Đề cương ôn tập toán lớp 12 ôn thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (529.43 KB, 49 trang )
!"
A. #$%& PH'N 1: () S&
*+,-."
!"#$%&'%%
( !"#)*+&," -,
( !"#).,
( !"#)/%+&
( !"#)-+ 01," -,
( !"#)2.,-+ 01," -,
3+4*/%!$,,"$3$3%5
*+,-/0123
(4566,767",8 9,%
3 2 4 2
ax b
y ax bx cx d; y ax bx c; y
cx d
+
= + + + = + + =
+
:;<,=%>?
(8223,,,/%8
( 05)2,6,@A,,"%7 !$6,*B
94/:5368 s
1.Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
+ TXC : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 3ax
2
+ 2bx + c với ∆
/
= b
2
− 3ac
∆
/
≤ 0 ∆
/
> 0
y
/
cùng dấu với hệ số a
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
y
/
= 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
•KL: Hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò • Cực tri D cực đại? Cực tiểu?
+ Giới hạn:
E F
@%5 5 ,54B
5
→ ∞
=
@ GB
@ GB
+ ∞ >
− ∞ <
a
a
;
E F
@%5 5 ,54B
5
→ ∞
=
@ GB
@ GB
− ∞ >
+ ∞ <
a
a
+ Bảng biến thiên:
Chú ý :1. Dù y
/
= 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
2. H23;<<-=>5806?@A
B
CD;E8
FGEH.IJ1G5G.,*
+ Vẽ đồ thò • Xác Cực trò ?
•C&H,.
K6 tJL
I
E
) 5 E5
= −
F
E F
) 5 E5
= −
J5 E
E
) 5
=
J
E F
) 5 E5
= − +
K
E F
) 5 E5
= − +
LJ5 M
E
) 5
= −
N
E F
) 5 E5 F
= − +
O
E F
) 5 E5 J5 F
= − + −
P
E F
) 5 E5 E5 I
= − + −
IG
E
) 5 E5 F
= − + +
II
E F
) 5 E5 J5 I
= − + − +
IF
E F
) 5 E5 E5 I
= − + − +
IE)QJ5
E
RF5
F
RE5IIJ)Q5
E
RE5
F
RJ5IFIK)Q5
E
RE5
F
M5RO
IM)Q5
E
IK5
F
MO5LPMIN)Q5
E
LJ5EIO)Q5
E
M5
F
P5LJ
IP)QL5
E
RE5
F
JFG)QLF5
E
E5
F
LJFI)Q5
E
LE5
F
K5LF
FF)QL
E
E
x
F5
F
RE5LIFE)QJ5
E
RE5FJ)Q5
E
LE5
FK)Q5
E
RE5
F
F5FM)QLF5
F
IFN)Q5
ES
I
FO)QL5
E
RF5
F
FP)QL5
E
E5
F
P5LIEG)QL5
E
RF5
F
5
T ++
I
!"
2 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0 )
+ TXC : D = R
+ Đạo hàm: y
/
= 4ax
3
+ 2b.x =2x.(2a x
2
+ b)
a,b cùng dấu a, b trái dấu
y
/
= 0 ⇔ x = 0 => y(0) = c
•KL: TUng " R n%VG
Gim t" R n%WG
X.m+,,"Y@GZ,B
y
/
= 0 ⇔ 2x (2ax
2
+ b) = 0 ⇔
G
F J
= = > =
− ∆
= ± = > = −
x y c
b
x y
a a
•KL: TUng? Gim?
X. 3 c,"
+ Giới hạn:
J F
@ Bax bx c
x
+ +
→ ± ∞
=
@ GB
@ GB
+ ∞ >
− ∞ <
a
a
+ Bảng biến thiên:
Chú ý : H23;<<-=5806?@A
B
CD;E8
FGEH.IJ1G5G.,
+ Vẽ đồ thò : • cực đại, cực tiểu:
• y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương (hoH,,F&[8\A7%,=%"],
5^H,$" 09)
_
QG,.E#,F",=%5A
,
2 2
b b
a a
− − −
B
K6JL
IB)Q5
J
RF5
F
IFB)QL5
J
RF5
F
EB)Q5
J
RE5
F
FJB)Q5
J
RJ5
F
E
KB)Q5
J
RK5
F
JMB)Q5
J
RJ5
F
NB)QL5
J
FOB)QL5
J
E
J F
I E
PB ) 5 5
F F
= − − +
J F
IGB) 5 F5 I
= − +
11) y = x
4
– 2x
2
+ 1 12) y = x
4
+ 2x
2
-3
13) y = - x
4
+ 2x
2
+3 14) y = x
4
- 2x
2
-3 15) y = x
4
- 7x
2
+6 16)
J F
I E
) 5 5
F F
= − − +
3.Hàm phân thức: y =
ax b
cx d
+
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
+ TXĐ: D = R\
d
c
−
+ Đạo hàm:
_
F
@ B
−
=
+
ad bc
y
cx d
ad−bc < 0 ad−bc > 0
y
/
< 0 ∀ x ∈D y
/
> 0 ∀ x ∈D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận:.
@ B
+
+
= + ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c
@ B
−
+
= − ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c
@ B
+
+
= − ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c
@ B
−
+
= + ∞
+
→ −
ax b
cx d
d
x
c
Ti,^x =
d
c
−
ax b
x
cx d
+
→ ± ∞
+
=
a
c
=> Ti,%y =
a
c
+B
T ++
F
!"
+ Vẽ đồ thò: − Vẽ tiệm cận, điểm đặc biệt.
− Cho 2 điểm về 1 phía của ticận đứng vẽ một nhánh, lấy đối xứng nhánh đó qua giao
điểm hai ticận ta 9, ,`*.
K6 tJL
F5 I 5 E
IB) FB)
5 I 5
− − −
= =
−
5 I E 5
EB) JB)
5 I 5 F
− −
= =
+ +
5B)Q
I
I
x
x
+
−
MB)Q
E
E
x
x
+
−
NB)Q
K M
M
x
x
+
+
OB)Q
F E
E
x
x
+
+
PB)Q
J F
F
x
x
−
+
IGB)Q
M I
E I
x
x
−
+
IIB)Q
K F
F E
x
x
−
+
IFB)Q
E
E
x
x
+
−
IFB)Q
F
F
x
x
−
+
IEB)Q
K
E
x
x
−
+
IJB)Q
F M
E
x
x
+
−
V4/:Vi.hương trình tiếp tuyến
1. Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
)) có phương trình là :
+ Đạo hàm : y
/
= f
/
(x) => f
/
(x
0
) = ?
+ P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f
/
(x
0
)(x− x
0
) + f(x
0
)M"NO20.PO/Q@R
!STIa5
G
#%)5
G
)Qb@5B 9,b@5
G
B
Fa)
G
#b@5
G
BQ)
G
# 9,5
G
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) của đồ thò h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A , Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x
1
) + y
1
(*)
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với ồ thò (C) là:
@IB
f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
= − +
=
có nghiệm
Thay (2) vào (1) giải tìm x=? => thay x @IB 9,k = ? thay 8 (*) 9,(ccc
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = f
/
(x
0
) = a
tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = f
/
(x
0
) = −
I
a
(a dGB
+ Giả sử M(x
0
; f(x
0
)) là ti điểm => hệ số góc f
/
(x
0
) = k.
+ Giải phương trình f
/
(x
0
) = k => x
0
= ? => f(x
0
) = ? => y = k (x − x
0
) + f(x
0
)
K6 tJL
K6X
E
E F @ By x x C
= − −
%Be !"#)-@XB*
( )
3 LFZLJ
Be"#)-@XB)- 01
)QFJ5FGGO @4B
,Be !"#-@XB)2.,- 01f
I
)Q 5LFGGO @4gB
E
4Be !"#-@XB*%&,=%-"],
K6 2: Cho (C) : y = f(x) = x
4
- 2x
2
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) bi :
a) Tại điểm có hoành độ bằng
F
. b) Tại điểm có tung độ bằng 3.
c) Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007 d) Biết tiếp tuyến ⊥ với d
2
: y =
I
IG
FJ
x
−
.
K6 3:X@XB
F
I
x
y
x
+
=
+
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục tung.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm số với trục hoành.
c) Viết p.trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
I
FGGN
J
y x
= − +
.
T ++
E
!"
V4/U: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)
+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (CB@h vij8B
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = M (l k3-,,",,"B
K6*X
E F
F Oy x x x
= − − +
,.@XB
I@XB,=%
Fl%@XB:,,=% !"#f
E F
F O Gx x x m
− − + − =
K6*X
J F
F Ey x x
= − + +
@XB
I@XB,=%
F:,,=% !"#
J F
F I Gx x m
− + + =
VT-668G4BG4;,-J76*
V4/ 4: Xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXC D= ?
+ Đạo hàm : y
/
= ? cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/
+ BXD (smp ,, nghim c=a PT y
/
= 0 "825,,=%n" sang phi tUng djn)
* y
/
> 0 thì hàm số tăng ; y
/
< 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng
Đònh lý 2 (dùng để tìm tr m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f
/
(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
L kf(j),=)#"%&2U@B"+5,$,,+
48,"[*,Z,=)"*,[_,[,%
K6*X
E F F
)Q5 F5
I @XB,=%8
Fm
= −
F c#&"5,
K6*X
5J
)Q
5
@XB
I @XB,=%
F c#&U@B"n85,,=%
94/W!?@683
• Dấu hiệu I :
+ MXC D=?
+ Đạo hàm : y
/
= ? cho y
/
= 0 ( nếu có ) xét dấu y
/
+ BBT : (m,,,=%(c)
_
QG"825,,=%n"sang phi tUng djn)
+Tính y
CĐ
; y
CT
; kt lun cc tr ?
!ST
IB Nu 2U@B"@%ZB#82,.,,""@%ZB
FB >,,",=%A!,=% !"#)
_
QG.
EB a,., %%#
5
G
,,",=%QV)
_
@5
G
BQGQVQo
5
G
XC,=%QV
_
@ B G
G
__
@ B G
=
<
H
H
QVQo5
G
Xc,=%QV
_
@ B G
G
__
@ B G
=
<
H
H
QVQo
T ++
J
!"
• Dấu hiệu II:
+ MXC
+ Đạo hàm : y
/
= ? y
//
= ? cho y
/
= 0 ( nếu có ) => x
1
, x
2
… .
+ Tính y
//
(x
1
); y
//
(x
2
)…….
Nếu y
//
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt CT tại x
0
, y
CT
= ? Nếu y
//
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x
0
, y
CĐ
= ?
Chú ý fdấu hiệu II dùng cho những h/s mà y
/
khó xét dấu.
+,-/0123 f
9,,",=%p4* 9,6,", !"#f
q,Ef)Q%5
E
5
F
,54@%≠GB→82,.,,"H,,.F,,"
q,J4*f)Q%5
J
5
F
,@%≠GB→,.I,,"H,E, ,"
q[4*f
%5
,54
=
y
→,rUH,,r82,.,,"
K6*X
J F F
Fy x mx m m
= + + +
IB@XB,=%8
Fm
= −
FBc#&*,,&*
Ix
=
E c#&,.I,,"@E,,"B
K6*X
( )
E
J E I Iy x m x
= − + +
( )
m
C
I @X
G
B,=%8
Gm
=
F c#&*,,**5QLE
E c#&6@X
B,.%,,"@82,.,,"B
94/XY@I14>@Z4
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) _ x
1
, x
2
… . chr ch6n ,, nghim thu+c [a;b]
+ Tính y(x
1
) ; y(x
2
) ………. So sánh → KL
y(a) ; y(b)
+
%5 ) o
s%Zt
=
) o
s%Zt
=
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXC
+ Đạo hàm : y
/
= ?
cho y
/
= 0 ( nếu có ) ch6"@%ZB lo*'82+,@%ZB
+ BBT:
?tr-["@%ZB,.
Xu
%5 ) )
@%ZB
=
;
trv["@%ZB,.
Xc
) )
@%ZB
=
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
Xc
) )
@%ZB
=
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ
Xu
%5 ) )
@%ZB
=
* a2U@B"@%ZB#82,.,,""8@%ZB
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXC của h/s đó :
+ nếu TXC là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXC là một khoảng thì dùng cách 2
T ++
K
!"
K6 tJL
c#?cTaR?caa,=%%f
IB
[ ]
E F
) F5 E5 EM5 IG " LKZJ
= − − +
FB
J F
) 5 F5 K " Z
F F
π π
= − + −
EB)Q@I5B,5"*
[ ]
GZF
π
JB)QF5@5,5B"s
2
;0
π
t
KB
( )
F
F Jy x x
= + −
MB
F
E IGy x x
= + −
NB
( )
Jy x x
= −
OB
( )
J F
F If x x x
= − +
"*
[ ]
GZ F
PB
( )
F 5f x x c
= +
"*
GZ
F
π
IGB
( )
P
f x x
x
= +
"*
[ ]
FZJ
IIB
( )
J
I
F
f x x
x
= − + −
+
"*
[ ]
IZF
−
IFB
( )
E F
F M If x x x
= − +
"*
[ ]
IZI
−
IEB
E F
F E Iy x x
= + −
"sLFZLI_FtZsI$EB IJB
F
Jy x x
= + −
.
IKB
E
J
F5L
E
y x
=
"*sG$wt IMB
F F5J5y c
=
5∈sG$w_Ft
94/[YO/<8O/M/*\068]/R*
1. Cho hai đồ thò (C
1
) : y = f(x) (C
2
) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) (nếu có )là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
x>,=%@IB%&,=%% 0,
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C
1
) tiếp xúc (C
2
) <=> hệ pt
b @5B @5B
b @5B @5B
=
′ ′
=
có nghiệm
K($^_Y`
K6*X)Q5
E
RE5F @XB
I @XB,=%
F l%@XB$:,,=% !5
E
RE5FRQG
E e !"#),=%@XB*&3@FZJB
J e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
x
=
K e !"#,=%@XB*,,&,.+)QG
K6*X)QL5
E
E5LJ@XB
I @XB,=%
F l%@XB$:,,=% !5
E
RE5QG
E e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
x
=
J e !"#),=%@XB$.,,=%)
P
J
k
=
K e-@XB$)- 01@4Bf)QE5FGIG
K6U*X
3
4 3 1
y x x
= − −
@XB
I @XB,=%
F l%@XB:, !"#f
− + =
3
3
0
4
x x m
T ++
M
!"
E e,=%@XB$)- 01
( )
IK
f FGIG
I
P
d y x
= − +
J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
f FGIG
F
NF
x
d y
= − +
K e !"#),=%@XB$)/%&3@IZLJB
K6a*X
3 2
y = 2x - 3x - 1
@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
F
4 f)Q 5FGIG
E
E e !"# 01/%3@FZEB5;,-@XB
J c#& 01
( )
4 f)Q5LI
F
,m@XB*E&y
K e !"# 01/%%&,,*,,&,=%@XB
K6W*X
3 2
y = -2x + 3x - 1
@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
F
f FGIG
E
d y x
= − +
E e !"# 01/%
I
3 IZ
J
5;,-@XB
J c#&
3 2
2 3 4
x x m
- + -
QG,.E,
K6X*X
( )( )
2
y = 2 - x x+ 1
@XB
I @XB,=%
F c#&@XzB
( ) ( )
F Fy x m
= − −
,m@XB*E&y
E e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
E
f FGIG
O
d y x
= − +
K6[*X
E
F
F E I
E
x
y x x
= − + +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#f
E F
M P E Gx x x m
− + + − =
E c#[,,,y5^,=%@XB
J e !"#),=%@XB*&,..,)v[
K e !"# 01/%&
N
3 JZ
E
5;,@XB
K6b*X
( )
E F
E I Fy x m x
= − + + −
I @XB,=%8QG
F :8,,=% !"#f
E F
E F Gx x k
− − =
E c#&,.,,*,,&
J c#&*,,**5QF
K c#[,'&
( )
3 X
∈
%,%8{ 9,;+)@XB
K6c*X
E F
O J IM
FN P P
y x x x
= − − +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#f
E F
O IF JO Gx x x m
+ − − =
E e !"#),=%@XB*&,..,)-[
T ++
N
!"
K6D*X
( )
E
J E I Iy x m x
= − + +
( )
m
C
I @X
G
B,=%8QG
F l%@X
G
B:8,,=% !"#f
E
J E Gx x k
− + =
E c#&6@X
B,.%,,"
J e !"# 01/%%&,,",=%6@X
B
K c#/|},,,",=%6@X
B
K6*X
J F
Fy x x
= −
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Fx x m
− =
E e !"#),=%@XB*&,.+5QG
J e !"#),=%@XB*&,.+)QO
K e !"#),=%@XB$.,,=%)AFJ
K6*X
J F
F Iy x x
= − + −
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Fx x m
− =
E e !"#),=%@XB*&,.+5QF
J e !"#),=%@XB*&,.+)QLP
K e !"#),=%@XB$.,,=%)AFJ
K6U*X
J F
Iy x x
= + +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Fx x m
− =
E e !"#),=%@XB*&,.+
FI
IM
y
=
J e,=%@XB$)- 01
( )
I
f M FGIGd y x
= +
K e,=%@XB$)2.,- 01
( )
F
I
f FGIG
M
d y x
= +
K6a*X
J F
Iy x x
= − +
@XB
I @XB,=%
F :,,=% !"#
J F
Gx x m
− + + =
E e !"#),=%@XB*&,.+
E
IM
y
=
J e !"#),=%@XB$.,,=%)AF
K6W*X
I
J F
F
J
y x x
= −
@XB
I @XB,=%
F c#& !"#
J F
Ox x m
− + =
,.J,y
E e,=%@XB$)- 01
( )
I
f IK FGIGd y x
= +
J e@XB$)2.,- 01
( )
F
O
f FGIG
JK
d y x
= − +
K6X*X
I
J F
F I
J
y x x
= − + −
@XB
I @XB,=%
F c#& !"#
J F
O Jx x m
− + =
,.F,y
E e !"#),=%@XB*&,.+5QI
T ++
O
!"
J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
f O FEI I Gd x y
− + =
K e !"# 01/%&3@GZLIB5;,-@XB
K6[*X
J F
F Ey x x
= − +
@XB
I @XB,=%
F l%@XB$: !"#
J F
F Gx x m
− + + =
E e !"#),=%@XB*%&,=%@XB-"],
J e !"#),=%@XB*&,.+AE
K6b*X
J
5 K
F
)Q LE5
F F
I @XB,=%8QI
F :8,,=% !"#
J F
M Gx x k
− + =
E c#&@IB*,,&*
Ex
=
c#&@IB,.E,,"
K6c*X
J F F
)Q5 F5
I @XB,=%8QLF
F :8,,=% !"#
J F
J Gx x k
− + =
E c#&*,,&*5QLI
J c#&,.I,,"
K6D*X
(
)
J F F
)Q5 LP 5 IG
@IB
I @XB,=%8
Im
=
F c#8& !"#
J F
O IG Gx x k
− + =
,.%,y
E e,=%@XB$)2.,- 01@4BF5JK)RIQG
J c#&,.+&,,"#&,.%&,,"
K6 * X
F5I
)Q
5I
@XB
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
x
=
E e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
y
= −
J e !"#),=%@XB$.,,=%)8QLE
K c#& 01
( )
K
4 f)Q5 LF
E
,m@XB*F&y
K6 * X
5I
)Q
5LI
@XB
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*&,.+
I
F
y
=
E e,=%@XB$)- 01
( )
I
P
f FGIG
F
d y x
= − +
J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
F
I
f I
O
d y x
= −
K6 U* X
I
I
x
y
x
−
=
+
@XB
T ++
P
!"
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*%&,=%@XB"],
E e !"#),=%@XB*%&,=%@XB"],
J e,=%@XB$)2.,- 01
( )
I
O I
f
P E
d y x
= − +
K6 a* X
E I
I
x
y
x
+
=
−
@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)- 0y,,=%.,j ^[
E c#& 01@4
I
B)Q5LFLN,m@XB*%&Y$y
J e,=%@XB$)2.,- 01@4
F
Bf5)RFQG
K c#'&"@XB,.*+-++7)
K6 W* X
F
F
x
y
x
+
=
−
@XB
I @XB,=%
F e,=%@XB$)2.,- 0y,,=%.,j ^%
E e !"# 01/%&3@EZJB5;,-@XB
J c#& 01
( )
4 f)Q5EL
I
@XB*%&Y$y
K c#'&"@XB,.*+-++7)
K6 X* X
E
F I
x
y
x
−
=
−
@XB
I @XB,=%
F e !"# 01/%&
M
3 LEZ
K
5;,-@XB
E c#'&"@XB,.*+-++7)
K6 [* X
J
I
x
y
x
+
=
+
@XB
E @XB,=%
J c#& 01@4Bf5R)QG,m@XB*%&yY$
K e !"# 01/%&
IG
3 LFZ
E
5;,-@XB
K6 b* X
F J
I
x
y
x
−
=
+
@XB
I @XB,=%
F e !"#),=%@XB*,,%&,=%@XB 01
( )
f
I
d y x
= −
K6 c* X
F
I
x
y
x
+
=
−
@XB
I @XB,=%
F c#'&"@XB%,8n&."],[28,,n
."],
E e !"#),=%@XB*'&# 9,i,yF
+,-/01236G]683235/7,-<3O
* :533?G.,060d/Q@PO683*
* 9./Ae..78]/<8>;E3;1*
U* e8/A@Z4>@I14PO8]683*
a* fg/Q@M!R/h0d/<GEI3E8ei;3E81*
W* e8@O83/<683;?@>;?@i;?@1*
T ++
IG
!"
PH'$$: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Y,-/0123
I am'5,&4]#5,],]",HC&$
F am',2^,}*&],]"j#)}},y
Vấn đề 1: Tìm tập xác đònh của hàm số
* q s)Q
%
b@5B5,
@ B G
G I
f x
a
>
< ≠
Bài 1: Tìm tập xác đònh của các hàm số sau
a) y =
F
E
IG x
−
b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
F
I
I
x
x
−
+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =
F E
@ FB
K
x
x
−
−
f) y =
I
F
F
I
x
x
−
g) y =
F
J K
I
F
x x
− + −
h) y =
F
I
Ix
−
i) y= lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e
x
b) y = x
7
.e
x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x
e) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
) g) y = cos(
F
F Ix x
e
+
) h) y = 4
4x – 1
i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
I
E
x
j) y= 2
x
e
x -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
F
I
J
x
x
−
Bài 2 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
F
F
x
c) ln(
F
Ix x
+ +
) d) y = log
3
(x
2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log
a
(x
2
+ 2x + 3)
Ef
a) cho
I
g
f I
I
= + =
+
y
y cmr xy e
x
b) cho
(
)
F
g F
F
f I
−
= = −
x
y x e cmr xy x y
'$$$jkYlm)n9(VoYl$*
+,-/0123*
I am'},[,=%~%"
F am'+,,,,2^,7~%"
E am'C&%"5,
J am'+,,,,2^,nIBJB,,,2^,,`*m&
• Dạng cơ bản:
IB
b @5B
%
Q
@5B
%
⇔b@5BQ@5BFB
b @5B
%
Q@vớiVGB⇔b@5BQ
a
EB
a
b@5BQ
a
@5B⇔
b @5B GU, @5B G
b @5B @5B
> >
=
JB
b @5B
%
G % I
=
< ≠
⇔b@5BQ
%
KB
@5B
QI⇔@−IB@5BQGMB
@5B
@5B
Q⇔
[ ]
@5B G Z @5B GZ @5B I
@5B @5B
> > ≠
=
@"đó u có chứa biếnB
T ++
II
!"
• Đặt ẩn phụ :
1) α.
Fb @5B
%
+β.
b @5B
%
+ γ = 0 (α ≠ 0) ; Đặt : t =
b @5B
%
, Đk t > 0
2)
b @5B
@% B
+
α
b@5B
@% B G
−
+ β + γ =
(α ≠ 0) : Đặt : t =
b @5B
%
Đk t > 0
3) α.
b @5B
%
+β.
b @5B
+ γ = 0 và a.b = 1 (α ≠ 0); Đặt: t =
b @5B
%
;
I
=
b @5B
, Đk t > 0
4) α.
Fb @5B
%
+β.
( )
b @5B
%
+ γ.
Fb @5B
= 0 ; Đặt t =
b @5B
%
,
C- !"#%"\:n• %7 !^ !"#~$)
,;k,2^,•,!
xCHC&%",j•5,
xaHQ
b@5B
%
#
I
% Q
b@5B
@GW%≠IBZC≠G
Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
a)
J
E
F J
x
−
=
b)
K
F
M
F
F IM F
x x
− −
=
c)
F E E K
E P
x x
− −
=
d)
J O I E
F J
x x
+ −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
IN
K
I
N E
EF IFO
J
x
x
x x
+
+
− −
=
f) 2
x
+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
F@I B
@G$MJB
x
+
8B
I F
F E K IF
x x x
− −
=
e)
F I
K O KGG
x x
−
=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Bài 2 : Giải các phương trình sau
I
EF
=
x
F
xx
EF
I
=
+
E
xxxx
EEFF
IFI
+=+
+++
J
JF
FE
=
−
x
K
JF
F
F
=
+
xx
M
P
I
E
N
F
=
−
x
N
IFK
I
K
J
F
=
−
xx
O
FF
F
I
FE
=
−
x
9) 2
x - 2
= 3 10) 3
x + 1
= 5
x – 2
11) 3
x – 3
=
F
N IF
K
x x
− +
12)
F
F K M
F K
x x x
− − +
=
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
4x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0 c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0
c)
(
)
(
)
K F M K F M IG
x x
+ + − =
F I
4BE PE M G
x x
+
− + =
e)
I
N FN P G
x x
−
+ − =
g)
F F
F PF F G
x x
+
− + =
h)
I
K F O
F G
F K K
x x
+
− + =
i)
E
K K FG
x x
−
− =
K($*?,, !"#%
%
J KF M G
x x
− − =
F
J F E G
x x
+
− + =
,
I
F
F
P E M G
x
x
+
+
− + =
4
J EF F G
x x
− + =
:
I
E E F G
x x
− +
− + =
b
F
K K G
x x
− +
− =
K($U*?,, !"#%
%
GJMMKP
=+−
xxx
F
F @F E B MP G
x x x x
+
+ − =
,
@E F B@E EF B OM G
x x x x x
+ + = =
4
P NIK MFK G
x x x
+ − =
:
I I I
J M P
x x x
− − −
+ =
B
I_ I_ I_
J M P
x x x
+ =
P IEM MJ IG
x x x
h
− + =
J FFK NIG G
x x x
i
+ − =
T ++
IF
!"
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1: giải các phương trình
a) log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2
x + log
3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1) h)
( ) ( )
E E E
F F Kx x
+ + − =
K($*?,, !"#%
%
GBK@
F
=−
x
IBIM@
N
=+
x
,
EBKE@
E
I
=+
x
4
FPF
E
−=+
x
:
F
I
FE
J
I
−=−
x
b
FBIG@
=−
x
FBF@
=−
ex
IBB@E@
NE
=
x
K($U*?,, !"#%
%
G
J
J
FF
=++
xxx
I
IGG
IGG
I
=++
xxx
,
exxx
e
e
e
=++
FI
K($a*?,, !"#%
%
GBE@
FF
=++
xx
IBI@BI@
E
I
F
E
=−+−
xx
,
FBJF@BO@
F
K
I
E
K
=+++−
xxx
4
FBF@BO@
K
I
E
K
=−+−
xx
:
GBF@BE@
F
E
O
=+++
xx
FBI@BPP@
E
I
F
E
=−+−
xx
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 1: giải phương trình
a)
I F
I
J F x x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2 c) log
x + 1
7 + log
9x
7 = 0
d) log
2
x +
F
IG M Px
+ =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
F
F I
F
F
E Fx x x
+ + =
h)
F
F
IM MJ E
x
x
o
+ =
K 6* ?,, !"#%
%
GF
F
F
F
=−+
xx
GP
E
E
F
F
F
=+−
xx
,
F
F
J
F
F
=
x
x
x
F
4
BJ@BJ@
FEF
xxx
−=−
:
GBIE@BIE@
E
E
E
=−−−
xx
b
G
IG
IG
K
=+
−
xx
FBFE@
=−
x
x
GBIE@BEE@
E
I
E
=++
+
xx
x
x
FBEEJ@
E
=−
'$9KpjkYlm)n9(VoYql$
• Dạng cơ bản :
I
G
b @5B
%
V
@5B
%
⇔
b @5B @5B 8 % I
b @5B @5B 8 G % I
> >
< < <
E
G
b @5B
%
W
xNếu b ≤ 0 thì bpt vô nghiệm
* Nếu b > 0 ; f(x) < log
a
b nếu a > 1
f(x) > log
a
b nếu 0 < a < 1
F
G
b @5B
%
V
* Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x
* Nếu b > 0 f(x) > log
a
b nếu a > 1
b@5BW
a
nếu 0 < a < 1
•log
a
f(x) > log
a
g(x) (1)
+ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
+ (1) (a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
T ++
IE
!"
•log
a
f(x) > b
* Neáu a > 1 : bpt laø f(x) >
b
a
* Neáu 0 < a < 1 bpt laø 0 < f(x) <
b
a
•
( )
@5B
@5B
> 1 ⇔
@ B G
@ @ B IB @ B G
u x
u x v x
>
− >
•log
a
f(x) < b
* Neáu a > 1 : bpt laø 0 < f(x) <
b
a
* Neáu 0 < a < 1 bpt laø f(x) >
b
a
•
( )
@5B
@5B
< 1 ⇔
@ B G
@ @ B IB @ B G
u x
u x v x
>
− <
T kf
xBc"" 09,.€4 -,!@%,^%€B#,;%•4],2^,%&
"i4‚4%!-,2^,%f
I
G
b @5B
%
@5B
%
>
@%−IB@b@5B−@5BBVGF
G
a
b@5BV
a
@5B@%−IB@b@5B−@5BBVG
xB[ !"#~H,%"#m'},[!,=%%
"am'ƒ[)9$[)%,=%%%)79
K60JL
K($*?,,[ !"#%
%
EF
>
x
xx
EF
I
≤
+
,
xxxx
EEFF
IFI
+>+
+++
4
JF
FE
≥
−
x
K($*?,,[ !"#%
%
GMFKJ
<−−
xx
GEFJ
F
≥+−
+
xx
,
GMEP
F
F
I
>+−
+
+
x
x
4
GFEE
I
<+−
+−
xx
:
GKK
F
≤−
+−
xx
GJMMKP
>+−
xxx
GPMBEF@F
F
<−+
+
xxxx
K($U*?,,[ !"#%
%
F
F
F J
x x
+
<
GFKMIKNP
≤−+
xxx
,
I I I
J M P
x x x
− − −
+ ≥
4
F
I
J
K
IFK
x x
−
≤
:
F
I
N
E
P
x
−
>
@E F B@E EF B OM G
x x x x x
+ + − ≥
( )
E F
F F F
x
−
≥
„…Jf?,,[ !"#%f
%
E PE IG G
x x
−
+ − <
I
I I
F O
J
J IM
x x
−
− >
,
F_ F I_
I I
P IF
E E
x x
+
+ >
4
6
x
x 2
9 3
+
<
:
1
1
2x 1
3x 1
2 2
−
+
≥
x x
3 9.3 10 0
−
+ − <
+ − ≤
x x x
5.4 2.25 7.10 0
≥
+
−
−
1 1
x
x 1
1 3
3 1
8
2 x x 1 x
5 5 5 5
+
+ < +
K($W*?,,[ !"#%
%
G
E
<
x
I
E
I
>
x
,
F
K
I
≤
x
4
F
E
−>
x
:
K
I
E
−≥
x
K($X*?,,[ !"#%
%
GBK@
F
<−
x
IBIM@
F
I
≥+
x
,
EBKE@
E
I
>+
x
4
FPF
E
−<+
x
:
F
I
FE
J
I
−>−
x
b
FBIG@
≤−
x
FBF@
≥−
ex
GBB@E@
NE
<
x
K($[*?,,[ !"#%
%
G
J
J
FF
<++
xxx
I
IGG
IGG
I
>++
xxx
,
F
FI
−≤++
xxx
e
e
e
K($b*?,,[ !"#%
%
GBE@
FF
>++
xx
IBI@BI@
E
I
F
E
<−+−
xx
,
GBJF@BO@
F
K
I
E
K
≤+++−
xxx
4
FBF@BO@
K
I
E
K
≥−+−
xx
K($c*?,,[ !"#%
T ++
IJ
!"
%
GF
F
F
F
<−+
xx
JP
FE
E
F
F
F
>+−
xx
,
F
F
J
F
F
≥
x
x
x
F
4
BJ@BJ@
FEF
xxx
−=−
:
FNBIE@BIE@
EE
F
E
≥−−−
xx
b
G
IG
IG
K
<+
−
xx
K($D*?,,[ !"#%
%
FBFE@
>−
x
x
x
x
FBEEJ@
E
<−
,
GBIE@BEE@
E
I
E
≥++
+
xx
„…II?,,[ !"#%f
%
( )
2
8
log x 4x 3 1
− + ≤
− − <
log x log x 3 0
3 3
,
( )
− >
2
log log x 5 0
1 4
3
4
( ) ( )
+ ≥ + −
log x 3 1 log x 1
2 2
:
+ ≥
5
log x log 3
x
1
2
3
b
( )
− <
x
log log 3 9 1
x
9
>
log 2.log 2.log 4x 1
x
2x 2
+
≥
4x 6
log 0
1
x
3
( )
( )
− + + − <
2
log x 6x 8 2log x 4 0
5
1
5
'9Yr+s()tu!v
*@wO
∫
b
(
5
)
4
5
=
†
(
5
)
+
X
c".†z@5BQb@5B$X A‡)k
*!x4/54*
∫
JH=H+!y*
∫
z
(
H
)
JH
=
∫
z
(
H
)
JH>I6{3
y
3. ∫
(
+
0
+
|**
)
JH
=
∫
JH
+
∫
0JH
+
∫
|JH
+
***a*
∫
0}JH=0−
∫
0}JHyW*
∫
J0
=
0
−
∫
0J*
K5",68,-23-1
adx ax C
= +
∫
F
a a
dx C
x
x
= − +
∫
I
I
I
−≠+
+
=
∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=
∫
I
@%5B
@ 5B 45Q @ LIB
%@IB
a C
+ ≠
∫
I
5
5
dx
a C
a a
= +
∫
x x
e dx e C
= +
∫
I
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
x
a
x
a dx C
a
= +
∫
∫
+−=
Cxxdx ,
I
@ B ,@ Bax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
∫
+=
Cxxdx ,
∫
+=
Cxdx
x
%
,
I
F
I
,@ B @ Bax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
∫
+−=
Cxdx
x
,
I
F
∫
+=
′
Cxudx
xu
xu
B@
B@
B@
I I
%@ B
F
, @ B
dx ax b C
a
ax b
= + +
∫
+
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
F
II
FF
∫
+++++=+
Caxx
a
ax
x
dxax
FFF
FF
Z
I I
,@ B
F
@ B
dx ax b C
a
ax b
= − + +
∫
+
K6 q6,,jY1
La),=%+•@B,=%7,}•@B,=%,,),=%
'j
La),=%+},@ !Bcủa nhiều hàm số không bao giờ bằng tích@ !B,=%,,
),=%'j
L3#),=%+%•)+tổng hoặc hiệu,=%
'# 9,)
T ++
IK
!"
94/e8,68G{ 3~JLG5,68G5
I
J
x dx
∫
F
@E IBx dx
−
∫
E
F
@E M IBx x dx
+ −
∫
J
J F
@ KBx x dx
− −
∫
K
F
E
F
@E IBx dx
x
+ −
∫
M
F
E
@ E IBx x x dx
+ − −
∫
N
F
@E M B
x
x x e dx
+ −
∫
O
@ KE B
x x
e dx
−
∫
P
@E5LK, IBx dx
−
∫
IG
F
N
@E5F, B
x dx
c x
−
∫
II
F
@F B
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
IF
F Kx dx
+
∫
IE
E Ox
e dx
−
∫
IJ
I
I K
dx
x
−
∫
IK
F
N
x
x
dx
∫
IM
I
N K
dx
x
−
∫
IN
Kxdx
∫
IO
,@J F Bx dx
−
∫
IP
F
Exdx
∫
FG
F
, @I N Bx dx
−
∫
FI
5 Kxdx
∫
FF
5,Exdx
∫
FE
,F5,Exdx
∫
FJ
N
,x xdx
∫
FK
%Kxdx
∫
FM
F
% xdx
∫
FN
I
@ IB
dx
x x
+
∫
94/e8,68G{/G.3*
f7c}…Q
bs@5Bt g@5B45
∫
A,,HQ@5B
ˆ CHQ@5B
4 g@5B45
⇒ =
ˆ …Q
bs@5Btg@5B45 b @B4
=
∫ ∫
f7c}…Q
b @5B45
∫
a82} 9,:4*I "},y,.,^%+"
,,&^,%#,.&• %f
I
F F
% 5 Z
F F
% 5
−
−
#H5Q%
I
F F
% 5 Z
F F
% 5
+
+
#H5Q%%
VTIq6,"4*I•4]*),!
Fa4* 9,A•
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
I
N
@F Bx x dx
−
∫
@HQFL5BF
E Jx xdx
−
∫
@H
J Et x
= −
BE
F
I I
dx
x x
∫
@H
I
t
x
=
B
J
F
x
dx
x
∫
@H
t x
=
B K
F E E
Ex x dx
+
∫
@HQE5
E
B M
I
x x
dx
e e
−
−
∫
@H
x
t e
=
B
N
F F
@I B
x
dx
x
+
∫
@HQI5
F
BO
E F
Fx x dx
+
∫
@HQI5
F
B P
@ Bx
dx
x
∫
@HQ5B
IG
X5
45
F 5
∫
+
II
E
F
I ,
x
dx
x
∫
+
IF
E
tg xdx
∫
IE
E
J
I ,
x
dx
x
∫
+
94/Ue8,68G{•-
a@5B$@5B%,.*],"…
q%) @-4Qz@5B45$4Qz@5B45B
‰Š‹Œ•Ž‹•Œ•‘’“•Œ”•–—Œ˜—™•Œ˜—š–Œ›œ•—Œ—•žŒ”ŸŒ ¡¢•Œ £‹Œ›œ•—Œ˜—š–Œ›—•–—Œ•¤•Œ—•žŒ”ŸŒ ¥Œ˜—¤›Œ—•¦–Œ‹Œ§•Œ §
Fq6,m'+4*y},,!%f
T ++
IM
!"
€•‚ƒ„…
@ B
ax
f x cosax dx
ax
e
∫
-b@5B%^,fCH
@ B g@ B
,
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
= =
⇒
= =
∫
>%.%),2^,
4 4
= −
∫ ∫
&}
€•‚ƒ„†
@ B@ Bf x ax b dx
+
∫
-b@5B%^,f ¨©›Œ
@ B
@ B
@ B
a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx
= +
=
⇒
+
=
=
∫
>%.%),2^,
4 4
= −
∫ ∫
&}
€•‚ƒ„‡
ax
ax
e dx
cosax
∫
c%,nj%j-Q:
%5
T kfq6,82,j/,;"64*E,r"4*IF
K6U*e8,683OG{,68•-
IB
@E IBx xdx
+
∫
FB
@F EB,x xdx
+
∫
EB
@E K B,
F
x
x dx
−
∫
JB
F
@I Bx xdx
−
∫
KB
@F EB
x
x e dx
−
∫
MB
F
@ J IB
x
x x e dx
− +
∫
NB
@F IB
x
x e dx
−
+
∫
OB
x
e xdx
∫
PB
F
@ J IB
x
x x e dx
− +
∫
IGB
@F IB
x
x e dx
−
+
∫
IIB
x
e xdx
∫
IFB
E
x
dx
x
∫
IEB
@I Bx x dx
−
∫
IJB
F
x xdx
∫
IKB
F
I
x
dx
x
+
∫
IMB
@F EB
x
x e dx
−
∫
94/ae8,68PO683IAM8]3J7G5R*
ª,j-6,
I am',,,2^, 9,,2^,•
F am'*,, 9,
l*If
@%5B@,54B45
∫
Z
@%5B,@,54B45
∫
,@%5B,@,54B45
∫
xc,,2^,•},•"}},y
l*Ff
%5, %545
∫
@$,,)4 !B
xBa{$,«#HQ,%5
xB{$,«#HQ%5
xBa$7,«#fl‡,2^,y2%.4,2^,*,&}@
+"FQGH,QG,`*,«#%,r4,2^,*,B
xB$∈¬),«#,.&HQ%%5H,Q,%5
I
F J
,x xdx
∫
F
F E
,x xdx
∫
E
J K
,x xdx
∫
J
E E
@ , Bx dx
+
∫
K
F F
,F @ , Bx x x dx
+
∫
M
F F
@F , , Bx x x x dx
− −
∫
N
,K ,Ex xdx
∫
O
N Fx xdx
∫
P
F
xdx
∫
IG
,
F
x
xdx
∫
94/W,68;/E
K6e8683zMHRG.{
Ibz@5BQF5Ib@IBQKFbz@5BQFR5
F
b@FBQN_E
Ebz@5BQJ
xx
−
b@JBQGJbz@5BQ5L
F
I
F
+
x
b@IBQF
T ++
IN
!"
Kbz@5BQJ5
E
RE5
F
Fb@LIBQEXbz@5BQ%5
FBI@$JBI@$GBI@g$
F
=−==
fff
x
b
K6X%
( )
I I
F
F J
sin
F x x x
= +
Z
( )
F
=
cos
f x x
%X^"A†@5B),=%b@5Bc#)†@5B"A
G
J
F
π
=
K6UfX
( )
O F J
=
sin cos cos cos
f x x x x x
%? !"#
( ) ( )
G
′′
+ =
f x f x
c#)†@5B,=%b@5B"A,=%†@5B/%&
G
O
π
−
;
M
K6aX
x
y xe
=
%c}
y
′
( )
F
′
y
c#),=%
( ) ( )
FGGN
= +
x
f x x e
K6Wc#)
( )
F x
,=%
( )
E F
F
E E I
F I
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
$"A
( )
I
I
E
F
=
'9$u!v
*@wOf
( ) ( ) ( ) ( )
∫
b
b
f x dx=F x =F b -F a
a
a
*K6f23-1
L3}},yAđịnh nghĩa%•4 -4[},ytổng hoặc
hiệu,=%'h)
La4 -4[},y'-,.,,=%•lớn hơn hoặc bằng,,=%<%
,ƒchia •,<
La4 -4[},y,.,^%4[")@?ccCB$%5ƒ4[&^,A
"4[?ccCc:y*,j}},y'*,%,"p*
,&^,A"4[?ccC82•4[®4]|%?ccC&8•4[?ccC
94/fc}},yA,,•4]},[),!
94/c}},yA !•
f7c}…Q
_
bs@5Bt 45
%
∫
A,,HQ@5B
ˆ CHQ@5B
4 g@5B45
⇒ =
ˆ C•,5Q%QVQ@%BZ5QQVQ@B
ˆ …Q
_
bs@5Bt 45
%
∫
Q
@B
b@B4
@%B
∫
f7c}…Q
b @5B45
β
∫
α
a82} 9,:4*I "},y,.,^%+"
,,&^,%#,.&• %f
I
F F
% 5 Z
F F
% 5
−
−
#H5Q%
%
I
F F
5 Z
F F
% 5
+
+
#H5Q%%
94/Uc#)A !njf
T ++
IO
!"
aQ@5B$Q@5B%,.*],"s%Zt#Q
4 4
%
% %
=
ĂÂ ÊÔ ƠÔƯĐ Đ
Fq6,m'+4*y},,!%f
@ B
ax
f x cosax dx
ax
e
-b@5B%^,fCH
@ B g@ B
,
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
= =
= =
>%.%),2^,
4 4
=
&}
@ B@ Bf x ax b dx
+
ăâ
@ B
@ B
@ B
a dx
u ax b
du
ax b
dv f x dx
v f x dx
= +
=
+
=
=
>%.%),2^,
4 4
=
&}
ax
ax
e dx
cosax
c%,nj%j-Q:
%5
94/axxFPO683IAM8]3J7G5R*
l*If
@%5B@,54B45
Z
@%5B,@,54B45
Z
,@%5B,@,54B45
xc,,2^,},"}},y
l*Ff
%5, %545
@$,,)4 !B
xBa{$,ô#HQ,%5xB{$,ô#HQ%5
xBa$7,ô#fl,2^,y2%.4,2^,*,&}@
+"FQGH,QG,`*,ô#%,r4,2^,*,B
xB$ơ),ô#,.&HQ%%5H,Q,%5
94/WxxFPO683
ê,j}
b@5B
45
@5B
".b@5B$@5B,,%^,:5
Af,,=%b@5B,,=%@5B#,,%%^,b@5B,@5B%4<f
b@5B "@5B
@5B
@5B @5B
= +
c".@5B@ !,=%,%B+%^,,`"@5B@j4 ,=%
,%B+%^,,.,v!,,=%@5Ba
b@5B "@5B
45 @5B45 45
@5B @5B
= +
a )
@5B45
%}, 9,A)#)%,r,`}
"@5B
45
@5B
:" 09%
c" 09Ff}
"@5B
45
@5B
-,"@5Bv!,@5B
xB(y},<@5B},,=%,,^,Me/]SOiJ76R
xBl,,[^, %f,m*f
"@5B "@5B
Y X
F F
@5B @5 5 B @5 5 B
%@5 B@5 5 B @5 5 B
I F
I F F
= = + +
@xB@5
I
Z5
F
,=%@5B
T ++
IP
!"
xBc%/)v<% 9,&^,@xxB"%.,,,",=%5&^,@xxB&#
,,Y$$X@2 0,5A,,,=%@5B&#,, 9,4‚4B
xB%.%)&^,4 -4[},y&}
94/XxxF"OJ4@,/*
c}
b @5B 45
%
∫
Bc#,=%b@5BQG
ab@5BQG2"@%ZBH,,.,. 82,.+,s%ZtH,,.
+5Q%H,5Q,,,`*82+,s%Zt#
b @5B 45
%
∫
Q
b @5B45
%
∫
ab@5BQG,.5Q,∈@%ZB#
b @5B 45
%
∫
Q
,
b @5B45 b@5B45
% ,
+
∫ ∫
‹!ST
IBa,.7!I"@%ZB#<4,2^,"‡):" 09
@,,),.9#%82,j5ƒ4[b@5BB
FB¯^,+cacq(c82,jm[1^,},y
EBam'4*},y, %4[")&4]}4},#1
Ifc},,},y%f
I
I
E
G
@ IBx x dx
+ +
∫
2.
F
F
I
I I
@ B
e
x x dx
x x
+ + +
∫
3.
F
E
@F E Bx cosx x dx
π
π
+ +
∫
4.
I
G
@ B
x
e x dx
+
∫
6.
I
E
G
@ Bx x x dx
+
∫
7.
F
I
@ IB@ IBx x x dx
+ − +
∫
b*
F
E
I
@E F Bx cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
I
F
G
@ IB
x
e x dx
+ +
∫
10.
F
F
E
I
@ Bx x x x dx
+ +
∫
11.
F
I
@ IB@ IBx x x dx
− + +
∫
12.
E
E
I
5 I 45
( ).
−
+
∫
IE
F
:
N5 F 5 K
45
5
I
− −
∫
IJ
∫
−
++
I
I
F
BIF@ dxxx
IK
∫
−−
F
G
E
B
E
F
F@ dxxx
IM
∫
−
−
F
F
BE@ dxxx
IN
∫
−
−
J
E
F
BJ@ dxx
IO
dx
xx
∫
+
F
I
EF
II
IP
∫
−
F
I
E
F
F
dx
x
xx
Ffc},,},y%f
I
F
E F
E
xcos xdx
π
π
∫
F
F
F E
E
xcos xdx
π
π
∫
E
F
G
I E
x
dx
cosx
π
+
∫
J
J
G
tgxdx
π
∫
K
J
M
, gxdx
π
π
∫
M
M
G
I J xcosxdx
π
+
∫
N
I
F
G
Ix x dx
+
∫
O
I
F
G
Ix x dx
−
∫
P
I
E F
G
Ix x dx
+
∫
IG
I
F
E
G
I
x
dx
x
+
∫
II
I
E F
G
Ix x dx
−
∫
IF
I
F
F
G
x
e xdx
+
∫
T ++
FG
!"
IE
I
I
e
x
dx
x
+
∫
IJ
I
@ B
e
x
dx
x
∫
IK
I
I E
e
x x
dx
x
+
∫
IM
F I
I
e
x
e
dx
x
+
∫
IN
F
F
I
e
e
x
dx
x x
+
∫
IO
I
F E
K
G
+
∫
x x dx
IP
J
F
J
G
x dx
−
∫
FG
I
F
G
I
∫
+
dx
x
FI
1
3
0
x
dx
(2x 1)
+
∫
FF
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
FJ
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
FK
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
FM
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
FN
1
x
0
1
dx
e 1
+
∫
FO
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
−
∫
Efc}},y
I
I
e
x xdx
∫
F
I
@ IB
G
+
∫
x x dx
E
:
F
5 545
I
∫
J
F
,
G
x xdx
π
∫
K
F
@ 5B5
G
+
∫
x c dx
π
M
I
@ B
I
e
x xdx
x
+
∫
N
I
G
x
xe dx
∫
O
F
,
G
x
e xdx
π
∫
Jfc},,},y%
IB
∫
I
G
E
dxex
x
FB
∫
−
F
G
,BI@
π
xdxx
EB
∫
−
M
G
EBF@
π
xdxx
JB
∫
F
G
F
π
xdxx
KB
∫
e
xdxx
I
MB
∫
−
e
dxxx
I
F
BI@
NB
∫
E
I
J dxxx
OB
∫
+
F
I
F
BI@ dxex
x
PB
∫
π
G
, dxxx
IGB
∫
F
G
F
,
π
dxxx
IF
∫
++
F
G
BI@BNF@ dxxx
Kfc},,},y%f
I
∫
−
−
E
E
F
Idxx
F
∫
+−
F
G
F
EJ dxxx
E
∫
−
I
G
dxmxx
J
∫
−
F
F
π
π
dxx
K
∫
−
−−+
K
F
BFF@ dxxx
M
∫
−
E
G
JF dx
x
N
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
O
0
1 cos2xdx
π
+
∫
'9$$*f$Œu!!•qmŽYf
*fExPOe\17GŠf
( )
( )
( )
( )
C :y=f x ; C :y=g x ; x=a; x=b
1 2
M/;O/\
;
x a x b
= =
;<thiếu8]i5OR*
OR!"
( ) ( )
b
S = f x - g x dx
a
∫
@FB
VTIa@5BQG@,}"],°5B#@FB"i
( )
∫
b
S = f x dx
a
Fa,# !"#b@5BR@5BQGQV,
T ++
FI
!"
GR!G1?E
• -,Ifa% 0
,
x a x b
= =
7,thiếu+H,,%# !
"#b@5BQ@5B@(cqC?C,=%
( )
I
C
( )
F
C
&#
• -,Ff®4],2^,@FB
• -,Ef±;6&^,b@5BR@5B$%.5ƒ4[,=%)
• -,Jfl‡ƒy*},y4]|%?ccC&8•4[?ccC
!STa) 9,,chung"8#%4‡#&8•4[
?ccC4‚4!X.|%$"+*},y."#$
( )
I
C
A"
( )
F
C
#b@5BR@5B²G
( )
I
C
A4 -
( )
F
C
#b@5BR@5B≤G
fExe\17GŠ/06A
• -,Ife#@82,j8B
• -,FfX%#,j},,#v%,p#v} 9,4},A
,2^,@FB
• -,Efl‡,2^,@FB}4},,,#v%.}•4},[,,,#v
T kfc" 09)})"%", !"#,€6,"" 09I
R* <xPOe•HONOe\17GŠ/3O
/FNOLoH
( ) ( )
C :y=f x ; Ox; x=a; x=b
@".% 01
x=a; x=b
,.&thiếu+H,,%B
!"
( )
π
b
2
a
V= f x dx
∫
@EB
!G1?E
• -,Ifa% 0
,
x a x b
= =
7,thiếu+H,,%# !
"#
( )
G
f x
=
@(cqC?C,=%
( )
C
"],°5B&#
• -,Ff®4],2^,@EB
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
I
I$ G$ G$ E
= − = = =
y x y x x
F
F
E J$ G$ I$ E
= + − = = − =
y x x y x x
E
E F
K J $ G$ I$ E
= − + = = − =
y x x x y x x
J
E
$ G$ G$
F
π
= = = =
y x y x x
K
5
$ G$ $
F F
π
π
= = = − =
y c y x x
M
F I
$ G$ G$ I
+
= = = =
x
y e y x x
N
F
F
$ G$ G$ F
+
= = = =
x
y xe y x x
O
I
$ G$ $
F
= = = =
y x y x x e
e
P
F E
, $ G$ G$
F
π
= = = =
y x x y x x
IG
F
$ G$ I$
= = = =
y x x y x x e
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
I
F
$ J J $ G$ E
= − = − = =
y x x y x x x
F
F
$ F G
= − + + =
y x x y
E
F F
K$ E N
= + − = − + +
y x x y x x
J
@ IB@ FB@ EB$ G
= − + − =
y x x x y
K
$ I$ F
= = =
x
y e y x
M@XBf
F
F F
= − +
y x x
,,),=%@XB/%
E
@ $ IB
F
A
−
T ++
FF
!"
N@XBf
E F
E M Fy x x x
= + − +
),=%@XB*&,.+AIZ
f
K6c}4},,=%#1-*i
%B 0,
( )
F
M K
F I
:
x x
C y
x
− +
=
−
"],°5B 0,
( ) ( )
F
E
:
C y x x
= −
"],°5
R 0,
( )
J F
:
C y x x
= −
"],°5,B
( )
E
E I
:
C y x x
= − +
E
:
d y
=
K6c}4},,=%#1-*i,, 0f
( )
F
F F
I
:
x x
C y
x
+ +
=
+
Z 0,
5,=%
( )
C
Z°5Z
I
x e
= −
K6UX 0,
( )
E F
E J
:
C y x x x
= − +
e !"#)
d
,=%
( )
C
*,6%+
°cn.}4},,=%#1-*i
( )
C
d
K6aX%"%
( )
F
M K
:
P y x x
= − +
%e !"#,,),=%
( )
P
*,,%&,=%
( )
P
-"],°5
c}4},,=%#1-*i
( )
P
,,).i,y%
K6Wc}4},,=%#1-*i%"%
( )
F
J
:
P y x
=
01
F J
:
d y x
= −
K6XX%"%
( )
F
J
:
P y x
=
%e !"#),=%
( )
P
*&+AJ
c}4},,=%#1-*i,, 0f
( )
P
$"],°5).i,y%
K6[X 0,
( )
F I
I
:
x
C y
x
+
=
+
?6@qB#1-*i,, 0f
( )
; ;
C Ox Oy
c}
&},,=%#"`5%) 9,"%8/%)@qB5/%"],°5
K6bX 0,
( )
J F
:
C y x x
= −
?6@qB#1-*i
( )
C
"],°5c}&
},,=%#"`5%) 9,"%8/%)@qB5/%"],°5
Bài 9. Tính thể tich của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh
trục Ox.
I
F
E $ G
= − =
y x x y
F
F
$ E
= =
y x y x
E
E
I$ G$ G$ I
= + = = =
y x y x x
J
J
K $
= − =
y x y
x
K
$ G$ G$
F
π
= = = =
y x y x x
M
$ G$ G$ I
= = = =
x
y xe y x x
'$•%&‘!
+,-/0123
Iam',,}2,=%+^,X2"ny,%$y³n%,=%+^,
Fam',,•^,74*%&5,j,j
Eam,, !"#,%"" 09,.^,,U,%,=%,y
Jam,,5,^,,$^,9
Ki."-1
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i
Bg$g$$@
g
g
Rbaba
bb
aa
∈
=
=
⇔
3/ Cộng và trừ số phức : a, b, a’, b’
R
∈
thì
*) (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i *) (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i
T ++
FE
!"
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
BR
∈
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
gu
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+
guu
và z – z’ biểu diễn bởi
→→
−
guu
4/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
BR
∈
.
5/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz
−=
−
a)
ggZggZ zzzzzzzzzz
=+=+=
b) z là số thực
zz
=⇔
; z là số ảo
zz
−=⇔
6/ Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz
==+=
FF
b)
GG$G
=⇔=∈∀≥
zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz
∈∀+≤+=
g$gg$gg
7/ Chia hai số phức :
a) Số phức nghòch đảo của z (z
BG
≠
:
z
z
z
F
I
I
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z
BG
≡
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z gg
g
g
F
I
===
−
c) Với z
g
g
$G wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z
g
g
$
gg
==
8/ Căn bậc hai của số phức : z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi
=
++
=
⇔
=
=−
⇔
x
b
y
baa
x
bxy
ayx
F
F
F
FF
F
FF
(a, b, x, y
BR
∈
( phj),r,."y,%B
9/ Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số th, cho trước, A
G
≠
).
a)
G
∆ >
: Phương trình có hai nghiệm ph^,phân biệt
F
B
A
− ± ∆
b)
G
∆ <
: Phương trình có hai nghiệm ph^,phân biệt
F
B i
A
− ± ∆
c)
G
=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
F
−
V4/?E’]•FtO
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i)
2
– (1 – i)
2
c) (2 + i)
3
– (3 – i)
3
d)
E F
I
i i
i i
− −
−
+
e)
iFI
E
+
g)
i
i
−
+
I
I
Fc},,^,%
I
aia
aia
−
+
2.
E
@I F B@I B
i
i i
+
− +
3.
F F
@I F B @I B
F F
@E F B @F B
i i
i i
+ − −
+ − +
4.
ai
bia
+
5. (2 – i)
6
6.
F E FGGP
I i i i i
+ + + + +
7.
IGG
@I Bi
−
8.
FGGO FGGO
@I B @I B
+ + −
i i
9.
mi
m
10. (
EI i
−
)(1 + i ) 11.
BIB@EI@ ii
+−
12 .
i
i
+
−
I
EI
13.
F @ E Bi i
−
14.
I
F Fi
+
- (2+4i) 15. (2-4i)(4-5i) – (7+8i)
T ++
FJ
!"
Efc#,,^,%f
+
2
a) i + (2 4i) (3 5i) b) ( 2 5i) c) (2 + 3i)(2 3i) d) i(2 i)(3+i)
+
+
+ +
3
1 5 6i 7 2i
e. (1+ i) 13i; g. ; h. ; i.
(1 i)(4 3i) 4 3i 8 6i
Jfc,,,%f
a. (2 - i) +
I
F
E
b.
( )
F K
F E
E J
c.
I E I
E F
E F F
+ +
d.
E I K E J
E
J K J K K
+ + +
e. (2 - 3i)(3 + i) g. (3 + 4i)
2
h.
E
I
E
F
94/e8A/<8
I>^,Q5)&4,=%&3@5Z)B"H1*+5)
FX;km,, !"# 0"`$:}$ i1
à,9,,&"H1&4,=%^,hn78%f
I_
ả Iả Iz
=
F_
ả ả I
z i
z i
=
+
E_IW
ả Iả I
z
J_
ả ả I
+
z i
K_(j,A"@LIZIBM_(j+,@GZIt
N_(j,,=%
2
1
z
z
AGO_
1
z
z
+
94/UY5e,3"
Baứi 1: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau (aồn z):
1.
i
i
z
i
i
+
+
=
+
F
EI
I
F
2.
GB
F
I
t@EBFs@
=+++
i
izizi
3.
izz JFF
=+
4.
G
F
=
zz
5.
G
F
=+
zz
6.
G
F
F
=+
zz
7. x
3
1 = 0 8.
J F
M FK Gz z
+ =
Ff?,, !"#%"^,f
= + + + = + = + = + =
2 2 2 2 2
a) z z 1 b) z 2z 5 0 c) z z 1 0 d) z z 6 0 e) x 2x 4 0
K6 3: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
a.
( )
J K F
= +
b.
( ) ( )
F
E F E
+ =
c.
I I
E E
F F
= +
d.
E K
F J
+
=
K 6 4: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a.
( )
( )
F
E F K G
+ + =
b.
( ) ( )
F F
P I G
+ + =
c.
E F
F E K G
+ =
Kfc# !"#,%-,
%QEJQFLK,@FEB@FLB4QL
K6XTìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a. 2 + 3i và -1 + 3i b. 2i và -4 + 4i c . 2 + 3i và -1 + 3i d. 2i và -4 + 4i
K6[ Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a. = 3 + 4i b. =
N E
I? !"#"^,
%
F
J N Gx x
+ =
E
O Gx
+ =
,
F
F IN Gz z
+ + =
4
F I E
I F
i i
z
i i
+ +
=
+
:
F
I Gx x
+ =
F
F F Gx x
+ =
F
E E Gx x
+ + =
Fc}",=%&^,f
T ++
FK
