ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN CÁC NĂM MÔN GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN III DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN ĐHSP HÀ NỘI

Trung tâm tư vấn và phát triển giáo dục EDUFLY –
Hotline: 0987.708.400 –Add: số 130B, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN CÁC NĂM MÔN GIẢI TÍCH CỔ ĐIỂN III
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN ĐHSP HÀ NỘI
ĐỀ THI SỐ 1:
I. Lý thuyết (3 điểm)
1. Phát biểu và chứng minh điều kiện cần và đủ để một hàm bị chặn là khả tích Riemann trên hình hộp.
2. Phát biểu và chứng minh công thức Stokes.
II. Bài tập (7 điểm)
1. (3 điểm)
a. Tính thể tích vật thể thể giới bởi:
0, 2z y z   và
2
y x
b. Tính diện tích mặt ngoài của giao hai hình sau:
2 2 2 2 2 2
,x z a y z a   
2. (2 điểm) Tìm miền hội tụ của các tích phân
a.
cos
p q
x x
I dx
x x






( , 0)p q 
b.
0
sin( )
q
p
x
I dx
x



( 0)q 
3. (1 điểm) CMR: dF là biểu thức vi phân toàn phần và tính F(x,y) biết

2
( 2 )
( , )
( )
x y dx ydy
dF x y
x y
 



4. (1 điểm) Tính
L
I ydy zdy xdy  


Trung tâm tư vấn và phát triển giáo dục EDUFLY –
Hotline: 0987.708.400 –Add: số 130B, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội

Với L là giao tuyến của mặt cầu
2 2 2 2
x y z a   và mặt phẳng 0x y x   , định hướng như biên
của bán cầu với hướng là pháp tuyến ra ngoài.
ĐỀ THI SỐ 2
I. Lý thuyết (3 điểm)
1. Phát biểu và chứng minh định lý về tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi.
2. Phát biểu và chứng minh định lý 4 mệnh đề tương đương
II. Bài tập (7 điểm)
1. (3 điểm)
a. Tính thể tích vật thể thế giới bởi
2 2 2
, , 1z x y y x y    và 0z 
b. Tính diện tích phân mặt được xác định bởi:
2 2 2 2
x y z a   nằm ngoại trụ
2 2 2
( 0)x y a a  
2. (2 điểm) Cho hai hàm số:
2
2
0
(t) ( )
t
x

f e dx



và
2 2
(1 )
2
0
( )
1
t
t x
e
g t dx
x





a. CMR ( ) ( )f t g t C  , C là một hằng số thực.
b. Tìm
lim ( )
t
g t

. Từ đó tính tích phân
2
0

x
e dx




3. (1 điểm) Tính
2 2
C
xdy ydx
x y



với C là đường cong kín trơn từng khúc không đi qua gốc tọa độ với
giới hạn bởi một miền đơn liền.
4. (1 điểm) Tính
2 2
dydz+ydzdx+z
S
I x dxdy


Với S là mặt phẳng 1 0x z   nằm giữa hai mặt phẳng 0, 4y y  thuộc góc phần tám thứ
nhất, có hướng lên trên
ĐỀ THI SỐ 3
1. Phát biểu định lí về bốn mệnh đề tương đương trong tích phân đường loại II.
Nêu chứng minh phần từ mệnh đề 4 suy ra mệnh đề 1.
2. Tính các tích phân sau:

Trung tâm tư vấn và phát triển giáo dục EDUFLY –
Hotline: 0987.708.400 –Add: số 130B, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội

a.
2 2
1
D
x y dxdy 

D giới hạn bởi
2 2
x y y 
b.
2 2
( )
K
x y ds

, K là đường tròn
2 2
,( 0)x y ax a  
3. Tính F(t), nếu
1
1
0
( )
t x
t x
F t dx
 



 
f(y)dy, f(y) liên tục
ĐỀ THI SỐ 4
4. Phát biểu và chứng minh định lý Fubini đối với tích phân hai lớp trên hình chữ nhật.
5. Tính các tích phân như sau:
a.
2
( )dxdy
D
x y

