Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của k22 cao học toán ĐHSP hà nội

Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
MỤC LỤC
Đề thi môn: Triết học Mác – Lênin 2
Đề thi tiếng anh môn đọc viết 3
ĐỀ THI MÔN ĐA TẠP KHẢ VI 10
Đề 1: MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI 11
ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 12
ĐỀ THI KẾT THÚC CHUYÊN ĐỀ: 13
LÝ LUẬN DẠY HỌC MÔN TOÁN 13
ĐỀ THI KẾT THÚC CHUYÊN ĐỀ 14
NHÓM LIE VÀ LÝ THUYẾT LIÊN THÔNG CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TÔ
PÔ 14
ĐỀ THI MÔN CHUYÊN NGHÀNH CƠ SỞ ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐỀU 15
ĐỀ THI MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIAO HOÁN 16
ĐỀ THI MÔN CƠ SỞ GIẢI TÍCH PHỨC 17
ĐỀ THI MÔN HÌNH HỌC RIEMANN 18
ĐỀ THI MÔN KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ 19
ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 20
ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ 21
ĐỀ THI MÔN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 22
ĐỀ THI THỐNG KÊ TOÁN HỌC 23
ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN 24
ĐỀ THI MÔN LÍ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 25
ĐỀ THI HẾT MÔN LÝ LUẬN DẠY HỌC HIỆN ĐẠI 26
Môn thi: Phép tính vi phân – Dạng vi phân trong không gian Banach 27
ĐỀ THI HẾT MÔN CHUYÊN ĐỀ 6 28
Chuyên đề: Tôpô đại số 28
ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ: VẬN DỤNG LÍ LUẬN VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN 29
ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT CƠ SỞ
30
Page 1 4/23/2014

Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
Môn học chung k22
Đề thi môn: Triết học Mác – Lênin
Thời gian: 120 phút
Đề số 1
Câu 1: Anh (chị) hãy trình bày bản chất của chủ nghĩa duy vật biện chứng?
Câu 2: Anh (chị) hãy trình bày mối quan hệ biện chứng giữa cơ sở hạ tầng và kiến trúc
thượng tầng? Đảng ta đã vận dụng mối quan hệ đó vào công cuộc xây dựng, đổi mới đất
nước hiện nay như thế nào?
( Không được sử dụng tài liệu)
Page 2 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
Đề thi tiếng anh môn đọc viết
Dành cho học viên cao học K22 ĐHSP HÀ NỘI
(Tương đương cấp độ B1 – Khung chương trình Châu Âu)
Thời gian: 90 phút
READING
Section: Question 1 – 15
Question 1 – 15 are incomplete sentences. Beneath each question you
will see four words or phrases, marked (A), (B), (C) and (D). Choose the
one word or phrase that best completes the sentence.
1) Helen Keller lost both her sight and hearing after a severe illness….
A. Of her age in 19 months C. She was 19 months old
B. When she was 19 months D. When 19 months old she was
2) Although most cats hate to swim, …. If necessary.
A. Can they do so C. So can they do
B. They do so can D. They can do so
3) ….there is a close correlation between stress and illness.
A. Some psychologists C. Believed some psychologists
B. Some psychologists to believe D. Some psychologists believing

4) Eli Whitney’s milling machine remained unchanged for century and a
half because….was so efficient.
A. It B. Of C. He D. Its
5) I don’t know if …. In my essay
A. Is there a mistake C. There a mistake is
B. A mistake is there D. There is a mistake
6) Alcohol abuse is a problem that can lead to ill health, loss of employment
and….
Page 3 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
A. Breaking up one’s family C. One’s family cn break up
B. The break – up of one’s family D. The family can is broken up
7)….spotted owl is in danger of soon becoming extinct
A. A B. Which C. The D. This
8) The life Benjamin Franklin, a practical man….many stories have been
told, was unusually productive.
A. Of B. About whom C. Of which D. About
9) ….was flat was believed by most people in the fifteenth century
A. The earth C. That the earth
B. As the earth D. Whether the earth
10)….in 1937, the Golden Gate Bridge spans the channel at the entrance to
San Francisco Bay
A. Completes B. Completed C. Completing
D. To complete
11) Both historically and …., Ontario is the heartland of Canada
A. In its geography C. Also its geography
B. Geographically D. Geography
12) Generally speaking, every person….the potential to be a teacher, to
some extent.
A. To have B. Having C. Has D. Have

