Vận dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Ăngghen nói : " Biện pháp của hiện thực thế giới thực tế đã phản ánh được trong
những khái niệm và cơng thức tốn học". Bất cứ ở nơi đâu học sinh cũng nhận thấy có
những quy luật của phương pháp biện chứng đó, cho nên học sinh nhận rõ được điều
này thì sẽ phát triển được sự suy luận theo phương pháp biện chứng. Toán học dạy ta
cách rút kết luận từ những tiên đề có sẵn, cách làm cho kết luận có chứng cứ. Dùng
ngơn ngữ tốn học là luyện tập diễn đạt tư tưởng một cách khoa học, vì ngơn ngữ tốn
học bắt ta đem lại kết quả nhận thức diễn đạt được thật tinh tế logic- chính xác.
Do vai trị quan trọng của toán học trong đời sống, trong khoa học và công nghệ
hiện đại, là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn khác, giúp học sinh hoạt
động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Bác Phạm Văn Đồng đã từng nói "Dù các bạn ở
ngành nào, trong cơng tác nào thì các kiến thức và phương pháp tốn học cũng cần cho
bạn". Mơn tốn có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực, phẩm chất trí tuệ
và có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức
trong cuộc sống và lao động.
Các em học sinh đã làm quen với Bất đẳng thức từ năm lớp 7, đến lớp 10 vấn đề
này được đề cập kỹ hơn. Tầm quan trọng của sự hiểu biết và kỹ năng vận dụng Bất đẳng
thức đã quá rõ ràng . Ta có thể vận dụng Bất đẳng thức vào các bài tốn khác như giải
và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức toán học và nhiều ứng dụng toán học khác.
Mặc dầu quan trọng nhưng Bất đẳng thức là một chủ đề khó đối với đa số học
sinh, nhưng cũng là mảng kiến thức dễ đâm chồi, nảy lộc những bơng hoa đẹp nhất của
tính sáng tạo, địi hỏi sự kiên trì, ham học hỏi. Rèn luyện về Bất đẳng thức giúp học sinh
tăng cường khả năng tính tốn, khả năng tìm tịi lời giải bài toán. Hơn nữa luyện tập
chứng minh Bất đẳng thức cịn góp phần phát triển tư duy lơgíc và bồi dưỡng trí thơng
minh, đọc vấn đề một cách nhanh nhạy cho học sinh.
Trong chương trình tốn THPT có rất nhiều phương pháp chứng minh một Bất
đẳng thức. Nhưng có một phương pháp quan trọng là sử dụng Bất đẳng thức Côsi.
Đây là một mảng Bất đẳng thức mà các đề thi hay khai thác và vận dụng để giải quyết
các bài toán khác.
Qua một thời gian nghiên cứu ,giảng dạy và vận dụng Bất đẳng thức Côsi tôi đã

rút ra một số kinh nghiệm, sáng kiến để giảng dạy mảng kiến thức này. Tôi mạnh dạn
đưa ra để các bạn đồng nghiệp cùng bàn bạc, đánh giá.
Mặc dầu đã có rất nhiều đề tài khai thác mảng kiến thức này, nhưng tôi tin rằng
với đề tài này học sinh sẽ có cái nhìn tổng thể hơn về các dạng, các phương pháp vận
dụng Bất đẳng thức Côsi, bởi các bài tập, ví dụ đưa ra từ dễ đến khó, các bài tập bám sát
vào các kỳ thi Đại học, Cao đẳng , học sinh giỏi , sự bố trí bài tập hợp lý ngay sau lý
thuyết với nhiều bài tập hay nên sẽ có tác dụng tốt đến các em học sinh.
Học sinh có thể giải được nhiều bài tốn thơng qua việc vận dụng các bài tốn
cơ bản đã được phân dạng trong đề tài.
Thế nhưng Bất đẳng thức là một trong những phần khó nhất của chương trình
tốn nói chung. Bởi thế muốn dạy và học tốt phần này địi hỏi các thầy, cơ và các em
học sinh phải đầu tư thời gian, dày công tập luyện, nghiên cứu vấn đề có hệ thống, ghi
nhớ các phương pháp chứng minh cơ bản dần dần hình thành kỹ năng sáng tạo.
1


