Phân loại một sô bài toán ứng dụng tích phân - sáng kiến kinh nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ 3
---------------------------------


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
Phân loại một số bài tập ứng dụng tích phân
chương III – Giải tích lớp 12 nâng cao

Người thực hiện: Ngơ Tiến Hồng
Đơn vị :
Trường THPT Cẩm Thuỷ 3
Chức vụ :
Tổ trưởng chuyên môn
Tổ chuyên mơn: Tốn - Tin

Thanh Hố, ngày 10 tháng 5 năm 2011.


Phần mở đầu
I. Lý do chon đề tài
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Cấu trúc của đề tài
Phần nội dung
I. Tính diện tích hình phẳng
II. Tính thể tích vật thể trịn xoay
Phần kết luận
I. Một số kết quả và hạn chế của đề tài

II. Một số ý kiến đề xuất
III. Triển vọng của đề tài

2


PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
Bài tốn tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trịn xoay trong
chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và
quen thuộc. Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy
thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác.
Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải tốn sẽ
cho phép nhìn nhận các bài tốn theo một hệ thống nhất qn từ đó giúp các
em học sinh có thể thấy được thuật tốn chung cũng như tránh được những sai
lầm khi giải các bài tốn có liên quan. Khắc phục được khó khăn và sửa chữa
được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho q trình giải tốn được dễ dàng,
thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo
của học sinh khi học tập mơn tốn cũng như các mơn học khác. Xuất phát từ
thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý kiến nhỏ “Phân loại các bài tập ứng
dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao”
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Với sáng kiến “Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương IIIGiải tích 12 nâng cao” tơi chủ yếu đi vào khai thác một số bài tốn về ứng
dụng của tính phân để diện tích và thể tích trong chương trình Giải tích THPT
lớp 12- nâng cao và các bài tốn trong các đề thi đại học trong những năm
gần đây nhằm tìm ra hướng giải quyết cho bài tốn một cách chính xác, lơgíc
và khoa học.
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm xây dựng và chỉ ra được một
số sai lầm và một số chú ý giúp cho học sinh cũng như đồng nghiệp giáo viên

có cái nhìn tồn diện hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học tránh
nhầm lẫn và nhanh chóng giải quyết bài tốn. Trên cơ sở đó học sinh có thể tự
tìm tịi phát hiện các vướng mắc, các cách giải hay trong nhiều bài toán khác.
IV. Phương pháp nghiên cứu.
1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý thuyết.

3


Nhóm phương pháp lý thuyết bao gồm việc thu thập các tài liệu, sách
báo, giáo trình … có liên quan đến nội dung của đề tài. Trên cơ sở đó phân
tích, tổng hợp, khái qt hố thành nội dung cần thiết cho đề tài.
Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, tôi đẫ thu thập tài liệu
từ nhiều nguồn khác nhau:
+ Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao - Bộ giáo dục và đào tạo
+ Phương pháp giải tốn Tích phân nhóm tác giả: Trần Đức Hun,
Trần Chí Trung.
+ Phương pháp giải tốn Tích phân tác giả: Lê Hồng Đức.
+ Phương pháp giải tốn Tích phân và Giải tích Tổ hợp tác giả:
Nguyễn Cam.
+ Phương pháp mới giải đề tuyển sinh mơn Tốn tác giả: Trần Phương
…
2. Nhóm phương pháp thực tiễn.
Việc tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể là một nội dung đã
được học ở lớp học dưới và rất thực tế, nhưng để học tốt nó vốn khơng đơn
giản đối với các học sinh tư duy về hình học yếu. Vì vậy cần thiết phải áp
dụng vào trong việc giảng dạy thực tế để đánh giá ưu điểm, nhược điểm của
đề tài từ đó rút ra kết luận và đề xuất các ý kiến nâng cao hiệu quả giáo dục.
V. Cấu trúc của đề tài.
Phần mở đầu

I. Lý do chon đề tài
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Cấu trúc của đề tài
Phần nội dung
I. Tính diện tích hình phẳng.
II. Tính thể tích vật thể
Phần kết luận
1. Một số kết quả và hạn chế của đề tài
2. Một số ý kiến đề xuất
3. Triển vọng của đề tài

4


PHẦN NỘI DUNG
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:
Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] thì diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b là
b

S = ∫ f ( x) dx

(1)

a

Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện:
Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của
tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x).
( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có:
b

S = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx )
a

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [ a ; b] để suy ra dấu
của f (x)
trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hồnh thì
f ( x) ≤ 0 , ∀x ∈ [ a ; b]

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hồnh thì

f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a ; b]

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc
(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có
dấu khơng đổi .
b

Khi đó để tính tích phân S = ∫ f ( x) dx ta có thể tính như sau :

a

b

x1

x2

b

a

a

x1

xk

S = ∫ f ( x) dx =

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ... + ∫ f ( x)dx

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 − x 2 ,
đường thẳng x=3, trục tung và trục hoành.
Giải: Đặt f ( x) = 4 − x 2 . Ta thấy f ( x) ≤ 0 trên [ 0; 2] và f ( x) ≥ 0 trên [ 2;3] . Theo
cơng thức (1), diện tích S của hình đang xét là:

5

3

S = ∫ 4 − x 2 dx
0

2

3

0

2

= ∫ 4 − x 2 dx + ∫ 4 − x 2 dx
2

3

= ∫ (4 − x ) dx + ∫ ( x 2 − 4)dx =
2

0

2

23
(dvdt )
3

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − 4 x , trục

hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4.
Giải: Đồ thị hàm số y = x3 − 4 x cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.
Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:
f ( x) ≤ 0 trên [ − 3;−2] ∪ [ 0;2] và f ( x ) ≥ 0 trên [ − 2;0] ∪ [ 2;4]
Khi đó diện tích S của hình đang xét là:
−2

4

S=

∫x

3

−3

=

0

2

4

− 4 x dx = ∫ (4 x − x )dx + ∫ ( x − 4 x )dx + ∫ (4 x − x ) dx + ∫ ( x 3 − 4 x )dx
3

−3

3

3

−2

0

2

201
(dvdt )
4

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:
Vẽ đồ thị hàm số: y = 4 − x 2 .

Dựa vào đồ thị ta có:
−2

0

2

4

−3

−2

0

2

S = ∫ (4 x − x 3 )dx + ∫ ( x 3 − 4 x )dx + ∫ (4 x − x 3 )dx + ∫ ( x 3 − 4 x )dx
201
=
(dvdt )
4

Cách 3: Đồ thị hàm số y = x3 − 4 x cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2.
Khi đó diện tích cần tìm:
4

S=

∫x

3

− 4 x dx =

−3

=

−2

∫ (x

−3

0

3

− 4 x) dx +

∫ (x

−2

2

3

4

− 4 x) dx + ∫ ( x − 4 x) dx + ∫ ( x 3 − 4 x) dx
3

0

2

201
(dvdt )
4

6

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx ,
trục hoành , trục tung và đường thẳng x = e . Hình 16
y

Gi aoDiem

f( x) = x⋅ ln( x)

3 x

A

O

1

e

Hình 16
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
e

e

1

1

Diện tích S cần tìm là S = ∫ x ln x dx = ∫ x ln xdx
1

du = x dx
u = ln x

⇒
Đặt 
2
dv = xdx
v = x

2

e
2
e e x2 1
e e
x
x2
e2 x2 e e2 + 1
=
Do đó S = ∫ x ln xdx = ln x − ∫ . d x = ln x − ∫ xdx = −
1 1 2 x
1 1
2
2
2
4 1

4
1

(đvdt)
Nhận xét: Trong ví dụ 1, 2 là hai bài tốn vận dụng ở dạng đơn giản, nhớ
cơng thức nhưng ở bài tốn ví dụ 3 nhiều học sinh rất dễ nhầm lẫn ở việc xác
định cận lấy tích phân. Do đó cách vẽ đồ thị của hàm số để xác định hình cần
tính là rất quan trọng.
Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x 2 − 3x + 2 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng
x = a, x = b .
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x), y = g ( x)
liên tục trên đoạn [ a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b , ta có cơng thức sau:
b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

7


Trong cơng thức trên:
Trường hợp hình 1. ta có cơng thức khai triển của S:
b

b

a

a

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ ( f ( x) − g ( x ))dx nếu f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [ a; b ]

