Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 2014

Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ
bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học
vào giải các bài tốn là điều rất cần thiết. Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thơng, thường
gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong
các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông.
Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận
và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho
học sinh.
Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn
chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài tốn này, học sinh phổ
thơng thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng
thức Cơsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với
bài toán này rất quan trọng. Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề:
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”
Việc lựa chọn cơng cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách
nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài tốn đại số theo quan
điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài tốn đại
số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa
độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh
cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên

quan khác,…
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn
Hữu Tiến.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với
lớp đối chứng.
4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
- Mục lục
- Mở đầu
- Nội dung
- Thực nghiệm sư phạm
- Tài liệu tham khảo

1


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

PHẦN 2: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc trong mặt phẳng
a) Định nghĩa:

x 'Ox , y 'Oy
Ox ,Oy
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng
vng góc với nhau. Trên
lần lượt
r r

i,j
Oxy
chọn các véc tơ đơn vị
. Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Đề-các vng góc
.
b) Toạ độ của một điểm và của một véc tơ
- Cho điểm

(Oxy )

M

r r
i,j

tùy ý trong mặt phẳng
. Vì hai véctơ
khơng đồng phẳng nên có một
uuur
r
r
OM = xi + yj
(x ; y )
(x ; y )
bộ số
duy nhất sao cho:
. Bộ hai số
được hoàn toàn xác định bởi
M (x ; y )
M

M
điểm
và được gọi là toạ độ của điểm
, ký hiệu
.
uuur
r
r
Oxy
a
M
OM = a
- Cho
trong mặt phẳng
. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm
sao cho
. Gọi
r
(x ; y )
(x ; y )
Oxy
M
a
là toạ độ của điểm
. Khi đó bộ hai số
gọi là toạ độ của véc tơ trên hệ trục
r
a = (x ; y )
và ký hiệu là
.

c) Các phép tính véc tơ
r
r
a = (a1; a 2 ), b = (b1;b2 )
k
Cho hai véctơ
và là một số thực.
Các phép tính véctơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vơ hướng hai
véctơ được xác định như sau:
r r
a ± b = (a1 ± b1;a 2 ± b2 )
r
ka = (ka1; ka 2 )
rr
a .b = a1b1 + a 2b2 .
d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách:
r
r
a = (a1; a 2 ), b = (b1;b2 )
a
Cho hai véctơ
và gọi là góc tạo bởi hai véctơ đó.
i) Độ dài véctơ:

r
2
2
a = a1 + a 2

uuu

r
A B = A B = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2
A (x A ; y A ), B (x B ; y B )
ii) Khoảng cách giữa hai điểm
:
.
rr
a1a 2 + b1b2
a .b
cos a = r r =
2
2
2
a .b
a1 + a 2 . b12 + b2
iii) Góc giữa hai véctơ:
.

2


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

e) Phương trình đường thẳng
d

- Phương trình của đường thẳng
đi qua điểm

a (x - x 0 ) + b(y - y 0 ) = 0
pháp tuyến là:
.
- Khoảng cách từ điểm

M (x 0 ; y 0 )

M (x 0 ; y 0 )

đến đường thẳng
d (M ; d ) =

và nhận véctơ

d : ax + by + c = 0

r
n = (a;b)

làm véctơ

là:

ax 0 + by 0 + c
a 2 + b2

f) Phương trình đường trịn
Phương trình đường trịn tâm

I (a;b)

, bán kính

R

là:

(x - a )2 + (y - b)2 = R 2

.

2. Một số bất đẳng trong hình học

a) Bất đẳng thức véctơ

r
r
r
r r
r
a - b £ a+b £ a + b

i)
- Dấu “=” bên trái xảy ra khi

r r
a ,b

- Dấu “=” bên phải xảy ra khi
r r

r r
- a . b ££ .b
a

r r
a,b

r r
a .b

ii)
- Dấu “=” bên trái xảy ra khi

r r
a ,b
r r
a,b

ngược hướng hoặc
cùng hướng hoặc

ngược hướng hoặc

r r
a =0
r r
a =0

r r
a =0

r r
a =0

hoặc
hoặc

hoặc

r r
b =0
r r
b =0

.

r r
b =0
r r
b =0

.

.

- Dấu “=” bên phải xảy ra khi
cùng hướng hoặc
hoặc
.
b) Bất đẳng thức tam giác:
A, B ,C

A B + BC ³ A C
Với ba điểm
bất kì ta ln có
. Dấu “=” xảy ra khi
A, B ,C
theo thứ tự đó thẳng hàng.
A, B
Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm
cho trước thì đoạn
thẳng

AB

c) Cho điểm
H Ỵ d

có độ dài nhỏ nhất.
M

nằm ngồi đường thẳng

) ngắn nhất khi

H

d

. Khi đó độ dài đoạn thẳng

là hình chiếu vng góc của

M

MH

(với

trên đường thẳng

d.

II. BÀI TẬP
Phương pháp:
+ Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định véctơ, các
điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức ban đầu.

3


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

+ Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài tốn bằng phương
pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f (x ) = x 2 - x + 1 +

x2 -

3x + 1

với

xỴ ¡

.

Giải:
Viết lại hm s di dng:
2
2
ổ 1ữ ổ 3 ử
ử ỗ ữ
f (x ) = ỗx - ữ + ỗ ữ +
ỗ
ữ
ỗ
ữ ç ÷
2÷ ç 2 ø
è
ø è ÷

Hàm số xác định trờn

Ă

. Xột trờn h trc ta

ổ

ỗ
ỗx ỗ
ỗ
ố

Oxy

2

3ử
ữ
ữ+
ữ
ữ
2 ứ
ữ

2

ổử
ỗ1 ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố2 ữ
ứ

.

Cỏch 1:

Chn

r ổ
1 3ử r ổ
ữ
ỗ
ỗ
u = ỗ- x + ; ữv = ỗx ;
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
2 2 ứ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố

3 1ử
ữ
; ữ
ữ
ữ
2 2ứ
ữ
ị

2

ổ 3 1ữ
ử
r r
ỗ
u + v = ỗ - ữ+
ữ
ỗ
ỗ2
2ữ
ữ
ỗ
ố
ứ

2

ổ
ử
ỗ1
ữ
ỗ + 3ữ = 2
ữ
ỗ
ỗ
2 ữ
ữ
ỗ
ố2

ứ

r
r
r r
f (x ) = u + v ³ u + v = 2

Khi đó

Dấu bằng xảy ra khi các véctơ
Vậy

min f (x ) = 2

Cách 2: Gọi

khi

x =

r r
u, v

3- 1

r
r
Û u = kv (k > 0) Û

ìk = 3

ï
ï
ï
í
ïx = 3 - 1
ï
ï
ỵ

.

