nghiên cứu một số vấn đề về mục đích, nội dung và phương pháp dạy học chủ đề tổ hợp và xác suất trong môn toán trường thpt

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Hiện nay vấn đề đổi mới nội dung và chơng trình SGK đang đợc
thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn Quốc nhằm đáp ứng mục tiêu:
Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao
động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và
sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nớc, yêu chủ nghĩa xã hội (Văn
kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII của Đảng cộng sản Việt Nam).
Nghị quyết số 40/2000/QH10, ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốc
hội khoá X về đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đã khẳng định: Đảm
bảo sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chơng trình giáo dục; tăng cờng
tính liên thông giữa giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáo dục đại
học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc dân để tạo sự cân đối
về nguồn nhân lực,
1.2. Trong sự phát triển của Toán học thì: Động lực phát triển của Toán
học có hai nguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan. Một là nguồn bên ngoài
do việc cần thiết phải dùng các phơng tiện toán học để giải những bài toán
nằm ngoài phạm vi của Toán học, các bài toán của khoa học khác, của kĩ
thuật, kinh tế, ; chính đây là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử. Nguồn thứ hai là
nguồn bên trong do việc cần thiết phải hệ thống hoá các sự kiện toán học đã đ-
ợc khám phá, giải thích các mối quan hệ giữa chúng với nhau, hợp nhất chúng
lại bằng các quan niệm khái quát thành lí luận, phát triển lí luận đó theo các
quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểm của nó đã dẫn tới chỗ
tách toán học thành một khoa học [22, tr. 17]
Tuy vậy Khó có thể phát biểu một dấu hiệu phân biệt Toán học lí thuyết
với Toán học ứng dụng một cách tờng minh và rạch ròi, bởi vì mọi ngành Toán
học, xét cho cùng, đều đợc xây dựng và phát triển nhằm giải quyết những vấn đề
nào đó của cuộc sống thực, tức là nhằm mục đích ứng dụng trực tiếp hay gián
tiếp. Trong lịch sử phát triển của toán học, có rất nhiều công trình nghiên cứu
hoặc thành tựu lúc đầu đợc coi là thuần tuý lí thuyết, về sau hoá ra lại là những
công cụ đầy hiệu lực trong các ngành Toán học ứng dụng [31, tr. 232].

` 1.3. Trong nhà trờng phổ thông việc tăng cờng làm rõ mạnh Toán ứng
dụng và ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thực tiễn,
học đi đôi với hành, nhà trờng gắn liền với đời sống. Bởi vì: Xã hội đòi hỏi
ngời có học vấn hiện đại không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức d-
1
ới dạng có sẵn, đã lĩnh hội ở trờng phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm
lĩnh, sử dụng các tri thức mới một cách độc lập; khả năng đánh giá các sự
kiện, hiện tợng mới, các t tởng một cách thông minh, sáng suốt khi gặp trong
cuộc sống, trong lao động và trong quan hệ với mọi ngời [50, tr. 5].
1.4. Xác suất thống kê là một ngành của toán học, nghiên cứu về các
hiện tợng ngẫu nhiên mang tính quy luật. Do đó ngành toán học này rất cần thiết
với đời sống con ngời, nhằm khám phá ra các quy luật của tự nhiên và xã hội.
Mặt khác, các vấn đề thuộc phơng pháp và kĩ thuật tính toán về Lí thuyết tổ hợp
và Xác suất áp dụng rất nhiều trong khi giải quyết những bài toán thực tiễn phức
tạp của đời sống. Sau này, khi học sinh bớc vào học các ngành nghề có sử dụng
những phơng tiện và kĩ thuật của Toán học ứng dụng, học sinh sẽ còn phải học
tập và nghiên cứu thấu đáo về cơ sở lí thuyết của các ngành toán học đó.
1.5. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chơng trình giải tích THPT là chủ
đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái
niệm mới. Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đơng nhiên sẽ chứa đựng những
khó khăn nhất định. Hơn nữa, ngời GV tốt nghiệp ĐHSP khi đã từng đợc học
Xác suất thống kê, nhng có thể nhiều năm sau tốt nghiệp không dùng đến, bởi
vậy trong họ chỉ giữ lại một vài ấn tợng mơ hồ về Xác suất
thống kê. Trong khi đó những chủ đề khác, chẳng hạn nh hàm số, phơng trình,
bất phơng trình, giới hạn, không rơi vào trờng hợp nh vậy.
Về Lí thuyết Xác suất, sẽ đợc đa vào dạy trên toàn Quốc vào năm học
2007-2008 trong chơng trình Toán lớp 11. Nó cũng đã từng đợc dạy thí điểm
vào một số năm của thập niên 90 cho học sinh chuyên ban lớp 12 và chơng
trình thí điểm phân ban hiện tại (Trong khi đó, ở nhiều nớc trên thế giới, Xác
suất đã đợc dạy từ cấp THCS). Trong các kì thi mang tính chất quyết định thì

cho đến thời điểm hiện tại cũng cha có những bài toán về Xác suất. ít ra thì
phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất. Điều này trong một
chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ.
1.6. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán Tổ hợp luôn là một dạng toán
khó đối với học sinh. Chẳng hạn, học sinh thờng lúng túng không biết khi nào
dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp. Khi bắt tay vào giảng dạy Xác suất, nhiều
giáo viên cha hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần này. Trong khi đó không
nhiều GV ý thức đợc sự cần thiết phải dạy Tổ hợp và Xác suất ở chơng trình phổ
thông. Dờng nh đối với họ sự tuân thủ chơng trình của bộ đề ra là vấn đề quan
trọng, còn vì sao chơng trình phải có phần này thì họ không quan tâm lắm. Để dạy,
2
học Tổ hợp và Xác suất có hiệu quả, đòi hỏi ngời GV phải đề ra đợc những biện
pháp hợp lí về cách thức lựa chọn nội dung và phơng pháp.
Trong lần thí điểm chuyên ban trớc đây ở Việt Nam, cũng nh trong nhiều
công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục trên thế giới, đã xuất hiện những ph-
ơng án đa Xác suất vào trờng phổ thông. Tuy nhiên giữa các nghiên cứu còn có
sự sai khác nhất định, điều này nói lên rằng: Dạy những gì về Tổ hợp và Xác
suất, dạy để làm gì và dạy nh thế nào? là những câu hỏi đã và đang đợc nhiều ng-
ời quan tâm. Tuy nhiên cha có một phơng án duy nhất tối u.
Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: Nghiên
cứu một số vấn đề về mục đích, nội dung và phơng pháp dạy học chủ đề Tổ
hợp và Xác suất trong môn Toán trờng THPT
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp và Xác suất đợc
trình bày trong một số SGK (những năm trớc đây và hiện tại); đồng thời nghiên
cứu chủ đề này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phơng pháp dạy học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Làm sáng tỏ vai trò của Xác suất thống kê với t cách là khoa học và
môn học.
3.2. Phân tích cách trình bày của một số sách giáo khoa về phần Tổ hợp

và Xác suất và đa ra những bình luận cần thiết.
3.3. Bớc đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong
quá trình học chủ đề Tổ hợp và Xác suất.
3.4. Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về phơng pháp dạy học
chủ đề Tổ hợp và Xác suất
3.5. Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của
những đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
Trên tinh thần tôn trọng nội dung SGK, nếu thực hiện sự điều chỉnh một
cách hợp lí về mặt nội dung và nếu đề ra những phơng án phù hợp về việc lựa
chọn phơng pháp dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất thì sẽ nâng cao đợc hiệu
quả dạy học chủ đề này.
5. Phơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận
3
Điều tra, quan sát
Phơng pháp thực nghiệm s phạm
6. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phơng pháp nghiên cứu
Chơng 1. Một số vấn đề về lí luận và thực tiễn của việc đa chủ đề Tổ
hợp và Xác suất vào môn Toán trờng phổ thông.
1.1. Sơ lợc về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết xác suất (với t
cách là khoa học).
1.2. Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào
môn Toán trờng phổ thông.

1.3. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chơng trình Toán phổ thông ở một
số nớc trên thế giới.
1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chong trình Toán phổ thông của Việt Nam
hiện tại và những năm vừa qua.
1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất.
1.6. Kết luận Chơng 1.
Chơng 2. Một số vấn đề về nội dung và phơng pháp dạy, học chủ đề
Tổ hợp và Xác suất.
2.1. Nghiên cứu về mục đích dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác xuất
2.2. Một số vấn đề về nội dung và phơng pháp dạy, học chủ đề Tổ hợp
và Xác suất.
2.3. Kết luận Chơng 2.
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
4
Chơng 1: Một số vấn đề về lí luận và thực tiễn
củaviệc đa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn
Toán
trờng phổ thông.
1.1.Sơ lợc về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết Xác suất
(với t cách là khoa học).
Ta biết rằng: Giới tự nhiên, xã hội loài ngời và t duy con ngời còn rất
nhiều điều bí ẩn mà con ngời, hoặc là hoàn toàn cha biết gì, hoặc là chỉ mới
biết đến mức độ nào đó. Thuộc vào loại chỉ mới biết đến một mức độ nào đó
là các hiện tợng ngẫu nhiên đã đợc nghiên cứu. Đó là những hiện tợng xảy ra

mà con ngời không thể dự báo chính xác đợc do không nắm hết đợc các quy
luật tác động lên các hiện tợng đó. Nh vậy ẩn đằng sau cái ngẫu nhiên là cái
tất nhiên mà con ngời cha nhận thức hết đợc. Cùng với sự phát triển của khoa
học, có cái ngẫu nhiên trở thành tất nhiên [56, tr. 109].
1.1.1. Đặc điểm cơ bản của Lí thuyết xác suất.
Trong mối liên hệ biện chứng với thực tiễn. Thống kê toán và Lí thuyết
xác suất đã nảy sinh và phát triển không ngừng. Đặc biệt là vào năm 1933
A.N.Kolmogorov đã đa ra một hệ tiên đề để xây dựng Lí thuyết xác suất thành
một khoa học chính xác và trừu tợng. Với đối tợng nghiên cứu là các quy luật
thống kê - một trong hai loại quy luật của hiện thực khách quan: quy luật động
lực và quy luật thống kê.
Chúng ta hiểu: Quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trên đám đông
các biến cố ngẫu nhiên cùng loại (những biến cố đợc xét đối với cùng một
phép thử nào đó). Nói cách khác quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trong
kết quả của việc lặp lại một số lần đủ lớn cùng một phép thử ngẫu nhiên nào
đó. Có thể gọi quy luật thống kê là quy luật mà trong đó cái tất yếu hiện ra
trong mối quan hệ chặt chẽ với cái ngẫu nhiên [31, tr. 239].
Ví dụ 1: Gọi T là phép thử: Gieo 10 lần một đồng xu đồng chất và đối
xứng. Nhiều đợt thực hiện k lần phép thử T (với k đủ lớn), ngời ta thấy xuất
hiện quy luật: Gọi x
i
là số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i trong k lần (đủ
lớn) thực hiện phép thử T (i = 1,2, ,k), thì mỗi x
i
riêng lẻ ngẫu nhiên mà có,
nhng trong hầu hết các đợt thực hiện k phép thử T, ta đều thấy: Trung bình
cộng

=
=

k
i
i
x
k
x
1
1
là bằng hằng số 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể.
5
Ta thấy quy luật trên là quy luật thống kê dạng đơn giản. Có thể phân
tích thêm về quy luật đó nh sau: Khi thực hiện k phép thử T (với k đủ lớn), gọi
A
i
là hiện tợng: số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i thực hiện phép thử T bằng
x
i
, chúng ta có A
i
, với i = 1,2, ,k, là biến cố ngẫu nhiên (ứng với phép thử T).
Do đó, ở đây chúng ta có một số đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại là Q =
(A
1
, A
2
, A
k
). Trên Q nảy sinh hiện tợng tất yếu là:

=

=
k
i
i
x
k
x
1
1
luôn luôn
bằng 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể (trong hầu hết các đợt thực hiện k
phép thử T). Nh vậy, quy luật thống kê nói trên đã phản ánh về kết quả trung
bình mang tính tất yếu (gọi tắt là kết quả trung bình tất yếu) xuất hiện trên
đám đông các biến cố cùng loại. Trên thực tế kết quả tạo lập kết quả trung
bình tất yếu này là nh sau:
Số lần xuất hiện mặt sấp trong kết quả của mỗi lần riêng lẻ thực hiện phép
thử T nói chung là khác 5. Tuy nhiên ở lần này thực hiện phép thử T, số lần xuất
hiện mặt sấp bé hơn 5, ở lần thứ khác, số lần xuất hiện mặt sấp là lớn hơn 5; Do
đó, tính trung bình, số lần xuất hiện mặt sấp trong những lần khác nhau thực hiện
phép thử T là bù trừ nhau, và bằng 5. Bởi vậy có thể nói: cái tất yếu là kết quả
trung bình tất yếu xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại.
Quy luật động lực là quy luật phản ánh mối liên hệ nhân quả đơn trị, và
có thể diễn đạt dới hình thức sau đây: Nếu một tổ hợp các điều kiện cơ bản S
nào đó đợc thực hiện, thì biến cố A chắc chắn sẽ xảy ra [22, tr. 9]. Đó chính
là quy luật vận động hay tơng tác của một hoặc một số ít đối tợng hay quá
trình đợc xét độc lập với cái ngẫu nhiên.
Tuy nhiên, Quy luật động lực và quy luật thống kê đều biểu thị những
mối liên hệ tất yếu. Nhng giữa chúng có một sự khác biệt cơ bản, thể hiện ở
cách đối sử của mỗi loại quy luật đối với cấu trúc bên trong của cái tất yếu
đợc phản ánh trong nội các quy luật đó. Các quy luật thống kê phản ánh cái tất

yếu trong cấu trúc của nó, ghi nhận cái tất yếu nh là kết quả trung bình tất
yếu xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại. Do đó trong
các quy luật thống kê, tất yếu đợc hiện ra trong mối liên hệ biện chứng với
ngẫu nhiên: tất yếu xây cho mình con đờng xuyên qua đám đông các biến cố
ngẫu nhiên, còn ngẫu nhiên bổ sung cho tất yếu là hình thức thể hiện của tất
yếu [22, tr. 15]. Còn quy luật động lực phản ánh cái tất yếu trong sự đơn
giản hoá, sự bỏ qua cấu trúc bên trong của cái tất yếu.
6
Nh đã nói, động lực phát triển của Toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại
khách quan. Hai hớng phát triển của Toán học ứng với hai nguồn đó đợc gọi là
hớng ứng dụng và hớng lí thuyết. Đồng thời trong sự phát triển của Toán học
theo hai hớng trên, hai khía cạnh của Toán học cũng đã đợc hình thành: Toán
học lí thuyết và Toán học ứng dụng.
Toán học ứng dụng là một khía cạnh của toán học ra đời trong những
ứng dụng của nó, có thể quan niệm rằng đó là khoa học về phơng pháp giải tối
u, mà về thực tiễn là chấp nhận đợc, những bài toán Toán học nảy sinh từ bên
ngoài Toán học. Và Toán học lí thuyết là một khía cạnh của Toán học ra đời
trong sự phát triển của Toán học theo hớng lí thuyết [22, tr. 18]. Tuy nhiên,
về nhiều mặt thì Toán học ứng dụng phức tạp hơn Toán học lí thuyết, bởi vì
bên cạnh việc có trình độ lí luận sâu sắc, còn cần phải có trình độ hiểu rộng
lớn, có óc nhạy bén về ứng dụng, phải nắm đợc không những cách t duy suy
diễn mà cả cách t duy hợp lí nữa . . . [22, tr. 18]
Nhắc lại rằng, việc tách Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng chỉ
mang tính chất tơng đối. Theo cách hiểu hiện nay, phổ biến ở các trờng đại
học trong và ngoài nớc, toán học ứng dụng bao gồm các môn giải tích số, xác
suất - thống kê, lí thuyết điều khiển, lí thuyết hệ thống, lí thuyết thuật toán, lí
thuyết tối u, . . . Mỗi môn nêu trên nghiên cứu một khía cạnh của những quan
hệ số lợng và hình dạng theo phơng pháp, công cụ chung của Toán học, nhng
trên một mức độ nào đó. Có thể nói rằng môn này thể hiện những phơng pháp
và kĩ thuật, công cụ tính toán hiện đại nhất để phân tích thực tại. Đối với nhà tr-

ờng phổ thông, thuật ngữ Toán học ứng dụng đợc hiểu là một số yếu tố của phơng
pháp số, lí thuyết tối u và Thống kê - Xác suất. [31, tr. 232].
Lí thuyết xác suất hiện đại, đợc xây dựng bằng phơng pháp tiên đề, sử
dụng phơng pháp toán học để nghiên cứu các mô hình toán học của các quy
luật thống kê. Bởi vậy có thể nói, Lí thuyết xác suất hiện đại là một ngành của
Toán học lí thuyết có phơng pháp nghiên cứu là phơng pháp của Toán học lí
thuyết. Tuy nhiên, cần chú ý rằng quá trình phát triển của Lí thuyết xác suất đã
bao hàm hai hớng phát triển của Toán học - hớng ứng dụng và hớng lí thuyết.
Do đó ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học đa diện,
bao gồm cả chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng [31, tr. 241].
1.1.2. Vai trò của Lí thuyết xác suất (với t cách là khoa học)
Nhờ có trình độ trừu tợng cao và có đối tợng nghiên cứu là các quy luật
thống kê - những quy luật phổ biến trong hiện thực khách quan - Xác suất
7
thống kê đã thâm nhập vào mọi hoạt động thực tiễn của con ngời. T duy lí
luận - Xác suất xâm nhập một cách có hệ thống vào tất cả các lĩnh vực hoạt
động. Phong cách t duy vốn có của Lí thuyết xác suất và các kết quả của nó là
cần thiết cho ngời nghiên cứu và cho kĩ s, cho nhà kinh tế, cho nhà y học, cho
nhà ngôn ngữ học và cho ngời tổ chức nền sản xuất: Cách tiếp cận thống kê
đối với những hiện tợng tự nhiên, đối với những vấn đề kĩ thuật và kinh tế là
cần thiết cho tất cả các chuyên gia [31, tr. 247].
Tuy nhiên, ngay cả giữa thế kỉ 20 vẫn có khi các nhà toán học còn phải bảo
vệ Lí thuyết xác suất trớc các buộc tội về tính phi khoa học của nó trong một số
ứng dụng. Chẳng hạn, trong thời kì những năm 30 - 40 của thế kỉ 20 tại Liên Xô
là giai đoạn tấn công vào di truyền học, một ngành mà nhiều quy luật của nó dựa
trên Lí thuyết xác suất, trong nhiều tờ báo và các ấn phẩm giả khoa học đã xuất
hiện những khẩu hiệu nh khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên và thiên nhiên
không chơi trò gieo xúc xắc. Nhà bác học Nga A.N.Khinshin, ngời đã phát minh
nhiều kết quả xác suất trong Lí thuyết xác suất đã nói về khẩu hiệu thứ nhất nh sau
Vâng điều đó đúng - Khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên, nhng ta phải nghiên cứu

kẻ thù, và chính Lí thuyết xác suất làm việc đó[39, tr. 15].
Ví dụ 2: Luật Măng đen trong di truyền học
Giả sử một dấu hiệu nào đó của cơ thể sống (chẳng hạn hoa trắng hay
hồng) đợc xác định bởi một cặp gen: Gen trội A và gen lặn a. Cây có cặp gen
aa có hoa mầu trắng, còn cây có cặp gen AA, Aa, aA có hoa mầu hồng. Nếu
một trong bố mẹ có cặp gen aa, còn cây kia có cặp gen AA thì các con ở thế hệ
thứ nhất nhận một gen từ bố và một gen từ mẹ sẽ có cặp gen aA. Sang thế hệ
thứ 2 mỗi cá thể sẽ nhận đợc một cách ngẫu nhiên một gen a hoặc A từ bố mẹ.
Tất cả có 4 khả năng aa, aA, Aa, AA; tính lặn chỉ xuất hiện trong cá thể có cặp
gen aa, còn các cá thể khác có tính trội. Xác suất xảy ra cặp aa bằng
4
1
; các
cặp còn lại xuất hiện với xác suất
4
3
.
Nếu số cá thể trong thế hệ thứ 2 lớn, thì từ đó suy ra rằng tỉ số giữa tần
suất của các cá thể với tính lặn và cá thể với tính trội là 1: 3. Đó là luât Măng
đen, đợc kiểm chứng trong rất nhiều thực nghiệm. Trong thí dụ này xác suất
cũng xuất hiện nh trong các trò chơi cờ bạc. Vì vậy có thể nói rằng thiên nhiên
đôi khi cũng chơi trò gieo xúc xắc.
8
Lí thuyết xác suất, sau khi sinh ra nh là một ngành khoa học ứng
dụng đặc biệt, có liên quan đến sự hiểu biết trò chơi đánh bạc, sau khi trải qua
thời kì phát triển của các phơng pháp thống kê ngây thơ, sau khi thu nhận đợc cơ
sở toán học vững chắc và ngôn ngữ của lí thuyết Metric các hàm, Lí thuyết xác
suất ở dạng hiện đại đã trở thành một ngành toán học đa diện bao gồm cả chiều
sâu lí luận, lẫn nội dung ứng dụng [22, tr. 26]. Cho đến nay, nó đã trở thành một
khoa học có trình độ lí luận sâu sắc và phạm vi ứng dụng rất rộng rãi. Lí thuyết xác

suất đã trở thành công cụ đắc lực để nhận thức và cải tạo thế giới.
1.2. Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đa chủ đề Tổ hợp và Xác suất
vào môn Toán chơng trình phổ thông.
Những yếu tố về Tổ hợp tạo điều kiện đa một số yếu tố của Thống kê và
Xác suất vào nhà trờng phổ thông. Do đó khi nói đến vai trò và ý nghĩa của
Thống kê và Xác suất thì trong đó bao hàm cả vai trò và ý nghĩa của Tổ hợp.
1.2.1. Vai trò của Tổ hợp và Xác suất trong hoạt động thực tiễn của
loài ngời.
Trong cuốn Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2, tác giả
X.M.NIKOLXKI nói đến khái niệm Giải tích tổ hợp là ngành toán học
nghiên cứu những vấn đề khác nhau liên quan đến việc sắp xếp các bộ phận
khác nhau của một tập hợp đã cho, thờng là tập hữu hạn. Một dạng của các
bài toán Tổ hợp là bài toán chọn, thuộc lớp bài toán chọn này khá đặc trng đối
với nhiều mặt hoạt động của con ngời.
Chẳng hạn, giả sử trong một chuyến bay trong vũ trụ, ta cần thực hiện n
loại công việc nào đó (chẳng hạn sửa chữa các công việc khác nhau, quan sát
thiên văn, các thí nghiệm sinh học và vật lí . . .). Để thực hiện chuyến bay ngời
ta chon m ứng viên đã qua các tập luyện cần thiết. Mỗi ứng viên có thể thực
hiện một số trong các công việc đòi hỏi. Nhng số thành viên tham gia chuyến
bay đợc giới hạn rất ngặt. Vì vậy phát sinh câu hỏi: có thể chọn tối thiểu bao
nhiêu ngời trong m ứng viên để nhóm đó có thể thực hiện tất cả các nhiệm vụ
đặt ra?Bài toán này là một trong những trờng hợp riêng của bài toán tổ hợp về
cực trị bài toán phủ.
Thống kê toán và Lí thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết các
ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kĩ thuật, vào quản lí kinh tế và
tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp ngời lao động:
kĩ s, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân, . . . [22, tr. 29]. V.I. Lenin đã đánh
9
giá cao giá trị của thống kê, Ngời đã dạy rằng: Thống kê kinh tế - xã hội là
một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội.

Từ những năm 50 của thế kỉ XX, nhiều nhà Toán học và Giáo dục học trên
thế giới đã nhận thấy sự cần thiết phải cho học sinh học một số yếu tố của Lí
thuyết xác suất. Nhiều hội nghị Quốc tế về Toán học và Giáo dục học đều có sinh
hoạt thảo luận vấn đề đó trong tiêu chuẩn về dạy học, chẳng hạn nh các hội nghị:
- Năm 1969 ở Lyon (Pháp)
- Năm 1972 ở Exeter (Anh)
- Năm 1976 ở Karlsrrube (Cộng hoà liên bang Đức)
- Năm 1980 ở Berlby (Mỹ)
- Năm 1982 ở Seffin ( Anh)
Năm 1993, UNESCO đã tổng kết phong trào cải cách giáo dục Toán học
trên thế giới và nêu rõ rằng xác suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sau đây
để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở phổ thông (trong phạm vi quốc tế):
tập hợp, số, biến thiên, quan hệ và hàm số, đo đạc, không gian và quan hệ
không gian, phép chứng minh, cấu trúc, xác suất.
Trong việc tăng cờng ứng dụng trong giảng dạy ở trờng phổ thông - một
vấn đề có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc, là một yêu cầu có tính nguyên
tắc, nhằm phản đợc tinh thần và xu thế phát triển của Toán, mà một trong
những phơng hớng chủ yếu của nó là Toán ứng dụng. Đặc biệt trong giai đoạn
hiện nay, do nhu cầu của quá trình tự động hoá trong sản xuất, những ngành
liên quan tới 3 hớng: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là những yếu tố phát triển
mạnh nhất của toán học hiện đại [1, tr. 18].
Lí thuyết xác suất là một trong những môn của Toán học ứng dụng, sau
đây là một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất:
- Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử, phơng pháp
động lực học là bất lực mà phải sử dụng phơng pháp Thống kê - Xác suất.
- Lí thuyết xác suất đợc sử dụng rộng rãi trong sinh vật học. Và hiện
nay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phơng pháp
Thống kê xác suất.
- Sự vận dụng các phơng pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và điều
khiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn.

1.2.2. Vai trò và ý nghĩa của việc đa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào
môn Toán chơng trình phổ thông (với t cách là môn học).
10
Việc tăng cờng và làm làm rõ mạch ứng dụng toán học đợc coi là một
trong những quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học môn
Toán ở trờng phổ thông, chẳng hạn nh: Một số yếu tố về thống kê mô tả, Lí
thuyết tổ hợp, Xác suất, . . . Các vấn đề về phơng pháp và kĩ thuật tính toán, lí
thuyết tối u, tổ hợp, xác suất đợc đa vào một cách tờng minh hay ẩn tàng là
nhằm mục đích giới thiệu mặt tính toán của Toán học hiện đại khi áp dụng
giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của cuộc sống thực vốn đã khác
xa những vấn đề thực tiễn của các giai đoạn trớc, các giai đoạn mà các nhà
toán học xây dựng và phát triển lí thuyết về phơng trình, về hàm số, về phép
tính vi phân và tích phân [31, tr. 246].
Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới là
tăng cờng thực hành ứng dụng cho học sinh. Vì vậy đa số các nớc trên thế giới
đã có sự thống nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức có nhiều
ứng dụng nh Thống kê toán và Lí thuyết xác suất. Nội dung dạy học đó thờng
bao gồm những vấn đề:
- Các yếu tố của Thống kê mô tả
- Một số yếu tố của Giải tích tổ hợp; và một số yếu tố của Lí thuyết xác suất
Theo Nguyễn Bá Kim thì: Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có
nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học
sinh. Bởi vậy, ngay từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, những kết
quả nghiên cứu của các nhà toán học và s phạm trên thế giới đã khẳng định
một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào
học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đa một số yếu tố của các
lĩnh vực đó vào môn Toán ở trờng phổ thông [31, tr. 248].
TSKH Vũ Đình Hoà khẳng định: Sự chuyển hớng xây dựng Toán học
hiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp đợc mở ra ở cuối thế kỉ XIX. Một
trong những ảnh hởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết tính toán

với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong hình học tổ
hợp , . . .. Các bài toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng của toán học có nội
dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng
nh trong đời sống hàng ngày của chúng ta. Và Ngày nay, trong các kì thi quốc
gia và quốc tế thờng không vắng bóng các bài toán tổ hợp, nhất là trong các kì
thi học sinh giỏi Toán. Thông thờng đây là các bài toán khó không chỉ đối với
học sinh Việt nam mà cả với học sinh quốc tế nói chung. [24, tr. 3].
11
Từ trớc những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu của
B.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà s phạm và toán học Xô Viết khác đã
thu đợc những kết quả đáng chú ý sau đây:
- Đã khẳng định đợc sự cần thiết của việc đa các yếu tố của Thống kê
toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trờng phổ thông
- Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trờng phổ
thông là: Phát triển có hệ thống ở học sinh những t tởng về sự tồn tại trong tự
nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiên nhiên
của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt. Đó chính là những quy luật
thống kê.
- Việc hình thành cho học sinh một hệ thống nguyên vẹn những tri thức
thống kê - xác suất phải đợc phối hợp thực hiện trong những giờ học của các môn
học khác [22, tr. 37]. Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất là góp
phần tạo lập đợc trong t tởng của học sinh một bức tranh gần đúng của thế giới
hiện thực, để tận dụng khả năng của Lí thuyết xác suất trong sự nghiệp giáo dục
và đào tạo thế hệ trẻ, từ đó góp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinh bớc vào cuộc
sống lao động và học tập sau này. Việc dạy học Xác suất phải tạo điều kiện cho
học sinh vợt ra ngoài khuôn khổ của quyết định luận cơ học, hình thành cho các
em những t tởng về biến cố ngẫu nhiên và xác suất, về mối quan hệ biện chứng
giữa tất nhiên và ngẫu nhiên; chẳng hạn: Khi một hiện tợng xảy ra một cách
ngẫu nhiên thì ta có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay
khoa học cha biết đến, hoặc mới biết nửa vời. Cho nên ngời ta thờng nói cái tất

nhiên bộc lộ ra bên ngoài cái ngẫu nhiên [54, tr. 109].
1.3. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chơng trình môn Toán phổ
thông ở một số nớc trên thế giới.
Trong Hội nghị Quốc tế lần thứ nhất về dạy Toán, tiến hành từ ngày 24
đến ngày 30 tháng 8 năm 1969 tại Liông (Pháp), các bản Báo cáo và Thảo luận
đã nói lên các quan điểm cải cách môn Toán ở trờng phổ thông theo xu hớng:
cố gắng thiết lập mối quan hệ hợp lý giữa cái "cổ điển" và cái "hiện đại", trình
bày các kiến thức có tính chất cổ truyền dới ánh sáng của những quan điểm
Toán học hiện đại, qua việc tích luỹ sự kiện mà đa dần học sinh tới khái niệm
tổng quát. Trong các quan điểm theo xu hớng này, có quan điểm liên hệ việc
dạy Toán với thực tiễn. Tiêu biểu theo xu hớng này là Chơng trình và sách SGK
Toán của trờng phổ thông Liên Xô và các nớc Xã hội chủ nghĩa khác. Hội nghị
lần thứ hai đợc tiến hành từ ngày 29 tháng 8 đến ngày 2 tháng 9 năm 1972 tại
12
thành phố écxôto (Anh) và lần thứ ba từ ngày 16 đến ngày 21 tháng 8 năm
1976 tại thành phố Caclơrue (Tây Đức). Nhìn chung, xu thế cơ bản của việc cải
cách môn Toán ở trờng phổ thông trên thế giới là nh đã nêu trên, trong đó đặc
biệt quan tâm đến quan điểm: Tăng cờng mối liên hệ giữa Toán học và thực
tiễn [25, tr. 278].
Từ năm 1960 trở đi ở nhiều nớc trên thế giới, một số yếu tố của Thống
kê toán và Lí thuyết xác suất đã chính thức đợc đa vào môn Toán của trờng
phổ thông, trong chơng trình bắt buộc hay tự chọn.
Năm 1973, khi tổng kết phong trào cải cách giáo dục trên thế giới
UNESCO Pari đã nêu rõ rằng Thống kê và Xác suất là một trong 9 quan điểm
chủ chốt để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở trờng phổ thông trong
phạm vi quốc tế. Đặc biệt có ý nghĩa trong International Encylopedia tion
1985 có nêu ra những luận điểm để bảo vệ cho khẳng định trên [31, tr. 248].
Cụ thể ở một số nớc:
ở Nhật Bản: Trong chơng trình phổ thông các yếu tố của Thống kê toán và
Lí thuyết xác suất đã đợc rải ra từ lớp 3 của bậc tiểu học đến các lớp cuối của bậc