Trường hợp hình 2. ta có cơng thức khai triển của S:
b

b

a

a

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ ( g ( x) − f ( x ))dx nếu f ( x) ≤ g ( x), ∀x ∈ [ a; b ]

Trường hợp hình 3. ta có cơng thức khai triển của S:
b

c

b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x) dx
a

a

c

c

b

a

c

= ∫ ( f ( x) − g ( x))dx + ∫ ( f ( x ) − g ( x))dx

( trong đó c là hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số y = f ( x), y = g ( x)
)
Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:
Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b đề bài cho thiếu một hoặc cả
hai thì giải phương trình f ( x ) = g ( x ) để tìm.
Bước 2: Áp dụng công thức (2).
Bước 3: Rút gọn biểu thức f ( x ) − g( x ) , sau đó xét dấu của hiệu
này.

8


Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa
giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn số
y = x 2 + x − 2, y = x + 2 và hai đường thẳng x =-1, x= 3.
Giải: Trước hết ta tìm hồnh độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho.
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x 2 + x − 2 = x + 2 ⇔ x = −2, x = 2 .
Khi đó ta có :
3
2

3
7 34
S = ∫ x 2 − 4 dx = ∫ ( x 2 − 4)dx + ∫ ( x 2 − 4)dx = 9 + = ( dvdt )
3 3
−1
−1
2

Ví dụ 2: Tính

2

diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 1 , y = x + 5 .
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm
x2 - 1 = x + 5 Û t 2 - 1 = t + 5, t = x ³ 0

ì
ï
ï
ï
Û ï
í
ï
ï
ï
ï
ỵ

t = x ³ 0

ìt = x ³ 0
ï
ï
é2 - 1 = t + 5 Û í
t
Û x = ±3
ê
ït =3
ï
ỵ
ê2 - 1 = - t - 5
t
ê
ë
3

S=

3

ị

2

x - 1 -

- 3

(

x + 5 ) dx = 2 ò x 2 - 1 -

( x + 5)

dx

0

Bảng xét dấu
x

0

x - 1
1

S=2

1
0

–

2

3
+

3

ò( - x

2

- x - 4 ) dx +

0

ò( x

2

- x - 6 ) dx

1

1

3

ổ x3
ử
ổ3
ử
x2
x
x2
73
=2ỗ

- 4x ữ + ỗ - 6x ữ =
ữ
ữ
.
ỗ 3
ỗ3
ữ
ữ
ố
ứ0 ố
ứ1
2
2
3
73
Vy S = 3 (vdt).

Vớ dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4x .
Giải
Ta có, phương trình hồnh độ giao điểm: x 3 = 4x Û x = - 2 Ú x = 0 Ú x = 2
0
Þ S = ị x 3 - 4x
- 2
ổ4
ử0
ỗx - 2x2 ữ
ữ
= ỗ
+
ữ

ỗ4
ữ
ữ
ỗ
ố
ứ- 2

(

)

2
dx + ũ x 3 - 4x dx
0
ổ4
ử2
ỗx - 2x 2 ữ = 8
ữ
ỗ
.
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố4
ứ0

(

)

Vy diện tích cần tìm S = 8 (đvdt).

9


Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm số:
y = x2 − 4x + 3 , y = x + 3

Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:

Từ hình vẽ ta suy ra hồnh độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình:
x 2 − 4 x + 3 = x + 3 ⇔ x = 0, x = 5

Khi đó :
3

5

S = ∫ (( x + 3) − ( x − 4 x + 3))dx + ∫ (( x + 3) − (− x + 4 x − 3))dx + ∫ (( x + 3) − ( x 2 − 4 x + 3))dx =
2

2

1

3

109

6

(đvdt)
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x2
x2
y = 4− , y =
4
4 2

Giải: Ta có: y = 4 −

x2
x2 y 2
⇔
+
= 1, ( y ≥ 0) . Do đó đồ thị là nửa phía trên của
4
16 4

x2 y 2
Elip + = 1 . Từ đó ta có đồ thị hai hàm số trên hệ trục:
16 4

Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương trình:
4−

x2
x2
=

⇔ x = ±2 2
4 4 2

Khi đó, diện tích cần tính:
10


2 2
2 2
x2
x2
x2
x2
( 4−
−
)dx = 2 ∫ ( 4 −
−
)dx
∫
4 4 2
4 4 2
0
−2 2
2 2
1 2 2 2
= 2 ∫ 16 − x 2 dx −
∫ x dx
2 2 0
0
4