Thơng qua đề tài này tơi thấy thực sự có ích khi có một cách nhìn đầy đủ hơn
về phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Cơsi trong chương trình tốn THPT.
Học sinh dễ hiểu, dễ áp dụng, có định hướng rõ ràng khi giải tốn.
Đề tài có tên là:
" BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ CÁC KỸ NĂNG VẬN DỤNG"

2


II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
A. Bất đẳng thức Côsi .
Bất đẳng thức Cơsi được nhà tốn học người Pháp Augustin Louis Caushy đưa
ra. Nó được phát biểu như sau:
Cho a1 , a 2 , . . . , a n là các số khơng âm thì:

a1  a 2  ...  a n n
 a1 a 2 ...a n
n

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: a1  a 2  . . .  a n
Chúng ta thường sử dụng cho bộ 2 số hoặc 3 số, cụ thể:
Cho a  0 , b  0 , c  0 ta ln có:
a  b  2 ab

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b

a  b  c  33 abc

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b=c.

Cần nhấn mạnh.
Điều kiện để sử dụng Bất đẳng thức Côsi là các số không âm .
Và dấu bằng xẩy ra khi nào ?(điều này rất quan trọng để sử dụng Bất đẳng thức).
Để học sinh dễ nhớ cần nói rõ thế nào là Trung bình cộng và trung bình nhân
và ta thấy Bất đẳng thức Cơsi đều có dạng chung là "Trung bình cộng lớn hơn trung
bình nhân".

B. Các kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cơsi
1. Sử dụng trực tiếp Bất đẳng thức Cơsi.
Mục đích của các bài tập này là làm cho học sinh nhận dạng làm quen, và
tạo hứng thú đầu tiên với Bất đẳng thức Côsi.
Bài 1. Chứng minh rằng:

a  0, b  0 :

a b
 2
b a

(1)

Phân tích: Học sinh có thể làm bài này bằng phương pháp biến đổi tương đương
nhưng ta có thể giải quyết đơn giản bằng Bất đẳng thức Côsi.
Giải
Do a > 0 và b>0 nên

a
b
 0 ,  0 vì vậy áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:
b
a

a b
ab
a b
a b
 2
  2 1  2 .
b a
ba
b a
b a

3

Dấu "=" xẩy ra khi

a b
  a2  b2  a  b
b a

Các bài tập tương tự vận dụng trực tiếp:
"a, b, c > 0 CMR : 1)

a b c
b c
4
+ + ³ 3 2) 2a + + ³ 3 3 2c 3) a + ³ 4
b c a
a b
a

Ta tiếp tục cho học sinh phát triển và áp dụng Bất đẳng thức Côsi.
Bài 2. Chứng minh rằng:

a, b  0

1 1
(a  b)(  )  4
a b

(2)

Phân tích: Học sinh có thể làm bài này bằng nhiều cách như:
+ Phân tích vế trái ra sau đó áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho

a b
, .
b a

+ Quy đồng rồi đưa về a  b 2  4ab  (a  b) 2  0 .
...
Tuy nhiên để học sinh thấy hứng thú và tạo nên một lớp bài tốn về sử dụng Bất
đẳng thức Cơsi ta có cách giải sau:
Giải
Vì a  0 , b  0 nên

1
1
 0 ,  0 áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:
a
b

a + b ³ 2 ab ü
1 1
1
1 1
ï
1 1
1 ý Þ (a + b)( a + b ) ³ 2 ab .2 ab Û (a + b)( a + b ) 4
+ 2
ù
a b

ab ỵ

Du "=" xẩy ra khi a  b
Học sinh dễ dàng chứng minh được Bất đẳng thức sau:
1 1 1
a, b, c  0 (a  b  c)(   )  9
a b c

(3)

Tổng quát:
a1 , a 2 ,..., a n  0 ta ln có:

(a1  a 2  ...  a n )(

1
1
1

 ...  )  n 2
a1 a 2
an

Dấu "=" xẩy ra khi a1  a 2  ...  a n
Đến đây giáo viên cần chú ý cho học sinh là từ hai Bất đẳng thức (2) và (3) bằng
cách biến đổi tương đương ta có các Bất đẳng thức phụ khá hữu ích .

4

1 1
4
 
a b ab
a b 2
)  ab
2

1
4

ab (a  b) 2

(2a)
(2c)

(

1
1 1 1
 (  )
ab 4 a b

(2b)
(2d)

1
1 1 1 1
 (   ) (3a)
abc 9 a b c

Các Bất đẳng thức phụ trên thường được sử dụng xem như là một bổ đề để chứng
minh các bài tốn khó một cách đơn giản.
1) Cho a,b,c là các số dương thõa mãn : a  b  c  1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
 2
 2
9
a  2bc b  2ac c  2ba

(ĐH Bách khoa)

2

Giải:
Theo (3) ta ln có :
(





1
1
1
 2
 2
) ( a 2  2bc)  (b 2  2ac)  (c 2  2ba )  9

a  2bc b  2ac c  2ba
2

 (

1
1
1
2
 2
 2
)a  b  c   9
a  2bc b  2ac c  2ba
2

Do 3 số a,b,c dương và a  b  c  1 Nên ta có (a  b  c) 2  1 : Từ đó suy ra:
1
1
1
 2
 2
 9 (Đpcm)
a  2bc b  2ac c  2ba
2

1
3

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi: a  b  c  .
1

x

2). Cho x,y,z là các số dương thõa mãn : 
CMR:

1 1
  4.
y z

1
1
1


1
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

(ĐH khối A năm 2005)

Giải:
Từ (2d) với a, b  0 ta có:

1
1 1 1
 (  ) . Dấu "= " xẩy ra khi và chỉ khi a=b.
ab 4 a b

Áp dụng kết quả trên ta có:
1
1 1

1  1  1 1  1 1  1
1
1
 

 2 x y  z   4  2 x  4  y  z   8 x  16 y  16 z .



2x  y  z 4 





5


1
1 1
1  1  1 1  1 1  1
1
1
 
 2 y  x  z   4  2 y  4  x  z   8 y  16 x  16 z

x  2y  z 4 





1
1 1
1
 
 2z  x 
x  y  2z 4 

Vậy:

 1  1 1  1 1  1
1
1
       
 4 2 z 4  x y  8 z  16 x  16 y
y




1
1
1
1 1 1 1


     = 1 (Đpcm)
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
4x y z




Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : x = y = z =

3
4

3) Cho x,y,z là các số dương thõa mãn : x 2  y 2  z 2  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

1
1
1


(ĐH KHTN 2000)
xy  1 zy  1 xz  1

Giải:
Ta có:
1
1
1


)( xy  1  yz  1  zx  1)  9
xy  1 zy  1 xz  1
9
9
9

A
 2

2
2
xy  yz  zx  3 x y z 3 6

(

Vậy giá trị nhá nhÊt cđa A lµ 3/2 khi x=y=z=1.
Các bài tập tương tự dùng để củng cố:
1. Cho a, b, c  0
i)

(a  b)(b  c)(c  a)  8abc

ii)

(a  b)(ab  1)  4ab

iii)

(a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )  9abc

iv)

a
b
c
(  1)(  1)(  1)  8

b
c
a

v)

a 3b a 3 c b 3c b 3 a c 3 a c 3b





 6abc
c
b
a
c
b
a

vi)

a 2 (1  b 2 )  b 2 (1  c 2 )  c 2 (1  a 2 )  6abc

2. Cho x,y,z là các số dương thõa mãn : x  y  z  1 .
CMR:

y
x
z

3


 .
x 1 y 1 z 1 4

6


2. Kỹ thuật dùng hốn vị vịng.
Đây là một kỹ thuật thường gặp khi sử dụng Bất đẳng thức Côsi .
Bài 3: Chứng minh a, b, c  0 thì

a
b
c 1 1 1
 
  
bc ac ab a b c

Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp Bất đẳng thức Cơsi cho 3 số hạng ta thấy khơng
có kết quả. Nếu ta linh hoạt áp dụng cho hai bộ số sẽ có kết quả tức thì.
Giải
Vì a,b,c>0 nên

a b c
, ,  0 áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
bc ac ab

a

b
a b
a
b
1

2
.


2 
bc ac
bc ac
bc ac
c 
b
c
b c
b
c
1
a
b
c
1 1 1


2
.



 2   2( 
 )  2(   )
ac ab
ac ab
ac ab
a
bc ac ab
a b c
c
a
c a
c
a
1

2
.


2 
ab bc
ab bc
ab bc
b



a
b

c 1 1 1
 
  
bc ac ab a b c

(Đpcm)

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Ta có thể áp dụng phương pháp Hốn vị vịng quanh cho một số bài tập sau:
Cho a, b, c  0
1)

ab bc ac


 abc
c
a
b

2)

a 2  b 2  c 2  ab  ca  bc

4) a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  abc( a  b  c) .

