Tong hop mot so de thi vao 10 cac tinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi TOÁN ( chung cho tất cả các thí sinh)
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2.0 điểm )
1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa
a)
x
b)
1
1x −
2. Trục căn thức ở mẫu
a)
3
2
b)
1
3 1−
3. Giải hệ phương trình :
1 0
3
x
x y
− =


+ =

Bài 2 (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x
2

và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
c) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 3 (1.0 điểm )
Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 3 có hai nghiệm x
1
; x
2
(với m
là tham số ) .Tìm biểu thức x
1
2

+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 (4.0 điểm )
Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K
( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE
cắt BD tại H.
a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AD
2
= AH . AE.

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O).
d) Cho góc BCD bằng α . Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ
tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn
(O).
======Hết======
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Họ và tên : Số báo danh
Hướng dẫn:
Bài 1 (2.0 điểm )
1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa
a)
0x
≥
b)
1 0 1x x
− ≠ ⇒ ≠
2. Trục căn thức ở mẫu
a)
3 3. 2 3 2
2
2 2. 2
= =
b)
( )
( ) ( )
1. 3 1
1 3 1 3 1
3 1 2
3 1

3 1 3 1
+
+ +
= = =
−
−
− +
3. Giải hệ phương trình :
1 0 1 1
3 1 3 2
x x x
x y y y
− = = =
  
⇔ ⇔
  
+ = + = =
  
Bài 2 (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x
2
và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng :
x 0 - 2 x - 2 - 1 0 1 2
y = x + 2 2 0 y = x
2
4 1 0 1 4
b) Tìm toạ độ giao điểm A,B :
Gọi tọa độ các giao điểm A( x

1
; y
1
) , B( x
2
; y
2
) của hàm số y = x
2
có đồ thị
(P) và y = x + 2 có đồ thị (d)
Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)
x
2
= x + 2  x
2
– x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0
1
1x⇒ = −
;
2
2
2
1
c
x
a
−
= − = − =

thay x
1
= -1
⇒
y
1
= x
2
= (-1)
2
= 1

;
x
2
= 2
⇒
y
2
= 4
Vậy tọa độ giao điểm là

A( - 1

; 1

) , B( 2 ; 4 )
c) Tính diện tích tam giác OAB
2
O

y
x
A
B
K
C
H
Cách 1 : S
OAB
= S
CBH
- S
OAC
=
1
2
(OC.BH - OC.AK)= =
1
2
(8 - 2)= 3đvdt
Cách 2 : Ctỏ đường thẳng OA và đường thẳng AB vuông góc
OA
2 2 2 2
1 1 2AK OK= + = + =
; BC =
2 2 2 2
4 4 4 2BH CH+ = + =
;
AB = BC – AC = BC – OA =
3 2

(ΔOAC cân do AK là đường cao đồng thời trung tuyến
⇒
OA=AC)
S
OAB
=
1
2
OA.AB =
1
.3 2. 2 3
2
=
đvdt
Hoặc dùng công thức để tính AB =
2 2
( ) ( )
B A B A
x x y y− + −
;OA=
2 2
( ) ( )
A O A O
x x y y− + −

Bài 3 (1.0 điểm ).Tìm biểu thức x
1
2

+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình x
2
– 2mx + m
2
– m + 3
( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m
2
- m + 3 )
Δ’ = = m
2
- 1. ( m
2
- m + 3 ) = m
2
- m
2
+ m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghiệm x
1
;
x
2
(với m là tham số ) Δ’ ≥ 0
⇒
m ≥ 3 theo viét ta có:
x
1

+ x
2
= = 2m
x
1

. x
2

= = m
2
- m + 3
x
1
2

+ x
2
2
= ( x
1
+ x
2
)

2
– 2x
1
x
2

= (2m)
2
- 2(m
2
- m + 3 )=2(m
2
+ m - 3 )
=2(m
2
+ 2m
1
2
+
1
4
-
1
4
-
12
4
) =2[(m +
1
2
)
2
-
13
4
]=2(m +

1
2
)
2
-
13
2
Do điều kiện m ≥ 3
⇒
m +
1
2
≥ 3+
1
2
=
7
2

(m +
1
2
)
2
≥
49
4

⇒
2(m +

1
2
)
2
≥
49
2

⇒
2(m +
1
2
)
2
-
13
2
≥
49
2
-
13
2
= 18
Vậy GTNN của x
1
2

+ x
2

2
là 18 khi m = 3
Bài 4 (4.0 điểm )
a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
* Tam giác CBD cân
AC
⊥
BD tại K
⇒
BK=KD=BD:2(đường kính vuông góc dây cung) ,ΔCBD có
đường cao CK vừa là đường trung tuyến nên ΔCBD cân.
* Tứ giác CEHK nội tiếp
·
·
0
AEC HEC 180= =
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ;
·
0
KHC 180=
(gt)
·
·
0 0 0
HEC HKC 90 90 180+ = + =
(tổng hai góc đối)
⇒
tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD
2

