Ôn tập môn kinh tế lượng - Chương 6 - Phương sai sai số thay đổi

Ch¬ng 6: Ph¬ng sai sai sè thay ®æi
1. B¶n chÊt cña ph¬ng sai sai sè thay ®æi
2. HËu qu¶ cña ph¬ng sai sai sè thay ®æi
3. Ph¸t hiÖn ph¬ng sai sai sè thay ®æi
4. BiÖn ph¸p kh¾c phôc

1. Bản chất của phơng sai sai số thay đổi
1.1. Phơng sai của các sai số thay đổi

Giả thiết của OLS:
Mô hình hồi qui có phơng sai sai số ngẫu nhiên
thuần nhất (Homoscedasticity),
tức là: Var(U
i
) =
2
với mọi i.

Tuy nhiên trong thực tế giả thiết này có thể bị vi
phạm: Var(U
i
) =
i
2
, phơng sai sai số ngẫu nhiên có
giá trị khác nhau ở mỗi giá trị cụ thể của biến độc
lập.

Hiện tợng này đợc gọi là hiện tợng phơng sai
sai số thay đổi (Heteroskedasticity).

Ph¬ng sai sai sè ®ång ®Òu

Ph¬ng sai sai sè thay ®æi

1.2. Nguyên nhân của phơng sai sai số thay đổi

Do bản chất của các hiện tợng kinh tế.

Hiện tợng kinh tế diễn ra theo những đối tợng có qui
mô khác nhau hoặc tại những thời kỳ có nhiều biến động
thì phơng sai của sai số khác nhau.

Hiện tợng phơng sai sai số thay đổi thờng xảy ra với số
liệu chéo nhiều hơn số liệu chuỗi thời gian.

Do các phơng tiện thu thập và xử lý thông tin ngày
càng hoàn thiện do đó sai số dờng nh giảm.

Do con ngời có khả năng rút kinh nghiệm.

2. Hậu quả của phơng sai sai số thay đổi

Các hệ số hồi qui ớc lợng bằng OLS vẫn là các
ớc lợng tuyến tính, không chệch nhng không
hiệu quả.

Ước lợng của phơng sai của sai số ngẫu nhiên bị
chệch.

Ước lợng hệ số xác định R
2
bị chệch.

Khoảng tin cậy của các hệ số hồi qui mất tính
chính xác.

Kiểm định T và kiểm định F bị mất chính xác.

3. Ph¸t hiÖn ph¬ng sai sai sè thay ®æi
3.1. §å thÞ phÇn d
3.2. KiÓm ®Þnh Park
3.3. KiÓm ®Þnh Glejser
3.4. KiÓm ®Þnh t¬ng quan h¹ng Spearman
3.5. KiÓm ®Þnh Goldfeld - Quandf
3.6. KiÓm ®Þnh White
3.7. KiÓm ®Þnh dùa trªn biÕn phô thuéc

3.1. Đồ thị phần d

Bớc 1: Hồi qui mô hình đã cho, thu đợc các phần d e
i

tính e
i
2


Bớc 2: Vẽ đồ thị của e
i

2
theo X
i
và dựa vào đồ thị để phán
đoán xem có hiện tợng phơng sai sai số thay đổi hay
không.vd c7.doc
iii
UXY
++=
21

e
i
2
X
i
0
e
i
2
X
i
0

3.2. Kiểm định Park

Giả thiết: Phơng sai sai số thay đổi là một hàm số
của biến giải thích.

: Mô hình có phơng sai sai số không thay đổi

theo biến giải thích

: Mô hình có phơng sai sai số thay đổi

cha biết nên dùng ớc lợng điểm của nó là

iii
UXY ++=
21


i
v
ii
eX
2
22


=
iii
VX
++=
lnlnln
2
22


0
2

=


0
2



2
i

2
i
e

Thủ tục kiểm định

Bớc 1: Hồi qui mô hình ban đầu thu đợc các phần d e
i


Bớc 2: Tìm ln(X
i
) và

Bớc 3: Hồi qui mô hình:

Bớc 4: Kiểm định cặp giả thuyết:
H
0

: Mô hình có phơng sai sai số không thay đổi theo X
H
1
: Mô hình có phơng sai sai số thay đổi
Tiêu chuẩn kiểm định (1): T
Tiêu chuẩn kiểm định (2): Fvd c7.doc

( )
( )
iii
VXe
++=
lnln
21
2




2
i
e
( )
2
ln
i
e

3.3. Kiểm định Glejser

Giả thiết: Phơng sai sai số thay đổi là một hàm số
của biến giải thích.

Tuy nhiên việc lựa chọn dạng hàm nào còn tùy
thuộc vào quan hệ giữa biến giải thích và phần d
trong từng tình huống cụ thể.
iii
UXY ++=
21






Thủ tục kiểm định

Bớc 1: Hồi qui mô hình ban đầu thu đợc các phần
d e
i


Bớc 2: Hồi qui một trong các mô hình sau:

Bớc 3: Kiểm định cặp giả thuyết:
H
0
: Phơng sai sai số không thay đổi theo X
H
1

: Phơng sai sai số thay đổi
Tiêu chuẩn kiểm định: T, F
( )
0
2
=

( )
0
2


i
e
iii
VXe
++=
21

iii
VXe ++=
21

i
i
i
V
X
e
++=

1
21

i
i
i
V
X
e ++=
1
21


3.4. Kiểm định tơng quan hạng
Spearman

Kiểm định tơng quan hạng Spearman thực
hiện dựa trên cơ sở xây dựng hệ số tơng quan
hạng Spearman, ký hiệu r
s
.

Hệ số này đợc xác định theo công thức:

Trong đó:

d
i
là hiệu của các hạng đợc gán cho hai đặc trng
khác nhau cùng một phần tử thứ i

n là số các phần tử xếp hạng.
( )









=

1
61
2
2
nn
d
r
i
s

Thñ tôc kiÓm ®Þnh

Bíc 1: Håi qui m« h×nh thu ®îc phÇn d e
i
⇒


Bíc 2: T×m h¹ng ,

Bíc 3: TÝnh hÖ sè t¬ng quan h¹ng Spearman theo
c«ng thøc:
i
e
i
erank
i
Xrank
iii
Xrankerankd −=
iii
UXY ++=
21
ββ
( )








−
−=
∑
1
61

2
2
nn
d
r
i
s


Bớc 4: Kiểm định cặp giả thuyết:
H
0
: Phơng sai sai số không thay đổi theo X
H
1
: Phơng sai sai số thay đổi

Tiêu chuẩn kiểm định:

Miền bác bỏ giả thuyết H
0
với mức ý nghĩa :
( )
2-
2
~
-1
2
n
s

s
T
r
nr
T

=
( )
{ }
2
,

>=
n
tttW


3.5. Kiểm định Goldfeld - Quandf

Giả thiết: Phơng sai của sai số thay đổi có mối
quan hệ tỷ lệ thuận với một trong các biến giải
thích trong mô hình hồi qui.

Xét mô hình hồi qui 2 biến:

Giả sử giữa phơng sai sai số ngẫu nhiên và biến
giải thích có mối quan hệ thể hiện dới dạng:

Thủ tục kiểm định nh sau:

Bớc 1: Sắp xếp bộ số liệu theo thứ tự tăng dần của
X.

Bớc 2: Loại bỏ c quan sát (c= 15%-30%) ở chính
giữa và chia các quan sát còn lại thành 2 nhóm mỗi
nhóm có (n-c)/2 quan sát.
iii
UXY
++=
21

222
ii
X

=


Bớc 3: Lần lợt hồi qui mô hình trên với từng nhóm quan
sát, thu đợc:

RSS
1
với số bậc tự do là df = (n-c-2k)/2

RSS
2
với số bậc tự do là df = (n-c-2k)/2

Bớc 4: Kiểm định cặp giả thuyết:

H
0
: Phơng sai sai số không thay đổi theo X
H
1
: Phơng sai sai số thay đổi

Tiêu chuẩn kiểm định:

Miền bác bỏ:

Đối với mô hình hồi qui bội ta có thể tiến hành thủ tục trên
với một biến giải thích bị coi là nguyên nhân của hiện tợng
phơng sai sai số thay đổi trong mô hình.
( )
dfdf
F
dfRSS
dfRSS
,
1
2
/
/
=


( )
{ }
dfdf

FW
,
/


>=


3.6. Kiểm định White

Giả thiết: Phơng sai của sai số không chỉ phụ thuộc
vào các biến giải thích có trong mô hình hồi qui mà
còn phụ thuộc vào bình phơng và tích chéo của các
biến giải thích.

Xét mô hình hồi qui 3 biến:

Thủ tục kiểm định:

Bớc 1: Hồi qui mô hình đã cho thu đợc các phần d e
i


Bớc 2: Hồi qui mô hình
iiii
UXXY
+++=
33221

2
i
e
iiiiiiii
VXXXXXXe
++++++=
326
2
35
2
2433221
2




Bớc 3: Kiểm định cặp giả thuyết:
H
0
: Phơng sai sai số không thay đổi theo biến giải thích
H
1
: Phơng sai sai số thay đổi

Tiêu chuẩn kiểm định (1): F

Tiêu chuẩn kiểm định (2):

trong đó m là số biến giải thích của mô hình ở bớc 2.

