BÀI tập lớn môn PHƯƠNG PHÁP số

TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ

PHỤ LỤC
trang
I) Phân chia phần tử dặt chuyển vị……………………………… 2
II) Xác định ma trận độ cứng của phần tử………………………… 3
III) Tải trọng nút…………………………………………………… 5
IV) Phương trình cơ bản của phần tử hữu hạn…………………… 7
V) Xử lý điều kiện biên…………………………………………… 7
VI) Sác định nội lưc,độ võng tại điểm giữa nhịp của các phần tử 8
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 1
Lớp : KCĐ50ĐH
1
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP SỐ
Sơ đồ 3

L
1
L
2
L
3
q
1
q
2
q
3
Hình 1

Số liệu :nhóm 1



E
= 2.4
×
10
7
KN/m
2

6
5.10J
−
=

4
mm

1
2
3
1
2
3
12 /
24 /
12 /
3

3
3
q KN m
q KN m
q KN m
l m
l m
l m
= −
= −
= −
=
=
=
Yêu cầu : xác định nội lực và độ võng tại điểm giữa của mỗi phần tử
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 2
Lớp : KCĐ50ĐH
2
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
I )phân chia phần tử,đặt chuyển vị
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, chia dầm thành 3 phần tử được đánh số
lần lượt 1, 2, 3 như hình vẽ. Tại mỗi nút ta đặt các vectơ chuyển vị u
i
.
1
2
3
u
1
u

2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
8
1
2
3
4
y
x
o
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
xác định tọa độ nút
Bảng tọa độ nút trong hệ tọa độ trong thể
Nút X Y
1 0 0
2 3 0
3 6 0
4 9 0
• xác định liên kết phần tử với nút
Đánh số phần tử như hình 2

Phần tử Nút đầu Nút cuối
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 3
Lớp : KCĐ50ĐH
3
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
1 1 2
2 2 3
3 3 4
• lập liên kết chỉ số chuyển vị cục bộ của phần tử và của hệ
• Véc tơ chuyển vị của phần tử có dạng
Dễ thấy dầm chỉ chịu tác dụng của lực phân bố theo phương thẳng đứng nên
chuyển vị theo phương ngang bằng 0. Vectơ chuyển vị của hệ có dạng


{ }
1
2
3
4
5
6
7
8
u
u
u
u
u
u

u
u
u
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
II ) xác định ma trận độ cứng của phần tử
Hệ có 4 nút, 3 phần tử và 8 chuyển vị. Như vậy ma trận độ cứng của 1 phần
tử có kích thước 4
×
4. Ta có công thức (1-1) cho ma trận độ cứng của kết cấu
không có kéo nén dọc trục:


[ ]
3
2 2
2 2
12 6 12 6

6 4 6 2
EJ
12 6 12 6
6 2 6 4
e
l l
l l l l
K
l l
L
l l l l
−
 
 
−
 
=
 
− − −
 
−
 
(1-1)
• phần tử 1
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 4
Lớp : KCĐ50ĐH
4
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ

u

1
u
2
u
3
u
4
1
2
[ ]
8 6
3
1
12 18 12 18
18 36 18 36
2.10 .5.10
12 18 12 18
3
18 18 18 36
K
−
−
 
 
−
 
=
 
− − −
 

−
 
• phần tử 2

u
3
u
5
u
6
2
3
[ ]
8 6
3
2
12 18 12 18
18 36 18 36
2.10 .5.10
12 18 12 18
3
18 18 18 36
K
−
−
 
 
−
 
=

 
− − −
 
−
 
• phần tử 3

3
u
5
u
7
u
8
3
4
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 5
Lớp : KCĐ50ĐH
5
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
[ ]
8 6
3
3
12 18 12 18
18 36 18 36
2.10 .5.10
12 18 12 18
3
18 18 18 36

K
−
−
 
 
−
 
=
 
− − −
 
−
 
• ghép nối phần ma trận độ cứng
Hệ gồm 8 chuyển vị nên ma trận độ cứng có kích thước 8
×
8, được ghép nối bởi
các ma trận phần tử.
Thực hiện ghép nối phần tử ta được:
[ ]
8 6
3
12 18 12 18 0 0 0 0
18 36 18 18 0 0 0 0
12 18 24 0 12 18 0 0
18 18 0 72 18 18 0 0
2.10 .5.10
0 0 12 18 24 0 12 18
3
0 0 18 18 0 72 18 18

0 0 0 0 12 18 12 18
0 0 0 0 18 18 18 36
K
−
−
 
 
−
 
 
− − −
 
−
 
=
 
− − −
 
−
 
 
− − −
 
−
 
 
III ) tải trọng nút
1. Trên mỗi phần tử.
Tải trọng trên phần tử được quy về nút theo công thức:
{ }

[ ]
i i
T
T
n m
T
Q i M i
e
i 1 i 1
l
dN
F N q(x)dx N(x ) Q (x ) M
dx
= =
 
 
= + +
 
 
 
∑ ∑
∫
Trong đó:
q(x) – lực phân bố trên chiều dài phẩn tử;
Q
i
và x
Q
– giá trị lực tập trung và tọa độ điểm đặt;
M

i
và x
Mi
– giá trị của momen tập trung và vị trí điểm đặt;
n và m – số lực tập trung và momen tập trung.
Với tải trọng phân bố đều ta được công thức (1-2) cho tải trọng nút trên phần
tử:
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 6
Lớp : KCĐ50ĐH
6
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
{ }
2
2
2
12
2
12
q
ql
ql
F
ql
ql
 
 
 
 
 
=

 
 
 
 
−
 
 
(1-2)
Thay số cho từng phần tử:
• phần tử 1

{ }
1
18
9
18
9
F
 
 
 
=
 
 
 
−
 
• phần tử 2
{ }
2

18
9
18
9
F
 
 
 
=
 
 
 
−
 
• phần tử 3
{ }
3
18
9
18
9
F
 
 
 
=
 
 
 
−

 
• ghép nối ma trận tải trọng nút
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 7
Lớp : KCĐ50ĐH
7
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
{ }
18
9
54
9
54
9
18
9
F
 
 
 
 
 
 
=
 
−
 
 
−
 
 

 
−
 
IV ) Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu
hạn
Sử dụng nguyên lý công khả dĩ, đưa thêm vào điều kiện liên tục bằng một trường
hàm chuyển vị thỏa mãn các điều kiên tương thích và phù hợp với loại, bậc của
một phần tử mẫu. Sau khi biến đổi ta có phương trình cơ bản của phương pháp
phần tử hữu hạn (1-3)
[ ]
{ }
{ }
.
q
K u F=
(1-3)
Thay số vào phương trình ta được
8 6
3
12 18 12 18 0 0 0 0
18 36 18 18 0 0 0 0
12 18 24 0 12 18 0 0
18 18 0 72 18 18 0 0
2.10 .5.10
0 0 12 18 24 0 12 18
3
0 0 18 18 0 72 18 18
0 0 0 0 12 18 12 18
0 0 0 0 18 18 18 36
−

−
 
 
−
 
 
− − −
 
−
 
 
− − −
 
−
 
 
− − −
 
−
 
 
×
1
2
3
4
5
6
7
8

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u
u
u
u
u
u
u
u
=
18
9
54
9
54
9
18
9

 
 
 
 
 
 
 
−
 
 
−
 
 
 
−
 
V ) xử lý điều kiện biên
Ma trận độ cứng của hệ được thành lập khi chưa tính đến các liên kết của kết
cấu với môi trường do đó det[K
s
] = 0 hay nói cách khác hệ suy biến. Để giải hệ
phương trình này cần đưa các điều kiện biên vào. Đó là các chuyển vị bị chặn
(chuyển vị bằng 0). Tại các chuyển vị này sẽ có phản lực. Trong dầm này ta có:
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 8
Lớp : KCĐ50ĐH
8
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
1 2 3 5 7
U U U U U= = = =
Ta đưa điều kiện biên vào bằng cách xóa hàng và cột thứ 1, 2, 3, 5, 7 của các ma

trận [K] và [F].
• thay số ta dược

4
8 6
6
3
8
72 18 0 9
2.10 .5.10
. 18 72 18 . 9
3
0 18 72 9
u
u
u
−
 
   
   
 
= −
   
 
   
 
−
   
 
Giải hệ phương trình trên ta được :

3
4
3
6
3
8
4,154.10
3,115.10
5,192.10
u
u
u
−
−
−
 
 
 
 
= −
   
   
−
 
 
VI ) Xác định nội lực, độ võng tại điểm giữa của các phần tử
Mô men ,lực cắt, độ võng tại 1 điểm được xác định bằng

[ ]
{ }

2
6 (3 1) 6 (3 1) .
e e e
e
EJ
M l l u
l
ξ ξ ξ ξ
= − − +

[ ]
{ }
3
6.EJ
2 2 .
e e e
e
Q l l u
l
−
= −

[ ]
{ }
0.5 0.125 0.5 0.125 .
e e e
y l l u= −
Trong đó

2.

1
e
x
l
ξ
= −
ta có

2.1,5
1 0
3
ξ
= − =
• phần tử 1
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 9
Lớp : KCĐ50ĐH
9
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ

[ ]
1
2
2
3
4
6 (3 1) 6 (3 1) .
e e
e
u
u

EJ
M l l
u
l
u
ξ ξ ξ ξ
 
 
 
= − − +
 
 
 
 

M

[ ]
8 7
2
3
0
0
2.10 .5.10
0 3 0 3 .
0
3
4,154.10
−
−

 
 
 
= −
 
 
 
 
=0,462KN/
2
m
+
[ ]
1
2
3
3
1
4
6.EJ
2 2 .
e e
u
u
Q l l
u
l
u
 
 

−
 
= −
 
 
 
 

[ ]
8 -6
3
3
0
0
6.2.10 .5.10
2 3 2 3 .
0
3
4,154.10
2,769
Q
Q KN
−
 
 
−
 
= −
 
 

 
 
=
+
[ ]
1
2
1 1
3
4
0.5 0.125 0.5 0.125 .
u
u
y l l
u
u
 
 
 
= −
 
 
 
 

[ ]
3
0
0
0.5 0.375 0.5 0.375 .

0
4,154.10
y
−
 
 
 
= −
 
 
 
 

3
1,558.10y m
−
= −
• phần tử 2
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 10
Lớp : KCĐ50ĐH
10
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
+
[ ]
3
4
2
5
2
6

6 (3 1) 6 (3 1) .
e e
u
u
EJ
M l l
u
l
u
ξ ξ ξ ξ
 
 
 
= − − +
 
 
 
 

[ ]
6
8 7
2
3
0
4,154.10
2.10 .5.10
0 3 0 3 .
0
3

3,115.10
M
−
−
−
 
 
 
= −
 
 
 
−
 

2
0,808 /M KN m= −

+
[ ]
3
4
3
5
1
6
6.EJ
2 2 .
e e
u

u
Q l l
u
l
u
 
 
−
 
= −
 
 
 
 

[ ]
6
8 -6
3
3
0
4,154.10
6.2.10 .5.10
2 3 2 3
0
3
3,115.10
Q
−
−

 
 
−
 
= −
 
 
 
−
 

4,846Q = −
KN
+
[ ]
3
4
2 2
5
6
0.5 0.125 0.5 0.125 .
u
u
y l l
u
u
 
 
 
= −

 
 
 
 

[ ]
6
2 2
3
0
5.4.10
0.5 0.125 0.5 0.125 .
0
8.1.10
y l l
−
−
 
 
 
= −
 
 
 
 


3
2,726.10y
−

=
m
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 11
Lớp : KCĐ50ĐH
11
TRƯỜNG ĐHHH ẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
• phần tử 3

[ ]
5
6
3 3
2
7
3
8
6 (3 1) 6 (3 1) .
u
u
EJ
M l l
u
l
u
ξ ξ ξ ξ
 
 
 
= − − +
 

 
 
 

[ ]
3
8 7
2
3
0
3,115.10
2.10 .5.10
0 3 0 3 .
0
3
5.192.10
M
−
−
−
 
 
−
 
= −
 
 
 
−
 

2
0,231 /M KN m= −

+
[ ]
5
6
3
7
1
8
6.EJ
2 2 .
e e
u
u
Q l l
u
l
u
 
 
−
 
= −
 
 
 
 

[ ]
3
8 -6
3
3
0
3,115.10
6.2.10 .5.10
2 3 2 3
0
3
5,192.10
Q
−
−
 
 
−
−
 
= −
 
 
 
−
 
Q=-1,385 KN
+
[ ]

5
6
1 1
7
8
0.5 0.125 0.5 0.125 .
u
u
y l l
u
u
 
 
 
= −
 
 
 
 

[ ]
3
3
0
3,115.10
0.5 0.375 0.5 0.375 .
0
5,192.10
y
−

−
 
 
−
 
= −
 
 
 
−
 

3
0,7789.10y
−
=
m
Sinh viên : PHẠM VĂN HỘI Page 12
Lớp : KCĐ50ĐH
12