= AH . AE.
Xét ΔADH và ΔAED có :
3
¶
A chung
; AC
⊥
BD tại K ,AC cắt cung BD tại A suy ra A là điểm chính
giữa cung BAD , hay cung AB bằng cung AD
⇒
·
·
ADB AED=
(chắn hai cung
bằng nhau) .Vậy ΔADH = ΔAED (g-g)
⇒

2
.
AD AE
AD AH AE
AH AD
= ⇒ =
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O).
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm
* ΔBKC vuông tại A có : KC =
2 2 2 2
20 12 400 144 256BC BK− = − = − =
=16
*

·
0
ABC 90=
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ΔABC vuông tại K có : BC
2
=KC.AC
⇔
400 =16.AC
⇒
AC = 25
⇒
R=
12,5cm
C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).
Giải: ΔMBC cân tại M có MB = MC suy ra M cách đều hai đầu đoạn thẳng BC
⇒
M
∈
d là đường trung trực BC ,(OB=OC nên O
∈
d ),vì M
∈
(O) nên giả sử d cắt (O) tại
M (M thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC ).
* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M và D nằm khác phía BC hay AC
do ΔBCD cân tại C nên
· · ·
0 0

) :
2
BDC DBC (180 DCB 2 90= − = −
α
=
Tứ giác MBDC nội tiếp thì
·
· ·
·
0 0 0 0
0 0 0
( )
2 2 2
BDC BMC 180 BMC 180 BDC 180 90 180 90 90+ ⇒ = − = − − = − + = +
α α α
=
* Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC
ΔMBC cân tại M có MM’ là đường trung trực nên MM’ là phân giác góc BMC
⇒

·
·
0 0
) :2 45
2 4
BMM' BMC (90= + = +
α α
=

⇒

sđ
¼
0
BM' )
2
(90= +
α
4
A O
B
M
C
E
D
M’
K
H
B”
D”
(góc nội tiếp và cung bị chắn)
sđ
»
·
BD BCD 22 == α
(góc nội tiếp và cung bị chắn)
+ Xét
»
¼
BD BM '<
⇒

0 0 0 0 0
3
2 2
2 90 2 90 180 0 60+ ⇔ ⇔ ⇔ <
α α
α < α − < α < α <
suy ra
tồn tại hai điểm là M thuộc cung nhỏ BC (đã tính ở trên )và M’ thuộc cung lớn BC .
Tứ giác BDM’C nội tiếp thì
·
·
0
2
BDC BM'C 90= = −
α
(cùng chắn cung BC nhỏ)
+ Xét
»
¼
BD BM'=
⇒
0 0 0 0
3
2 2
2 90 2 90 180 60+ ⇔ = ⇔ ⇔
α α
α = α− α = α =
thì M’≡ D
không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ ( chỉ có điểm M tmđk đề bài)
+ Xét

»
¼
BD BM'>
⇒
0 0 0 0 0
3
2 2
2 90 2 90 180 60 90+ ⇔ > ⇔ ⇔ <
α α
α > α− α > α ≤
(khi
BD qua tâm O và BD
⊥
AC
⇒
·
0
BCD 90= α =
)
⇒
M’ thuộc cung
»
BD
không thỏa mãn
điều kiện đề bài nên không có M’ (chỉ có điểm M tmđk đề).
5
Sở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 20092010
KHÁNH HOÀ MÔN: TOÁN
NGÀY THI: 19/6/2009
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (2 điểm) (không dùng máy tính bỏ túi)
a) Cho biết A=
155 +
và B=
155 −
. Hãy so sánh A+B và AB.
2x +y = 1
b) Giải hệ phương trình:
3x – 2 y= 12
Bài 2: (2.5 điểm)
Cho Parabol (P) : y= x
2
và đường thẳng (d): y=mx-2 (m là tham số m
≠
0)
a/ Vẽ đồ thò (P) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (p) ( d)
c/ Gọi A(x
A
;y
A
), B(x
A
;y
B
) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d).
Tìm các gia trò của m sao cho : y
A
+

y
B =
2(x
A
+ x
B
)-1.
Bài 3: (1.5 điểm)
Cho một mảnh đất hình chữ nhật có chiểu dai hơn chiều rộng 6 m và bình phương
độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác đònh chiều dài và rộng của mảnh đất
hình chữ nhật.
Bài 4: ( 4 điểm).
Cho đường tròn(O; R) từ một điểm M ngoài đường tròn (O; R). vẽ hai tiếp tuyến
A, B. lấy C bất kì trên cung nhỏ AB. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc
của C tên AB, AM, BM.
a/ cm AECD Nội tiếp một đường tròn .
b/ cm:
ABCEDC
ˆˆ
=
c/ cm : Gọi I là trung điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB , DF.
Cm IK// AB.
d/ Xác đònh vò trí c trên cung nhỏ AB dể (AC
2
+ CB
2
)nhỏ nhất. tính giá trò
nhỏ nhất đó khi OM =2R
Hết
6

ĐỀ CHÍNH
THỨC
Đáp án câu 4c,d: Đề thi 2009 – 2010 :
4c)Chứng minh rằng : IK//AB
Gợi ý: Chứng minh tổng số đo hai góc ICK và IDK bằng 180
0
.
4d)Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để CA
2
+ CB
2
đạt GTNN.
Gợi ý : Xây dựng công thức đường trung tuyến của tam giác.
Gọi N là trung điểm của AB.
Ta có:
AC
2
+ CB
2
= 2CD
2
+ AD
2
+ DB
2
=2(CN
2
– ND
2
) + (AN+ND)

2
+ (AN – ND)
2
= 2CN
2
– 2ND
2
+ AN
2
+ 2AN.ND + ND
2

+ AN
2
– 2AN.ND + ND
2
.
= 2CN
2
+ 2AN
2
= 2CN
2
+ AB
2
/2
AB
2
/2 ko đổi nên CA
2

+ CB
2
đạt GTNN khi CN đạt GTNN  C là giao điểm của ON và
cung nhỏ AB.
=> C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.
Khi OM = 2R thì OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R
Do đó: Min (CA
2
+ CB
2

)

= 2R
2
.

N
K
I
F
D
E
O
A
B
C
7
Sở gd và đt
thanh hoá

Kỳ thi tuyển sinh thpt chuyên lam sơn
năm học: 2009 - 2010
Đề chính thức
Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào
lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian
giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Cho số x
( )
0; > xRx
thoả mãn điều kiện: x
2
+
2
1
x
= 7
Tính giá trị các biểu thức: A = x
3
+
3
1
x
và B = x
5
+
5
1

x
2. Gii h phng trỡnh:
1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x
y

+ =




+ =


Câu 2: (2,0 điểm) Cho phơng trình:
2
0ax bx c+ + =
(
0a
) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn điều kiện:
1 2
0 2x x

.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2
2
2 3
2
a ab b
Q
a ab ac
+
=
+

Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phơng trình:
2x
+
2009
+
y
+
2010z
=
)(
2
1
zyx
++
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p
2

+1 và 6p
2
+1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
1. Cho hình vuông
ABCD
có hai đờng chéo cắt nhau tại
E
. Một đờng thẳng
qua
A
, cắt cạnh
BC
tại
M
và cắt đờng thẳng
CD
tại
N
. Gọi
K
là giao điểm của
các đờng thẳng
EM
và
BN
. Chứng minh rằng:
CK BN
.
2. Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R=1 v m t im A sao cho OA=

2
.V cỏc
tip tuyn AB, AC vi ng trũn (O) (B, C l cỏc ti p im).Mt gúc xOy cú s o
bng
0
45
cú cnh Ox ct on thng AB ti D v c nh Oy ct on thng AC ti E.
Chng minh rng:
1222
<
DE
.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức
bdacdcbaP +++++=
2222
,trong đó
1
=
bcad
.
Chứng minh rằng:
3P
.
Hết
8
Sở giáo dục và đào Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn
Thanh Hoá năm học 2009-2010
Đáp án đề thi chính thức
Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

(Đáp án này gồm 04 trang)
Câu ý Nội dung Điểm
1
1
Từ giả thiết suy ra: (x +
x
1
)
2
= 9 x +
x
1
= 3 (do x > 0)
21 = (x +
x
1
)(x
2
+
2
1
x
) = (x
3
+
3
1
x
) + (x +
x

1
) A = x
3
+
3
1
x
=18
7.18 = (x
2
+
2
1
x
)(x
3
+
3
1
x
) = (x
5
+
5
1
x
) + (x +
x
1
)

B = x
5
+
5
1
x
= 7.18 - 3 = 123
0.25
0.25
0.25
0.25
2
T h suy ra
x
y
y
x
1
2
11
2
1
+=+
(2)
Nu
yx
11
>
thỡ
xy

1
2
1
2 >
nờn (2) xy ra khi v ch khi x=y
th v o h ta gii c x=1, y=1
0.5
0.5
2
Theo Viét, ta có:
1 2
b
x x
a
+ =
,
1 2
.
c
x x
a
=
.
Khi đó
2 2
2
2 3
2
a ab b
Q

a ab ac
+
=
+
=
2
2 3.
2
b b
a a
b c
a a

+
ữ

+
( Vì a

0)
=
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3( ) ( )
2 ( )
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + +

Vì
1 2
0 2x x
nên
2
1 1 2
x x x
và
2
2
4x


2 2
1 2 1 2
4x x x x+ +

( )
2
1 2 1 2
3 4x x x x + +
Do đó
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3( ) 3 4
3
2 ( )
x x x x
Q
x x x x

+ + + +
=
+ + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
2x x= =
hoặc
1 2
0, 2x x= =
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
9
Tức là
4
4
4
2
2
0
0
b
a
c
c b a

a
b a
b
c
a
c
a


=







= =

=





=

=
=









=




Vậy max
Q
=3
3
1
ĐK: x 2, y - 2009, z 2010
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
x + y + z = 2
2x
+2
2009+y
+2

2010z
(
2x
- 1)
2
+ (
2009+y
- 1)
2
+ (
2010z
- 1)
2
= 0

2x
- 1 = 0 x = 3

2009+y
- 1 = 0 y = - 2008

2010z
- 1 = 0 z = 2011
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Nhận xét: p là số nguyên tố 4p
2

+ 1 > 5 và 6p
2
+ 1 > 5
Đặt x = 4p
2
+ 1 = 5p
2
- (p - 1)(p + 1)
y = 6p
2
+ 1 4y = 25p
2
(p - 2)(p + 2)
Khi đó:
- Nếu p chia cho 5 d 4 hoặc d 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5
x chia hết cho 5 mà x > 5 x không là số nguyên tố

- Nếu p chia cho 5 d 3 hoặc d 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5
4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 y chia hết cho 5 mà
y > 5
y không là số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố p = 5
Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố
Đáp số: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25
4
10

1.
2.






Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm I sao cho IB = CM
Ta cã
∆
IBE =
∆
MCE (c.g.c).
Suy ra EI = EM ,
BEIMEC ∠=∠
⇒
∆
MEI vu«ng c©n t¹i E
Suy ra
BCEEMI ∠==∠
0
45
MÆt kh¸c:
AN
MN
CB
CM
AB
IB

==
⇒
IM // BN

BKEEMIBCE ∠=∠=∠

⇒
tø gi¸c BECK néi tiÕp
0
180=∠+∠ BKCBEC
L¹i cã:
00
9090 =∠⇒=∠ BKCBEC
. VËy
CK BN⊥
Vì AO =
2
, OB=OC=1 v à ∠ABO=∠ACO=90
0
suy ra OBAC l à
hình vuông
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho ∠DOM = ∠DOB
⇒∠MOE=∠COE
Suy ra
∆
MOD=
∆
BOD ⇒ ∠DME=90
0

∆
MOE=
∆
COE ⇒∠EMO=90
0
suy ra D,M,E thẳng h ng, suy ra DE l tià à ếp tuyến của (O).
Vì DE l tià ếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC
Ta có DE<AE+AD ⇒2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1
Đặt DM= x, EM=y ta có AD
2
+ AE
2
= DE
2

⇔ (1-x)
2
+ (1-y)
2
= (x+y)
2
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
11
D
C
N
A
BI
K
M
E
O
C
B
D
E
M
A
x
x
y
5.
1- (x+y) = xy
( )
4
2
yx +

suy ra DE

2
+ 4.DE - 4
0
DE
222
Vy
222
DE<1
Ta có:
2222222222
22)()( cbabcddadbabcdcabcadbdac ++++=++
( ) ( ) ( )( )
2222222222
dcbacdbdca ++=+++=
Vì
1= bcad
nên
( )( )
)1()(1
2222
2
dcbabdac ++=++
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm
( ) ( )
2222
; dcba ++
có:
( )( )
bdacdcbabdacdcbaP +++++++++=
22222222

2
( )
bdacbdacP ++++
2
12
(theo (1))
Rõ ràng
0>P
vì:
( )
2
2
12 bdacbdac +>++
Đặt
bdacx +=
,ta có:
xxP ++
2
12
( ) ( )
341411414
2222222
+++++=++++ xxxxxxxxP
( )
3321
2
2
+++= xx
Vậy
3P

0.25
0.25
0.25
0.25
Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên lam sơn
thanh hoá năm học: 2009 2010
Đề chính thức Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên tin)
Thời gian làm bài : 150 phút( Không kể thời gian giao
đề)
Ngày thi:19 tháng 6 năm 2009
Câu 1( 2,0 điểm)
Cho biểu thức:
xx
x
x
T


+


+
=
1
1
1
1
1
42
3

2
1. Tìm điều kiện của
x
để
T
xác định. Rút gọn
T
2. Tìm giá trị lớn nhất của
T
.
Câu 2 ( 2,0 điểm)
1. Giải hệ phơng trình:



=+
=
744
12
22
2
yxyx
xyx
12
2. Giải phơng trình:
)(
2
1
201020092 zyxzyx ++=+++
Câu 3 (2,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên a để phơng trình: x
2
- (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm
nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.
2. Cho
cba ,,
là các số thoả mãn điều kiện:





=++


129619
0
0
cba
b
a
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm
016)1(2
22
=++++ abcaxax

0119)1(2
22
=++++ abcbxbx
Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đờng tròn tâm O đờng kính
AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa
điểm A.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.
2. Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của E qua các đờng thẳng AB và
AC. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5 ( 1,0 điểm)
Gọi
cba ,,
là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh
rằng với mọi số thực
zyx ,,
ta luôn có:
222
222
2
2
2
2
2
2
222
cba
zyx
c
z
b
y
a

x
++
++
>++
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Họ tên và chữ ký của giám thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị
2
Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn
Thanh Hoá năm học 2009-2010
Đáp án đề thi chính thức
Môn: Toán ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Câu ý Nội dung Điểm
1 2,0
1
Điều kiện:
1;0 xx
1
2
1
22
1
2
1
42
233
2
++
=

=



+
=
xxx
x
x
x
x
T
0,25
0,75
2
T
lớn nhất khi
1
2
++ xx
nhỏ nhất, điều này xẩy ra khi
0=x
Vậy
T
lớn nhất bằng 2
0,5
0,5
2 1
Giải hệ phơng trình:

2x
2
xy = 1 (1)
4x
2
+4xy y
2
= 7 (2)
0,25
13
Nhận thấy x = 0 không thoả mãn hệ nên từ (1) y =
x
x 12
2

(*)
Thế vào (2) đợc: 4x
2
+ 4x.
x
x 12
2

-
2
2
)
12
(
x

x
= 7
8x
4
7x
2
- 1 = 0
Đặt t = x
2
với t 0 ta đợc 8t
2
- 7t - 1 = 0
t = 1
t = -
8
1
(loại)
với t =1 ta có x
2
= 1 x = 1 thay vào (*) tính đợc y = 1
Hệ phơng trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và x = -1
y = 1 y = -1
0,25
0,25
0,25
2
ĐK:
2010;2009;2 zyx
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
201022009222 +++=++ zyxzyx

( ) ( ) ( )
0120101200912
222
=+++ zyx
2011;2008;3 === zyx
0,25
0,25
0,25
0,25
3 1
PT đã cho có biệt số = 4a
2
+ 16a -151
PT có nghiệm nguyên thì = n
2
với n N
Hay 4a
2
+ 16a - 151 = n
2
(4a
2
+ 16a + 16) - n
2
= 167
(2a + 4)
2
- n
2
= 167 (2a + 4 + n)(2a + 4 - n) = 167

Vì 167 là số nguyên tố và 2a + 4 + n > 2a + 4 - n nên phải có:


2a + 4 + n = 167
2a + 4 - n = 1 4a + 8 = 168 a = 40
2a + 4 + n = -1 4a + 8 = -168 a = -44
2a + 4 - n = -167
với a = 40 đựơc PT: x
2
- 83x = 0 có 2 nghiệm nguyên x = 0, x = 83
với a = - 44 thì PT có 2 nghiệm nguyên là x= -1, x = - 84
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Ta có:
' '
1 2
(2 6 ) ; (2 19 )a bc b ac = =
Suy ra
' '
1 2
(2 6 ) (2 19 )a bc b ac + = +
Từ giả thiết
19 6 9 12a b c+ + =
, ta có tổng
(2 6 ) (2 19 ) 4 (19 6 ) 4 (12 9 )bc ac c a b c c + = + =
=
( )

2
2
9 12 4 3 2 0c c c + =
.
Do đó ít nhất một trong hai số
(2 6 ) ;(2 19 )bc ac
không âm
Mặt khác, theo giả thiết ta có
0 ; 0a b
. Từ đó suy ra ít nhất
0,25
0,25
0,25
0,25
14
một trong hai số
' '
1 2
;
không âm, suy ra ít nhất một trong hai
phơng trình đã cho có nghiệm ( đpcm)
4 1
2

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên BH

AC (1)
Mặt khác AD là đờng kính của đờng tròn tâm O nên DC

AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH // DC.
Hoàn toàn tơng tự, suy ra BD // HC.
Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành ( Vì có 2 cặp cạnh đối song
song).
Theo giả thiết, ta có: P đối xứng với E qua AB suy ra AP=AE





( c.g. c )

Lại có

( góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Mặt khác

tứ giác APHB là tứ giác nội tiếp


( góc nội tiếp cùng
chắn một cung)
Mà

Hoàn toàn tơng tự, ta có:

.Do đó:

Suy ra ba điểm P, H, Q thẳng hàng
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
15

5
3
Vì P, Q lần lợt là điểm đối xứng của E qua AB và AC nên ta có
AP = AE = AQ suy ra tam giác APQ là tam giác cân đỉnh A
Mặt khác, cũng do tính đối xứng ta có

( không đổi)
Do đó cạnh đáy PQ của tam giác cân APQ lớn nhất khi và chỉ khi
AP, AQ lớn nhất

AE lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi AE là đờng kính của đờng tròn tâm O
ngoại tiếp tam giác ABC

E

D
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
16
AB
C
H
a
c
b
V×

ta cã:


(*)
Gi¶ sư

th×

. Víi c¹nh

lín nhÊt

nhän (gt) do vËy kỴ ®êng cao BH ta cã

tõ ®ã suy ra biĨu thøc (*) lµ
kh«ng ©m suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh
0,25
0,25
0,5

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
17
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 - 2010
Đề chính thức
Môn thi: Toán
Ngày thi: 02/ 07/ 2009
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian
giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
1. 2(x + 1) = 4 – x
2. x
2
– 3x + 0 = 0
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Cho hàm số y = ax + b. tìm a, b biết đồ thò hàm số đẫ cho đi qua hai
điểm A(-2; 5) và B(1; -4).
2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
a. tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghòch biến.
b. Tìm giá trò m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng


Bài 3: (2,0 điểm)
Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75
phút, trên cùng tuyến đường đó một ôtô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân
với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại
Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hoài Ân
100 km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km.
Bài 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính
AB. Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD sao cho CD = AC.
1. Chứng minh tam giác ABD cân.
2. Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E. Kéo
dài AE (về phía E) đoạn EF sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba
điểm D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng.
3. Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với
đường tròn (O).
18
Bài 5: (1,0 điểm)
Với mỗi số k nguyên dương, đặt S
k
= (

+ 1)
k
+ (

- 1)
k
Chứng minh rằng: S
m+n
+ S
m- n
= S
m
.S
n
với mọi m, n là số nguyên dương
và m > n.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 - 2010
Đề chính thức
Lời giải vắn tắt mơn thi: Tốn
Ngày thi: 02/ 07/ 2009
Bài 1: (2,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
1) 2(x + 1) = 4 – x

2x + 2 = 4 - x

2x + x = 4 - 2

3x = 2

x =
2) x
2
– 3x + 2 = 0. (a = 1 ; b = - 3 ; c = 2)
Ta có a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 .Suy ra x
1
= 1 và x
2
= = 2
Bài 2: (2,0 điểm)
1.Ta có a, b là nghiệm của hệ phương trình

Vậy a = - 3 và b = - 1
2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
a) Để hàm số nghịch biến thì 2m – 1 < 0

m < .
b) Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng

. Hay đồ thò
hàm số đi qua điểm có toạ đôï (

;0). Ta phải có pt
19
0 = (2m – 1).(- ) + m + 2

m = 8
Bài 3: (2,0 điểm)
Quãng đường từ Hoài Ân đi Phù Cát dài : 100 - 30 = 70 (km)
Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy .ĐK : x > 0.
Vận tốc ô tô là x + 20 (km/h)
Thời gian xe máy đi đến Phù Cát : (h)
Thời gian ô tô đi đến Phù Cát : (h)
Vì xe máy đi trước ô tô 75 phút = (h) nên ta có phương trình :
- =
Giải phương trình trên ta được x
1
= - 60 (loại) ; x

2
= 40 (nhaän).
Vậy vận tốc xe máy là 40(km/h), vận tốc của ô tô là 40 + 20 = 60(km/h)
20
Bài 4 : a) Chứng minh