13) Neptune is an extremely cold planet, and….
A. So does Uranus C. Uranus so
B. So has Uranus D. So is Uranus
14) Napoleon….the West Indian island of Santo Domingo in 1801.
A. Is attacking B. Has attacked C. Attacking D. Attacked
15) ….at 212 degrees F. and freezes at 32 degrees F.
A. Waters boils C. The water boils
Page 4 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
B. Water boils D. Waters boil
Section 2: Questions 16 – 20
Choose the best interpretation for the signs.
A On Saturday we now close for lunch
B We are now open all weekend

C
On Saturdays we are now open in the
afternoon instead of the morning
16) We are now open on
Saturdays in the
afternoon as well as the
morning
D On Saturdays we now stay open longer
than before
A A return ticket will save you money on
this bus
B Return tickets must always be shown
C You can only buy tickets at the bus
station
17) Return fares are not

available on this bus
D You can only buy single tickets on this
bus
A Do not touch the switch at the back of
this printer
B Switch this printer off at the back
C

Do not take the back cover off the
printer until it is terned off
18) Switch off printer
before removing back
cover
D Cover this printer up before you switch
it on
A We will not be open next Friday
luchtime
19) This shop closes for
luch every day except
Friday when we are open
B This shop doesn’t close for luch on
Page 5 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
Fridays.
C This shop closes early on Friday
all day
D We do not serve luch on Fridays
A No parking here for the hospital
B Only patients may park here
C Try not to wake patients

20) Please be quiet in the
hospital car park
Patients may be Asleep
near here
D
Drive slowly to avoid patients

Section 3: Questions 21 – 25
Read the text and question below
. For each question, mark the letter
next to the correct answer – A, B, C or D – on your answer sheet.

According to top executives in the industry, cigarette smoking is
merely a nice habie, to be compared with chewing gum or drinking your
morning cup of coffee, and is no more addictive than eating candies. But
what is in fact the difference between eating donuts and smoking cigarettes?
It is one of possible obesity or possible death.

In the U.S about 400,000 deaths a year can be attributed to cigarette
smoking. Cigarette makers insist that there is no proof that heart disease,
even lung cancer, or any other disease, is actually caused by cigarettes. They
deny adding nicotine to cigarettes; they even deny nicotine is addictive.
They say that if it was, how could 40 million Americans have given up
smoking in the last 20 years? They compare it to coffee drinking and ask it
coffee manufacturers are accused of adding caffeine to their coffee.

Whatever tho facts are, there is no doubt however that cigarette
manufacturers do try to
invite young people, even in their teens, to smoke,
Page 6 4/23/2014

Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
by advertisements and promotions that create, even an image even more
addictive than the nicotine in cigarettes.
21) What is the best title for the passage?
A. The Habits of Americans
B. Co
mparisons between Eating and Smoking
C. Death from Smoking
D. How Addictive Cigarette Smoking Is
22) What is the attitude of cigarette manufacturers to nicotine?
A. It has to be added to cigarettes
B. It is not addictive
C. It is better than caffeine
D. It is not as good as advertising
23) Why do cigarette makers compare cigarette smoking with coffee
drinking?
A. Because both are customary practices people do
B. Because they are both better than eating donuts
C. Because neither are really nice habits
D. Because both add an addictive substance to their product
24) As used in paragraph 3 the word “invite” mean?
A. To offer free
B. To attract
C. To addict
D. To show
25) The uthor implies in the passage that cigarette manufacturers do….
A. Try to avoid marking cigarettes addictive
B. Succeed in marking cigarettes smoking like eating donuts
C. Have an addictive product
Page 7 4/23/2014

Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
D. Worry about how addictive their products are
Section: Questions 26 – 35
Complete the following passage with the word from the box.
Pilot’s during when No All
say whose after although because
Driver’s feel way with than

For many people, travelling by plane is an exciting experience.
Others, however, find the whole idea quite terrifying, (26)….flying is no
more dangerous (27)….any other form of travel and some experts
(28)….that it is cosiderably safe. It is known, however, that most accidents
occur (29)….take – off and landing when a (30)….decision are vitally
important.
The people (31)….job it is to look (32)….the passengers – the flight
attendants – play an important part in helping passengers to (33)….safe and
comfortable. Indeed for many passengers being shown such care is all part
of the total experiece. (34)….other form of travel involves waiting on people
in quite the same (35)…., with food, drink, newspapers, magazines, music
and video movies.
WRITING
Section 1: Question 36 – 40
Rewrite the following sentences so that their original meaning do not
change.
36) Mr. Benson is 70 years old, but he runs seven miles every morning.
Although…………………………………………………
37) No one knows what is being built there
No one knows what they…………………………………….
Page 8 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội

38) She and I have never been there before.
Neither I………………………………………………………
39) My sister watches TV more than me
I don’t ………………………………………….
40) James can ski well
James is……………………………
Section 2: Questions 41 – 45
Make up complete sentences from the prompts given
41) Telephone/invent/1876/by Alexander Grham Bell
………………………………………………………
42) Computers/help/people/commucicate/one another/distant places
………………………………………………………….
43) Last Sunday/weather/hot and sunny/and/we/spend/whole day/
beach/relax
………………………………………………………………
44) One/the Olympics’goals/to promote/word pece/and
understanding/between/nations
……………………………………………………….
45) Mark Twain,/whose/be/famous,/be/greatest story teller/his time
………………………………………………………………
Please TRASFER all of your answers onto the answer sheet
THE END
Page 9 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN ĐA TẠP KHẢ VI
Cao học K22 Khoa Toán – Tin
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề số 1

Câu 1: Hãy nêu các khái niệm sau:
a) Đa tạp tôpô n chiều
b) Đa tạp khả vi n chiều lớp


0
k
Ck
c) Đa tạp khả vi với bờ
d) Nêu ví dụ cho đa tạp khả vi và đa tạp khả vi với bờ.
Câu 2: Giả sử V là không gian vectơ trên trường số thực
R
. Kí hiệu là không
gian các tenxơ lần hiệp biến trên
V
.

m
FV
m


Alt T là tenxơ phản ứng hóa. Hãy chứng minh:
a) Với mọi tenxơ T thuộc


m
F
V , ta có



A
lt T là tenxơ phản ứng, m lần hiệp
biến.
b) Nếu

0 thì Alt T 



0Alt T S Alt S T  với S là tenxơ hiệp biến bất kỳ.
Câu 3:
a) Cho ánh xạ:
 
32
:
,, ,, ,
fR R
x y z f x y z u xy v x yz



w là dạng vi phân bậc hai trên
2
R
,
2
2wuvdudv



Hãy tính

*
f
w
và .


*
df w
b) Cho



12 1 1
; ; ; ;
nn n
Mxxx xx R

 
   
22 2 2
12
0
nn
xx r

 
mà
ở đó . Chứng tỏ M là đa tạp con khả vi

của
 
12
xx 0r 

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)
Page 10 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


Đề 1: MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
Dành cho cao học toán K22(2012-2014)
Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian phát đề)
Người thi không sử dụng tài liệu
Câu I(2,5 điểm)
(i) Chứng minh rằng: mọi module hữu sinh đều có hệ sinh cực tiểu, cho biết các
hệ sinh cực tiểu có cùng một số phần tử hay không?
(ii)
Hãy tìm một module không có hệ sinh cực tiểu.
Cho A là một vành giao hoán có đơn vị là M là một A – module
Câu II(2,5) Chứng minh rằng nếu M là một module tự do thì:
(i)
Các cơ sở của M có cùng một lực lượng.
(ii)
M là một module xạ ảnh.
Câu III(2,5 điểm) Cho N là một A – module. Chứng minh rằng:
(i)

AA
M
NN M
(ii)
Nếu M và N là các A – module tự do thì
A
M
N

là A – module tự do.
Câu IV(2,5 điểm) Chứng minh rằng:
(i)
Nếu A là một miền nguyên thì M có hạng.
(ii)
Tồn tại một module không phải là module tự do nhưng vẫn là một module có
hạng.

Page
11 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Lớp Cao học Toán K22
Thời gian làm bài: 120 phút


Câu 1 (2,5 điểm)
Người ta dùng phần mềm Excel để nhập điểm số của 45 học sinh trong nhóm thực
nghiệm trước và sau khi có tác động sư phạm theo thứ tự vào các cột từ D2 đến D46 và
từ E2 đến E46. Hãy trình bày các bước sử dụng phần mềm Excel để tính chênh lệch giá
trị trung bình về điểm số của nhóm thực nghiệm trước và sau khi tác động sư phạm và

dùng phép kiểm chứng t – test để kiểm tra xem chênh lệch giá trị trung bình của 2 bài
kiểm
tra có xảy ra ngẫu nhiên không?

Câu 2 (3,0 điểm)
Thiết kế một mẫu điều tra (có ít nhất 8 câu hỏi) để xác định thực trạng việc rèn
luyện kỹ năng dạy học cho sinh viên nghành sư phạm Toán ở các trường đại học.
Câu 3 (4,5 điểm)
Hãy phác thảo đề cương nghiên cứu cho đề tài “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
trong dạy học chủ đề Xác suất (Lớp 11 THPT)”

……………………………
Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài
Page
12 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI KẾT THÚC CHUYÊN ĐỀ:
LÝ LUẬN DẠY HỌC MÔN TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề số 1


Câu 1(1 điểm)
Trình bày các bước của quy trình dạy học tương tác phát triên dựa trên học thuyết
lịch sử - văn hóa của Vưgootsxki.

Câu 2 (3 điểm)
Trình bày một cách khái quát về 2 con đường dạy học định lý Toán học ở THPT.
Hãy đề xuất phương pháp dạy học “định lý cosin” (Hình học 10)

Câu 3 (3 điểm)
Cho bài tón HHKG lớp 11: Cho hình chóp có đáy là tam giác .S ABC
A
BC đều
cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng
a SA


ABC , đường thẳng tạo với
góc bằng . Tính khoảng
cách từ điểm
SC

SAB

mp 30
o
A
tới mặt phẳng

SBC
Hãy trình bày một lời giải của bài toán và khai th
ác các hoạt động của học sing
gắn với bài toán trên.

Câu 4 (3 điểm)
Cho bài toán lớp 10 THPT: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:



2
135
x
xxm có 4 nghiệm phân biệt.
Hãy hướng dẫn học sinh giải bài toán theo 4 bước của Polia. Dự kiến những khó
khắn học sinh gặp phải khi giải bài toán trên và cách giúp học sinh vượt qua các khó khăn
đó.

HẾT

Page
13 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI KẾT THÚC CHUYÊN ĐỀ
NHÓM LIE VÀ LÝ THUYẾT LIÊN THÔNG CHUYÊN
NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TÔ PÔ
Thời gian làm bài 120 phút
Đề số 1


Câu 1:
a) Trình bày các khái niệm và cho ví dụ về nhóm Lie, liên thông tuyến tính trên một
đa tạp khả vi.
b)
Chứng minh rằng trên một nhóm Lie, hai trường vec tơ mục tiêu bất biến trái bất
kì cùng cho tương ứng một liên thông tuyến tính chính tắc.

Câu 2:
a) Nêu định nghĩa và cho ví dụ về biến đổi afin trên một đa tạp khả vi với mộ liên
thông tuyến tính cho trước.

b)
Cho


1
, ,
n
X
X là một trường véc tơ mục tiêu bất biến trái trên nhóm Lie G và
 là liên thông tuyến tính chính tắc ứng với trường mục tiêu trên. Chứng mình
rằng phép tịnh tiến trái bất kì
a
L trên G là một biến đổi afin của G

Câu 3:
a) Nêu định nghĩa trường véc tơ song song dọc một đường cong nhẵn trong đa tạp
khả vi

,M  .
b)
Trên
n
R
cho trường mục tiêu chính tắc
i
x


là liên thông tuyến tính chính tắc ứng
với trường mục tiêu đó là


. Giả sử là một đường cong nhẵn. Chứng
minh rằng trường mục tiêu
:
n
cJ R
X
dọc
c
là trường song song dọc
c
khi và chỉ khi
X
có dạng
1
n
i
i
i
X
ac
x


với
i
a là hằng số.







c)
Với kí hiệu như câu b), chứng minh rằng một đường cong trong
n
R
là trắc địa
ứng với
 khi và chỉ khi nó là đường thằng


Học viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài thi
Page
14 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN CHUYÊN NGHÀNH CƠ SỞ ĐẠI SỐ ĐỒNG ĐỀU
Dành cho Cao Học Toán K22
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề số 1


Kí hiệu bởi
Z
vành các số nguyên. Cho
R
là vành giao hoán có đơn vị.

Câu 1: Cho ,
M

N là các
R
- Module
(a)
Hãy nêu cách xây dựng các
R
- Module


, và
R
n
Tor M N


, với n là
một số tự nhiên.
n
R
Ext M N
(b)
Chứng minh rằng



,
RR
nn
Tor M N Tor N M ,
với mọi số tự nhiên n .