.

ỉ 3 ữ ổ 3 1ữ
ử
ử
ỗ1
ữ B ỗ ; - ữC (x , 0)
ỗ ;
ỗ
Aỗ
,
ữ ỗ
ữ
ỗ
2ữ
ữ ỗ
ữ
ỗ2 2 ữ ỗ 2
ố

ứ ố
ứ
2

2
ử
ổ 1ử ổ 3 ữ
ữ+ ỗ ữ
ỗx - ữ ỗ ữ
AC = ỗ
ữ ỗ
ỗ
ữ ỗ ữ
2ứ ỗ 2 ữ
ố
ố ứ

ổ
ỗ
BC = ỗx ỗ
ỗ
ỗ
ố

2

3ử
ữ
ữ+
ữ

ữ
2 ứ
ữ

2

ổử
ỗ1 ữ
ỗ ữ
ữ
ỗ2 ứ
ố ữ

v
Nờn ta cú:

f (x ) = A C + BC

.

Theo bất đẳng thức tam giỏc ta cú:
2

ổ 3 1ử
ữ
ỗ
A C + BC A B = ỗ - ữ +
ữ
ỗ
ữ

ỗ2
2ứ
ữ
ỗ
ố

ổ1
ỗ
ỗ ỗ
ỗ
ỗ
ố 2

2

3ử
ữ
ữ= 2
ữ
ữ
2 ứ
ữ

. Nờn

f (x )

2, " x ẻ Ă

.

4


Trần Mạnh Hân

Vậy

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

min f (x ) = 2

khi

C

là giao điểm của

AB

và trục

Ox

, từ đó

x =

3- 1

.

Bình luận:
- Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó khăn vì để
f '(x ) = 0
tìm nghiệm của phương trình
dẫn tới việc giải phương trình bậc 4.
- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:
r r
r r
u+v
u, v
+ Cách 1: Việc chọn vectơ
cần phải khéo léo để sao cho
là một hằng số đồng
thời dấu “=” phải xảy ra.

+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cp im

ổ 3 ử ổ 3 1ữ
ử
ữ ỗ
ỗ1
A ỗ ; ữB ỗ ; - ữ
, ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ ỗ
ỗ2 2 ứ ố 2

2ữ
ữ ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ

A B , BC

phi cp im khỏc, mc dự các biểu thức tính khoảng cách

chọn

ỉ 3 ư ỉ 3 1ử
ữ ỗ
ữ
ỗ1
A ỗ ; ữB ỗ ; ữ
,
ữ ỗ
ữ
ỗ
ữ ỗ
ữ
ỗ2 2 ứ ố 2 2 ứ
ữ ỗ
ữ
ỗ
ố

thỡ vn thu c

phớa so với trục

Ox

. Khi đó để tìm giá trị nhỏ nhất của

bằng cách chọn điểm

giao điểm của

AB '

f (x ) = A C + BC

B'

đối xứng với

và trục

Ox

B

qua

Ox

. Nên ta chọn điểm

, tức là

khơng đổi, ta có thể

. Lúc này

A C + BC

mà khơng

A

và

B

nằm cùng

bài tốn sẽ dài hơn

ỉ 3 1ữ
ử
ỗ
B ' ỗ ;- ữ
ữ
ỗ
ỗ2
2ữ

ữ
ỗ
ố
ứ

v khi ú

M

l

ổ 3 1ử
ữ
ỗ
B ỗ ;- ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2ứ
ữ
ỗ2
ố

.

- M rng bi toỏn:
+ Th nht: Liu cỏc hệ số của các biểu thức có phải là bất kì khơng? Nếu thay
x2 - x + 1
x2 - x

x2 - x - 1
bởi biểu thức
hay
thì sao?
Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một véctơ nên biểu thức dưới
dấu căn phải luôn dương.
+ Thứ hai: Hệ số của

x2

trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải bằng nhau

khơng? Nếu khơng thì sao? Ví dụ:

f (x ) = x 2 - x + 1 +

2x 2 - x + 1

Trả lời: Do khi áp dụng: “Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm
đoạn thẳng

AB

A, B

cho trước thì

có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách giữa điểm đầu và cuối là không

5

Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

A (m , n ), B ( p, q)
A (x + m , n ), B (x + p, q)
A, B
đổi, nên cặp điểm
phải có dạng
hoặc
hoặc
A (m , y + n ), B ( p, y + q)
A (x , y ), B (x + p, y + q)...
m , n , p, q
hoặc
(trong đó
là các giá trị
C

khơng đổi). Và với điểm
bất kì thay đổi thì khi áp dụng cơng thức khoảng cách để tính
A C , BC
x2
ta ln được hệ số của
là bằng nhau.
+ Thứ ba: Khi thay bằng hàm số
lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không?

f (x ) = x 2 - x + 1 -

Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số

f (x )

x2 -

3x + 1

có thể đạt giá trị

sẽ đạt được giá trị lớn nhất. Nếu như muốn
æ 3 ử ổ 3 1ử
ữ ỗ
ữ
ỗ1
A ỗ ; ữB ỗ ; ữ
,
ữ ỗ
ỗ
ữ ỗ 2 2ữ
ữ
ỗ2 2 ứ ố
ữ ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ

tỡm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn
sao cho cùng phía so
f (x ) = A C - BC £ A B
Ox
với trục
thì ta có
. Từ đó ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm
số trên.
+ Thứ tư: Ta có thể tìm thêm giá trị lớn nhất của hàm số không?
Trả lời: Nếu như giới hạn của biến
nhất của hàm số đó.

x

lại trong một tập

D

thì ta có thể tìm được giá trị lớn

Các vấn đề sẽ lần lượt được áp dụng và trình bày qua các bài tốn dưới đây.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f (x ) = x 2 - 2px + 2p 2 +

x 2 - 2qx + 2q 2

,(

p, q

là hai số cho trước)

Giải:
p + q > 0

TH1: Xét
Trên mặt phẳng tọa độ
2

Oxy

f ( x ) = ( x - p )2 + p +

Rõ ràng có:

A (x - p; p ); B (x - q, - q )

xét các điểm

. Khi đó :

2

(x - q)2 + q = OA + OB

OA + OB ³ A B

.