= 2π + (dvdt)
3
S=

Chú ý: ở các bài tập này học sinh có thể gặp lúng túng khi xác định
các cận lấy tích phân. Lưu ý học sinh khi các bài tốn có thể vẽ được đồ thị,
khơng q rắc rối và khó khăn (có thể vẽ phác họa) thì việc vẽ hình sẽ giúp
nhận diện được hình cần tính một cách dễ dàng.
Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định được dấu của
biểu thức f ( x) − g ( x) thì nên sử dụng cơng thức tính bằng cách khử dấu giá trị
tuyệt đối.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = (1 + e x ) x và
y = (e + 1) x

Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số:
(1 + e x ) x = (1 + e) x ⇔ x = 0, x = 1

Khi đó diện tích cần tìm:
1

1

0

0

S = ∫ (1 + e) x − (1 + e x ) x dx = ∫ x(e − e x dx

Khi 0

1

1

1

0

0

S = ∫ x(e − e )dx =e ∫ xdx − ∫ xe x dx =
x

0

Vậy diện tích cần tìm: S =

e
−1
2

e
− 1 (đvdt)
2

II. Thể tích vật thể trịn xoay:
Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a < b) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta được một vật thể trịn xoay .
Thể tích của vật thể này được tính theo cơng thức :

b

2

V = π ∫ [ f ( x)] dx
a

11


Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox.
Giải: Theo cơng thức (2), ta có:
1
1
x5
x3 1 8π
V = π ∫ ( x 2 − 2 x)2dx = π ∫ ( x 4 − 4 x3 + 4 x 2 )dx = π ( − x 4 + 4 ) =
5
3 0 15
0
0

(đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu do hình trịn (C) : x 2 + y 2 = R 2 quay quanh
Ox.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 Û x = ±R .
Phương trình (C) : x 2 + y 2 = R 2 Û y 2 = R 2 - x 2

Theo cơng thức tính thể tích, ta có
R

R

V = p ò ( R 2 - x 2 ) dx = 2pò ( R 2 - x 2 ) dx
- R

0

R

ổ
x ử
ữ = 4pR .
= 2p ỗR 2 x ữ
ỗ
ữ
ố
3 ø0
3
4pR 3
Vậy thể tích cần tim V =
(đvtt).
3
3

3

Ví dụ 3: Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới

hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e
Giải:
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x ln x, y = 0
x ln x = 0 ⇔ x = 1 ( do x>0)
Khi đó thể tích vật thể cầm tìm:
e

V = π ∫ x 2 ln 2 xdx
1

2 ln xdx

 du =
u = ln 2 x


x
⇒
Đặt 
2
 dv = x dx v = 1 x 3


3

e

 x3
 2π e
Ta có : V = π ∫ x ln xdx = π  ln 2 x  − ∫ x 2 ln xdx

3
1 3 1
1
π
Vậy thể tích cần tìm V = (5e3 − 2) (đvtt)
27
e

2

2

Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới
hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
y = ln x , y = 0 , x = 1 , x = e.
Giải: Theo cơng thức tính thể tích, ta có:
e

e

V = π ∫ (ln x) dx = π ∫ ln 2 xdx
2

1

(đvtt)

1

12

1

u = ln 2 x du = 2 ln x. dx
⇒
x
Đặt 
dv = dx

v = x

e

Do đó

2
∫ ln xdx = uv
1

e

e
e e
1
vdu = x ln 2 x - ∫ x2lnx. dx = e ln 2 e − ln 2 1 − 2 ∫ ln xdx = e − 2 I
∫
1 1
x
1

1

e
−
1

e

I = ∫ ln xdx
1

1

u = ln x du = dx
⇒
x
Đặt 
dv = dx
v = x

e
e e
e
I = ∫ ln x = ( x ln x ) − ∫ dx = e ln e − ln 1 − ( x ) = e − (e − 1) = 1
1 1
1
1
e

e

1

1

V = π ∫ (ln x ) 2 dx = π ∫ ln 2 xdx =

Vậy Thể tich cần tìm

π(e – 2)

