Hệ phương trình đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (282.25 KB, 20 trang )
Hệ phương trình đại số
199
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. HỆ BẬC NHẤT 2 ẨN:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
1 1
2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
1 1
2 2
x
c b
c b
D
c b b c
x
D a b a b
a b
a b
−
= = =
−
;
1 1
2 2
1 2 2 1
1 2 2 1
1 1
2 2
y
a c
D
a c
a c a c
y
D a b a b
a b
a b
−
= = =
−
(
(
)
0
D
≠
Bài mẫu:
Giải biện luận hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
a b x a b y a
a b c a b y b
+ + − =
− + + =
2 2 2 2
6 ; 2 ; 2 2
2 2 2 2
x y
a b a b a a b a b a
D ab D a b D b ab a
a b a b b a b a b b
+ − − +
= = = = + = = + −
− + + −
•
Nếu
0
ab
≠
thì
0
D
≠
nên hệ có nghiệm
2 2 2 2
2 2 2
;
6 6
a b b ab a
x y
ab ab
+ + −
= =
•
Nếu
2 2
0 ; 0
ab a b
= + >
thì hệ vô nghiệm
•
Nếu
0
a b
= =
thì hệ có vô số nghiệm
( , ) ,x y x y
∀ ∈
»
Bài tập:
3
1
1
2
5
3
x y
x y
− =
+ =
;
6
2
4
1 2
5
4
9
1 2
x y
x y
− = −
− −
− =
− −
;
( )
( )
2
2 3 1 3
2 2
a x a y
a x y y
+ − =
+ − =
;
( )
( )
6 2 3
1 2
ax a y
a x ay
− − =
− − =
II. HỆ BẬC NHẤT 3 ẨN:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =
+ + =
+ + =
Nếu
0
D
≠
thì hệ có nghiệm duy nhất
; ;
y
x
z
D
D
D
x y z
D D D
= = =
trong đó
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
; ; ;
x y z
a b c d b c a d c a b d
D a b c D d b c D a d c D a b d
a b c d b c a d c a b d
= = = =
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
200
Bài mầu:
Giải hệ phương trình:
3
1
2 1 0
3
2 1
3 5
1 1
1
2( 3) 3 3
2 2 1
5
1
3 1 12
3
2 1
y
x
z
y
x
z
y
x
z
+ + − =
−
−
− + + = −
−
−
− + − = −
−
−
1 2 3 0 2 3 1 0 3 1 2 0
3 55 5 55 3 5 110 3 5 55
1 1 1 1 1 1
; ; ;
2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3
5 3 1 12 3 1 5 12 1 5 3 12
x y z
D D D D
− − −
= − = = − − = − = − = = − − =
− − − − − − − − −
Vậy hệ có nghiệm
1 1
1; 1 2 ; 1
3
2 1
y
x
z
= − + = =
−
−
⇔
2 ; 3 ; 1
x y z
= = =
Bài tập:
2 2 1
1
1
x y z
y z
x y z
− − = −
+ =
− + + = −
;
1
2 2
3 2 0
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
+ + =
;
2 4
3 4 2 11
3 2 4 11
x y z
x y z
x y z
− − =
+ − =
− + =
;
3 2 5
2 3 1
2 3 11
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
III. HỆ CHỨA MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:
( )
( )
( )
(
)
1
1
,
,
y c ax
ax by c
b
f x y d
f x c ax d
b
= −
+ =
⇔
=
− =
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
( )
3 3
1
3
x y
x y x y
+ = −
− = −
(1)
(1)
⇔
( )
( )
2 2
2
1
1
2
2
1
1; 2
1
3 0
2 ; 1
2 0
x y
x y
x y
x y
y x
x y x xy y
x y
x x
−
= =
−
= =
+ = −
⇔ ⇔ = = −
= − −
− + + − =
= − =
+ − =
Bài tập:
2 2
2 2
x y m
x y x
+ =
− + =
;
2 2
2 7
2 7
x y m
x y n
+ =
+ =
;
4 4
5
97
x y
x y
+ =
+ =
;
2 2
2 7
2 2 4
x y
x y x
− =
− = + +
Tìm
a
để hệ có nghiệm (
x
;
y
) với
xy
nhỏ nhất
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −
+ = + −
Hệ phương trình đại số
201
IV. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:
(
)
( )
, 0
, 0
f x y
g x y
=
=
với
(
)
(
)
( ) ( )
, ,
, ,
f x y f y x
g x y g y x
=
=
.
Phương pháp:
Đặt
u x y
v xy
= +
=
với
2
4
u v
≥
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
3
2
x y xy
xy yx
+ + =
+ =
(1)
Đặt
u x y
v xy
= +
=
với
2
4
u v
≥
, khi đó: (1)
⇔
( )
2 2
2 2
3
2
x y xy
xy x y
+ + =
+ =
⇔
( )
2
2
3
2 2
u v
v u v
− =
− =
( )
2
2 2
2 1
3
3 4
1 1
1 2 1
3 2
x y x y
u v
u v u
xy x y
v v v
v v
+ = ± = = −
= +
= + =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= = =
= ∨ = =
− =
Bài tập:
11
1
x xy y
x xy y
+ + =
− + =
;
2 2
4
2
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
;
2 2
2 3 2
14
x xy y
x y
+ + = +
+ =
;
2 2
4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y
+ + =
+ + =
;
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
+ =
− + =
;
2 2
20
5
1 1
4
x y y x
x y
+ =
+ =
;
2 2
26
5
24
y
x
y x
x y
+ =
− =
;
2 2 2 2
2
2
1 3
x y x y
x y x
+ =
+ + =
;
2
2
4
4
y
x
x y
y x
y
x
x y
y x
+ + + =
+ + + =
;
2 2
3
1 1
1
x y x y xy
xy
x y
+ + =
+ − =
;
2
4
0
x
x y
y
x xy y
+ + =
+ − =
;
2 2 2 2
2 2 2 2
3
x y xy x y
x y xy x y
+ + =
+ − =
;
11
6 6
11
x y xy
xy
x y
+ + =
+ + =
;
2 2
5
13
x y xy
x y xy
− + =
+ + =
;
2
2 6
2 6 0
x
x y
y
x xy y
− + =
− − =
;
( )( )
2 2 2 2
1 2
1 1
x y x y xy
x y xy xy
+ + = +
− + = −
;
( )
( )
2 2
18
1 1 72
x y x y
xy x y
+ + + =
+ + =
;
( )
3 3 2 2 3
1 1
1 1 4
1 4
x x
y y
x y x y xy y
+ + + =
+ + + =
Tìm
m
để hệ có nghiệm:
2 2
x xy y m
x y m
+ + =
+ =
;
2 2
1
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + = +
+ = −
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
202
V. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2:
(
)
( )
, 0
, 0
f x y
g x y
=
=
với
(
)
(
)
( ) ( )
, ,
, ,
f y x g x y
g y x f x y
=
=
.
Phương pháp:
(
)
( ) ( )
, 0
, , 0
f x y
f x y g x y
=
− =
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
x x y
y y x
= +
= +
(1)
ĐK:
0
0
x
y
≥
≥
; (1)
⇔
(
)
( )
(
)
3 3 2 2 2 2
3 2 2
3 2 2
3 3 0
3 2
3 2
x y y x x y x xy y x y
y y x
y y x
− = − − + + + + =
⇔
= +
= +
⇔
(
)
2 2
3 2
3 2 2
3 0
3 0
3 2
x y
x xy y x y
x x
y y x
=
+ + + + =
∨
+ =
= +
⇔
0
1
3
x y
x y
= =
−
= =
(Chú ý:
0
0
x
y
≥
≥
)
Bài tập:
Tìm
m
để các hệ phương trình sau đều có nghiệm duy nhất:
2
2
1
1
x y mxy
y x mxy
+ = +
+ = +
;
2
2
2
2
2
2
m
x y
y
m
y x
x
= +
= +
;
2 3 2
2 3 2
4
4
y x x mx
x y y my
= − +
= − +
VI. HỆ ĐẲNG CẤP BẬC 2:
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
+ + =
+ + =
Phương pháp:
Xét
0
y
=
; xét
0
y
≠
, khi đó đặt
x ty
=
và GPT bậc 2 ẩn
t
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
+ − =
− − =
(1)
Do
0
y
=
không là nghiệm của (1) nên đặt
x ty
=
, khi đó (1)
⇔
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(3 5 4) 38 (3 5 4) 38 (3 5 4) 38
(5 9 3) 15 15(3 5 4) 38(5 9 3) 145 417 54 0
t t y t t y t t y
t t y t t t t t t
+ − = + − = + − =
⇔ ⇔
− − = + − = − − − − =
2 2
2(3 5 4) 38
1; 3
38 38
18
1; 3
3
3
145
t t y
y x
y
y x
t t
t
+ − =
= =
=
⇔ ⇔ ⇔
= − = −
= ∨ = −
=
Hệ phương trình đại số
203
Bài tập:
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
;
2 2
2 2
6 2 56
5 49
x xy y
x xy y
− − =
− − =
;
2 2
5
2 5
2
2
x xy y
y
x
x y xy
+ − =
−
− + =
;
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y
+ − =
+ = −
;
2 2
2 2
3
1
x y xy
x y xy
+ + =
− + =
;
( )
( )
2 2
2 2
2
2 1
x
x y
y
y
x y
x
+ =
− =
;
2 2
2
2 1
2 2
x y xy
x xy
− − =
+ =
;
Tìm
m
để hệ
2 2
2 2 4 3 2
2 3 8
2 4 5 4 4 12 105
x xy y
x xy y m m m
− − =
+ + = − + − +
có nghiệm.