Mô hình kiểm định ở bớc 2 có thể có biến tích chéo giữa các
biến giải thích có thể không có.vd c7.doc

iiiiiiii
VXXXXXXe
++++++=
326
2
35
2
2433221
2


( )
m
nR
222

=
( )
{ }
m
W
2
22
/


>=

3.7. Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc

Giả thiết: Phơng sai sai số có quan hệ tuyến tính với
[E(Y/X
i
)]
2
.

Xét mô hình hồi qui k biến:

Thủ tục kiểm định:

Bớc 1: Ước lợng mô hình ban đầu bằng OLS tìm đ
ợc phần d e
i
và

Bớc 2: Ước lợng mô hình sau bằng OLS
Thu đợc R
2
và các tham số khác của mô hình
ikikiii
UXXXY +++++=


33221

i
Y
iii
vYe
++=

2
21
2




Bớc 3: Kiểm định cặp giả thuyết:
H
0
: Phơng sai sai số không thay đổi theo biến phụ thuộc
H
1
: Phơng sai sai số thay đổi

Tiêu chuẩn kiểm định (1): T

Tiêu chuẩn kiểm định (2): F

Tiêu chuẩn kiểm định (3):

Miền bác bỏ:
iii
vYe ++=

2
21
2

)1(
222

= nR

{ }
)1(/
2
22


>=
W


4. Biện pháp khắc phục

Giới thiệu phơng pháp bình phơng nhỏ nhất có
trọng số
4.1. Khi đã biết
4.2. Khi cha biết

Giả thiết 1: Phơng sai của sai số tỷ lệ với bình phơng
của biến giải thích

Giả thiết 2: Phơng sai của sai số tỷ lệ với biến giải
thích

Giả thiết 3: Phơng sai của sai số tỷ lệ với bình phơng
kỳ vọng có điều kiện của biến phụ thuộc

Giả thiết 4: Phơng sai sai số thay đổi là do chỉ định sai
dạng hàm
2
i

2
i


4.1. Khi đã biết

Xét mô hình: (1)

Mô hình này có phơng sai sai số thay đổi
đã biết

Chia cả hai vế mô hình (1) cho ta có:

(2)

Mô hình (2) có phơng sai sai số không đổi vì:

Ước lợng mô hình (2) bằng phơng pháp WLS với trọng số
thu đợc các ớc lợng BLU

2
i

iii
UXY ++=
21

( )
2
ii
UVar

=
i

i
i
i
i
ii
i
UXY





++=
21
1

( )
1
1
2
==








i
i
i
i
UVar
U
Var



2
1
i
i
w

=

Ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng nhá nhÊt cã träng sè
(Weighted Least Squared-WLS)

¦íc lîng
ta dïng ph¬ng ph¸p WLS
iiiiiii
UwXwwYw
++=
21
ββ
( )
MinewXwwYwQ
n
i
ii
n
i
iiiii
⇒=−−=
∑∑
==
1
2
1
2
21
.
ˆˆ
ββ








=






−−−=
∂
∂
=






−−−=
∂
∂
⇒
∑
∑

∧∧
∧
∧∧
∧
02
02
21
2
21
1
iiii
iii
XYXw
Q
XYw
Q
ββ
β
ββ
β
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
−=
n

i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
w
Xw
w
Yw
1
1
2
1
1
1
1
ˆˆ
ββ
2
11
2
1
1111
2

ˆ






−

























−












=
∑∑∑
∑∑∑∑
===
====
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
n

i
ii
n
i
ii
n
i
iii
n
i
i
XwXww
YwXwYXww
β

4.1. Khi cha biết

Xét mô hình: (1)

Mô hình này có phơng sai sai số thay đổi
cha biết

Giả thiết 1: Phơng sai của sai số tỷ lệ với bình phơng của
biến giải thích.

Chia cả hai vế mô hình (1) cho ta có:

(3)

Mô hình (3) có phơng sai sai số không đổi vì:

Ước lợng mô hình (3) bằng phơng pháp WLS với trọng số
thu đợc các ớc lợng BLU
2
i

iii
UXY ++=
21

( )
2
ii
UVar

=
i
X
i
i
i
i
ii
i
X
U
X
X
XX
Y

++=
21
1

( )
2
2
1

==








i
i
i
i
UVar
X
X
U
Var

2
1

i
i
X
w
=
( )
2
2
2
iii
XUVar

==