(đvtt)

Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường cong
y = f(x), y = g(x) khi đó thể tích vật thể trịn xoay được tính theo cơng thức
sau:
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ³³ 0, g(x) 0 " x Ỵ é b ù
a; û
)
ë
b

quay quanh trục Ox là V = pò f 2 (x) - g2(x) dx .
a

Ví dụ 1: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = 4 - x 2, y = x 2 + 2 quay quanh Ox.
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của các đồ thị hai hàm số:

4 - x 2 = x 2 + 2 Û x = - 1, x = 1

Thể tích cần tìm:
1

1

V = π ∫ ((4 − x ) − ( x + 2) )dx = 12π ∫ (1 − x 2 )dx = 16π
2 2

2

2

−1

−1

Vậy V= 16π ( đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 ,
y 2 = x quay quanh Ox.
Giải:
ìx³ 0

x=0

é
ï
í
Hồnh độ giao điểm ï x 4 = x Û ê = 1 .

ê
ï
x
ï
ë
ỵ
1

1

V = pị x 4 - x dx = p
0

=p

( 1x
5

5

-

1 2
x
2

)

1

=
0

ò( x

4

- x ) dx

0

3p
.
10

13


3p

Vậy thể tích cần tìm V = 10 (đvtt).

PHẦN KẾT LUẬN
I. Một số kết quả và hạn chế của đề tài
- Trong thực tế giảng dạy khi áp dụng ở các lớp khối 12 trường THPT
Cẩm Thuỷ 3 đã thu được các kết quả khả quan, nó khơng chỉ giúp cho học
sinh nắm vững hơn về kiến thức tích phân, diện tích, thể tích các hình, tránh
được các sai lầm trong việc giải tốn, ngồi ra học sinh cịn phát hiện, tìm tịi

14

các cách giải hay trong việc giải các bài toán trong sách giáo khoa và các sách
bài tập.
- Bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn cịn một số hạn chế đó là:
+ Đề tài mới chỉ nêu được một số lưu ý, phân loại một số bài toán ứng dụng.
+ Việc triển khai dạy về ứng dụng tích phân để tính diện tích các hình và thể
tích vật thể trong chương trình hạn chế cần ơn tập và bồi dưỡng thêm trong
các giờ học ngoại khoá.
II. Ý kiến đề xuất của đề tài.
Đề nghị Tổ bộ môn trong các buổi sinh hoạt tổ chun mơn thảo luận
góp ý, xây dựng để đề tài có thể triển khai thực hiện tới tất cả các thành viên
của tổ.
III. Triển vọng của đề tài.
Do thời gian hạn chế nên đề tài mới chỉ dừng lại ở phạm vi phân loại
một số bài tập nhỏ, Trong thời gian tới nếu được sự giúp đỡ góp ý của đồng
nghiệp thì đề tài sẽ phát triển theo hướng sau:
+ Mở rộng phạm vi áp dụng bằng nhiều phương pháp giải khác nhau, việc áp
dụng tích phân ở những bài tốn phức tạp hơn.

Tài liệu Tham khảo
• Nguyễn Cam, Phương pháp giải tốn Tích Phân và Giải tích Tổ hợp,
Nhà xuất bản Trẻ, 2008.
• Lê Hồng Đức, Phương pháp giải tốn Tích phân, Nhà xuất bản Đại học
quốc gia Hà Nội, 2005.
15


• Trần Đức Hun, Phương pháp giải tốn Tích phân, Nhà xuất bản Giáo
dục, 2008.

• Trần Phương, Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh mơn Tốn, Nhà
xuất bản giáo dục, 1995.
• Dỗn Minh Cương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học, Nhà xuất
bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2004.

1
1
1
3
4
5
11

MỤC LỤC
Nội dung
Phần mở đầu

15
15
15
Trang

16


I. Lý do chọn đề tài
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Cấu trúc của đề tài

Phần nội dung
I. Tính diện tích hình phẳng
II. Tính thể tích vật thể tròn xoay
Phần kết luận
I. Một số kết quả và hạn chế của đề tài
II. Một số ý kiến đề xuất
III. Triển vọng của đề tài

17