Chuyên đề hàm số ôn thi đại học

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Chuyên đề Hàm số
Chuyên đề 1: Cực trị của hàm Số
A. Tóm tắt lý thuyết.
1. Điều kiện để hàm số tồn tại cực trị.
Hàm số y = f(x) có cực trị y = f(x) có cực đại và cực tiểu f(x) = 0 có nghiệm.
Chỳ ý: * Nu f'(x
0
) = 0 v f"(x
0
) = 0 thỡ ta khụng tỡm c cc tr ca hs y = f(x) theo
du hiu II. Khi ú ta phi tỡm cc tr ca hm s theo du hiu I ch khụng c kt
lun hm s khụng cú cu tr.
* Du hiu II thng tỡm cc tr nhng hm s m vic xột du o hm cp 1 quỏ
phc tp, chng hn nh hm lng giỏc.
B. Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3.
Bài 1: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x - (2m + 1) có cực đại và cực tiểu.
Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx + 5 có cực đại và cực tiểu.
Bài 3: Chứng minh rằng

m, hàm số y = 2x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt
cực trị tại x
1
; x
2
với x
1
- x
2
không phụ thuộc m.
Bài 4: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ (m - 2)x
2
+ (5m + 4)x + m
2
+ 1 đạt cực trị tại x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện x
1

< -1 < x
2
Bài 5: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ (m + 3)x
2
+ 4(m + 3)x + (m
2
-m) đạt cực trị x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện -1 <x
1
< x
2
Bài 6: Chứng minh rằng

m < n < p, hàm số y = (x - m)(x - n) x - p) đạt cực trị tại x
1
; x
2
với m < x
1
< n < x
2
< p.

Bài 7: Cho hàm số y = 2x
3
- 3(m + 2)x
2
+ 6(5m + 1)z - (4m
3
+ 2)
a, Tìm m để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.
b, Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2.
c, Tìm m để hàm số có ít nhất một điểm cực trị

(-1; 1)
d, Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị lớn hơn 9.
Bài 8: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ (m
2
- m + 2)x
2
+ (3m
2
+ 1)x + m - 5 đạt cực tiểu tại x
= -2. ( Điều kiện cần + điều kiện đủ)
Bài 9: Tìm m để f(x) = x
3
- 3mx
2

+ 3(m
2
- 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 10: Tìm m để f(x) = x
3
- 3mx
2
+ (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 11: Tìm m để f(x) = x
3
+ 3mx
2
- (m - 1)x - 1 không có cực trị.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
1
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị

( )
0
'f x
.
− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=
.
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.
− Giải phương trình:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
.
− Phương trình tiếp tuyến dạng:
( )

0 0
y k x x y= − +
.
Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
, khi đó:
− Nếu
( )
// :d d y ax b∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc k = a.
− Nếu
( )
:d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc
1
k
a
= −
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +

− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k

= − +


=


Tổng quát: Cho hai đường cong
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
' :C y g x=
. Điều kiện để hai đường cong
tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x


=


=


.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
2
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Chuyên đề Tiếp tuyến.
A. Hớng dẫn cách giải
1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Phơng pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
)

(C): y = f(x)
có hệ số góc là f(x
0
).
Phơng trình tiếp tuyến tại M
0
(x

0
;y
0
) của (C) là
y - y
0
= f(x
0
)(x- x
0
) y = f(x
0
)(x- x
0
) + y
0
2: Viết phơng trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trớc.
Phơng pháp:
Cách 1: Phơng pháp tìm tiếp điểm.
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có
hoành độ x
i
=> f(x
i
) = k => x = x
i
là nghiệm của phơng trình f(x) = k.
Giải phơng trình f(x
i
) = k => nghiệm x

(x
0
; x
1
;x
2
; x
i
x
n
)
Phơng trình tiếp tuyến tại x
i
là y = k(x- x
i
) + f(x
i
)
Cách 2: Phơng pháp điều kiện nghiệm kép
Xét đờng thẳng với hệ số góc k với phơng trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với
(C): y = f(x) phơng trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép. Giải phơng trình (*)
với = o => các giá trị của m => phơng trình tiếp tuyến.
Chú ý: Vì điều kiện (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện
f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm
f(x) = g(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng đợc cho các hàm số mà phơng trình tơng giao

kx + m = f(x) có thể biến đổi tơng đơng với 1 phơng trình bậc 2.
3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc.
a, Dạng trực tiếp k =

1;

2,

3;
b, Tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc

=> k = tg

với




{ }
0000
165; 45;30,15
c, Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax + b => k = a.
d, Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b => k = -
a
1
với a

0
e, Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = ax + b góc

=>
ka
ak
+

1
= tg

với




{ }
0000
75; 45;30,15
4. Phơng trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trớc.
Phơng pháp tìm tiếp điểm:
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành
độ x
i
suy ra phơng trình tiếp tuyến có dạng (t) y = f(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
). Do A

(t) nên b =

f(x
i
)(a- x
i
) + f(x
i
). x = x
i
là nghiệm của phơng trình b = f(x
i
)(a- x
i
) + f(x
i
). Giải phơng trình
tìm đợc nghiệm x

(x
0
; x
1
;x
2
; x
i
x
n
).
Phơng trình tiếp tuyến tại x = x
i

là y = f(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
).
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
3
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Cách 2: Đờng thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phơng trình y = k(x-a) + b tiếp xúc với
đồ thị (C): y = f(x) Hệ phơng trình
f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f(x) (x - a) + b. Giải phơng trình ta tìm
f(x) = k đợc x

(x
0
; x
1
;x
2
; x
i
x
n
).
Phơng trình tiếp tuyến tại x = x
i
là y = f(x

i
)(x - x
i
) + f(x
i
).
Phơng pháp điều kiện nghiệm kép:
Cách 3: Đờng thẳng đi qua A(a,b) với hệ số góc k có phơng trình y = k(x - a) + b tiếp xúc
với (C) y = f(x) k(x-a) + b = f(x) có nghiệm kép . Nói chung u(k)x
2
+ v(k)x +
w(k) = 0 có nghiệm kép
u(k)

0
= g(k) =

.k
2
+

.k +

= 0 (**) Hệ sinh ra hệ số góc
Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra giá trị của k hoặc số lợng của k. Từ đó suy ra ph-
ơng trình tiếp tuyến hoặc số lợng các tiếp tuyến đi qua A(a;b).
B: Bài tập
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
4
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

HA
Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2.
Bài 1: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x
3
- 3x + 5 khi biết
a, Hoành độ của tiếp điểm là x
1
= -1; x
2
= 2 ; x
3
=
3
b, Tung độ của các tiếp điểm là y
1
= 5; y
2
= 3 ; y
3
= 7
Bài 2. Cho (C): y = f(x) = 2x
3
- 3x
2
+ 9x - 4. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các
giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
a, Đờng thẳng (d) y = 7x + 4
b, Parabol (p): y = -x
2
+ 8x - 3

c, Đờng cng (C) y = x
3
- 4x
2
+ 6x + 7
Bài 3: Cho hàm số (Cm) y = x
3
+ 1 - m(x + 1). Viết phơng trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao
điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích
bằng 8.
Bài 4: Cho (C) y = x
3
+ + 3x
2
+ 3x + 5.
a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
b, Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đ-
ờng thẳng y = kx + m.
Bài 5: Tìm các điểm trên đồ thị (C): y =
3
1
x
3
- x +
3
2
mà tiếp tuyến đó vuông góc với đờng
thẳng y =
3
1

x +
3
2
.
Bài 6: Cho đồ thị (C) y = x
3
+ 3x
2
- 9x + 5
Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 7: Cho đồ thị (C) y = x
3
- 3x + 7
a, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y = 6x - 1
b, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y =
2
9
1
+

x
c, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x + 3 góc 45
0
.
Bài 8: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = -x
3
+ 3x biết tiếp tuyến đó song song với y = -9x + 1.
b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x
3
- 3x

2
+ 4 biết tiếp tuyến đó song song với y = 9x.
Bài 9: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x
3
- 3x
2
+2 biết tiếp tuyến đó

5y - 3x + 4 = o
b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x
3
- 3x
2
+ 2 biết tiếp tuyến đó

y =
3
x
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
5
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Bài 10: Cho đồ thị (C) y = 2x
3
- 3x
2
- 12x - 5
a, Viết phơng trình tiếp tuyến song song với y = 6x - 4
b, Viết pt tiếp tuyến

y =
2
3
1
+

x
c, Viết pt tiếp tuyến tạo với y =
5
2
1
+

x
một góc 45
0
Bài 11: Cho đồ thị (C) y =
3
1
x
3
- 2x
2
+ x - 4.
a, Viết pt tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 60
0
b, Viết pt tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y =
3
2
1

+

x
góc 30
0
c, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đt y = -x + 2
d, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với y = 2x - 3.
Bài 12: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(
)4;
12
19
(
đến (C) y = 2x
3
- 3x
2
+ 5
b, Cho (C) y = x
3
- 3x
2
+ 2.
+ Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm B(
9
23
; -2) đến (C)
+ Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
+ Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 13: Cho (C) y = x
3

- 12x + 12. Tìm trên đờng thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C) .
Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A(
1;
3
2

) đến y = x
3
- 3x + 1
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x
3
- x - 6.
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x
3
+ 9x
+ Cho đồ thị (C) y = x
3
+ ax
2
+ bx + c. Tìm các điểm M

(C) để có thể kẻ đợc đúng 1 tiếp
tuyến với đồ thị.
+ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua D(-2; 5) đến đồ thị (C) y = x
3
- 9x
2
+ 17x

+ 2.
Bài 15: Cho đồ thị (C) y = -x
4
+ 2x
2
- 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến
đến đồ thị (C).
Bài 16: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(5,
4
9
) đến đồ thị (C) y = x
4
- 7x
2
+ 10.
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B( 1, - 4) đến đồ thị (C) y = x
4
- 2x
3
- 2x
2
+
4
5
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua A(1;1) đến đồ thị (C) y = x
4
- x
3
+ 2x
2

-1
Bài 17: Cho (C): y = 2x
3
+ 3x
2
- 12x - 1. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
6
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Bài 18: Cho (C): y =
3
1
x
3
- x +
3
2
. Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc
với đờng thẳng y =
3
2
3
1
+

x
.
Bài 19: Cho (C): y =

1
63
2

+
x
xx
. Từ gốc toạ độ có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C);
tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 20: Cho (C): y = mx
3
- (m - 1)x
2
- (m - 2)x + m -1.
Tìm m để (C) đạt cực đại tại x = -1.
Khi m = 1, tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến (C)
Bài 21: Cho (C): y = -x
4
+ 2x
2
- 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy sao cho từ đó có thể kẻ đợc
3 tiếp tuyến đến (C)
Bài 22: Cho (C): y = x
3
- 3x
2
+ 2.
a, Qua A(0; 1) có thể kẻ đợc mấy tiếp tuyến với (C)? Hãy viết pt tiếp tuyến ấy.
b, CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói
trên.

Bài 23: Cho (P) y = 2x
2
+ x - 3. Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ
đợc 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 45
0
Bài 24: Cho (C): y =
x
xx 23
2
+
. Tìm trên đờng thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ
đợc 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài 25: Cho (C) y = x
3
+ 3x
2
. Tìm tất cả cá điểm trên trục hoành để từ đó vẽ đợc đúng 3 tiếp
tuyến với đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 26: Cho (C): y =
mx
xmx
+
+
4
34
2
, Với giá trị nào của m thì tếp tuyến vủa đồ thị tại điểm có
hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận.
Bài 27: Cho (H): y =
1

12


x
x
và 1 điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B.
CMR: M là trung điểm của AB.
CMR: Diện tích Tam giác IAB = const.
c, Tìm M để Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
(gợi ý c: Chu vi = IA + IB + AB = IA + IB +
22
IBIA +

2
IBIA.
+
IBIA.2
= 2(2+
2
)
Dấu = sảy ra IA = IB = 2 |m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.)
Bài 28: Cho (C): y =
1
1

+
x
x
. CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với 2 tiệm cận của (C) một tam

giác có diện tích không đổi.
Bài 29: Cho (C): y =
1
23


x
x
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 45
0
.
Bài 30: Cho (C): y =
12
54
+

x
x
. Viết pt tiếp tuyến vủa (C) song song với y = 3x + 2.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
7
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Bài 31: Cho (C): y =
45
32


x
x

. Viết pt tiếp tuyến của (C)

y = - 2x.
Bài 32: Cho (C): y =
52
73
+

x
x
. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết
a, Tiếp tuyến song song với y =
2
1
x + 1
b, Tiếp tuyến vuông góc với đt y = - 4x.
c, Tiếp tuyến tạo với đt y = -2x góc 45
0
.
Bài 32: Tìm trên đờng thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến đến (C):
y =
1
3

+
x
x
.
Bài 34: Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y =
34

43

+
x
x
Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y =
2
2

+
x
x
Bài 36: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y =
1x
x
đi qua giao điểm I của 2 đờng
tiệm cận.
Bài 37: Viết phơng trình tiếp tuyến từ O(0;0) đến (C): y =
2
)1(3

+
x
x
Bài 38: Cho (C): y =
1
33
2

+

x
xx
. Chứng minh rằngDiện tích tam giác tạo bởi hai tiệm cận với
1 tiếp tuyến bất kì là không đổi.
Bài 39: Cho (C): y =
2
33
2
+
++
x
xx
. Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt 3y - x + 6 = 0.
Bài 40: Cho (C): y =
2
772
2

+
x
xx
. Viết pt tiếp tuyến của (C) song song với đt y = x + 4.
Bài 41: Cho hm s
4 2
2y x x
=
a. kho sỏt v v th (C) ca hm s.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C):
i. Ti im cú honh
2x =

.
ii. Ti im cú tung y = 3.
iii. Tip tuyn song song vi ng thng:
1
: 24 2009 0d x y + =
.
iv. Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng:
2
: 24 2009 0d x y+ + =
.
Bài 42: Cho hm s
2
3
1
x x
y
x
+
=
+
cú th l (C).
a. Kho sỏt v v th (C) ca hm s trờn.
b. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C):
i. Ti giao im ca (C) vi trc tung.
ii. Ti giao im ca (C) vi trng honh.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
8
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).

iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.
Bµi 43 :Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Bµi 44: Cho hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M(−3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Bµi 45: Cho hàm số:
2
1
x
y
x
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm M
∈
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M
và tâm đối xứng của (C).
Bµi 46: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1 tại ba
điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Bµi 47: Cho hàm số
2
1
2

x x
y
x
+ −
=
+
. (ĐH Khối−B 2006)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận
xiên.
ĐS: b.
2 2 5y x
= − ± −
.
Bµi 48: Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
(*) (m là tham số).
(ĐH Khối−D 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại M

song song với đường thẳng
5 0x y− =
ĐS: m=4.
Bµi 49: Cho hàm số
( )
3 2
3 3
m
y x mx x m C
= − − +
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
Bµi 50: Cho hàm số
( )
( )
4 3 2
1
m
y x x m x x m C
= + + − − −
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục
hoành.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng

9
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Bµi 51: Cho đồ thị hàm số
( )
2
4
:
1
x
C y
x
−
=
+
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ
đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C).
Bµi 52: Cho đồ thị hàm số
( )
4 2
: 2 1C y x x
= − +
. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M
kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
Bµi 53: Cho đồ thị hàm số
( )
3
: 3 2C y x x
= − +
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao

cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Bµi 54: Cho hàm số y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH
Khối−B 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm M(–1;–9).
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô’
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=



<


thì hàm số đạt cực đại tại
0
x x=
.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x

=


>


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x=
.
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a
≠


⇔

∆ >


.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=

có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CĐ CT
x x
⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ >

⇔

>

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
0
. 0
CĐ CT

CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

<

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
⇔ =
.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
10
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d
= + + +
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2
điểm cực trị.

Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y
dx e
+ +
=
+
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng
( )
( )
2
'
2
'
ax bx c
a b
y x
dx e d d
+ +
= = +
+
Mét sè bµi tËp
1. Chứng minh rằng hàm số y =
( )
2 2 4
1 1x m m x m
x m
+ − − +
−

luôn có có cực trị với mọi m. Tìm
m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1
3
y x mx m x= − + + −
. Định m để:
a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
c. Có hai cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
3. Định m để hàm số
( )
3 2 2 2
3 1 2 4y x mx m x b ac
= − + − + −
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4.

a. Khảo sát hàm số khi m = 0.
b. Định m để hàm số không có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
5. Cho hàm số
3 2
3 9 3 5y x mx x m= − + + −
. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
6. Cho hàm số
( )
2
1 1x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại,
cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m
= + − + − + +
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực
trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y

x m
+ + −
=
−
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai
phía đối với trục tung.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
11
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
9. Cho hàm số
( )
( )
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C= − + − − +
. Định m để hàm số có hai điểm
cực trị cùng dương.
10.Cho hàm số
( )
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +

=
+
(1). (ĐH Khối−A / 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6m = − ±
.
11.Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m
= − − + − − −
(1), m là tham số. (ĐH KhoiB/2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
cách đều gốc tọa độ.
ĐS : b
1
2
m = ±
.
12.Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x
= + − +
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐHKhối−B/2002)
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN − NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô
( )
xfy =
có tập xác định là miền D.
− f(x) đồng biến trên D
( )
Dxxf
∈∀≥⇔
,0'
.
− f(x) nghịch biến trên D
( )
Dxxf
∈∀≤⇔
,0'
.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:
( )
2
f x ax bx c= + +
.
1. Nếu
0∆ <
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu
0∆ =
thì f(x) có nghiệm

2
b
x
a
= −
và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b
x
a
≠ −
.
3. Nếu
0∆ >
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >


< < ⇔ >



<

*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
∆ >


< < ⇔ >


>

*
1 2
0 0x x P< < ⇔ <
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
12
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 1 1y x m x m x= − + + + +
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.

b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
2. Xác định m để hàm số
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +
.
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên
( )
1;+∞
.
3. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 2 1 12 5 2y x m x m x= − + + + +
.
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;+∞
.
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
; 1−∞ −
.
4. Cho hàm số

2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
. Định m để hàm số nghịch biến trên
[
)
+∞;1
.
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y
= − + −
.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
và
điểm M(x
0
;y
0

) khi đó
( )
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
.
1. Cho hàm số
( )
3 2
3 3 3 2
m
y x mx x m C
= − − + +
. Định m để
( )
m
C
có cực đại cực tiểu
đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
2. Cho hàm số
( )
2 2
:
1

x
C y
x
+
=
−
. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách
đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
− +
=
−
. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2
tiệm cận là nhỏ nhất.
4. Cho hàm số
( )
2 2
:
1
x
C y
x

+
=
−
. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao
cho đoạn MN nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
( )
2
1
:
1
x x
C y
x
+ +
=
+
. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao
cho đoạn MN nhỏ nhất.
6. Cho hàm số
( )
2
2 1
:
1
x x
C y
x
+ +
=

−
.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
13
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ
nhất.
b. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ
nhất.
7. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1
y mx
x
= +
(*) (m là tham số) (ĐH Khối−A 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến
tiệm cận xiên bằng
1
2
. ĐS: m=1.
Dạng 5: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:
Từ hàm số
( )
,y f x m=
ta đưa về dạng
( ) ( )
, ,F x y mG x y=
. Khi đó tọa độ điểm cố định nếu
có là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )
, 0
, 0
F x y
G x y

=


=


.
1. Cho hàm số
( )
( )
3 2
3 1 3 2
m
y x m x mx C

= − − − +
. Chứng minh rằng
( )
m
C
luôn đi
qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
2. Cho hàm số
( )
( )
2
2 6 4
:
2
m
x m x
C y
mx
+ − +
=
+
. Chứng minh rằng đồ thị
( )
m
C
luôn đi qua một
điểm cố định khi m thay đổi.
3. Cho hàm số
( )
( ) ( )

4 2
: 1 2 3 1
m
C y m x mx m
= − + − +
. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị
trên.
4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
( ) ( ) ( )
( )
3 2
3 3 3 6 1 1
m
y m x m x m x m C
= + − + − + + +

luôn đi qua ba điểm cố định.
Dạng 6: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = f(x) có đồ thị (C)
( )
y f x=
có đồ thị (C’)
( )
y f x=
có đồ thị (C “)
( )
0,y f x x D= ≥ ∀ ∈
. Do đó ta
phải giữ nguyên phần phía trên
( )

y f x=
có
( ) ( )
f x f x− =
,
x D∀ ∈
nên đây là hàm số
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
14
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
trục Ox và lấy đối xứng phần
phía dưới trục Ox lên trên.
chẵn do đó có đồ thị đối
xứng qua trục tung Oy.
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C')
f(x)=abs(x)^3- 2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C'')
Mét sè bµi tËp

1. Cho hàm số
( )
2
:
2 2
x x
C y
x
+
=
−
.
a. Khảo sát hàm số.
b. Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
2
2 2
x x
k
x
+
=
−
.
2. Cho hàm số
( )
2
3 3
:
1
x x

C y
x
+ +
=
+
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3 3
1
x x
m
x
+ +
=
+
.
3. Cho hàm số
( )
2
4
:
1
x x
C y
x
−
=
−

.
a. Khảo sát hàm số.
b. Định m để phương trình
( )
2
4 0x m x m
+ − − =
có bốn nghiệm phân biệt.
4. Cho hàm số
( )
2
1
:
2
x x
C y
x
+ −
=
+
.
a) Khảo sát hàm số.
b) Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
( )
2
1 2 1 0x m x m+ − − − =
.
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x

= − + −
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m
− + =
. (ĐH
KA−2006
Dạng 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
15
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Điểm
( )
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của đồ thị
( ) ( )
:C y f x=

⇔
Tồn tại hai điểm M(x;y) và
M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:
( ) ( )
0
0
' 2
' 2

x x x
f x f x y
+ =



+ =


( )
( )
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
= −


⇔

+ − =


Vậy
( )
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của (C)

⇔
( )
( )
0 0
2 2f x y f x x
= − −
.
1. Cho hàm số
2
2 2 2
2 3
x x m
y
x
+ + +
=
+
có đồ thị
( )
m
C
.
Tìm giá trị của m để
( )
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2. Cho hàm số
( )
2 2 2

2
:
1
m
x m x m
C y
x
+ +
=
+
.
Định m để
( )
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3. Cho hàm số
( )
3 2
3 1y x x m
= − +
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối
B−2003)
ĐS: a.
( ) ( )
0 0 0
, 0f x f x x
= − − ∀ ≠

⇒ … m>0.
4. Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x
= − + + −
có đồ thị
( )
C
. Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng
nhau qua trục tung.
5. Cho hàm số
( )
3 2
1y x ax bx c
= + + +
. Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng
là I(0;1) và đi qua điểm M(1;−1).
6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 (1) (ĐH Khối D−2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều
cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn

thẳng AB.
Dạng 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
TIỆM CẬN
1. Định nghĩa:
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
16
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5
y
x
(d)
(C)
h y
( )
= 0
g x
( )
= 0
f x
( )
= 1.7
x
H
M
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*

HA
(d) là tiệm cận của (C)
( )( )
0lim =⇔
∈
∞→
CM
M
MH
2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng:
( ) ( )
0
:lim
0
xxdxf
xx
=⇒∞=
→
.
b. Tiệm cận ngang:
( ) ( )
00
:lim yydyxf
x
=⇒=
∞→
.
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=
λ

x+
µ
trong đó:
( )
( )
[ ]
xxf
x
xf
xx
λµλ
−==
∞→∞→
lim;lim
.
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm
nhất biến)
nmx
bax
y
+
+
=
+TXĐ: D= R\







−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n
x
−=⇒∞=
−→
:lim
+TCN:
( )
m
a
yd
m
a
y
x
=⇒=
∞→
:lim
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t )=t

T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y
=
m
n
x
−=
I
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu
tỷ)
( )

nmx
A
x
nmx
cbxax
y
+
++=
+
++
=
µλ
2
+TXĐ: D= R\






−
m
n
+TCĐ:
( )
m
n
xdy
m
n

x
−=⇒∞=
−→
:lim
+TCX:
0lim =
+
∞→
nmx
A
x
⇒ TCX: y=
λ
x+
µ
f(x)=x^2/(2(x-1))
f(x)=x/2+1/2
x(t )=1 , y(t )=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2

-1
1
2
3
x
y
µλ
+=
xy
m
n
x
−=
I
1. Cho hàm số
( )
( )
2 2
3 2 2
1
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45

0
.
(ĐH Khối A−2008)
2. Cho hàm số
( )
( )
2 2
1 1mx m x m
y f x
x
+ − + −
= =
. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f(x) có tiệm
cận xiên đi qua gốc tọa độ.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
17
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
3. Cho hàm số
( )
2
(2 1). 3
1, 0
2
ax a x a
y a a
x
+ − + +
= ≠ − ≠
−

có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của
hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.
4. Cho hàm số
2
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường
đường tiệm cận là một số không đổi.
b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x mx
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C
m

). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
6. Tìm m để đồ thị hamd số
2
1
1
x
y
x mx
+
=
+ +
có hai tiệm cận đứng là x=x
1
và x=x
2
thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
− =



− =



.
7. Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm
cận nhỏ nhất.
8. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (H).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (H) tại giao điểm với trục tung.
c. Tìm những điểm N (x
N
>1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn

nhất.
Chuyªn ®Ò Chøng minh ®å thÞ cã 3 §IÓm uÊn th¼ng hµng.
ViÕt pt ®êng th¼ng.
Híng dÉn:
T×m 3 ®iÓm uÊn . f’’(x) = 0 => x = x
0
lµ hoµnh ®é ®iÓm uÊn => y
0
=> U(x
0
; y
0
)
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
18
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Viết pt đờng thẳng đi qua 2 điểm uấn (dựa vào VTCP); thay điểm còn lại vào pt đờng thẳng
vừa tìm đợc => đpcm
Một số bài toán mở đầu.
Bài 1: Tìm các khoảng lồi; lõm và điểm Uấn của
a, (C): y = 2x
3
- 5x
2
+ 7x - 1.
b; (C): y = - 2x
3
+ 6x
2

+ 1.
c: (C): y = - x
5
+ 10x
3
- 20x
2
+ 6x + 7.
d: (C): y =
22
3
3ax
x
+
với a > 0.
e; (C): y = x
3
- 6x
2
+ 12x + 1
g: (C): y = 3x
5
- 5x
4
+ 7x - 2.
h: (C): y =
45
32

+

x
x
Tìm điều kiện tham số để (C): y = f(x) nhận U(x
0
; y
0
)làm điểm uấn
Bài 2: Tìm m để (C): y =
23
2
3
+

m
m
x
nhận U(1; 0) làm điểm uấn
+ Tìm a; b; c; d để (C): y = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d có 2 điểm uấn là U
1
(1;1); U
2
(3; -7).
+ Tìm m để (C): y = mx
3

+ 3mx
2
+ 4 có điểm uấn U(-1; 2).
+ Tìm a; b để (C): y = ax
3
+ bx
2
+ x + 2 có điểm uấn U(1; -1)
+ Tìm m để (C): y = x
3
+
m
x
2
3
+ 1 có điểm uấn U(-1; 3)
+ Tìm a, b để (C): x
2
y + ax + by = o có điểm uấn U(2;
2
5
)
Chứng minh đồ thị có 3 điểm uấn thẳng hàng, viết pt đờng thẳng.
Bài 1: CMR (C): y =
1
12
2
++
+
xx

x
có 3 điểm uấn thẳng hàng. Viết ptđt đi qua 3 điểm uấn.
Bài 2: CMR (C): y =
2
2
+x
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng Viết ptđt qua 3 điểm uấn của (C).
Bài 3: CMR (C): y =
1
1
2
+
+
x
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng. Viết PT đờng thẳng qua 3 điểm uấn.
Bài 4: CMR (C): y =
1
12
2
+

xx
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng, Viết PTđt qua 3 điểm uấn.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
19
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA

Chuyên đề khảo sát hàm số
Tuyển tập các bài khảo sát thi đại học qua các năm 2005 - 2009
Bài 1: ĐH Khối A/ 2009.
Cho hàm số y =
32
2
+
+
x
x
. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b, Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O. (y = -x - 2)
Bài 2: ĐH khối B/2009.
Cho hàm số y = 2x
4
- 4x
2
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b, Với giá trị nào của m thì phơng trình x
2
|x
2
- 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Bài 3: ĐH khối D/2009
Cho hàm số y = x
4
- 3(m+2)x
2
+ 3m. có đồ thị là (Cm)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 0.
Tìm m để đờng thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2
Bài 4: ĐH khối A/2008
Cho hàm số (C): y =
mx
xmmx
3
2)23(
22
+
+
với m là tham số thực.
a, Khảo sát sự biến thiên của hàm số với m = 1.
b, Tìm các giá trị của m để góc giữa 2 đờng tiệm cận của hàm số (C) bằng 45
0
.
Bài 5: ĐH khối B/2008
Cho hàm số y = 4x
3
- 6x
2
+ 1 (1)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
M(-1; - 9)
Bài 6: ĐH khối D/2008.
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2

+ 4 (1)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b, Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k>3) đều cắt đồ
thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I;A; B đồng thời I là trung điểm của AB.
Bài 7: ĐH khối A/2007
Cho hàm số y =
2
4)1(2
22
+
++++
x
mmmx
(1), m là tham số
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1.
b, Tìm m để hàm số (10 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành 1 tam giác vuông tại O.
Bài 8: ĐH khối B/2007
Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
- 1)x - 3m
2
- 1. (1) m là tham số
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1.
b, Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc toạ độ O.

Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
20
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Bài 9: ĐH khối D năm 2007.
Cho hàm số (C):y =
1
2
+x
x
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b, Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A; B và
tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
.
Bài 10: ĐH khối A/2006.
a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x - 4.
b, Tìm m để phơng trình sau có 6 nghiệm phân biệt 2| x
3
|- 9x
2
+ 12|x| = m.
Bài 11: ĐH khối B/2006.
Cho hàm số (C): y =
2

1
2
+
+
x
xx
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đt hàm số.
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)
Bài 12: ĐH khối D/2006
Cho hàm số (C): y = x
3
- 3x + 2.
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b, Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đờng thẳng (d)
cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Bài 13: ĐH khối A/2005.
Cho (Cm) y = mx +
x
1
(m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =
4
1
b, Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (Cm)
là
2
1
Bài 14: ĐH khối B/2005
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =
1

1)1(
2
+
++++
x
mxmx
(*) m là tham số
a, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1.
b, Chứng minh rằng với mọi m bất kì, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và
khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng
20
.
Trung tâm gia s Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí - Nơi đó có con đờng
21
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Chuyªn ®Ị bỉ xung
TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG
a. Dạng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x) tại điểm
0 0 0
M (x ;y ) (C)∈
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x
0
;y
0
) có dạng:
y - y
0

= k ( x - x
0
)
Trong đó : x
0
: hoành độ tiếp điểm
y
0
: tung độ tiếp điểm và y
0
=f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
)
Áp dụng:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
33
3
+−= xxy
tại điểm uốn của nó
`b. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
cho trước
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi
0 0

( ; ) ( )M x y C∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Bước 2: Tìm x
0
bằng cách giải phương trình :
'
0
( )f x k=
, từ đó suy ra
0 0
( )y f x=
=?
Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y
0
= k ( x - x
0
) ta sẽ được pttt cần
tìm.
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp
tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:
Đònh lý 1: Nếu đường thẳng (
∆
) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (
∆
) là:
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
22
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA

k a
∆
=
Đònh lý 2: Nếu đường thẳng (
∆
) đi qua hai điểm
B A B
( ; ) và B(x ; ) với x x
A A B
A x y y ≠
thì
hệ số góc của (
∆
) là :

B A
B A
y y
k
x x
∆
−
=
−
Đònh lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng
1 2
( ) và ( )∆ ∆
. Khi đó:

1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
k .k 1
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ⇔ =
∆ ⊥ ∆ ⇔ = −
Áp dụng:
Ví dụ1: Cho đường cong (C):
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − −
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
(d): y = 4x+2.
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
1
3
2
+
+
=
x
x
y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
xy 3:)( −=∆
c. Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua
điểm A(x
A
;y
A
)
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (
∆
) qua A và có hệ số
góc là k bởi công thức:

( ) ( )
A A A A
y y k x x y k x x y− = − ⇔ = − +
(*)
Bước 2: Đònh k để (
∆
) tiếp xúc với (C). Ta có:

A
'
f(x)=k(x-x )
tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
A
y

x k
+


∆ ⇔

=


Bước 3 : Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
23
x
y
AAAA
yxxkyxxkyy
+−=⇔−=−∆
)()(:
O
);(
AA
yxA
)(:)( xfyC
=
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
Áp dụng:
Ví dụ1: Cho đường cong (C):
43
23

++= xxy

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
2 5
2
x
y
x
−
=
−
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
của đồ thò (C) của hàm số
xxxy 32
3
1
23
+−=
tại
điểm uốn và
chứng minh rằng
∆
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 2: Cho đường cong (C):
2
1

2
+
−+
=
x
xx
y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2:)( −=∆ xy
Bài 3: Cho hàm số
1
63
2
+
++
=
x
xx
y
(C)
Tìm trên đồ thò (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
xyd
3
1
:)( =
Bài 4: Cho đường cong (C):
2
1
1

x x
y
x
+ +
=
+
Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên
của (C).
Bài 5: Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
(C)
Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thò (C) vuông
góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
Bài 6: Cho hàm số
3
1
23
1
23
++= x
m

xy
(C
m
)
Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
)
tại điểm M song
song với đường thẳng 5x-y=0
Bài 7: Cho đường cong (C):
23
23
+−= xxy

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7)
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
24
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
HA
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Cơ sở của phương pháp:
Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của
(C
1
):y=f(x) và (C

2
):y=g(x)
Dạng 1 : Bằng đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m
(*)
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò:
( ): ( ) : (C) là đồ thò cố đònh
( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)
C y f x
y m
• =
• ∆ = ∆
Bước 2: Vẽ (C) và (
∆
) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (
∆
) và (C)
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa :
Trung t©m gia s Anh TiÕn - 0986 915 960 N¬i nµo cã ý chÝ - N¬i ®ã cã con ®êng
25
y
x
)(:)( xfyC
=
);0( m
1

m
2
m
my
=
∆
O
y
x
0
x
)(
1
C
)(
2
C