Tổng hợp bài toán elip ôn thi đại học

Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 1 Mobile: 0976 266 202



I. Tóm tắt lý thuyết
Phương trình dạng chính tắc của Elip là
 
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
 
, trong đó
0
a b
 
.
Elip có tâm đối xứng là gốc tọa độ


0,0
O . Điểm





,
M x y E
 thì các điểm






, , , , ,
M x y M x y M x y
   
cũng thuộc


E
.
Elip


E
có độ dài trục lớn bằng
2
a
, độ dài trục nhỏ bằng
2
b
.
Tọa độ bốn đỉnh của Elip là









1 2 1 2
,0 , ,0 , 0, , 0,
A a A a B b B b
  .
Tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của


E
là








, , , , , , ,
A a b B a b C a b D a b
   
.
Chu vi hình chữ nhật cơ sở của



E
bằng


4
a b

.
Elip có hai tiêu điểm


1
,0
F c
 là tiêu điểm trái và


2
,0
F c
là tiêu điểm phải.
Elip có tâm sai
2 2
,0 1
c a b
e c
a a

   

.
Elip có hai đường chuẩn
2
:
a a
x
e c
    
.
Một điểm




0 0
,
M x y E
 ta có tính chất
1 0
MF a ex
  và
2 0
MF a ex
  , được gọi là bán kính qua tiêu
điểm.
Có thể lượng giác hóa phương trình elip theo cách đặt


cos , sin , 0,2
x a t y b t t


   .
II. Các dạng bài toán
Dạng 1(Các bài toán này hay gặp trong đề thi TSĐH) Viết phương trình chính tắc của Elip


E
dựa
vào các điều kiện cho trước.
Tư duy. Giả sử elip có dạng chính tắc
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 2 Mobile: 0976 266 202


Dựa vào điều kiện bài toán cho, thiết lập hệ hai phương trình để tìm ra
a
và
b
từ đó tìm được phương trình

của Elip


E
.
Dạng 2. Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Tư duy. Giả sử điểm cần tìm là


0 0
,
M x y
thuộc Elip ta có phương trình
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
 
.
Dựa vào giả thiết bài toán cho để thiết lập một phương trình thứ hai, giải hệ ta suy ra được


0 0
,
x y
.
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng cắt Elip tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước.
Tư duy. Ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc

k
, sau đó xét hệ
phương trình tạo bởi


E
và đường thẳng.
Một đường thẳng đi qua một điểm


0 0
,
M x y
và có hệ số góc
k
có phương trình


0 0
y k x x y
  
.
Phương pháp gọi điểm. Ta có thể giả sử tọa độ giao điểm là


0 0
,
A x y
, biểu diễn tọa độ giao điểm còn
lại theo



0 0
,
x y
và giải hệ tìm ra


0 0
,
x y
, từ đó viết được phương trình đường thẳng cần tìm.
Dạng 4. Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip.
Tư duy. Nếu Elip cắt đường tròn hoặc cắt một elip khách thì chúng sẽ giao nhau tại bốn điểm phân biệt
theo thứ tự
, , ,
A B C D
và
ABCD
là hĩnh nhữ nhật.
Để bốn điểm đó là bốn đỉnh của một hình vuông khi và chỉ khi tọa độ của bốn điểm thỏa mãn điều kiện
2 2
x y

.
Dạng 5. Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Tư duy. Với dạng bài toán này bạn đọc chú ý sử dụng bất đẳng thức Cơ bản





 
2
2 2 2 2
m n p q mp nq
    .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
mq np

.
Hoặc có thể đưa Elip về dạng lượng giác hóa.
Dạng 6. Tính chất hình học của Elip
Tôi sẽ trình bày một số bài toán liên quan đến tính chất hình học của Elip, bạn đọc chỉ nên đọc để
tham khảo vì trong đề thi sẽ không đề cập đến dạng bài toán này.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 3 Mobile: 0976 266 202


Dưới đây là một số bài tập mẫu tôi sưu tầm từ một số đề thi thử năm 2013 của các trường và diễn
đàn toán học trên cả nước cũng như sáng tác, mời bạn đọc cùng theo dõi. Mong đây sẽ là tài liệu bổ ích
cho các sỹ tử trong kỳ thi đại học sắp tới.

III. Bài tập mẫu
Dạng 1. Viết phương trình chính tắc của Elip
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho đường tròn



2 2
: 9
C x y
 
. Viết phương trình chính tắc của
Elip


E
có tâm sai bằng
1
3
, biết rằng


E
cắt


C
tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự
, , ,
A B C D
và
3
AB BC

,
AB

song song với trục hoành.
Giải. Giả sử Elip
   
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
.
Tâm sai
2 2
1
3
c a b
e
a a

  
.
Tọa độ bốn điểm
, , ,
A B C D
là nghiệm của hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
9
1

x y
x y
a b

 


 


.
Dễ thấy
ABCD
là hĩnh chữ nhật và điểm


,
A x y
thì


,
D x y

. Để
2 2
3 3 9
AB BC x y x y
     .
Suy ra

2 2
9 81
,
10 10
y x
 
.
Ta có hệ phương trình
2 2
2
2
2 2
729
1
80
3
81
81 9
1
10
10 10
a b
a
a
b
a b








 

 
 

 




.
Vậy phương trình của elip cần tìm là
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 4 Mobile: 0976 266 202


 
2 2
: 1
729 81
80 10
x y
E
 
.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho điểm


2 3,2
M . Viết phương trình chính tắc của Elip


E
đi
qua điểm
M
nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
Giải. Giả sử
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
.
Điểm


 
2 3,2
M E

 nên
2 2
12 4
1
a b
 
.
Ta có tọa độ hai tiêu điểm


1
,0
F c
 và


2
,0
F c
nên




1 2
2 3, 2 , 2 3, 2
MF c MF c
      
 
. Tam giác

1 2
FMF
vuông tại
M
nên


2 2 2 2
1 2
. 0 4 12 0 16
MF MF c c a b
        
 
.
Vậy ta có hệ phương trình
2 2
2
2
2 2
16
24
12 4
1
8
a b
a
b
a b

 



 

 
 





.
Vậy phương trình cần tìm của Elip là
 
2 2
: 1
24 8
x y
E
 
.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho điểm


2,1
M và đường tròn



2 2
: 21
C x y
 
. Viết phương
trình chính tắc của Elip


E
biết hình chữ nhật cơ sở của


E
nội tiếp trong


C
và điểm
M
nhìn hai tiêu
điểm của


E
dưới một góc
0
60
.
Giải. Giả sử



E
có phương trình chính tắc:
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
.
Đường tròn


C
có tâm là gốc tọa độ


0,0
O và bán kính
21
R  . Hình chữ nhật cơ sở của


E
nội tiếp
trong



C
nên
2 2 2
21
a b R
  
.
Hai tiêu điểm của


E
là


1
,0
F c
 và


2
,0
F c
. Điểm

0
1 2
60
F MF  nên theo định lý hàm số côsin ta có
2 2 2 0

1 2 1 2 1 2
2 . . os60
F F MF MF MF MF c   .
Suy ra
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 5 Mobile: 0976 266 202


           
2 2 2 2 2 2
2 2
4 2 1 2 1 1 2 . 1 2 1 2 . 1 2 10 2
c c c c c c c c
                  .
2 2 2
4 2
2 2 2
3
3 34 75 0
25
3
c a b
c c
c a b

  

    


  


.
Với
2
3
c

ta có hệ phương trình
2 2 2
2 2 2
21 12
3 9
a b a
a b b
 
  
 

 
  
 
 
.
Suy ra Elip
 
2 2
: 1

12 9
x y
E
 
.
Với
2
25
3
c  ta có hệ phương trình
2
2 2
2 2
2
44
21
3
25
19
3
3
a
a b
a b
b

 
 

 


 
 
 




.
Suy ra elip
 
2 2
: 1
44 19
3 3
x y
E
 
.
Vậy có hai elip thỏa mãn yêu cầu bài toán là
 
2 2
: 1
12 9
x y
E
 
và
 
2 2

: 1
44 19
3 3
x y
E
 
.
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho biết Elip


E
có chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng


16 2 3
 , đồng thời một đỉnh của


E
tạo với hai tiêu điểm một tam giác đều. Viết phương trình đường
tròn


T
có tâm là gốc tọa độ và cắt


E

tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình vuông.
Giải. Giả sử elip
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
.
Chu vi hình chữ nhật cở sở của


E
là
 




4 16 2 3 4 2 3
a b a b       .
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 6 Mobile: 0976 266 202


Xét đỉnh



0,
M b
của


E
, tam giác
1 2
MFF
đều nên
0
1 1
3 3
sin60
2 2
c
MO MF MF b    .
Lại có
2 2 2
c a b
 
, suy ra
3
2
a
b  . Từ đây suy ra
8, 4 3
a b 

.
Vậy phương trình của Elip
 
2 2
: 1
64 48
x y
E
 
.
Giả sử đường tròn


T
có phương trình


2 2 2
: , 0
T x y R R
  
. Xét hệ tạo bởi


E
và


T
.

2 2
2 2 2
1
64 48
x y
x y R

 



 

.
Khi đó nếu


E
cắt


T
tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự là
, , ,
A B C D
thì
ABCD
là hình chữ nhật. Nếu
điểm



,
A x y
thì điểm


,
D x y

và điểm


,
B x y
 . Để
ABCD
là hình vuông khi và chỉ khi
2 2 2
2 2
2 2
x y R
x y x y

     . Suy ra
2
2
1 1 384
. 1
2 64 48 7
R

R
 
   
 
 
.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
 
2 2
384
:
7
T x y  .
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho điểm


1,3
M  . Viết phương trình chính tắc của elip


E
, biết


E
đi qua
M
và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của



E
bằng
4 10
.
Giải. Giả sử elip
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
. Điểm




1,3
M E
  , ta có phương trình
2 2
1 9
1
a b
 
.
Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của Elip



E
là
2 4
2 2 2
2 4 10
40
a a
c a b
c
    
.
Vậy ta có hệ phương trình
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 7 Mobile: 0976 266 202


4 2 2 2
2 2
4
2 2
2 2
2 2
1 9
1
41 400 0 25 16
1 9 75 48

1
8 5
40
a a a a
a b
a
b b
a b
a b

 
  
    

   
  
   
   
   
 
  


.
Vậy có hai phương trình của Elip thỏa mãn yêu cầu bài toán là
 
2 2
: 1
75
25

8
x y
E
 
và
 
2 2
: 1
48
16
5
x y
E
 
.
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của elip


E
đi qua điểm


3,4
A , biết rằng
1
F
và
2

F
lần lượt là tiêu điểm trái và tiêu điểm phải của


E
thỏa mãn
1 2
2
AF AF
 .
Giải. Giả sử elip
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
. Do


A E
 nên ta có phương trình
2 2
9 16
1
a b
 
.

Tọa độ hai tiêu điểm


1
,0
F c
 và


2
,0
F c
. Bán kính qua tiêu điểm
1
.3
c
AF a
a
  và
2
.3
c
AF a
a
  Vậy
4
2 2 2
1 2
2 .3 2 .3
81

c c a
AF AF a a c a b
a a
 
        
 
 
.
Ta có hệ phương trình
2
2 2
4
2
2 2
9 16
1
45
20
81
a
a b
a
b
a b

 



 


 



 


.
Vậy elip cần tìm có phương trình là
 
2 2
: 1
45 20
x y
E
 
.
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của elip


E
biết đường
tròn nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh là bốn đỉnh của


E
có bán kính bằng

12
5
và chu vi hình chữ nhật cơ sở
của


E
bằng
28
.
Giải. Giả sử
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
. Chu vi hình chữ nhật cơ sở của


E
bằng


4 28
a b
 
.

Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 8 Mobile: 0976 266 202


Bốn đỉnh của


E
lần lượt là








,0 , 0, , ,0 , 0,
A a B b C a D b
  là bốn đỉnh của một hình thoi. Gọi
H
là
hình chiếu của
O
xuống cạnh
CD
. Đường tròn tâm
O

, bán kính
OH
tiếp xúc với tất cả các cạnh hình thoi
ABCD
. Ta có
2 2
2
12
5
OCD
S ab
OH R
CD
a b
   

.
Vậy ta có hệ phương trình
2 2
7
4
12
3
5
a b
a
ab
b
a b
 






 






.
Vậy phương trình elip cần tìm là
 
2 2
: 1
16 9
x y
E
 
.
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của elip


E
biết rằng



E
có độ dài
trục lớn bằng
4 2
, các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm của


E
cùng nằm trên một đường tròn.
Giải. Giả sử elip
 
2 2
2 2
: 1, 0
x y
E a b
a b
   
. Độ dài trục lớn bằng
2 4 2 2 2
a a   .
Các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm cùng nằm trên một đường tròn nên chúng cách đều gốc tọa độ, suy
ra
2 2
2
2
2
a
b c a b b

     
.
Vậy elip cần tìm có phương trình
 
2 2
: 1
8 4
x y
E
 
.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 9 Mobile: 0976 266 202


Dạng 2. Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho Elip
 
2 2
: 1
9 4
x y
E
 
, biết



1
5,0
F  và


2
5,0
F
là hai tiêu điểm của


E
. Tìm điểm
M
nằm trên


E
sao cho
1 2
3
MF MF
 .
Giải. Giả sử điểm




0 0

,
M x y E
 ta có phương trình
2 2
0 0
1
9 4
x y
 
.
Ta có
1 0
5
3
3
MF x
  và
2 0
5
3
3
MF x
  . Vậy
1 2 0 0 0
5 5 9 5
3 3 3 3
3 3 10
MF MF x x x
 
      

 
 
 
.
Từ đó suy ra
0
55
5
y   .
Vậy có hai điểm cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
1
9 5 55
,
10 5
M
 

 
 
 
và
2
9 5 55
,
10 5
M
 
 
 
 

.
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho elip
 
2 2
: 1
4 1
x y
E
 
và điểm


2,0
A . Tìm hai
điểm
A
và
B
trên


E
sao cho tam giác
ABC
đều.
Giải. Điểm



2,0
A là một đỉnh nằm trên trục lớn của


E
nên tam giác
ABC
đều thì
B
và
C
đối xứng với
nhau qua trục hoành. Gọi




0 0 0
, , 2
B x y E x
 
, ta có phương trình
2 2
0 0
1
4 1
x y
 
.
Điểm



0 0
,
C x y
 , ta có
 
3
,
2
BC
d A BC  . Suy ra
 
2
0 0
2
0 0
2 3 2
2
2 3
y
x
x y

    .
Từ đây ta có phương trình
 
2
2 0
0

0
0
2
2
1
2
4 3
7
x
x
x
x




  




.
Chỉ nhận nghiệm
0 0
2 4 3
7 7
x y    .
Vậy có hai cặp điểm cần tìm là
2 4 3 2 4 3
, ; ,

7 7 7 7
B C
   

   
   
   
hoặc
2 4 3 2 4 3
, ; ,
7 7 7 7
B C
   

   
   
   
.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 10 Mobile: 0976 266 202


Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho elip
 
2 2
: 1

9 4
x y
E
 
. Tìm tọa độ điểm
M
thuộc


E
, biết rằng
M
nhìn hai tiêu điểm của


E
dưới một góc
0
90
.
Giải. Gọi




0 0
,
M x y E
 , ta có phương trình
2 2

0 0
1
9 4
x y
 
. Tam giác vuông
1 2
MFF
, có


1 0 0
5 ,
MF x y
   

và


2 0 0
5 ,
MF x y
  

. Vậy


2 2 2 2
1 2 0 0 0 0
. 5 0 5

MF MF y x x y
      
 
.
Ta có hệ phương trình
2 2
0 0
0
2 2
0 0
0
3 5
1
5
9 4
4 5
5
5
x y
x
x y
y


 

 
 

 

 
 
 



.
Vậy có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
1 2 3 4
3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5
, ; , ; , ; ,
5 5 5 5 5 5 5 5
M M M M
       
   
       
       
       
.
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho elip
 
2 2
: 1
4 3
x y
E
 
có hai tiêu điểm



1
1,0
F  và


2
1,0
F .
Tìm tọa độ điểm
M
thuộc


E
sao cho
2 2
1 2
4
MF MF
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải. Gọi điểm




0 0
,
M x y E

 , ta có phương trình
2 2
0 0
1
4 3
x y
 
và


0
2,2
x   .
Bán kính qua tiêu điểm
1 0
1
2
2
MF x
  và
2 0
1
2
2
MF x
  .
Vậy
2 2
2 2 2
1 2 0 0 0 0

1 1 5
4 2 4 2 6 20
2 2 4
MF MF x x x x
   
       
   
   
.
Xét hàm số
2
5
( ) 6 20
4
f x x x
  
trên đoạn


2,2
 ta tìm được giá trị nhỏ nhất của
( )
f x
bằng
(2) 13
f

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0

2
x

, suy ra
0
0
y

. Vậy
2 2
1 2
4
MF MF
 đạt giá trị nhỏ nhất khi


2,0
M .
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 11 Mobile: 0976 266 202


Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng giao với Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho elip
 
2 2

: 1
9 4
x y
E
 
và điểm


2,1
M . Viết phương
trình đường thẳng

cắt


E
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
sao cho
M
là trung điểm của
AB
.
Giải. Gọi





0 0
,
A x y E
 , ta có phương trình
2 2
0 0
1
9 4
x y
 
.
Do
M
là trung điểm của
AB
nên


0 0
4 ,2
B x y
  , nhưng do


B E
 nên ta có phương trình
   
2 2
0 0
4 2

1
9 4
x y 
 
.
Vậy ta có hệ phương trình
   
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
0 0
0 0
1
1
9 4
9 4
4 2
8 9 25 0
1
9 4
x y
x y
x y
x y

 



 
 

 
 
 
  
 



.
Nhận thấy điểm
A
và
M
thuộc đường thẳng
8 9 25 0
x y
  
, nên phương trình đường thẳng cần tìm là
:8 9 25 0
x y
   
.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình đường thẳng

đi qua điểm



1,1
M  đồng
thời cắt elip
 
2 2
: 1
4 1
x y
E
 
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
sao cho
3
MA MB

.
Giải. Vì
 
2
2
1
1 1
1 0
4 1 4


   
nên điểm


1,1
M  nằm ngoài


E
. Suy ra 3
MA MB

 
.
Gọi điểm




0 0
,
B x y E
 , ta có phương trình
2 2
0 0
1
4 1
x y
 
.

Gọi


,
A x y
thì do 3
MA MB

 
nên ta có


 
0
0
0
0
1 3 1
3 2
3 2
1 3 1
x x
x x
y y
y y
  
 




 
 
  


. Nhưng do


A E
 nên ta có
phương trình
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 12 Mobile: 0976 266 202


   
2 2
0 0
3 2 3 2
1
4 1
x y 
 
.
Vậy ta có hệ phương trình
   
2 2
0 0

2 2
2
0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
0 0
1
52 104 133 0
1
4 1
4 1
3 12 13 0
3 2 3 2
3 12 13 0
1
4 1
x y
x y
y y
x y
x y
x y

 



  

 
  
 
  
   
 


 
   
 



.
Hệ trên vô nghiệm, do vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
2 2
,
3 3
M
 
 
 
và cắt
elip
 
2 2

: 1
4 1
x y
E
 
tại hai điểm phân biệt
A
và
B
sao cho
2
MA MB

.
Giải. Vì
2 2
2 2
4
3 3
1 0
4 1 9
   
   
   
    
nên điểm
M
nằm trong elip



E
. Nên ta có
2
MA MB
 
 
.
Gọi điểm




0 0
,
B x y E
 , ta có phương trình
2 2
0 0
1
4 1
x y
 
. Gọi


,
A x y
thì do
2
MA MB

 
 
nên ta có
0
0
0
0
2 2
2
2 2
3 3
2 2
2 2
2
3 3
x x
x x
y y
y y

 
   
 

  

  

 
  

 


   
 

 

. Nhưng do


A E
 nên ta có phương trình
   
2 2
0 0
2 2 2 2
1
4 1
x y   
 
.
Ta có hệ phương trình
   
2 2
2
0 0
0 0
0
0

2 2
2 2
0 0
0
0 0
0
8
1
5 8 3 0
0
4 1
5
1 3
2 2 2 2
1
1
4 1
5
4 1
x y
y y
x
x
x y
y
x y
y


  

  





  
  
   

   
 

  

 





.
Với


0,1
B đường thẳng cần tìm đi qua điểm
M
và
B

nên có phương trình là
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 13 Mobile: 0976 266 202


: 2 2 0
x y
   
.
Với
8 3
,
5 5
B
 
 
 
đường thẳng cần tìm đi qua điểm
M
và
B
có phương trình là
:5 70 50 0
x y
   
.
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là
: 2 2 0

x y
   
và
:5 70 50 0
x y
   
.
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 14 Mobile: 0976 266 202


Dạng 4. Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho 2 elip
 
2
2
1
: 1
16
x
E y
 
và
 
2 2
2

: 1
9 4
x y
E
 
. Viết
phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của


1
E
và


2
E
.
Giải. Tọa độ giao điểm của


1
E
và


2
E
là nghiệm của hệ phương trình
2
2 2

2 2
2 2
2 2 2 2
2
432
1
`16 16
92
16 55
28
11
4 9 36
1
55
9 4
x
y x
x y
x y
x y x y
y


  



 
  
    

  
 

 

 




.
Do vậy


1
E
cắt


2
E
tại 4 điểm phân biệt có tọa độ thỏa mãn
2 2
92
11
x y  .
Vậy phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của


1

E
và


2
E
có phương trình là
 
2 2
92
:
11
C x y  .
Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013


Email: 15 Mobile: 0976 266 202


IV. Các bài toán đã thi
Câu 1(TSĐH Khối A 2008). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, hãy viết phương trình chính tắc của
elip


E
biết rằng



E
có tâm sai bằng
5
3
và hình chữ nhật cơ sở của


E
có chu vi bằng
20
.
Đáp số.
 
2 2
: 1
9 4
x y
E
 
.
Câu 2(TSĐH Khối A 2011). Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho elip
 
2 2
: 1
4 1
x y
E
 

. Tìm tọa độ điểm
A
và
B
thuộc


E
, có hoành độ dương sao cho tam giác
OAB
cân tại
O
và có diện tích lớn nhất.
Đáp số.
2
2,
2
A
 
 
 
 
và
2
2,
2
B
 

 

 
 
hoặc
2
2,
2
A
 

 
 
 
và
2
2,
2
B
 
 
 
 
.
Câu 3(TSĐH Khối A và A1 2012). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường tròn


2 2
: 8
C x y

 
. Viết phương trình chính tắc của elip


E
, biết rằng


E
có độ dài trục lớn bằng
8
và


E
cắt


C
tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
Đáp số.
 
2 2
: 1
16
16
3
x y
E
 

.
Câu 4(TSĐH Khối B 2012). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho hình thoi
ABCD
có
2
AC BD

và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình
2 2
4
x y
 
. Viết phương
trình chính tắc của elip


E
đi qua các đỉnh
, , ,
A B C D
của hình thoi. Biết
A
thuộc
Ox
.
Đáp số.
 
2 2

: 1
20 5
x y
E
 
.