em đã nhận đựơc sự hướng dẫn,
chỉ bảo tận tình của thầy giáo – Th.s Hoàng Ngọc Anh, sự giúp đỡ, tạo điều
kiện của các thầy cô giáo trong Khoa Toán – Lý – Tin, cũng như sự ủng hộ,
động viên, góp ý của các bạn trong lớp K47 ĐHSP Toán. Đồng thời, việc hoàn
thành khóa luận đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Phòng Đào tạo,
phòng QLKH và QHQT, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc Trường
Đại học Tây Bắc.
Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy,
cô, các bạn sinh viên đã giúp đỡ giúp em hoàn thành khóa luận trong thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2010
Người thực hiện khóa
luận
Phạm Thị Thu
3
MỤC LỤC
4
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN KHÓA LUẬN
Lý thuyết về các phép biến hình thuộc lĩnh vực hình học sơ cấp, trong
giáo trình chỉ đề cập những vấn đề cơ bản của phép vị tự và phép vị tự quay,
chưa đưa ra được nhiều ứng dụng để giải toán.
Vì vậy nghiên cứu phép vị tự và phép vị tự quay cho ta nhiều vấn đề bổ
ích trong việc giải toán hình học.
Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức của bộ môn hình học sơ
cấp đã được học và tìm hiểu sâu hơn một số nội dung của môn học ít được
nghiên cứu. Do vậy, em đã chọn khoá luận: “ Sử dụng phép vị tự và phép vị tự
quay để giải một số bài toán hình học phẳng” thuộc hình học sơ cấp để làm đề
tài nghiên cứu cho mình.
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP VÀ
PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép vị tự và
phép vị tự quay để giải một số bài toán trong hình học phẳng.
2. Nhiệm vụ
Thống kê, tập hợp, trình bày lại các khái niệm, tính chất, ứng dụng của
phép vị tự và phép vị tự quay một cách có hệ thống, logic.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đại cương về phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng. Một số
vấn đề của hình học liên quan đến phép biến hình.

- Các phép đồng dạng phẳng, trong đó ta xét một phép đồng dạng đặc biệt
đó là phép vị tự.
- Phép vị tự và phép vị tự quay bao gồm: định nghĩa, các tính chất (có
chứng minh).
- Sử dụng phép vị tự và phép vị tự quay để giải các bài toán hình học
5
phẳng như: các đa giác vị tự với nhau, các đường tròn vị tự với nhau, dựng hình
và các tập hợp điểm, tích các phép vị tự, phép vị tự quay.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
III. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
Có thể dựa vào các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học khác
nhau như hình học xạ ảnh, hình học afin, hình học đồng dạng, hình học Euclid
để tìm ra một số phương pháp và công cụ khác nhau để giải một bài toán trong
hình học phẳng.
IV. ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN
Khoá luận có thể làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành toán, tài liệu
tham khảo cho giáo viên toán và học sinh THPT.
6
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Khái niệm hình
Các môn toán thường được xây dựng trên lý thuyết tập hợp vì vậy hình
cũng được hiểu với nghĩa một tập hợp điểm. Như vậy toàn thể không gian cũng
là một hình và tập hợp gồm một điểm hoặc không có điểm nào ( tập rỗng) cũng
là một hình.
Việc hiểu theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác

liên quan đến lý thuyết tập hợp như: giao, hợp, thuộc, tập con, bộ phận… của
một điểm hay của một hình.
Chẳng hạn: Điểm
A
thuộc đường thẳng
d
:
A d∈
Điểm
B
là giao của hai đường thẳng
a
và
b
:
B a b= ∩

1.2. Phép biến hình
Kí hiệu tập tất cả các điểm của mặt phẳng là
P
. Khi đó mỗi hình
H
bất
kì của mặt phẳng đều là tập con của
P
và được kí hiệu là
H P⊂
.
1.2.1. Định nghĩa
Một song ánh

f : P P→
từ một tập điểm của mặt phẳng
P
lên chính nó
được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng.
Như vậy cho một phép biến hình
f : P P→
là cho một quy tắc để với bất
kì điểm
M P
∈
ta tìm được điểm
( )
M f M
′
=
hoàn toàn xác định thoả mãn hai
điều kiện sau:
- Nếu
M
,
N
là hai điểm bất kì của
P
thì
( )
f M
,
( )
f N

là hai điểm phân
biệt của
P
.
- Với một điểm
M P
′
∈
bao giờ cũng tồn tại một điểm
M P∈
sao cho
( )
M f M
′
=
.
7
Điểm
( )
f M
được gọi là ảnh của
M
qua phép biến hình
f
và điểm
M
là
tạo ảnh của điểm
( )
f M