A B = (q - p)2 + ( p + q )2

Mà

không đổi với mọi vị trí của A và B.

6


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

(

(q - p)2 + p + q

f (x ) ³

Vậy ta ln có

)

2

.

A,O, B
Dấu "=" xảy ra khi
theo thứ tự thẳng hàng.
uuu

r
uuu
r
OA = (x - p; p ), BO = (q - x ; q )
Ta có
.

Khi đó
Û

A,O , B

theo thứ tự thẳng hàng

p
qp + pq
x- p
=
Û x=
q- x
q
p + q

.
Do độ dài đoạn

AB

không đổi với mọi vị trí của

A, B

nên ta có:

ỉp + pqử
ữ
ỗq
ữ
min f (x ) = f ỗ
ữ= A B = ( p - q)2 + ( p + q )2
ỗ
ỗ p + |q| ữ
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ

TH2: Xột

| p | + | q |= 0 Û p = q = 0.

f (x ) = 2 x Û min f (x ) = 0, khi x = 0.

Lúc này
min f (x ) = ( p - q)2 + ( p + q )2

Vì vậy, với mọi trường hợp ta đều có:
a, b, c, h
x , y, z

Bài 3: Cho
là bốn số dương cho trước và
là ba số thực thay đổi sao cho
ax + by + cz = k , k
( là số cho trước). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f (x , y , z ) = a h 2 + x 2 + b h 2 + y 2 + c h 2 + z 2

(1)

Giải:
Trên hệ trục

Ouv

, lấy được các điểm:

A (ah, ax ), B ((a + b)h; ax + by ), C ( (a + b + c )h; ax + by + cz )

Ta có:
Vậy

OA = a h 2 + x 2 ; A B = b h 2 + y 2 , BC = c h 2 + z 2

f (x ; y ; z ) = OA + A B + BC , (2)
OA + A B + BC

Và do
C ((a + b + c )h; k )

là độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định

O (0; 0)

và

.

7


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Từ (2) suy ra :
f (x ; y ; z ) ³ OC = k 2 + h 2 (a + b + c )2 ,

Dấu "=" trong (3) xảy ta
tự thẳng hàng.
Û

Û O , A, B , C

(3)

theo

thứ

k

ax
ax + by
ax + by + cz
Û x =y =z =
=
=
ah
ah + bh
ah + bh + ch
a + b+ c

Nh vy:

ổ k
k
k
fỗ
;
;
ỗ
ỗa + b + c a + b + c a + b +
è

ư
÷= k 2 + (a + b + c )2 h 2
÷
÷
c÷
ø

(4)

Từ (3) và (4), ta có:
min f (x ; y ; z ) = k 2 + (a + b + c )2 h 2

x =y =z =

khi

k
a + b+ c

.

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
f (x ) = x 2 - 2x + 2 +

x 2 + 2x + 2

trên miền

ì
ü
ï
ï
1
D = ï x | - Ê x Ê 1ù
ớ
ý
ù

ù
2
ù
ù
ợ
ỵ

Phõn tớch:
Nu lm nh bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà khơng tìm được giá trị lớn nhất.
Với bài này ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”.
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng:
f (x ) = 1 + (x - 1)2 +

Xét hệ trục tọa độ

1 + (x + 1)2

Ouv

, trên đó xét điểm cố định
M (1;1 - x )
điểm chuyển động
.
-

Khi

1

££
x
2

0 £ 1- x £

1

ta được

3
2

khi đó

M

N (2;2)

và

giới hạn trên đoạn thẳng

M 0M 1

với

3
M 0 (1; 0), M 1(1; ).
2

OM = 1 + (x - 1)2 , MN = 1 + ( x + 1) 2

Do:

8


Trần Mạnh Hân

f (x ) = OM + MN .

Suy ra

f (x )

+ Vậy
của

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

ON

và

Nên

f (x ) ³ ON ³ 2.

đạt GTNN bằng 2 khi
M 0M 1

O, M , N

+ Và

1
;1]
2

M Ỵ [M 0M 1 ]

max f (x ) = 1 +
x Ỵ [-

Vậy

M (1;1)

. Dễ dàng tìm được

max f (x ) = max (OM + MN )
x Ỵ [-

1
;1]
2

5

theo thứ tự thẳng hàng hay

hay

M

là giao điểm

x = 0.

= max{OM 0 + M 0N ;OM 1 + M 1N } = 1 +

5

.

min f (x ) = 2

x =1

khi

x Ỵ [-

;

1
;1]
2

khi

x = 0.

Bình luận:
- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình
khơng khó như bài 1.

f '(x ) = 0

- Sử dụng phương pháp này có thể giảng dạy phù hợp với chương trình lớp 10, phần hệ
trục tọa độ trong mặt phẳng.
x, y
Bài 5: Cho
là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x - 1)2 + y 2 + (x + 1)2 + y 2 + y - 2

(trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)
Phân tích:
M (x - 1; - y ), N (x + 1; y )
Hai căn thức đầu tiên làm ta nghĩ tới tọa độ các điểm
và sử dụng
bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai căn thức đầu tiên. Tuy nhiên cần khéo léo chọn để
dấu bằng xảy ra.

Giải:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, xét điểm

OM + ON = (x - 1)2 + y 2 +

M (x - 1; - y ) N (x + 1; y )
,
.

(x + 1)2 + y 2

Ta được
Do

OM + ON ³ MN

Đẳng thức xảy ra khi

(x - 1)2 + y 2 +

nên
M ,O, N

(x + 1)2 + y 2 ³ 2 1 + y 2

theo thứ tự thẳng hàng. Từ đó ta được

x = 0.

A ³ 2 1 + y 2 + y - 2 = f (y )

Do đó

9


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của
+ Nếu

trong hai trường hợp:

f (y ) = 2 1 + y 2 + 2 - y

y< 2

f '(y ) =

f (y )

ta được

2y
2

1+ y

3
3

- 1; f '(y ) = 0 Û y =

Bảng biến thiên

Từ đó suy ra:
+ Nếu
Vậy

y³ 2

f (y ) ³ 2 +

, tương tự ta được

A ³ 2+

x = 0, y =

Khi

3, " y < 2.

3

thì

.

A =2+

3

.

x, y.

3

nên giá trị nhỏ nhất của A là

Bình luận: Nếu như chọn cặp điểm
2+

Dấu bằng xảy ra khi

3
3

f (y ) = 2 1 + y 2 + y - 2 ³ 2 5 > 2 +

với mọi số thực
3
3

y=

M (x - 1; y ), N (x + 1; y )

2+

thì tuy

3.

MN = 2

sẽ nhỏ hơn

3

nhưng sẽ khơng có dấu “=” xảy ra. Vì vậy, việc chọn tọa độ trong bài này phải
hết sức tinh tế.
Bài 6: Với

xỴ ¡

, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f (x ) = 2x 2 - 2x + 2 +

2x 2 + ( 3 + 1)x + 1 +

2x 2 - ( 3 - 1)x + 1

Giải:
Phân tích vế trái:
2

2

2

f (x ) = (x - 1) + x +

ổ
ử
ỗ
ữ
ỗx + 3 ữ +
ữ
ỗ
ỗ
2 ữ
ữ
ố
ứ

2

ổ 1ử
ỗx + ữ +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố

ổ

ỗ
ỗx ỗ
ỗ
ố

2

ử
3ữ
ữ+
ữ
2 ữ
ữ
ứ

2

ổ 1ử
ỗx + ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố

10

Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Trong mặt phẳng tọa độ, ta xét các điểm
ỉ 3 1ư ỉ 3 1ư
÷ ç
÷
ç
M (x ; x ), A (1; 0), B ç; - ữC ỗ ; - ữ
,
ữ ỗ
ữ
ỗ
ữ ỗ2
ữ
ỗ
2ứ ố
2ứ
ữ ỗ
ữ
ỗ 2
è

Khi đó:
Nên

f (x ) = MA + MB + MC

f (x )

nhỏ nhất khi

M

nhìn 3 cạnh

A B , BC , A C

của
tam
f (x )
A BC
A BC
O
giác
dưới một góc 1200. Dễ thấy tam giác
đều, tâm nên
đạt giá trị
min f (x ) = f (0) = 3
x =0
M º O
nhỏ nhất khi
hay
. Và khi đó ta được
.
Chứng minh bài tốn phụ:
(A BC )
M
có ba góc nhọn và điểm

tùy ý nằm trong mặt phẳng
thì
A B , BC ,CA
MA + MB + MC
M
tổng
nhỏ nhất khi
nhìn 3 cạnh
dưới một góc 1200.

A BC

Cho tam giác

Hướng dẫn: Xét phép quay tâm
- Biến điểm
- Biến điểm

M
C

góc quay 600.

N

thành điểm
thành điểm

A

M

600 ta

Khi đó, theo tính chất của phép quay và do góc quay bằng
A M = MN , CM = NP
được :
.
MA + MB + MC

Vậy tổng
thẳng hàng.
Nói riêng

B,M ,N

nhỏ nhất

thẳng hàng mà

·
·
BMC = CMA = 1200

Û

tổng

·
A MN = 600

BM + MN + NP

nên

·
A MB = 1200

nhỏ nhất

Û B,M ,N ,P

. Tương tự ta cũng được

. Từ đó ta được điều phải chứng minh.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f (x ; y ) = (x + 1)2 + (y - 1)2 +

trong đó

x, y

là các số thực.

(x - 1)2 + (y + 1)2 +

(x + 2)2 + (y + 2)2

(Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)

f (x ; y )
Phân tích : Trong hàm số
xuất hiện căn bậc hai,
chúng ta nghĩ đến công thức khoảng cách giữa hai điểm.

gợi

Giải:

11


Trần Mạnh Hân

Xét các điểm
Oxy
. Ta có :

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

A (- 1;1); B (1; - 1);C (- 2; - 2)

M (x ; y )

và điểm

trong hệ trục tọa độ vng góc

MA = (x + 1)2 + (y - 1)2

MB = (x - 1)2 + (y + 1)2
MC = (x + 2)2 + (y + 2)2

Suy ra

f (x ; y ) = MA + MB + MC
f (x ; y )

MA + MB + MC
Û
Û M
đạt giá trị nhỏ nhất
tổng
đạt giá trị nhỏ nhất
A B , BC , CA
A BC
D A BC
nhìn 3 cạnh
của tam giác
dưới một góc 1200. Với chú ý
cân
M Ỵ [OC ].
C
tại
nên

Hàm số

Ta tính

f (x ; y ) :

Xét ta giác vng

OMA

xM = yM =

Khi đó
f (-

Suy ra
Bài 8: Cho

1
3

;-

1
3

có

OM
2

OM =

·

A MO = 600, OA = 2

=

1
3

nên
1

x =y =-

3

. Tức là

)= 6+ 2 2

a 2 + b2 = 1.

. Vậy GTNN của

OA
6
=
0
3
t an 60

.

f (x ; y )

là

6+ 2 2

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =a 1+ b + b 1+ a

Giải:
Oxy

r
r
u = (a ;b), v =

(

Trong mặt phẳng tọa độ
, chọn
r
r
u = a 2 + b2 = 1; v = 2 + a + b.
Khi đó ta được

1 + b; 1 + a

)

12


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
r
v £

2+

2 = (1 + 1)(a 2 + b2 ) ³ (a + b)2

2

r r
r r
P = a 1 + b + b 1 + a = u .v ££u . v

2+

2

Từ đó suy ra:

Dấu “=” xảy ra

.
ì a
ï
b
ï
=
ï
ï
Û í 1+ b
1+ a Û a =b
ï
ïa = b
ï
ï
ỵ

2

Kết hợp với điều kiện ban đầu

Vậy

min P = 2 +

Bài 9: Cho

, do đó ta được

x, y, z

2

a + b =1

ta được

2
.
2

a =b =

khi

là ba số dương và

2
2

a =b =

2

x+y+z£1

A = x2 +

1
+

x2

y2 +

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1
+
y2

z2 +

1
z2

(Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2003)
Giải:

Gọi

r ỉ 1ư r ỉ 1ư r ỉ 1ử
u = ỗx ; ữv = ỗ ; ữw = ç ; ÷
y
;
z
ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷
ç x ø;

ç ÷
ç ÷
÷
è ÷
è
ø
è zø

Khi đó

Ta có :

r ỉ
r r
1 1 1ư
÷
u + v + w = ỗx + y + z ; + + ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
x y zứ
ố

r
1 r
1 r
1
u = x2 + 2 ; v = y2 + 2 ; w = z2 + 2
x

y
z

A = x2 +

Khi đó

1
+
x2

y2 +

1
+
y2

z2 +

r
r r
1
=u+v+w
2
z

.

2

ỉ 1 1ư
r
r r
1
÷
u + v + w = (x + y + z )2 + ỗ + + ữ
ỗ
ỗx y z ÷
÷
è
ø

Và

13


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến
2

2

ỉ 1 1ư
ỉ 1 1ử
1
1
ữ
ữ

(x + y + z ) + ỗ + + ữ = 81(x + y + z )2 + ỗ + + ữ - 80(x + y + z )2
ỗ
ỗ
ữ
ỗx y z ứ
ỗx y z ữ
ữ
ữ
ố
ố
ứ
2

Ta cú

ổ 1 1ử
1
ữ
18(x + y + z ) ỗ + + ữ 80(x + y + z )2 ³ 162 - 80 = 82
ỗ
ỗx y z ữ
ữ
ố
ứ

r
r
r
r
r r

u + v + w u+v+w

Áp dụng bất đẳng thức
Ta được

A³

82.

Dấu "= " xảy ra khi các véctơ

r r r
u, v, w

Bài 10: Cho các số thực dương
của biểu thức :
P =

a, b, c

cùng hướng và
thỏa mãn

a 2 + 2b2
+
ab

x + y + z =1

x =y =z =

hay

ab + bc + ca = abc.

b 2 + 2c 2
+
bc

1
.
3

Tìm giá trị nhỏ nhất

c 2 + 2a 2
ca

Giải:
P =

Ta có

1
2
+ 2 +
2
b
a

Trong hệ trục tọa độ

Khi đó ta có

1
2
+ 2 +
2
c
b

Oxy

1
2
+ 2
2
a
c

, xét ba véctơ

ư
ư
ư
r ỉ 2÷r ổ 2 ữ r ổ 2 ữ
ỗ1
ỗ ; ữv = ç1 ; ÷w = ç1 ; ÷
ç
ç

u =ç
;
;
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
çb a ÷
çc
ça
÷
ç
ç
ç
è
ø
è b ÷
ø
è c ÷
ø

r
a 2 + 2b2 r
b2 + 2c 2 r
c 2 + 2a 2
u =
;v =

;w =
ab
bc
ca

r æ 1 1 2
r r
2
2ử r r
ữ
ỗ1
r
ữ u + v + w = 3ổ + 1 +
ỗ1
u + v + w =ỗ + + ;
+
+
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗa b
ỗa b c a
b
c ứ
ữ
ỗ
ố
ố

2

ử
1ữ
ữ= 3
ữ
cữ
ứ

;

ab + bc + ca = abc Û

Vì

1 1 1
+ + =1
a b c

r
r
r
r
r r
u + v + w ³ u+v+w

Áp dụng bất đẳng thức

ta được :

P ³

3

.

14


Trần Mạnh Hân

Vì ba véctơ đều khác

r
0

nên dấu "=" xảy ra khi 3 véctơ

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến
r r r
u, v, w

cùng hướng và

ab + bc + ca = abc.

Vậy

min P = 3

khi

a =b =c = 3

.

Bình luận: Đây là dạng của đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2000.
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f (x ) =

1 2
x +2+
2

1 2 16
32
x x+
+
2
5
5

1 2
x - 4x + 10 +
2

1 2 4
8
x - x+
2

5
5

Giải:
2

2

2

2.f (x ) = x + 2 +

2

ỉ 16 ư ỉư
÷ + ỗ8 ữ +
ỗx ữ ỗ ữ
ỗ
ữ ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
5 ứ ố5 ứ
ố

(4 - x)

2

2

2

+2 +

2

ổ 4 ữ ổử
ử
ỗx - ữ + ỗ8 ữ
ỗ
ữ ỗ5 ữ
ữ
ỗ
5ữ ỗ ứ
ố
ứ ố ữ

Ta cú :
Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, ta xét các véctơ :

r
r
r
16 8 r
4 8

a = (x ;2), b = (x ; ), c = (4 - x ;2), d = (x - ; )
5 5
5 5
2
2
r
ổ 16 ử ổử
r
2
2
ữ + ỗ8 ữ
ỗx ữ ỗ ữ
a = x + 2 ,b = ç
÷ ç ÷
÷
÷
ç
5 ø è5 ø
è

Ta có :

,
f (x ) =

Khi ú :

r
2ử
r

r
1 ổ
ỗa + b + c + d ữ
ữ
ỗ
ứ
2ố

Du bng xy ra khi

r
ỡa
ù
ùr
ớ
ùb
ù
ù
ợ

r r
a,c

cựng hng v

ỡ x = k (4 - x )
ï
ï
ï
ï 2 = 2k

ï
r
ï
ï
= kc
r Û ï x - 16 = l æ - 4 ử
ữ
ỗx
ớ
ữ
ỗ
ữ
ù
= ld
ỗ
ữ
5
5ứ
ù
ố
ù
ù8
ù
ù = 8l
ù
ù5
5
ù
ợ

Vy

2
2
r
ổ 4 ử ổử
r
2
2
ỗx - ữ + ç8 ÷
÷ ç ÷
c = (x - 2) + 2 , d = ỗ
ữ ỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
5 ứ ố5 ứ
ố

min f ( x ) = 4 + 2 2

khi

r

r

( ar + cr + b + d ) = 4 + 2
2

1

r r
b,d

2

cùng hướng, tức là :

ìk =l =1
ï
ï
í
ïx =2
ï
ỵ

x = 2.

Bình luận: Trong bài này, việc chọn tọa độ mang ý nghĩa quyết định. Nếu chọn hệ
tọa độ hợp lý thì chúng ta thấy lời giải hết sức gọn gàng. Qua bài toán này, ta cũng nhận

15


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

thấy rằng cơ sở trực quan của hình học phần nào đã giảm nhẹ được độ khó của

bài tốn. Vận dụng hình học trong bài tốn đại số, giúp học sinh đỡ phải tính
tốn cồng kềnh phức tạp.
n

Bài 12: Cho

x i , y i (i = 1, 2, 3..., n )

là

n

P =å

số thực thỏa mãn :

i =1

åy
i =1

i

=1

. Tìm giá trị

x i2 + y i2

i =1

nhỏ nhất của biểu thức

å

2n

n

xi +

.

Giải:
Xét trong mặt phẳng tọa độ

Gọi

Mk

là điểm có tọa độ

Nói riêng điểm
x + y =1
.

Gi

H

:

k
ổk
ử
ữ
M k ỗồ x i ; ồ y i ữk = 1, 2, 3..., n .
,
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗi =1
ố
ứ
i =1

n
ổn
ử
ữ
M n ỗồ x i ; ồ y i ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗi =1
ố
ứ
i =1

ổk
M k - 1M k = ỗồ x i ỗ
ỗ
ỗ
ố
i =1

D thy:

Oxy

n

ồ

i =1

mà

2

ư
÷
÷
å1 x i ø +
÷
÷
i=
k- 1

là chân đường vng góc k t

x + y =1

OH =

, thỡ

2
2

n

xi +

ồy

i

=1

i =1

ổk
ỗ y çå i
ç
ç
è
i =1

O

nên

Mn

sẽ nằm trên đường thẳng:

2

ư
÷
÷
å1 y i ø = x k2 + y k2 (k = 1, 2,..., n )
÷
÷
i=
k- 1

đến đường

thẳng

.

Khi đó ta ln có:
OM 1 + M 1M 2 + ... + M n - 1M n ³ OH ,

Dấu "=" xảy ra

Û

y1
x1

=

y2
x2

Û O , M 1, M 2,..., M n

= ... =

yn
xn

P ³

hay

2
2

.

theo thứ tự thẳng hàng và

Mn º H.

= t an 450 = 1

Û x 1 = x 2 = ... = x n = y 1 = y 2 = ... = y n =

1
2n

16


Trần Mạnh Hân
min P =

Vậy

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

2
2

x i = yi =

khi

1
, (i = 1, 2,..., n )
2n

.

Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :
f (x ; y ) = x 2 + y 2

trên miền

D = { (x ; y ) | x - 2y + 8 ³ 0; x + y + 2 ³ 0;2x - y + 4 £ 0}

.

Giải:
D

Miền là miền trong tam giác
A (0; 4), B (- 4;2),C (- 2; 0)
Gọi

M (x ; y ) Ỵ D

biên của
Ta có
+

D A BC

thì

M

A BC

tính cả biên, với

sẽ nằm ở miền trong hoặc nằm

trên

.

OM = x 2 + y 2

. Suy ra :

f (x ; y ) = OM ³ OH

OH = d (O ; A C ) =

, với

H

2.0 - 0 + 4
22 + 12

là chân đường cao hạ từ
=

O

5

+

Bài 14: Cho 4 số thực
nhất của biểu thức :

khi

}

x = - 4; y = 2

a, b, c, d

.

.

{

max f (x ; y ) = 2 5

AC

4

f (x ; y ) £ max { OA ;OB ;OC } = max 4; 20;2 = 20

Vậy

xuống

khi

min f (x ; y ) =

;

thỏa mãn điều kiện

P = 5 - a - 2b +

M º B
4 5
5

hay

x = - 4; y = 2

x =-

khi

a 2 + b2 = c 2 + d 2 = 5

5 - c - 2d +

8
4
;y =

5
5

.

.

. Tìm giá trị lớn

5 - ac - bd

Giải:
Nếu gọi

M (a ;b), N (c; d ), P (1;2)

thì từ điều kiện

các điểm nằm trên đường trịn tâm

O

bán kính

a 2 + b2 = c 2 + d 2 = 5
5

ta thấy

M,N,P

là

.

17


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Và biểu thức có thể viết thành
5 a 2 + b2
+
- a - 2b +
2
2

P =

=

=

1

(
2

1
2

(a - 1)2 + (b - 2)2 +

5 c2 + d 2
+
- c - 2d +
2
2
(c - 1)2 + (d - 2)2 +

a 2 + b2 + c 2 + d 2 - 2ac - 2bd
2

(a - c )2 + (b - d )2

)

(MP + NP + MN )

MNP

Vế trái là giá trị của chu vi tam giác
. Sử
tính chất : "Trong các tam giác nội tiếp đường tròn,
giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất".
Nên

P

đạt giác trị lớn nhất khi tam giác

nội tiếp đường tròn bán kính
P £

Vậy :

3 30
2

Tức là

Vậy

Bài 15: Cho

và

. Khi đó ta c chu vi

ổ 1- 2 3 - 2 +
ỗMỗ
;
ỗ
ỗ
2
2
ỗ
ố

- 1- 2 3
- 2+
,b =
2
2

max P =

đều
D MNP

3 15

bằng

.

.

Dấu “ = ” xảy ra khi
a=

5

MNP

dụng
tam

3 30
2

a, b, c, d

a=

khi

3

,c =

ư
3÷
÷N
,
÷
÷
÷
ø

ỉ 1+ 2 3 - 2- 3ữ
ử
ỗữ
ỗ
;
ữ
ỗ
ữ

ỗ
2
2
ữ
ỗ
ố
ứ

.

- 1+ 2 3
- 2,d =
2
2

- 1- 2 3
- 2+
,b =
2
2

3

,c =

- 1+ 2 3
- 2,d =
2
2

là bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau :

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức :

3

3

.

ì a 2 + b2 + 1 = 2(a + b)
ï
ï
í 2
ï c + d 2 + 73 = 14(c + d )
ï
ï
ỵ

P = (a - c )2 + (b - d )2

.

Giải:

18


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Từ điều kiện ta có :

ì (a - a )2 + (b - 1)2 = 1
ï
ï
í
ï (c - 7)2 + (d - 7)2 = 25
ï
ï
ỵ

Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ
, ta xét các điểm
M (a ;b), N (c;d )
M,N
, thì từ điều kiện ta thấy
là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn
O1(1;1)

tâm

O 2 (7;7)

bán kính 1 và đường trịn tâm

bán kính 5.

Và ta cũng có

MN 2 = (a - c )2 + (b - d )2 .

O 1, O 2

G, E
cắt đường tròn bé tại
và cắt
F, H
đường trịn lớn tại
. Khi đó tính c ta cỏc im :

Ni

ổ
ỗ
Gỗ 1
ỗ
ỗ
ỗ
ố

Ta cú

2
;1 2

ổ
ử

ổ
ử ổ
ử
2ử ç
÷ ç
÷E 1 + 2 ;1 + 2 ÷ F ç7 - 5 2 ;7 - 5 2 ÷ H ç7 + 5 2 ;7 + 5 2 ÷
÷ ç
÷ ç
÷
;
,
÷ ç
÷ ç
÷ ç
÷
÷ ç
÷ ç
÷ ç
÷
2 ø ç
2
2 ø
2
2 ứ ỗ
2
2 ứ
ữ ố
ữ ỗ
ữ ố
ữ

ố

,

.

