CHuyên đề tứ giác nội tiếp dùng cho dạy và học ôn thi vào lớp 10 THPT tham khảo

Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

1

Chuyên đề: tứ giác nội tiếp
I) Các kiến thức cần nhớ
1) Khái niệm:
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng
tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp)




2) Định lí
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0

-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
thì tứ giác đó nội tiếp
đờng tròn.
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó
là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc
.

II) Bài tập
Bài tập 1
Cho

ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đờng tròn đờng kính MC. Kẻ BM
cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b)


ABD ACD


c) CA là phân giác của

SCB

Bài tập 2
O
A
B
C
D
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

2

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD
cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của BCF.
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập 3
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau
tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại
điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh :
a) CEFD là tứ giác nội tiếp .
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD

Bài tập 4
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng
kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm
thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .

Bài tập 5
Cho tam giác vuông ABC (
0
90
A

; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M
không trùng với A và C). Gọi N và D lần lợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với
đơng tròn đờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đờng tròn đờng
kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đờng tròn.
b. CM là phân giác của góc
BCS

.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

3

c.
TA TC
TD TB

.

Bài tập 6
Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM
và AN với đờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đờng tròn tại
P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đờng tròn.
b/ Chứng minh LA là phân giác của

MLN

c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA
2
= AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ.
e/ Chứng minh

KLN cân.

Bài tập 7
Cho đờng tròn (O; R) tiếp xúc với đờng thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không
trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đờng thẳng vuông góc với d, đờng thẳng này
cắt đờng tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam
giác EAH.
2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đờng thẳng CE cắt
AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
3. Xác định vị trí điểm H để AB= R
.
Bài tập 8
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp .
2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

4

4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF

Bài tập 9
Cho ABC không cân, đờng cao AH, nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi E, F thứ
tự là hình chiếu của B, C lên đờng kính AD của đờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung
điểm của BC, AB. Chứng minh:
a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đờng tròn tâm N và HE// CD.
b) M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF.

Bài tập 10
Cho đờng tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC
và cát tuyến ADE với đờng tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi Hlà trung điểm của
DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm của đờng
tròn này.
b) Chứng minh: HA là tia phân giác

BHC
.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB
2
= AI.AH
d) BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.

Bài tập 11
Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD

của đờng tròn đó.
a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc
một đờng tròn
b) Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao?
c) Chứmg minh rằng:
.
. .
2
A B C D
A C B D B C D A

Bài tập 12
Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

5

thuộc nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13
Trên đờng thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ
hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C
cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P.
1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đợc đờng tròn .

2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang
vuông ABKI lớn nhất.

Bài tập 14
Cho ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH, vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn
này cắt AB tại E, cắt AC tại F.
a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh:BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác
AEMF và diện tích của tam giác BMC.

Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là
tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

6

4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).

5. Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.

Bài tập 16
Từ điểm M ngoài đờng tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB
lấy 1 điểm C. Vẽ CD

AB; CE

MA; CF

MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K
là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp đợc.
b) CD
2
= CE.CF
c) IK

CD

Bài tập 17
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC.
Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh
DMC

đều.
b) Chứng minh MB + MC = MA.
c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp đợc.
d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đờng cố định nào ?

Bài tập 18
Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng
thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của
NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm
của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

7


Bài tập 19
Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đờng tròn (O) bất kỳ đi qua
B và C (BC không là đờng kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F
là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI
với (O) là D. Chứng minh:
1. AE

2
= AB.AC
2. Tứ giác AEOF nội tiếp
3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đờng tròn.
4. ED song song với Ac.
5. Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đờng
thẳng cố định.

Bài tập 20
Cho ABC có các góc đều nhọn và

0
45
A

. Vẽ đờng cao BD và CE của ABC. Gọi
H là gia điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
b) Tính tỉ số
DE
BC

c) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA DE

Bài tập 21
Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đờng cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đờng tròn
đờng kính BC cắt PB, PC lần lợt ở M và N. Nối N với A cắt đờng tròn đờng kính
BC ở điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đờng tròn. Hãy xác
định tâm và bán kính đờng tròn ấy.

b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC
c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE

Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

8

Bài tập 22
Cho tam giác vuông ABC (
0
90
A
); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các
điểm A và C). Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đờng thẳng
BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
b. Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn.
c. AC là tia phân giác của góc EAF.

Bài tập 23
Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp
tuyến với đờng tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đờng
chéo AC và BD
a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp
b/ Chứng minh AB//EI
c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S.
Chứng minh:

* I là trung điểm của RS
*
RS
CD
AB
211



Bài tập 24
Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm
E bất kì trên OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn,
qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey
a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?
c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào?

Bài tập 25
Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đờng tròn (A
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

9

khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A
vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC
tại F.
a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?

b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó theo R.

Bài tập 26
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua hai
điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O)
a) Chứng minh: PT
2
= PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T,
T thuộc một đờng tròn cố định.
b) Gọi giao điểm của TT với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN.
Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT luôn
đi qua điểm cố định.
d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc

TPT = 60
0
.

Bài tập 27
Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (MA và C). Vẽ đờng tròn đờng
kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn. Nối BM kéo dài cắt
đờng tròn tại điểm thứ hai là D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai
S. Chứng minh:
a) Tứ giác ABTM nội tiếp
b) Khi M chuyển động trên AC thì

ADM

có số đo không đổi.
c) AB//ST.

Bài tập 28
Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Đờng vuông góc với AB
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

10

kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lợt tại các điểm C, D. Lấy M trên cung nhỏ BC của đờng
tròn (O). Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng MB với đờng tròn (O') là N và giao
điểm của hai đờng thẳng CM, DN là P.
a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao?
b. Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn.
c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đờng tròn (O') là Q, chứng minh rằng BQ //
CP.

Bài tập 29
Cho

ABC vuông tại A (AB < AC). H bất kỳ nằm giữa A và C. Đờng tròn (O)
đờng kính HC cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D.
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
b) AB cắt CD tại M. Chứng minh 3 điểm H; I; M thẳng hàng
c) AD cắt (O) tại K. Chứng minh CA là tia phân giác của

KCB

Bài tập 30
Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao
cho C không trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E.
1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3. Chứng minh AM
2
= AE.AC.
4. Chứng minh AE. AC AI.IB = AI
2
.
5. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Bài tập 31
Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB, dây AC. Gọi E là điểm chính giữa
cung AC bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K.
a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

11

b) Chứng minh KH

AB
c) Cho BC = R. Tính PK.

Bài tập 32
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn
bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm

Bài tập 33
Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
ADE
đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của

BHC
.
c) DE cắt BC tại I. Chứng minh :
2
AB AI.AH

.
d) Cho
AB=R 3
và
R
OH=
2

. Tính HI theo R.

Bài tập 34
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M
khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM
cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE
cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
c) Chứng minh BAF là tam giác cân.
d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

12


Bài tập 35
Cho hai đờng tròn (O
1
), (O
2
) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát
tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt hai đờng tròn ở E và F. (E (O
1

); F
(O
2
)).
1. Chứng minh AE = AF.
2. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( C (O
1
); D (O
2
)). Gọi P là giao
điểm của CE và DF. Chứng minh rằng:
a. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp đợc đờng tròn.
b. Gọi I là trung điểm của EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng.
3. Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên đờng nào?

Bài tập 36
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F sao cho

0
45
EAF
. Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh:
a) ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp
b) CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau

Bài tập 37
Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đờng tròn, B là trung điểm
của cung nhỏ CD. Kẻ đờng kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt
(O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.
a. Chứng minh:

BMD

=
BAC

, từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b. Chứng minh: HK // CD.
c. Chứng minh: OK.OS = R
2
.

Bài tập 38
Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho
AI =
2
3
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

13

MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b. Chứng minh

AME đồng dạng với

ACM và AM
2
= AE.AC.
c. Chứng minh AE.AC

AI.IB = AI
2
.
d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Bài tập 39
Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vuông góc
với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt
đờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn
tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc.
b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng tròn
cố định.

Bài tập 40
Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn. Các tiếp tuyến với đờng
tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn (M
khác B và C). Gọi H; K; I lần lợt là chân các đờng vuông góc kẻ từ M xuống BC;
CA; AB.
a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp.
b/ Chứng minh:

MHI MKH

.
c/ Chứng minh: MH
2
= MI.MK.

Bài tập 41
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O)
tại A. M và Q là hai điểm trên (d) sao cho MA, MQ, QA. Các đờng thẳng BM và
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

14

BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. Chứng minh:
1. Tích BN.BM không đổi.
2. Tứ giác MNPQ nội tiếp.
3. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R

Bài tập 42
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB
không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD và
PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a. Góc CID bằng góc CKD.
b. Tứ giác CDFE nội tiếp đợc một dờng tròn.
c. IK // AB.

Bài tập 43
Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai
điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.
a. Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA.
c. Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại
một điểm nằm trên đờng thẳng CD.
d. Cho biết
0
45
BAM
và
0
30
BAE
. Tính diện tích tam giác ABC theo
R.

Bài tập 44
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H
của OB. Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vuông góc với MN tại K. Gọi C là
giao điểm của Ax với tia BI.
a/ Chứng minh rằng: BN// MC
b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC là hình chữ nhật
c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM ở E, cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

15

điểm thứ hai của tia Ax với (O). Chứng minh rằng: tứ giác DMEF nội tiếp

Bài tập 45
Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 60
0
; trên tia đối của tia AC lấy điểm D
sao cho AD = AC.
a) Tam giác BCD là tam giác gì? tại sao?
b) Kéo dài đờng cao CH của ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E tiếp
xúc với CD tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đờng tròn này. Chứng minh:
Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đờng tròn.
c) Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác AFGM là hình gì?
Tại sao?
d) Chứng minh: MBG cân.

Bài tập 46
Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O và cắt đờng tròn tại hai
điểm A, B . Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN
với đờng tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đờng thẳng OH cắt tia
CN tại K.
a. Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh KN.KC = KH.KO.
c. Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và
MN.
d. Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lợt
tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ
nhất.

Bài tập 47
Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di
động trên cung lớn BC sao cho

ABC nhọn. Các đờng cao AD; BE; CF cắt nhau tại
H (D

BC; E

CA; F

AB)
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

16

4. Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB
5. Gọi A' là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AH = 2OA'
6. Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích

ABC,
2p là chu vi

DEF. Chứng minh:
a. d // EF
b. S = p.R

Bài tập 48
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC nội tiếp trong đờng tròn tâm O;
AB và CD kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O tại B và D cắt
nhau tại điểm K.
a. Chứng minh các tứ giác OBID và OBKD là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh IK song song với BC.
c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình
hành.

Bài tập 49
Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng tròn. Một góc xAy = 90
0
quay
quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của
Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC tại các điểm
thứ hai tơng ứng là M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác
AOP. Chứng minh rằng
a) AMON là hình chữ nhật
b) MN//BC
c) Tứ giác PHOB nội tiếp
d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.

Bài tập 50
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ
dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

17

khác B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh:
a) Tứ giác IECB nội tiếp.
b) AM
2
= AE.AC
c) AE.AC AI.IB = AI
2


Bài tập 51
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn sao cho
cung AC nhỏ hơn 90
0
và góc COD = 90
0
. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao
cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt tại E, F
a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: D là điểm chính giữa cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần
lợt tại I, K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm
M, O, B, K, S cùng thuộc một đờng tròn.

Bài tập 52
Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB
không đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai

tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung
điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF
với các đờng thẳng OM và OH.
a) Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh: OH.OI = OK. OM
c) Chứng minh: IA, IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O)

Bài tập 53
Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C
). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD
cắt đờng tròn đờng kính BC tại I.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

18

1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.

Bài tập 54
Cho đờng tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,
AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN). Gọi
E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng
tròn.
a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng tròn.

b) Chứng minh: góc AOC bằng góc BIC
c) Chứng minh: BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

Bài tập 55
Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB. Trên tiếp tuyến của đờng tròn O tại A
lấy điểm M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D; tia
MC nằm giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đờng
tròn (O). Đờng thẳng BC và BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E và F. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đờng tròn.
b.
IAB AMO

.
c. O là trung điểm của FE

Bài tập 56
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt
phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đờng thẳng qua M vuông
góc với MC cắt Ax, By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

19

b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành

Bài tập 57
Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ngoài đờng tròn. Đờng thẳng đi qua O vuông
góc với xy tại H cắt đờng tròn (O) tại A và B. M là điểm trên (O), đờng thẳng AM
cắt xy tại E, đờng thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đờng thẳng AF
cắt (O) tại K. Nối E với K.
a) Chứng minh: IM = IF
b) Chứng minh: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đờng tròn.
c) Chứng minh: IK là tiếp tuyến của (O).
d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp

AMH khi M di động trên (O)

Bài tập 58
Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ
đờng thẳng vuông góc với AB tại I, đờng thẳng này cắt đờng tròn (O; R) tại M và
N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng
thẳng này cắt các đờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H. Hãy chứng minh:
1) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK=HA.HM.
2) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R)
3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng

Bài tập 59
Cho đờng tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm
S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng
SO ; OM tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp.
b) Chứng minh SA
2
= SD. SC.

c) Chứng minh OM. OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
d) Khi BC // SA. Chứng minh tam giác ABC cân tại A
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

20

e) Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA.

Bài tập 60
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc
cung BM ( K khác M và B ). AK cắt MO tại I.
a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b) Gọi H là hình chiếu của M lên AK. Chứng minh : Tứ giác AMHO nội tiếp .
c) Tam giác HMK là tam giác gì ?
d) Chứng minh : OH là phân giác của góc MOK.
e) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình chiếu của
K lên AB)

Bài tập 61
Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0). Tia phân giác trong của góc
B, góc C cắt đờng tròn này thứ tự tại D và E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gọi
I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh: các tam giác EBF, DAF cân.
b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB
c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có
diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK.

Bài tập 62
Cho đờng tròn (O), một đờng kính AB cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho
AI =
OA.
3
2
. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn
MN ( C không trùng với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp.
b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và AM
2
= AE . AC
c) Chứng minh : AE .AC AI .IB = AI
2
.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

21

ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Bài tập 63
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của
cung nhỏ AB ; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K ; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I.
a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc

b) Chứng minh: IK // AB.
c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
d) Chứng minh: AP
2
= PE .PD = PF . PC
e) Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED.
f) Gọi R
1
, R
2
là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED và
BED.Chứng minh: R
1
+ R
2
=
2 2
PA4R


Bài tập 54
Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a. E là điểm đi chuyển trên đoạn CD
(E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng vuông góc với AE
tại A cắt đờng thẳng CD tại K.
1) Chứng minh ABF = ADK từ đó suy ra AFK vuông cân .
2) Gọi I là trung điểm của FK, Chứng minh I là tâm đờng tròn đi qua A , C, F ,
K.
3) Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đờng tròn .

Bài tập 65

Cho góc vuông xOy , trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là
một điểm bất kỳ trên AB. Dựng đờng tròn tâm O
1
đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A,
đờng tròn tâm O
2
đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O
1
) cắt (O
2
) tại điểm thứ hai N
.
1) Chứng minh tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là phân giác của góc
ANB .
2) Chứng minh M nằm trên một cung tròn cố định khi M thay đổi .
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

22

3) Xác định vị trí của M để khoảng cách O
1
O
2
là ngắn nhất .

Bài tập 66
Cho điểm A bên ngoài đờng tròn (O ; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến

ADE đến đờng tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh HA là tia phân giác của

BHC
.
c) DE cắt BC tại I. Chứng minh :
2
AB AI.AH

.

Bài tập 67
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . Đờng phân giác trong của góc A
, B cắt đờng tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đờng phân giác là I , đờng
thẳng DE cắt CA, CB lần lợt tại M , N .
1) Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân .
2) Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
3) Tứ giác CMIN là hình gì ?

Bài tập 68
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đờng tròn đờng kính BC cắt
AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đờng tròn ngọai tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.
Tính tỉ số
OK
BC
khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm và HC > HE. Tinh HC.

Bài tập 69
Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với
OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM .
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

23

a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) Tính AH.AK theo R.
Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất
đó

Bài tập 70
Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A
cắt đờng tròn (O
1
) , (O
2
) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD .
1) Chứng minh tứ giác O
1

IJO
2
là hình thang vuông .
2) Gọi M là giao diểm của CO
1
và DO
2
. Chứng minh O
1
, O
2
, M , B nằm trên
một đờng tròn
3) E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E.
4) Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất .

Bài tập 71
Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng tròn đờng kính AB , AC
cắt nhau tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt tại
E và F .
1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng .
2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn .
3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất .

Bài tập 72
Cho đờng tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) . Từ điểm
chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đờng tròn tại E ,
EN cắt đờng thẳng AB tại F
1) Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
2) Chứng minh góc CAE bằng góc MEB .

3) Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB

Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

24

Bài tập 73
Cho ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B,
các tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC.
CMR
a/ MAOH là tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM là phân giác của góc AHB
c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt tại E, F. Nối
EH cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng QP // EF.

Bài tập 74
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn
đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các
điểm thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .

Bài tập 75
Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt
PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O).

a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC
tại D. Tứ giác AODP là hình gì?
c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung
điểm của AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài tập 76
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không
chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC .
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail:

25

1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp .
2) Chứng minh


AMB HMK


3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK .

Bài tập 77
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. Gọi C là
điểm trên nửa đờng tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên cung CB lấy điểm D
khác C và B. Các tia AC, AD cắt Bx lần lợt tại E và F.
a, Chứng minh ABE vuông cân

b, Chứng minh ABF BDF
c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
d, Chứng minh AC.AE = AD.AF

Bài tập 78
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O.
Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống
AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;
b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH;
c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn

Bài tập 79
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt
nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh :
a) CEFD là tứ giác nội tiếp .
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD