một số mở rộng của định lý giới hạn martingale của doob

Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

LI NểI U
Lớ thuyt xác suất và thống kê tốn học đã có tiền đề thực tiễn và toán học
từ nhiều thế kỷ nay. Tuy nhiên, nó thực sự trở thành một chuyên ngành tốn ứng
dụng được nhiều người quan tâm từ khi có tiền đề Kolmogow.
Từ những kết quả ban đầu sâu sắc ấy, nhiều lý thuyết mới đã ra đời. Lý
thuyết quá trình ngẫu nhiên là một tiêu biểu, trong đó các quá trình
Martingale và Makrov được coi là xương sống bởi những ứng dụng to lớn của
chúng trong nhiều lĩnh vực. Một trong những ông tổ của lý thuyết này là Doob.
Vì vậy, em đã chọn: “Một số mở rộng của định lý giới hạn
martingale của Doob” làm đề tài.
Nội dung khố luận gồm có 3 chương:
Chương I: Giới thiệu sơ lược về các kiến thức liên quan: Sự hội tụ của các
biến ngẫu nhiên ( hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ trong Lp) về
kỳ vọng có điều kiện, các tính chất của kỳ vọng có điều kiện.
Chương II: Trình bày về martingale và một số định lý hội tụ quan trọng
của martingale, đặc biệt là định lý Doob, định lý Neveu,…
Chương III: Đây là chương chính của khố luận. Chương này đề cập tới
martingle L1 - tiệm cận, martingale tới hạn, trò chơi ngẫu nhiên công bằng dần
theo thời gian. Giới thiệu một số mơ hình trị chơi ngẫu nhiên tổng qt hơn
martingale mà với chúng, định lý giới hạn martingale của Doob vẫn cịn đúng.
Đó là những kết quả nghiên cứu gần đây của Talagrand và PGS – TSKH Đinh
Quang Lưu.
Hồn thành khố luận này, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình
tới TS. Nguyễn Hắc Hải, người đã tận tình hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến

Nguồn:

Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

quý bỏu cho em. Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Toán ứng
dụng và tập thể sư phạm nhà trường đã dạy và giúp đỡ em trong suốt bốn năm
qua.
Trong suốt q trình làm khố luận, mặc dù được chỉ bảo chu đáo, ân cần
song nó cũng có nhiều hạn chế, sai sót. Vì vậy, em rất mong các thầy cơ giáo
cũng như các bạn đóng góp ý kiến, giúp đỡ và thông cảm cho em.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2006
Sinh viên

Đỗ Thị Lan Hương.

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

CHNG I

CC KIN THC BỔ TRỢ
I.1 Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên
Giả sử X1, X2,… là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xác định trên
không gian xác suất cố định ( ,  ,P). Để cho gọn, ta dùng ký hiệu (Xn) để chỉ

dãy b.n.n.
I.1.1. Định nghĩa (Hội tụ theo xác suất)
Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu
nhiên X nếu với   0 bất kỳ, ta có:



      0 .

lim P  : X n   X  

n

P

Sự hội tụ theo xác suất được ký hiệu là

Xn  X .

I.1.2. Định nghĩa (Hội tụ hầu chắc chắn)
Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến biến
ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất 0 sao cho:

X n    X    với   A .
h.c.c

Sự hội tụ hầu chắc chắn được ký hiệu là X n  X .
Chú ý
(+) A là tập có xác suất 0 nếu tồn tại tập B   , A  B sao cho P  B   0 .
h.c.c

(+) Ta cịn có thể định nghĩa: X n  X , nếu:




P   : lim X n   X 

n

 1

   

.

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

I.1.3. nh ngha (Hi tụ trong Lp )
Dãy b.n.n (X n) được gọi là hội tụ trong Lp ( 0  p   ) đến b.n.n X, ký
Lp

hiệu là X n  X , nếu:
E Xn  X

p

 0 khi n  .