ABD cân
Xét

ABD có BC

DA (Do

= 90
0
: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

)

Mặt khác : CA = CD (gt) . BC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên

ABD cân tại
B
b)Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường
thẳng.
Vì
·
CAE
= 90
0

, nên CE là đường kính của (O), hay C, O, E thẳng hàng.
Ta có CO là đường trung bình của tam giác ABD
Suy ra BD // CO hay BD // CE (1)
Tương tự CE là đường trung bình của tam giác ADF
Suy ra DF // CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng
c)Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc
với đường tròn (O).
Ta chứng minh được BA = BD = BF
Do đó đường tròn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tâm và AB làm bán kính .
Vì OB = AB - OA > 0 Nên đường tròn đi qua
ba điểm A, D, F tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A
Bài 5: (1,0 điểm)
Với mọi m, n là số ngun dương và m > n.
Vì S
k
= (
2
+ 1)
k
+ (
2
- 1)
k
Ta có: S
m+n
= (
2
+ 1)
m + n

+ (
2
- 1)
m + n
S
m- n
= (
2
+ 1)
m - n
+ (
2
- 1)
m - n
Suy ra S
m+n
+ S
m- n
= (
2
+ 1)
m + n
+ (
2
- 1)
m + n
+ (
2
+ 1)
m - n

+ (
2
- 1)
m – n
(1)
Mặt khác S
m
.S
n
=
m m
( 2+ 1) + ( 2- 1)
 
 
n n
( 2+ 1) + ( 2- 1)
 
 
= (
2
+ 1)
m+n
+ (
2
- 1)
m+n
+ (
2
+ 1)
m

. (
2
- 1)
n
+ (
2
- 1)
m
. (
2
+ 1)
n
(2)
Mà (
2
+ 1)
m - n
+ (
2
- 1)
m - n
=
m
n
( 2+ 1)
( 2+ 1)
+
m
n
( 2- 1)

( 2- 1)
=
m n m n
n n
( 2+ 1) .( 2- 1) ( 2- 1) .( 2+ 1)
( 2- 1) .( 2+ 1)
+

=
m n m n
n
( 2+ 1) .( 2- 1) ( 2- 1) .( 2+ 1)
1
+
=
m n m n
( 2+ 1) .( 2- 1) ( 2- 1) .( 2+ 1)+
(3)
21
Tửứ (1), (2) vaứ (3) Vy S
m+n
+ S
m- n
= S
m
.S
n
vi mi m, n l s nguyờn dng v m
> n.
S GIO DC V O TO

QUNG NINH

K THI TUYN SINH LP 10 THPT
NM HC 2009 - 2010
THI CHNH THC
MễN : TON
Ngày thi : 29/6/2009
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Chữ ký GT 1 :

Chữ ký GT 2 :

(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau :
a)
2 3 3 27 300+
b)
1 1 1
:
1 ( 1)x x x x x

+
ữ


Bài 2. (1,5 điểm)
a). Giải phơng trình: x
2
+ 3x 4 = 0

b) Giải hệ phơng trình: 3x 2y = 4
2x + y = 5
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho hàm số : y = (2m 1)x + m + 1 với m là tham số và m #
1
2
. Hãy xác định m trong
mỗi trờng hơp sau :
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt tại A , B sao cho tam giác OAB cân.
Bài 4. (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngợc
dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ . Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 Km và
vận tốc dòng nớc là 5 Km/h . Tính vận tốc thực của ca nô (( Vận tốc của ca nô khi nớc đứng
yên )
Bài 5. (3,0 điểm)
Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn (O;R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng
tròn (O;R) ( A; B là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.
b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm.
c) Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm
giữa M và D ). Gọi E là giao điểm của AB và OM. Chứng minh rằng EA là tia phân
giác của góc CED.
Hết
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: .
22
Đáp án
Bài 1:
a) A =

3
b) B = 1 +
x
Bài 2 :
a) x
1
= 1 ; x
2
= -4
b) 3x 2y = 4
2x + y = 5
<=> 3x 2y = 4 7x = 14 x = 2
<=> <=>
4x + 2y = 5 2x + y = 5 y = 1
Bài 3 :
a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số :
y = (2m 1)x + m + 1 (1)
Thay x = -1 ; y = 1 vào (1) ta có: 1 = -(2m -1 ) + m + 1
<=> 1 = 1 2m + m + 1
<=> 1 = 2 m
<=> m = 1
Vậy với m = 1 Thì ĐT HS : y = (2m 1)x + m + 1 đi qua điểm M ( -1; 1)
c) ĐTHS cắt trục tung tại A => x = 0 ; y = m+1 => A ( 0 ; m+1) => OA =
1m +
cắt truc hoành tại B => y = 0 ; x =
1
2 1
m
m

=> B (
1
2 1
m
m


; 0 ) => OB =
1
2 1
m
m


Tam giác OAB cân => OA = OB
<=>
1m +
=
1
2 1
m
m


Giải PT ta có : m = 0 ; m = -1
Bài 4: Gọi vận tốc thực của ca nô là x ( km/h) ( x>5)
Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 5 (km/h)
Vận tốc ngợc dòng của ca nô là x - 5 (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là :

60
5x +
( giờ)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là :
60
5x
( giờ)
Theo bài ra ta có PT:
60
5x +
+
60
5x
= 5
<=> 60(x-5) +60(x+5) = 5(x
2
25)
<=> 5 x
2
120 x 125 = 0

x
1
= -1 ( không TMĐK)

x
2
= 25 ( TMĐK)
Vậy vân tốc thực của ca nô là 25 km/h.

Bài 5:

D
C
E
O
M
A
B
23
a)
Ta có: MA

AO ; MB

BO ( T/C tiếp tuyến cắt nhau)
=>
ã ã
0
90MAO MBO= =

Tứ giác MAOB có :
ã ã
MAO MBO+ =
90
0
+ 90
0
= 180
0

=> Tứ giác MAOB nội tiếp
đờng tròn
b)
áp dụng ĐL Pi ta go vào

MAO vuông tại A có: MO
2
= MA
2
+ AO
2

MA
2
= MO
2
AO
2

MA
2
= 5
2
3
2
= 16 => MA = 4 ( cm)
Vì MA;MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau => MA = MB =>

MAB cân tại A
MO là phân giác ( T/C tiếp tuyến) = > MO là đờng trung trực => MO

AB
Xét

AMO vuông tại A có MO

AB ta có:
AO
2
= MO . EO ( HTL trong

vuông) => EO =
2
AO
MO
=
9
5
(cm)
=> ME = 5 -
9
5
=
16
5
(cm)
áp dụng ĐL Pi ta go vào tam giác AEO vuông tại E ta có:AO
2
= AE
2

+EO
2

AE
2
= AO
2
EO
2
= 9 -
81
25
=
144
25
=
12
5

AE =
12
5
( cm) => AB = 2AE (vì AE = BE do MO là đờng trung trực của
AB)

AB =
24
5
(cm) => S
MAB

=
1
2
ME . AB =
1 16 24
. .
2 5 5
=
192
25
(cm
2
)
c) Xét

AMO vuông tại A có MO

AB. áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông
AMO ta có: MA
2
= ME. MO (1)
mà :
ã
ã
ADC MAC=
=
1
2
Sđ
ằ

AC
( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng
chắn 1 cung)

MAC
:


DAM (g.g) =>
MA MD
MC MA
=
=> MA
2
= MC . MD (2)
Từ (1) và (2) => MC . MD = ME. MO =>
MD ME
MO MC
=


MCE
:

MDO ( c.g.c) (
ả
M
chung;
MD ME
MO MC

=
) =>
ã
ã
MEC MDO=
( 2 góc tứng)
( 3)
Tơng tự:

OAE
:
OMA (g.g) =>
OA
OE
=
OM
OA

=>
OA
OE
=
OM
OA
=
OD OM
OE OD
=
( OD = OA = R)
Ta có:

DOE
:

MOD ( c.g.c) (
à
O
chong ;
OD OM
OE OD
=
) =>
ã
ã
OED ODM=
( 2 góc t ứng)
(4)
Từ (3) (4) =>
ã
ã
OED MEC=
. mà :
ã
ã
AEC MEC+
=90
0
24

ã ã

AED OED+
=90
0
=>
ã
ã
AEC AED=
=> EA là phân giác của
ã
DEC
sở gd&đt quảng bình đề thi chính thức tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2009-2010
Môn :toán
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần I. Trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)
* Trong các câu từ Câu 1 đến Câu 8, mỗi câu đều có 4 phơng án trả lời A, B,
C, D; trong đó chỉ có một phơng án trả lời đúng. Hãy chọn chữ cái đứng trớc phơng
án trả lời đúng.
Câu 1 (0,25 điểm): Hệ phơng trình nào sau đây vô nghiệm?

{
23
13
)(
=
+=
xy
xy
I

{
xy
xy
II
21
2
)(
=
=
25