VII. HỆ BẬC 2 MỞ RỘNG
(
)
( )
, 0
, 0
f x y
g x y
=
=
(
)
( ) ( )
(
)
( )( )
, 0 , 0
, , 0 0
f x y f x y
f x y g x y ax by c px qy r
= =
⇔ ⇔
α + β = + + + + =
Bài tập.
2
2
2 4 2 2 0
3 6 3 0
x xy x y
x xy x y
+ − − + =
+ − + =
;
(
)
(
)
( )
( )
1 2 1 6
1 3 2 2 3
x y x y
x y x y
+ + + − =
− + + + =
;
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
+ + = −
+ + + =
;
2 2
2
2 2 3 0
3 1 0
x xy y x
xy y y
+ + + =
+ + + =
;
2 2
2
2 2 8 6 0
4 1 0
x y x y
x xy x
+ + + + =
+ + + =
;
2 2
2 2
2 5 2 1 0
4 12 12 10 0
x xy y x y
x xy y x y
+ + + + + =
+ + + + + =
;
2 2
2 2
2 4 2 3 3 2 0
3 32 5 0
x xy y x y
x y
+ + + + − =
− + =
;
VIII. HỆ ĐỒNG BẬC
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
+ =
+ + =
(1)
(1)
⇔
( )
3 3
3 3
3 2
2 2 3 3 3
1
1
2 2 1 0
2 2
x y
x y
x x x
x y xy y x y
y y y
+ =
+ =
⇔
− − + =
+ + = +
⇔
{ }
( )
3 3
3
3
3 3
1
2. 3
3
1 1
; ; , ;
1
3 3
2 2
1; 1;
2
x y
x y
x
y
+ =
⇔ ∈
∈ −
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
204
Bài tập.
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y
+ =
+ = +
;
2 2
8 8 10 10
1x y
x y x y
+ =
+ = +
;
( )( )
3 3
2 2
2 9 2 3
3
x y x y xy
x xy y
− = − +
− + =
( )
2 2
5 5
5
11
x y
x y x y
+ =
+ = +
;
3 2
3 2
3 4
3 4
x x y
y y x
+ =
+ =
;
( )
3 3
9
6
x y
xy x y
+ =
+ =
;
3 2
3 2
3 20
3 7
x x y
y y x
+ =
+ =
;
IX. SỬ DỤNG PHÉP CỘNG VÀ PHÉP THẾ
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
+ + = +
+ = +
(TSĐH 2008)
⇔
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
4
0; 4
6 6 2 9
2 9
4
17
1
1
6 6
1
6 6
6 6
2
4
2
2
x
x x
x x x
x xy x
xy x x
y
xy x x
xy x x
= −
= = −
+ + = +
+ = +
⇔ ⇔ ⇔
= + −
=
= + −
= + −
Bài tập.