I.1.4. Định nghĩa
Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi là dãy Cauchy theo xác suất (tương ứng
hầu chắc chắn, trong Lp ) nếu với mọi   0 bất kỳ:
P  X n  X m    0, khi n, m 






 k ,l  n






(tương ứng: P sup X k  X l   0 ; E X n  X m  0 khi n, m   ).
I.1.5. Mệnh đề (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ)
Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy
Cauchy theo xác suất.
Dãy biến ngẫu nhiên (X n) hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy (Xn) là
dãy Cauchy theo nghĩa hầu chắc chắn.
I.1.6. Mệnh đề





Cho dãy b.n.n (Xn) nếu P X   1 thì các điều kiện sau đây là tương
đương với nhau:
h.c.c

i) X n  X .




ii) lim P   : sup X

n

k n

  X   
k



 0,  bất kỳ.

I.1.7. Định lý:
Cho dãy b.n.n (xn) khi đó ta có:

Nguồn:

Khoá luận tốt nghiệp
i)

Đỗ Thị Lan Hương

h.c.c

P

Nu X n X thì X n  X .
P

ii) X n  X khi và chỉ khi với mọi dãy con (nk ) của  tồn tại dãy con
h.c.c

(nk ) sao cho: X n  X .
p
Chứng minh
 X  X      sup X  X   

 n
  k n k



i) Vì:





 k n



 P  X n  X     P  sup X k  X    .


h.c.c

Theo mệnh đề I.1.6 do X n  X




 k n



 P  sup X k  X     0 khi n  

 P  Xn  X    0



khi n  

P

 Xn  X .
ii) Trước hết, ta chứng minh kết quả sau:
Nếu (X n) là dãy biến ngẫu nhiên, thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy theo xác
suất tức là   0 , p   : m, n  p , ta có:



    

 

P  : X n   X m  

.

thì tồn tại dãy con hội tụ hầu chắc chắn.
Thật vậy: Với dãy  k , k ,  k  2 k thì ta có thể chọn được một dãy con tăng





ngặt  nk  của  , sao cho: n, k  thoả mãn n  nk , ta có:



 

 

P : X n   X n   2
k

k



 2 k .

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

Vi mi k , ta đặt:



Ak   : X n    X n    2k
k 1
k


Bk   Ai ,
i k





B   Bk
k 1











 ik





ik

i k



i

P  Bk   P   Ai    P  Ai    2  2k 1

P  B   0 .

Với   B thì dãy số X n   thoả mãn tiêu chuẩn Cauchy theo nghĩa thơng
k
thường.
Khi đó ta định nghĩa b.n.n Y :    như sau:
 lim X n    ,   B
Y     k  k

,   B
0


Thì P



X n Y
k



h.c.c

 1 hay dãy con

 Y.
Xn

k

Ta sử dụng kết quả này để chứng minh (ii):
P

Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả thiết: X n  0 .

(  ) Giả sử (nk) là một dãy con nào đó của  . Đặt:
P

Yk  X nk , k  

 Yk  0 .

 Yk  là dãy Cauchy theo xác suất. Vậy theo chứng minh trên thì dãy Yk  sẽ
chứa dãy con  Yk  hội tụ hầu chắc chắn, hay dãy con




p



X
 nk
 p

 của



 X  hội tụ hầu chắc chắn đến 0.
n

k

(  ) Chứng minh bằng phản chứng.
Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

P

Gi s X n  0 , có nghĩa là   0: k , nk  k thoả mãn:






P X n   
k

h.c.c



Xn  0 .

k

  của  n 

Hơn nữa, từ bất đẳng thức trên ta cũng có với mọi dãy con nk
h.c.c

p

k

P

X n  0  X n 0 .

kp

Vậy định lý được chứng minh.
Chú ý
P

h.c.c

Xn  X  Xn  X .


Thật vậy:
Giả sử lấy   0,1 ,   B   0,1  , P   a, b    b  a .





 
Ta đặt
 i  i 1 i 
, 
 An  

 n n

i
 Xn 1 i
An



Xét dãy b.n.n

X , X , X
1
1

1
2

i  1,2,...., n

 n  1 .



2
1
2
3
, X 3 , X 3 , X 3 ,......
2

1
i
i
i
Có P X n   P X n 1  P An  .
n



 

  

Mặt khác:
i
Xn



0 ,

   

1 ,


i
  An
i
  An

i
i
X n     0 với vơ hạn   An


Nguồn:

thì


Khoá luận tốt nghiệp


Đỗ Thị Lan Hương





i

P X n 0 


1

0 

n

h.c.c

i
Xn  0.


I.1.8. Định nghĩa

 X ,iI 

là khả tích đều nếu :

lim sup

Họ b.n.n khả tích



i

a  iI  X a 
 i 

X i dP  0 .

I.1.9. Mệnh đề





Để họ b.n.n khả tích X i , iI là khả tích đều thì điều kiện cần và đủ là:
i) sup E X i   ( L1 - bị chặn đều).
iI

ii) Với mọi   0 , luôn    0 sao cho:  A  , P  A    , ta có:

sup  X i dP   (Liên tục tuyệt đối đều).
iI A

I.1.10. Định lý
LP

P

i) Nếu X n  X  X n  X (1  p  ) .
ii) Dãy b.n.n khả tích  X n  hội tụ trung bình đến X  L1 , khi và chỉ khi
P

 X n  khả tích đều và

Xn  X .

Chứng minh
i) Theo bất đẳng thức Markov,   0 :

 P Xn  X    
Lp

Do X n  X  E X n  X

p

0

E Xn  X

p

p

.

khi n  

 P  X n  X     0 khi n  
P

 Xn  X .
Nguồn:

Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương
P

ii) ( ) Giả sử  X n  khả tích đều và X n  X . Khi đó theo I.1.7, tồn tại

 

dãy con X n

k

Do đó X n

h.c.c

sao cho: X nk  X .

h.c.c

 X .

k

Theo bổ đề Fatou, ta có:

 




E X  lim E  X
k

nk

  sup
 n


 
X

n

  .

tức là: X  L1 .
L1

Bây giờ ta phải chứng minh rằng: X n  X .
Thật vậy, vì  X n  khả tích đều, nên họ X n , X , n cũng khả tích đều.
   0 tuỳ ý,  


sao cho: Nếu A  và P  A    , ta có:
3


 
max sup  X n dP,  X dP   .
3
 A





A

P

Mặt khác, vì X n  X nên tồn tại p  sao cho: n  p , ta có:
P

 X n  X      

 P  Xn  X        .


3 
3


Vậy với mọi n  p , ta thu được:
E  Xn  X  




 Xn X  3



X n  X dP 




 XnX 3



X n  X dP


 
X n dP 
X dP   .




3  X n  X  


 X n X  



3



3

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

L1

Hay X n X .
L1

1

(  ) Giả sử: X  L và X n  X . Rõ ràng (Xn) là L1 - bị chặn đều.
L1

Mặt khác, do X n  X

P

 X n  X . Bây giờ, ta phải chỉ ra  X n  là khả

tích đều.
L1

Cho   0 , vì X n  X nên tồn tại p  sao cho:


sup E X n  X  .
3
n p





Mặt khác, họ hữu hạn  X n , n  p , X  dĩ nhiên là khả tích đều, nên theo mệnh
đề I.1.9,  , A   , P  A    , ta có:

sup  Xn dP  sup  Xn dP  sup  X n dP
 A

n

np A

 sup  Xn dP  sup  X n  X dP   X dP
n

np A

A





 sup  Xn dP  sup E X n  X   X dP  
np

n

A

Vậy theo mệnh đề I.1.9, (Xn) khả tích đều. Suy ra đpcm

I.2. Kỳ vọng điều kiện
I.2.1. Định nghĩa:
Giả sử (Ω,  , P) là không gian xác suất, G là  - đại số con của  , X là
b.n.n khả tích. Kỳ vọng điều kiện của b.n.n X với G đã cho là b.n.n M thoả mãn
các điều kiện sau:
i,

M là G - đo được.

ii,

M còn được ký hiệu là E(X/G).
Nguồn:

Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

Chỳ ý
a) Nu Z1,Z2, là các b.n.n xác định trên (Ω,  ) và G là  - đại số sinh bởi
chúng thì E(X/G) được ký hiệu là: E(X/Z1,Z2,…).
b) Nếu X  1A , A  thì E(X/G) được ký hiệu là: P(X/G) và
E(1A/Z1,Z2,..) được ký hiệu là: P(A/Z1,Z2,…). Đó là các xác suất điều kiện.
I.2.2. Các tính chất cơ bản của kỳ vọng điều kiện
Giả sử (Ω,  ,P) là không gian xác suất cố định, các b.n.n đều có kỳ vọng
(khả tích, nửa khả tích), G   là  - đại số con nào đó.
Khi đó ta có các tính chất sau:
a)

E(c/G) = c (h.c.c) (với c là hằng số).

b)

X  Y  E(X/G)  E(Y/G) (h.c.c).

c)

| E ( X / G)|  E  X

d)

Nếu a,b là hằng số và (aEX+bEY) xác định, thì:

/ G) (h.c.c).

E(aX+bY/G) = aE(X/G)+bE(Y/G)

(h.c.c).

e)

E(X/, ) = EX (h.c.c).

g)

E(X/  ) = X

h)

E(E(X/G)) = EX

i)

E(E(X/G2)/G 1) = E(X/G1) = E(E(X/G1)/G 2) (h.c.c), nếu G1  G2.

k)

Nếu X độc lập với G (nghĩa là  (X) và G độc lập), thì:

(h.c.c).
(h.c.c).

E(X/G) = EX (h.c.c).
l)

Nếu Y là G - đo được và E|Y| <  , E|XY| <  , thì:
E(XY/G) = YE(X/G) (h.c.c).

Chứng minh
a) Vì c là hằng số và X = c, nên từ:

 E  c / G)dP =  X dP , A  G
A

A

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương



E c / G)dP =  c dP  E(c/G) = c (h.c.c).
A

A

XY

b) Do

  XdP   YdP
A

, A  G

A

  E  X/ G)dP   E  Y/ G)dP  E  X/ G)  E  Y/ G) (h.c.c).
A

A

c)  X  X  X

  E  X / G)  E  X / G)  E  X / G) (h.c.c)
 E  X / G)|  E  X / G)

(h.c.c).

d) A  G, ta có:





 aX  bY dP  a  XdP  b  YdP
A

A

A

 a  E ( X/G)dP+ b  E ( Y/G)dP
A

A

=  [ aE(X/G)+bE(Y/G)]dP.
A





 aX  bY dP   E ( aX+bX/G)dP.
A

A

Vậy:  E ( aX+bY/G)dP =  [ aE(X/G)+bE(Y/G)]dP.
A

A

 E(aX+bY/G) = aE(X/G )+ bE(Y/G ) (h.c.c).

e) Rõ ràng: EX là đo được với  - đại số ,  .
Với

 A

A=



  X dP   EX dP
A
A

    EX

E X/ ,

(h.c.c) .

g) Rõ ràng X là  đo được.
A     XdP   E ( X/  )dP  E(X/  ) = X (h.c.c).
A

A

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

h) Ta cú:

E ( X/G)dP =  X dP, A G

A

Với A  

A

  E ( X/G)dP =  X dP




 E(E(X/G)) = EX

(h.c.c).

i) A G1, G1  G2
  E ( E(X/G2)/ G1)dP =  E ( X/G2)dP =  X dP =  E ( X/G1)dP
A

A

A

 E(E(X/G2)/ G1) = EX

A

(h.c.c).

AG2, thì:

 E ( X/G1)dP =  E ( E(X/G1)/ G2)dP

(h.c.c).

A

A

k) Nếu X và G độc lập, A  G  X, 1A độc lập.

  X dP = EX 1A = EX P(A) =  (EX ) dP
A

A

 EX = E(X/G) (h.c.c).
l) Lấy Y= 1B với B G
Xét A G   E ( XY/G)dP =  XY dP =  X 1B dP
A

A

A

=  X dP =  E ( X/G)dP
A B

A B

=  I B E(X/G)dP =  Y E(X/G)dP.