qua phép biến hình
f
.
Nếu
H
là một hình nào đó
H P
∈
thì ta có thể xác định
( ) ( )
{ }
f H f M / M H= ∈
khi đó
( )
f H
gọi là ảnh của hình
H
qua phép biến
hình
f
và
H
được gọi là tạo ảnh của hình
( )
f H
qua phép biến hình
f
.
Kí hiệu
G

là tập hợp gồm tất cả các phép biến hình trong mặt phẳng
P
.
1.2.2. Điểm bất động của phép biến hình
Một điểm
M
thuộc
P
là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép
biến hình
f
nếu
( )
f M M=
. Như vậy điểm
M
là điểm bất động đối với phép
biến hình
f
nếu điểm
M
đó biến thành chính nó qua phép
f
.
Đối với phép đồng nhất
e: P P→
, mọi điểm của
e
đều là điểm bất động.
1.2.3. Tính chất của phép biến hình

Trong khuôn khổ của khóa luận em chỉ đưa ra một số tính chất sau:
Kí hiệu: “
o
” là tích các phép biến hình, khi đó:
- Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
- Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu gọi
f, g, h
là
các phép biến hình bất kì ta có:
( ) ( )
f g h f g h=o o o o
.
- Có phép biến hình đồng nhất kí hiệu là
e
sao cho với bất cứ phép biến
hình
f
nào của
G
ta cũng có
f e e f f= =o o
. Phép biến hình
e
đó gọi là phép
biến hình đơn vị.
- Với mọi phép biến hình
f
của
G
bao giờ ta cũng có một phép biến hình

g
của
G
sao cho
f g e=o
. Phép biến hình như thế gọi là phép biến hình đảo
ngược của
f
, kí hiệu:
1
g f
−
=
.
1.3. Phép dời hình
1.3.1. Định nghĩa
8
Một phép biến hình
f : P P→
được gọi là phép dời hình nếu trong mặt
phẳng
P
với hai điểm
M
,
N
bất kì và hai ảnh của chúng lần lượt là
( ) ( )
M f M ,N f N
′ ′

= =
ta luôn có
M N MN
′ ′
=
.
Nhận xét:
- Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên người ta
gọi nó là phép biến hình đẳng cự hay gọi vắn tắt là phép đẳng cự.
- Phép đồng nhất
e
là một phép dời hình .
- Đảo ngược của một phép dời hình là một phép dời hình. Nghĩa là
f
là
phép dời hình thì
1
f
−
cũng là phép dời hình .
1.3.2. Tính chất của phép dời hình
Định lí 1.3.2.1. Phép dời hình biến 3 điểm
A
,
B
,
C
thẳng hàng với
B
nằm giữa

A
,
C
thành 3 điểm
A
′
,
B
′
,
C
′
thẳng hàng với
B
′
nằm giữa
A
′
và
C
′
.
Chứng minh
Giả sử có một phép dời hình
f
biến
A
thành
A
′

,
B
thành
B
′
,
C
thành
C
′
ta có:
AB A B
′ ′
=
,
BC B C
′ ′
=
,
CA C A
′ ′
=
.
Mà
AB BC AC+ =

⇒

A B B C A C
′ ′ ′ ′ ′ ′

+ =
⇒
A
′
,
B
′
,
C
′
thẳng hàng và
B
′
nằm giữa
A
′
,
C
′
.
Hệ quả 1: Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một tia
thành một tia, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó .
Hệ quả 2: Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, một
góc thành một góc bằng nó, một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với
tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia.
Định lí 1.3.2.2. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình.
Chứng minh
Gọi
f
và

g
là hai phép dời hình, ta xét tích
g fo
Giả sử:
f (A) A
′
=
,
f (B) B
′
=
,
g(B ) B
′ ′′
=
,
g(A ) A
′ ′′
=
Vì
f
và
g
đều là phép dời hình nên
AB A B
′ ′
=
và
A B A B
′ ′ ′′ ′′

=
.
Vậy tích
g fo
biến
A
thành
A
′′
,
B
thành
B
′′
thoả mãn
AB A B
′′ ′′
=
.
9
⇒
tích
g fo
là một phép dời hình ( phép dời hình bảo tồn khoảng cách ).
Hệ quả: - Tích của
n
phép dời hình là một phép dời hình.
- Tích của một phép dời hình và một phép nghịch đảo của nó là một
phép đồng nhất.
Định lí 1.3.2.3. Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp.

Chứng minh
Giả sử
f
,
g
,
h
đều là phép dời hình. Ta cần chứng minh:
( ) ( )
g h f g h f=o o o o
. Thật vậy:
Giả sử
f
biến
M
thành
M
′
, h biến
M
′
thành
M
′′
, g biến
M
′′
thành
M
′′′

Ta sẽ có:
( ) ( )
g h M M
′ ′′′
=o

⇒

( )
( )
( )
g h f M M
′′′
=o o

Và
( ) ( )
h f M M
′′
=o

⇒

( ) ( )
g h f M M
′′′
=o o

⇒
( ) ( )

g h f g h f=o o o o

(Vì cả hai đều biến
M
thành
M
′′′
, với
M∀
bất kì trong mặt phẳng).
Định lí 1.3.2.4. Một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động không thẳng hàng
là phép biến hình đồng nhất.
Chứng minh
Giả sử
f : P P→
là một phép dời hình phẳng có ba điểm bất động không
thẳng hàng
( )
A A f A
′
= =
,
( )
B B f B
′
= =
và
( )
C C f C
′

= =
.
Với mọi điểm
M P∈
, gọi
( )
M f M
′
=
.
Do
f
là phép dời hình, nên
MA M A
MB M B
MC M C
′
=


′
=


′
=

Nếu
M M
′

≠
thì
A, B, C
thuộc đường trung trực của
MM
′
.
Suy ra
A, B, C
thẳng hàng, vô lí.
Vậy
M M
′
≡
.
10
M
M
′
f
M
′′
M
′′′
g
h
Từ đó suy ra, mọi điểm
M
của mặt phẳng
( )

ABC
đều là điểm bất động.
Do đó:
f Id=
.
Hệ quả: Một phép dời hình phẳng khác phép biến hình đồng nhất thì hoặc
không có điểm bất động nào hoặc có một điểm bất động duy nhất, hoặc có một
đường thẳng mà mọi điểm của nó đều là điểm bất động, tức là có một đường
thẳng cố định.
1.4. Phép quay
1.4.1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng
P
đã được định hướng, cho một điểm
O
cố định và một góc định hướng
α
sai khác
k2π
. Một phép quay tâm
O
với góc
quay
α
là một phép biến hình biến điểm
O
thành chính nó và biến mỗi điểm
M
thành điểm
M
′

sao cho
OM OM
′
=
và
( )
OM,OM
′
= α
uuuur uuuur
.
Kí hiệu:
O
Q
α
hoặc
( )
Q O;α
, trong đó ta thường chọn
α
sao cho:
−π ≤ α ≤ π
Đặc biệt, phép quay
O
Q
α
với
0α =
là phép đồng nhất, còn nếu
α = π

hoặc
α = −π
thì đó là phép đối xứng tâm
O
.
1.4.2. Các tính chất
Định lí: Phép quay là một phép dời hình.
Chứng minh
Giả sử
M, N
là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và
O
Q
α
là phép quay biến
M, N
lần lượt thành
M , N .
′ ′
Nếu
M
(hay
N
) trùng với
O
thì
M
′
(hay
N

′
) trùng với
O
,
khi đó
M N MN
′ ′
=
.
Giả sử
M
và
N
đều khác
O
,
khi đó theo định nghĩa ta có:

OM OM , ON ON
′ ′
= =
( ) ( )
OM,OM ON,ON
′ ′
= = α
uuuur uuuur uuur uuuur
.
11
M'
N'

M
N
O
Ta lại có:
( ) ( ) ( ) ( )
OM,ON OM,OM OM ,ON ON ,ON
′ ′ ′ ′
= + +
uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur

( )
( )
OM ,ON
′ ′
= α + + −α
uuuur uuuur

( ) ( )
OM ,ON OM ,ON
′ ′ ′ ′
= α + − α =
uuuur uuuur uuuur uuuur

Do đó :
( )
2
2 2 2
M N ON OM ON 2ON OM OM
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= − = − × +

uuuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
( )
2 2
ON OM 2ON OM cos ON ,OM
′ ′ ′ ′ ′ ′
= + − × ×
uuuur uuuur uuuur uuuur
( )
2 2
ON OM 2ON OM cos ON,OM= + − × ×
uuur uuuur uuur uuuur
( )
2
2
ON OM MN= − =
uuur uuuur uuuur
Vậy
M N MN
′ ′
=
uuuuur uuuur
hay
M N MN
′ ′
=
.
Như thế ta đã chứng minh được phép quay là phép dời hình.
Từ định nghĩa và định lí trên ta suy ra phép quay có các tính chất sau:
- Phép quay là phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình.
- Trong phép quay

O
Q ( 0)
α
α ≠
, chỉ có tâm
O
là điểm kép duy nhất, và
nếu đường thẳng
a
đi qua
O
thì đường thẳng
a
′
(là ảnh của đường thẳng
a
)
cũng đi qua điểm
O
.
- Nếu phép quay
O
Q
α
biến điểm
M
thành điểm
M
′
thì phép quay

O
Q
−α
biến điểm
M
′
thành điểm
M
, nghĩa là nếu
O
f Q
α
=
thì
1
O
f Q
− −α
=
.
- Qua phép quay
O
Q
α
nếu điểm
A
biến thành điểm
A
′
, điểm

B
biến thành
điểm
B
′
thì
( )
AB,A B
′ ′
= α
uuur uuuur
.
12
- Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay
O
và góc quay
α
,
hoặc biết tâm quay
O
và cặp điểm tạo ảnh và ảnh của
( )
M,M
′
.
II. CÁC PHÉP ĐỒNG DẠNG PHẲNG
2.1. Đại cương về các phép đồng dạng phẳng
2.1.1. Định nghĩa
Một phép biến hình
f : P P→

gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai
điểm
A, B
bất kì của mặt phẳng thành hai điểm
( )
A f A
′
=
và
( )
B f B
′
=
sao
cho luôn luôn có
A B kAB
′ ′
=
, trong đó
k
là một số thực dương xác định. Số
k
được gọi là tỉ số đồng dạng. Phép đồng dạng tỉ số
k
được kí hiệu:
( )
kΖ
.
Đặc biệt:
- Khi

k 1
=
, phép đồng dạng trở thành phép dời hình.
- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số
k
là phép đồng dạng tỉ số
1
k
.
- Tích của hai phép đồng dạng có các tỉ số
1 2
k , k
là phép đồng dạng với tỉ
số
1 2
k k k= ×
.
- Phép biến hình đồng nhất
Id
là một phép đồng dạng.
2.1.2. Các tính chất của phép đồng dạng
Từ định nghĩa của phép đồng dạng, ta dễ dàng suy ra các tính chất sau đây
của phép đồng dạng, trong đó có những tính chất của phép dời hình.
Định lí 2.1.2.1. Phép đồng dạng bảo toàn sự thẳng hàng của 3 điểm và thứ tự
của chúng trên đường thẳng chứa 3 điểm đó.
Hệ quả 1: Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp
k
lần độ dài của đoạn thẳng ban đầu.
Hệ quả 2: Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với

nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường
tròn, trong đó tâm biến thành tâm còn bán kính có độ dài gấp
k
lần bán kính
đường tròn ban đầu.
13
2.1.3. Phân loại các phép đồng dạng
Phép đồng dạng chia làm hai loại, loại 1 và loại 2 tùy theo nó bảo toàn
hướng hay ngược hướng của hình.
- Phép đồng dạng thuận, hay vắn tắt là phép đồng dạng, là một phép đồng
dạng bảo toàn hướng của hình.
- Phép đồng dạng nghịch, hay còn gọi là phép đồng dạng gương hay phản
đồng dạng, là một phép đồng dạng phẳng đảo ngược hướng của hình.
2.1.4. Khái niệm về hai hình đồng dạng
Định nghĩa: Hai hình
H
và
H
′
gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép
đồng dạng
Ζ
biến hình này thành hình kia, hay
( )
H H
′
Ζ =
.
Nếu phép đồng dạng
Ζ

biến hình
H
thành
H
′
thì phép đồng dạng đảo
ngược của
Ζ
biến
H
′
thành
H
.
Kí hiệu hai hình đồng dạng bởi
:
, chẳng hạn:
ABC A B C
′ ′ ′
∆ ∆:
.
2.2. Phép vị tự
2.2.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm
O
cố định và một số
k 0≠
. Phép biến
hình biến mỗi điểm
M

của mặt phẳng thành điểm
M
′
sao cho
OM kOM
′
=
uuuur uuuur
được gọi là phép vị tự tâm
O
tỉ số
k
.
Kí hiệu:
k
O
V
hay
( )
V O, k
, điểm
O
gọi là tâm vị tự, số
k
gọi là tỉ số vị tự.
Phép vị tự gọi là thuận nếu
k 0>
, nghịch nếu
k 0<
.

