Công thức tổng hợp về dao động điều hoà

Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Phần 1: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Kiến thức nền tảng:
- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A.
- Chiều dài quỹ đạo: 2A.
2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động
tròn đều.
Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ
góc là ω. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M
0
và tạo với trục
ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M và góc tạo với
trục ngang là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là
OP có độ dài đại số .
Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.
* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh"
trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa. Không chỉ giới
hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện
xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần
thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán.
3. Các dạng bài toán cơ bản:
Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
2

Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều. Các
bước thực hiện như sau :
- Xác định các vị trí x

1
và x
2
trên trục quỹ đạo.
- Tính các góc φ
1
, φ
2
với thỏa mãn (0 ≤ φ
1
, φ
2
≤ π)
- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:
Trang 1
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
* Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí
đến vị trí có li độ
Hướng dẫn giải :
Ta có tần số góc:
Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ đến là .
Ví dụ 2 :
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:
a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.
b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí .
c. đến vị trí x = A.
Hướng dẫn giải :
Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:
a.

Trang 2
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
b.
c.
NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như các bài
toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên. Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức:
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí hoặc và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc đến x = -A và ngược lại thì
Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng giác
sau:
(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Phân tích: Δt = t
2
– t
1
= n.T + T/2 + T/4 + t
0
(n ЄN; 0 ≤ t
0
< T/4)

- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S
1
= n.4A+ 2A + A
- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t
0
là bằng cách sau:
• Tính li độ x
1
và dấu của vận tốc v
1
tại thời điểm
• Tính li độ x
2
và dấu của vận tốc v
2
tại thời điểm t
2

• Nếu trong thời gian t
0
mà vật không đổi chiều chuyển động (v
1
và v
2
cùng dấu) thì quãng đường đi được
trong thời gian cuối t
0
là S
2
= |x

2
- x
1
|
Trang 3
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
• Nếu trong thời gian t
0
mà vật đổi chiều chuyển động (v
1
và v
2
trái dấu) thì để tính quãng đường đi được
trong thời gian cuối t
0
ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S
2
. Từ đó quãng đường tổng cộng là
S = S
1
+ S
2

CHÚ Ý :
+ Nếu Δt = T/2 thì S
2
= 2A
+ Tính S
2
bằng cách định vị trí x

1
, x
2
và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và
chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t
1
đến t
2
: với S là quãng đường tính như trên. Ví
dụ điển hình :
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi
được trong 1,1s đầu tiên.
Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động.
Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt
đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.
Ta có :
Tại t = 0 :
Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương. Ta lại có
Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi được
trong 2,25s đầu tiên.
Hướng dẫn giải:
Trang 4
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có : ; (s) Quãng đường vật đi được
trong 2s đầu tiên là S
1
= 4A = 16cm.

- Tại thời điểm t = 2s :
- Tại thời điểm t = 2,25s :
Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s
cuối là S
2
= .
Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S =
Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s)
Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S
1
= 4A = 16cm
Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên
đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài hình chiếu của vật chính là quãng
đường đi được. Độ dài hình chiếu này là .
Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =
Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt < T/2.
Cách giải:
NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một
khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí
biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để để giải bài toán. Góc quét Δφ =
ωΔt.
• Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục sin (hình 1)
Trang 5
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
• Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M

1
đến M
2
đối xứng qua trục cos (hình 2)
CHÚ Ý : + Trong trường hợp Δt > T/2
Tách:
Trong đó:
Trong thời gian quãng đường luôn là n.2A
Trong thời gian Δt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt:
và với S
max
; S
min
tính như trên.
Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T. Tìm quãng đường:
a. Nhỏ nhất mà vật đi được trong .
b. Lớn nhất mà vật đi được trong .
c. Nhỏ nhất mà vật đi được trong .
Hướng dẫn giải :
a. Góc mà vật quét được là :
Áp dụng công thức tính S
min
ta có:
Trang 6
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
b. Góc mà vật quét được là:
Áp dụng công thức tính S
max

ta có:
c. Do Quãng đường mà vật đi được trong luôn là 2A. Quãng đường nhỏ
nhất mà vật đi được trong chính là quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong . Theo câu a ta tìm
được quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong là .
Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong là
Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ
trung bình lớn nhất của vật trong .
Hướng dẫn giải : Góc quét
Trang 7
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt. Biết tại thời
điểm t vật có li độ x = x
0
.
Cách giải:
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x
0
Lấy nghiệm ωt + φ = α với
ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = -α ứng với x đang tăng (vật
chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt giây là:
hoặc
Ví dụ điển hình :
Một vật dao động điều hòa với phương trình:
a. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,25s
b. Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,125s
c. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s
Hướng dẫn giải:
4. Bài tập tương tự luyện tập
Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Gọi M và N là hai biên của vật

trong quá trình dao động. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của OM và ON. Hãy tính vận tốc trung bình
của vật trên đoạn từ I tới J.
Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T. Tìm:
a) Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong .
b) Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong .
c) Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật đi được trong .
Trang 8
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Quãng đường vật đi được trong
khoảng thời gian từ t
1
= 1,5s đến t
2
= là bao nhiêu?
Bài 4: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi
từ vị trí có ly độ:
a) x
1
= A đến x
2
= A/2 b) x
1
= A/2 đến x
2
= 0 c) x
1
= 0 đến x
2
= -A/2 d) x
1

= -A/2 đến x
2
= -A
e) x
1
= A đến x
2
= A f) x
1
= A đến x
2
= A g) x
1
= A đến x
2
= -A/2
Phần 2: NĂNG LƯỢNG GIAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Động năng
- Là năng lượng sinh ra do sự chuyển động của vật, được tính theo công thức
2. Thế năng
a. Thế năng của con lắc lò xo (Thế năng đàn hồi)
- Là năng lượng sinh ra do sự đàn hồi của lò xo, được tính theo công thức
b. Thế năng của con lắc đơn (Thế năng trọng trường)
- Là năng lượng sinh ra do trọng lực của vật năng, được tính theo công thức
Khi góc lệch α nhỏ thì có thể dùng công thức gần đúng
Thay
Vậy với con lắc đơn ta có công thức tính gần đúng thế năng: 3
Trang 9
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
3.Cơ năng trong dao động điều hòa

Cơ năng = Động năng + Thế năng ,(với con lắc lò xo)
,(với con lắc đơn)
Đặc biệt:
,(với con lắc lò xo)
, (với con lắc đơn khi góc lệch lớn).
, (với con lắc đơn khi
góc lệch nhỏ)
4. Sự biến thiên của Động năng và Thế năng:
Xét một vật dao động điều hòa với chu kỳ T, có phương trình dao động và phương trình vận tốc lần lượt là:
Khi đó phương trình của Động năng là:
Đặt:
Khi đó Động năng biến thiên điều hòa với tần số góc ω
d
= 2ω → biến thiên điều hòa với chu kỳ và tần số:

Tương tự ta cũng có phương trình của Thế năng:
Đặt:
Khi đó Thế năng điều hòa biến thiên với Tần số góc, tần số dao động và Chu kỳ dao động lần lượt là:
Trang 10
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Trang 11
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
5. Đồ thị dao động của Động năng và Thế năng trong dao động điều hòa
Ta có:
Vẽ đồ thị ta được:
Nhận xét:
- Từ đồ thị ta thấy rằng cứ sau những khoảng thời gian là Δt = T/4 thì Động năng và Thế năng lại bằng nhau.
- Khi Động năng và Thế năng có mối quan hệ với nhau W
d
= n.W

t
, để tìm li độ hay tìm vận tốc thì ta thực hiện như
sau.
• Tính li độ thì quy về theo Thế năng:
• Tính vận tốc thì quy về theo Động năng:
6. Ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang với cơ năng W = 0,02J. Lò xo có chiều dài tự nhiên là ℓ
0
=
20cm và độ cứng của lò xo k = 100 N/m. Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là bao
nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Từ công thức tính cơ năng ta có:
Do lò xo chuyển động theo phương ngang nên Δℓ
0
= 0 → Chiều dài cực đại của lò xo là ℓ
max
= ℓ
0
+ A = 22cm
Chiều dài cực tiểu của lò xo là ℓ
min
= ℓ
0
- A = 18cm
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng có m = 100 g, k = 10 N/m, chiều dài tự nhiên của lò xo ℓ
0
=
30cm. Lấy g = 10 m/s
2

.
a. Tính năng lượng dao động của vật biết rằng khi nó có li độ thì nó có vận tốc là 10 cm/s.
b. Tìm chiều dài của lò xo khi W
d
= 3W
t

Trang 12
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
c. Tính động năng của vật khi lò xo có chiều dài 38,5cm.
d. Tính tốc độ v của vật khi W
d
= W
t

Trang 13
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
* Hướng dẫn giải:
a. Khi lò xo treo thẳng đứng ta có:
Mà:
Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dao động:
Khi đó năng lượng dao động của vật là:
b. Khi W
d
= 3W
t
thì ta tính được li độ của vật:
Chiều dài tự nhiên của lò xo là 30cm và tại vị trí cân bằng nó đã giãn 10cm nên tại vị trí cân bằng thì lò xo có chiều
dài 40cm.
Giả sử chọn chiều dương hướng xuống, khi x = 1,5cm thì lò xo dài 40 + 1,5 = 41,5cm còn khi vật có li độ x = -15cm

thì lò xo có chiều dài là 40 - 1,5 = 38,5cm
c. Khi lò xo có chiều dài 38,5 cm thì nó có cách vị trí cân bằng 1,5 cm. Khi đó |x| = 1,5 cm. Áp dụng hệ thức liên hệ
ta tính được tốc độ v của vật:
Khi đó động năng của vật là:
d. Khi W
d
= W
t
thì ta có:
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 0,314s. Khi vận tốc của vật có độ lớn 40 cm/s thì động năng
bằng thế năng. Tính biên độ dao động của vật.
* Hướng dẫn giải:
Tần số góc
Khi động năng và thế năng bằng nhau ta có:

Áp dụng hệ thức liên hệ ta có:

Vậy biên độ dao động của vật là .
Trang 14
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Ví dụ 4: Một con lắc lò dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc ω. Thế năng của vật gấp ba lần động năng khi
tốc độ của vật có giá trị là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy khi thì thế năng gấp ba lần động năng.
Phần 3: CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN
1. Cấu tạo:
- Con lắc lò xo gồm một là xo có độ cứng k (N/m) có khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn
lại gắng vào vật có khối lượng m.
- Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và

vật dao động trong giới hạn đàn hồi.
2. Phương trình dao động của con lắc lò xo
x = Acos (ωt + φ) (cm)
Với:
• x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. (cm)
• A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm)
• ω : tần số góc của dao động (rad/s)
• φ : pha ban đầu của dao động (t = 0)
• (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t. (rad)
♦ Tần số góc:
-Tần số góc của con lắc lò xo (rad/s)
♦ Chu kì:
-Chu kì của con lắc
Trang 15
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
♦ Tần số:
-Tần số dao động của con lắc lò xo
3. Năng lượng dao động của con lắc lò xo
♦ Động năng:
♦ Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo):
♦ Cơ năng:
Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m)
4. Các dạng dao động của con lắc lò xo
4.1. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang.
Đặc điểm:
- Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến dạng, .
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục với
4.2. Con lắc lò xo chuyển động thẳng đứng.
Đặc điểm:
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn

được cho bởi biểu thức . Mà nên
. Từ đó ta có công thức tính chu kỳ tần
số dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này:
Trang 16
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động:
• Chiều dài tại VTCB:
• Chiều dài cực đại :
• Chiều dài cực tiểu :
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (F
dh
):
• Phương : cùng phương chuyển động của vật.
• Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng.
• Độ lớn : , với là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén).
Gọi x là vị trí đang xét .
Chú ý :
Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và chiều dương mà ta
chọn như thế nào.
• Đơn vị : Fdh (N); k(N/m); (m)
Các trường hợp đặc biệt:
- Lực đàn hồi cực đại :
- Lực đàn hồi cực tiểu :
Chú ý : Nếu đề bài cho biết tỉ số thì ta hiểu là .
4.3. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang.
Trang 17
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Đặc điểm :
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức .
Mà nên :

- Chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng cũng như chiều dài cực đại và cực tiểu tính tương tự như trường
hợp vật chuyển động thẳng đứng.
5. Cắt ghép lò xo
5.1. Lò xo ghép song song:
Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – vật – lò xo 2.
Công thức tính : gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó k = k
1
+ k
2
Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:

Trang 18
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
5.2. Lò xo ghép nối tiếp:
Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – lò xo 2 – vật.
Công thức tính : Gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó
Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:
5.3. Cắt lò xo:
Một lò xo có độ cứng k, chiều dài được cắt thành các lò xo có độ cứng k
1
, k
2
, … và chiều dài tương ứng
là thì có:
*Chú ý : Gắn lò xo có độ cứng k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T
1
, vào vật khối lượng m
2
được T

2
,
vào vật khối lượng (m
1
+ m
2
) được chu kỳ T
3
, vào vật khối lượng (m
1
– m
2
), (m
1
> m
2
) được chu kỳ T
4
. Khi
đó ta có : và .
6. Ví dụ điển hình
Ví dụ 1 :
Một vật nặng có khối lượng m = 500g được treo vào đầu một lò xo theo phương thẳng đứng, độ cứng lò xo
k = 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s
2
.
a. Lập phương trình dao động, chọn gốc thời gian là khi vật có vận tốc v=20cm/s và gia tốc
b. Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động.
c. Tính thế năng và động năng của vật ở thời điểm t = , với T là chu kỳ dao động.
Hướng dẫn giải :

a. Gọi phương trình dao động của vật là .
Trang 19
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Khi treo lò xo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng ta có:
Tần số góc:
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
b. Lực đàn hồi cực đại Do
c. Chu kỳ dao động
Tại t = , ta có
Khi đó động năng và thế năng của vật:
Ví dụ 2 :
Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20N/m và viên bi có khối lượng 0,2kg dao động điều hòa. Tại thời
điểm t, vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20cm/s và . Tính biên độ dao động.
Hướng dẫn giải :
Trang 20
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Phương trình dao động của vật có dạng , trong đó ;
Vậy A = 4cm.
Ví dụ 3:
Một quả cầu nhỏ được gắn vào đầu một lò xo có độ cứng 80N/m để tạo thành một con lắc lò xo. Con lắc
thực hiện 100 dao động mất 31,4s.
a. Xác định khối lượng quả cầu.
b. Viết phương trình dao động của quả cầu, biết rằng khi t = 0 thì quả cầu có li độ 2cm và đang chuyển
động theo chiều dương với vận tốc .
Hướng dẫn giải:
a. Chu kỳ dao động:
b. Gọi phương trình dao động là :
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:

Ví dụ 4 :
Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài , được treo thẳng đứng phía dưới treo
một vật nặng khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29cm
đến 35cm. Cho g = 10m/s
2
.
a. Tính chu kỳ dao động của con lắc.
b. Viết phương trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài 33,5cm và đang
chuyển động về phía vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên.
Trang 21
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Hướng dẫn giải:
a. Theo bài ta có chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là:

Mà ;
Độ biến dạng của lò xo tại ví trí cân bằng là :
b. Gọi phương trình dao động là :
ở vị trí cân bằng lò xo dài 32cm nên khi lò xo có chiều dài 33,5cm và chiều dương hướng lên trên thì li độ
của vật là
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 5 :
Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc so với mặt phẳng nằm ngang. Vật đang ở vị trí
cân bằng O thì lò xo dãn một đoạn lấy g = 10m/s
2
. Kích thích cho vật dao động điều hòa nó sẽ
dao động với tốc độ cực đại là 40cm/s. Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc thời gian
là khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải :
Gọi phương trình dao động là:

Tại vị trí cân bằng ta có :
Trang 22
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
Từ
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 6 :
Một lò xo có chiều dài tự nhiên là , độ cứng k
0
= 100N/m được cắt ra làm hai lò xo có chiều dài
, . Khi mắc hai lò xo có chiều dài song song với nhau thì độ cứng của lò xo hệ
là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải :
Ta có:
Khi hai lò xo mắc song song với nhau thì độ cứng của lò xo hệ là k = k
1
+ k
2
= 450(N/m).
Phần 4: LỰC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Hợp lực tác dụng vào vật:
,, 2
cos( )F ma mx m A t
ω ω ϕ
= = = − +
∑
r
r
.

Nguyên nhân làm cho con lắc lò xo dao động điều hòa là do có lực phục hồi
F kx
= −
1. Xét con lắc lò xo nằm ngang.
Lực đàn hồi tác dụng vào con lăc có độ lớn
F k x
=
• Lực đàn hồi cực đại: F
Max
= kA (Vật ở VT biên)
• Lực đàn hồi cực tiểu: F
Min
= 0 (Vật ở VT CB)
2. Con lắc lò xo treo thẳng đứng.
Lực đàn hồi tác dụng lên con lắc trong quá trình dao động là
Trang 23
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
( )F k l x
= ∆ +
(Chiều dương con lắc hướng xuống)
Hoặc
( )F k l x
= ∆ −
(Chiều dương con lắc hướng lên)
(
l
∆
là độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng). Lực này có:
+ Phương thẳng đứng.
+ Chiều ngược với hướng biến dạng của lò xo.

+ Độ lớn
F k l x
= ∆ +
.(hoặc
F k l x
= ∆ −
)
Trong quá trình dao động có những lúc lực đàn hồi là lực nén (lò xo có chiều dài ngắn hơn chiều
dài tự nhiên), có lúc lực đàn hồi là lực kéo(lò xo có chiều dài, dài hơn chiều dài tự nhiên). Ta cần phân biệt
các trường hợp sau đây:
a. Trường hợp 1: A <
l
∆
(Biên độ dao động nhỏ hơn độ biến dạng của lò xo tại VTCB). Trong quá trình
dao động của con lắc chỉ sinh ra lực kéo.
• Lực kéo đàn hồi cực đại: F
Max
= k(A + ∆l) lúc này lò xo có chiều dài lớn nhất.
• Lực kéo đàn hồi cực tiểu: F
Min
= k(∆l - A) lúc này lò xo chiều dài ngắn nhất.
b. Trường hợp 2: A >
l
∆
(Biên độ dao động lớn hơn độ biến dạng của lò xo tại VTCB).
• Lực kéo đàn hồi cực đại: F
Max
= k(A + ∆l) lúc này lò xo có chiều dài lớn nhất.
• Lực nén đàn hồi cực đại: F
Min

= k(A - ∆l) lúc này lò xo chiều dài ngắn nhất.
• Lực đàn hồi cực tiểu: F
Min
= 0 (Vật ở x = - ∆l)
c. Trường hợp 3: A =
l
∆
(Biên độ dao động bằng độ biến dạng của lò xo tại VTCB).
• Lực kéo đàn hồi cực đại: F
Max
= k(A + ∆l) lúc này lò xo có chiều dài lớn nhất.
• Lực đàn hồi cực tiểu: F
Min
= 0 (Vật ở x = - ∆l)
II. PHƯƠNG PHÁP
Khi gặp bài toán con lắc lò xo nằm ngang thì việc giải bài toán dễ dàng. Ở đây ta chỉ chú trọng làm sao để
giải nhanh bài toán lực khi con lắc lò xo treo thẳng đứng. Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Xác định độ biến dạng ∆l.
mg
l
k
∆ =
hoặc
2
g
l
ω
∆ =
Bước 2: Thực hiện tính toán theo yêu cầu của đề ra:
• Nếu bài toán tìm lực kéo đàn hồi cực đại thì dù trong trường hợp nào (A

≥
l
∆
hay A <
l
∆
) thì
F
Max
= k(A + ∆l).
Trang 24
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Thạnh
• Nếu bài toán tìm lực nén đàn hồi cực đại (A >
l
∆
) thì
F
Max
= k(A - ∆l)
• Nếu bài toán tìm lực đàn hồi cực tiểu thì ta cần so sánh A với ∆l
+ Nếu A
≥
l
∆
thì F
Min
= 0
+ Nếu A <
l
∆

thì F
Min
= k(∆l - A)
III. BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Một con lắc lò xo gồm một quả nặng có khối lượng m = 200g. lò xo có độ cứng k = 100N/m. Cho
vật dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A. Tìm lực kéo đàn hồi cực đại, lực nén đàn hồi
cực đại, lực đàn hồi cực tiểu trong các trường hợp:
a. A = 1,5cm.
b. A = 3cm.
Bài 2: Một vật có khối lượng m = 200g treo vào lò xo có độ cứng k = 50N/m. Kéo vật xuống dưới VTCB
một đoạn 3cm rồi truyền cho nó một vận tốc
20 3 /cm s
π
cùng phương. Tìm lực đàn hồi lớn nhất, nhỏ
nhất trong quá trình dao động của con lắc.
Bài 3: Vật có khối lượng m = 1kg treo vào đầu dưới của lò xo có hệ số đàn hồi k, vật dao động theo pt: x =
10cos
π
(2 t )
6
cm
π
+
.Tính lực phục hồi, lực đàn hồi của lò xo tại thời điểm t = 1s. Biết trục 0x có chiều
dương hướng xuống, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng.
Phần 5: LỰC TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Câu 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động với biên độ 4cm, chu kỳ 0,5s. Khối lượng quả nặng
400g. Lấy π
2
= 10, cho g = 10m/s

2
.
a. Giá trị của lực đàn hồi cực đại tác dụng vào quả nặng
A. 6,56N B. 2,56N. C. 256N. D. 656N
b. Giá trị của lực đàn hồi cực tiểu tác dụng vào quả nặng
A. 6,56N B. 0 N. C. 1,44N. D. 65N
Câu 2 : Con lắc lò xo treo thẳng đứng, lò xo có khối lượng không đáng kể. Hòn bi đang ở vị trí cân bằng
thì được kéo xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 3cm rồi thả ra cho nó dao động. Hòn bi thực
hiện 50 dao động mất 20s . Cho g =
2
π
= 10m/s
2
. Tỉ số độ lớn lực đàn hồi cực đại và lực đàn hồi cực tiểu
của lò xo khi dao động là
A. 5. B. 4. C. 7. D. 3.
Trang 25