A

A

 E(XY/G) = YE(X/G) (h.c.c).
I.2.3. Giới thiệu nhóm các tính chất chuyển qua giới hạn
a) Định lý: (Hội tụ đơn điệu của Levy)
X  X
n

(i) Nếu 



n : E ( X n )  


( h.c.c)

thì E(Xn/G)  E(X/G) (h.c.c).

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

X X
(ii) Nu  n

(h.c.c )


n : E ( X n ) 


thì E(X n/G)  E(X/G) (h.c.c).

Chứng minh

 


(i) Giả sử n0  sao cho E X n   . Khi đó:
0
0  Xn  Xn  X  Xn
0

0

Theo định lý Levy về hội tụ đơn điệu, ta có:
 lim E ( X n  X n0 /G)dP = lim  E ( X n  X n0 /G)dP
n
n

A

A













 lim  X n  X n0 dP   lim X n  X n dP   X  X n dP
0
0
n
n
A

A

A

Từ đó do tính tuyến tính, ta có:

lim E(Xn/G) = E(X/G)
n

(h.c.c).

b) Bổ đề Fatou:

Giả sử Y là b.n.n khả tích, khi đó:
(i) Nếu X n  Y (h.c.c) thì E(lim X n/G)  lim E(X n/G) (h.c.c).
(ii) Nếu X n  Y (h.c.c) thì



E lim X n / G)  limE  Xn /G) (h.c.c).

Chứng minh
(i) Ta có: lim X n  lim  inf Xm
n

m>n

Đặt Zn = inf X m  Z n  Z , với Z = lim X n.
m>n


Do Y khả tích  n0  : Z n  Y   .
0

Theo định lý đơn điệu của Levy:
E(Zn/G)  E(Z/G) (h.c.c).
Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

E (lim X n /G)) = E(Z/G) = lim E(Zn/G) = limE ( Zn/G)  limE ( X n /G).
n

c) Định lý: (Hội tụ bị chặn của Lebesgue)
Giả sử Y khả tích và |X n|  Y (h.c.c) khi đó, nếu X n  X (h.c.c) thì
E( lim Xn/G) = lim (E X n/G) (h.c.c).
n

n

Chứng minh
Theo giả thiết |Xn|  Y nên ta có -|Y|  |X n|  |Y|.
Theo bổ đề Fatou, ta có:
E( lim Xn/G)  lim E(X n/G)  lim E(X n/G) = E( lim X n/G).
h.c.c

Do X n



X nên lim Xn = lim X n = X

(h.c.c).

 E(X/G)  lim E(X n/G)  lim E(X n/G)  E(X/G)
 lim E(Xn/G) = lim E(Xn/G)

(h.c.c)

 E(lim Xn/G) = limE(Xn/G)

(h.c.c).

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

CHNG II
MARTINGALE V CC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ

Cho ( ,

,P) là không gian xác suất. 



là  - trường con của

và X là b.n.n nào đó.

II.1. Các khái niệm
II.1.1. Khái niệm tương thích và dự báo được
B.n.n X được gọi là tương thích với  , nếu X là  - đo được. Trong trường
hợp đó ta viết X   .
Ký hiệu:  (X) = X-1(B), trong đó B là  - trường Borel của  . Rõ ràng X

  khi và chỉ khi  (X)   .

Cho dãy  - trường con { n , n   } của A. Dãy này được gọi là không
giảm nếu m  n , m, n   , m  n .





Giả sử X n ,n là dãy b.n.n, ta nói quá trình ngẫu nhiên
X={X n, n , n   } là dãy tương thích nếu X n  n với mỗi n   .
Ta nói V  Vn, n1, n  , 1  0 là dãy dự báo được nếu Vn n với
mỗi n  .
Nhận xét
(i)

Dãy dự báo được là dãy tương thích.

(ii)

X={Xn,  n , n  } là dãy tương thích.

Với  n =  ({Xm, m  n}); m, n  là  - đại số nhỏ nhất cảm sinh từ
tập hợp tất cả các biến cố có thể nhận đến thời điểm n.