, trong đó D được giới hạn bởi các đường 1, , 0y x y x y    và 2y  .
b.
2 2
AB
ydx xdy
x y



với AB nửa trên đường tròn
2 2 2
x y a  đi từ A(-a,0) đến B(a,0), (a>0)
6. Tính
"
( )F u nếu
sinx
( ) | | , ( , )

b
a
F u u x e dx u a b  


ĐỀ THI SỐ 5
Câu I a. Xét tính khả vi của hàm số
1
0
sin , #0
( )
0, 0
x
dx y
F y
y
y








Trên R
b. Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân
0
sin( )xy
dx

x y


trong khoảng (0;A]
Câu II.

Trung tâm tư vấn và phát triển giáo dục EDUFLY –
Hotline: 0987.708.400 –Add: số 130B, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội

a. Tìm tọa độ trọng tâm của vật đồng chất giới hạn bởi các mặt
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
  và z c
b. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
2 2
, , 0y z x x y z   
Câu III.
a. CMR giá trị của tích phân
2
(2 )
c
xy y dx x dy 

. Trong đó C là chu tuyến đóng kín định hướng
ngược chiều kim đồng hồ, biểu diễn diện tích của miền giới hạn bởi chu tuyến đó.
b. Tìm hàm khả vi

biết

2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )d x yz dx y xz dy z xy dx

     
Câu IV: Cho
2 2 2
2 2 2
( )
( )
x y R
ydx xdy
I R
x xy y
 


 

CMR
lim ( ) 0
R
I R



Câu V: Tính tích phân mặt
2 2
S
y zdxdy xzdydx x ydzdx 


. Trong đó S là phía ngoài của mặt
paraboloid
2 2
z x y  nằm trong mặt trụ
2 2
1x y 
ĐỀ THI SỐ 6
1. Bằng phương pháp đạo hàm theo tham số, hãy tính tích phân sau:
0
sin
( )
kx
x
I e dx
x






( 0)k 
Từ đó hãy tính tích phân Dirichlet
0
sin x
I dx
x






2. Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt
2 2
2x y x  nằm trong mặt cầu
2 2 2
4x y z  
3. Cho tích phân đường

Trung tâm tư vấn và phát triển giáo dục EDUFLY –
Hotline: 0987.708.400 –Add: số 130B, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội

2
( cosy)dx+e (1 siny)dx
x x
L
I e y m m  

(m là tham số)
a. Tìm m để biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số ( , )u x y nào đó.
b. Khi 1m   tính tích phân I với L là nửa đường tròn
2 2
1( 0)x y y   chiều dương từ điểm
A(-1,0) đến điểm B(1,0)
4. Tính tích phân mặt
2 2 2
dyd
S
I x z y dzdx z dxdy


  


Trong đó
S

là phía ngoài (mặt ngoài) của mặt nón
2 2
,0 1z x y z   
5. Giả sử  là một miền trong
3
P và
3
( )u C  . CMR u thỏa mãn phương trình
2 2 2
2 2 2
0
u u u
u
x y z
  
    
  
trong miền  khi và chỉ khi 0
B
u
dS
n






với mọi hình cầu
B  , ở đây n là pháp tuyến ngoài của mặt cầu B
ĐỀ THI SỐ 7
Câu 1:
a. Giả sử D là miền đơn liên: P(x,y), Q(x,y) là hai hàm khả vi liên tục trong miền D. CMR nếu
( , ) ( , )
AB
P x y dx Q x y dy

trên cùng trơn hay trơn từng khúc AB không khép kín nằm hoàn toàn
trong miền D chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của cung AB mà không phụ thuộc vào
đường nối hai điểm A và b thì tồn tại một hàm F(x,y) hai lần khả vi liên tục trong miền D sao cho:
( , ) ( , ) ( , )dF x y P x y dx Q x y dy 
b. Tính tích phân:
(3,0)
4 3 2 2 4
( 2, 1)
( 4 ) (6 5 )x xy dx x y y dy
 
  
