Biểu diễn các số nguyên dương trong các hệ cơ số đếm khác nhau và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

-1-

MỤC LỤC

Trang
Mục lục……………………………………………………………... 1
Mở đầu……………………………………………………………… 3
Chương I. Biểu diễn số trong hệ cơ số đếm thập phân…………
5
1.1. Biểu diến số trong hệ cơ số đếm thập phân…………………… 5
1.1.1. Khái niệm hệ đếm……………………………………
5
1.1.2. Hệ đếm thập phân……………………………………
5
1.1.3. Hàm S(n) ....................................................................... 6
1.1.4. Mệnh đề ....................................................................
6
1.1.5. Hàm T(s) ..................................................................
8
1.2. Một số bài toán giải bằng phương pháp biểu diễn số trong hệ
cơ số đếm thập phân .................................................................
Chương II. Biểu diến số trong các hệ đếm ngoài hệ thập phân …
2.1. Biểu diễn số trong các hệ đếm không phải là hệ thập phân…
2.1.1. Hệ đếm La mã ………………………………………
2.1.2. Hệ đếm cơ số 60……………………………………
2.1.3. Hệ đếm cơ số 5………………………………………
2.1.4. Hệ đếm cơ số 20……………………………………
2.1.5. Hệ đếm cơ số 12……………………………………
2.1.6. Hệ đếm cơ số 2………………………………………
2.1.7. Hệ đếm cơ số 8………………………………………
2.1.8. Hệ đếm cơ số 16……………………………………

2.1.9. Hệ đếm cơ số 24……………………………………
2.1.10. Hệ đếm cơ số 30……………………………………
2.1.11. Hệ đếm cơ số 3………………………………………
2.1.12. Hệ đếm cơ số 7…………….....................................
2.2 Hệ đếm với cơ số bất kì………………………………………
2.2.1. Định nghĩa .……………………………………….......
2.2.2. Định lý 1.…………………………………….............
2.2.3. Định lý 2 ..................................................................
2.2.4. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số 10 sang

8
19
19
19
19
19
20
20
20
21
21
21
21
21
22
22
22
23
23

hệ đếm cơ số k ..........................................................
24
2.2.5. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số k sang
hệ đếm cơ số 10 ..........................................................
25
2.2.6. Chuyển biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số
sang
25
hệ đếm cơ số
.……………………………………
2.3. Một số bài toán giải bằng phương pháp biểu diễn số trong hệ
đếm không phải là thập phân…………………………………

26


-2-

2.4. Ứng dụng của hệ đếm trong máy tính………………………… 30
2.4.1. Sử dụng máy tính để đổi biểu diễn của một số từ hệ
đếm cơ số sang hệ đếm cơ số ………………….. 30
2.4.2. Sử dụng phần mềm Maple để chuyển đổi biểu diễn
của một số ................................................................
2.5. Sử dụng lí thuyết hệ đếm để giải một số bài toán thi quốc tế…
Kết luận ……………………………………………………………..
Tài liệu tham khảo…………………………………………………

32
35
41

42

MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, hệ đếm là lí thuyết tốn học đầu tiên xuất
hiện do nhu cầu thực tiễn của cuộc sống, được hình thành và phát triển
cùng với sự phát triển của văn minh nhân loại. Trong cuộc sống chúng ta
luôn phải sử dụng hệ cơ số 10 để tính. Hệ đếm cơ số 2, cùng với các hệ
đếm cơ số 10, cơ số 8,…là cơ sở làm việc của máy tính. Lí thuyết hệ
đếm còn liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của tốn học: lí thuyết chia
hết, tốn rời rạc, phương trình nghiệm ngun và phương trình hàm, qui
nạp tốn học, các bài tốn trị chơi…
Mặc dù hệ đếm đóng vai trò rất quan trọng trong cuộc sống hằng
ngày của con người, song những kiến thức về hệ đếm cịn ít được quan
tâm giảng dạy trong các bậc học phổ thông. Vì vậy, phần lớn trong mỗi
chúng ta có thể sử dụng thành thạo những cơng cụ có ứng dụng của hệ


-3-

đếm (máy tính, máy ảnh kỹ thuật số, máy nghe nhạc, điện thoại dy
động…) nhưng lại khơng có những kiến thức sơ đẳng về hệ đếm. Chẳng
hạn, khá nhiều học sinh trung học phổ thông đều biết sử dụng máy tính
để thực hành các phép tính (khơng chỉ các phép toán số học, mà cả các
phép toán phức tạp) nhưng họ gần như hồn tồn khơng có hiểu biết nào
về cơ chế thực hiện các tính tốn trên máy tính. Những kiến thức về hệ
đếm sẽ cho ta nhìn nhận được những ứng dụng sâu sắc của toán học
trong cuộc sống hiện đại. Chính vì vậy, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu
là: “Biểu diễn các số nguyên dương trong các hệ cơ số đếm khác
nhau và ứng dụng”. Đây là một mảng đề tài mà ở nhà trường phổ thơng
cịn ít được đề cập đến, nên việc tìm hiểu sâu, việc tìm kiếm tài liệu cịn

gặp khó khăn, trong khi đó yêu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi lại hết sức
cần thiết. Vì vậy, trong luận văn này tác giả sẽ dùng công cụ biểu diễn số
để giải quyết một số lớp các bài tốn.
Luận văn được trình bày trong hai chương, ngoài phần mở đầu, kết
luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Biểu diễn số trong hệ cơ số đếm thập phân
Trong chương này chúng tôi trình bày một cách hệ thống các kiến
thức cơ bản của hệ thập phân; một số tính chất của các hàm số số học
S(n), T(n) liên quan đến biểu diễn số tự nhiên n và các bài tốn có sử
dụng biểu diễn số trong hệ thập phân.
Chương 2. Biểu diễn số trong các hệ đếm ngoài hệ thập phân
Trong chương này chúng tơi trình bày về lí thuyết biểu diễn số
trong các hệ đếm không phải là hệ thập phân; chuyển đổi biểu diễn của
một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khác; một số cách giải bài
toán sự dụng cách biểu diễn số trong các hệ đếm không phải là thập
phân; giới thiệu một số đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có ứng
dụng hệ đếm; dùng máy tính để chuyển đổi biểu diễn của một số qua các
hệ đếm cơ số khác nhau.


-4-


-5-

CHƯƠNG 1
BIỂU DIỄN SỐ TRONG HỆ CƠ SỐ ĐẾM THẬP PHÂN

1.1. Biễu diễn số trong hệ thập phân
1.1.1. Khái niệm hệ đếm

Hệ đếm là tập hợp các kí hiệu và qui tắc sử dụng các kí hiệu đó để
biểu diễn và xác định giá trị các số. Mỗi hệ đếm có một số kí số (digits)
hữu hạn. Tổng số các kí số của mỗi hệ đếm được gọi là cơ số (base hay
radix). Hệ đếm thập phân là một trong những hệ đếm phổ biến nhất.
1.1.2. Hệ đếm thập phân
Hệ thập phân (hay hệ đếm cơ số 10) là một hệ đếm có 10 ký tự
dùng chỉ số lượng. Hệ đếm này được dùng rộng rãi trên thế giới. Nguồn
gốc của nó có thể bắt nguồn từ cơ cấu sinh học của con người, vì mỗi
người có 10 ngón tay.
Hệ thập phân là một trong những phát minh của người Ảrập cổ, bao
gồm 10 kí số theo kí hiệu sau:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Qui tắc tính giá trị của hệ đếm này là mỗi đơn vị ở một hàng bất kì
có giá trị bằng 10 đơn vị của hàng kế cận bên phải. Số nguyên dương
trong hệ thập phân có thể viết như là một tổng các chuỗi các kí số thập
phân của 10 lũy thừa. Trong đó số mũ lũy thừa được tăng thêm 1 đơn vị
kể từ số mũ lũy thừa phía bên phải của nó. Số mũ lũy thừa của hàng đơn
vị trong hệ thập phân là 0.
Ví dụ:

Số 5246 có thể được thể hiện như sau:
5246 =5. 103 +2.102 +4.101 +6.100

Như vậy, trong số 5246 có:
Kí số 6 trong số ngun đại diện cho giá trị 6 đơn vị.
Kí số 4 trong số nguyên đại diện cho giá trị 4 chục.
Kí số 2 trong số nguyên đại diện cho giá trị 2 trăm.


-6-

Kí số 5 trong số nguyên đại diện cho giá trị 5 ngàn.
Nghĩa là: số lũy thừa của 10 tăng dần từ phải sang trái tương ứng với
vị trí kí hiệu số.
Mỗi kí số ở vị trí khác nhau trong số sẽ có giá trị khác nhau ta gọi là
giá trị vị trí.
1.1.3. Hàm S(n). Cho n là số nguyên dương. Ta gọi
các chữ số của

là tổng

(viết trong hệ thập phân).

Sau đây là vài tính chất đơn giản của hàm ây là vài tính chất đây là vài tính chất đơn giản của hàm ơn giản của hàm
1.1.4. Mệnh đây là vài tính chất đơn giản của hàm ề. Cho m, n là các số nguyên dương, ta có:

1) S (n) n(mod9).
2) 0  S (n) n .
3) S (n) n  1 n 9.
4) S (m  n) S (m)  S (n).
5) S (mn) S (m)S (n).
Chứng minh:
1) Giả sử trong hệ thập phân n có biểu diễn: (ak ak  1  a1a0 ) khi đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó:

n ak 10k  ak  110k  1    a110  a0 , S (n) ak  ak  1    a1  a0
k
k1
Do đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó: n  S (n) ak (10  1)  ak  1 (10  1)    a1 (10  1).
i
i 1

Bởi vì 10  1 9(10    10  1) chia hết cho 9 cho nên n  S (n)

chia hết cho 9 hay S ( n) n(mod9) .
2) Do n > 0 nên ak > 0 , từ đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó S (n) ak  ak  1    a1  a0  0.
Ngoài ra:

S (n) ak  ak  1    a1  a0 ak 10k  ak  110k  1    a110  a0 n .
3) Ta có theo 2) S (n) n , và
S ( n) n  ak ak  1 ... a1 0  n a0   0,1,...,9 .


-7-

4) Giả sử trong hệ thập phân, n và m có biểu diễn:

( ak ak  1  a1a0 ) ;
(bs bs  1 b1b0 ) .
Khơng mất tính tổng quát, giả sử n m hay k s , khi đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó ta
có thể viết:

n  m ak 10k  ak  110k  1    (as  bs )10 s    (a1  b1 )10  (a0  b0 )
Nếu a0  b0 là một chữ số thập phân thì c0 a0  b0 là số hạng
đây là vài tính chất đơn giản của hàm ầu tiên của n + m. Trong trường hợp ngược lại, sẽ tồn tại chữ số
thập phân c0 sao cho a0  b0 10  c0 , do đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó trong trường hợp này
ta

có:

n  m ak 10k  ak  110k  1    (as  bs )10s    (a1  b1  1)10  c0 .
Lý luận tương tự đây là vài tính chất đơn giản của hàm ối với các ký số cịn lại, ta có:

S ( n)  S (m) (ak  ak  1    a1  a0 )  (bs  bs  1    b1  b0 )
ak    as 1  (as  bs )    (a1  b1 )  (a0  b0 )
ak    as 1  (as  bs )    (a1  b1  1)  c0
... S ( n  m).
5) Giả sử trong hệ thập phân, n và m có biểu diễn: (ak ak  1  a1 a0 ) ;

(bs bs  1 b1b0 ) . Khi đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó:
nm n(bk 10k  bk  110k  1    b110  b0 )
nbk 10k  nbk  110k  1    nb110  nb0 .

Do đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó:


-8-

S (nm) S (nbk 10k  nbk  110 k  1    nb110  nb0 )
S (nbk 10k )  S (nbk  110 k  1 )    S (nb110)  S (nb0 )
S (nbk )  S (nbk  1 )    S (nb1 )  S (nb0 )
bk

bk  1

b1

b0

1

1

1

1

 S ( n)   S ( n)     S ( n)   S ( n)

.

bk S (n)  bk  1 S (n)    b1 S (n)  b0 S (n)
S (n)(bk  bk  1    b1  b0 )
S (n) S (m).
Như vậy, mệnh đây là vài tính chất đơn giản của hàm ề 1.1.4 đây là vài tính chất đơn giản của hàm ược hoàn toàn chứng minh. ■
1.1.5. Hàm T(n). Cho

số nguyên dương. Từ

ta tạo thành các số mới

bằng cách xố đi vài lần (ít nhất 1 lần) chữ số tận cùng bên phải. Khi đó
ta gọi số mới này là gốc của số . Đặt

là tổng tất cả các gốc của .

1.2. Một số bài toán giải bằng phương pháp
biểu diễn số trong hệ cơ số đếm thập phân
Bài toán 1: Cho các số tự nhiên n và k thoả mãn các điều kiện:
với

và số thập phân (hữu hạn hay vơ hạn)

a  b 10,

có mọi chữ số
kề nhau bất kì

a i  i 1,2,3,...

a i , a i 1

Chứng minh: Giả sử

n ab

k
0, a1 , a 2 , a 3 ,...
n

đều khác 0. Khi đó, hai chữ số thập phân

không thể bằng nhau.
k
0, a1 , a 2 , a 3 ,...
n

trong đó

a i 0  i 1, 2, 3,... Ta

có:
n ab 10a  b 1010  b   b 100  9b

(1)

Giả sử trái lại điều khẳng định của bài tốn khơng đúng, tức là tồn
tại hai chữ số thập phân kề nhau bằng nhau.
Chỉ có hai khả năng xảy ra:
1) Nếu a1 a 2 c  0. Khi đó:


-9-

100k
cc, a3 a 4 ...
n

(2)
Từ đó ta có (do c  0 ):
100k
11cn
11c  1 n
11c 
 11c  1 
k 
n
100
100

(3)

Từ (1) suy ra:

11cn 11c100  9b  100c 11  b   bc

(4)
Do đó: 11c  1 n 100c11  b   bc  100 

9b 100c 11  b   100  b 9  c 

suy ra:
11c  1 n 100c11  b   100, vì 0 b, c 9

(5)
Thay (4) và (5) vào (2) ta có:
c11  b  

Do

0

bc
1
100

(6)

bc
k  c11  b   1
100

nên từ (6) suy ra điều vơ lí vì k là số ngun dương nên

khơng thể nằm trong đoạn

bc


 c11  b   100 ; c11  b   1

hơn 1. Vậy suy ra mâu thuẫn, tức là
2) Nếu tồn tại chữ số i 1 mà

có độ dài nhỏ

a1  a 2 .

a i a i 1 .

Khi đó ta có:

k .10 i  1
a1 a 2 ...ai  1 , ai ai 1 ...
n

(7)
Đặt

h k .10 i  1  na1 a 2 ...a i  1 ,

h  0, h 1.

thì

h
0, ai a i 1 ...
n

Áp dụng kết quả phần 1) suy ra

với số tự nhiên

a i  a i 1 .

Như vậy trong mọi trường hợp giả thiết phản chứng đều sai. ■


-10-

Bài toán 2: Xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho khi n được
viết trong hệ thập phân, thì n lớn hơn tổng các bình phương những chữ
số của nó một đơn vị.
Giải: Giả sử trong hệ thập phân n có biểu diễn dưới dạng sau:
n a k a k  1 ...a1 a 0

, ở đây

ai

nguyên và

0 ai 9, j 1, k

. Như vậy:

n a 0  10a1  10 2 a 2  ....10 k  1 a k  1  10 k a k .

(1)

Theo giả thiết ta có:
1  a02  a12  ...  a k2 1  a k2 a0  10a1  10 2 a 2  ...  10 k a k

(2)

suy ra: 1  a0  a0  1  a1  a1  10   a 2  a 2  100   ...  a k  a k  10 k  0
hay: a1  a1  10  a 2  a 2  100  ...a k a k  10 k   1  a 0  a0  1
Do

0 a 0 9

(3)

nên  1  a 0  a0  1  1  9.8  73 . Như vậy từ (3) suy ra:

(4)
Do

0 ai 9 i 1, k

, nên ta có:

a1  a1  10   9a1

Từ (5) suy ra

(5)

a 2 a3 a 4 ... a k 0 .

Thật vậy, nếu

a j 0

ta có:
(6)

a j  10 j 9  10 j 9  102  91.
Vì thế nếu

a 2 a3 a 4 ... a k 0

khơng xảy ra thì vế trái của (4)  91 .

Điều này mâu thuẫn với (5). Như vậy từ (3) đi đến:
(7)

a1  a1  10  1  a 0  a0  1  a 0  a0  1  1 a1 10  a1 

Cho

a 0 nhận

các giá trị từ 0 đến 9 thì vế trái của (7) nhận các giá trị

tương ứng là 1, 0, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73
Tương tự cho

a1

các giá trị từ 0 đến 9 thì vế trái của (7) nhận các

giá trị tương ứng là 0, 9, 16, 21, 24, 25, 24, 21, 16, 9, 0
Từ đó: a 0  a0  1  1 a1 10  a1  21, do đó
a1 7.

Vậy n 35 hoặc n 75 .

a 0 5

còn

a1 3

hoặc


-11-

Thử lại ta có: 35 3 2  5 2  1 ; 75 7 2  5 2  1
Vậy có hai số nguyên dương n thoả mãn yêu cầu đầu bài, đó là
n 35

hoặc n 75 . ■

Bài tốn 3: Tìm số tự nhiên n sao cho

n  S  n  2003,

ở đây

S  n

chỉ

tổng các chữ số của số tự nhiên n .
Giải: Từ

n  S  n  2003

ta có

n 2003  S  n ,

suy ra:
(1)

n 2002

Chú ý rằng trong các số không vượt q 2002 thì số 1999 có tổng
các chữ số lớn nhất. Từ đó suy ra:

Vì

, nên thay vào (1) ta có:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:
(3)
Rõ ràng

Vậy:
khơng thoả mãn hệ thức:

Từ

đó suy ra:
(4)
Do vậy, có thể biểu diễn n dưới dạng:

, với

Lúc này:

.

Do b là số nguyên nên:

và


-12-

Do

Khi

nguyên không âm và không vượt quá 9 nên ta có hệ sau:

, ta c ó
.■

Vậy số tự nhiên phải tìm là số
Bài tốn 4: Đặt

, ở đây là vài tính chất đơn giản của hàm ây qua

a= S

kí hiệu là tổng các chữ số của

trong hệ đây là vài tính chất đơn giản của hàm ếm thập phân.

Chứng minh rằng

Chứng minh: Đặt

Vậy

, thì

là một số có khơng q 5997 chữ số. Do

là số lớn

nhất có 5997 chữ số, từ đây là vài tính chất đơn giản của hàm ó suy ra:
Như vậy, ta có:

(1)
Trong các số khơng vượt q 53973 số 49999 là số có tổng các
chữ số lớn nhất. Vì thế từ (1) suy ra


-13-

Do vậy:
(2)
Trong các số khơng vượt q 40 thì số 39 là số có tổng các
chữ

số

lớn

nhất,

nên

kết

hợp

với

(2)

ta

đây là vài tính chất đơn giản của hàm i

đây là vài tính chất đơn giản của hàm ến

Đến đây là vài tính chất đơn giản của hàm ây ta thu đây là vài tính chất đơn giản của hàm ược đây là vài tính chất đơn giản của hàm ánh giá:
(3)
Mặt khác ta có:
Dựa vào tính chất hiển nhiên:
;

và

do

suy ra:

(4)
Bây giờ từ (3) và (4) suy ra

■

Bài toán 5: Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp bất kì, có ít
nhất một số biểu diễn được dưới dạng

, với

là một số tự nhiên

nào đó.
Chứng minh: Với

ta đặt:

Ta có các nhận xét sau đây:
1) Nếu

tận cùng bằng 9 thì

Thật vậy, giả sử

trong đó

thì chứng minh hồn tồn tương tự). Khi đó:

(cịn nếu


-14-

Từ đây ta có:

Do

nên
2) Nếu

tận cùng khơng phải bằng 9, thì

Thật vậy, nếu

với

Khi đó:

Từ đó suy ra:
Trở lại bài tốn đang xét. Giả sử

là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2,

và xét hai số tự nhiên liên tiếp
, (tức là
có:

. Chọn

). Số này bao giờ cũng tồn tại vì ít nhất ta
, và do

Vì

là hữu hạn.

Theo hai nhận xét trên thì hoặc là
hoặc là

. Trong cả hai trường hợp ta đều có:

Theo định nghĩa cách chọn số
Từ

là số lớn nhất sao cho

suy ra hoặc

thì:
hoặc

.■


-15-

Chú ý: Ở đây ta xét khi

, còn nếu

hoặc

khẳng định của bài toán hiển nhiên đúng. Thật vậy, nếu
Ứng với cặp

thì

Ứng với cặp

thì

thì điều
:

Đó chính là lí do chỉ cần xét khi
Bài toán 6: Cho
của

số nguyên dương. Gọi

trong hệ thập phân. Từ

là tổng tất cả các chữ số

ta tạo thành số mới bằng cách xố đi vài

lần (ít nhất 1 lần) chữ số tận cùng bên phải. Khi đó ta gọi số mới này là
gốc của số . Đặt

là tổng tất cả các gốc của . Chứng minh rằng:
.

Chứng minh: Gọi

Gọi

là chữ số hàng đơn vị của số nguyên dương , với

là số thu được sau khi xoá chữ số

của , tức là:

Ta có:

(1)
Ta sẽ chứng minh cơng thức:
(2)
Bằng quy nạp theo số

các chữ số của .


-16-

- Với

, tức là

và

ra:

khi

- Giả sử (2) đã đúng khi

có

Từ đó suy

. Vậy (2) đúng khi

.

chữ số, tức là đúng khi

có

dạng:
- Xét khi

có

chữ số, tức là khi

có dạng:

Từ (1) ta có:
Vì

(3)

là số có

chứ số, nên theo giả thiết quy nạp, thì:
(4)

Thay (4) vào (3) ta có:

(5)
Thay (4) vào (5) ta có:
(6)
Do

ta suy ra:
;
;

Mặt khác:
.
Do vậy:

(7)


-17-

Thay (7) vào (6) và có
Vậy (2) cũng đúng khi

có

hay
chữ số.

Theo nguyên lí quy nạp suy ra với mọi số

nguyên dương thì:

. ■
Bài tốn 7: Chứng minh rằng khơng tồn tại số nguyên dương
mãn điều kiện sau đây: Với

chữ số tận cùng bên trái

(trong biểu diễn dưới dạng hệ thập phân) của số
Chứng minh: Với số ngun dương

trong đó

nào thoả

thì bằng

, ta định nghĩa:

là số các chữ số trong biểu diễn thập phân của số

Ta có thể thấy rằng với mọi số nguyên dương

.

, thì:
(1)

Thật vậy, giả sử trong hệ thập phân:
, ở đây
Khi đó ta có:

Vậy (1) được chứng minh.
Giả sử

là hai số nguyên dương, ta lại có:

Rõ ràng


-18-

(2)
Thật vậy, giả sử:

ở đây

là các số thập phân mà phần nguyên có 1 chữ số.

Giả sử:
trong khi đó:

Từ đó ta có với mọi

ngun dương thì:

Vậy (2) đúng.
Giả thiết phản chứng kết luận của bài tốn khơng đúng, tức là tồn
tại số nguyên dương
trái của

sao cho với

thì chữ số tận cùng bên

là .

Vì điều đó đúng với mọi

nên ta xét khi nói riêng

thì điều ấy tất nhiên cũng đúng.
Với
khơng âm,

mà

thì

trong đó

là số ngun

là số thực sao cho:
và

là số ngun khơng âm.

trong đó

và

-19-

Thậy vậy, chẳng hạn do chữ số tận cùng bên trái của
nên

là ,

có dạng:

Nhận xét được chứng minh.
Ta có:

Chú ý rằng ở đây

cịn

Từ đó ta có:

Để ý rằng từ định nghĩa suy ra

chỉ có thể xảy ra

(chưa chắc hẳn đã xảy ra) nếu
theo định nghĩa

Thật vậy nếu

có dạng:
với

Suy ra:

Do đó:

.

thì


-20-

Điều đó có nghĩa là nếu

thì chắc chắn

từ:

Vì lí do đó,

suy ra:
.

Theo giả thiết

Do đó:

có tận cùng ở bên trái là 1 nên suy ra:

.

Theo (2) ta có:

Do

nên từ đó suy ra:
.

Theo giả thiết thì

có số tận cùng bên trái là 4, tức là:

Như vậy, ta gặp mâu thuẫn. Điều đó có nghĩa là giả thiết phản
chứng là sai, tức là khơng tồn tại số ngun dương
thì

có tận cùng bên trái là . ■

sao cho với mọi