Câu 2: Cho ,
I
J là các ideal trong vành
R
. Chứng minh rằng

2
/, / , , 2
RR
nn
Tor R I R J Tor I J n


Câu 3: Chứng minh rằng với R – module M, các điều kiện sau là tương đương:
(i)
M là module xạ ảnh
(ii)
0 với mọi R – module N và với mọi 1n

,
n
R
Ext M N  
(iii)
0
với mọi R – module N

1
,
R

Ext M N 
Câu 4: Cho các số nguyên dương và gọi d là ước chung lớn nhất của m và . ,mn n
Chứng m
inh rằng

,
t
Z
mn d
Ext Z Z Z


Câu 5:
(a) Chứng minh rằng .dim 1gl Z


(b)
Chứng minh rằng .dim 0gl k

, với
k
là một trường.


HẾT
Page
15 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIAO HOÁN
Cao học K22 – Chuyên ngành Đại số và lí thuyết số

Thời gian làm bài: 120 phút
Đề số 1


Cho là một vành giao hoán có đơn vị và A
M
là một - module A

Câu 1. Cho dãy khớp ngắn các - module A
00NMP 

a)
Chứng minh rằng
M
là một module Noether khi và chỉ khi N và P đều là các
module Nother.
b)
Cho phần tử aA . Chứng minh rằng nếu các module thương

/0 :
M
M
a và
/
M
aM là các module Noether thì
M
cũng là một module Noether.

Câu 2. Giả sử là một idean nguyên tố của . Chứng minh rằng: P A

a)
Giao của hữu hạn các module con P - nguyên sơ của
M
cũng là một module con
P – nguyên sơ của M.
b)
Khẳng định ở a) còn đúng không đối với giao của một họ vô hạn các module con
P – nguyên sơ của
M
? Tại sao?

Câu 3. Giải sử là vành Noether và A
M
có độ dài hữu hạn.
a)
Từ tính cộng tính trên dãy khớp ngắn của độ dài module, hãy chứng minh rằng
nếu
M
có một dãy module con:


01
0
n
MM M M thì
  
1
1
/
n

AAi
i
lM lM M




i
b)
Chứng minh rằng




p
AA
PAssM
lM l M


p



Câu 4. Giải sử
A
là vành con của một vành giao hoán
B
và
B

nguyên trên
A

a)
Chứng minh rằng
B
là một miền nguyên thì
B
là một trường khi và chỉ khi A là
một trường.
b)
Cho Q là một idean nguyên tố của
B
. Đặt PQ A

 . Chứng minh rừng Q là
một idean cực đại của B khi và chỉ khi
P là một ideal cực đại của A



HẾT
Page
16 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN CƠ SỞ GIẢI TÍCH PHỨC
Dành cho học viên cao học K22 Toán
Chuyên ngành: Giải tích hàm và phương trình vi phân, tích phân
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: Cho U là tập mở trong và F là không gian Banach. Chứng minh rằng nếu
n
C
:
f
UF là ánh xạ chỉnh hình tách biến thì
f
là ánh xạ chỉnh hình.

Câu 2: Cho là hai không gian Banach và U là tập mở liên thông trong . Cho ,EF

E

,
f
HU F. Chứng minh rằng nếu
f
là đồng nhất bằng 0 trên một tập mở V khác
rỗng của U, thì f đồng nhất bằng 0 trên U.

Câu 3: Cho là hai không gian Banach và U là tập mở liên thông trong E. Cho ,EF

,
f
HU F
sao cho tồn tại điểm aU

thỏa mãn





f
xfa với mọi
x
U .
Chứng minh rằng
f
là hằng số trên U.

Câu 4: Cho
,
E
F
là hai không gian Banach và U là tập mở trong E. Gọi


n
f
là dãy các
ánh xạ chỉnh hình từ U tới F và hội tụ đều trên các tập compact của U tới ánh xạ
:
f
UF .
a)
Chứng minh rằng
f
cũng là ánh xạ chỉnh hình.

b)
Cho
n
EC và FC . Chứng minh rằng, với đa chỉ số
0
n
N

 ,
n
f
f
x
x










đều trên mọi tập compact của U khi
n 

Học viên không được sử dụng tài liệu
Page
17 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN HÌNH HỌC RIEMANN
Dành cho Cao học Toán K22
Thời gian làm bài: 120 phút



Câu 1:
Hãy nêu khái niệm độ cong Ricci của đa tạp Riemann tại một điểm theo một
hướng xác định. Nêu khái niệm độ cong vô hướng của đa tạp Riemann
M
tại điểm
p
M . Chứng minh rằng đối với đa tạp Riemann 3 chiều, nếu độ cong Ricci hằng,
không phụ thuộc vào điểm đang xét và vào phương trình tiếp xúc tại đó thì đa tạp đó
cũng có độ cong thiết diện hằng.

