skkn hướng dẫn học sinh khai thác một số bài tập hình học lớp 9

Đề tài: Hướng dẫn học sinh khai thác một
bài tập hình học sách giáo khoa toán 9
I. Đặt vấn đề:
Bắt đầu năm học 2005-2006 học sinh lớp 9 trên toàn quốc được học tập cuốn
sách giáo khoa mới. Trong quá trình giảng dạy bộ môn hình học 9, tôi thấy rằng
cuốn sách được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa học. Hệ
thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã quá đủ với tất cả
học sinh. Đặc biệt, các bài tập thử nghiệm đơn giản, nhưng nghiên cứu kĩ tôi thấy
rằng chứa đựng trong đó nhiều điều hết sức thú vị. Cụ thể đó là chúng ta có thể
hướng dẫn các em “khai thác phát triển” thành những bài toán hay hơn khó
hơn…Làm như vậy sẽ góp phần quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy
cho học sinh, kích thích sự tìm tòi sáng tạo phát huy được trí lực cho học sinh.
II. Nội dung.
Bài toán 1( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán 9 tập 1)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD
không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: CH = DK (*)
(Gợi ý: kẻ OM vuông góc với CD).
Giải:
Theo gt ta có: AH
⊥
CD và BK
⊥
CD nên
AH // BK suy ra AHKB là hình thang.
Kẻ OM
⊥
CD tại M
⇒
MC = MD

(1)
(ĐL quan hệ vuông góc giữa đk và
dây). Xét hình thang AHKB có OA = OB = R; OM//AH//BK (cùng
⊥
CD).
OM là đường trung bình của hình thang
⇒
MH = MK
(2)

Từ (1) và (2) ta có CH = DK
Đối với bài tập này ta có thể khai thác theo 2 hướng như sau:
A. Hướng thứ nhất
Để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai đoạn thẳng CD và HK có
chung trung điểm. (ở đây ta chỉ xét trường hợp CD và HK thuộc cùng một đường
thẳng nhưng trong trường hợp chúng không cùng một đường thẳng thì CH = DK
vẫn đúng)
- Với ý tưởng chúng ta thử xây dựng một số bài toán mà có thể vận dụng
cách giải ở bài toán (*) để giải nó

M
K
H
B
A
O
C
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Bài 1:Cho đường tròn O đường kính AB,
dây CD không cắt đường kính. Qua C, D kẻ các
đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H
và K.
Chứng minh rằng AH = BK
Để chứng minh AH = BK ta chỉ cần
chứng minh hai đoạn thẳng AB và HK có
chung trung điểm O. Muốn vậy ta làm xuất hiện
trung điểm I của đoạn thẳng CD. Lập luận để
có O là trung điểm của hai đoạn thẳng HK và AB
⇒
ĐPCM
Từ bài toán 1 chúng ta có thể
Phát biểu bài toán đảo như sau:
Bài 2: Bài toán đảo của bài toán 1
Trên đường kính AB của đường tròn tâm O ta lấy hai điểm H và K sao cho
AH = KB. Qua H và K vẽ hai đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt đường
tròn tại hai điểm C và D (C, D cùng thuộc một nửa đường tròn tâm O). Chứng
minh rằng: HC ⊥ CD, KD ⊥ CD
Từ bài toán (*) nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK
có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng
và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán (*) một
chút như sau.
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính
AB, dây CD cắt đường kính AB tại G. Gọi H và
K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD.
Chứng minh rằng CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh CH = DK ta c/m CD và
HK có chung trung điểm.

Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD tại I, cắt AK tại F.
Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI là đường trung
bình của tam giác AHK
⇒
I là trung điểm của HK
⇒
ĐPCM
Cũng là bài toán 3 nhưng chúng ta cũng có thể phát biểu dưới một dạng
khác phức tạp hơn như sau:
KH
I
B
A
O
C
D
F
I
K
H
G
A
B
O
C
D
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Bài 4: Cho tứ giác ACBD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Chứng minh
rằng hình chiếu vuông góc của các cạnh đối diện của tứ giác trên đường chéo CD
bằng nhau. (cách giải hoàn toàn tương tự bài toán 3)

Từ bài toán 3 và 4 ta có thể thấy tam giác AGH nội tiếp đường tròn đường
kính AG, tam giác BGK nội tiếp đường tròn đường kínhBG. Nên từ bài toán 3 & 4
ta có bài toán toán sau
Bài 5: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB
(G không trùng với A và B). Lấy AB, AG và BG
làm đường kính , dựng các đường tròn tâm O,
O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O)
tại C, D; cắt (O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng
minh CH = DK



B Hướng thứ hai:
Đề bài: ( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán 9
tập 1)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD
không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: CH = DK ( gợi ý: kẻ OM ⊥ CD)

Bài 1: Thêm vào bài tập 11 câu b như sau:
Chứng minh H và K ở bên ngoài (O)

Giải: (dùng phương pháp phản chứng)
Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến
đường thẳng CD là H’, H’ là điểm nằm giữa 2
điểm C và D.
Xét
'
ACH

∆
ta có:
0
ˆˆˆˆ
'90
ACHACBBCDBCD
=+=+

⇒

0
ˆ
'90
ACH >

Mà
0
ˆ
'90
AHC=
(theo giả sử)
⇒
Tổng các góc trong của
'
ACH
∆
lớn hơn 180
0

là điều vô lí.Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn (O) hay H nằm ngoài (O)

Chứng minh tương tự đối với điểm K
M
K
H
B
A
O
C
D
F
I
K
H
D
O1
O2
O
A B
G
C
M
H
K
B
O
A
C
D
H'
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

C' D'
I
K
H
B
O
A
C
D
* Nhận xét: Từ việc vẽ OM
⊥
CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy
OMHOMAOMKOMB
SSSS
∆∆∆∆
=== suy ra
HOKAMB
SS
∆∆
= suy ra
HK.OM = AB.MM’ (với MM” ⊥ AB tại M’). Vẽ thêm CC’⊥AB, DD’⊥AB
(C’, D’
∈
AB).
Ta có
''
'
2
CCDD
MM

+
= (MM’ là đường trung
bình của hình thang CDD’C’)
⇒

''1
('')
22
ACBADB
CCDD
HKOMABABCCDDSS
∆∆
+
==+=+
Mặt khác HK.OM = S
AHKB
(Vì OM là đường
trung bình của hình thang AHBK nên
2
AHKB
OM
+
= ). Từ đó ta có
AHKBACBADB
SSS
∆∆
=+

Bài 2: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 11 câu c:
CMR

AHKBACBADB
SSS
∆∆
=+

Bài 3: Từ nhận xét trên ta lại có bài toán quỹ tích:
a. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng CD khi C (hoặc D) chạy trên
đường tròn (O)

b. Tìm quỹ tích điểm H và K khi C (hoặc D) chạy
trên đường tròn tâm O đường kính AB






Bài 4: Đặc biệt khi CD không phải là
một dây cung mà CD trở thành tiếp tuyến
của (O) như ở hình bên ta vẫn có S
AMB
∆
=
S
HOK
∆
và HK.OM = AB.MM' (lúc này M
thuộc nửa đường tròn (O)) nên AB = 2.OM.
D'M'C'
M

H
K
B
O
A
C
D
M'
H
K
B
O
A
M
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Do đó ta có HK.OM = 2.OM.MM' '
2
HK
MM⇒=
Dựa vào điều kiện một điểm thuộc đường tròn ta có M'
(;)
2
HK
M∈
⇒

(;)
2
HK
M tiếp xúc với AB tại M'

Bài 5: Từ bài 4 ta có bài 5
Cho đường tròn (O) đường kính AB,
M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn đó
(M ≠ A và B). Qua M vẽ tiếp tuyến xy, H
và K là chân các đường vuông góc hạ từ A,
B xuống xy. Chứng minh rằng : đường tròn
(M) đường kính HK tiếp xúc với AB
(Xác định vị trí tương đối của (M) với
đường thẳng AB khi M chạy trên (O)).
Bài 6: Cho một đoạn thẳng HK, qua
H, K vẽ các đường thẳng d và d’ vuông góc với HK. Một
góc vuông với đỉnh là trung điểm M của HK có một cạnh
cắt d tại A, một cạnh cắt d’ tại B. Chứng minh rằng AB là
tiếp tuyến của đường tròn đường kính HK.
Giải:
Vẽ MD
⊥
AB
(1)

()
DAB
∈
. Gọi
'
CAMd
=∩
Ta có
AMHCMK
∆=∆

(g-c-g)
MAMC
⇒=

⇒

ABC
∆
có BM vừa là
đường cao, vừa là trung tuyến nên
ABC
∆
cân tại B
BM
⇒
là phân giác của
·
ABC
·
·
ABMCBM
⇒=

MDBMKB
⇒∆=∆
(cạnh huyền - góc nhọn)
MDMK
⇒=
mà
MH = MK = HK/2

(2)

Từ (1) & (2) suy ra AB là tiếp tuyến của
đường tròn đường kính HK.
Bài 7: Cho tứ giác AHKB có đường tròn
đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng HK.
Chứng minh rằng đường tròn đường kính HK
tiếp xúc với đường thẳng AB khi và chỉ khi AH//
BK.
Giải: Gọi O và O' lần lượt là trung điểm
của AB và HK
d
d'
D
B
C
M
H
K
A
a
b
O
C
B
A
O'
H
K
D

x
y
K
H
B
O
A
M
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Vẽ O'D
⊥
AB, nối OO' ta có OO'
⊥
HK (OO' là đường trung bình của hình
thang HABK). Đặt OO' = a; O'D = b
⇒

''''
OOAOOHOOBOOK
SSSS
∆∆∆∆
===
Mà
''
1.
.'
24
OOAOOH
ABb
SSOAOD

∆∆
===
''
.
1
2
.'.'
2448
OOBOOK
AB
HK
HKaHKAB
SSOKOO
∆∆
=====
(Vì OO' = a = OA = OB = AB/2)
Như vậy BK//AH
⇔

'
4822
ABbHKABHKHK
bOD=⇔=⇔=
⇔
O'D = O'H = O'K
⇒
D
∈
(O') đường kính HK
⇔

Đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB tại D.
Bài toán 2: ( Bài 30- trang 116 SGK- toán 9, tập 1)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc
với AB (Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua
điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn,
nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a.
0
90
ˆ
=DOC

b. CD = AC + BD
c. Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
Giải:
a. Theo gt: CA, CM là tiếp tuyến của (O)
⇒

CO là phân giác
MCA
ˆ
⇒
CO cũng là phân
giác
·
AOM
hay
21
ˆ
ˆ

OO =
(1)
(tính chất tiếp tuyến)
Tương tự DB, DM là tiếp tuyến (O)
⇒

43
ˆ
ˆ
OO =
(2)

Từ (1) và (2)
⇒

4132
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
OOOO +=+
(3)
mà
0
4321
180
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

=+++ OOOO
(4)

Từ (1), (2), (3) và (4)
⇒

0
32
90
ˆ
ˆ
=+ OO
hay
0
90
ˆ
=DOC

b. Theo t/c tiếp tuyến ta có CA = CM và DB = DM
(5)

mà CD = CM + DM
⇒
CD = CA + BD hay CD = AC + BD
x
y
4
32
1
D

C
B
O
A
M
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
c. Theo c/m câu a thì
COD
∆
vuông tại O
mặt khác
CDOM
⊥
(t/c tiếp tuyến)
⇒
OM
2
= CM.DM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
(6)

Từ (5) và (6)
⇒
OM
2
= AC.BD. mà OM = R (bán kính đường tròn)
⇒
AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
* Tôi khai thác bài toán này như sau:
Gọi N là giao điểm của BC và AD.
CMR MN//AC (MN//BD)

C/M: Ta có AC//BD (gt)
Xét
ANC
∆
có AC//BD
⇒

AC
DB
NC
NB
NA
ND
==
(7)
(theo định lí ta lét)
CA, CM là tiếp tuyến của nửa (O) nên CM
= CA
(8)
tương tự ta có DB = DM
(9)

Từ (7), (8) và (9)
⇒

MC
MD
NA
ND
=

⇒
MN//AC
(theo định lí ta lét đảo)
⇒
MN//BD (AC//BD)
* Sau khi c/m được MN//AC ta có thể có thêm yêu cầu đối với học sinh trung
bình là c/m CD.MN = CM.DB
c/m. Theo c/m trên MN//AC
⇒

CNM
∆
~
CBD
∆
⇒

MN
DB
CM
CD
=
⇒
đpcm
* Cũng dạng toán đó nhưng ta chế biến một tí ta được bài toán mới như sau:
Cho
ABC
∆
vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH.
Từ B và C kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (A) tại D, E. Chứng minh rằng:

a. D, A, E thẳng hàng
b. BD.CE = AH
2
(không đổi)
c. DE là tiếp tuyến của đường tròn đường
kính BC
C/M:
a. Theo gt ta có:
21
ˆ
ˆ
AA = (T/c tiếp tuyến)

34
ˆ
ˆ
AA = (T/c tiếp tuyến)
⇒

3241
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
AAAA +=+
x
y
1
2 3
4

N
D
C
B
O
A
M
4
3
2
1
IH
B
A
C
D
E
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Mà
0
32
90
ˆ
ˆ
ˆ
=+= AAA
⇒

0
3241

90
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=+=+ AAAA
⇒

0
4321
180
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=+++ AAAA hay 3 điểm D, A E thẳng hàng
b. Theo gt
ABC
∆
có
0
90
ˆ
=A
. áp dụng hệ thức lượng trong tam gác vuông ta có AH
2

= BH.CH
Mà BH = BD (t/c tiếp tuyến)
CH = CE (t/c tiếp tuyến)

⇒
AH
2
= BD.CE.
c. Lấy điểm I trên cạnh BC sao cho IB = IC. Theo gt
0
90
ˆ
=CAB

⇒
A, B, C cùng
thuộc đường tròn đường kính BC (hay (I, BC/2))
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC ta c/m
DE
⊥
IA tại A.
Thật vậy, theo gt BD
⊥
DE
CE
⊥
DE
⇒
BDEC là hình thang vuông
⇒
IA là đường trung bình của hình thang vuông BDEC
⇒
IA//BD//CE
Mà BD

⊥
DE
⇒
AI
⊥
DE. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Cũng từ bài toán trên ta có bài toán hay hơn và khó hơn.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng l. Qua A, B kẻ Ax và By
vuông góc với AB. Lấy điểm C nằm trên nửa đường tròn, qua C kẻ tiếp tuyến với
(O) cắt Ax, By lần lượt tại D và E. Kẻ CH
⊥
AB, gọi M là giao điểm của CH và
AE. CM
a. D; M; B thẳng hàng
b. M là trung điểm của CH
c. Gọi P là giao điểm của OE với nửa đường tròn đường kính AB. Tìm vị trí điểm
C trên nửa đường tròn để chu vi tứ giác ADEB nhỏ nhất
d. Gọi giao điểm của OE và BC là K, trên tia đối của tia OE lấy điểm Q sao cho
OQ = OP. Chứng minh QK.PE = KP.QE.
Giải:
a. Theo gt ta có: Ax
⊥
AB
By
⊥
AB
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CM
⊥
AB

⇒
Ax//CM//By nên ta có:
CD
CE
MA
ME
= (1)
Mà CE = EB, CD = AD (t/c tiếp tuyến)
⇒

AD
EB
MA
ME
= (2)
Mặt khác BEAA
ˆ
ˆ
2
= (so le trong) (3)
Từ (2) và (3) suy ra
EBM
ADM
∆
∆
~

⇒

E

M
B
A
M
D
ˆˆ
=

Mà A, M, E thẳng hàng
⇒
D, M, B thẳng
hàng
b. Theo gt: CH
⊥
AB
M
∈
CH
By
⊥
AB
E
∈
By
⇒
CH//BE
Xét
EDB
∆
có CM//BE

⇒

DE
CD
BE
CM
= (định lí Ta lét) (4)
Xét
EAB
∆
có MH//BE
⇒

AE
AM
BE
MH
= (định lí Ta lét) (5)
Xét
DEA
∆
có CM//AD
⇒

AE
AM
DE
DC
= (định lí Ta lét) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra

BE
MH
BE
CM
=
⇒
CM = MH hay M là trung điểm của CH
c. ta có chu vi tứ giác ADEB là: P = AD + DE + EB + AB
mà AD = DC (t/c tiếp tuyến)
EB = CE (t/c tiếp tuyến)
⇒
P = 2DE + AB
Mặt khác ED
≥
AB vì AB là khoảng cách giữa Ax và By nên P nhỏ nhất khi DE
nhỏ nhất, tức là DE = AB. Khi đó P = 3AB = 3l
⇒
DE//AB
⇒
DE
⊥
CH
⇒
CH là bán kính của đường tròn
⇒
C là điểm chính giữa cung AB
d. Nối C với P và Q ta thấy EQ
⊥
BC và BP = PC
⇒

CP là phân giác góc trong tại
đỉnh C của
KCE
∆

⇒

PE
KP
CE
CK
= (7) mặt khác OP = OQ (gt)
x
y
Q
K
P
M
H
E
D
B
O
A
C
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
⇒
Q nằm trên đường tròn (O; OA)
⇒

0
90
ˆ
=QCP (góc chắn nửa đường tròn)
⇒
CQ là phân giác góc ngoài tại đỉnh C của
KCE
∆
do đó
QE
QK
CE
CK
=
(8)
Từ (7) và (8)
⇒

QE
QK
PE
KP
=
hay KP.QE = PE.QK (đpcm)
III. Kết luận
Qua việc tìm hiểu các bài toán trên chúng ta cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo
kết quả các bài toán, cũng như vận dụng triệt để hình vẽ của một bài tập để chuyển
tiếp sang bài khác khai thác phát triển để được các bài toán hay hơn, khó hơn. Nếu
làm tốt điều này sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học, góp phần
phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới, phát huy trí lực của

học sinh.
Các bài toán trên chắc chắn còn có nhiều hướng khai thác khác, rất mong
các bạn đồng nghiệp tiếp tục phát triển xem.
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi trong quá trình gảng dạy.
Có gì thiếu sót mong được sự góp ý của quý thầy cô. Tôi xin chân thành cảm ơn.



PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com