( )
(
)
( )
( )
2 2
2 2
7
175
x y x y
x y x y
− − =
+ + =
;
2
2
4 2 3
2 2
x xy
y xy
+ =
+ = −
;
3 3 3
2
2
1 2
2
x y y
x x
y
y
+ =
+ =
;
( )
3 3
5 5
2 6
30 32
x y xy x y
x y xy
+ + + =
+ + =
;
(
)
3 3
6
18 27
x x y
x y y
+ =
+ + =
;
2 2
3 3 2
2
2
x y
x y xy x y
+ =
+ + = +
;
2 2
3
1
2
x y xy
x x y
+ − =
= +
;
2 2
3 3
3
2 2
x y xy
x y y x
+ + =
+ = +
;
3 3
5 5
1
0
y x
x y xy
− =
− + =
;
2 4 3
2 2
2 0
2 2 1
x y xy
x y xy
+ − =
+ − =
X. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
( )
3 3 2 2 3
1 1
1 1 4
1 4
x x
y y
x y xy x y y
+ + + =
+ + + =
(1)
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3 2
1 1
1 1
1
4
4
2
1
1
1
1 1
1
2
4
4
x x
x x
x
y
y
y
y
y
x
y
x x
x
x x
x
y y
y
y
y y
+ + + =
+ + + =
+ =
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
+ =
+ + =
+ + + =
Bài tập:
2
2
3 0
2 0
xy y x y
x xy y
+ + − =
+ − =
;
(
)
(
)
5 5 3 3
2 2
7 31
3
x y x y
x xy y
+ = +
+ + =
;
2 2
2 2
2 3
1
x x y
x y
+ − =
+ =
;
Hệ phương trình đại số
205
1 3
1 3
1 2
1 2
x y
x
xy x
x y y
xy y
−
−
=
− −
+ −
=
+ −
;
( )
2 2
1
1 4
1
4
x y
xy
x y
xy
xy xy
+ + =
+
+ + =
;
1
13
1
12
y
x
xy
xy y x
y
x
xy
xy y x
+ + + =
− − + =
;
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1
x y x x
x y x y xy
+ + =
− + =
;
(
)
2 2
2 2 2
1 2
3 1
x y
x y xy x
+ =
+ = −
;
(
)
2 2
3 2
2 1
2 6 1
x y
x xy
+ =
+ =
;
3 2
2 2
3
3 1
x xy y
x y
+ =
+ =
;
3
3 3 3 3
2
2 3
x y xy
x y x y
+ =
+ =
;
(
)
(
)
( )( )
2 2 2 2 2 2
1 18
1 208
x y xy xy
x y x y x y
+ + =
+ + =
;
2 2
10
3
5
x y x y
x y x y
x y
+ −
+ =
− +
+ =
;
( )
( )
1
1 1 2
1
2 1 1
y x x
y
x y x
y
+ + + =
+ = + +
;
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 2
1 2 1
1
1 24
y x x y
x y
x y
+ = +
+ + =
;
( )
1
1 5
1
4
x y
xy
xy
xy
+ + =
+ =
;
( )
( )
2
2 2
1
1 6
1
1 18
x y
xy
x y
xy
+ + =
+ + =
;
( )
( )
2
2 2
3
3 3
1
1 9
1
1 27
x y
xy
x y
xy
+ + =
+ + =
;
2 2
2 2
4
1 1
4
x y x y xy
y
x
x y
x y
+ + + =
+ + + =
;
( )
( )
2
2
2 2
2 2
15
85
y
x
x y
y x
y
x
x y
y x
+ + =
+ + =
;
( )
2 2
2
3
1 1
1
1 6
y
x
x y
x y
xy
+ =
+ +
+ + =
;
(
)
( )
2
2 2
2 6 2 0
1
1 8
xy x y x y
x y
xy
+ − + + =
+ + =
;
XI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 ẨN VỚI DẠNG TỔNG, TÍCH CƠ BẢN:
;
u v a uv a
v w b vw b
w u c wu c
+ = =
+ = =
+ = =
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
1 0
1 2
1 2
xy y
yz z x y
xz z x
+ + =
+ + = −
+ + =
(1)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 2
1 1 3
x y x
y z x
z x x
+ + =
+ + =
+ + =
⇔
( )
( )
( )
( )
( )
0 ; 1
1 1 0
1 2 1
3 1 2 1
x y z
x y x
z x
y x
= = = −
+ + = ≠
+ = +
+ = +
( )
( )
( )
( )
2
0 ; 1
0
2 1 3 0
1
3 1 2 1
1
1 2 1
x y z
x
x x
y
y x
z
z x
= = = −
=
+ = ≠
⇔ = −
+ = +
= −
+ = +
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
206
Bài tập:
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
187
154
238
x y y z
y z z x
z x x y
+ + =
+ + =
+ + =
;
9
1 1 1
1
27
x y z
x y z
xy yz zx
+ + =
+ + =
+ + =
;
1
4
9
x xy y
y yz z
z zx x
+ + =
+ + =
+ + =
;
(
)
(
)
( )( )
( )
( )
45
63
54
x y x y z
y z x y z
z x x y z
+ + + =
+ + + =
+ + + =
;
(
)
( )
( )
5 6
7 12
3 4
xy x y
yz y z
zx z x
= +
= +
= +
;
2
2
2
x y xy
y z yz
z x zx
+ =
+ =
+ =
;
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
xy z x z
yz x y x
zx y z y
+ =
+ =
+ =
2
2
2
x y
z
y z
x
z x
y
+ =
+ =
+ =
;
6
5
12
7
4
3
xy
x y
yz
y z
zx
z x
=
+
=
+
=
+
;
24
5
24
7
4
xyz
x y
xyz
y z
xyz
z x
=
+
=
+
=
+
;
1 1 1
2
1 1 1
3
1 1 1
4
x y z
y z x
z x y
+ =
+
+ =
+
+ =
+
;
1
2
1
3
1
4
yz
x
y z
zx
y
z x
xy
z
x y
+ =
+
+ =
+
+ =
+
;
2
2
2
4 2 0
2 2 0
2 1 0
x yz z
x xy z
zx y y
+ + =
+ + =
+ + + =
;
2 2 2
2
7
21
x y z
x y z
xz y
+ + =
+ + =
=
;
2 2 2
6
18
4
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
;
2
3
4
x y xy
y z yz
z x zx
+ + =
+ + =
+ + =
;
2
2
2
2
2
2
x yz x
y zx y
z xy z
+ =
+ =
+ =
;
xyz x y z
yzt y z t
ztx z t x
txy t x y
= + +
= + +
= + +
= + +
;
2 3
2 3
2 3
0
0
0
a x ay z a
b x by z b
c x cy z c
+ + + =
+ + + =
+ + + =
;
2 2
2 2
2 2
a x ay z a
b x by z b
c x cy z c
+ + =
+ + =
+ + =
;
XII. HỆ CHỨA CĂN THỨC
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
30
35
x y y x
x x y y
+ =
+ =
(1)
(1)
⇔
(
)
( ) ( )
3
30
3 35
xy x y
x y xy x y
+ =
+ − + =
⇔
3
30
3 35
uv
u uv
=
− =
(với
u x y
v xy
= +
=
)
⇔
3
30 5
5 4 9
6 9 4
125
6
uv x y
u x x
v y y
u
xy
= + =
= = =
⇔ ⇔ ⇔ ∨
= = =
=
=
Hệ phương trình đại số
207
Bài tập:
(
)
3 3
1
y x x
x y x
+ + =
+ = +
;
1
1
1 1 1
x
x
y y
xy y x
+ + =
+ + + − =
;
2
2
x x y y xy
x y
+ =
+ =
;
2 2
1
2
x y
x y x y
+ =
+ + − =
;
( )
(
)
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy
x y
+ = +
+ =
;
2
2
1
x x x y y
x y x y
+ + − + =
+ = − +
;
2 2
1
1
x y x y x y
x y
+ + − = + −
+ =
;
4
3 3
5
4
5
35
5
x y
x y
+ =
+ =
;
2
4
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
+ − − = −
+ − + =
;
3
3
4
4
1
1
x y
x y
+ =
+ =
;
5
2
10
y
x
y x
x y
+ =
+ =
;
1
3
x
xy x
y
xy x y
+ = +
+ + =
;
7
1
78
y
x
y x
xy
x xy y xy
+ = +
+ =
;
2
2
3
3
y
x
y x
x y xy
+ =
− + =
;
1 7 4
1 7 4
x y
y x
+ + − =
+ + − =
;
9 7 4
9 7 4
x y
y x
+ + − =
+ + − =
;
4
4
1 1
1 1
x y
y x
+ − =
+ − =
;
2 2
2 2
1 1 1
1
1 1
2
x y y x
x x y y
− + − =
− − − =
;
2 2 2 2
1
1
x y x y
x y x y
+ − − =
+ + − =
;
2 2 2 2
2
4
x y x y
x y x y
+ − − =
+ + − =
;
2 2
2 2
x y
x y
+ − =
− + =
;
2
3 3 4
x y
x y
+ =
+ + + =
;
5 2 7
5 2 7
x y
y x
+ + − =
+ + − =
;
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x y x x y y x y
x x y y x y x y
+ + + + + + + + + =
+ + + + + + + − − =
;
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
+ + =
+ =
;
Tìm
a
để các hệ sau có nghiệm:
1 2
3
x y a
x y a
+ − + =
+ =
;
4 1 4
3
x y
x y a
− + − =
+ =
;
2
2 2
3
5 5 3
x y a
y x x a
+ + =
+ + = + + −
;
(
)
2 2
1 1 1
1
x y a x y
x y xy
+ − − + − =
+ = +
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
208
XIII. HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH
Bài 1.
Giải hệ phương trình:
a.
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
+ = + +
+ = + +
+ = + +
(1)
b.
2
2
2
1
1
1
x y
y z
z x
= +
= +
= +
(2)
a.
Xét hàm
( )
3 2
f u u u u
= + +
⇒
( ) ( )
2
2 2
3 2 1 2 1 0 ,
f u u u u u u
′
= + + = + + ≥ ∀
suy ra hàm
(
)
f u
đồng biến
u
∀ ∈
»
. Không mất tính tổng quát giả sử
x y z
≥ ≥
⇒
(
)
(
)
(
)
f x f y f z
≥ ≥
⇔
2 1 2 1 2 1
z x y z x y x y z
+ ≥ + ≥ + ⇔ ≥ ≥ ⇒ = =
Khi đó hệ (1)
⇔
( )( )
2
3 2
1
1
2 1
1 1 0
x y z
x y z
x y z
x y z
x x x x
x x
= =
= =
= = =
⇔ ⇔
= = = −
+ = + +
− + =
b.
Do
2 2 2
, , 0
x y z
≥
nên
1 0; 1 0; 1 0
y z x
+ ≥ + ≥ + ≥
⇒
, , 1
x y z
≥ −
.
•
Nếu
0
x
≥
thì
2 2
1 1 0 1 1 0
z x z y z y
= + ≥ ⇒ > ⇒ = + > ⇒ >
. Không mất tính
tổng quát giả sử
0
x y z
≥ ≥ >
⇒
2 2 2
0
x y z
≥ ≥ >
⇒
1 1 1
y z x
+ ≥ + ≥ +
y z x
⇔ ≥ ≥
suy ra
x y z
= =
và
2
1
x x
= +
⇒
1 5
2
x y z
+
= = =
•
Nếu
1 0
x
− ≤ ≤
thì
2 2
1 1 0 1 1 0
y x y z y z
+ = < ⇒ ≤ ⇒ + = < ⇒ ≤
. Không mất
tính tổng quát giả sử
1 0
x y z
− ≤ ≤ ≤ ≤
⇒
2 2 2
0
x y z
≥ ≥ >
⇒
1 1 1
y z x
+ ≥ + ≥ +
y z x
⇔ ≥ ≥
suy ra
y z
=
thế vào hệ suy ra
1 5
2
x y z
−
= = =
Kết luận:
Hệ đã cho có 2 nghiệm
1 5
2
x y z
+
= = =
;
1 5
2
x y z
−
= = =
Bài tập:
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
= + + −
= + + −
= + + −
;
2
2
2
2 5 2
2 5 2
2 5 2
x y y
y z z
z x x
= + +
= + +
= + +
;
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
x y y
y z z
z x x
− + − =
− + − =
− + − =
;
3 2
3 2
3 2
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
x y y
y z z
z x x
− + − =
− + − =
− + − =
; ;
(
)
( )
( )
3 2
3 2
3 2
3 3 ln 1
3 3 ln 1
3 3 ln 1
x x x x y
y y y y z
z z z z x
+ − + − + =
+ − + − + =
+ − + − + =
;
( )
( )
( )
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1 4
1 4
1 4
x x
y y
z z
y
z
x
+
+
+
=
=
=
Hệ phương trình đại số
209
XIV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài mẫu:
Giải hệ phương trình:
log log
log log
log log
512
8
2 2
y y
z z
x x
z x
x y
y z
x z
y x
z y
+ =
+ =
+ =
Sử dụng công thức
log log
m m
b a
a b=
⇒
log
loglog
256 ; 4 ; 2
y
x
z
z
yx
x y z= = =
Lấy logarit cơ số 2 ta có:
2 2 2
1
log log 8 ;log log 2 ; log log
2
y z x
z x x y y z
= = =
⇔
2 2 2 2 2 2
2 2 2
log log log log log log
1
8 ; 2 ;
log log log 2
z x x y y z
y z x
= = =
. Nhân 3 đẳng thức ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
log log log 8 log 16 ; log 1; log 4
x y z x y z
= ⇒ = = =
.
