MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN CAT( ) VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

MỤC LỤC
Bảng ký hiệu sử dụng trong luận văn
1.
L
δ
: Độ dài đường cong
δ
.
2.
S
d
: Khoảng cách trong không gian
n
S
.
3.
H
d
: Khoảng cách trong không gian Hyperbolic.
4.
d
κ
: Khoảng cách trong không gian
( )CAT
κ
.
5.
( )
x
r C
: Bán kính Chebyshev của C đối với điểm x.

6.
( )r C
: Bán kính Chebyshev của tập C.
7.
( )d C
: Đường kính của tập C.
8.
µ
( )N X
: Hệ số cấu trúc chuẩn tắc.
9.
( )
X
δ ε
: Môđun lồi đều của không gian Banach X.
10.
0
( )X
ε
: Đặc trưng lồi của gian Banach X.
11.
( )X
κ
: Đặc trưng Lifschitz của không gian mêtric X.
12.
0
( )X
κ
: Hằng số Lifschitz của không gian Banach X.
2

LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây không gian CAT(
κ
) đã thu hút được chú ý
của nhiều nhà toán học vì chúng có những vai trò quan trọng trong các khía
cạnh khác nhau của hình học và những ứng dụng của chúng. Một trong những
ứng dụng là vào lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ
Lipschitz đều trong không gian này.
Luận văn với đề tài ”Một số tính chất hình học của không gian CAT(
κ
) và ứng dụng” nhằm mục đích là nghiên cứu tính chất hình học của không
gian mêtric với độ cong bị chặn trên CAT(
κ
) và ứng dụng trong lý thuyết
điểm bất động. Luận văn có hai chương:
Chương 1 là giới thiệu về không gian CAT(
κ
).
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi
mở rộng một số kết quả về tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và
ánh xạ Lipschitz đều sang không gian CAT(
κ
).
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô trong Bộ môn
Lý thuyết hàm, Khoa Toán - Tin, trường ĐHSP Hà Nội. Đặc biệt là TS
Nguyễn Văn Khiêm đã có những hướng dẫn quan trọng và chỉ bảo tận tình tôi
trong quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Trong quá trình hoàn thiện luận
văn chắc chắn không tránh được khỏi những thiếu sót, rất mong sự góp ý của
thầy, cô và các bạn.
Hà nội, tháng 9 năm 2011.

Tác giả
TRẦN PHƯƠNG HÀ
3
Chương 1
Không gian CAT(
κ
)
1.1 Không gian trắc địa
Giả sử
( , )X d

là một không gian mêtric và
:[ , ] Xa b
σ
→
là 1 ánh xạ
liên tục từ đoạn
[ , ]a b
⊂
¡
vào
X
. Khi đó ta gọi ảnh
([a,b])
σ
là một
đường cong trong
X
và
σ

là một biểu diễn tham số của đường cong.
Giả sử
:[ , ] Xa b
σ
→
là một đường cong trong
X
. Độ dài của đường
cong
σ
được định nghĩa như sau
1
1
sup ( ( ), ( ))
n
k k
k
L d t t
σ
σ σ
−
=
=
∑
Trong đó sup lấy theo tất cả các phân hoạch
0 1

n
a t t t b
= < < < =

của đoạn
[ , ]a b
. Một đường cong
:[ , ] Xa b
σ
→
với
( )a x
σ
=
và
( )b y
σ
=
được gọi là đường cong nối từ điểm
x
tới
y
. Khoảng cách nội tại giữa hai
điểm
,x y X∈
được xác định như sau
( , ) inf{L :
i
d x y
σ
σ
=
là đường cong trong
X

nối
x
với
}.y
4
Dễ thấy
i
d
cũng là một mêtric trên
X

và
( , ) ( , )
i
d x y d x y
≥

,x y X∀ ∈
.
Nếu
i
d d
≡
trên
X
thì ta nói rằng
( , )X d

là một không gian mêtric nội tại,
hay không gian độ dài.

Một đường cong
:[ , ] Xa b
σ
→
nối hai điểm
,x y X∈
được gọi là đường
ngắn nhất nếu
( , ) ( , )
i
L d x y d x y
σ
= =
. Một đường trắc địa trong
X
nối từ
điểm
x
tới
y
là một đường cong ngắn nhất
:[ , ] Xa b
σ
→
nối từ điểm
x

tới
y
và có tốc độ hằng, tức là

( ( ), ( ))d t s t s
σ σ υ
= −

, [ , ]t s a b
∀ ∈
,
trong đó
υ
là một hằng số và gọi là tốc độ của đường cong
σ
.
Mỗi đường trắc địa nối hai điểm
x
,
y
còn được gọi là một đoạn thẳng
trắc địa có các điểm đầu mút là
x
và
y
, ký hiệu đoạn thẳng trắc địa này là
[ , ]x y
.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
( , )X d

là một không gian mêtric. Khi đó :
(i).
X

được gọi là một không gian trắc địa nếu với 2 điểm bất kỳ
,x y X∈

đều có một đường trắc địa trong
X
nối
x
với
y
.
(ii).
X
được gọi là không gian trắc địa duy nhất nếu 2 điểm bất kỳ
,x y X∈

có duy nhất một đường trắc địa trong
X
nối
x
với
y
.
(iii).
X
được gọi là một không gian trắc địa địa phương nếu với mọi điểm
p X
∈

đều có một lân cận
U

của
p
sao cho với 2 điểm bất kỳ
,x y U
∈
đều có một đường trắc địa trong
X
nối
x
với
y
.
5
(iv). Với
(0, ]D
∈ ∞
, không gian mêtric
( , )X d
là không gian
D
−
trắc địa
nếu với hai điểm bất kỳ
,x y X∈
mà khoảng cách
( , )d x y D
<
luôn
có một đường trắc địa trong
X

nối
x
với
y
.
1.2 Tập lồi và bao lồi trắc địa
Giả sử
( , )X d

là một không gian trắc địa và
C
là một tập con của
X
.
Định nghĩa 1.2.1. Tập
C
được gọi là một tập lồi (trắc địa) nếu mọi đoạn
thẳng trắc địa với các điểm đầu mút trong
C
đều nằm hoàn toàn trong
C
.
Tập
C
được gọi là một tập lồi mạnh nếu với bất kỳ hai điểm
,x y C
∈

đều có duy nhất một đoạn thẳng trắc địa nối
x

với
y
và đoạn thẳng trắc
địa này nằm hoàn toàn trong
C
.
Với mỗi tập con
Y
của không gian trắc địa
( , )X d
, bao lồi (trắc địa)
của
Y
được xây dựng bằng quy nạp như sau: Ký hiệu
1
( )G Y
là hợp của tất
cả các đoạn thẳng trắc địa có hai đầu mút thuộc
Y
. Với
1,2, ,n
=
đặt
1 1
( ) : ( ( ))
n n
G Y G G Y
+
=
. Bao lồi trắc địa của

Y
là tập
1
( ): ( ).
n
n
conv Y G Y
∞
=
=
U
6
1.3 Không gian mô hình
n
M
κ
1.3.1. Không gian
n
S

Ký hiệu
n
E
là không gian Euclid thực
n
chiều, tức là
n
E
là không gian
vecto

n
R
được trang bị tích vô hướng :
1
,
n
i i
i
x y x y
=
=
∑
trong đó
1 2
n
n
x ( x ,x , ,x )
= ∈
¡
và
1 2
( , , , )
n
n
y y y y
= ∈
¡
. Tích vô hướng
này sinh ra chuẩn Euclid tương ứng:
1

2
2
1
n
i
E
i
x x
=
 
=
 ÷
 
∑
,
1 2
( , , , )
n
n
x x x x
= ∈
¡
.
Ký hiệu
n
S
là mặt cầu đơn vị của không gian Euclid
1n
+
E

:
1
{ : 1}
n n
E
S x x
+
= ∈ =E
.
Với hai điểm
,
n
x y S
∈
không đối tâm có duy nhất một mặt phẳng (2-
phẳng) đi qua ba điểm
0, , (0x y
là điểm gốc). Giao của mặt phẳng này với
mặt cầu
n
S
là một đường tròn lớn đi qua hai điểm
,x y
. Hai điểm
,x y
chia
đường tròn đó thành hai cung tròn cùng có đầu mút là hai điểm
,x y
. Độ
dài của cung nhỏ trong hai cung đó gọi là khoảng cách cầu giữa hai điểm

,x y
và ký hiệu là
( , )
S
d x y
. Nếu
,x y
là hai điểm nối tâm thì
( , )
S
d x y
π
=
.
7
Hiển nhiên
( )
1
1
n
S i i
i
cos d ( x,y ) x,y x y
+
=
= =
∑
1 2 1
( , , , ) ,
n

n
x x x x S
+
∀ = ∈

1 2 1
( , , , ) .
n
n
y y y y S
+
∀ = ∈
Hơn nữa
S
d
là một
mêtric trên
n
S
. Trong không gian mêtric
( , )
n
S
S d
các đường trắc địa là
các cung tròn nằm trên các đường tròn lớn.
Mệnh đề 1.3.1.
(i) Không gian mêtric
( , )
n

S
S d
là một không gian trắc địa, đặc biệt
nếu
,
n
x y S
∈
mà
( , )
S
d x y
π
<
thì có duy nhất một đoạn thẳng
trắc địa trong
n
S
nối
x
với
y
.
(ii) Trong không gian
( , )
n
S
S d
, mọi hình cầu có bán kính nhỏ hơn
2

π
đều là tập lồi trắc địa.
(iii) Trong không gian
( , )
n
S
S d
, bất kỳ tam giác cầu (có các cạnh là
các đường trắc địa) ABC đều thỏa mãn luật cosine
cosc cosacosb sin a sinbcosC
= −
,
trong đó
( , ), ( , ), ( , )
S S S
a d B C b d C A c d A B
= = =
là độ dài các
cạnh và
C
là góc tại đỉnh
C
của tam giác ABC.
1.3.2. Không gian
n
H
Ký hiệu
,1n
H
là không gian véc tơ

1n
+
¡
được trang bị dạng song tuyến
tính đối xứng:
8
1 1
1
n
n n j j
j
x| y x y x y
+ +
=
= − +
∑
Trong đó
1
1 2 1
n
n
x ( x ,x , ,x )
+
+
= ∈
¡
và
1
1 2 1
n

n
y ( y ,y , ,y )
+
+
= ∈
¡
. Ký hiệu
{ }
1
1 2 1 1
1 1
n n,
n n
H x ( x ,x , ,x ) H : x | x ,x
+ +
= = ∈ = − ≥
.
Trên
n
H
ta trang bị khoảng cách hyperbolic
H
d
xác định bởi
( )
H
cosh d ( x, y ) x| y ,
= −

( , ) 0, ,

n
H
d x y x y H
≥ ∈
.
Ta kiểm tra được
H
d
là một mêtric trên
n
H
. Không gian mêtric
( )
,
n
H
H d

được gọi là không gian hyperbolic thực n - chiều. Trong không gian
( )
,
n
H
H d
, bất kỳ hai điểm
,
n
x y H
∈
đều được nối nhau bởi một đường

trắc địa duy nhất có dạng
( t ) (cosht )x (sinht )u,
σ
= +
trong đó
u
là vectơ đơn vị theo hướng
| .y x y x
+
Mệnh đề 1.3.2.
(i) Không gian hyperbolic
( )
,
n
H
H d
là không gian mêtric trắc
địa duy nhất.
(ii) Trong không gian
( )
,
n
H
H d
, mọi hình cầu đều là tập lồi (trắc
địa).
(iii) Trong không gian
( )
,
n

H
H d
, bất kỳ tam giác trắc địa ABC đều
thỏa mãn luật cosine hyperbolic:
9
coshc coshacoshb sinha sinhbcosC
= −
,
trong đó
( , ), ( , ), ( , )
H H H
a d B C b d C A c d A B
= = =
là độ dài các cạnh và
C
là góc tại đỉnh
C
của tam giác ABC.
1.3.3. Không gian
n
M
κ
Định nghĩa 1.3.1. Với
κ
∈
¡
ta định nghĩa không gian
n
M
κ

như sau:
(i) Nếu
0
κ
=
thì không gian
0
n
M
chính là không gian Euclid
n
E
.
(ii) Nếu
0
κ
>
thì không gian
n
k
M
chính là mặt cầu
n
S
được trang
bị khoảng cách
1
( , ) ( , ),
S
d x y d x y

κ
κ
=

,
n
x y S
∈
.
(iii) Nếu
0
κ
<
thì không gian
n
k
M
chính là không gian
n
H
trang
bị khoảng cách
1
( , ) ( , ),
H
d x y d x y
κ
κ
=
−

,
n
x y H
∈
.
Tổng hợp Mệnh đề 1.3.1 và Mệnh đề 1.3.2 ta nhận được
Mệnh đề 1.3.3.
n
M
κ
là một không gian mêtric trắc địa. Nếu
0
κ
≤
thì
n
M
κ
là không gian trắc địa duy nhất và mọi hình cầu trong
n
M
κ
đều là tập
lồi trắc địa. Nếu
0
κ
>
thì các hình cầu trong
n

M
κ
với các bán kính nhỏ
hơn
2
π
κ
đều là tập lồi trắc địa.
10
1.4 Không gian CAT(
κ
)
1.4.1. Tam giác so sánh
Với
κ
∈
¡
ta ký hiệu
D
κ
là đường kính của không gian mô hình
2
M
κ
tức là
2
0
.
0
D diamM

κ κ
π κ κ
κ

>

= =

∞ ≤


neáu
neáu
Giả sử X là một không gian trắc địa và
1 2 3
, , .x x x X
∈
Ký hiệu
1 2
[ , ],x x

2 3
[ , ],x x

3 1
[ , ],x x
tương ứng là các đoạn thẳng trắc địa trong nối
1
x
với

2
x
,
2
x
với
3
x
,
3
x
với
1
x
. Khi đó tam giác với 3 đỉnh
1
x
,
2
x
,
3
x
và 3 cạnh là
1 2
[ , ],x x
2 3
[ , ],x x
3 1
[ , ]x x

được gọi là một tam giác trong X , ký hiệu là
1 2 3
( , , ).x x x
∆
Nếu chu vi của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆
là
1 2 2 3 3 1
[ , ] [ , ] [ , ]
( ) 2
x x x x x x
P L L L D
κ
∆ = + + <
thì tồn tại (duy nhất sai khác một phép đẳng cự) một tam giác
1 2 3
( , , )x x x
κ
∆
trong không gian
2
M
κ
có các đỉnh là
1 2 3
, ,x x x
và các cạnh là
các đoạn thẳng trắc địa

1 2
[ , ],x x
2 3
[ , ],x x
3 1
[ , ]x x
trong
2
M
κ

tương ứng nối
1
x

với
2
x
,
2
x
với
3
x
,
3
x
với
1
x

thỏa mãn tính chất
[ , ] [ , ]
i j i j
x x x x
L L
=

, 1,2,3i j
∀ =
.
11
Do tính chất trắc địa nên mỗi cạnh của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆

đều đẳng cự
với cạnh tương ứng của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
κ
∆
. Do đó, với mỗi điểm
z

thuộc cạnh
[ , ]
i j
x x
của tam giác

1 2 3
( , , )x x x
∆
đều tồn tại duy nhất một điểm
z
thuộc cạnh
[ , ]
i j
x x
của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
κ
∆
sao cho
( , ) ( , )
i i
d z x d z x
κ
=
và
( , ) ( , ).
j j
d z x d z x
κ
=
Điểm
z
được gọi là điểm so sánh của điểm
z

tam giác và tam giác
1 2 3
( , , )x x x
κ
∆
được gọi là tam giác so sánh của tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆
.
Định nghĩa 1.4.1. Tam giác
1 2 3
( , , )x x x
∆
được gọi là thỏa mãn bất đẳng
thức
( )CAT
κ

(hay
κ
- mỏng) nếu với hai điểm bất kỳ
1 2 1 2 3
, ( , , )z z x x x
∈∆

và
1 2 1 2 3
, ( , , )z z x x x
∈∆

là hai điểm so sánh tương ứng của
1 2
,z z
ta đều có
bất đẳng thức
1 2 1 2
( , ) ( , )d z z d z z
κ
≤
.
1.4.2. Không gian
( )CAT
κ
Định nghĩa 1.4.2. Không gian mêtric X được gọi là một không gian
( )CAT
κ
nếu X là
D
κ
- trắc địa và tất cả các tam giác trong X với chu vi
nhỏ hơn 2
D
κ
đều thỏa mãn bất đẳng thức
( ).CAT
κ
Khi
0
κ
=

thì các không gian
(0)CAT
được đặc trưng bởi bất đẳng thức
đường trung tuyến.
12
Bổ đề 1.4.1. Giả sử
( , )X d
là một không gian mêtric trắc địa. Khi đó X
có độ cong nhỏ hơn hoặc bằng
0
nếu và chỉ nếu X là không gian trắc địa
duy nhất và đồng thời với bất kỳ 3 điểm
1 2 3
, ,x x x X
∈
, m là trung điểm của
1 2
,x x
(tức là :
1 2 1 2
1
( , ) ( , ) ( , )
2
d m x d m x d x x= =
) ta có bất đẳng thức :
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
2 2 4

d x m d x x d x x d x x≤ + −
Khi
X
là không gian Euclid
2
R
thì bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức.
13
Chương 2
Điểm bất động của ánh xạ không
giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong
không gian
( )
κ
CAT
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả gần đây về
điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều trong không
gian
( )CAT
κ
.
2.1 Định lý W.A.Kirk trong không gian
( )CAT
κ
2.1.1. Cấu trúc chuẩn tắc của không gian
( )CAT
κ
Khái niệm về cấu trúc chuẩn tắc được M. S. Brodskii và D. P. Milman
đưa ra năm 1948
14

Định nghĩa 2.1.1. Một tập con lồi, bị chặn
C
của không gian Banach
( )
,X
×

với đường kính
( ) 0d C
>
được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu
tồn tại một điểm
z C
∈
sao cho
sup ( )
x C
z x d C
∈
− <
.
Ký hiệu
( )d C
trong định nghĩa trên là đường kính của tập C và được xác
định bởi
{ }
( ) sup : ,d C x y x y C
= − ∈
.
Để đo mức độ chuẩn tắc của không gian Banach, W.Bynum [5] đã đưa

ra hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach.
Giả sử
C
là một tập con lồi, đóng, bị chặn (khác rỗng) của không gian
Banach
X
. Với
z X
∈
ta ký hiệu :
( ) sup
z
x C
r C x z
∈
= −
là bán kính Chebyshev của tập
C
đối với điểm
.z
{ }
( ) inf ( ):
z
r C r C z C
= ∈
là bán kính Chebyshev của
C
.
Mỗi điểm
∈z C

thỏa mãn
( ) ( )=
z
r C r C
được gọi là một tâm Chebyshev
của
C
.
Định nghĩa 2.1.2. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach
X

là
số
µ
( )N X
được xác định như sau
15
µ
( )
( ) sup ,
( )
r C
N X
d C
 
=
 
 
trong đó supremum lấy theo tất cả các tập
C

là tập con lồi, đóng, bị chặn
của
X

với đường kính
( ) 0d C
>
.
Nếu
µ
( ) 1N X
<
thì ta nói rằng
X
có cấu trúc chuẩn tắc đều.
Để mở rộng khái niệm chuẩn tắc sang không gian mêtric ta phải thay
cấu trúc lồi tuyến tính trong không gian Banach bởi một cấu trúc lồi trừu
tượng trong mêtric.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử
( , )X d
là một không gian mêtric. Một họ 
gồm các tập con của
X

được gọi là một cấu trúc lồi trên
X
nếu  thỏa
mãn các điều kiện sau:
∅,
,X

∈
L
{x} x X"Î ÎL
và họ  ổn định với phép giao tùy ý, tức
là nếu
ÌF L
thì
C
C
Î
Î
I
F
L
.
Khi  là một cấu trúc lồi trên
X
thì bao lồi (hay  - bao) của một tập con
trong
A
trong
X
xác định như sau
{ }
convA C:C ,C A= ÎÉ
I
L
.
Một tập
A XÌ

được gọi là tập lồi nếu
A Î L
.
Cấu trúc lồi đơn giản và thường hay được xét trong không gian mêtric là
cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng trong
X
. Khi đó họ  gồm tập
X
và
tất cả các tập
C
có dạng là giao của một họ các hình cầu đóng trong
X
.
16
Khi
( , )X d
là một không gian mêtric trắc địa thì ta có thể xét  là họ tất
cả các tập lồi trắc địa của
X
. Trong các không gian
CAT( )
k
ta luôn xét
cấu trúc lồi  là cấu trúc lồi trắc địa.
Nếu
( , )X d
là một không gian
CAT( )
k

thì mọi hình cầu đóng với bán
kính
2
k
<
D
r
đều là tập lồi trắc địa. Do đó, nếu
X
là một không gian
CAT( )
k

bị chặn với bán kính
( )
2
D
r X
k
<
thì cấu trúc lồi trắc địa trên
X

chứa cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng trong
X
.
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử
( , )X d
là một không gian mêtric với cấu trúc
lồi . Hệ số cấu trúc chuẩn tắc

µ
( )N X
được xác định như sau
µ
( )
( ) sup
( )
r C
N X
d C
 
=
 
 
trong đó supremum lấy theo tất cả các tập
C
là tập con lồi, đóng, bị chặn
của
X

với đường kính
( ) 0d C
>
.
Để thiết lập đánh giá chặn trên cho cấu trúc chuẩn tắc
µ
( )N X
cho các
không gian
( )CAT

k

ta cần đến kết quả sau đây của U.Lang và
V.Schroeder.
17
nh lý 2.1.1. (Lang-Schroeder [15], [16]). Gi s
X
l mt khụng gian
( )CAT
k

y v
C
l mt tp con li, úng ca
X
vi bỏn kớnh
Chebyshev
( ): 0,
2
D
r C r
k
ổ ử
ữ
ỗ
= ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
. Khi ú:
(i) Tn ti duy nht mt im
( ) ( )
z
z C sao cho r C r C r= =ẻ
;
(ii)
( ) ( ) ,d C d r r
k
>
vi
( )d r
k
xỏc nh bi
arcsin sin( . )
( ) .
sinh sinh( . )
neỏu
neỏu
neỏu
1
1
2 r 0
2
d r 2r 0
1
2 r 0
2
k

k k
k
k
k k
k
-
ỡ
ổ ử
ù
ữ
ù
ỗ
>
ữ
ù ỗ
ữ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
ù
ổ ử
ù

ữ
ù
ỗ
- <
ữ
ù
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
-
ù
ù
ợ
T kt qu ca Lang v Schroeder ta suy ra
nh lý 2.1.2. Gi s
X
l mt khụng gian
( )CAT
k
y , b chn vi
bỏn kớnh
( ): 0,
2
k
ổ ử
ữ
ỗ

= ẻ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
D
r X R
. Khi ú, vi cu trỳc li trc a,
X
cú cu
trỳc chun tc u v
à
( ) sup : (0, ] 1.
( )
r
N X r R
d r
k
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
<Ê ẻ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
2.1.2. M rng nh lý W.A.Kirk trong khụng gian
( )CAT
k

Nm 1965 W.A.Kirk ó chng minh c nh lý c bn v s tn ti
im bt ng ca ỏnh x khụng gión trong khụng gian Banach.
18
Định lý 2.1.3. (Kirk [13]). Giả sử
C
là một tập con lồi, compact yếu và
có cấu trúc chuẩn tắc của một không gian Banach
( , . )X
. Khi đó, nếu
:T C C®
là một ánh xạ không giãn, tức là
, .Tx Ty x y x y C- - "£ Î
thì
T
có điểm bất động trong
C
tức là tồn tại một điểm
0
x CÎ
sao cho
=
0 0
.Tx x
Để mở rộng định lý W.A.Kirk sang không gian
( )CAT
k
ta cần thiết lập
bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.4. Giả sử X là một
( )CAT

k
đầy đủ và
C
là một tập con lồi
(trắc địa), đóng trong không gian với bán kính
( )
2
D
r C
k
<
. Khi đó, nếu
{ }
n
C
là một dãy giảm các tập con, lồi, đóng, khác rỗng của
C
thì
n
n
C
³
¹ Æ
1
I
.
Chứng minh .
{ }
1
n

n
C
³
là dãy giảm, các tập con, lồi, đóng, khác rỗng của
C
thì
0 1
n
d( C ) , n> " ³
và theo định lý U.Lang - V.Schroeder
ta có
n n n
d(C ) r r( C )> =
nên
19
1 1
n
n
r(C )
n ,
d(C )
< " ³
Đặt
µ
1 1
n
n
r( C )
N(C ) sup , n
d(C )

ì ü
ï ï
ï ï
= " <³
í ý
ï ï
ï ï
î þ
Chọn
µ
1N( C ) k< <

Đặt
{ }
n n x n n
A( C ) x C :r ( C ) k.d( C )= Σ
Theo giả thiết
{ }
1
n
n
C
³
là dãy giảm vậy
{ }
1
n
n
A(C )
³

cũng là dãy giảm.
Đặt
0
n n
C C=
ta xây dựng dãy
{ }
1
1
n
n
C
³
bằng cách đặt
( )
(
)
1 0 0
.
n i n
i n
C A C C
≥
= IU
Khi đó là
{ }
1
1
n
n

C
³
dãy giảm các bao lồi khác rỗng vì
{ }
µ
0 0 0 0
n x n n n
r( C ) r ( C ): x C N(C ).d(C ) k.d( C ),inf= <Σ
nên
0 0
0 n n
x C A(C ).$ Î I
Ta sẽ chứng minh
1 0
n n
d(C ) k.d( C )<
thực tế ta chỉ cần chứng minh
( )
(
)
( )
0 0
. .
i n
i n
d A C k d C
≥
≤U
Lấy
( )

0
, .
i
i n
x y A C
≥
∈ U
Giả sử
q p n$ ³ ³
20
m
0 0
p q
x A( C ), y A(C )ẻ ẻ
do
{ }
0
1
n
n
C

l dóy gim nờn
0
p
y A(C )ẻ
( )
0 0 0
x p p n
d x,y r (C ) k.d( C ) k.d( C ) .Ê Ê Ê

Vy
( )
0 0 0
n i n
i n
supd x,y k.d(C ) d A(C ) k.d(C ).

ổ ử
ữ
ỗ
Ê Ê
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
U
Tip tc quỏ trỡnh trờn ta c h thng dóy gim nh sau
0 0 0
1 2
1 1 1
1 2
n
n
C C C
C C C

ẫ ẫ
ẩ ẩ
ẫ ẫ

ẩ ẩ
vi
1 0i i i
n p n
d(C ) k.d( C ) k .d(C )
-
Ê Ê Ê
vy
0
i
n
d(C )đ
khi
i ,Ơđ
vi mi
1n
Chn dóy ng chộo
{ }
1
1
n
n
n
C
+

gm cỏc tp úng, b chn, khỏc rng,
lng nhau ca C vi
( )
1

0
n
n
d C
+
đ
khi
n Ơđ
Do
X
l khụng gian y nờn theo nguyờn lý Cantor
1
1 1
n
n n
n n
C C .
+

ạ ặị ạ ặ
I I
21
Định lý 2.1.5. Giả sử
X
là một khơng gian
( )CAT
k
đầy đủ và
C
là một

tập đóng, lồi, trắc địa trong
X
với bán kính
( )
2
D
r C
k
<
. Khi đó, nếu
:T C C®
là một ánh xạ khơng giãn thì
T
có điểm bất động trong
C
.
Chứng minh. Chứng minh được chia ra thành 3 bước:
Bước 1

: Chứng minh
0
K$
là tập lồi, đóng, khác rỗng, cực tiểu (theo quan
hệ bao hàm)
CÌ
sao cho
0 0
T( K ) KÌ
Xét họ
{ }

.Ì Ì= K C : K là tập con lồi, đóng, khác rỗng : T(K) KF
Khi đó họ
¹ ỈF
vì
C .Ỵ .F

Đưa vào trong
F
quan hệ
" "£
như sau:
Với
1 2 1 2 1 2
K ,K , K K K K .Ỵ £ Û ÉF
Ta sẽ chứng minh họ
( , )£F
thỏa mãn giả thiết của bổ đề Zorn.
Giả sử
{ }
K : I
a
a
Ỵ
là 1 tập con sắp thứ tự tồn phần của
F
. Áp dụng kết
quả của Bổ đề 2.1.4 ta có
I
K K
a

a
Ỵ
= ¹ỈI
khi đó
K
là tập lồi, đóng và
T( K ) T( K ) K
a a
a
"Ì Ì
nên
F
I
T( K ) K K K .
a
a
Ỵ
=Ì Þ ỴI
hiển nhiên
K K I
a
a
"£ Ỵ
22
Nên họ
{ }
K : I
a
a
Î

có cận trên trong
F
. Áp dụng Bổ đề Zorn, họ
( , )£F
có 1 phần tử tối đại. Gọi
0
K
là phần tử tối đại của
( , )£F
thì
0
K

là tập con lồi, đóng, khác rỗng cực tiểu của C theo quan hệ bao hàm.
Bước 2

: Chứng minh khẳng định: Nếu
0
K
là tập lồi, đóng, cực tiểu của C
thỏa mãn
0 0
T( K ) KÌ
thì
0 0
conv(T( K )) K .=
Thật vậy ta có do
0 0
T( K ) KÌ
và

0
K
là tập lồi, đóng nên
0 0
conv(T(K )) KÌ
do đó
( )
0 0 0 0
T conv(T(K )) T( K ) conv(T(K )) KÌ Ì Ì
Vì vậy
0
conv(T(K ))

cũng là tập lồi, đóng chứa trong
0
K
và bất biến dưới
T
. Do tính cực tiểu của
0
K

nên ta có
0 0
conv(T( K )) K .=
Bước 3:

Xét
0 0
T :K K .®

Gọi
0
u KÎ
là tâm Chebyshev của
0
K
Với
0
x KÎ
ta có:
u
Tx Tu x u r (C ) r- - =£ £
nên
0
Tx B(Tu,r ) x K ,"Î Î
Vì vậy
23
0
T( K ) B(Tu,r )Ì
do
B(Tu,r )
là tập lồi, đóng
Do đó ta có
0
conv(T( K )) B(Tu,r )Ì
Theo bước 2 ta có
0 0
conv(T( K )) K=
0
K B(Tu,r )Ì

nên
Tu

cũng là tâm Chebyshev của
0
K
. Do tính duy nhất của tâm
Chebyshev (Định lý 2.1.1) ta có
Tu u.=
Vậy
T
có điểm bất động.
2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian
( )CAT
k
Lớp ánh xạ Lipschitz đều được đưa ra bởi K.Goebel và W.A.Kirk, là mở
rộng cần thiết và tự nhiên của lớp ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử
C
là một tập con của không gian mêtric
( , )X d
. Một ánh xạ
:T C C→
được gọi là một ánh xạ Lipschitz đều (hay
L – Lipschitz đều) nếu tồn tại hằng số
1L ≥
sao cho tất cả các ánh xạ
0 1 2 , , , , , ,
n
T T T T n n= =o o o

đều là các ánh xạ L – Lipschitz, tức là
0( , ) . ( , ) , , .
n n
d T x T y L d x y x y C n≤ ∀ ∈ ∀ ≥
Định nghĩa 2.2.2. Môđun lồi đều của không gian Banach
X

là hàm số
X
: [ , ] [ , ],
d
®0 2 0 1
được xác định như sau:
24
X
x y
( ) inf : x,y X, x , y , x y
d e e
ỡ ỹ
ù ù
+
ù ù
= - -ẻÊÊ
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
1 1 1
2
c trng li ca khụng gian Banach

X
l s
(X)
e
0
xỏc nh bi
{ }
X
(X) sup [ , ] : ( )
e e d e
= =ẻ
0
0 2 0
Khụng gian Banach
X
c gi l khụng gian li u nu
X
( ) ( , ]
d e e
> " ẻ0 0 2
Ngi ta chng minh c rng hm s
X
d
liờn tc trờn
[ , )0 2
v tng
ngt trờn
[ (X), ]
e
0

2
. Do ú nu c trng li
(X)
e
<
0
1
thỡ phng trỡnh
X
g d
g
ổ ử
ổ ử
ữ
ữỗ
ỗ
ữ
- =
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ố ứ

1
1 1
cú nghim duy nht
K.Goebel v W.A.Kirk l ngi u tiờn chng minh c s tn ti
im bt ng ca ỏnh x
L Lipschitz-
u (vi hng s
Lipschitz
L > 1

v gn 1) trong khụng gian Banach cú c trng li
(X)
e
<
0
1
.
nh lý 2.2.1. (Goebel Kirk [10]). Gi s
X
l khụng gian Banach cú
c trng li
(X)
e
<
0
1
v
C
l mt tp úng, li, b chn, khỏc rng ca
X

. Khi ú, nu
:T C Cđ
l mt ỏnh x
L Lipschitz-
u vi hng s
Lipschitz L (X)
g
<
0
thỡ T cú im bt ng trong
C
.
2.2.1. c trng Lipschitz ca khụng gian
( )CAT
k
25