5 bài giảng xác suất thống kê của đại học kinh tế quốc dân

5 BÀI GIẢNG TOÁN XÁC SUẤT ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN

MỤC LỤC
Bài giảng 1: Biến cố ngẫu nhiên, xác suất cổ điển và một số dạng bài tập
Bài giảng 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Bài giảng 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
Bài giảng 4: Biến ngẫu nhiên, hàm các biến ngẫu nhiên và các định lý giới hạn
Bài giảng 5: Phân phối chuẩn và một số bài tập minh họa
Một số đề thi xác suất thống kê của Đại học kinh tế quốc dân

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

§ 1. Phép thử và biến cố
1. Định nghĩa:
Trước một trận bóng đá, ta thường thấy trọng tài tung một đồng xu sau đó để cho đội trưởng hai đội
quan sát xem xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa. Ở đây, trọng tài đã thực hiện một phép thử đó là : tung
đồng xu.
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó khi tiến hành một thí nghiệm, đo lường
hay quan sát một hiện tượng gọi là phép thử.
Ví dụ 1: + Xem viên đạn có trúng bia hay không người ta phải thực hiện một phép thử : bắn viên đạn
đó vào bia.
+ Quan sát số chấm trên một con xúc xắc: Gieo một con xúc xắc.
Khi bắn một viên đạn vào bia có thể xảy ra các hiện tượng: viên đạn trúng bia, viên đạn trượt bia
Hiện tượng có thể xảy ra khi tung một đồng xu ?
Hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của một phép thử gọi là biến cố.
Ví dụ 2:
+) Thực hiện phép thử: tung một đồng xu (cân đối, đồng chất, trên một mặt phẳng cứng), hiện tượng
xuất hiện mặt sấp là một biến cố hay “biến cố xuất hiện mặt sấp’’; “biến cố xuất hiện mặt ngửa”.
+) Biến cố viên đạn trượt bia khi bắn một viên đạn vào bia
+) Phép thử: Gieo một con xúc xắc.
-Biến cố xuất hiện mặt 5 chấm

-Biến cố xuất hiện mặt 8 chấm
-Biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn
Ghi chú: Một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện.
2. Phân loại biến cố .
Trong thực tế có thể xảy ra các loại biến cố sau:
+ Biến cố chắc chắn: Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu: U
+ Biến cố không thể có: Biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu: V
+ Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử, thường kí
hiệu: A, B, C A
1
, B
2
….
Ví dụ 3: Gieo một con xúc xắc, xét các biến cố sau: loại biến cố?
a.Biến cố “được mặt có số chấm

6”: B/c chắc chắn: U
b.Biến cố “được mặt 7 chấm”: B/c không thể có: V
c. Biến cố “được mặt 5 chấm”: B/c ngẫu nhiên A
d. Biến cố “Được mặt chấm chẵn” B/c ngẫu nhiên B
Nhận xét: Việc các biến cố trên xảy ra hay không xảy ra là không thể đoán trước được.
Biến cố nào dễ xảy ra hơn, phải chăng khả năng xảy ra biến cố B là cao hơn A? Để so sánh, người ta
biểu thị khả năng xảy ra các biến cố bởi một con số.

§2. Xác suất của biến cố
Khả năng xảy ra của một biến cố được gọi là xác suất của biến cố Xác suất của biến cố A được kí hiệu là
P(A)
Xác suất là một con số xác định phụ thuộc vào những điều kiện xảy ra của phép thử chứ không phụ
thuộc vào ý muốn chủ quan của con người.
1. Định nghĩa cổ điển về xác suất

Trước hết ta xét ví dụ sau:
Trong một thùng kín đựng 10 quả cầu giống nhau về mọi mặt, chỉ khác nhau về màu sắc, trong đó có
4 quả màu trắng, 6 quả màu đen. Thực hiện phép thử: rút hú hoạ một quả. Hỏi xác suất rút được quả
trắng?
Vì trong thùng có 10 quả, nên có thể xảy ra 10 kết cục, những kết cục này thoả mãn 2 điều kiện:
+ Tính duy nhất: Kết quả phét thử chỉ xảy ra 1 trong các kết cục trên
+ Tính đồng khả năng: Khả năng rút được mỗi quả là như nhau.
Nếu gọi A là biến cố rút ra được quả cầu trắng, ta thấy có 4 khả năng mà nếu xảy ra sẽ xảy ra A. Tự
nhiên, người ta lấy tỷ số 4/10 là xác suất của biến cố A.
Định nghĩa: Giả sử trong 1 phép thử có n kết cục duy nhất đồng khả năng, trong đó có m kết cục
thuận lợi cho biến cố A. Ta gọi tỷ số m/n là xác suất của biến cố A. Kí hiệu: P(A)=m/n.
Tính chất: a.
1
)
(
0


A
P

b.P(U)=1, P(V)=0.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để
a. Xuất hiện mặt 5 chấm
b. Xuất hiện mặt chấm chẵn.
Giải:
Số kết cục duy nhất đồng khả năng: n=6
a. Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt 5 chấm”. số kết cục thuận lợi cho A là: m
A
=1. Do đó:

P(A)=1/6.
b. Gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt chấm chẵn”. Số kết cục thuận lợi cho B là m
A
=3 (mặt 2, 4, 6
chấm). P(B)=3/6=1/2.
Ví dụ 2: Một hộp có 6 quả cầu đen, 4 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 quả cầu. Tính xác suất
để:
a. Lấy được 3 quả cầu đen.
b. Lấy được 2 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng.
Giải:
Số kết cục đồng khả năng:
3
10
C
a. Gọi A là biến cố “ lấy được 3 quả cầu đen”
Số kết cục thuận lợi cho A:
3
6
C

6
1
)(
3
10
3
6

C
C

AP
b. Gọi B là biến cố “lấy được 2 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng”
Số kết cục thuận lợi cho B:
1
4
2
6
.CC

2
1
)(
3
10
1
4
2
6

C
CC
BP
Ví dụ 3: Trong một nhóm N sản phẩm cùng loại có M sản phẩm đạt tiêu chuẩn, N-M sản phẩm không
đạt tiêu chuẩn. Rút ngẫu nhiên n sản phẩm. Tính xác suất sao cho trong số sản phẩm được rút ra có m
sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
Giải:
Gọi A là biến cố “trong n sản phẩm được rút ra có m sản phẩm đạt tiêu chuẩn”.
Số kết cục đồng khả năng:
n
N

C
Do có thể lấy m sản phẩm đạt tiêu chuẩn từ M sản phẩm theo
m
M
C cách, còn n-m sản phẩm không đạt
tiêu chuẩn từ N-M sản phẩm theo
m-n
M-N
C cách. Nên số kết cục thuận lợi cho A là:
m-n
M-N
m
M
CC

n
N
m-n
M-N
m
M
C
CC
P(A) 
Nhận xét: Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm là dễ vận dụng, tuy nhiên định nghĩa này chỉ áp
dụng được với các phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả năng xảy ra. Trong nhiều bài toán thực tế, việc
tính hết các kết cục của một phép thử không dễ dàng, chẳng hạn: phép thử bắn một viên đạn vào bia thì
2 kết cục trúng bia và trượt bia không thể xem là đồng khả năng được. Để khắc phục hạn chế đó người
ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê.
2. Định nghĩa thống kê về xác suất :

Giả sử tiến hành n phép thử cùng loại, trong mỗi phép thử có thể xuất hiện biến cố A, gọi k là số
phếp thử xuất hiện biến cố A. Khi đó tỷ số k/n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử
đã cho, kí hiệu f(A)=k/n.
Ví dụ 4: Một người bắn 100 viên đạn vào bia, thấy có 70 viên trúng bia. Như vậy tần suất bắn trúng bia
của người đó là 70/100=0,7.
Người ta nhận thấy nếu tiến hành các phép thử trong những điều kiện như nhau và số phép thử
khá lớn thì giá trị tần suất thể hiện tính ổn định. Nghĩa là khi n khá lớn thì tần suất biến thiên rất ít xung
quanh một hằng số nào đó.
Ví dụ 5: Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta thu được bảng sau:
Người thí nghiệm Số lần tung(n) sô lần sấp(k) tần suất(f)
Buffon 4040 2048 0.5080
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005

Từ đó có thể thấy rằng khi số lần tung càng lớn, tần suất xuất hiện mặt sấp càng gần với xác suất xuất
hiện mặt sấp.
Định nghĩa:
Xác suất của biến cố là giá trị số ổn định của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn.
Trong thực tế, nếu số phép thử đủ lớn, ta có thể lấy: f(A)

P(A)
Ghi chú: + Phương pháp xác định xác suất theo quan điểm thống kê có phạm vi ứng dụng hết sức rộng
rãi: Tìm ra quy luật diễn biến của thời tiêt, tỷ lệ phế phẩm, lập kích thước quần áo may sẵn….
+ Tuy nhiên, có một số hạn chế như: phải tiến hành số phép thử đủ lớn, xác suất được tìm ra
khi đã thực hiện phép thử…
3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học:
Ví dụ 6: Giả sử châm ngẫu nhiên một mũi kim vào hình chữ nhật U-chiều dài 5cm, chiều rộng 4cm. Gọi
A là biến cố “mũi kim rơi vào hình tròn C bán kính 1cm”. P(A)=?

Định nghĩa: Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu thị tập hợp mọi

kết cục đồng khả năng bởi một miền hình học U, những kết cục thích hợp cho biến cố A bởi các điểm
thuộc miền con C. Khi đó P(A)= Kích thước miền C
Kích thước miền U
Trở lại ví dụ, ta có P(A) = Diện tích hình tròn C = 1
2
.3,14
Diện tích hình chữ nhật U 4.5

4. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn.
- Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép
thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
-Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó chắc
chắn xảy ra.
Chú ý: Việc quy định một mức xác suất đủ coi là nhỏ hay lớn tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể.
Bài tập…




U

C
§3. Các định lý và công thức xác suất
Ở các mục trước chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp tính xác suất của các biến cố bằng
định nghĩa. Tuy nhiên những cách tính trực tiếp này không phải lúc nào cũng tiện lợi và có thể dùng
ngay được.
Khi cần tính xác suất của một biến cố A khá phức tạp, thông thường chúng ta phải phân tích A thành các
biến cố đơn giản B, C, D…(dễ tính xác suất ), sau đó kết hợp các xác suất trên để tính P(A).
Để kết hợp các xác suất, người ta dùng các định lý xác suất.
I. Định lý nhân xác suất:

1.1. Định nghĩa: (Tích của 2 biến cố )
Một biến cố A được gọi là tích của hai biến cố B và C nếu A xảy ra khi và chỉ khi B và C cùng xảy ra.
Kí hiệu: A= B.C (A=B

C)

1.2. Định nghĩa: (tích của n biến cố )
Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A
1,
A
2
,….A
n
nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên đồng
thời xảy ra, kí hiệu



n
i
i
AA
1

1.3. Xác suất có điều kiện:
Xác suất của biến cố A được tính với giả thiết biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều
kiện của A với giả thiết B, kí hiệu P(A/B).
Ví dụ 7: Trong hộp có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả cầu (không hoàn
lại). Tìm xác suất để lần thứ 2 lấy được quả cầu trắng nếu biết:
a. Lần 1 đã lấy được cầu trắng.

b. Lần 1 đã lấy được cầu đen.
Giải: Gọi A là biến cố “lần 2 lấy được cầu trắng”
B là biến cố “lần 2 lấy được cầu đen”
a. P(A/B)=4/7
b. P(A/B) = 5/7
1.4. Định nghĩa:
Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không
ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra biến cố kia và ngược lại.
)/()()/( BAPAPBAP 
)/()()/( ABPBPABP 
Hai biến cố A và B không độc lập gọi là phụ thuộc nhau.
Ví dụ 8: Trong ví dụ trên nếu giả thiết lấy lần lượt 2 sản phẩm có hoàn lại thì A và B độc lập.
1.5. Định nghĩa:
Các biến cố A
1,
A
2
,….A
n
được gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp bất kì trong chúng độc lập với nhau.
1.6. Định nghĩa:
Các biến cố A
1,
A
2
,….A
n
được gọi là độc lập toàn phần (độc lập trong toàn thể) mỗi biến cố trong chúng
độc lập với tích của một số bất kì trong các biến cố còn lại.
1.7. Định lý nhân xác suất :

Xác suất của tích 2 biến cố bằng tích xác suất của một trong chúng với xác suất có điều kiện của
biến cố kia với giả thiết biến cố thứ nhất đã xảy ra. P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
Chứng minh: Giả sử n là số kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử; m
1
là số kết cục thuận
lợi cho biến cố A xảy ra; m
2
là số kết cục thuận lợi cho biến cố B xảy ra. Có k kết cục thuận lợi cho cả
hai biến cố A và B cùng xảy ra. Hay P(AB)=k/n, P(A)=m
1
/n
Với điều kiện A đã xảy ra thì số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử đối với biến cố B là m
1
,
trong đó có k kết cục thuận lợi cho biến cố B, hay P(B/A)=k/m
1
.
Ta có: P(AB)=k/n=(m
1
/n).(k/m
1
)=P(A).P(B/A)
Tương tự P(AB)= P(B).P(A/B)
Hệ quả 1: Nếu P(B)>0 thì
)(
)(
)/(
BP
ABP
BAP 

Nếu P(A)>0 thì
)(
)(
)/(
AP
ABP
ABP 

Hệ quả 2: A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)
Ta cũng có định lý nhân cho tích n biến cố
Định lý: Nếu P(A
1
A
2
….A
n-1
)>0 thì
P(A
1
A
2
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
/A
1

)…P(A
n
/A
1
…A
n-1
).
v à nếu các biến cố A
1
, A
2
….A
n-1
độc lập toàn phần thì
P(A
1
A
2
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
)…P(A
n
).
Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 cầu trắng, 3 đen. Lấy nn lần lượt 2 quả cầu. Tính xác suất để lần thứ nhất lấy
được cầu trắng, lần thứ 2 lấy được cầu đen.
Giải: Gọi A là biến cố “lần 1 lấy được cầu trắng”

B là biến cố “lần 2 lấy được cầu đen”
Ta có P(AB)=P(A).P(B/A)=5/8.3/7=15/56.
Ví dụ 2: Một người muốn gọi điện thoại nhưng quên 3 chữ số cuối. Tính xác suất để người đó bấm nn
một lần đúng số máy, biết:
a. Người đó không nhớ gì về 3 số đã quên.
b. người đó nhớ rằng 3 chữ số đó khác nhau.
Giải: Gọi A là biến cố “người đó bấm đúng số máy”
B là biến cố “người đó bấm đúng số hàng trăm”
C là biến cố “người đó bấm đúng số hàng chục”
D là biến cố “người đó bấm đúng số hàng đơn vị”
Khi đó A=BCD, P(A)=P(BCD)
a. Do B, C, D độc lập nên P(A)=P(B)P(C)P(D)=1/10.1/10.1/10=1/1000.
b.B, C, D không độc lập P(A)=P(B)P(C/B)P(D/BC)=1/10.1/9.1/8=1/720
II. Định lý cộng xác suất .
2.1.Biến cố tổng:
Định nghĩa 1: Biến cố A được gọi là tổng của 2 biến cố B và C nếu A chỉ xảy ra khi ít nhất một trong 2
biến cố B hoặc C xảy ra. K/h: A=B+C (hoặc A=B

C).
Ví dụ 3: Hai người cùng bắn vào một bia, B là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”
C là biến cố “người thứ 2 bắn trúng”
A là biến cố “bia bị trúng đạn”. Khi đó A=B+C.
Ví dụ 4: Gieo một con xúc xắc.
B là biến cố “xuất hiện mặt 1 chấm”
C là biến cố “xuất hiện mặt 2 chấm”
A là biến cố “được nhiều nhất mặt 2 chấm” A=B + C.
Định nghĩa 2: Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A
1
, A
2

….A
n
nếu A xảy ra khi ít nhất một trong
n biến cố ấy xảy ra.
K/h: A= A
1
+ A
2
….+A
n
2.2.Tính xung khắc của các biến cố :
Định nghĩa 3: Hai biến cố B, C được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi thực
hiện phép thử. (BC=V)
Định nghĩa 4: Các biến cố A
1
, A
2
….A
n
gọi là đôi một xung khắc (xung khắc từng đôi) nếu 2 biến cố
bất kì trong chúng xung khắc.( A
i
A
j
=V)
Ví dụ 5: 2 biến cố trong ví dụ 1 không xung khắc
2 biến cố trong ví dụ 2 xung khắc
Định nghĩa 5: (biến cố đối lập)
Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu
A

, là biến cố thoả mãn A+
A
=U, A
A
=V.
Nhận xét: A và
A
xung khắc
Ví dụ 6: A là biến cố xuất hiện mặt chấm chẵn
B là biến cố xuất hiện mặt chấm lẻ
A và B là 2 biến cố đối lập , do đó B=
A

Nhận xét: Nếu B, C là hai biến cố độc lập thì các cặp biến cố B,
C
; CB, ;
B
,
C
cũng độc lập.
Định nghĩa 6:
Các biến cố A
1
, A
2
,…A
n
gọi là lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:
+ Tổng của chúng là biến cố chắc chắn: A
1

+ A
2
+…+A
n
= U
+ Đôi một xung khắc.
Ví dụ 7:
*Gieo một con xúc xắc:
+ A
i
là biến cố “xuất hiện mặt I chấm”
Các biến cố A
1
, A
2
,A
3
…A
6
lập thành một hệ đầy đủ.
+ A là biến cố “xuất hiện mặt chấm chẵn”
B là biến cố “xuất hiện mặt chấm lẻ”
A, B lập thành một hệ đầy đủ các biến cố.
*Một hộp đựng 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 viên
H
1
là biến cố “lấy đựoc bi xanh”
H
2
là biến cố “lấy đựoc bi đỏ”

H
3
là biến cố “lấy đựoc bi vàng”
H
1
, H
2
, H
3
lập thành một hệ đầy đủ các biến cố.
Định lý ( cộng xác suất):
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Chứng minh:
Giả sử có n kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử.
Số kết cục thuận lợi cho A là m
1
, số kết cục thuận lợi cho B là m
2
. Do A và B không xung khắc, nên có
k kết cục thuận lợi cho cả AB xảy ra. Kết cục thuận lợi cho ít nhất một trong 2 biến cố A, B xảy ra là
m
1
+m
2
-k (đpcm)
cách 2: Chứng minh bằng mô tả biểu đồ Ven.
Hệ quả 1: Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì P(A+B)=P(A)+P(B)
Hệ quả 2: Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc:
) ()1( )()()()(
21

1
11
n
n
kji
kji
ji
ji
n
i
i
n
i
AAAPAAAPAAPAPAP





Ví dụ 8:
)()()()()()()()(
321323121321321
AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP











Hệ quả 3: Nếu các biến cố A
1
, A
2
,…A
n
đôi một xung khắc thì



n
i
i
n
i
APAP
11
)()(
Ví dụ 9: Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay bị trúng đạn là 0,2; để động cơ thứ 2 bị trúng đạn là
0,3; để phi công bị trúng đạn là 0,1. Tìm xác suất để máy bay bị rơi, biết rằng máy bay bị rơi khi hoặc cả
hai động cơ bị trúng đạn hoặc phi công bị trúng đạn.
Giải:
Gọi A
i
là biến cố “động cơ thứ i bị trúng đạn”, i=1,2
A
3

là biến cố “phi công bị trúng đạn”
A là biến cố “máy bay rơi”
A=A
1
A
2
+A
3
, P(A)=P(A
1
)P(A
2
)+P(A
3
)-P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
)
=0,2.0,3+0,1-0,2.0,3.0,1=0,154.
Ví dụ 10: Một sản phẩm xuất xưởng phải qua 3 lần kiểm tra. Xác suất để một phế phẩm bị loại ở lần
kiểm tra đầu là 0,8; nếu không bị loại thì xác suất nó bị loại ở lần thứ 2 là 0,9; nếu lần thứ 2 nó cũng
không bị loại thì xác suất để nó bị loại ở lần kiểm tra thứ 3 là 0,95. Tính xác suất để một sản phẩm bị
loại qua 3 lần kiểm tra.
Giải:
Gọi A
i
là biến cố “phế phẩm bị loại ở lần kiểm tra i” i=1,2,3. A là biến cố “phế phẩm bị loại qua 3 lần

kiểm tra”. Khi đó A là tổng của ba biến cố xung khắc
3
21
2
1
1
AAAAAAA 
)/()/()()/()()()()()()(
213121
1
2
1
13
21
2
1
1
AAAPAAPAPAAPAPAPAAAPAAPAPAP 
=0,8+0,2.0,9+0,2.0,1.0,95=0,999
Cách2: )(1)(
321
AAAPAP  )/()/()(1
21
3
121
AAAPAAPAP
=1-0,2.0,1.0,05=0,999.

2.3. Quy tắc đối ngẫu: (De Morgan)
Ví dụ 11: A

1
là biến cố “người thứ nhất đỗ”
A
2
là biến cố “người thứ hai đỗ”
Suy ra: Biến cố “cả hai người đỗ”:A
1
A
2

Biến cố ít nhất một người không đỗ:
21
AA  hoặc
21
AA
Biến cố cả hai người không đỗ:
21
AA  hoặc
21
AA
Ta có công thức De Morgan:
nn
AAAAAA
2121

nn
AAAAAA
2121

Từ đó ta có:

Nếu A
1
, A
2
,…A
n
không xung khắc, độc lập thì P(


 )(1)
i
i
APA .
Ví dụ 12: Hai người bắn một viên đạn vào bia. Xác suất bắn trúng lần lượt là 0,8; 0,7. Tìm xác suất để
bia bị bắn
Giải:
Gọi A
1
là biến cố “người thứ nhất bắn trúng bia”
A
2
là biến cố “người thứ hai bắn trúng bia”
A là biến cố “bia bị bắn”
A=A
1
+A
2

Cách 1:
212121

AAAAAAA 
)()()()()()()(
212
1
21
APAPAPAPAPAPAP 
Cách 2: )A()()()(
2121
APAPAPAP 
Cách 3: )A()(1)(
21
PAPAP 
Ví dụ 13: Một người bắn 3 viên đạn độc lập vào bia. Tính xác suất để 2 viên trúng bia trong 2 trường
hợp sau:
a. Xác suất trúng của mỗi viên là 0,7;0,8;0,9.
b. Xác suất trúng của mỗi viên đều là 0,7.
Giải: b. P(B)=3.(0,7)
2
.0,3
Ví dụ 14: Người đó bắn 300 viên, xác suất trúng của mỗi viên là 0,7. Tính xác suất để có 200 viên trúng
bia.

100200200
300
)3,0()7,0.()( CBP 
III.Công thức Bernoulli:
3.1. Lược đồ Bernoulli
+ Tiến hành n phép thử độc lập
+ Ở mỗi phép thử chỉ phân làm 2 kết quả A và
A

+Xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử P(A) = p (P(
A
)=1- p = q)
Lược đồ trên gọi là lược đồ Bernoullli với 2 tham số n,p.
3.2. Công thức Bernoulli:
Xác suất để biến cố A xảy ra x lần trong n phép thử trên, được kí hiệu và tính bởi công thức:

xnxx
nn
ppCxP

 )1()(
Ví dụ 15: Một người bắn 3 viên đạn độc lập với nhau vào một bia, xác suất mỗi viên trúng là 0,7. Tính
xác suất để
a. Có một viên trượt bia
b. Bia bị trúng đạn.
Giải: Gọi A là biến cố “mỗi viên trúng bia”->P(A)=0,7.
a. Xácsuấtđể một viên trượt : 657,0)7,01()7,0(1)3(1
3333
33


CP
b. Xác suất để bia bị trúng đạn:
973,0)7,0(3,0.)7,0()3,0).(7,0()3()2()1(
33
3
22
3

21
3333
 CCCPPP
IV.Công thức xác suất toàn phần-Công thức Bayes:
4.1.Công thức xác suất toàn phần:
Giả sử biến cố A có thể xảy ra với một trong các biến cố H
i
(i=1 n), trong đó các biến cố H
1
, H
2
, H
n
lập
thành một hệ đầy đủ các biến cố.
Khi đó ta có thể phân tích biến cố A như sau:
A=AH
1
+AH
2
+…AH
n

P(A)=P(H
1
)P(A/H
1
)+…+P(H
n
)P(A/H

n
)
Hay



n
i
ii
HAPHPAP
1
)/()()( gọi là công thức xác suất toàn phần.
Ví dụ 16:
Có 5 hộp bóng đèn, trong đó có 3 hộp loại 1, mỗi hộp có 9 bóng tốt, 1 bóng xấu; 2 hộp loại 2, mỗi hộp
có 4 bóng tốt, 2 bóng xấu. Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó rút ra một bóng. Tính xác suất để bóng lấy ra
là xấu.
Giải:
Gọi A là biến cố “bóng lấy ra là xấu”
H
1
là bc “lấy được hộp loại 1”
H
2
là bc “lấy được hộp loại 2”
P(H
1
)=3/5, P(H
2
)=2/5
Ta có: P(A)=P(H

1
)P(A/H
1
)+P(H
2
)P(A/H
2
)
P(A/H
1
)=1/10, P(A/H
2
)=2/6
P(A)=3/5.1/10+2/5.2/6=0,193
4.2.Công thức Bayes:
Với giả thiết như trên, thêm điều kiện là biến cố A xảy ra. Vì các biến cố H
1
, H
n
lập thành hệ đầy đủ
các biến cố nên cùng với A phải có biến cố nào đó trong các biến cố H
i
xảy ra. Ta quan tâm đến vấn đề:
Khi A xảy ra thì khả năng xảy ra của từng biến cố H
i
là bao nhiêu, tức P(H
i
/A)=?
Ta có : P(A).P(H
i

/A)=P(H
i
).P(A/H
i
)
->
)(
)/().(
)/(
AP
HAPHP
AHP
ii
i


Công thức trên gọi là công thức Bayes
Các xác suất P(H
i
/A) gọi là các xác suất hậu nghiệm.
Các xác suất P(H
i
) gọi là các xác suất tiên nghiệm.
Ví dụ 17: Với các giả thiết cho trong ví dụ 1.Giả sử bóng lấy ra là xấu. Tìm xác suất để bóng đó thuộc
loại 1.
Ta có
3103,0
150/29
5/3.10/1
)(

)()./(
)/(
11
1

AP
HPHAP
AHP

Ví dụ 18:
Hộp 1 đựng 3T, 7Đ; Hộp 2 đựng 7T, 3Đ; Hộp 3 đựng 10Đ. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
1 quả cầu.
a. Tính xác suất để được quả cầu Đ.
b. Nếu quả cầu lấy ra là Đ, xác suất để nó thuộc mỗi hộp là bao nhiêu.
c. Nếu quả cầu lấy ra là Đ, người ta trả nó về hộp vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên ra 1 quả cầu.
Tính xác suất để quả cầu này là Đ.
Giải: Gọi A là biến cố “quả cầu lấy ra Đ”
H
1
là biến cố hộp được lấy ra là hộp 1
H
2
là biến cố hộp được lấy ra là hộp 2
H
3
là biến cố hộp được lấy ra là hộp 3
a. A=AH
1
+AH
2

+AH
3

P(A)=P(H
1
)P(A/H
1
)+P(H
2
)P(A/H
2
)+P(H
3
)P(A/H
3
)
=1/3.7/10+1/3.3/10+1/3.10/10=20/30
b.
20
7
)(
)/()(
)/(
11
1

AP
HAPHP
AHP

20
3
)(
)/()(
)/(
22
2

AP
HAPHP
AHP


20
10
)(
)/()(
)/(
33
3

AP
HAPHP
AHP

b. Đặt P(H
i
/A)=P(H’
i

) ,i=1,2,3.
Gọi B là biến cố quả lấy được lần thứ 2 là Đ
'''
321
BHBHBHB




)'/()'()'/()'()'/()'()(
332211
HBPHPHBPHPHBPHPBP





200
/
158
10
/
10
.
20
/
10
10
/
3

.
20
/
3
10
/
7
.
20
/
7





Ví dụ 19: Tỷ lệ công nhân nghiện thuốc lá ở một nhà máy là 30%, biết rằng tỷ lệ người viêm họng trong
số công nhân nghiện thuốc là 60%, còn trong số người không nghiện thuốc là 40%.
a. Chọn ngẫu nhiên một công nhân, thấy người này bị viêm họng. Tính xác suất để công nhân
đó bị nghiện thuốc.
b. Nếu công nhân đó không bị viêm họng, tính xác suất để công nhân đó nghiện thuốc.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn ra được công nhân bị viêm họng, B là biến cố được chọn ra nghiện thuốc.
AB
B
A
A


, P(B)=0,3 ;P(

B
)=0,7; P(A/B)=0,6 ; P(A/
B
)=0,4
P(A) = 0,3.0,6+0,7.0,4 = 0,46
a. Xác suất để công nhân đó nghiện thuốc nếu bị viêm họng

39,0
46,0
6,0.3,0
)(
)/().(
)/( 
AP
BAPBP
ABP

b. Xác suất để công nhân đó nghiện thuốc nếu không bị viêm họng
22,0
54,0
4,0.3,0
)(
)/().(
)/( 
AP
BAPBP
ABP

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

§1. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên
1.Định nghĩa biến ngẫu nhiên:
Ví dụ 1: Thực hiện phép thử: gieo một con xúc xắc. Gọi X là số chấm xuất hiện. Rõ ràng ta chưa biết
X sẽ nhận giá trị nào trong các giá trị có thể có là X=1 chấm, 2 chấm, ….6 chấm.
Ví dụ 2: Bắn một viên đạn vào bia. Gọi Y là khoảng cách từ tâm bia đến điểm chạm bia của viên đạn,
thì Y có thể nhận các giá trị trong khoảng
)
,
0
[


§2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể
có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó.
1. Bảng phân phối xác suất:
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là ại lượng mà trong kết quả của phép thử, nó sẽ nhận một và chỉ một
trong các kết quả có thể có của nó (tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên)
Các biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu X, Y , X
1
, X
2
, còn các giá trị có thể có của chúng
được kí hiệu x
1
, x
2
, y
1

, y
2
,…
Chú ý: +/ Gọi X là biến ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ta chưa biết X sẽ nhận giá trị nào
trong các giá trị có thể có của nó x
1
, x
2,

+/ Khi biến ngẫu nhiên ngẫu nhiên X nhận các giá trị cụ thể x
1
,x
2
,…x
n
thì các biến cố (X=x
1
),
…(X=x
n
) tạo nên một hệ đầy đủ các biến cố trong phép thử.
2. Phân loại biến ngẫu nhiên.
a. Biến ngẫu nhiên X gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hữu hạn hoặc đếm
được.
b. Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số.
Ví dụ 3: X trong Vd1 là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 1,2,3,4,5,6. Z trong Vd 4 là
biến ngẫu nhiên liên tục.
Ví dụ 4: Z là số người vào mua hàng trong một siêu thị, Z là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị
1,2,3…
Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời

rạc.Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x
1,
x
2
….x
i
, (x
i


I), p
i
=P(X=x
i
) là xác suất của biến cố X
nhận giá trị x
i
.
Quy luật này được thể hiện dưới dạng bảng sau