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

II.1.2. Thi im Markov và thời điểm dừng
( ,

,P) là không gian xác suất đầy đủ (tức là

chứa tất cả các tập có

xác suất 0).


{ n , n  } là dãy các  - trường không giảm. Ký hiệu:     n là
n 0

 - trường bé nhất chứa tất cả n , n .

 

Giả sử  :      là b.n.n (có thể lấy giá trị  ).Ta nói rằng  là thời
điểm Markov đối với { n , n  } nếu

 :   n n , n   .




Nếu thêm vào đó P    1 thì  là thời điểm dừng.
 là lớp gồm tất cả các tập con

của  sao cho

  và

   n   n

Khi đó n là  - đại số con của  .
Chú ý
(i)  là thời điểm Markov đối với { n , n  } khi và chỉ khi

 :     n n ,

n   .

(ii)  là thời điểm Markov đối với { n , n   }





  :      n  n .

II.1.3. Martingale
Các định nghĩa dưới đây vẫn có hiệu lực khi thay tập số ngun khơng âm

 = {0,1,….} bằng một tập hữu hạn {0,1,…,N}, N .
,P) là không gian xác suất. Dãy X = {Xn, n , n  } được gọi là:

( ,

* Martingale trên (đối với { n , n  }) nếu thoả mãn
(i)

{Xn, n , n  } là dãy tương thích.
Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

(ii)

E|X n| < , n  .

(iii)

Với m  n; m, n   thì
E(X n/  m)  Xm (P-h.c.c).

* Martingale dưới (đối với { n , n  }) nếu các điều kiện (i), (ii) được
thực hiện và thoả mãn thêm điều kiện (iii’).
Với m  n; m, n  thì

(iii’)

E(X n/ m )  Xm (P-h.c.c).
* Martingale (đối với { n , n  }) nếu các điều kiện (i), (ii) được thực
hiện và thoả mãn thêm điều kiện (iii ’’).
(iii’’) Với m  n ; m, n   thì
E(X n/  m) = Xm (P-h.c.c).
Nhận xét

1) Từ kỳ vọng điều kiện ta có:

. Điều kiện (iii) tương đương với
 X n dP   X m dP,
A

A   m; m  n .

A

. Điều kiện (iii’) tương đương với
 X n dP   X m dP,
A

A   m; m  n .

A

. Đều kiện (iii’’) tương đương với
 X n dP   X m dP,
A

A   m;

m  n.

A

2) Định nghĩa về martingale, martingale dưới, martingale trên còn tương
đương với các định nghĩa tương ứng như sau:

Giả sử  = {0,1,…,N}, ( ,

 0   1…   n  n ... 

,P) là khơng gian xác suất,

. Khi đó {Xn, n , n  } là:

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

. Martingale trờn nu:
(i) X n  n , n   .
(ii) E|Xn| <  , n   .
(iii) Với n =1,2,… thì E(X n/  n-1)  X n-1

(P-h.c.c).

. Martingale dưới nếu các điều kiện (i),(ii) và (iii’) được thực hiện.
(iii’) Với n = 1,2,…thì E(Xn/  n-1)  X n-1

(P-h.c.c).

. Martingale nếu các điều kiện (i),(ii) và (iii’’) được thực hiện.
(iii’’) Với n =1,2,…thì E(Xn/ n1 ) = Xn-1

(P-h.c.c).

3) Một martingale thì:

. Vừa là martingale trên vừa là martingale dưới.
. Nếu đổi dấu martingale trên thì được martingale dưới và ngược lại.
II.2. Các ví dụ
II.2.1. Ví dụ 1





Giả sử  n , n   là dãy các b.n.n độc lập với E n  0, n   khi đó
các tổng riêng Sn  1  ...  n là dãy martingale đối với

n     0 ,..., n  .
Chứng minh
i) Hiển nhiên: Sn   n, n   .
n

n

i 1

i 1

ii) E S n  E  i   E i  

 E Sn   ,



n  .



(iii) Do  n , n là dãy b.n.n độc lập  n và n1 độc lập.

 E(Sn /  n-1) = E(Sn-1+ n /  n-1)
Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương
= E(Sn-1 / n-1) + E ( n /  n-1)
= Sn-1+ E n = Sn-1.

Điều phải chứng minh.
Chú ý
(+)Nếu E n  0  E(Sn/  n-1)  Sn-1. Ta có: {S n,  n, n  } là martingale
trên.
(+)Nếu E n  0  E(Sn /  n-1)  Sn-1. Ta có: {Sn,  n, n  } là martingale
dưới.
II.2.2. Ví dụ 2





Giả sử  n , n   là dãy các b.n.n độc lập với En  1, n  khi đó các
n

tích riêng Sn    k là dãy martingale đối với n    0 ,...,  n  .
k 0

Chứng minh
Kiểm tra lần lượt các điều kiện, ta có:
(i) {Sn,  n, n  } là dãy tương thích (theo cách định nghĩa  n).
(ii) E Sn   n  .
Do n , n  là các b.n.n độc lập và n là khả tích.
(iii) E  Sn / n1   E  Sn-1 n / n1   E  Sn 1 / n1  .E  n / n1 

 S n 1E n  S n 1 .
Vậy {Sn,  n, n  } là martingale đối với {  n, n   }.
Chú ý
Nếu E n  1  E(Sn /  n-1)  Sn-1  {Sn,  n, n  } là martingale
trên.
Nếu E n  1  E(Sn /  n-1)  Sn-1  {Sn,  n, n  } là martingale
dưới.
Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

II.2.3. Vớ d 3
Gi sử X là b.n.n có E|X| <  và {  n, n  } là dãy  - trường con khơng

giảm của

. Khi đó dãy Xn = E(X/  n) là martingale đối với  n, n  . Nó

được gọi là martingale chính quy.
Chứng minh
Ta lần lượt đi kiểm tra các điều kiện
(i) Vì E(X/  n) là đo được đối với  n  X n là đo được đối với n

 {Xn,  n, n  } là dãy tương thích.
(ii) E|Xn| = E|E(X/  n)|  E(E(|X|/  n)) = E|X| <  .

 E |X n| <  , n  .
(iii) Xn-1 = E(X/  n-1) = E(E(X/  n)/  n-1) = E( X n / n ), (do  n-1   n ).
II.2.4. Ví dụ 4
Nếu X = {Xn,  n, n  } là martingale và g là hàm lồi với:

   ,

E g Xn

n  thì { g  X n  ,  n, n  } là martingale dưới.

Chứng minh
Vì g là hàm lồi  g liên tục, có đạo hàm trái, đạo hàm phải tại mọi điểm

 g  X n  là dãy b.n.n.
(i) Do {Xn,  n, n  } là dãy tương thích .
 { g  X n  ,  n , n  } là dãy tương thích.

(ii) E g  X n   

(theo giả thiết).

(iii) Có g  EX n   Eg  X n  (B.đ.t Jensen)

m  n , có X m  E  X n / m 

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp


Đỗ Thị Lan Hương



g X m  g  E  X n / m    E  g  X n  / m  .

Vậy: {Xn,  n, n  } là martingale dưới.

II.3. Các định lý hội tụ quan trọng
II.3.1. Bất đẳng thức cắt ngang
Nếu {Xn,  n, n = 0,1….,N} là martingale dưới thì:

ba E  E( X N  a)  E( X0  a)




Với các số thực a, b sao cho:   a  b   và    a,b, N là số lần
dãy {Xn, n = 0,...N} chuyển từ giá trị nhỏ hơn hoặc bằng a, tới giá trị lớn hơn
hoặc bằng b,  là số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn [a,b] của dãy

 X n , n  0,1,..., N  .
Chứng minh
Vì {X n,  n, n = 0,...,N} là martingale dưới.
Suy ra

 X

n  a





, n , n  0,1,..., N cũng là martingale dưới. Gọi  là số lần

cắt ngang từ dưới lên trên đoạn [a,b] của dãy

 X n , n  0,1,..., N  . Suy ra

cũng là số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn 0;b  a  của dãy

 X





n

 a  , n  0,1,..., N .