Như vậy phép vị tự sẽ xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị tự
k
của nó.
2.2.2. Các trường hợp đặc biệt
- Nếu
k 1=
, khi đó
OM OM
′
=
uuuur uuuur
tức là
M
′
trùng với
M
, lúc đó phép vị tự
là phép đồng nhất.
- Nếu
k 1= −
, khi đó
OM OM
′
= −
uuuur uuuur
tức là đoạn thẳng
MM
′
nhận
O

làm
trung điểm, lúc đó phép vị tự là phép đối xứng qua tâm
O
và ta có
O
là điểm kép.
2.2.3. Các tính chất
Định lí 2.2.3.1. Nếu phép vị tự
k
O
V
biến hai điểm
A, B
lần lượt thành hai điểm
A , B
′ ′
thì
A B kAB
′ ′
=
uuuur uuur
.
14
Chứng minh
Theo định nghĩa ta có:

OA kOA
′
=
uuuur uuur

,
OB kOB
′
=
uuur uuur
Do đó:
( )
OB OA kOB kOA k OB OA
′ ′
− = − = −
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
Hay
A B kAB
′ ′
=
uuuur uuur
.
Hệ quả 1: Nếu phép vị tự biến
A
thành
A
′
, biến
B
thành
B
′
thì đường thẳng
AB
và

A B
′ ′
song song với nhau hoặc trùng nhau và
A B k AB
′ ′
=
.
Hệ quả 2: Phép vị tự biến tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó và
biến một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùng phương.
Định lí 2.2.3.2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh
Giả sử qua phép vị tự tâm
O
tỉ số
k
, ba điểm
A, B, C
thẳng hàng lần lượt
thành ba điểm
A , B , C
′ ′ ′
. Theo định lí 2.2.3.1, ta có:
A B kAB
′ ′
=
uuuur uuur
,
A C kAC
′ ′
=

uuuur uuur
Vì ba điểm
A, B, C
thẳng hàng nên
AC mAB=
uuur uuur
Do đó:
kAC k(mAB) mkAB m(kAB) mA B
′ ′
= = = =
uuur uuur uuur uuur uuuur
Hay
A C mA B
′ ′ ′ ′
=
uuuur uuuur
Nghĩa là ba điểm
A , B , C
′ ′ ′
thẳng hàng.
Hệ quả: Phép vị tự biến đường thẳng
a
thành đường thẳng
a
′
cùng phương với
a
, biến một tia thành một tia cùng phương với tia đó.
15
A’

A
B
B
′
O
M
I
O
I'
M'
Định lí 2.2.3.3. Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn.
Chứng minh
Cho phép vị tự
k
O
V
và đường tròn tâm
I
, bán kính
R
.
Gọi
I
′
là ảnh của
I
qua phép vị tự
k
O
V

Gọi
M
là một điểm bất kì trên đường tròn
(I, R)
và
M
′
là ảnh của
M
qua phép vị tự đó.
Ta có:
OI kOI
′
=
uuur uur

OM kOM
′
=
uuuur uuuur
Theo hệ quả
của định lí 2.2.3.1:
I M k IM k R
′ ′
= =
(vì
IM R=
).
Vậy
M

′
nằm trên đường tròn
( )
I , R
′ ′
với
R k R
′
=
.
Ngược lại, nếu
M
′
nằm trên đường tròn
( )
I , R
′ ′
và gọi
M
là tạo ảnh của
điểm
M
′
thì
k IM I M k R
′ ′
= =
nên
R IM
=

.
Vậy
M
nằm trên đường tròn
( )
I, R
.
Do đó phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn.
2.2.4. Tâm vị tự của hai đường tròn
Cho hai đường tròn tâm
I
và
I
′
lần lượt có bán kính là
R
và
R
′
. Ta xét
phép vị tự biến đường tròn
( )
I, R
thành đường tròn
( )
I , R
′ ′
.
Gọi
O

là tâm của phép vị tự,
k
là tỉ số vị tự. Khi đó :
R k R
′
=
Xét các trường hợp sau :
2.2.4.1. Nếu
I
khác
I
′
và
R R
′
=
thì phép đối
xứng tâm
O
là phép vị
16
O
I
I'
M
M'
tự duy nhất
1
O
V

−
biến
( )
I, R
thành
( )
I , R
′ ′
trong đó
O
là trung điểm của đoạn
thẳng
II
′
.
2.2.4.2. Nếu
I
trùng
I
′
và
R R
′
≠
, khi đó
cả hai phép vị tự tâm
I
và tỉ số vị tự
i
R

k
R
′
= ±

( )
i 1, 2=
đều biến đường tròn
( )
I, R
thành đường tròn
( )
I , R
′ ′
.
2.2.4.3. Trong trường hợp tổng quát với
I
khác
I
′
và
R R
′
≠
.
Gọi
O
′
là điểm sao cho
R

O I O I
R
′
′ ′ ′
=
uuur uuur
ta được phép vị tự
k
O
V
′
biến đường
tròn
( )
I, R
thành đường tròn
( )
I , R
′ ′
(với tỉ số vị tự
R
k
R
′
=
) và
k
O
V
′

được gọi là
phép vị tự thuận vì
R
k 0
R
′
= >
.
Gọi
O
′′
là điểm sao cho
R
O I O I
R
′
′′ ′ ′′
= −
uuuur uuur
ta được phép vị tự
k
O
V
′
′′
biến
đường tròn
( )
I, R
thành đường tròn

( )
I , R
′ ′
(trong đó
R
k
R
′
′
= −
) vì
R
k 0
R
′
′
= − <
nên ta gọi phép vị tự ứng với
k 0
′
<
là phép vị tự nghịch.
Như vậy, có hai phép vị tự biến đường tròn
( )
I, R
thành đường tròn
( )
I , R
′ ′
.

17
O''
M
I
I'
O'
M'
M''
M
I
M''
M'
T
O
I
I'
I
T'
I'
* Các trường hợp đặc biệt
Nếu hai đường tròn
( )
I, R
và
( )
I , R
′ ′
tiếp xúc
ngoài tại
T

thì
T
là tâm vị
tự nghịch của hai đường
tròn đó. Tâm vị tự thuận
O
là giao điểm của một
tiếp tuyến chung với
đường nối tâm
II
′

( khác với
T
).
Nếu hai đường tròn
( )
I, R
và
( )
I , R
′ ′
tiếp xúc trong tại
T
′
thì
T
′
là tâm vị tự thuận
của hai đường tròn đó.

2.2.5. Tích của hai phép vị tự
Định lí 2.2.5.1. Tích của hai phép vị tự cùng nhận
O
làm tâm và có tỉ số vị tự
lần lượt là
1 2
k , k
là một phép vị tự tâm
O
có tỉ số vị tự
2 1
k k k= ×
.
Chứng minh
Gọi
M
′
là ảnh của điểm
M
qua phép vị tự
1
k
O
V
,
M
′′
là ảnh của điểm

M
′
qua phép vị tự
2
k
O
V
.
18
Khi đó :
( )
1 2 2 1 2 1
OM k OM, OM k OM k k OM k k OM
′ ′′ ′
= = = =
uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuur
.
Vậy phép vị tự
k
O
V
biến điểm
M
thành
M
′′
, với
2 1
k k k= ×
Nếu

2 1
k k 1× =
thì tích đó là một phép đồng nhất.
Định lí 2.2.5.2. Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng
hàng với hai tâm của phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay đồng
nhất.
Chứng minh
Giả sử phép vị tự
1
f
có tâm
1
O
tỉ số
1
k
, phép vị tự
2
f
có tâm
2
O
tỉ số
2
k
.
Với hai điểm
A,B
bất kì ta có:
( )

1
f AB A B
′ ′
=
uuur uuuur
với
( )
1 2
A B k AB, f A B A B
′ ′ ′ ′ ′′ ′′
= =
uuuur uuur uuuur uuuuur
với
2
A B k A B
′′ ′′ ′ ′
=
uuuuur uuuur
Do đó
2 1
A B k k AB
′′ ′′
= ×
uuuuur uuur
, nghĩa là hai vector
A B , AB
′′ ′′
uuuuur uuur
cộng tuyến (song
song với nhau)

Vậy tích
2 1
f fo
là:
- Phép vị tự nếu
2 1
k k 1× ≠
.
- Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu
2 1
k k 1× =
.
Ta cần xác định tâm vị tự
O
của tích
2 1
f fo
.
19
B
′
1
O
2
O
O
A
B
B
′′

A
′′
A
′
Ta thấy: Tâm
O
phải nằm trên đường thẳng
1 2
O O
vì đường thẳng đó biến
thành chính nó qua
1
f
và qua
2
f
( thật vậy
( ) ( )
1 2 1 2
f O O O O , f O O= =
, suy ra
1 2
O O O∈
), do đó cũng biến thành chính nó trong phép biến hình tích
2 1
f fo
.
Giả sử
( )
1

f O O
′
=
và
( )
2
f O O
′ ′′
=
, theo định nghĩa ta có:

1 1 1
O O k O O
′
=
uuuur uuuur
(1)

2 2 2
O O k O O
′′ ′
=
uuuuur uuuuur
(2).
Nhưng
2 2 1 1
O O O O O O
′ ′
= +
uuuuur uuuuur uuuur

.
Do đó:
( ) ( )
2 2 2 1 1 2 2 1 1 1
O O k O O O O k O O k O O
′′ ′
= + = +
uuuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur
(theo (1)).

2 1 1 2 2 1 2 1 1
O O O O k O O k k O O
′′
+ = +
uuuuur uuuuur uuuuur uuuur
(*).
Vậy điểm
O
phải tìm, nếu tồn tại thì được xác định bởi hệ thức (*) (bằng
cách cho
O O
′′
=
).
Khi đó ta có:

( ) ( ) ( )
2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 k k O O k 1 O O 1 k O O− = − = −
uuuur uuuuur uuuuur

, với
2 1
1 k k 0− ≠
nên:

2
1 1 2
2 1
1 k
O O O O
1 k k
−
=
−
uuuur uuuuur
(**).
Vì
1 2
O ,O
đã cho nên điểm
O
hoàn toàn được xác định từ hệ thức (**).
Mặt khác, hệ thức (**) cũng chứng tỏ rằng ba điểm
1 2
O , O , O
thẳng hàng
với điều kiện
2 1
1 k k 0− ≠
hay

2 1
k k 1× ≠
.
Như vậy nếu
2 1
k k 1× ≠
thì tích
2 1
f fo
là một phép vị tự tâm
O
xác định
bởi hệ thức (**).
Còn nếu
2 1
k k 1× =
thì
A B AB
′′ ′′
=
uuuuur uuur
,
do đó tích
2 1
f fo
là một phép tịnh tiến theo
vector
AB
uuur
nếu

1
O
và
2
O
phân biệt và

2 1
f fo
là một phép đồng nhất nếu
1
O
và
2
O
trùng nhau.
20
A
A
′
B
′
B
A
′′
B
′′
2
O
O

1
O
2.3. Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng
Định lí 2.3.1. Trong mặt phẳng cho
ABC∆
và
A B C
′ ′ ′
∆
đồng dạng với nhau
theo tỉ số
k
, nghĩa là
A B kAB, B C kBC, C A kCA
′ ′ ′ ′ ′ ′
= = =
thì khi đó có duy
nhất một phép đồng dạng
Ζ
biến
A
thành
A , B
′
thành
B , C
′
thành
C
′

.
Chứng minh
Xét phép vị tự
k
A
V
tâm
A
tỉ số
k
biến
ABC∆
thành
1 1
AB C∆
mà
1 1 1 1
AB kAB, B C kBC, C A kCA= = =
.

1 1
AB C A B C
′ ′ ′
⇒ ∆ = ∆
.
Gọi
g
là phép dời hình biến
1 1
A, B , C

lần lượt thành
A , B , C
′ ′ ′
.
Như vậy tích
k
A
g Vo
là phép đồng dạng biến
A
thành
A , B
′
thành
B , C
′
thành
C
′
.
Giả sử có hai phép đồng dạng
1
Ζ
và
2
Ζ
đều biến
ABC∆
thành
A B C

′ ′ ′
∆
thì phép
1
1 2
−
Ζ Ζo
là một phép đồng dạng tỉ số
1
biến
ABC∆
thành chính nó, tức
là
1
1 2
−
Ζ Ζo
là phép đồng nhất
e
hay
1
1 2
e
−
Ζ Ζ =o
. Vậy
1 2
Ζ = Ζ
.
Hệ quả 1: Một phép đồng dạng phẳng bao giờ cũng có thể phân tích được thành

tích của một phép vị tự và một phép đẳng cự (dời hình hoặc phản dời hình) theo
thứ tự đó hay theo thứ tự ngược lại.
Hệ quả 2: Một phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng tương ứng với tích của
một phép vị tự và một phép quay hay phép tịnh tiến (theo thứ tự đó hay theo thứ
tự ngược lại).
21
1
B
A
C
B
A
C
′
C
B
B
′
A
′
2.4. Phép vị tự quay
2.4.1. Định nghĩa
Mọi phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng khác với phép tịnh tiến đều
có một điểm bất động duy nhất
O
và tương đương với tích giao hoán của một
phép vị tự và một phép quay cùng tâm
O
. Tích giao hoán này được gọi là phép
vị tự - quay và là dạng chính tắc của phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng.

Nói ngắn gọn, phép vị tự quay là tích của một phép vị tự và một phép
quay với cùng một tâm.
Phép đồng vị tự quay tâm
O
góc
ϕ
và tỉ số
k
được kí hiệu là
( )
O, ,kΖ
ϕ
.
Như vậy:
( )
k k
O O O O
O, ,k Q V V QΖ = × = ×
ϕ ϕ
ϕ
.
Tỉ số của phép vị tự quay có thể coi là một số dương, bởi vì:

180 k k
O O O
Q V V
°
−
× =
.

2.4.2. Tính chất
Phép vị tự quay tâm
O
, góc
ϕ
, tỉ số
k
là phép đồng dạng thuận nên
mang đầy đủ các tính chất của phép đồng dạng.
22
CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP VỊ TỰ QUAY ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
I. CÁC ĐA GIÁC VỊ TỰ VỚI NHAU
1.1. Các ví dụ
Ví dụ 1.1.1. Chứng minh rằng các đường cao của một tam giác đồng quy tại một
điểm
H
, đồng thời điểm
H
nằm trên cùng một đường thẳng với trọng tâm
M
và tâm đường tròn ngoại tiếp
O
của các tam giác (chính xác hơn, điểm
M
nằm
trên đoạn thẳng
OH
và chia đoạn thẳng đó theo tỉ lệ
OM :OH 1:2=

).
Giải
Giả sử
A , B , C
′ ′ ′
lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB
của
ABC∆
và
M
là trọng tâm của
ABC∆
.
Ta biết trong một
tam giác ba đường trung
tuyến đồng quy tại một
điểm, điểm này cách mỗi
đỉnh của tam giác bằng
2
3
độ dài của đường trung
tuyến xuất phát từ đỉnh đó.
23
C'
M
O
B'
A'
H

A
B
C
Như vậy, qua phép vị tự
2
M
V
−
điểm
A
′
biến thành điểm
A
.
Do đó, đường trung trực của cạnh
BC
biến thành đường vuông góc hạ từ
đỉnh
A
xuống cạnh
BC
.
Vì các đường trung trực của các cạnh của tam giác đồng quy tại tâm
O
của đường tròn ngoại tiếp nên các đường cao của tam giác cũng đồng quy tại
một điểm
H
là ảnh của điểm
O
qua phép vị tự tâm

M
tỉ số
2−
.
Theo giả thiết,
A B C
′ ′ ′
∆
là ảnh của
ABC∆
trong phép vị tự tâm
M
, tỉ số
1
k
2
= −
. Nghĩa là, ta được :
1
OM MH
2
=
uuuur uuuur
hay
OM : MH 1:2=
.
Vậy ba điểm
M, O, H
thẳng hàng (đặc biệt đường thẳng đi qua 3 điểm
M, O, H

gọi là đường thẳng Ơle) (điều phải chứng minh).
Ví dụ 1.1.2. Chứng minh rằng các trung điểm các cạnh của một tam giác, chân
các đường cao và các trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh, cùng
nằm trên một đường tròn (đường tròn 9 điểm).
Giải
Giả sử
A , B , C
′ ′ ′
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
BC, CA,
AB
;
A , B , C
′′ ′′ ′′
là chân
các đường cao;
A
′′′
,
B , C
′′′ ′′′
là các trung
điểm các đoạn thẳng nối
trực tâm
H
với các đỉnh.
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC∆
và gọi
O
′
là tâm đường tròn
ngoại tiếp
A B C
′ ′ ′
∆
.
24
C'''
B'''
A'''
O'
O
C''
H
M
B''
A''
C'
B'
A'
A
B
C
Khi đó,
O
′

là hình vị tự của tâm
O
trong phép vị tự
1
V M,
2
 
−
 ÷
 
Do đó,
O
′
cũng nằm trên các đường thẳng Ơle
OMH
và ta có :
1
MO MO
2
′
= −
uuuur uuuur
, hay
MO 1
2
MO
′
= −
HM 2MO 4MO
′

⇒ = =
và
OH 3OM=
;
3MO OO HO
′ ′ ′
= =
.
Ta được :
O H OO
′ ′
= −
HO MO 1
2
HO MO
′ ′
⇒ = =
hay
1
HO HO
2
′
=
.
Do đó,
H
là tâm vị tự thứ hai biến đường tròn tâm
O
thành đường tròn
tâm

O
′
theo tỉ số
1
2
.
Trong phép vị tự thứ hai
1
2
H
V
này, các đỉnh
A, B, C
của
ABC∆
theo thứ
tự biến thành các trung điểm
A , B , C
′′′ ′′′ ′′′
của các đoạn thẳng nối trực tâm
H
với
các đỉnh
A, B, C
.
Ngoài ra, dễ thấy rằng
A A , B B , C C
′ ′′′ ′ ′′′ ′ ′′′
là các đường kính của đường
tròn

( )
O
′
. Từ đó suy ra
( )
O
′
cũng đi qua chân
A , B , C
′′ ′′ ′′
của các đường cao
AA , BB , CC
′′ ′′ ′′
của
ABC∆
.
Chính vì vậy đường tròn
( )
O
′
được gọi là đường tròn chín điểm hay
đường tròn Ơle của tam giác
ABC
(điều phải chứng minh).
1.2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Đường tròn
S
tiếp xúc với các cạnh bằng nhau
AB
và

BC
của tam giác
cân
ABC
tại các điểm
P
và
K
đồng thời tiếp xúc trong với các đường tròn
ngoại tiếp
ABC∆
. Chứng minh rằng trung điểm đoạn thẳng
PK
là tâm đường
tròn nội tiếp trong
ABC∆
.
Hướng dẫn
Xét phép vị tự
k
B
V :AC A C
′ ′
a
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
25