Câu 2:
Xét




22
;,MR xy Ry

  0. Gọi là metric trên g

2
R

cảm sinh bởi metric
chính tắc căn trên
3
R
và
2
1
.
gg
y

 là liên thông Levi – Civita trên
2
R

đối với . g

a)
Hãy tính các hệ số
g
y
r của liên thông

đối với bản đồ đồng nhất Id trên
M
.
b)

Hãy tính độ cong Gauss của đa tạp Riemann
2
;
R
g





.

Câu 3:
Nêu khái niệm đa tạp Riemann. Tính thành phần tenxơ metric của trong bản đồ
ở đó

n
S

,Ux


111 1
, , , , , , 0
nn n n
xx x x x x x



HẾT
Page
18 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
Dành cho Cao học Toán K22
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề số 1



Câu 1 (3 điểm).

a) Định nghĩa không gian thùng. Chứng minh rằng mọi không gian Baire là không
gian thùng.
b)
Phát biểu và chứng minh nguyên lý đồng liên tục.

Câu 2 (2 điểm)

Phát biểu và chứng minh định lý Bourbaki – Alaoglu
Câu 3 ( 2 điểm)

Xét không gian các dãy số thực,




1

:,
N
nn
n
Rxx xRn

1

 với phép cộng
và phép nhân thông thường, và trang bị khoảng cách:
  
11
1
1
,., ,
21
nn
NN
nn
n
nn
n
nn
xy
dxy x x R y y R
xy








.
Chứng m
inh rằng:
a)
Tô pô trên
N
R
được xác định bởi một hệ đếm được các nửa chuẩn và
N
R
là một
không gian lồi địa phương.
b)

N
R
với tô pô như trên là không gian định chuẩn.

Câu 4 ( 3 điểm)

Không gian lồi địa phương
E
được gọi là không gian bị chặn nội nếu mọi tập lồi
cân hút các tập bị chặn trong đều là lân cận của điểm gốc
0
E
E


.
Cho
E
là không gian bị chặn nội, là không gian lồi địa phương và
là một ánh xạ tuyến tính. Chứng minh ba khẳng định sau là tương đương:
F :uE F

(i)
u liên tục
(ii)
Nếu dãy


n
x
hội tụ về 0 trong E thì dãy




n
ux hội tụ về 0 trong F .
(iii)
Nếu
B
là một tập bị chặn trong
E
thì



uB là tập bị chặn trong
F





THÍ SINH KHÔNG ĐƯỢC SỬ DỤNG TÀI LIỆU
Page
19 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH
Dành cho Cao học K22 – Giải tích hàm và Phương trình vi phân, tích phân
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề số 1


Câu 1. Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính
 


,0;,
nn
dx
At x At R
dt

 (1)
a.

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ (1) ổn định đều là ma trận Cauchy

,Kts của nó bị chặn đều.
b.
Tìm điều kiện của hàm số liên tục


,at t R

 để phương trình vô hướng sau ổn
định đều

dx
atx
dt



Câu 2. Xét phương trình vi phân

,
dx
gtx
dt



(2)
Trong đó liên tục trong m
iền


,gtx
n
R
R


, và


,0 0gt

. Giả sử tồn tại hàm
Liapunov
Vt thỏa mãn các điều kiện trong miền

, x
n
R
R


.
a.





 

,,.,.ax V tx bx a b CIP 
b.





