Luyện thi cao học môn toán

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 HÀM MỘT BIẾN 5
1.1 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Giới hạn và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Ứng dụng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Ứng dụng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Qui tắc L’Hospitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4 Đơn điệu và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.5 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Đáp số bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 HÀM HAI BIẾN 15
2.1 Hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Cực trị hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Cực trị không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền đóng . . . . . . . . . . . . . 16
Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
MỤC LỤC 4

Đáp số bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 19
3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.3 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Đáp số bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 1
HÀM MỘT BIẾN
1.1 Hàm số
1.1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho X ⊂ R. Một quan hệ f từ X vào R sao cho ứng với một x ∈ X có duy nhất
một y ∈ R được gọi là hàm số. Ta kí hiệu: f : X
x
→
→
R
y
.
Tập X được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số. Thông thường, ta cho hàm f dưới dạng
biểu thức y = f(x). Khi đó MXĐ được hiểu là tập các giá trị của x để cho biểu thức f(x) có nghĩa.

Định nghĩa 1.2. Hàm f (x) là đơn điệu tăng (giảm) trong tập A ⊂ X nếu
∀x
1
, x
2
∈ A, x
1
 x
2
⇒ f(x
1
)  f(x
2
) (f(x
1
)  f(x
2
))
Định nghĩa 1.3. Hàm f (x) được gọi là hàm chẵn (lẻ) nếu
∀x ∈ X, f(−x) = f(x) (f(−x) = −f(x))
Định nghĩa 1.4. Hàm f(x) được gọi là hàm tuần hoàn nếu ∃τ > 0, ∀x ∈ X, f(x + τ) = f(x). Giá
trị T > 0 nhỏ nhất trong tất cả các giá trị của τ được gọi là chu kỳ của hàm số.
Định nghĩa 1.5. Cho hai hàm f(x) và g(x). Hàm f(g(x)) hoặc g(f (x)) được gọi là các hàm hợp của
hai hàm f và g. Nói chung f (g(x)) = g(f(x)).
Định nghĩa 1.6. Hàm g(x) là hàm ngược của hàm f (x) trong miền X nếu
f(g(x)) = g(f(x)) = x
1.1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản
1. Hàm hằng: y = C = const.
2. Hàm luỹ thừa: y = x
α

, α ∈ R.
3. Hàm mũ: y = a
x
, (a > 0, a = 1).
4. Hàm logarithm: y = log
a
x, (a > 0, a = 1).
1.2 Giới hạn và liên tục 6
5. Hàm lượng giác: y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x.
6. Hàm lượng giác ngược: y = arccos x, y = arcsin x, y = arctan x.
Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia
và hàm hợp. Trong các hàm sơ cấp, ta thường dùng các hàm hyperbolic xác định như sau:
1. Hàm sin hyperbolic: y = sinh x =
e
x
−e
−x
2
.
2. Hàm cos hyperbolic: y = cosh x =
e
x
+ e
−x
2
.
3. Hàm tan hyperbolic: y = tanh x =
sinh x
cosh x
=

e
x
−e
−x
e
x
+ e
−x
.
Một số tính chất của hàm hyperbolic:
• cosh
2
x −sinh
2
x = 1.
• sinh 2x = 2 sinh x cosh x.
• cosh 2x = cosh
2
x −sinh
2
x = 2 cosh
2
x −1 = 1 + 2 sinh
2
x.
Ngoài ra ta còn có một hàm đặc biệt là hàm trị tuyệt đối: y = |x| =

x, x  0
−x, x < 0
1.2 Giới hạn và liên tục

1.2.1 Giới hạn
Định nghĩa 1.7. Cho hàm f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không xác định tại a). Ta
nói hàm f(x) có giới hạn là A khi x tiến về a và viết lim
x→a
f(x) = A nếu ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x, |x − a| <
δ ⇒ |f(x) −A| < .
Mệnh đề 1.1. Nếu lim
x→a
f(x) = A và lim
x→a
g(x) = B thì lim
x→a
[f(x)±g(x)] = A±B, lim
x→a
[f(x)g(x)] = AB
và lim
x→a
f(x)
g(x)
=
A
B
. Đối với phép chia, phải thêm điều kiện g(x) = 0 trong lận cận của a và B = 0.
Mệnh đề 1.2. Nếu lim
x→a
f(x) = A và lim
x→A
g(x) = B thì lim
x→a
g(f(x)) = B.

Mệnh đề 1.3. Nếu trong lân cận của a, ta có f (x)  g(x)  h(x) và lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = A, thì
ta cũ ng có lim
x→a
g(x) = A.
Mệnh đề 1.4. Nếu f(x) là hàm sơ cấp và a thuộc MXĐ của f thì lim
x→a
f(x) = f (a).
Do đó, ta thường tìm giới hạn của các dạng vô định sau:
0
0
,
∞
∞
, ∞−∞, 1
∞
, 0 · ∞, . . . . Sau đây
là các giới hạn cơ bản:
1. lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
tan x
x
= 1, lim

x→0
arcsin x
x
= 1, lim
x→0
arctan x
x
= 1.
1.3 Đạo hàm và vi phân 7
2. lim
x→+∞

1 +
1
x

x
= e, lim
x→0
(1 + x)
1/x
= e
Định nghĩa 1.8. Ta nói hàm f(x) có g i ới hạn trái (phải) tại a và kí hiệu lim
x→a
−
f(x) = A

lim
x→a
+

f(x) = A

, nếu hàm có giới hạn là A khi x tiến về a nhưng x luôn nhỏ (lớn) hơn a.
Mệnh đề 1.5. lim
x→a
f(x) = A khi và chỉ khi lim
x→a
−
f(x) = lim
x→a
+
f(x) = A.
1.2.2 Liên tục
Định nghĩa 1.9. Hàm f (x) liên tục tại x = a nếu f (x) xác định tại a và lim
x→a
f(x) = f(a). Ngược
lại, hàm được gọi là gián đoạn tại a.
Mệnh đề 1.6. Hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó.
1.2.3 Vô cùng bé
Định nghĩa 1.10. Đại lượng α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) trong quá trình x → a nếu lim
x→a
α(x) =
0.
Định nghĩa 1.11. Hai VCB α(x) và β(x) là tương đương với nhau trong quá trình x → a nếu
lim
x→a
α(x)
β(x)
= 1. Khi đó ta viế t α(x) ∼ β(x).
Sau đây là một số các VCB tương đương thông dụng trong quá trình x → 0:

1. sin x ∼ x −
x
3
6
, 1 −cos x ∼
x
2
2
, tan x ∼ x +
x
3
3
.
2. e
x
−1 ∼ x +
x
2
2
+
x
3
6
, ln (1 + x) ∼ x −
x
2
2
.
3. (1 + x)
α

− 1 ∼ αx +
α(α − 1)
2
x
2
. Cụ thể
√
1 + x − 1 ∼
x
2
−
x
2
8
.
4. arcsin x ∼ x, arctan x ∼ x.
Mệnh đề 1.7. Giả sử f (x) ∼ α(x) và g(x) ∼ β(x) là các VCB tương đương trong quá trình x → a.
Nếu tồn tại lim
x→a
α(x)
β(x)
= A thì cũng tồn tại lim
x→a
f(x)
g(x)
= A.
1.3 Đạo hàm và vi phân
1.3.1 Đạo hàm
Định nghĩa 1.12. Đạo hàm của hàm f(x) tại điểm x = a là f


(a) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) −f (x)
∆x
. Tương
tự ta cũng có khái niệm đạo hàm trái và đạo hàm phải
f

−
(a) = lim
∆x→0−
f(x + ∆x) −f(x)
∆x
, f

+
(a) = lim
∆x→0+
f(x + ∆x) −f(x)
∆x
1.3 Đạo hàm và vi phân 8
Các qui tắc tính đạo hàm:
1. (u ±v)

= u

± v

.
2. (uv)


= u

v + uv

.
3.

u
v


=
u

v − uv

v
2
.
4. Giả sử f(x) có đạo hàm tại a và g(y) có đạo hàm tại A = f(a). Khi đó z(x) = g(f (x)) cũng có
đạo hàm tại a và z

(a) = g

(A)f

(a).
5. Giả sử y = y(x) có hàm ngược x = x(y) trong lân cận của a và các hàm y(x), x(y ) đều có đạo
hàm. Khi đó ta có công thức x


(y) =
1
y

(x)
.
Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1. (x
α
)

= αx
α−1
.
2. (a
x
)

= a
x
ln a, (a > 0, a = 1); (e
x
)

= e
x
.
3. (log
a

x)

=
1
x ln a
, (a > 0, a = 1); (ln x)

=
1
x
.
4. (sin x)

= cos x; (cos x)

= −sin x; (tan x)

=
1
cos
2
x
.
5. (arcsin x)

= −(arccos x)

=
1
√

1 −x
2
.
6. (arctan x)

=
1
1 + x
2
.
7. (sinh x)

= cosh x, (cosh x)

= sinh x.
Nếu đường cong cho dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), α  t  β thì ta có công thức tính đạo
hàm: y

x
=
y

t
x

t
.
1.3.2 Vi phân
Định nghĩa 1.13. Hàm f(x) khả vi tại a nếu ∆f(a) = f(a + ∆x) −f (a) = A∆x + o(∆x). Đại lượng
df(a) = A∆x được gọi là vi phân của hàm f tại a.

Mệnh đề 1.8. Hàm f (x) khả v i tại a khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại a và df(a) = f

(a)∆x.
Với kí hiệu dx = ∆x ta thường viết biểu thức vi phân dưới dạng df(a) = f

(a)dx hoặc
df
dx
(a) =
f

(a). Từ các qui tắc tính đạo hàm, ta có các qui tắc tính vi phân như sau:
1. d(u ±v) = du ±dv.
2. d(uv) = udv + vdu.
3. d

u
v

=
vdu −udv
v
2
.
1.4 Ứng dụng đạo hàm 9
1.3.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao
Định nghĩa 1.14. Ta định nghĩa
[f(x)]
(n)
= ([f(x)]

(n−1)
)

và d
n
f(x) = f
(n)
(x)dx
n
Ta kí hiệu: đạo hàm cấp một f

(x), đạo hàm cấp hai f

(x), đạo hàm cấp ba f

(x), đạo hàm cấp
bốn f
(4)
(x), v.v
Bảng đạo hàm cấp n của một số hàm cơ bản:
1. (e
x
)
(n)
= e
x
.
2. (sin x)
(n)
= sin


x + n
π
2

.
3. (cos x)
(n)
= cos

x + n
π
2

.
4. [(1 + x)
α
]
(n)
= α(α −1) . . . (α − n + 1)(1 + x)
α−n
.
1.4 Ứng dụng đạo hàm
1.4.1 Ứng dụng hình học
Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
, y
0

) có dạng:
y − y
0
= f

(x
0
)(x −x
0
)
Phương trình pháp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm M
0
(x
0
, y
0
) có dạng:
y − y
0
=
−1
f

(x
0
)
(x −x
0
)
1.4.2 Công thức Taylor

Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n trong lân cận của điểm a. Khi đó ta có:
f(x) = f(a) +
f

(a)
1!
(x −a) +
f

(a)
2!
(x −a)
2
+ ···+
f
(n)
(a)
n!
(x −a)
n
+ o((x −a)
n
)
Trường hợp a = 0 ta có khai triển MacLaurin:
f(x) = f (0) +
f

(0)
1!
x +

f

(0)
2!
x
2
+ ···+
f
(n)
(0)
n!
x
n
+ o(x
n
)
Sau đây là khai triển MacLaurin của một số hàm thường dùng:
1. e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+ ···+
x
n
n!
+ o(x
n
)

2. sin x = x −
x
3
3!
+ ···+
(−1)
k
x
2k+ 1
(2k + 1)!
+ o(x
2k+ 1
)
1.4 Ứng dụng đạo hàm 10
3. cos x = 1 −
x
2
2!
+ ···+
(−1)
k
x
2k
(2k)!
+ o(x
2k
)
4. (1 + x)
α
= 1 +

α
1!
x +
α(α − 1)
2!
x
2
+ ···+
α(α − 1) . . . (α − n + 1)
n!
x
n
+ o(x
n
)
5. ln (1 + x) = x −
x
2
2
+ ···+
(−1)
n−1
x
n
n
+ o(x
n
)
1.4.3 Qui tắc L’Hospitale
Giả sử trong lân cận của điểm x = a các hàm f(x) và g(x) cùng có đạo hàm, đồng thời chúng cùng

tiến về 0 hoặc tiến ra ∞ khi x → a. Nếu tồn tại giới hạn lim
x→a
f

(x)
g

(x)
, thì cũng tồn tại giới hạn của tỉ
số hai hàm và
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f

(x)
g

(x)
1.4.4 Đơn điệu và cực trị
Mệnh đề 1.9. Nếu hàm f(x) khả vi trong (a, b) và f

(x) > 0 (f

(x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì hàm
f(x) đơn điệu tăng (giảm) trong (a, b)
Định nghĩa 1.15. Nếu tồn tại lân cận của điểm a sao cho với mọi x = a của lân cận này ta có

f(x) < f(a) (f(x) > f(a)) thì điểm a được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của hàm f. Các điểm cực
đại hay cực tiểu của hàm số được gọi là điểm cực trị.
Mệnh đề 1.10. Nếu hàm f(x) đạt cực trị tại x = a thì f

(a) = 0 hoặc f

(a) không tồn tại. Những
điểm như thế được gọi là điểm dừng của hàm số.
Mệnh đề 1.11. Nếu hàm f(x) khả vi trong lân cận (a − δ, a + δ) của điểm a và trong các khoảng
(a − δ, a) v à (a, a + δ) đạo hàm đổi dấu, thì a là điểm cực trị. Nếu f

(x) > 0 trong (a − δ, a) và
f

(x) < 0 trong (a, a + δ), thì hàm đạt cực đại tại a. Nếu f

(x) < 0 trong (a −δ, a) và f

(x) > 0 trong
(a, a + δ), thì hàm đạt cực tiểu tại a.
Mệnh đề 1.12. Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp hai tại lân cận của điểm dừng x = a. Nếu
f

(a) < 0 thì a là điểm cực đại. Nếu f

(a) > 0 thì a là điểm cực tiểu.
1.4.5 Tiệm cận
• Nếu x → a mà f (x) → ∞ thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng.
• Nếu x → ∞ mà f (x) → b thì đường thẳng y = b là tiệm cận ngang.
• Nếu x → ∞ mà f(x) → ∞ và tồn tại các giới hạn lim

x→∞
f(x)
x
= a, lim
x→∞
[f(x) −ax] = b thì đường
thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên.
Bài tập chương 1 11
Bài tập
1. Tìm hàm f(x) nếu
(a) f(x + 1) = x
2
− 3x + 2, (b) f

x +
1
x

= x
2
+
1
x
2
,
(c) f

1
x


= x +
√
1 + x
2
, (x > 0), (d) f

x
x + 1

= x
2
.
2. Tìm f(f(x)) và f(f(f (x))) nếu
(a) f(x) =
1
1 −x
, (b) f(x) = x
2
− x, (c) f(x) =
x
√
1 + x
2
,
3. Khảo sát tính chẵn, lẻ của các hàm sau:
(a) f(x) = x
4
+ 5x
2
, (b) f(x) = x

2
+ x, (c) f(x) =
x
2
x
− 1
,
(d) f(x) =
e
x
+1
e
x
−1
, (e) f(x) = sin x −cos x, (f) f(x) = ln
1 + x
1 −x
.
4. Khảo sát tính tuần hoàn của các hàm sau và tìm chu kì nếu có:
(a) f(x) = 5 cos 7x, (b) f (x) = x sin x, (c) f (x) = cos
2
3x,
(d) f(x) = tan
x
2
+ 2 tan
x
3
, (e) f(x) = sin x
2

, (f) f(x) = sin
4
x + cos
4
x.
5. Tìm hàm ngượ c của các hàm sau trong các tập đã cho:
(a) f(x) = 2x + 3 trong (−∞, +∞),
(b) f(x) = x
2
trong (−∞, 0] và [0, +∞),
(c) f(x) =
1 −x
1 + x
, x = −1,
(d) f(x) =
√
1 −x
2
trong [−1, 0] và [0, 1],
(e) f(x) = sinh x trong (−∞, +∞).
6. Cho R(x) =
a
0
x
n
+ ···+ a
n
b
0
x

m
+ ···+ b
m
, a
0
= 0, b
0
= 0. Chứng minh rằng lim
x→∞
R(x) =





∞ n > m
a
0
b
0
n = m
0 n < m
7. Tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→0
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1
x
(b) lim
x→3
x

2
− 5x + 6
x
2
− 8x + 15
(c) lim
x→0
(1 + mx)
n
− (1 + nx)
m
x
2
(d) lim
x→1
x + x
2
+ ···+ x
n
− n
x −1
(e) lim
x→1
x
m
− 1
x
n
− 1
(f) lim

x→+∞

x +

x +
√
x
√
x + 1
(g) lim
x→+∞
√
x +
3
√
x +
4
√
x
√
2x + 1
(h) lim
x→4
√
1 + 2x − 3
√
x −2
(i) lim
x→0
n

√
1 + αx − 1
x
(j) lim
x→0
√
1 −2x − x
2
− (1 + x)
x
(k) lim
x→0
√
1 + x −
√
1 −x
3
√
1 + x −
3
√
1 −x
(l) lim
x→0
n
√
1 + αx −
m
√
1 + βx

x
(m) lim
x→0
n
√
1 + αx
m
√
1 + βx −1
x
(n) lim
x→1
m
√
x −1
n
√
x −1
(o) lim
x→1

3
1 −
√
x
−
2
1 −
3
√

x

(p) lim
x→+∞
(

x +

x +
√
x −
√
x)
(q) lim
x→π
sin mx
sin nx
(r) lim
x→0
tan x −sin x
x
3
(s) lim
x→0
cos x −cos 3x
x
2
Bài tập chương 1 12
(t) lim
x→π

1 + cos 5x
1 −cos 4x
(u) lim
x→∞

x + 3
x −2

2x+1
(v) lim
x→0
(cos x)
1/x
2
(w) lim
x→0
(cos x + sin x)
1/x
(x) lim
x→π/2
(sin x)
tan x
8. Sử dụng vô cùng bé tương đương, tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→0
cos x −cos 2x
1 −cos x
(b) lim
x→0
arctan x

2
arcsin 3x ·sin
x
2
(c) lim
x→0
1 −cos 4x
2 sin
2
x + x tan 7x
(d) lim
x→π/4
2
√
2 −(cos x + sin x)
3
1 −sin 2x
(e) lim
x→0
cos x −e
−x
2
/2
x
4
(f) lim
x→0
e
x
sin x −x(1 + x)

x
3
9. Khảo sát tính liên tục của các hàm sau:
(a) f(x) =



x
2
− 4
x −2
nếu x = 2
A nếu x = 2
(b) f(x) =

sin
1
x
nếu x = 0
A nếu x = 0
(c) f(x) =

x −1 nếu x  1
Ax
2
− 2 nếu x > 1
(d) f(x) =




Ax + 1 nếu x 
π
2
sin x + B nếu x >
π
2
10. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
(a) y = (x
2
+ 1)(x
2
+ 4)(x
2
+ 9) (b) y =
2 +
√
x
2 −
√
x
(c) y =
cos x
1 + sin x
(d) y =

x +
√
x (e) y =

x(x −1)

x −2
(f) y =
√
x e
−x
2
11. Cho f(x) =

x
2
+ x x  1
ax + b x > 1
. Tìm các hệ số a và b sao cho hàm f (x) liên tục và khả vi tại mọi
điểm.
12. Tìm đạo hàm bậc hai của các hàm sau:
(a) y = cos
2
x (b) y = arctan x (c) y =
3
√
1 −x
2
(d) y = e
−x
2
(e) y =
arcsin x
√
1 −x
2

(f) y = x cosh
2
x
13. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm x = a:
(a) y = x
2
− 5x + 4, a = −1 (b) y =
√
x, a = 4 (c) y = tan 2x, a = 0
14. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong x = t cos t, y = t sin t tại gốc toạ độ và điểm t =
π
4
.
15. Dùng qui tắc L’Hospitale, tình các giới hạn sau:
(a) lim
x→a
x
m
− a
m
x
n
− a
n
(b) lim
x→0
ln sin ax
ln sin bx
(c) lim
x→0

e
2x
−1
arcsin 3x
(d) lim
x→0
e
x
−e
−x
−2x
x −sin x
(e) lim
x→+∞
π − 2 arctan x
e
3/x
−1
(f) lim
x→0
e
3x
−3x −1
sin
2
5x
(g) lim
x→0
x −sin x
x −tan x

16. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của các hàm sau:
(a) y = x
√
1 −x
2
(b) y =
2x
2
− 1
x
4
(c) y =
x
ln x
(d) y = x −2 ln x
17. Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm sau trong các đoạn đã chỉ ra:
(a) y = −3x
4
+ 6x
2
, [−2, 2] (b) y = x + 2
√
x, [0, 4] (c) y =
x −1
x + 1
, [0, 4]
(d) y =
1 −x + x
2
1 + x −x

2
, [0, 1] (e) y =
3
√
x + 1 −
3
√
x −1, [0, 1]
Đáp số bài tập chương 1 13
18. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
(a) y =
5

x
x −2
(b) y =
3
√
x
3
−x
2
(c) y =

|x
2
− 3|
x
(d) y = 3x + arctan 5x (e) y =
sin x

x
(f) y = x ln

e +
1
x

Đáp số bài tập chương 1
1. (a) f(x) = x
2
− 5x + 6, (b)f(x) = x
2
−2, (c)f(x) =
1 +
√
1 + x
2
x
(d)f(x) =

x
1 −x

2
2. (a)f(f(x)) = 1 −
1
x
, f(f(f(x))) = x (b)f(f (x)) = x
4
−2x

3
+ x, f(f(f(x))) = x
8
−4x
7
+ 4x
6
+
2x
5
− 5x
4
+ 2x
3
+ x
2
− x (c) f(f(x)) =
x
√
1 + 2x
2
, f(f(f(x))) =
x
√
1 + 3x
2
3. (a) Hàm chẵn. (b) Hàm không chẵn, không lẻ. (c) Hàm không chẵn, không lẻ. (d) Hàm lẻ.
(e) Hàm không chẵn, không lẻ. (f) Hàm lẻ.
4. (a) T = 2π/7; (b) Không tuần hoàn; (c) T = π/3; (d) T = 6π; (e) Không tuần hoàn;
(f) T = π/2

5. (a)
y − 3
2
(−∞ < y < ∞) (b) −
√
y (− ∞ < y  0) và
√
y (0  x < ∞) (c)
1 −y
1 + y
(y = − 1)
(d) −

1 −y
2
(−1  y  0) và

1 −y
2
(0  y  1) (e) ln (y +

1 + y
2
) (−∞ < y < ∞)
6. Chia tử và mẫu cho x
k
với k = min (m, n).
7. (a) 6 (b) −
1
2

(c)
1
2
nm(n −m) (d)
n(n + 1)
2
(e)
m
n
(f) 1 (g)
1
√
2
(h)
4
3
(i)
α
n
(j) −2 (k)
3
2
(l)
α
n
−
β
m
(m)
α

n
+
β
m
(n)
n
m
(o)
1
2
(p)
1
2
(q) (−1)
m−n
m
n
(r)
1
2
(s) 4 (t)
25
16
(u) e
10
(v) e
−1/2
(w) e (x) 1
8. (a) 3 (b)
2

3
(c)
8
9
(d)
3
√
3
2
(e) −
1
12
(f)
1
3
9. (a) Liên tục tại x = 2 nếu A = 4 (b) Gián đoạn tại x = 0 (c) Liên tục tại x = 1 nếu A = 2
(d) Liên tục tại x = π/2 nếu πA = 2B
10. (a) 2x[(x
2
+ 4)(x
2
+ 9) + (x
2
+ 1)(x
2
+ 9) + (x
2
+ 1)(x
2
+ 4)] (b)

2
√
x(2 −
√
x)
2
(c)
−1
1 + sin x
(d)
2
√
x + 1
4
√
x

x +
√
x
(e)
x + (x −1)(x −2)
2x(x −1)(x − 2)

x(x −1)
x −2
(f)
1 −4x
2
2

√
x
e
−x
2
11. a = 3, b = −1
12. (a) −2 cos 2x (b)
−2x
(1 + x
2
)
2
(c)
−2
3(1 −x
2
)
2/3
1 + x
2
1 −x
2
(d) (4x
2
− 2) e
−x
2
(e)
3x
(1 −x

2
)
2
+
1 + x
2
(1 −x
2
)
7/2
arcsin x (f) 2 sinh 2x + 4x cosh 2x
Đáp số bài tập chương 1 14
13. (a) y + 7x − 3 = 0, x − 7y + 71 = 0 (b) x −4y + 4 = 0, 4x + y − 18 = 0
(c) y − 2x = 0, x + 2y = 0
14. y = 0 và (π + 4)x + (π − 4)y − π
2
√
2/4 = 0
15. (a)
m
n
a
m−n
(b) 1 (c)
2
3
(d) 2 (e)
2
3
(f)

9
50
(g) −
1
2
16. (a) Trên (−1, −1/
√
2) và (1/
√
2, 1) hàm giảm; trên (−1/
√
2, 1/
√
2) hàm tăng; y
min
=
y(−1/
√
2) = −1/2, y
max
= y(1/
√
2) = 1/2
(b) Hàm tăng trong (−∞, −1) và (0, 1); hàm giảm trong (−1, 0) và (1, ∞); y
max
= y(±1) = 1
(c) Trên (0, 1) và (1, e) hàm giảm; trên (e, ∞) hàm tăng; y
min
= y(e) = e
(d) Trên (0, 2) hàm giảm; trên (2, ∞) hàm tăng; y

min
= y(2) = 2(1 −ln 2)
17. (a) M = 3, m = −24 (b) M = 8, m = 0 (c) M = 3/5, m = −1 (d) M = 1, m = 3/5
(e) M = 2, m =
3
√
2
18. (a) x = 2, y = 1 (b) y = x −1/3 (c) x = 0, y = 1, y = −1 (d) y = 3x + π/2, y = 3x − π/2
(e) y = 0 (f) x = −1/e, y = x + 1/e
Chương 2
HÀM HAI BIẾN
2.1 Hàm hai biến
Định nghĩa 2.1. Hàm hai biến thường được kí hiệu z = f(x, y). Miền xác định là tập các điểm
M(x, y) trong mặt phẳng xOy sao cho biểu thức f(x, y) có nghĩa. Đồ thị của hàm hai biến là mặt
cong trong không gian Oxyz.
Ví dụ, miền xác định của hàm z =

R
2
− x
2
−y
2
là tập hợp các điểm nằm trong và trên đường
tròn tâm O bán kính R.
Định nghĩa 2.2. Số A là giới hạn của hàm f(x, y ) khi (x, y) tiến về (x
0
, y
0
) và viết

lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f(x, y) = A nếu với mọi  > 0 tồn tại số δ > sao cho từ điều kiện 0 <

(x −x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< δ ta suy ra |f(x, y) −A| < .
Định nghĩa 2.3. Hàm f(x, y ) được gọi là liên tục tại điểm (x
0
, y
0
) nếu lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f(x, y) = f (x
0
, y

0
).
2.2 Đạo hàm và vi phân
Định nghĩa 2.4. Cho hàm hai biến z = f(x, y). Đạo hàm riêng cấp một của f theo biến x là đạo
hàm của f theo x khi y là hằng số và kí hiệu là
∂f
∂x
= f

x
. Tương tự ta có
∂f
∂y
= f

y
và các đạo hàm
riêng cấp hai
∂
2
f
∂x
2
= f

xx
,
∂
2
f

∂y
2
= f

y y
,
∂
2
f
∂x ∂y
= f

xy
và
∂
2
f
∂y∂x
= f

y x
.
Thông thường ta có
∂
2
f
∂x ∂y
=
∂
2

f
∂y∂x
.
Định nghĩa 2.5. Vi phân cấp một và cấp hai của hàm f (x, y) được tính như sau:
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy và d
2
f =
∂
2
f
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
f
∂x ∂y
dxdy +
∂
2
f
∂y

2
dy
2
2.3 Cực trị hàm hai biến 16
2.3 Cực trị hàm hai biến
2.3.1 Cực t rị không điều kiện
Định nghĩa 2.6. Hàm f (x, y) có cực đại (cực tiể u) tại điểm M
0
(x
0
, y
0
) nếu tồn tại một lân cận của
M
0
sao cho với mọi điểm M(x, y) = M
0
ta có f (x, y) < f (x
0
, y
0
)(f(x, y) > f(x
0
, y
0
)). Cực đại hay
cực tiểu của hàm số gọi là cực trị của hàm.
Mệnh đề 2.1. (Điều kiện cần) Nếu hàm f(x, y) khả vi và đạt cực trị tại M
0
(x

0
, y
0
) thì
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) = 0
và
∂f
∂y
(x
0
, y
0
) = 0.
Những điểm thỏa điều kiện này được gọi là điểm dừng của hàm số.
Mệnh đề 2.2. (Điều kiện đủ) Giả sử M
0
(x
0
, y
0
) là điểm dừng của hàm f(x, y). Hàm f có các đạo
hàm riêng đến cấp hai liên tục tại M
0
. Đặt

A =
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
), B =
∂
2
f
∂x ∂y
(x
0
, y
0
), C =
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)

Lập biệ t thức: ∆ = AC −B
2
. Khi đó:
1. Nếu ∆ > 0 thì hàm f(x, y) đạt cực trị tại M
0
. Cụ thể:
(a) Hàm đạt cực đại nếu A < 0.
(b) Hàm đạt cực tiểu nếu A > 0.
2. Nếu ∆ < 0 thì hàm f(x, y) không có cực trị tại M
0
.
3. Nếu ∆ = 0 thì chưa kết luận được. Cần khảo sát thêm.
2.3.2 Cực t rị có điều kiện
Xét hàm z = f(x, y) với hai biến x, y thỏa điều kiện ϕ(x, y) = 0. Ta lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) =
f(x, y) −λϕ(x, y). Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ ba phương trình:
∂L
∂x
= 0,
∂L
∂y
= 0, ϕ(x, y) = 0.
Giả sử M
0
(x
0
, y
0
) là điểm dừng tương ứng với λ
0
. Lập định thức:

∆ = −






0 ϕ

x
(M
0
) ϕ

y
(M
0
)
ϕ

x
(M
0
) L

xx
(M
0
, λ
0

) L

xy
(M
0
, λ
0
)
ϕ

y
(M
0
) L

xy
(M
0
, λ
0
) L

y y
(M
0
, λ
0
)







Khi đó, nếu ∆ < 0 thì hàm đạt cực đại và nếu ∆ > 0 hàm đạt cực tiểu.
2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong miền đóng
Hàm khả vi sẽ đạt GTLN và GTNN tại các điểm dừng bên trong miền hoặc trên biên. Do đó bài
toán dừng lại ở bước tìm các điểm dừng, sau đó tính giá trị của hàm tại các điểm này, so sánh để tìm
GTLN và GTNN. (Chú ý đến các điểm đặc biệt trên biên như điểm gãy, )
Bài tập chương 2 17
Bài tập
1. Tìm các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của các hàm sau đây:
(a) z = x
4
+ y
4
− 4x
2
y
2
; (b) z = xy +
x
y
; (c) z =
xy

x
2
+ y
2

; (d) z = x sin (x + y);
(e) z = ln(x
2
+ y); (f) z = arctan
y
x
; (g) z = arctan
x + y
1 −xy
2. Tìm vi phân cấp một và cấp hai của các hàm sau:
(a) z = x
3
+ 3x
2
y − y
3
; (b) z =
x
y
+
y
x
; (c) z = x
3
− y
2
+ xy tại điểm (1, 2);
(d) z = x arctan (x + y) tại điểm (0, 1) (e) z =

6x

2
+ y
2
tại điểm (2, 1)
3. Tìm cực trị của các hàm hai biến sau:
(a) z = x
2
+ xy + y
2
− 3x −6y + 5; (b) z = xy +
50
x
+
20
y
;
(c) z = x
2
+ y
2
− 2 ln x −18 ln y; (d) z = x
3
+ 3xy
2
−15x −12y;
(e) z = 2x
3
− xy
2
+ 5x

2
+ y
2
; (f) z = (2x
2
+ y
2
) e
−(x
2
+y
2
)
(g) z = x
2
+ y
2
+ xy − 4 ln x −10 ln y; (h) z = xy ln (x
2
+ y
2
);
4. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm hai biến sau:
(a) z = x
2
+ y
2
− xy + x + y − 4 với điều kiện x + y + 3 = 0;
(b) z =
1

x
+
1
y
với điều kiện x + y = 2;
(c) z =
x −y −4
√
2
với điều kiện x
2
+ y
2
= 1;
5. Tìm GTLN và GTNN của các hàm hai biến sau trong miền đã cho:
(a) z = x − 2y − 3 nếu 0  x  1, 0  y  1, 0  x + y  1
(b) z = x
2
− xy + y
2
nếu |x| + |y|  1
(c) z = x
2
+ y
2
− 12x + 16y nếu x
2
+ y
2
 25.

Đáp số bài tập chương 2
1. (a) z

x
= 4x
3
− 8xy
2
, z

y
= 4y
3
− 8x
2
y; z

xx
= 12x
2
− 8y
2
, z

xy
= −16xy, z

y y
= 12y
2

− 8x
2
(b) z

x
= y +
1
y
, z

y
= x −
x
y
2
; z

xx
= 0, z

xy
= 1 −
1
y
2
, z

y y
=
2x

y
3
(c) z

x
=
y
3
(x
2
+ y
2
)
3/2
, z

y
=
x
3
(x
2
+ y
2
)
3/2
; z

xx
=

−3xy
3
(x
2
+ y
2
)
5/2
, z

xy
=
3x
2
y
2
(x
2
+ y
2
)
5/2
,
z

y y
=
−3x
3
y

(x
2
+ y
2
)
5/2
(d) z

x
= sin (x + y) + x cos (x + y), z

y
= x cos (x + y); z

xx
= 2 cos (x + y) − x sin (x + y),
z

xy
= cos (x + y) −x sin (x + y), z

y y
= −x sin (x + y)
(e) z

x
=
2x
x
2

+ y
, z

y
=
1
x
2
+ y
; z

xx
= 2
y − x
2
(x
2
+ y)
2
, z

xy
=
−2x
(x
2
+ y)
2
, z


y y
=
−1
(x
2
+ y)
2
(f) z

x
=
−y
x
2
+ y
2
, z

y
=
x
x
2
+ y
2
; z

xx
=
2xy

(x
2
+ y
2
)
2
, z

xy
=
y
2
− x
2
(x
2
+ y
2
)
2
, z

y y
=
−2xy
(x
2
+ y
2
)

2
(g) z

x
=
1
1 + x
2
, z

y
=
1
1 + y
2
; z

xx
=
−2x
(1 + x
2
)
2
, z

xy
= 0, z

y y

=
−2y
(1 + x
2
)
2
Đáp số bài tập chương 2 18
2. (a) dz = 3(x
2
+ 2xy)dx + 3(x
2
− y
2
)dy; d
2
z = 6(x + y)dx
2
+ 12xdxdy − 6ydy
2
(b) dz =

1
y
−
y
x
2

dx +


1
x
−
x
y
2

dy; d
2
z =
2y
x
3
dx
2
− 2

1
x
2
+
1
y
2

dxdy +
2x
y
3
dy

2
(c) dz = 5dx − 3dy; d
2
z = 6dx
2
+ 2dxdy − 2dy
2
(d) dz =
π
4
dx; d
2
z = dx
2
+ dxdy
(e) dz =
12
5
dx +
1
5
dy; d
2
z =
6
125
dx
2
+
24

125
dxdy +
24
125
dy
2
3. (a) z
min
= −4 với x = 0, y = 3 (b) z
min
= 30 với x = 5, y = 2 (c) z
min
= 10 − 18 ln 3 với
x = 1, y = 3 (d) z
min
= −28 với x = 2, y = 1, z
max
= 28 với x = −2, y = −1, tại các điểm
dừng (1, 2), (−1, −2) hàm không có cực trị. (e) z
min
= 0 với x = 0, y = 0, tại các điểm dừng
(−5/3, 0), (1, 4), (1, −4) hàm không có cực trị. (f) z
min
= 0 với x = 0, y = 0, z
max
= 2e
−1
với x = ±1, y = 0, tại các điểm dừng (0, ±1) hàm không có cực trị. (g) z
min
= 7 − 10 ln 2 với

x = 1, y = 2 (h) z
min
= −1/2e với x = y = ±1/
√
2e, z
max
= 1/2e với x = −y = ±1/
√
2e, tại
các điểm dừng (0, ±1), (±1, 0) hàm không có cực trị.
4. (a) z
min
= −19/4 với x = y = −3/2 (b) z
min
= 2 với x = y = 1 (c) z
min
= −1 − 2
√
2 với
x = −1/
√
2, y = 1/
√
2, z
max
= 1 − 2
√
2 với x = 1/
√
2, y = −1/

√
2
5. (a) GTLN=-2, GTNN=-5 (b) GTLN=1, GTNN=0 (c) GTLN=125, GTNN=-75.
Chương 3
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
3.1 Tích phân bất định
3.1.1 Định nghĩa và cách tính
Định nghĩa 3.1. N ếu hàm f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a, b) và tồn tại hàm F (x) sao
cho F

(x) = f(x) với mọi x ∈ (a, b) thì hàm F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm f (x). Khi đó tích
phân bất định của hàm f(x) là

f(x)dx = F (x) + C, a < x < b
với C là hằng số tùy ý.
Sau đây là bảng các tích phân bất định cơ bản:
1.

x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C, (n = −1);

dx
x
= ln |x| + C
2.


a
x
dx =
a
x
ln a
+ C;

e
x
dx = e
x
+C
3.

cos xdx = sin x + C;

sin xdx = −cos x + C
4.

cosh xdx = sinh x + C;

sinh xdx = cosh x + C
5.

dx
cos
2
x

= tan x + C;

dx
sin
2
x
= −cot x + C
6.

dx
a
2
+ x
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C, (a = 0)
7.

dx
a
2
−x
2
=
1

2a
ln




a + x
a −x




+ C, (a = 0)
8.

x
a
2
±x
2
dx = ±
1
2
ln


a
2
± x
2



+ C
9.

dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
a
+ C, (a > 0)
3.1 Tích phân bất định 20
10.

dx
√
x
2
± a
2
= ln



x +


x
2
±a
2



+ C, (a > 0)
11.

√
a
2
− x
2
dx =
x
2

a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a

+ C, (a > 0)
12.

√
x
2
± a
2
dx =
x
2

x
2
±a
2
±
a
2
2
ln



x +

x
2
± a
2




+ C, (a > 0)
Hai phương pháp cơ bản để tính tích phân:
1. Phương pháp đổi biến: Nếu x = α(t) là hàm khả vi, đơn điệu thì ta có công thức:

f(x)dx =

f(α(t))α

(t)dt
2. Phương pháp tích phân từng phần: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm hàm khả vi thì ta có công thức:

u(x)v

(x)dx = u(x)v(x) −

u

(x)v(x)dx
3.1.2 Tích phân hàm hữu tỉ
Hàm hữu tỉ có dạng f(x) =
P
n
(x)
Q
m
(x)
. Nếu n < m thì f(x) gọi là hàm hữu tỉ thực sự. Nếu n  m thì

bằng phép chia đa thức ta có thể đưa về tích phân dạng hàm hữu tỉ thực sự. Vì bất kỳ một đa thức
nào đều cũng được phân tích thành tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai có biệt thức
âm, nên sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta có thể khai triển hàm hữu tỉ thực sự thành tổng của
những hàm hữu tỉ đơn giản. Từ đó, tích phân hàm hữu tỉ được đưa về bốn dạng chính sau đây:

dx
ax + b
,

dx
(ax + b)
k
,

Ax + B
ax
2
+ bx + c
dx,

Ax + B
(ax
2
+ bx + c)
k
dx
Trong hai dạng cuối biệt thức ∆ = b
2
− 4ac < 0.
3.1.3 Tích phân hàm vô tỉ

Nguyên tắc chung là thực hiện các phép đổi biến thích hợp để đưa về tích phân hàm hữu tỉ. Sau đây
là một số dạng thường gặp:
†

R (x
r
1
, x
r
2
, . . . ) với r
1
, r
2
, . . . là các số hữu tỉ. Khi đó sử dụng phép đổi biến x = t
N
với N là bội
số chung nhỏ nhất của các mẫu số của r
1
, r
2
, . . .
†

R

x,

ax + b
cx + d


. Để hữu tỉ hoá tích phân ta thực hiện phép đổi biến t =

ax + b
cx + d
.
Trong các trường hợp trên, R(. . . ) là một hàm hữu tỉ theo các biến.
† Phép đổi biến Euler:
1.
√
ax
2
+ bx + c = ±
√
ax + t nếu a > 0
2.
√
ax
2
+ bx + c = ±
√
ax + z nếu a > 0
3.

a(x −x
1
)(x −x
2
) = t(x − x
1

)
3.2 Tích phân xác định 21
3.1.4 Tích phân hàm lượng giác
Nguyên tắc chung cũng là hữu tỉ hóa tích phân đã cho. Ở đây phép đổi biến tổng quát là:
t = tan
x
2
, dx =
2dt
1 + t
2
, cos x =
1 −t
2
1 + t
2
, sin x =
2t
1 + t
2
Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng các phép đổi biến: t = cos x, t = sin x hay
t = tan x, hoặc các công thức lượng giác cơ bản như tích thành tổng, v.v
3.2 Tích phân xác định
Định nghĩa 3.2. Nếu hàm f(x) xác định và liên tục trên [a, b] và F (x) là nguyên hàm của f(x) thì
tích phân xác định của hàm f (x) trên đoạn [a, b] được định nghĩa như sau:
b

a
f(x)dx = F (b) −F (a) = F (x)|
b

a
Trong đó f (x) là hàm dưới dấu tích phân, a là cận dưới v à b là cận trên của tích phân, x là biến lấy
tích phân.
Tính chất của tích phân xác định:
1.
b

a
[f(x) ±g(x)]dx =
b

a
f(x)dx ±
b

a
g(x)dx;
b

a
λf(x)dx = λ
b

a
f(x)dx
2.
b

a
f(x)dx = −

a

b
f(x)dx;
a

a
f(x)dx = 0
3.
c

a
f(x)dx +
b

c
f(x)dx =
b

a
f(x)dx
4. Nếu f(x) là hàm lẻ thì
a

−a
f(x)dx = 0. Nếu f(x) là hàm chẵn thì
a

−a
f(x)dx = 2

a

0
f(x)dx.
5. Nếu ∀x ∈ [a, b], f (x)  g(x) thì
b

a
f(x)dx 
b

a
g(x)dx
Ta cũng có hai phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định:
1. Phương pháp đổi biến: Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a, b],hàm ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó liên
tục trong [α, β] với a = ϕ(α), b = ϕ(β) và hàm hợp f(ϕ(t)) xác định và liên tục trong [α, β]. Khi đó
ta có:
b

a
f(x)dx =
β

α
f(ϕ(t))ϕ

(t)dt
2. Phương pháp tích phân từng phần: Nếu hàm u(x) và v(x) cùng với các đạo hàm của chúng liên tục
trên [a, b] thì ta có
b


a
u(x)v

(x)dx = u(x)v(x)|
b
a
−
b

a
u

(x)v(x)dx
3.3 Tích phân suy rộng 22
3.3 Tích phân suy rộng
3.3.1 Tích phân suy rộng loại một
Nếu hàm f(x) khả tích trên bất kỳ đoạn [a, b] với mọi b > a thì theo định nghĩa:
+∞

a
f(x)dx = lim
b→+∞
b

a
f(x)dx (3.1)
Nếu giới hạn trong (3.1) tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại ta nói chúng phân
kỳ. Tích phân suy rộng cơ bản:
+∞


1
dx
x
α
sẽ

hội tụ nếu α > 1
phân kỳ nếu α  1
Tương tự ta cũng có các tích phân suy rộng loại một sau:
b

−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
b

a
f(x)dx và
+∞

−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
lim
b→+∞
b

a
f(x)dx

Tiêu chuẩn so sánh 1: Giả sử với mọi x > a, 0 < f (x)  g(x). Khi đó, nếu tích phân
+∞

a
f(x)dx phân
kỳ thì
+∞

a
g(x)dx cũng phân kỳ và nếu tích phân
+∞

a
g(x)dx hội tụ thì
+∞

a
f(x)dx cũng hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh 2: Nếu với mọi x > a, f(x) > 0, g(x) > 0, và ∃ lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= k, (0 < k < +∞)
thì cả hai tích phân
+∞

a
f(x)dx và
+∞


a
g(x)dx có cùng tính chất hội tụ.
3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai
Nếu hàm f(x) không bị chặn trong lân cận của điểm b và với mọi  > 0 hàm khả tích trên đoạn
[a, b −] thì theo định nghĩa:
b

a
f(x)dx = lim
→0
b−

a
f(x)dx (3.2)
Nếu giới hạn trong (3.2) tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại ta nói chúng phân
kỳ. Tương tự ta cũng có các tích phân suy rộng loại hai:
b

a
f(x)dx = lim
→0
b

a+
f(x)dx và
b

a
f(x)dx = lim
→0

lim
δ→0
b−δ

a+
f(x)dx
Ta cũng có tích phân suy rộng loại hai cơ bản
b

a
dx
(b −x )
α
sẽ

hội tụ nếu α < 1
phân kỳ nếu α  1
3.4 Ứng dụng của tích phân 23
và các tiêu chuẩn so sánh như trong tích phân suy rộng loại một. C hú ý rằng ta so sánh trong lân cận
của điểm kỳ dị x = b.
3.4 Ứng dụng của tích phân
3.4.1 Diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng của miền D:
S =
b

a
|f(x) −g(x)|dx hoặc S =
1
2

β

α
[x(t)y

(t) −y(t)x

(t)]dt hoặc S =
1
2
β

α
r
2
(ϕ)dϕ
3.4.2 Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích giới hạn bởi đường cong y = f(x), a  x  b, xoay quanh các trục Ox hoặc Oy được tính
theo công thức:
V
x
= π
b

a
f
2
(x)dx hoặc V
y
= 2π

b

a
x |f(x)|dx
Bài tập
1. Sử dụng các công thức cơ bản tính các tích phân sau:
(a)


1 −
1
x
2


x
√
xdx (b)

(2
x
+ 3
x
)
2
dx (c)

e
3x
+1

e
x
+1
dx (d)

tan
2
xdx (e)

dx
1 + cosx
2. Sử dụng phép đổi biến thích hợp tính các tích phân sau:
(a)

xdx
4 + x
4
(b)

dx
(1 + x)
√
x
(c)

e
x
dx
2 + e
x

(d)

sin x
√
cos
3
x
dx (e)

x
2
√
1 −xdx
(f)

x
3
(1 −5x
2
)
10
dx (g)

x
2
√
2 −x
dx (h)

cos

5
x
√
sin xdx (i)

sin x cos
3
x
1 + cos
2
x
dx
(j)

sin
2
x
cos
6
x
dx (k)

ln x
x
√
1 + ln x
dx (l)

dx
√

1 + e
x
3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau:
(a)


ln x
x

2
dx (b)

x
n
ln xdx, (n = −1) (c)

√
x ln
2
xdx (d)

x e
−x
dx
(e)

x
2
e
−2x

dx (f)

x cos xdx (g)

x
2
sin 2xdx (h)

x sinh xdx (i)

arctan xdx
(j)

arcsin xdx (k)

x arctan xdx (l)

x
2
arccos xdx (m)

ln(x +
√
1 + x
2
)dx
(n)

x ln
1 + x

1 −x
dx (o)

arctan
√
xdx
4. Tính tích phân các hàm hữu tỉ sau:
(a)

2x + 3
(x −2)(x + 5)
dx (b)

xdx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
(c)

x
3
+ 1
x
3
− 5x
2
+ 6x
dx
(d)

x
4

dx
x
4
+ 5x
2
+ 4
(e)

xdx
x
3
− 3x + 2
(f)

x
2
+ 1
(x + 1)
2
(x −1)
dx (g)


x
x
2
− 3x + 2

2
dx

Bài tập chương 3 24
(h)

x
2
+ 5x + 4
x
4
+ 5x
2
+ 4
dx (i)

dx
(x + 1)(x
2
+ 1)
(j)

dx
(x
2
− 4x + 4)(x
2
− 4x + 5)
dx
(k)

dx
x(x + 1)(x

2
+ x + 1)
5. Tính tích phân các hàm vô tỉ sau:
(a)

dx
1 +
√
x
(b)

dx
x(1 + 2
√
x +
3
√
x)
(c)

dx
√
x(1 +
4
√
x)
3
(d)

√

x + 1 −
√
x −1
√
x + 1 +
√
x −1
dx
(e)

dx
3

(x + 1)
2
(x −1)
4
(f)

dx
1 +
√
x +
√
1 + x
6. Tính tích phân các hàm lượng giác sau:
(a)

dx
2 sin x − cos x + 5

(b)

dx
(2 + cos x) sin x
(c)

dx
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
(d)

dx
(a sin x + b cos x)
2
(e)

dx
sin
4
x + cos
4
x
(f)


sin
2
x −cos
2
x
sin
4
x + cos
4
x
dx (g)

sin x cos x
1 + sin
4
x
dx
7. Tính các tích phân xác định sau:
(a)
√
3

1/
√
3
dx
1 + x
2
(b)

1/2

−1/2
dx
√
1 −x
2
(c)
2

0
|1 −x|dx
(d)
1

−1
dx
x
2
−2x cos α + 1
(0 < α < π) (e)
2π

0
dx
1 +  cos x
(0   < 1) (f)
1

−1

xdx
√
5 −4x
(g)
a

0
x
2
√
a
2
− x
2
dx (h)
0.75

0
dx
(x + 1)
√
x
2
+ 1
(i)
ln 2

0
√
e

x
−1dx (j)
ln 2

0
x e
−x
dx (k)
π

0
x sin xdx
(l)
2π

0
x
2
cos xdx (m)
e

1/ e
|ln x|dx (n)
1

0
arccos xdx (o)
√
3


0
x arctan xdx (p)
1

−1
xdx
x
2
+ x + 1
(q)
9

1
x
3
√
1 −xdx (r)
−1

−2
dx
x
√
x
2
− 1
(s)
1

0

x
15
√
1 + 3x
8
dx (t)
3

0
arcsin

x
1 + x
dx
(u)
2π

0
dx
(2 + cos x)(3 + cos x)
(v)
π/2

0
sin x sin 2x sin 3xdx (w)
π

0
(x sin x)
2

dx (x)
π

0
e
x
cos
2
xdx
8. Tính các tích phân suy rộng sau:
(a)
+∞

2
dx
x
2
+ x − 2
(b)
+∞

−∞
dx
(x
2
+ x + 1)
2
(c)
+∞


0
dx
1 + x
3
(d)
+∞

0
x
2
+ 1
x
4
+ 1
dx
(e)
1

0
dx
(2 −x)
√
1 −x
(f)
+∞

1
dx
x
√

1 + x
5
+ x
10
(g)
+∞

0
x ln x
(1 + x
2
)
2
dx (h)
2

0
xdx
(x
2
− 1)
4/5
dx
(i)
4

2
dx
√
6x −x

2
− 8
dx
9. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau:
(a)
+∞

1
dx
3 + 2x
2
+ 5x
4
(b)
+∞

1
√
x
3
+
√
x
2
+ 1
x
3
+ 3x + 1
dx (c)
+∞


1
3x
2
+

(x + 1)
3
2x
3
+
3
√
x
5
+ 1
dx
(d)
+∞

1
3 + sin x
3
√
x
dx (e)
+∞

1
dx


x(x + 1)(x + 2)
(f)
+∞

1
sin
1
x
2 + x
√
x
dx (g)
+∞

1
dx
√
x + cos
2
x
(h)
+∞

e
2
dx
x ln(ln x)
(i)
1


0
cos
1
x
3
√
x
dx (j)
1

0
x
2
√
1 −x
4
dx (k)
1

0
dx
√
tan x −x
(l)
1

0
ln(1 +
3

√
x
2
)
e
x
−1
dx
Đáp số bài tập chương 3 25
(m)
1

0
dx
√
e
x
−cos x
(n)
1

0
√
x
4

(1 −x)
3
dx (o)
1


0
dx
√
x −1
(p)
1

0
ln x
√
x
dx
10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau:
(a) ax = y
2
, ay = x
2
(b) y = x
2
, x + y = 2 (c) y = 2x − x
2
, x + y = 0
(d) y =
a
3
a
2
+ x
2

, y = 0 (e) y =
27
x
2
+ 9
, y =
x
2
6
(f) y =
a
3
a
2
+ x
2
, y =
a
2
x
a
2
+ x
2
, x = 0
(g) (x −1)(y + 2) = 2, x + y = 2 (h) x
2
− y
2
= a

2
, y
2
=
3
2
ax (i) x = a cos
3
t, y = a sin
3
t
(j) x = 2(t − sin t), y = 2(1 −cos t), y = 0 (0  t  2π) (k) r = a(1 + cos ϕ) (l) r = a sin 2ϕ
11. Tính thể tích vật thể do:
(a) xoay quanh trục Ox hình giới hạn bởi 2y = x
2
, 2x + 2y −3 = 0
(b) xoay quanh trục Ox hình giới hạn bởi y = e
−2x
−1, y = e
−x
+1, x = 0
(c) xoay quanh trục Oy hình giới hạn bởi y =
x
2
2
+ 2x + 2, y = 2
Đáp số bài tập chương 3
1. (a)
4(x
2

+ 7)
7
4
√
x
(b)
4
x
ln 4
+ 2
6
x
ln 6
+
9
x
ln 9
(c)
1
2
e
2x
−e
x
+x (d) −x + tan x (e) tan
x
2
2. (a)
1
4

arctan
x
2
2
(b) 2 arctan
√
x (c) ln(2 + e
x
) (d)
2
√
cos x
(e) −
3
140
(9 + 12x + 14x
2
)(1 −x)
4/3
(f) −
1 + 55x
2
6600
(1−5x
2
)
11
(g) −
2
15

(32+8x+3x
2
)
√
2 −x (h)

2
3
−
4
7
sin
2
x +
2
11
sin
4
x

√
sin
3
x
(i) −
1
2
cos
2
x +

1
2
ln(1 + cos
2
x) (j)
1
3
tan
3
x +
1
5
tan
5
x (k)
2
3
(−2 + ln x)
√
1 + ln x (l) x −2 ln(1 +
√
1 + e
x
)
3. (a) −
1
x
(ln
2
x + 2 ln x + 2) (b)

x
n+1
n + 1

ln x −
1
n + 1

(n = −1) (c)
2
3
x
3/2

ln
2
x −
4
3
ln x +
8
9

(d) −(x + 1) e
−x
(e) −
e
−2x
2


x
2
+ x +
1
2

(f) x sin x + cos x (g) −
2x
2
−1
4
cos 2x +
x
2
sin 2x
(h) x cosh x−sinh x (i) x arctan x−
1
2
ln(1+x
2
) (j) x arcsin x+
√
1 −x
2
(k) −
x
2
+
x
2

+ 1
2
arctan x
(l) −
2 + x
2
9

1 −x
2
+
x
3
3
arccos x (m) x ln(x +
√
1 + x
2
) −
√
1 + x
2
(n) x −
1 −x
2
2
ln
1 + x
1 −x
(o) −

√
x + (1 + x) arctan
√
x
4. (a) ln |x −2| + ln |x + 5| (b)
1
2
ln




(x + 2)
4
(x + 1)(x + 3)
3




(c) x +
1
6
ln |x| −
9
2
ln |x −2| +
28
3
ln |x −3|

(d) x +
1
3
arctan x −
8
3
arctan
x
2
(e) −
1
3(x −1)
+
2
9
ln




x −1
x + 2




(f)
1
x + 1
+

1
2
ln


x
2
−1


(g) −
5x −6
x
2
− 3x + 2
+ 4 ln




x −1
x −2




(h) arctan x +
5
6
ln

x
2
+ 1
x
2
+ 4
(i)
1
2
arccotan x +
1
4
ln
(x + 1)
2
x
2
+ 1
(j) −
1
x −2
− arctan (x − 2) (k) ln




x
1 + x





−
2
√
3
arctan
1 + 2x
√
3
5. (a) 2
√
x −2 ln(1 +
√
x) (b)
3
4
ln
x
3
√
x
(1 +
6
√
x)
2
(1 −
6
√

x + 2
3
√
x)
3
−
3
2
√
7
arctan
4
6
√
x −1
√
7
Đáp số bài tập chương 3 26
(c)
2
(1 +
4
√
x)
2
−
4
1 +
4
√

x
(d)
x
2
2
−
x
√
x
2
− 1
2
+
1
2
ln



x +

x
2
− 1



(e) −
3
2

3

x + 1
x −1
(f)
x
2
+
√
x −
1
2

x(1 + x) −
1
2
ln(
√
x +
√
x + 1)
6. (a)
1
√
5
arctan
3 tan
x
2
+ 1

√
5
(b)
1
6
ln
(1 −cos x)(2 + cos x)
2
(1 + cos x)
3
(c)
1
ab
arctan

a tan x
b

(d) −
cos x
a(a sin x + b cos x)
(e)
1
√
2
arctan

tan 2x
√
2


(f)
1
2
√
2
ln
√
2 −sin 2x
√
2 + sin 2x
(g)
1
2
arctan(sin
2
x)
7. (a)
π
6
(b)
π
3
(c) 1 (d)
π
2 sin α
(e)
2π
√
1 −

2
(f)
1
6
(g)
πa
4
16
(h)
1
√
2
ln
9 + 4
√
2
7
(h) 2 −
π
2
(i)
1
2
(1 −ln 2) (j) π (k) 4π (l) 2 −
2
e
(m) 1 (n)
2π
3
−

√
3
2
(o)
1
2
ln 3 −
π
2
√
3
(p) −66
6
7
(q) −
π
3
(r)
29
270
) (s)
4
3
π −
√
3 (t) 2π

1
√
3

−
1
2
√
2

(u)
1
6
(v)
π
3
6
−
π
4
(w)
3
5
(e
π
−1)
8. (a)
2
3
ln 2 (b)
4π
3
√
3

(c)
2π
3
√
3
(d)
π
√
2
(e)
π
2
(f)
1
5
ln

1 +
2
√
3

(g) 0 (h)
5
2
(
5
√
3 + 1) (i) π
9. (a) HT (b) HT (c) PK (d) PK (e) HT (f) HT (g) PK (h) PK (i) PK (j) HT (k) PK

(l) HT (m) PK (n) HT (o) PK (p) HT
10. (a)
a
2
3
(b) 4
1
2
(c) 4
1
2
(d) πa
2
(e)
3
2
(3π −2) (f)
a
2
4
(π − 2 ln 2) (g) 1.5 − 2 ln 2.6
(h) a
2

2
√
3
+ ln(2 +
√
3)


(i)
3
8
πa
2
(j) 12π (k)
3πa
2
2
(l)
πa
2
8
11. (a) 272π/15 (b) 11π/4 (c) 64π/3