3) 3a  2b  4c  ab  3 bc  5 ca

Học sinh có thể làm các bài tập năng cao sau:
1) Cho a,b,c>0 CMR : a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)

x

x

x

ỉ 12 ư ỉ 15 ử ổ 20 ử
2) Chng minh rng: ỗ ữ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3x + 4 x + 5 x
è 5ø è 4ø è 3 ø

( ĐH khèi D-2004)

3) Cho x,y,z là các số dương thõa mãn xyz=1 . CMR
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
³3 3
xy
yz
zx
a2  b2 b2  c2 c2  b2
4) a, b, c  0 : a  b  c 


2c

2a

7

2a

( ĐH khèi D-2005)


3. Phương pháp cân bằng tổng.
Sách giáo khoa có nhận xét: " Nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của
chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau"
Ta phát triển nhận xét này:
Để chứng minh tổng S = S1+S2+...+Sn  m, ta biến đổi S = A1+A2+...+An là các
số khơng âm mà có tích A1A2...An =c khơng đổi ,sau đó ta áp dụng Bất đẳng thức Cơsi.
1
với x >1.
x 1

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x 
Giải

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số x -1 >0 và
x 1

1
2
x 1

1
 0 ta có:
x 1

x  1


1 
1
1
 2 x 
3
  x 1
x 1
x 1
 x  1

Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2.
Bài 5. Với mọi số thực x > -1 CMR: 2 x 

1

x  12

1

Phân tích: Áp dụng trực tiếp Bất đẳng thức Cơsi cho 3 số hạng ta thấy khơng có
kết quả. Nếu ta linh hoạt áp dụng cân bằng tổng bằng cách phân tích 2x
thành (x+1)+ (x+1)-2 rối áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số sẽ có
kết quả tức thì.
Bài 6. Với mọi số thực x  0 CMR: x 

27

x  32

1

Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích khơng đổi nên
ta phân tích x thành 3 số hạng có dạng

x3
3

Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với :


x3 x3 x3
27



31
3
3
3
( x  3) 3

x3 x3 x3
27




 4 Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho 4 số ta có
3
3
3
( x  3) 3

điều phải chứng minh. Dấu "=" xẩy ra khi x = 0.
8


Ta có thể áp dụng phương pháp cân bằng tổng cho các ví dụ sau:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 
2) CMR: với x>-3 thì:

2
với x > 0.
2x  1

2x
9

1
3  x  32

3) CMR: với a>b>0 thì: a +

b
3
(a  b)(b  1) 2

4) Cho x,y là hai số thực dương thõa mãn:

2 3
  1 tìm giá trị nhỏ nhất của
x y

biểu thức: Q = x + y.
Hướng dẫn: Từ biểu thức

2 3
3x
6
  1 ta có: y =
 3
x y
x2
x2

Vậy Q= x  y  x  3 

6
6
 x2
 5 ...
x2
x2

4. Phương pháp cân bằng tích.
Sách giáo khoa có nhận xét: " Nếu hai số dương có tổng khơng đổi thì tích của

chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau"
Ta phát triển nhận xét này:
Để chứng minh một biểu thức có dạng P= P1P2...Pn  M ta phân tích
P=B1B2...Bn là các số khơng âm mà tổng B1+B2+...+Bn=c là một số khơng đổi. Sau đó
ta áp dụng Bất đẳng thức Côsi.
2
Bài 7: Cho hai số dương a,b thõa mãn: a+b=1 CMR: ab 

4
27

Phân tích: Ta phân tích biểu thức ab2 thành một tích có tổng khơng đổi mà tổng
đó có mối liên hệ đến a+b=1.
Giải:
Ta có : ab 2  4a
Suy ra:

3

bb
b b
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương là: a , ,
22
2 2

b b
a. . 
2 2

a

b b

2 2  1  a. b . b  1  4a. b . b  4  (Đpcm)
3
3
2 2 27
2 2 27

Dấu "=" xẩy ra khi: a 

1
2
,b 
3
3

9


Ta có thể áp dụng phương pháp cân bằng tích cho các ví dụ sau:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1) y = 4x3 - 3x2 với 0 ≤ x ≤ 4/3
2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4
3) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 ≤ x ≤ 4
4) y = x (1 - x2) với 0 ≤ x ≤ 1
5) y =

2x - 3 + 5 - 2x

5. Phương pháp chọn điểm rơi Côsi và thêm hạng tử .
Đây là một phương pháp quan trọng thường áp dụng để biến đổi bài toán
theo định hướng sử dụng Bất đẳng thức Cơsi, với phán đốn dấu đẳng thức xẩy ra khi
nào và từ đó ta thêm bớt các hạng tử thích hợp để khéo léo sử dụng Bất đẳng thức Côsi.
a2 b2 c2


 a b c.
Bài 8: Chứng minh a, b, c  0 ta ln có:
b

c

a

Phân tích: Nếu ta áp dụng các phương pháp trên thì khơng giải quyết được kết quả.
Bây giờ ta đánh giá dấu "=" xẩy ra khi nào? Dễ nhận thấy là khi a=b=c.
(Điểm rơi a=b=c) Khi đó

a2
a2
 a nên ta thêm b vào phần tử đại diện
.
b
b

Giải:
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho các số dương

a2

b2
c2
, b, , c, , a ta có:
b
c
a

a2
b2
c2
+ b ³ 2a; + c ³ 2b; + a ³ 2c
b
c
a
2
2
2
a
b
c
a 2 b2 c 2
Þ
+ b + + c + + a ³ 2a + 2b + 2c Þ + + ³ a + b + c
b
c
a
b
c a

Dấu "=" xẩy ra khi: a=b=c.

Theo phân tích ở trên thì sẽ có câu hỏi là tại sao lại thêm hạng tử b cho
Giả sử cần thêm cho

a2
số hạng m. Sử dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:
b

a2
a2
+m 2
m Vậy m cần chọn sao cho:
b
b

10

a2
?
b


1.

a2
m có thể triệt tiêu được b .(Hay mất mẫu vì do vế trái của Bất đẳng
b

thức khơng có mẫu)

2. Khi dấu "=" xẩy ra khi a=b=c=m.

Nên chỉ có thể chọn b=m.
Để nắm rõ ta làm tiếp bài tập sau.
2
2
2
a, b, c  0 CMR: a  b  c  a  b  c
Bài 9: Cho 3 số
bc ac ba
2

Phân tích: Điểm rơi a=b=c
Ta thêm cho

a2
một số m thõa mãn :
bc

1. Rút gọn được mẫu số (b+c) sau khi áp dụng Bất đẳng thức Côsi
a2
a2
 m 2
m)
bc
bc

(

2. Dấu đẳng thức Côsi xẩy ra được nghĩa là
m=

a2
=m và a=b=c. Suy ra
bc

bc
a2
bc
m
. Và để tính  thì
. Khi thay a=b=c thì   4

bc


Giải:
Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho các số dương
a2 b  c b2 c  a c2 a  b
,
,
,
,
,
ta có:
bc 4 ca 4 ab 4
ü
a2
b+c
+
³ aù
b+c

4
ù
2
b
c+a
a2
b+c
b2
c+a
c2
a+b
ù
+
bý ị
+
+
+
+
+
a+b+c ị
c+a
4
4
c+a
4
a +b
4
ù b+c
ù
c2

a+b
+
cù
a+b
4
ỵ
2
2
a
b
c2
a+b+c
+
+

b+c c +a a +b
2

Dấu "=" xẩy ra khi a=b=c.
Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lý thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể.

11


Bài 10: Chứng minh rằng với a,b,c dương ta luôn có:

a3 b3 c3


 a2  b2  c2

b
c
a

Phân tích: Điểm rơi a=b=c
a3
Ta thấy rằng với hạng tử
có thể có hai hướng:
b

Cách 1: Ta sẽ thêm cho hạng tử
Tương tự

a3
a3
một lượng ab 
+ab  2a 2
b
b

b3
c3
+bc ; +ca  2c 2
c
a

Chứng minh a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca và cộng các Bất đẳng thức ta có ĐPCM.
Cách 2:

a3 a3

b3 b3
c3 c3
+ + b 2 ³ 3b 2 ; + + c 2 ³ 3b 2 ; + + a 2 ³ 3c 2
b b
c c
a a

Cộng lại theo vế ta có ĐPCM
a2 b2 c2 a b c
Bài 11. Chứng minh rằng với a,b,c>0 ta có: 2  2  2   
b a a
b
c
a

Giải:
Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:
a2 b2 c2
a2
a b2
b c2
c
 2  2 ≥ 3, 2  1  2 , 2  1  2 , 2  1  2
2
b c
c a
a
b
c
a

b

Cộng lại theo vế ta có ĐPCM
Bài 12. Chứng minh rằng với x,y,z là các số dương thõa mãn xyz=1 ta có:
x3  y3  z 3  x  y  z

Phân tích: Điểm rơi x=y=z=1
Vì vậy ta thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng Bất đẳng thức Côsi:
Hướng dẫn: x3+ 1 +1 ≥ 3x; y3 + 1 +1 ≥ 3y; z3 + 1 +1 ≥ 3z;

2(x + y +z ) ≥ 2.33 xyz  6
Sau đây là một số bài tập nâng cao:
Bài 13: Cho a,b,c là 3 số dương thõa mãn abc =1
a3
b3
c3
3
+
+
³
CMR:
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) 4

Phân tích: Điểm rơi a=b=c=1
12


Ta sẽ thêm cho

a3

những hạng tử nào? Chắc chắn là:
(1  b)(1  c)

1 b 1 c
;
với  là một số dương nào đó. Để xẩy ra dấu "=" khi sử dụng Bất đẳng



thức Côsi

a3
b +1 c +1
=
=
và áp dụng a=b=c=1 ta sẽ có:   8 .
(1 + b)(1 + c)
a
a

Giải:
a3
1 + b 1 + c 3a
+
+
³
(1 + b)(1 + c)
8
8
4

b3
1 + c 1 + a 3b
+
+
³
(1 + c)(1 + a)
8
8
4

Ta có:

c3
1 + a 1 + b 3c
+
+
³
(1 + a )(1 + b)
8
8
4
Þ

a3
b3
c3
3 1
3
+
+

+ ³ (a + b + c) ³
(1 + b)(1 + c ) (1 + c)(1 + a) (1 + a )(1 + b) 4 2
2

(Đpcm)

Dấu "=" xẩy ra khi a=b=c=1.
Bài 14: Cho a,b,c là các số dương thõa mãn: a + 2b+ 3c=20
3
a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  a  b  c  

9 4

2b c

(Đề thi HSG tỉnh Khối 12 năm 2006)
Phân tích: Dự đốn điểm rơi a=2, b=3,c=4.
Giải:
Sử dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:
a
b
c

4
4
3
4
 2 a 4 a  3

a
a
4
a

9
9
1
9
 2 b 6  b    3
b
b
2
b



3
1
1
3 9 4
a b c 
 8
4
2
4
a 2b c

(1)

16
16
1  16 
 2 c  8 c    2
c
c
4
c 

Theo giả thiết:

a  2b  3c  20 

13

1
1
3
a b c5
4
2
4

(2)


3
a

S = a b  c 

Cộng các vế của (1) và (2) ta có

9 4
  13 .
2b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của S =13 khi a=2, b=3,c= 4 .
Bài 15. Cho a,b là các số dương thõa mãn a.b=1 .
Tìm giái trị nhỏ nhất của P 

a3
b3

1 b 1 a

Phân tích: Dấu "=" xẩy ra khi a=b=1, vậy ta phải thêm cho

1+ b
a3
số hạng
. Để
a
1+ b

tính  ta cho a=b=1 thì  = 4. nhưng nếu áp dụng ngay Bất đẳng thức Côsi thấy xuất
1

hiện 3 a 3 , vì vậy ta cần thêm .
2

Hướng dẫn:

a3 1 + b 1 3
b3 1 + c 1 3
a3
b3
3 5
5
+
+ ³ a;
+
+ ³ bÞ
+
+ ³ (a + b ) ³
1+ b
4
2 2 1+ c
4
2 2
1+ b 1+ c 2 4
2

MinP = 1. khi a=b=1
Một số ví dụ áp dụng phương pháp chọn điểm rơi và thêm hạng tử :
1. Cho a+b+c=0 . CMR: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

(ĐHQGHN 2000)

Hướng dẫn: Đặt x  2 a ; y  2 b ; z  2 c  x,y,z>0 và xyz=1.
a3

b3
c3 a b c
 3 
  
b3
c
a3 b c a

2. Cho a, b, c  0 CMR:
Hướng dẫn:

a3
a3
+ 3 +1 ³ 33
b3
b

3. Cho a, b, c  0 CMR
4. Với abc = 1

a3 a3
a
. 3 .1 = 3 tương tự cho
3
b
b
b

b3 c3
;

c3 a3

ab
cb
ac
abc



ab bc ac
2

a, b, c > 0

5. Với xyz = 1, x, y, z > 0

CM:
CM:

1
1
1
3
 2
 2

a (b  c) b (a  c) c (b  a ) 2
2

x2

y2
z2
3



z y x z x y 2

6. Với x,y,z > 0: x 3  y 3  z 3  x 2 y  y 2 z  z 2 x
7. CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-x
8.

Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1. tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

14


A

bc
ca
ab
 2
 2
2
2
a b  a c b a  b c c b c2a
2

6. Kĩ thuật thêm nghịch ®¶o

Đây là một kỹ thuật thường dùng khi sử dụng Bất đẳng thức Cơsi.
2
x

Bài tập 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= +

3
Với x, y là các số dương thừa món x+y=1.
y

Gii.
ổ2

3ử

2y

3x

Ta cú : P = ỗ + ữ ( x + y ) = 2 + + + 3 ³ 5 + 2 6 .
x
y
èx yø

2
x 
 x  y 1

2 3
 

Dấu bằng xẩy ra khi  2
2
3
3x 2 y
y

2 3


Bài tập 15: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P =

2 3
+ víi x, y là các số dơng thỏa mÃn x+y=1.
x y

Giải: Ta đà làm bài tập này bằng Côsi nhng ta cũng cố thể làm nh sau:
ổ2

3ử

2y

3x

P = ỗ + ữ ( x + y ) = 2 + + + 3 ³ 5 + 2 6 dÊu b»ng x¶y ra khi x+y=1 vµ 3x2 = 2y2
x
y
èx ỳ
Khi x =

2
3
;y =
2+ 3
2+ 3

Bµi tập 16: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit: nếu a, b, c là các số dơng thì
a
b
c
3
+
+

b+c c+a a +b 2

HD: Thêm 3 vào hai vế của bất đẳng thức ta xt hiƯn
2(a + b + c)(

1
1
1
+
+
)³9
a+b b+c c+a

II.3 C¸c bµi tËp chän läc

15

Cuối cùng tôi xin đa ra một lớp các bài tập tham khảo để các thày cô nâng cao kĩ
năng giải bài cho các em:
( y z)
(x z)
( y  x)
9
 16
 26
x
y
z

1.

Cho x, y, z > 0 cm: 4

2.

Cho a, b, c > 0 Chøng minh r»ng:
abc 

3.

a 2  b2 b2  c 2 c 2  b2 a3 b3 c3






2c
2a
2a
bc ac ab

Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 3 CMR:
a
b
c
3
1
1
1


 


2
2
2
2 1 a 1 b 1 c
1 a 1 b 1 c

4. Cho x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc: A 
a2
1
5. CMR a, b > 0 ta cã 2  b 4   a  2b . HD
a

b

6.

1
1

2
xy
x y
2

2

2
(a - 1)
ổa
ử
2
2
0
ỗ - b ữ + ( b - 1) + (b - 1) +
a
èb
ø
2

§H BKHN - 2000:
a 3  b3  a  b 



2
 2 

a) Cho a + b ≥ 0. Chøng minh

3

b) Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
sin A  3 sin B  3 sin c
A
B
C
cos  3 cos  3 cos
2
2
2

3

P
3

6. Thi vµo líp 10 Tỉng Hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1. CMR
7.

1
x2 y2 1
2

Chuyên TT - ĐHSP:Cho a, b, c lµ 3 sè thùc vµ abc = 1. CMR
1
1
1
 3
 3 3
1
3
3
a  b 1 c  b 1 a  c 1
3

HD:
8.

1
1
1
1
 3
 3

; sau ®ã sư dơng a3+b3≥ab(a+b)
3
3
3
a  b  abc c  b  abc c  a  abc abc
3

2

1
a4  b4
T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2
với a, b là số dơng và

ab a b 2
2

tho¶ m·n a + b = 1
HD:

4
4
1
4
1
1
4
³
;
+ 2
³
; a + b dùng bất đẳng thức Côsi 2 lần.
ab (a + b)2 2ab a + b 2 (a + b) 2
2

16


9.

Cho tam gi¸c ABC víi AB = c, BC = a, CA = b. Gäi S lµ diƯn tÝch tam giác ABC và

M, N, P là các số thực sao cho m + n, n + p, p + m đều là số dơng.
CMR: ma 2 nb 2 4 mn  np  pm
10.

Chøng minh r»ng:

a) x 2  y 2 

( x  y) 2
4

b) x 4  y 4 

4
4
c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM: 8( x  y ) 

( x  y) 4
8

1
5
xy

11. Gi¶ sư x, y là các số dơng thoả mÃn x + y = 10 . Tìm giá trị của x, y để P = ( x4+ 1)
( y4+ 1) đạt giá trị nhỏ nhất.
HD. đặt t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100

12.

Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ( O; R ) cã 3 gãc nhän víi BC = a, AC = b, AB

= c. LÊy I bÊt kú ë phÝa trong tam giác ABC, gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm I đến các
cạnh BC, AC, AB của tam gi¸c.Chøng minh
x

a2  b2  c2
2R

y z

HD. CM ax + by + cz = 2S. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia
13.

Cho a, b, c là các số thực dơng tho¶ m·n abc = 1

CMR:

1
1
1
1
 2
 2

2
2
2

a  2b  3 2c  b  3 2a  c  3 2
2

HD t¸ch:

1
1
1 1
1
= 2
£ ( 2
+ 2
)
2
2
a + 2b + 3 a + 2(b + 1) 4 a + 1 2b + 2
2

14.

Cho a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất P

15.

CMR

x2 y  y 2 z  z 2 x  x3  y3  z3  1 

1 1


a b

1 4
(x  y 4  z 4 )
2

Trong ®ã x, y, z là những số không âm thoả mÃn x + y + z = 2.
16. Víi a, b, c dơng và thoả mÃn a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của T
HD: Bình phơng hai vÕ: T 2 =

a
b



b
c



c
a

a 2 b 2 c 2 2a b 2b c 2c a
+ + +
+
+
;
b

c a
c
a
b

17


a2 a b a b
+
+
+ c ³ 4a , t¬ng tù.
b
c
c

17.

CMR nÕu a, b, c, d > 0 th×:
a)
b)

HD:

a b c abc
   3
b c a
abc
a2 b2 c2 d 2 a  b  c  d




 3
b2 c2 d 2 a2
abcd

a a b
3a b b c
3b c c a
3c
+ + ³ 3
; + + ³ 3
; + + ³ 3
b b c
abc c c a
abc a a b
abc

T¬ng tù cho c©u b.

18


III. Thực nghiệm s phạm.
1. Mục đích thực nghiệm.
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2. Nội dung thực nghiệm.
Tiến hành triển khai giảng dạy theo đề tµi "BẤT ĐẲNG THỨC
CAUSHY VÀ CÁC KỸ NĂNG VẬN DỤNG".

3. Kết quả thực nghiệm.
Tôi đợc phân công giảng dạy các lớp khối, bồi dỡng học sinh giỏi,
ôn thi Đại học, Cao đẳng nhiều năm. Trong quá trình giảng dạy tôi đÃ
vận dụng đề tài hớng dẫn các em vận dụng vào giải toán. Kết quả là hầu
hết các em đều hiểu, vận dụng vào giải quyết các bài toán nhanh gọn,
trình bày sáng sủa và chính xác, học sinh rất thích thú khi gặp các bài
toán thuộc dạng này.
Kết quả cụ thể nh sau.
a. Thực nghiệm trên 2 lớp tôi giảng dạy (100 học sinh) thông qua
các bài kiểm tra.
Kết quả:
Tầm kiến thức
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng

Số lợng HS
82
75
65

Tỷ lệ
82%
75%
65%

b. Trong các kỳ thi Đại học cao đẳng:
Khối D năm 2004, Khối A,D năm 2004 Tỷ lệ học sinh làm đợc
câu V khá cao.
(Các câu có dạng toán thuộc đề tài đà nêu)

IV. Kết luận
Đề tài này đà đợc kiểm nghiệm và cho kết quả khả quan,
nhng cha rộng. Tôi xin chân thành cám ơn các đồng nghiệp đà góp ý
để hoàn thiện đề tài. Tuy nhiên đề tài chắc chắn còn có nhiều khiếm
khuyết. Tôi rất mong tiếp tục nhận đợc sự góp ý của đồng nghiệp.
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn!

19