Do đó, ta chỉ cần chứng minh rằng: Đối với martingale dưới không âm

 X n , n , n  0,1,..., N  thì :

từ dưới lên trên đoạn [0,b] của dãy
Đặt :





bE  E X N  X 0 (với  là số lần cắt ngang

 X n , n  0,1,..., N 

0  0

1

 min m : 0  m  N : X m  0

Nguồn:



Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

2 min m : 1  m  N : X m  b
................................................................
 2n1  min m :  2n2  m  N : X m  0
 2n  min m :  2n 1  m  N : X m  b
Ký hiệu l là số n lớn nhất sao cho

n

được xác định đúng đắn (nghĩa là tập lấy

min tương ứng khác rỗng).
Rõ ràng: 0  l  N .
Đặt  n = N với tất cả n > l .

  N 1  N


l 
 
2

 

N













X N  X 0   X  X   X  X n   X  X n .
n 1
n
n1
n1
n2 k
n  2 k 1
n 0

Xét n lẻ thì n + 1 chẵn
+ Nếu n < l thì:

X  b  0  X .
n 1
n
+ Nếu n > l thì:

X  X N  X .
n 1
n
+ Nếu n = l thì:

X  X N  0  X .
n 1
n
Vậy



n2 k 1





X  X n 
n1



n 2k 1l





l 

b  v.b
2
 

X  X n 
n1


 

Mặt khác dãy b.n.n  n , 0  n  N là dãy không giảm các thời điểm dừng đối





với n , do đó: X n , n , n  0,1,..., N là martingale dưới (tính chất
Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

martingale).

EX EX E  X  X   0


n 1

n
n1
n 


Vậy



 



 E   X  X   0 .
 n 2 k
n 1
n 














 E  X N  X 0   E   X  X   X  X 
 n 2 k
n 1
n
n 1
n 
n  2k 1




 



 Ebv  E   X  X   Ebv.

n 1
n 
 n 2 k

Ebv  E  X N  X0   Đpcm.

Vậy

II.3.2. Định lý Doob
Nếu {X n,  n, n  } là martingale dưới và L1- bị chặn, tức là :

sup E X n   thì dãy (X n) hội tụ h.c.c tới b.n.n X  nào đó với E X    .

n

Chứng minh
Gọi  N là số lần cắt ngang từ dưới lên trên [a,b] của dãy

lim
 X n , n  0,1,..., N  , đặt   N  N .
Theo bất đẳng thức cắt ngang, ta có:




b  a  E N  E  X N  a   E  X0  a   E  X N  a   E X N  a  
 b  a  E  sup E X N  a  



  

(h.c.c)





Suy ra a, b : P lim inf X n < a < b < lim supX n  0

 

 

'
''
(Vì nếu không sẽ  X n  inf X n và  X n  sup Xn     ).
Mặt khác

Nguồn:


Khoá luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Lan Hương

liminf Xn lim supXn    liminf Xn  a  b  lim sup Xn 
a,b
 P lim inf X n  lim sup Xn   0
h.c.c

 X n  X  nào đó.
Theo bổ đề Fatou ta có:





E X   E lim X n  sup E X n   .
n

n

Suy ra đpcm.
II.3.2.1. Hệ quả 1
Nếu {Xn,  n, n  } là martingale dưới không dương (hoặc martingale
trên khơng âm) thì dãy (Xn) hội tụ h.c.c tới b.n.n X  .
Chứng minh
Vì {Xn,  n, n  } là khơng dương nên theo tính chất của martingale dưới
EX 0  EX1  EX 2  ...  EX m  ....  EX n  0 m, n   , m  n .

 {Xn,  n, n  } là martingale dưới và L1 - bị chặn.

Theo định lý hội tụ của Doob

h.c.c

 Xn  X .

II.3.2.2. Hệ quả 2
Giả sử {X n,  n, n  } là martingale dưới không dương (hoặc martingale
trên khơng âm). Khi đó dãy:

X   X n , n , n   với X   lim X n ,
n

 







      n  .
n0
lập thành martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm).
Chứng minh

Nguồn: