Logich toán và cơ sở toán học

Logich toán và cơ sở toán học
Cơ Sở Toán Học - là một bộ phận của toán học mà chỉ có khoảng 1% các nhà toán
học trên thế giới quan tâm tới nó. Trước khi có câu hỏi "tại sao lại thế", nên chăng
đặt câu hỏi "Cơ sở toán học là gì". Để phần nào tìm được câu trả lời cho những câu
hỏi đó, MrMATH xin phép giới thiệu với các bạn bài viết của Giáo sư Phan Đình
Diệu về lịch sử của môn khoa học này.
Phần I
Ta biết rằng Toán Học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ
nghiêm ngặt các qui luật của tư duy logich hình thức. Các qui luật cơ bản của logich hình
thức đã được phát triển từ thời Aristote (384 - 322 trước Công Nguyên) và hệ tiên đề đầu
tiên của hình học đã được xây dựng bởi Euclid cũng vào khoảng 300 năm trước Công
Nguyên. Sau thời kì rực rỡ đó của nền văn minh cổ Hy Lạp, phải trải qua một giai đoạn
ngưng trệ hàng nghìn năm, mãi cho đến thế kỉ 16,17 các nganh khoa học đặc biệt là Toán
Học mới tìm lại được sự phát triển tiếp tục. Giai đoạn mới khởi đầu từ những phát minh
của Newton, Leibnitz về phép tính vi phân và giải tích toán học đã đưa toán học từ phạm vi
"bất biến, hữu hạn" sang địa hạt của "vận động, vô hạn, liên tục". Nhưng trong suốt mấy
thế kỉ phát triển, bên cạnh những thành tựu to lớn, Toán Học vẫn chứa trong mình những
"lỗ hổng" về cơ sở lý luận - cơ sở logich hình thức cho các khái niệm cơ bản như số thực,
đại lượng vô cùng bé, giới hạn, biến thiên liên tục v.v...
Cho đến cuối thế kỉ 19 bước sang đầu thế kỉ 20 lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời đã đưa
đến cho Toán Học niềm hy vọng giải quyết được cuộc "khủng hoảng" về cơ sở lý luận đó.
Cái cốt lõi của lý thuyết tập hợp Cantor là sự hợp thức hóa phép trừu tượng về "vô hạn
thực tại", xem rằng trong Toán Học có thể hình dung mọi tập hợp bất kì dưới dạng hoàn
chỉnh, trong đó các phần tử tồn tại đồng thời, độc lập và bình đẳng với tư duy. Và cùng với
việc thừa nhận quan niệm "thực tại" đó về các tập hợp vô hạn, người ta cũng đồng thời
tuyệt đối hóa tính hợp lý của các qui luật logich hình thức: các qui luật của logich hình
thức dù có thể đã được hình thành cho các suy luận trên cái hữu hạn thì này có thể dùng
được cho cả các suy luận trên các tập hữu hạn hoặc vô hạn, không cần phân biệt.
Lý thuyết tập hợp quả thực đã cung cấp một cơ cở tuyệt vời, không những cho việc giải
quyết cuộc khủng hoảng của cơ sở giả tích toán học, mà rộng hơn còn cung cấp một nền
tảng thống nhất cho việc xây dựng và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học khác.

Tuy nhiên, oái ăm thay, ngay trong những năm đầu của thế kỉ 20 người ta liên tiếp phát
hiện trong lí thuyết "ngây thơ" về tập hợp có chứa đựng nhiều nghịch lý: nghịch lý Russell
về "tập hợp của tất cả các tập hợp không là phần tử của chính mình", nghich lý do chính
Cantor phất hiện về "tập hợp của tất cả các tập hợp", nghịch lý Bulari-Forti về "ordinal của
tập sắp thứ tự hoàn toàn của tất cả các ordinal" v.v... . Việc phát hiện ra các nghịch lý như
vật đã làm lung lay lòng tin của một số nhà toán học vào giá trị "nền tảng" của lý thuyết tập
hợp. và khó khăn mới đó đã dẫn tới những đề nghị khác nhau về cách khắc phục. Cách
khắc phục được nhiều người tán thành nhất là hạn chế ngoại diên của khái niệm "tập hợp"
bằng cách xây dựng cho lý thuyết tập hợp một hệ tiên đề, tức tiên đề hóa lý thuyết tập hợp
trong đó không thể có những tập hợp quá "tự do" như trong các nghịch lý kể trên. Cách này
đã chứng tỏ là rất hợp lý, nhiều lý thuyết tiên đề về tập hợp đã ra đời và đáp ứng các yêu
cầu hạn chế đó.
Cùng với tiên đề hóa lý thuyết tập hợp cũng như tiên đề hóa các lý thuyết toán học, người
ta cũng nghĩ nhiều đến việc tiên đề hóa các lý thuyết cơ sở về logich - việc tiên đề hóa triệt
để như vậy dẫn tới việc hình thức hóa, và ta được các hệ hình thức hóa của logich (mệnh
đề và tân từ) rồi trên cơ sở đó, các hệ hình thức hóa của Toán Học. Khi toàn bộ một lý
thuyết Toán Học (cùng với cơ sở logich của nó) đã được hình thức hóa, thì việc làm toán
có thể đóng khung trong phạm vi lí thuyết hình thức đó và làm toán chỉ còn là việc thực
hiện những thao tác trí tuệ trên các dòng ký hiệu hình thức theo các luật đã được hình thức
hóa trong lý thuyết đó (?!). Tuy nhiên có những vấn đề về các lý thuyết Toán Học được
hình thức đó thì lại không thể được xét bên trong chúng, chẳng hạn các vấn đề về tính phi
mâu thuẫn, về tính đầy đủ của lý thuyết, về tính độc lập của các tiên đề v.v... . Những vấn
đề như vậy có ý nghĩa quan trọng về các lý thuyết toán học được hình thức và được xét
trong 1 siêu toán học (metamathematics) tức là một siêu lý thuyết nằm ngoài các lý thuyết
hình thức nói trên.
Vào các thập niên đầu của thế kỉ 20, để cứu vãn nền tảng vững chắc cho Toán Học, Hilbert
đã đề xuất một chương trình có nội dung tóm lược như sau: Hilbert xem rằng lý thuyết tập
hợp (sau khi đã loại bỏ các yếu tố đưa đến nghịch lý) với quan niệm trừu tượng hóa vô hạn
thực tại và sự phổ quát hóa của các qui luật logich cổ điển(bao gồm qui luật bài trung (nói
rằng 1 điều gì đó chỉ có thể là đúng hoặc chỉ có thể là sai.ct) và phủ định kép (nếu 1 ta có

((điều gì đó là sai) là sai) thì điều đó phải đúng.ct)) là cơ sở tin cậy của Toán Học. Để bảo
vệ Toán Học với cơ sở đó, ta hình thức hóa Toán Học thành một hệ hình thức rồi sau đó
chứng minh tính phi mẫu thuẫn của hệ toán học hình thức đó trong một siêu toán, và không
ai có thể công kích được. Hilbert đề nghị siêu toán đó sẽ là một thứ Toán học không sử
dụng khái niệm "vô hạn thực tại", chỉ hạn chế trong các kiến trúc dùng một quan niệm hạn
chế về vô hạn là "vô hạn tiềm năng", và cùng với nó cũng không sử dụng phổ biến các qui
luật logich như luật bài trung. Một siêu toán như vậy được gọi là siêu toán hữu hạn luận
(finitism). Vào những năm 30 của thế kỉ, nhà toán học người Áo Godel đã xây dựng được
cho "số học hình thức", một thứ siêu toán thỏa mãn các yêu cầu của hữu hạn luận, đó là số
học của các hàm và quan hệ đệ quy. Nhưng rồi bất ngờ thay, chính với các phương tiện của
siêu toán đó, Godel đã chứng minh được các định lý vĩ đại: nếu số học hình thức phi mâu
thuẫn thì nó không đầy đủ, và bản thân tính phi mâu thuẫn của số học hình thức không thể
tìm thấy trong số học hình thức đó (!!). Nói cách khác, mưu đồ hình thức hóa Toán Học rồi
tìm cách chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó bên trong hệ hình thức đó hay với sự trợ
giúp của một siêu toán hữu hạn luận là thất bại (!!). Các định lý của Godel có tác động to
lớn đối với nhận thức luận khoa học nói chung.
Một vấn đề khác cũng rất được quan tâm trong cơ sở Toán Học là vai trò của một vài giả
thuyết hay tiên đề của lý thuyết tập hợp, cụ thể là giả thuyết liên tục và tiên đề chọn. Trong
số 23 bài toán mà Hilbert đặt ra cho thế kỉ 20, bài toán về giả thuyết liên tục là bài toán số
1. Đầu những năm 40. Godel xây dựng mô hình cho lý thuyết tập hợp gồm các tập "kiến
thiết được" và chứng minh trong mô hình đoa giả thuyết liên tục và tiên đề chọn đều đúng.
Và đến giữa những năm 60, Cohen bằng khái niệm "cưỡng bức" (forcing) độc đáo của
mình đã xây dựng được các mô hình của lý thuyết tập hợp trong đó giả thuyết liên tục
không đúng và tiên đề chọn đúng, hoặc cả hai cùng không đúng. Như vậy cả tiên đề chọn
và giả thuyết liên tục đều là vừa phi mâu thuẫn, vừa là độc lập đối với lý thuyết tiên đề về
tập hợp. Những kết quả này, về nguyên tắc có thể cho ta khả năng xây dựng được những lý
thuyết tập hợp trong đó tiên đề chọn (và giả thuyết liên tục) là đúng hoặc không đúng,
tương tự như ta đã có hình học Euclid và hình học phi Euclid.
Phần II
Logich toán và cở sở toán học - với nội dung như vừa được điểm lại - đã được hình thành

và phát triển chủ yếu vào cuối thế kỉ 19 và nừa đầu thế kỉ 20, trong 1 giai đoạn bùng phát
nhiều ý tưởng và kết quả nghiên cứu đặc sắc theo hướng tìm kiếm và xây dựng một nền
móng "vững chắc" cho lâu đài Toán Học.
Toán Học, như triết gia A.N. Whitehead từng nhận định: có thể coi là thành quả sáng tạo
độc đáo nhất trong hoạt động tinh thần của con người, toán học thuần túy đứng ở đỉnh cao
của tư duy duy lý, các kết quả của toán học được xem là khuôn mẫu của sự chính xác,
nghiệm ngặt và chắc chắn, người ta thường lấy lượng Toán Học được ứng dụng để đo mức
độ nghiệm ngặt của một lý thuyết khoa học. Nhưng dù Toán Học có đối tượng trực tiếp là
các ý tưởng, các khái niệm trừu tượng và phương pháp phát triển Toán học chủ yếu là
phương pháp suy luận logich một cách nghêim ngặt, thì Toán Học cũng là một ngành khoa
học, và trong quá trình tiến hóa biện chứng của mình, nó cũng có thể được phát hiện là có
những khiếm khuyết và phải tìm cách khắc phục những khiếm khuyết để phát triển tiếp
tục.
Như đã trình bày, cuộc khủng hoảng về cơ sở của Giải tích toán học vào cuối thế kỉ 19 đã
dẫn đến sự ra đời của lý thuyết Cantor về tập hợp, hợp thức hóa phép trừu tượng về vô hạn
thực tại, tạo các cơ sở nền móng cho Giải tích toán học và cho Toán Học nói chung. Nhưng
ngày sau đó, việc phát hiện những nghịch lý trong bản thân lý thuyết tập hợp đã làm lung
lay cái cơ sở nền móng vừa được xác lập. Và vấn đề xây dựng nền móng cho Toán Học
hóa ra phức tạp và khó khăn hơn nhiều, không chỉ đơn giản là tìm cách định nghĩa hợp lý
cho một số khái niệm nào đó. Nguời ta đặt vấn đề cần xem xét lại tính đúng đắn của một
số mệnh đề ban đầu vẫn được mặc nhiên coi là đúng, và cả tính đúng đắn của một số qui
tắc logich của suy luận mà trước đó chưa hề bị hoài nghi. Một số trường phái đề xuất các
giải pháp khác nhau cho việc xây dựng nền móng Toán Học đã xuất hiện, nổi bật là ba phái
lớn:
Phái chủ nghĩa logich (logicism) khởi đầu bởi G.Frege và tiếp tục bới B.Russell, A.
Whitehead xem rằng không có các đối tượng toán học tồn tại độc lập, đối tượng toán học
(như các con số) là các khái niệm trừu tượng, có thể được định nghĩa bởi một chuỗi các
định nghĩa, do đó có thể biểu diễn qua các thuật ngữ logich, từ đó mọi phán đoán, mọi định
lý toán học cũng là các phán đoán logich, bằng cách đó phái chủ nghĩa logich chủ trương
đưa toàn bộ Toán Học thành một bộ phận của logich, mà cái đúng của logich là đúng trong

mọi thế giới có thể, không phụ thuộc các đối tượng.
Phái chủ nghĩa trực giác (intuitionism) mà những người đề xướng chủ chốt là L.E.J.
Brouwer, A. Heyting không những không chấp nhận việc hợp thức hóa phép trừu tượng về
vô hạn "thực tại" trong Toán Học mà còn hoài nghi tính đúng đắn của nhiều quy luật logich
cổ điển dùng trong Toán Học liên quan đến các liên kết logich "không","hay là", "tồn tại"
như các qui luật phủ định kép, luật bài trung, qui luật:"nếu mệnh đề (với mọi a ta có 1
"điều gì đó") là sai, thì mệnh đề sau là đúng (tồn tại a để "điều gì đó" là sai" (.ct). Phái này
đòi hỏi các đối tượng toán học phải được xây dựng rõ ràng một cách trực giác, mọi chứng
minh sự tồn tại của một đối tượng phải chỉ ra được cách tìm đối tượng đó một cách trực
giác..... phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại và các qui luật logich kể trên là nguồn gốc của
việc nảy sinh ra nhiều kết quả về sự tồn tại thuần túy phi trực giác trong Toán Học (kết
luận về sự tồn tại của đối tượng nhưng không có cách gì để tìm ra đối tượng cụ thể đó!).
Thay cho phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại, phái trực giác chỉ chấp nhận phép trừu
tượng về vô hạn "tiềm năng" (trong quá trình xây dựng các đối tượng toán học, chấp nhận
là sau mỗi bước đều có thể tiến hành thêm một bước tiếp theo), và thay cho logich cổ điển
chỉ được phép dùng một logich trực giác theo đó các qui luật kể trên không còn được xem
là có tính phổ biến. Phái trực giác cũng đã bắt đầu xây dựng một Toán Học trực giác của
mình với nhiều kết quả trái với Toán Học cổ điển, nhưng vì nhiều quan niệm còn chưa
được chính xác hóa, logich trực giác chưa được phát triển nên việc xây dựng đó khó được
tiếp tục tiến triển. Về sau này, khi các lý thuyết về "thuật toán" ra đời, có thể gán cho khái
niệm "tồn tại" hay "xây dựng được" một nội dung thuật toán một cách chính xác, nhiều
nhóm toán học đã phát triển các hưởng toán học kiến thiết trên cơ sở các phê phán của phái
chủ nghĩa trực giác và các thành tựu của lý thuyết thuật toán, có những đóng góp và sự
phát triển của Toán Học nói chung.
Khác với phái chủ nghĩa trực giác, phái chủ nghĩa hình thức (formalism) khởi xướng bởi
D. Hilbert và tiếp tục bởi P. Bernays, W. Ackermann, J.V.Neumann và nhiều người khác,
tuy thừa nhận rằng các mệnh đề toán học có sử dụng phép trừu tượng về vô hạn thực tại là
vượt ra ngoài giới hạn của tính hiển nhiên trực giác, nhưng không vì thế mà phủ nhận toán