cao trung. Bậc cao trung gồm 3 năm học, học sinh đợc học về Xác suất và Thống
kê toán ở năm thứ hai trong giáo trình Toán học II. Chủ đề Xác suất và Thống kê
toán bao gồm những nội dung sau đây: Giải tích tổ hợp, xác suất của các biến cố
sơ cấp, tính độc lập của các biến cố, các định lí cộng và nhân xác suất, đại lợng
ngẫu nhiên và phân phối xác suất, phân phối nhị thức và phân phối chuẩn, phơng
pháp mẫu, vận dụng Thống kê toán và Lí thuyết xác suất vào nghiên cứu các hiện
tợng và các quá trình trong các giáo trình kĩ thuật.
ở Cộng hoà Pháp: Bậc cao trung bao gồm 3 năm học. Trong năm đầu học
sinh học chơng trình chung. Đến năm thứ hai hoặc năm thứ 3 thì học sinh học
theo phân ban với 3 hớng lớn: Cao trung phổ thông, cao trung công nghệ, cao
trung nghề nghiệp. Về nội dung Tổ hợp và Xác xuất học sinh đợc học ở lớp kết
thúc (tức năm thứ 3 cao trung - tơng đơng với lớp 12 của Việt Nam):
- Xắp xếp các dữ kiện; tổ hợp; bản số của toán Đề các của các tập hợp
hữu hạn; bản số của tập A (tập hợp của các tập hợp gồm p phần tử của tập hợp
A); chỉnh hợp và hoán vị; kí hiệu n!; tổ hợp
n
C
p
; hệ thức
n n
C C
p n p
=

;
1
1
n n n
C C C
p p

p
+
= +

; công thức nhị thức Niu-Tơn.
13
- Xác suất: Biến cố; biến cố sơ cấp; xác suất của một biến cố đợc định
nghĩa bằng tổng của các xác suất của các biến cố sơ cấp; trờng hợp các biến cố sơ
cấp đồng khả năng; hai biến cố xung khắc; hợp và giao của hai biến cố; xác suất
có điều kiện; sự độc lập của hai biến cố; lợc đồ Becnuli; phân phối nhị thức.
ở Liên Xô (trớc đây): ở các lớp cuối của trờng phổ thông trung học, các
yếu tố của Giải tích tổ hợp và Lí thuyết xác suất đợc đa vào dới dạng giáo
trình tự chọn. Nội dung dạy học bao gồm các vấn đề sau: Các yếu tố của Giải
tích tổ hợp; các biến cố ngẫu nhiên và các phép toán; xác suất của biến cố
ngẫu nhiên; các phép toán về xác suất; dãy các phép thử độc lập Becnuli; các
đại lợng ngẫu nhiên và các số đặc trng của chúng; luật số lớn.
Một vấn đề đã đợc quan tâm trong chơng trình và sách giáo khoa ở một
số nớc trên thế giới là rất coi trọng sự liên hệ Toán học với thực tiễn. Đối với
nhiều chủ đề quan trọng đợc trình bày trong sách SGK, việc có mặt của các
bài toán có nội dung thực tiễn đã đóng một vai trò chủ đạo và xuyên suốt quá
trình dạy học nh là những phơng tiện để truyền thụ tri thức cũng nh thực hành
và luyện tập các chủ đề này. Nghĩa là, các bài toán có nội dung thực tiễn thể
hiện đợc mục đích kép (vừa lĩnh hội tốt kiến thức, rèn luyện đợc kỹ năng vừa
rèn luyện đợc thói quen ứng dụng Toán học vào thực tiễn)
1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chơng trình môn Toán phổ thông của
Việt Nam hiện tại và những năm vừa qua.
Do xu thế hội nhập trên thế giới hiện nay. Hoà chung với xu thế đổi mới
tiến bộ trên thế giới trong lĩnh vực chơng trình SGK phổ thông cũng là một
trong những yêu cầu cần thiết. Từ những thập niên cuối của thế kỉ XX, nhiều
quốc gia đã chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo dục

phổ thông mà trọng điểm là cải cách chơng trình và SGK phổ thông. Chơng
trình của các nớc đều hớng tới mục tiêu nâng cao chất lợng giáo dục, trực tiếp
góp phần cải thiện chất lợng nguồn nhân lực, nâng cao chất lợng sống của con
ngời; khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng gây mất hứng thú và
niềm tin đối với việc học tập của học sinh; . . .
Cùng với trào lu đó, chơng trình giáo dục, SGK phổ thông của Việt Nam
luôn đợc cải cách, chỉnh lí. Quá trình cải cách đợc tiến hành qua nhiều lần, do
đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, phơng pháp trình bày.
1.4.1. Sơ lợc về nội dung Tổ hợp và Xác suất trong chơng trình Toán
phổ thông.
14
Đã nói đến cải cách và chỉnh lí thì tất nhiên sẽ có sự thay đổi về nội
dung, chơng trình. Chúng ta nhìn lại nội dung chủ dề Tổ hợp và Xác suất trong
chơng trình Toán phổ thông từ khi nền Giáo dục Việt Nam có chơng trình phân
ban thí điểm.
Bộ SGK dành cho cấp phổ thông trung học phân ban thí điểm đầu tiên
của nhóm tác giả: Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Trần Văn Hạo (1996). ở
đây, nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất đợc trình bày trong chơng cuối sách
Giải tích 12, bao gồm:
Phần A: Đại số tổ hợp
Đ1. Bộ sắp thứ tự gồm n phần tử
Đ2. Quy tắc cơ bản của phép đếm
Đ3. Hoán vị - Chỉnh hợp
Đ4. Tổ hợp
Đ5. Nhị thức Niutơn
Phần B: Xác suất
Đ1. Khái niệm Xác suất
Đ2. Các tính chất của Xác suất
Đ3. Xác suất có điều kiện
Đ4. Liên hệ với một số bài toán về thống kê

Tồn tại song song với bộ sách trên là hai bộ sách cho học sinh phổ
thông trung học không phân ban, trong hai bộ sách này học sinh không phân
ban không đợc học phần Xác suất mà chỉ đợc học phần Tổ hợp:
Một là, sách của nhóm tác giả: Ngô Thúc Lanh, Vũ Tuấn, Ngô Xuân
Sơn (1999), nội dung phần Tổ hợp đợc giới thiệu ở chơng V, Giải tích 12:
Đ1. Chỉnh hợp - Hoán vị - Tổ hợp
Đ2. Công thức nhị thức Niutơn
Hai là, sách của nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Ngô Hữu Dũng - Hàn
Liên Hải, Giải tích 12, chơng IV: Một số yếu tố về Tổ hợp
Đ1. Phơng pháp quy nạp toán học (1,5 tiết)
Đ2. Bài toán chọn và quy tắc nhân (0,5 tiết)
Đ3. Hoán vị (1,5 tiết)
15
Đ4. Chỉnh hợp (2 tiết)
Đ5. Tổ hợp (1 tiết)
Đ6. Khai triển Niutơn (1 tiết)
Đến năm 2000, các bộ sách đợc hợp nhất, trên toàn quốc chỉ dùng chung một
bộ sách, Bộ Giáo dục bỏ chơng trình phân ban. Lúc này học sinh phổ thông lại không
đợc học về Xác suất, mà chỉ đợc học phần Tổ hợp, gồm các kiến thức sau:
Đ1.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Đ2.Công thức nhị thức Niutơn
Trong lần phân ban thí điểm hiện nay, tồn tại hai bộ sách của hai nhóm
tácgiả, nội dung Tổ hợp và Xác suất đợc đa vào chơng trình Đại số và Giải
tích 11, dạy học cho tất cả học sinh của các ban, tuy nhiên mức độ yêu cầu của
các ban là khác nhau:
- Bộ sách của nhóm tác giả do Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) gồm các bài sau:
Đ1. Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)
Đ2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (4 tiết)
Đ3. Công thức nhị thức Niutơn (1 tiết)
Đ4. Biến cố và xác suất của biến cố (3 tiết)

Đ5. Các quy tắc tính xác suất (3 tiết)
Đ6. Xác suất có điều kiện (2 tiết)
Đ7. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết)
Đ8. Kỳ vọng, phơng sai (1 tiết)
- Bộ sách của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), có các bài sau:
Đ1. Quy tắc đếm (2 tiết)
Đ2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (4 tiết)
Đ3. Xác suất của biến cố (4 tiết)
Đ4. Xác suất có điều kiện (3 tiết)
Đ5. Biến ngẫu nhiên (2 tiết)
Đ6. Kỳ vọng và phơng sai của biến ngẫu nhiên (3 tiết)
Hiện tại trên toàn Quốc học sinh đợc học chung một bộ sách theo chơng
trình cải cách giáo dục, nội dung Tổ hợp và Xác suất đợc đa vào chơng trình
16
Đại số và Giải tích lớp 11, về lợng kiến thức là nh nhau đối với tất cả các ban
nhng khác nhau về mức độ yêu cầu. Bao gồm:
Đ1. Hai quy tắc đếm cơ bản
Đ2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Đ3. Nhị thức Niu-tơn
Đ4. Biến cố và xác suất của biến cố
Đ5. Các quy tắc tính xác suất
Đ6. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1.4.2. Một số điểm khác nhau trong nội dung kiến thức chủ đề Tổ
hợp và Xác suất qua những lần chỉnh lí
1.4.2.1. Về nội dung Tổ hợp
Nội dung kiến thức Tổ hợp đa vào chơng trình Toán phổ thông qua các
năm tơng đối ổn định, chủ yếu gồm các vấn đề: Khái niệm Hoán vị, Tổ hợp,
Chỉnh hợp; công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp; khai triển nhị
thức Niutơn. Hiển nhiên đã có sự cải cách, chỉnh lí thì ắt có sự khác nhau.
Chẳng hạn:

-
Cuốn sách năm 1999 của Phan Đức Chính, có thêm các nội dung:
Phơng pháp quy nạp Toán học; Bài toán chọn và quy tắc nhân; Tam giác Pascal.
-
Sách giáo khoa thí điểm (1996) có thêm kiến thức: Bộ sắp thứ tự
gồm n phần tử; quy tắc của phép đếm (quy tắc nhân); tam giác Pascal.
-
Chơng trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa thí điểm
hiện tại, phần Tổ hợp giới thiệu hai quy tắc: nhân và cộng của phép đếm.
Đó là sự khác nhau về lợng kiến thức, bên cạnh đó còn có sự khác nhau
về cách trình bày, thứ tự các kiến thức. Điều này cũng dễ hiểu vì mỗi nhóm tác
giả có một quan điểm về phơng pháp không giống nhau. Tuy nhiên, cùng một
nội dung kiến thức mà các sách lại có sự khác nhau về định nghĩa, cách chứng
minh thì chúng ta cũng cần phải bình luận để có thể đa ra một cách hiểu thống
nhất. Sau đây là những điểm khác nhau đó:
Với khái niệm Hoán vị, trong sách của Ngô Thúc Lanh (1999) thì Hoán
vị đợc định nghĩa thông qua định nghĩa Chỉnh hợp (trớc đó đã trình bày khái
niệm Chỉnh hợp): Một chỉnh hợp chập n của n phần tử đợc gọi là một hoán vị
của n phần tử ấy, định nghĩa này không nêu lên n thuộc tập nào và định
nghĩa kiểu nh vậy thì đặc điểm của hoán vị không đợc thấy rõ ở chỗ: Một hoán
vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định.
17
Còn nhóm tác giả Phan Đức Chính (1999), thì khái niệm Hoán vị đợc định
nghĩa đầu tiên: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó đợc
sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần, ở đây
cũng không nói đợc n thuộc tập nào. Sách phân ban thí điểm (1996) thì định
nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, n

1. Một hoán vị của n phần tử của A
là một bộ - n sắp thứ tự của các phần tử này, mỗi phần tử có mặt đúng một

lần, định nghĩa này tơng đối chặt chẽ tuy nhiên có sử dụng khái niệm bộ - n
sắp thứ tự đã đợc định nghĩa ngay bài đầu của chơng. Sách chỉnh lí hợp nhất
năm 2000, định nghĩa Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

1). Mỗi
cách xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đợc gọi là một hoán vị của n phần tử
đó, định nghĩa này không nêu lên đợc sự khác nhau của các phần tử trong tập
hợp A. Trong sách phân ban thí điểm lần này thì học sinh có thể nắm khái
niệm một cách dễ dàng nhờ sử dụng ngôn từ dễ hiểu: Kết quả của sự sắp xếp
n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó đợc gọi là một hoán vị của n phần
tử đó (Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)); Cho tập hợp A có n phần tử. Khi sắp
xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta đợc một hoán vị các phần tử của tập A
(Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) 2002), tuy nhiên trong hai định nghĩa này n
cũng không đợc chỉ rõ thuộc tập nào. Nếu nh vậy thì n = 0 thì có hoán vị
không? một hoán vị theo định nghĩa đó là một cách xếp thứ tự mà n = 0 tức
là không có phần tử nào dẫn đến không có sự sắp thứ tự.
Khái niệm Chỉnh hợp cũng có nhiều điều cần bình luận: Sách của Ngô
Thúc Lanh (1999) định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi tập con
sắp thứ tự (tức là có kể đến thứ tự kế tiếp của các phần tử) gồm k ( 0

k

n)
trong n phần tử đã cho gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Trong
định nghĩa này điều kiện ( 0

k

n), tức là k có thể nhận giá trị 0 dẫn đến
một tập hợp không có phần tử nào và tập không có một phần tử nào thì có sự

sắp thứ tự không? rõ ràng k = 0 là vô nghĩa. Ta so sánh với sách của Phan
Đức Chính cũng trong thời điểm đó, Chỉnh hợp đợc định nghĩa: Một chỉnh
hợp chập k của n phần tử (0 < k

n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy
ra từ n phần tử đã cho ; sau định nghĩa có nêu lên dấu hiệu nhận biết hai
chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau là:
- Hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau
- Hoặc chúng có k phần tử nh nhau, nhng sắp xếp theo thứ tự khác nhau.
Ta thấy k không thể bằng 0. Trong những cuốn sách sau này đều định nghĩa
chỉnh hợp chập k của n phần tử với điều kiện 1

k

n, điều này là hợp lí và
18
có thể xem nh đó là sự thống nhất. Tuy nhiên cũng trong nội dung chỉnh hợp
có một chi tiết rất đáng chú ý là khi đa ra công thức tính số chỉnh hợp chập k
của n phần tử, tức tính
k
n
A
thì có hai công thức:
k
n
A
= n(n-1)(n-2) (n-k+1) (1)
và
k
n

A
=
)!(
!
kn
n

(2); với công thức (1) đúng với mọi 1

k

n, còn công thức
(2) với k = n thì dẫn đến
!0
!n
k
n
A =
, nếu không có sự quy ớc 0! = 1 thì với k
= 1 công thức (2) không có nghĩa. Điều này thể hiện ở sách của Ngô Thúc
Lanh (1999), trong cả chơng Tổ hợp không thấy có sự quy ớc 0! = 1 vậy mà đa
ra công thức (2), cũng trong sách này tác giả lại dùng khái niệm chỉnh hợp để
định nghĩa hoán vị. Ta nhận thấy rằng khái niệm hoán vị là trờng hợp riêng của
khái niệm chỉnh hợp khi k = n, với quy ớc 0! = 1 thì công thức tính số hoán vị
cũng đợc suy ra từ công thức tính số chỉnh hợp; tuy nhiên việc lấy khái niệm
này để định nghĩa khái niệm kia không phải là cách tối u trong khi đó vẫn có
thể định nghĩa nó một cách độc lập.
Nếu nh định nghĩa chỉnh hợp với điều kiện 1

k

n thì với k = 0 thì
0
n
A
không thuộc vào định nghĩa, nhng trong sách Đại số và Giải tích 11 của
Đoàn Quỳnh (2002) (tổng chủ biên) có sự quy ớc
0
n
A
= 1 nhằm mục đích gì?
theo nh sách viết thì ng ời ta quy ớc
0
n
A
= 1. Khi đó công thức (2) đúng cho
cả k = 0. Vậy công thức (2) đúng với 0

k

n, công thức (2) đúng với k = 0
mang ý nghĩa gì? phải chăng sự rút ra kết luận nh vậy để nhằm mục đích khi
đa ra công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử thông qua công thức tính
số chỉnh hợp chập k của n phần tử
!k
k
n
A
k
n

C =
(3), thế nhng cũng trong cuốn
sách này định nghĩa tổ hợp với 1

k

n: Cho một tập hợp A có n phần tử và
số nguyên k với 1

k

n. Mỗi tập con của A có k phần tử đợc gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử của A và sau đó đa ra công thức
!k
k
n
A
k
n
C =
với 1

19
k

n, với k = 0 thì lại có sự quy ớc
1
0
=
n

C
. Nếu nh ta hiểu một tổ hợp chập
k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử của tập n phần tử đó thì trong
một tập hợp A gồm n phần tử, tập

là tập không có phần tử nào cũng là tập
con của tập A do đó nó cũng là một tổ hợp với k = 0 suy ra
1
0
=
n
C
không phải
là sự quy ớc do đó k = 0 nên đa vào định nghĩa tổ hợp. Vậy phải định nghĩa tổ
hợp với 0

k

n nh sau: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k
(0

k

n) phần tử của A đợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Khi đã định nghĩa nh vậy thì k = 0 là thuộc vào định nghĩa nên không cần phải
chú thích nh ở trong sách của Trần Văn Hạo (2002) nữa.
Sự chứng minh công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử, tức tính
k
n
C

, ta phải phân ra hai trờng hợp k = 0 và 0 < k

n. Trong trờng hợp k =
0 thì
1
0
=
n
C
, còn 0 < k

n thì
!k
k
n
A
k
n
C =
(3) hay
)!(!
!
knk
n
k
n
C

=
(4); và nhận

thấy rằng công thức (4) vẫn đúng cho cả k = 0, để công thức (3) đúng cho k =
0 thì đến đây nên quy ớc
0
n
A
= 1.
Tóm lại mỗi nhóm tác giả có một quan điểm riêng khi viết sách giáo
khoa, thế nhng nếu không có sự thống nhất sẽ gây cho ngời dạy lúng túng và
ngời học thì không có sự hiểu rõ ràng.
Hiện nay, trong chơng trình cải cách giáo dục lần này học sinh trên cả
nớc đợc học thống nhất một bộ sách theo chơng trình phân ban. Nội dung về
Tổ hợp không thay đổi về lợng kiến thức, nhng nội dung kiến thức có sự thay
đổi. Những điểm không thống nhất trong chơng trình trớc đây bây giờ đợc
trình bày theo một quan điểm: Chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử
và tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử đều đợc định nghĩa với
1 k n
, còn khi
0k =
đều có sự quy ớc
0! 1=
,
0
1A
n
=
và
0
1C
n
=

nhằm mục đích để
cho các công thức
!
( )!
n
k
A
n
n k
=

,
!
!( )!
n
k
C
n
k n k
=

đúng với
0 k n
. Tuy
20
nhiên, sự quy ớc
0
1C
n
=

có cơ sở để giải thích đó là: coi

là tổ hợp chập 0
của tập hợp có n phần tử. Cách khắc phục này có phải là phơng án tối u?
1.4.2.2. Về nội dung Xác suất
Xác suất trớc đây chỉ học sinh phân ban mới đợc học, với kiến thức tơng
đối đơn giản và lợng kiến thức cũng ít hơn so với nội dung xác suất đợc đa vào
chơng trình thí điểm lần này. Không chỉ có sự khác nhau trong khi cải cách mà
ngay trong cùng thời điểm hai bộ sách cũng có sự khác nhau, ta chỉ bàn đến sự
khác nhau về nội dung kiến thức. Cụ thể là sự trình bày không thống nhất giữa
các khái niệm và công thức về xác suất điều kiện, hai biến cố độc lập, quy tắc
nhân xác suất; lấy khái niệm này để định nghĩa khái niệm kia, công thức này
rút ra từ công thức kia và ngợc lại . . .
Trong sách Giải tích 12 (1996) Xác suất có điều kiện đợc định nghĩa tr-
ớc: Trong không gian mẫu E, cho hai biến cố A và B, với P(A) > 0. Xác suất
có điều kiện của B khi A đã xảy ra là một số kí hiệu bởi P(B/A) và xác định
bởi công thức
)(
)(
)/(
AP
BAP
ABP

=
(1); sau đó đa ra công thức nhân xác suất
suy ra từ công thức (1): Ta viết công thức nhân xác suất d ới dạng
)/().()( ABPAPBAP =
(2) gọi là công thức nhân xác suất. ở đây ta thấy
sự luẩn quẩn, nếu biết P(B/A) và P(A) thì tính đợc

)/().()( ABPAPBAP =
.
Tuy nhiên, nếu lấy (1) là định nghĩa xác suất điều kiện mà lại lấy (1) để tính
P(A

B) thì sẽ rơi vào luẩn quẩn. Xác suất điều kiện khác với xác suất không
điều kiện ở chỗ xác suất của biến cố B với điều kiện A là xác suất của B đợc
tính trong điều kiện biến cố A đã xảy ra. Nh vậy ngoài hệ điều kiện cấu thành
phép thử còn bổ sung thêm điều kiện A. Do đó không gian mẫu bị thu hẹp và
biến cố B cũng bị thu hẹp. Nh vậy ta định nghĩa xác suất điều kiện bằng ý
nghĩa thực tế của nó rồi công nhận công thức (1).
Với khái niệm hai biến cố độc lập, SGK thí điểm phân ban năm 2002
của nhóm tác giả Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) thì định nghĩa: Hai biến cố A
và B đợc gọi là độc lập với nhau nếu P(A

B) = P(A).P(B) (3). Thực ra công
thức (3) đợc suy ra từ công thức (2) khi hai biến cố A và B độc lập với nhau.
Theo Đào Hữu Hồ (2001), định nghĩa hai biến cố độc lập theo định tính: Hai
biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này hay không
đều không ảnh hởng đến khả năng xảy ra biến cố kia; còn định nghĩa theo
21
định lợng thì: Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu: P(A/B) =
P(A) hoặc P(B/A) = P(B). Từ đó ta thấy rằng định nghĩa hai biến cố độc lập
bằng công thức (3) không có tính trực quan và là điều vô nghĩa, mặc dù trong
SGK giáo viên của Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) có viết: Mặc dù, định nghĩa
nh vậy không có tính trực quan, nhng lại rất tiện lợi để việc mở rộng khái
niệm độc lập cho nhiều biến cố . Nhng ý nghĩa thống kê của khái niệm độc
lập có thể đợc làm sáng tỏ nhờ tính ổn định của tần suất:
Giả sử trong N phép thử, các biến cố A, B và AB tơng ứng xảy ra trong
N

A
> 0, N
B
> 0 và N
AB
trờng hợp. Thế thì khi N đủ lớn ta có các đẳng thức gần
đúng:
)(AP
N
A
N

;
)(BP
N
B
N

;
)(ABP
N
AB
N


)/( ABP
A
N
AB
N

;
)/( BAP
B
N
AB
N

Từ công thức (3) ta suy ra các đẳng thức gần đúng:

N
B
N
N
A
N
N
AB
N
.
;
N
B
N
A
N
AB
N

;

N
A
N
B
N
AB
N

(4)
Tuy nhiên trong một số trờng hợp ta có thể giả thiết rằng trong các thực
nghiệm với các biến cố A, B và AB các đẳng thức (4) phải đợc thoã, và lúc đó
theo tính ổn định của tần suất đẳng thức (3) phải thoã mãn, nghĩa là các biến
cố A và B có thể coi là độc lập.
Ta biết công thức nhân xác suất đợc suy ra từ công thức tính xác suất có
điều kiện và từ đó có thể mở rộng công thức nhân. Tuy nhiên, trong sách Đại số
và Giải tích 11 (2002) tác giả Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), sách giáo khoa thí
điểm ban khoa học tự nhiên thì lại đa ra quy tắc nhân xác suất chỉ trong trờng
hợp hai biến cố độc lập: Cho hai biến cố A và B độc lập với nhau. Khi đó
P(AB) = P(A).P(B) đây là quy tắc nhân xác suất. Phải chăng với dụng ý giảm
nhẹ kiến thức với học sinh phổ thông nên chỉ xét với hai biến cố độc lập.
Chính vì sự không thống nhất giữa các sách trong việc trình bày các
khái niệm: Xác suất có điều kiện; quy tắc nhân xác suất; sự độc lập giữa hai
biến cố, dẫn đến định nghĩa các khái niệm không giống nhau và có phần luẩn
quẩn. Thứ tự đúng sẽ theo nh trình tự trong sách Giải tích 12 (1996): Xác suất
có điều kiện đợc định nghĩa trớc phải mang tính trực quan và có ý nghĩa thực
tế dễ hiểu, và đa ra công thức tính xác suất có điều kiện (1); từ công thức tính
22
xác suất có điều kiện ta suy ra công thức nhân xác suất; Sự độc lập của hai
biến cố có thể định nghĩa đầu tiên bằng định tính, còn định nghĩa bằng định l-
ợng phải đa ra sau.

Kiến thức về Xác suất trong sách Đại số và Giải tích 11 hiện tại đợc trình
bày giảm nhẹ hơn chơng trình cũ. Các tác giả không đa ra phần Xác suất có điều
kiện, có lẽ để khắc phục sự định nghĩa luẩn quẩn giữa quy tắc nhân và công thức
tính xác suất có điều kiện; trong các công thức tính xác suất, công thức cộng chỉ
xét trong trờng hợp các biến cố xung khắc từng đôi một, công thức nhân xác suất
chỉ xét trong trờng hợp các biến cố độc lập từng đôi một; khi định nghĩa hai biến
cố xung khắc và định nghĩa hai biến cố độc lập đều bằng cách mô tả trực quan.
1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và
Xác suất
Với toán Tổ hợp đã đợc đa vào chơng trình Toán phổ thông từ lâu và nội
dung tơng đối ổn định, nhng đây là dạng Toán mà học sinh cảm thấy khó và
rất hay mắc sai lầm. Còn với nội dung về Xác suất thì lại hoàn toàn mới mẻ.
Ngay cả đối với giáo viên khi dạy phần này cũng không hào hứng. Bởi vì các
suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học
1.5.1. Sai lầm trong việc nắm ngữ nghĩa và cú pháp
Theo A.A.Stôliar thì, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp
của ngôn ngữ Toán học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm đ-
ợc định nghĩa.
Theo Nguyễn Bá Kim: Trong Toán học, ngời ta phân biệt cái kí hiệu và
cái đợc kí hiệu, cái biễu diễn và cái đợc biễu diễn . Nếu xem xét phơng diện
những cái kí hiệu, những cái biễu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy
tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phơng diện cú pháp. Nếu
xem xét những cái đợc kí hiệu, những cái đợc biễu diễn, tức là đi vào nội
dung, nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biễu diễn thì đó là phơng diện
ngữ nghĩa [33, tr. 54].
Nhiều thuật ngữ và kí hiệu toán học đã đợc mọi ngời thừa nhận và sử
dụng thống nhất. Nhng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà Toán học
hoặc một số quốc gia có thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khác nhau
ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ hoặc cùng một
kí hiệu ứng với những khái niệm khác nhau. Chẳng hạn: Với cùng khái niệm

23
số tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử đợc kí hiệu là
k
C
n
hoặc
n
k

ữ

.
G.V.Leibnitz ví ngôn ngữ kí hiệu nh sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ông cho rằng:
Chúng ta sử dụng kí hiệu không phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ của ta cho ngời
khác, mà còn để đơn giản hoá quá trình suy nghĩ của chúng ta [54, tr. 25]
Ví dụ 3: Do sự lẫn lộn giữa đối tợng đợc định nghĩa và kí hiệu dùng để
chỉ số đối tợng ấy nên học sinh thờng hay nói Tổ hợp chập k của n là
k
C
n
,
hoặc Chỉnh hợp chập k của n là
A
k
n
, trong khi đó nói đúng phải là Số Tổ
hợp chập k của n là
k
C
n

, hoặc Số Chỉnh hợp chập k của n là
A
k
n
,
Ví dụ 4: Với ngôn ngữ của Toán học cổ điển, trong lí thuyết tổ hợp ng-
ời ta hay sử dụng cụm từ n phần tử . Với cách nói này, ta cần hiểu: hoặc n
phần tử là khác nhau (chẳng hạn xét n điểm trong không gian hay mặt phẳng),
hoặc trong đó có một phần tử bằng nhau (chẳng hạn: xem 13 chữ số, trong
đó 5 chữ số 1, 3 chữ số 2, 2 chữ số 2. 1 chữ số 4, 2 chữ số 5). Nhng ta lại cần
nhớ rằng trong lí thuyết tập hợp, nói rằng một tập hợp gồm n phần tử đó là
phải khác nhau. Khi liệt kê danh sách các phần tử của một tập hợp thì mỗi
phần tử đợc nêu lên đúng một lần. Chẳng hạn với bài toán:
Viết tập hợp các chữ số có mặt trong có mặt trong số 124325223441 thì
tập hợp đó là A = {1, 2, 3, 4, 5 } ( gồm 5 phần tử khác nhau)
Nhng theo quan điểm của Lí thuyết tổ hợp, thì số trên thì số trên gồm
12 chữ số (12 phần tử) nh đã nói.
Chính vì thói quen của cách hiểu theo lí thuyết tập hợp mà học sinh mắc
phải sai lầm khi giải Toán tổ hợp. Chẳng hạn với bái toán sau:
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết thành bao nhiêu chữ số có 9
chữ số, trong đó mỗi số chữ số 1 có mặt 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng
một lần?
Thông thờng học sinh hiểu theo lí thuyết tập hợp và giải nh sau:
Gọi số thoã mãn là
5 7
1 2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a a
Số a
1
có 6 cách viết {1, 2, 3, 4, 5, 6}, chữ số

5 7
2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a
có 8!
cách viết.
24
Nếu nh coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số
5 7
1 2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a a
có
6.8! cách viết.
Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hoán vị nh nhau.
Vậy số
5 7
1 2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a a
có
6.8!
40320
3!
=
cách viết.
Với cách giải trên học sinh mắc phải sai lầm: Nếu coi 3 chữ số 1 là khác nhau
thì a
1
phải có 8 cách viết. Nghĩa là phải giả sử 3 chữ số 1 khác nhau ngay từ đầu.
Do đó lời giải đúng sẽ là:
Nếu nh coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số a
1

có 8 cách viết {1, 1, 1, 2, 3,
4, 5, 6} và số
5 7
2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a
có 8! cách viết
Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hoán vị nh nhau
Vậy số
5 7
1 2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a a
có
8.8!
53760
3!
=
cách viết
Ví dụ 5: Với những bài toán đếm ta hay gặp cụm từ có thể lập đ ợc
bao nhiêu số gồm k chữ số khác nhau, với cụm từ này thì dụng ý của tác giả
viết sách là số gồm k chữ số

1 2
a a a
k
thì các a
i
(
1,i k=
) phải khác nhau từng
đôi một. Tuy nhiên, có không ít ngời đọc, học sinh vẫn hiểu nh sau: các số

gồm k chữ số là khác nhau, tức là

1 2
a a a
k


1 2
b b b
k

.
Các bài toán Tổ hợp trong các đề thi Đại học ta vẫn thờng gặp, chẳng
hạn nh:
Trờng Đại học An ninh năm 1997: Từ 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể
lập đợc bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
Trờng đại học Ngoại ngữ - Tin học, khối D - 2000: Hỏi từ 9 chữ số 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập đợc bao nhiêu chữ số gồm 5 chừ số khác nhau sao
cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 1.
Phải chăng để tránh trờng hợp học sinh hiểu sai dụng ý của tác giả,
trong các bài tập hay các đề thi nên ghi rõ. Chẳng hạn: Với các chữ số 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 có thể thành lập đợc bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 5 chữ số
khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.
Ví dụ 6: Không phân biệt đợc A và
A

, biến cố A và tập con
A

của

không gian mẫu các kết quả thuận lợi cho A. Chẳng hạn bài toán sau:
Gieo hai con súc sắc cân đối.
25