2
,,.Vtx cxc CIP 
Chứng minh rằng nghiệm của hệ (2
) ổn định tiệm cận đều. Hãy lấy ví dụ minh
họa kết quả trên.
0x 

Câu 3. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của các hệ phương trình vi phân sau:
a.
2
cos3
48 2
xy
y
x
ex
y
xe









b.
2
3
2
x
xyxy
y
xyy

  







Câu 4. Với giá trị nào của các tham số thì nhiệm ,ab 0y

của phương trình sau ổn định
tiệm cận




43
'' 2 ' 0yayayyby





(Học viên không được sử dụng tài liệu)
Page
20 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ
Lớp Cao học K22 – Khoa Toán – Tin
Thời gian làm bài: 120 phút
Thí sinh không được sử dụng tài liệu



Câu 1: Chứng minh rằng:
a)
Trong một phạm trù bất kì, mọi mũi tên đẳng cấu đều là chính quy
b)
Trong một phạm trù bất kì, mũi tên
f
là đẳng cấu nếu và chỉ nếu
f
đồng thời là
mũi tên co rút và chính quy trái.
c)
Trong phạm trù Set các tập hợp, các mũi tên chính quy chính là các song ánh và
cũng là các mũi tên đẳng cấu

Câu 2: Cho C là một phạm trù có vật chất không và hình vuông trong biểu đồ dưới đây

là một cái kéo lại. Chứng minh rằng:
a)
Nếu
f
là chính quy trái thì '
f
là chính quy trái

b)
Nếu ker
f
h thì ' ker
f
hg

Câu 3: Cho C là một phạm trù Aben và : , :
f
ABgX A là hai mũi tên trong C .
Chứng minh rằng nếu
f
là mũi tên chính quy trái thì:
a)

f
là nhân của một mũi tên nào đó
b)
ker ker
f
gg

Câu 4: Cho là hai phạm trù Aben và là một hàm tử cộng tính. Chứng
minh rằng:
, 'CC :TC C '
a)
Dãy các mũi tên
00
trong C là khớp khi và chỉ khi
ker
fg
ABC
f
g
và
g
là chính quy phải.
b)
Điều kiện cần và đủ để T khớp bên trái là mọi dãy khớp
00
fg
ABC trong C suy ra dãy
0
fg
TA TB TC khớp trong
'

C


HẾT
h

B
f
'
f

'
g
g
P
C
A
D
Page
21 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Dành cho Cao học K22 – Lí thuyết xác suất
Thời gian làm bài: 120 phút


Câu 1
a. Trình bày định nghĩa các khái niệm: xích Markov, xích Markov tối giản, xích
Markov phi tuần hoàn và phân phối dừng của một xích Markov.
b.
Giả sử

0
n
n
X


là một xích Markov với phân phối ban đầu

và ma trận xác suất
chuyển P. Giả sử P là tối giản, phi tuần hoàn và có phân phối dừng

. Chứng
minh rằng với mọi trạng thái
j
thì:

lim
nj
n
PX j





Câu 2
Cho xích Markov nhận các giá trị

0
n
n
X




1, 2, 3 ứng với ma trận chuyển
15 1
0
16 16
12
0
33
010
p











a.
Hãy xác định phân phối
i
X
nếu biết phân phối ban đầu


0.2,0.4,0.4



b.
Xác định phân phối dừng của xích
c.
Tính xác suất

0
1/ 1
n
PX X

Câu 3
Xét tích Markov cho bởi biểu đồ ???
Giả sử xích xuất phát từ 2, hãy xác định (a) xác suất hấp thụ vào 5 và (b) trung
bình sau bao nhiêu bước chuyển thì xích bị hấp thụ vào 1 hoặc 5

Câu 4
Xét tích Markov với tập trạng thái


0,1, I  và ma trận chuyển

,1 ,0
1;0
ii i i
ppp

  1
a.
Xác định điều kiện của


n
p
để 0 là trạng thái hồi quy
b.
Xác định điều kiện của

n
p
để 0 là trạng thái hồi quy dương

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)
Page
22 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Dành cho Cao học K22 – Lí thuyết xác suất
Thời gian làm bài: 120 phút



Câu 1
a. Chứng minh Định lý tách về điều kiện cần và đủ để thông kê

TX là thống kê
đủ
b.
Áp dụng: Cho mẫu ngẫu nhiên độc lập


12

, , ,
n
X
XX từ phân phối chuẩn dạng

2
,Na

. Chứng minh rằng:


2
2
1
1
n
n
ni
i
SX X X
n



và
1
1
n
n
i

i
X
X
n



là thống kê đủ đối với

2
,a


Câu 2
Giả sử

12
, , ,
n
X
XX là mẫu ngẫu nhiên độc lập,
i
X
có phân phối là

với 0
1p
a.
Tìm ước lượng hợp lý cực đại của tham số
p

b.
Xét xem ước lượng tìm được có phải là ước lượng không chệch, ước lượng vững,
ước lượng hiệu quả không?
c.
Tìm ước lượng không chệch với phương sai bé nhất của hàm số:


1
p
p
p
n



d.
Tìm tiêu chuẩn mạnh nhất mức

, để kiểm định giả thiết
0
:Hpp
0
với đối thiết
0
:Kpp
Tìm lực lượng của tiêu chuẩn đó

Câu 3
Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Wilcoxon kiểm định tính thuần nhất của hai mẫu

độc lập


(Học viên không được sử dụng tài liệu)


i
X

0
p
1- p
1
Page
23 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN
Cao học khóa K22 – Thời gian làm bài 120 phút


Lý thuyết
Câu 1. Phát biểu định lý khai triển Doob – Meyer. Chứng minh tính duy nhất của khai
triển.
Câu 2. Phát biểu và chứng minh định lý đặc trưng Levy của chuyển động Brown

Bài tập
Giả sử

là một chuyển động Brown một chiều.
0
t
t
W

Câu 3. Cho quá trình ngẫu nhiên



0,1
t
t
X

xác định bởi

2
t
t
W
tt
XWte

 . Tính vi phân
Itô của

t
X
và chứng tỏ rằng là một martingale.

t
X

0,1t
Câu 4. Giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên sau và tính kì vọng của nghiệm.

0
12
33
0
1. , 1
1
2. , 1
3
tt t
tt t
dX X dt dW X
dY Y dt Y dW Y
 
 

Câu 5. Đặt


inf 0 : 1
t

tW

 . Chứng tỏ rằng


2
0
t
t
Wt

 là martingale và từ đó hãy
xác định kỳ vọng của

.


(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)
Page
24 4/23/2014
Tuyển tập đề thi kết thúc các chuyên đề của K22 Cao Học Toán – ĐHSP Hà Nội
ĐỀ THI MÔN LÍ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Dành cho Cao học Toán Giải Tích K22
Đề 1
Thời gian làm bài:120 phút
Câu 1: (a) Định nghĩa không gian


1
H


là một không gian Hilbert.
(b) Chứng minh

1
C  là không gian con của


1
H

. Thiết lập mối quan hệ
giữa sự hội tụ mạnh của dãy


n
u trong hai không gian này.
Câu 2. Giả sử là miền bị chặn trong

N
R
với biên

 . Xét bài toán biên Dirichlet sau:
trong
0trê
uf
un

 






Trong đó cho trước.

2
fL
(a)
Định nghĩa khái niệm nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán. Thiết lập mối
quan hệ giữa hai khái niệm này.
(b)
Tìm một điều kiện đủ của
f
và


để nghiệm yếu của bài toán trở thành nghiệm
cổ điển.
Câu 3. Giả sử là miền bị chặn trong

N
R
với biên

 . Xét bài toán biên thứ nhất đối
với phương trình phản ứng – khuếch tán nửa tuyến tính






 
0
,,
,0, ,0
,0 ,
t
uufugxx t
uxt x t
ux u x x
    







0

Trong đó , và
 
22
0
,uL gL
:
f
RR

là hàm liên tục thỏa mãn:

10 2
p
0
Cu C f uu Cu C  
p
2p , với nào đó,








3
f
ufvuv C

.
(a)
Định nghĩa nghiệm yếu của bài toán.
(b)
Chứng minh nghiệm yếu của bài toán, nếu tồn tại là duy nhất
Câu 4. Xét hệ phương trình Navier – Stokes trong miền hai chiều bị chặn  với điều
kiện biên Dirichlet thuần nhất.
(a)
Định nghĩa các không gian H, V được dùng để nghiên cứu hệ Navier – Stokes hai
chiều.

(b)
Định nghĩa dạng 3 – tuyến tính


,,buvw. Chứng minh


,,buvw là dạng 3 –
tuyến tính liên tục trên
V và


,, 0buvw

với mọi ,uv V

.
(c)
Giả sử



2
0, , 0, ,uL TV L TH

 . Chứng minh rằng hàm
B
u
xác định bởi
  


,,,,
B
uu v but ut v v V sẽ thuộc


2'
0, ,LTV với
'
V
là không gian
đối ngẫu của
V
.
(d)
Xét toán tử
B
định nghĩa ở (c). Giả sử
n
u hội tụ yếu tới u trong

2
0, ,
L
TV
và
n
uu trong

. Chứng minh rằng

n

2
0, ,LTH
B
u hội tụ yếu tới
B
u
trong
V.

2'
0, ,LT
HẾT
Page
25 4/23/2014