-Hàng trên liệt kê các giá trị có thể có của X
-Hàng dưới là các xác suất tương ứng.
Chú ý: Các p
i
phải thỏa mãn điều kiện
0 1
1
i

i
i I
p
p

 








Ví dụ 1: X là sô chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc
Ta có bảng phân phối xác suất



Ví dụ 2: Một hộp có 8 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Từ hộp lấy ngẫu nhiên 2 sp. Lập bảng phân phối
xác suất của số sp xấu thu được.
Gọi Y là số sản phẩm xấu được lấy ra
Ta có bảng phân phối xác suất của Y



Ví dụ 3: Một nguời được giao 3 viên đạn và bắn vào bia đến khi nào trúng thì ngừng bắn. Biết các lần
bắn độc lập và xác suất trúng mỗi lần là 0,7. Tìm quy luật phân phối xác suất của số đạn phải bắn.
Gọi X là số đạn phải bắn.
Ta có P(X=1)=0,7; P(X=2)=0,3.0,7=0,21; P(X=3)=0,3

2

Ví dụ 4: Một người phải tiến hành thí nghiệm cho tới khi nào thành công thì dừng. Lập bảng phân
phôi xác suất sô lần phải tiến hành. Biết các lần tiến hành độc lập với nhau và xác suất thành công mỗi
lần là p (0<p<1).
X x
1
x
2
… x
i
…
P(X) p
1
p
2
p
i

X 1

2

3 4 5 6
P(X) 1/6

1/6

1/6 1/6

1/6

1/6
Y 0

1

2
P(Y) 28/45

16/45

1/45
Giải: Gọi X là “số lần phải tiến hành”
X có thể nhận các giá trị 1,2,3…n,
P(X=1) = p
P(X=2) = pq
….
P( X= n) = q
n-1
p
Bảng phân phối xác suất



Dễ dàng chứng minh được p+qp+q
2
p+…+q
n-1
p+….=1

Ví dụ 5: Một người bắn một viên đạn vào bia, với xác suất trúng là 0,7. Thử lập bảng phân phối xác
suất của khoảng cách từ điểm chạm đến tâm bia, biết bán kính bia là 30cm.
Ta thấy X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị trong khoảng [0;30]
Do đó không có bảng phân phối xác suất của X, tuy nhiên ta có thể so sánh xác suất để X nhận các giá
trị nhỏ hơn 5 và xác suất để X nhận các giá trị nhỏ hơn 10 ?.
II. Hàm phân phối xác suất :
1.Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x,
với x là số thực bất kì.
Kí hiệu F(x)=P(X<x).
Chú ý: Định nghĩa trên tổng quát cho cả trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Khi đó hàm phân
phối xác suất của X được xác định


 



xx xx
i
i i
pxXPxF )()(

Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:




Giải:
+) Nếu x


0, (X < x) là biến cố không thể có, F(x) = P(X < x) = 0
X 1

2

3 … n …
P(X) P

qp

q
2
p ….

q
n
-
1
p …
X 0

1

2
P(X) 28/45

16/45

1/45
+. Nếu

1
0


x
, F(x)=P(X < x) = P(X=0) = 28/45
+. Nếu
2
1


x
, F(x) = P(X<x) = P(X=0) + P(X=1)=28/45+16/45=44/45
+. Nếu x > 2, F(x) =1
Vậy hàm phân phối xác suất của X có dạng
F(x) =











21
2145/44
1045/28

0 0
xkhi
xkhi
xkhi
xkhi

2. Các tính chất của hàm phân phối xác suất :
Tính chất 1
0 ( ) 1
F x x
  
,
0)()(
lim





xXPF
x
,
1)()(
lim





xXPF

x

Tính chất 2: Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm, tức là với mọi x
2
> x
1
thì )()(
12
xFxF


Chứng minh: Phân tích biến cố (X < x
2
) thành 2 biến cố xung khắc là (X < x
1
) và
)(
21
xXx





)()()(
2112
xXxPxXPxXP









)()()(
2112
xXxPxFxF






1)(0,0)()(
2112






xXxPDoxFxF
Hay )()(
12
xFxF

.
Hệ quả 1:
)

(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P





Hệ quả 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị xác định bằng 0
Chứng minh: Ta cm P(X= x) = 0
Đặt a=x, b=x+
x


)
(
)
(
)
(

x
F
x
x
F
x
x
X
x
P









Theo định lý cộng xác suất, ta có:
( ) ( ) ( )
xXxPxXPxXP







2112

Cho
0


x
, Ta có )()()(
limlim
00
xFxxFxxXxP
xx










Vì X là biến ngẫu nhiên liên tục nên hàm phân bố xác suất cũng liên tục tại x.
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
lim
x
F x x F x P X x F x F x
 
       

Hệ quả 3: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, ta có

)
(
)
(
)
(
)
(
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P













III. Hàm mật độ xác suất :
Như ta đã biết, hàm phân phối xác suất không đặc trưng được xác suất để một biến ngẫu nhiên
Tính chất 1:
0
)
(

x
f
, (do tính không giảm của hàm phân phối)
Tính chất 2:


b
a
dxxfbXaP )()(

Về mặt hình học, xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (a,b) bằng diện tích giới hạn
bởi trục Ox, đường cong f(x), và các đường thẳng x=a, x=b

Tính chất 3:




x
dxxfxF )()(

Chứng minh:



x
dxxfxXPxXPxF )()()()(

liên tục nhận một giá trị xác định, do đó người ta thường dùng hàm mật độ xác suất để mô tả quy luật
phân phối xác suất.
1. Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x). Hàm mật độ xác suất
f(x) của biến ngẫu nhiên X là đạo hàm của hàm phân phối, f(x)=F’(x).
2. Các tính chất:
Về mặt hình học, giá trị của hàm phân phối xác suất tại điểm a bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi
trục Ox, đường f(x) bên trái đường x=a

Tính chất 4:
1)( 



dxxf













1)(
0)(
dxxf
xf

Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất







(2;6) x0
a. Xác định C
b. Tìm hàm phân phối xác suất F(x)
c. Tính
)
5
3
(


X

P
theo 2 cách (dùng hàm phân phối, hàm mật độ)
d. Tính P(X>3)
e. Tìm x để P(X>x)=1/4
Giải:
a. Ta có:
4
1
26
1
1
6
2




CCdx

Chú ý: Để hàm số f(x) có thể là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục nào đó thì nó
phải thỏa mãn 2 điều kiện sau:
C
f x
x (2;6)
( )
b. Khi đó









(2;6) x0
(2;6)x
4
1
)(xf

Ta có: Khi x
2

, F(x)= 0
Khi 2<x
6

, F(x)=
2
1
44
1
)()(
2 2
2

 

x
dtdttfdttf

x x

Khi x>6, F(x)=
1
4
1
)()()(
6
2
6
26
2

 

dtdttfdttfdttf
x

Vậy F(x)=














61
62
2
1
4
20
)(
xkhi
xkhi
x
xkhi
dttf
x

c.
)
5
3
(


X
P
=F(5)-F(3)=5/4-3/4=1/2
hoặc
2/1
4
1

)(
5
3
5
3


dtdttf

d. P(X>3)=3/4
e. 1-P(X<x)=1/4

1-(x/4-1/2)=1/4

x=5
Ví dụ 2: Thời gian một khách hàng chờ phục vụ là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất










31
30
2
xkhi

xkhiAx
a. Tìm A và hàm mật độ xác suất của X
b. Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có 2 người phải chờ không quá 2 phút.
Giải:
a. Vì F(x) liên tục trái tại x=3, ta có
2
3 3
1
( ) (3) 1
9
x x
Lim F x F Lim Ax A
 
 
    

00
)(
khi x
F x
Khi đó












31
30
9
1
00
)(
2
xkhi
xkhix
xkhi
xF












30
30
9
2
00

)(
xkhi
xkhix
xkhi
xf
b. Xác suất để một khách hàng phải chờ không quá 2 phút: P(X

2)=F(2)=
9
4
2.
9
1
2

xác suất để trong 3 khách hàng có 2 người phải chờ không quá 2 phút là
329,0
9
5
)
9
4
()2(
22
33
 CP

§3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Mặc dù quy luật phân phối xác suất cho ta nắm được toàn bộ thông tin về biến ngẫu nhiên, tuy nhiên,

trong thực tế, ta lại thường quan tâm đến những thông tin cô đọng phản ánh tổng hợp những đặc trưng
quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên. Những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến ngẫu nhiên
gọi là các tham số đặc trưng.
I. Kì vọng toán:
1. Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X, kì vọng của X, kí hiệu E(X) được cho bởi công thức sau:
+. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x
1
,x
2
,….x
n
với xác suất tương ứng
p
1
,p
2,
….p
n
…thì


i
ii
pxXE )(

Nếu X chỉ nhận hữu hạn giá trị x
1
,x
2
,….x

n
với xác suất tương ứng p
1
,p
2,
….p
i
thì



n
i
ii
pxXE
1
)(

+. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì



 dxxxfXE )()(

Ví dụ 1: X là số chấm xuất hiện khi tung con xúc xắc, X có bảng phân phối xác suất

X 1

2

3 4 5 6





6
21
6
1
.6
6
1
.5
6
1
.4
6
1
.3
6
1
.2
6
1
.1)( XE (số chấm)
Ví dụ 2: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất








)1,0(0
)1,0(266
)(
2
x
xxx
xf


Ta có
5,0)266()(
1
0
2


dxxxxXE

Chú ý: + Kì vọng toán của biến ngẫu nhiên là một con số xác định
+ Đơn vị của kì vọng trùng với đơn vị của X

2. Các tính chất của kì vọng:
TC1: E(C)=C (C là hằng số)
TC2: E(CX)=CE(X)
Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc, X có bảng phân phối xác
suất

Khi đó CX cũng là biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó bằng tích giữa C và các giá trị có
thể có của X, xác suất tương ứng không thay đổi





P(X) 1/6

1/6

1/6 1/6

1/6

1/6
X x
1
x
2
…. x
n
P(X)

p
1

p
2
…. p
n

CX Cx
1
Cx
2
…. Cx
n
P(CX)

p
1
p
2
…. p
n