O1O 2 Ê O1M + MN + NO 2

Û O1E + EF + FO2 £ O1M + MN + NO2
Û EF £ MN

Và

(do

O1E = O1M ; FO 2 = NO 2

)

MN £ O1M + O1O 2 + O2N = GO1 + O1O 2 + O 2H = GH

Suy ra
Lại có

EF £ MN £ GH

nên ta cũng có

EF 2 £ MN 2 £ GH 2

EF 2 = 2(6 - 3 2)2 = 36(3 - 2 2);GH 2 = 2(6 + 3 2)2 = 36(3 + 2 2)

Từ đó suy ra:

Vậy

nên

EF £ MN £ GH

36(3 - 2 2) ££
P

min P = 36(3 - 2 2)

max P = 36(3 + 2 2)

khi

khi

36(3 + 2 2)

M º E,N º F

M º G, N º H

a =b = 7-

hay

a =b = 1-

hay

5 2
2
,c = d = 1 +
2
2
2
5 2
,c = d = 7 +
.
2
2

19


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
y = f (x ) = x + 1 -

4- x

trên miền

D = { x | - 1 £ x £ 4}

Phân tích: Bài tốn sẽ sử dụng tính chất tương đối của đồ thị hai hàm số liên tục và sử
dụng tính chất miền giá trị của hàm số.

Với

" x ỴD

, ta t

ỡu = x + 1
ù
ù
ù
ị
ớ
ùv = 1- x
ù
ù
ợ

Tc l, xột trên hệ tọa độ
2

Ouv

thì

ì u2 + v2 = 2

ï
ï
(*)
í
ï u ³ 0, v ³ 0
ï
ỵ

u, v

thuộc một phần của đường trịn tâm

O

bán kính

ở góc phần tư thứ nhất.

Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
(*)
f (u ; v ) = u - v
với điều kiện
.
Giải:
y = f (x )
là giá trị tùy ý của hàm số
trên
D
miền xác định . Tức là hệ sau có nghiệm:

Gọi

a

ì x + 1- 4- x = a
ï
ï
(1)
í
ï - 1 ££
x 4
ï
ï
ỵ

Đặt

ìu = x + 1
ï
ï
ï
í
ïv = 4- x
ï
ï
ỵ

ìu - v = a
ï
ï

ï 2
ï u + v2 = 2
í
ï
ï u ³ 0, v ³ 0
ï
ï
ỵ

khi đó hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

(2)

Với chú ý : Đồ thị hàm số
a
đơn vị.

u- v =a

Hệ (2) có nghiệm nếu đường thẳng
thẳng

u - v =-

Vậy ta có

.

5

và

u- v= 5

max f (x ) = 5 Û x = 4

suy ra từ đồ thị hàm số

u- v =a

cắt cung

. Từ đó suy ra
và

-

min f (x ) = -

»
AB

5 ££
a

u- v =0

tịnh tiến lên trên

, tức nó nằm giữa hai đường

5

.

5 Û x = - 1.

20


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Bình luận:
- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình
khơng khó như bài 1.

f '(x ) = 0

- Sử dụng phương pháp này có thể dạy cho học sinh lớp 10.
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
f (x ) = x +

4 - x2 + x 4 - x2

Phân tích: Khi đặt

trên miền

y = 4 - x2 ³ 0

D = { x | - 2 £ x £ 2}

.

thì bài tốn trở thành :

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

f (x , y ) = x + y + xy

Điều kiện này xác định một nửa đường tròn tâm

O

thỏa mãn

ì x2 + y2 = 4
ï
ï
í
ïy ³ 0
ï
ï
ỵ

.

bán kính 2 lấy phía trên trục hồnh.

m
y = f (x )
Giải: Gọi là giá trị tùy ý của hàm số
trên
D
. Tức là hệ sau có nghiệm:

miền

ì
ï x + 4 - x2 + x 4 - x2 = m
ï
ï
(1)
í
ï - 2 ££
x 2
ï
ï
ỵ

Đặt

y = 4 - x 2 (y ³ 0)

nghiệm:

sau có

ì x + y + xy = m

ï
ï
ï 2
ï x + y2 = 4
(2)
í
ï
ïy ³ 0
ï
ï
ỵ

x+y+

Suy ra :

khi đó hệ (1) có nghiệm khi hệ

(x + y ) 2 - 4
= mÛ (x + y )2 + 2(x + y ) - 4 - 2m= 0. (3)
2

Coi (3) là phương trình bậc hai ẩn
D ' = 5 + 2m³ 0 Û m³ -

x+y

. Phương trình (3) có nghiệm khi

5

.
2

Hệ (2) có nghiệm khi ít nhất một trong hai hệ sau có nghiệm :

21


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

ìx + y = - 1+
ï
ï
ï
ï 2
2
íx + y = 4
ï
ïy ³ 0
ï
ï
ï
ỵ

(*)

Hệ (*) có nghiệm khi đường
hai đường

x + y =2 2

và

x + y = - 1+

x + y =- 2

-

Tương tự, hệ (**) có nghiệm khi
-

Kết luận: Hệ (1) có nghiệm khi

Vậy:

5
2

x=

khi

5 + 2m

1-

5 + 2m

(**)

cắt nửa đường trịn, tức nó nằm giữa

. Ta suy ra:

5 + 2m£Û 2
2

- 2 £ - 1+

min f (x ) = -

ì x + y = - 1ï
ï
ï
ï 2
2
íx + y = 4
ï
ïy ³ 0
ï
ï
ï
ỵ

5 + 2m

-

5
££
m 2 + 2 2.
2

5
££
m - 2.
2

5
££
m 2 + 2 2.
2
7

2

;

max f (x ) = 2 + 2 2

khi

x = 2.

Bình luận:
Như vậy đối với các bài tốn tưởng chừng như q tầm đối với cách giải thơng
thường thì lại thật gọn nhẹ với phương pháp sử dụng, nhìn bài tốn đốn đó
bằng con mắt hình học.

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

f (x ; y ) = x - y

trên miền

{

}

D = (x ; y ) | (x - 6)2 + (y - 3)2 ³ 25, x 2 + (y - 4)2 £ 25, - 2x + y £ 4, x ³ 0, y ³ 0

Giải: Miền xác định
Gọi

a

D

được biểu diễn bởi miền tô đậm trong hình vẽ.

là một giá trị tùy ý của

f (x ; y )

trên

D

. Điều này có nghĩa hệ sau có nghiệm:

ìx - y = a
ï
ï
ï
ï (x - 6)2 + (y - 3)2 ³ 25,
ï
ï
ï 2
ï x + (y - 4)2 £ 25,
í
ï
ï - 2x + y £ 4,
ï
ï
ï
ï x ³ 0, y ³ 0
ï
ï
ỵ

22


Trần Mạnh Hân
Û

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

đồ thị hàm số

ì x 2 + (y - 4)2 = 25
ï
ï
ï
ï - 2x + y = 4
í
ï
ï x ³ 0, y ³ 0
ï
ï
ỵ

Giải hệ:

Đường thẳng
Đường tròn

x - y =a

x - y =a

x - y =- 4-

cắt miền

D

qua

cắt miền

qua
5

và

D

.

suy ra tạo độ điểm
A

khi

(x - 6)2 + (y - 3)2 = 25

Đường thẳng
Khi đó:

x- y =a

B

khi

a =- 4-

A ( 5;2 5 + 4)

5

.

.

cắt trục hoành tại

B (2; 0), C (10; 0)

a = 2.

x- y =2

là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng

x- y =a

. Từ đó suy ra:

max f (x ; y ) = 2

x = 2; y = 0

khi

và

min f (x ; y ) = - 4 -

5

khi

x = 5; y = 2 5 + 4.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để q thầy cơ và bạn bè đồng
nghiệp tham khảo, đó là bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và một số bài toán chứng
minh bất đẳng thức.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f (x ) = x 2 - 2x + 3 +

Bài 2: Cho

a, b, c > 0

và

a + b+ c =2

x 2 + 4x + 6

khi

- 1 ££
x

1.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a 2 + ab + b2 + b 2 + bc + c 2 +

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

c 2 + ca + a 2

y = f (x ) = x 2 - 4x + 29 -

x 2 - 4x + 5

trên

¡

.

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
y = f (x ) = x + 1 -

4- x

trên miền

D = { x | - 1 £ x £ 4}

.

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
y = f (x ) = x + 1 +

4- x

trên miền

D = { x | - 1 £ x £ 4}

.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

23


Trần Mạnh Hân

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

y = f (x ) = 3 + x +

6- x -

(3 + x )(6 - x )

trên miền

D = { x | - 3 £ x £ 6}

.

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
y = f (x ) = x +

Bài 8: Cho hàm số

x - x2

trên miền

D = { x | 0 £ x £ 1}

.

f (x ) = A sin x + B cos x ,(A 2 + B 2 ¹ 0)

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên.
1 + 3a 2
, " x, a Ỵ ¡ .
3

cos 3x + a cos 3x + 1 1 +
£
2 cos 3x

b) Chứng minh rằng
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f (x ; y ) = x 2 + y 2 + 2x + 12y + 37 +

x 2 + y 2 - 6x + 6y + 18
(x + 6)2 + 100 +

f (x ; y ) =

(x + 1) 2 + 4

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

.
y = x 2 - 2px + 2p 2 +
y = a2 + x 2 +

x 2 - 2qx + 2q 2 ,( p ¹ q )

a 2 + (c - x )2

(

f (x ) = x + 1993 +

Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
miền xác định của nó.
" x, y, z Ỵ ¡

Bài 14: Chứng minh rằng
x 2 + xy + y 2 +

Bài 15: Chứng minh rằng

Bài 16: Chứng minh rằng
Bài 17: Chứng minh rằng

*
+

" x, y Ỵ ¡

1995 - x

)

2

trên

ta có:

y 2 + yz + z 2 +

" a, b, c, d Ỵ ¡

.

ta có

z 2 + zx + x 2 ³

3(x + y + z )

(a + c )2 + (b + d )2 £ a 2 + b2 +

c2 + d 2

.

(x + y )(1 - xy )
1
£
2
2
2
(1 + x )(1 + y )

ta có:

" a, b, c, x , y , z Ỵ ¡

ta có:

ax + by + cz £ a 2 + b2 + c 2 . x 2 + y 2 + z 2

a)

24


Trần Mạnh Hân

b)

Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

a 2 + b2 + c 2 +

x2 + y2 + z2 ³

Bài 18: Cho ba số thực

x , y, z

(a + x )2 + (b + y )2 + (c + z )2

đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

x- y
1 + x2 1+ y2

y- z

+

1 + y2 1 + z2

Bài 19: Chứng minh rằng với mọi số thực
a)
b)

a 2 + b2 - 2a - 2b + 37 +
a2 + 4 +

a 2 + 2a + 5 +

1+ x2 1+ z2

ta ln có

a 2 + b2 + 6a - 6b + 18 ³ 5

a 2 - 2a + b2 + 1 +

Bài 20: Chứng minh rằng

a, b

x- z

>

b2 - 6b + 18 ³ 5

" a, b, c, d Ỵ ¡

a 2 - 2ab + b2 + 1 +

ta có:

b2 - 2bc + c 2 + 1 + c 2 - 2cd + d 2 + 1

+ d 2 - 10d + 26 ³ 6 2

Bài 21: Chứng minh rằng

" a, b, c Ỵ ¡ , abc = 1

ta có:

bc
ca
ab
3
+ 2
+ 2
³
2
2
2
ab+ a c bc+ ba ca + cb 2
2

(Trích đề thi ĐH Nơng nghiệp I năm 2000)
Bài 22: Cho

x , y , u, v Î ¡ : u 2 + v 2 = x 2 + y 2 = 1

. Chứng minh rằng:

u (x - y ) + v (x + y ) ³

Bài 23: Chứng minh rằng
a)
b)

" x, y Ỵ ¡

4 cos2 x cos2 y + sin 2 (x - y ) +

ta có:
4 sin 2 x sin 2 y + sin 2 (x - y ) ³ 2

cos 4 x + cos4 y + sin 2 x + sin 2 y ³
sin x +

2

2

2 - sin 2 x + sin x 2 - sin 2 x £ 3

c)
Bài 24: Chứng minh rằng

" a, b ³³ c

0

ta có:

c(a - c ) +

c(b - c ) £ ab

25