Chú ý:
2 2 2
log , log ,log
x y z
cùng dấu suy ra
( )
( )
(
)
{
}
1 1 1
; ; 16; 2; 4 , ; ;
16 2 4
x y z ∈
Bài tập:
( )
( )
4
4
4
4
3 1
8 6 0
y x
x y
x y
x y
−
−
+ =
+ − =
;
2 2
2 1 4 1 3
2 7 6 0
3 3 3 0
x y y x y x
x xy y
+ + + + +
+ + =
− + =
;
2 2 12
5
x y
x y
+ =
+ =
;
11
3.2 2.3
4
3
2 3
4
x y
x y
+ =
− = −
;
( )
5
4 3.4 16
2 2 3 2
y x
x
y y
x y
−
− =
− = −
;
( )
( )
2
2
2
1
8
1
2
2 4 3 2
3 7
2
2 2
y
x
x y
y x
x y
+
+
+
− = −
+ + =
;
(
)
( )
.2 1
2
y x
x y
x y
x y
−
−
+ =
+ =
;
2
2
3 2 77
3 2 7
x y
y
x
− =
− =
;
( )
2
2 3 4
2
3 5
4 1 3 8
x x y
y y y
− − − −
=
− − + + ≤
;
( )
2
1
4 1
5 125
x y
x y
− −
+
=
=
;
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
− =
− + =
;
2 2
2 4
log 2 log 3
16
x y
x y
+ =
+ =
;
( ) ( )
2 2
3 1
3
4
2
log 2 log 2 1
y
x y
x y x y
+ = +
+ + − =
;
(
)
2 log log 5
8
x y
y x
xy
+ =
=
;
2 2
2
2
9
8
log log 3
y
x
y x
x y
+ =
+ =
;
3
2 2
3
2
2
5log log log 2
log log 8
x y
y x
= −
+ =
;
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
210
(
)
( )
log 3 2 2
log 3 2 2
x
y
x y
y x
+ =
+ =
;
log log log 4 2 log 9
5
a a a a
x y
x y a
+ + = +
+ =
;
4
7
log log
6
16
x
x y
xy
− =
=
;
4 1
2
2 2
log log 0
2 8
x y
x y
+ =
− =
;
(
)
( ) ( )
2 2
lg 1 lg13
lg lg 3lg 2
x y
x y x y
+ − =
+ = − +
;
2 4
2 2
1
log log 0
2
5 4 0
x y
x y
− =
− + =
;
( )
3 3 3
27
log log 2 log 2
2
log
3
x y
x y
+ = +
+ =
;
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
5
lg lg lg
2
xy a
x y a
=
+ =
;
( )
2
lg 1
lg lg lg 2
x y
y x
+ =
− =
;
2
4 2
lg 2 lg 2 lg 1
2
x y y
y
x
+ = + +
− = +
;
( )
2
lg 5 lg 2 lg 3
7 8 0
x x
x x
− + = +
+ − =
;
( )
2
3 9 81
lg lg 2 lg 3
y x
x y x
=
+ − =
;
( ) ( )
2 2
lg lg 4
1
lg lg 3
log 5 log
x
y
x y x y
−
= −
−
− = − +
;
3
12
log 1
3
y
y x
x
− =
=
;
(
)
(
)
2
1 3
2
1
log log 2
2 512
y x
x y x y
+
+ + − =
=
;
3
2
loglog
2 3 1
2 3 4
yx
x y
− =
− =
;
( )
( )
1
5
2
2 2
log
log
1
log log
2
2 5
x y
x y
x y
+
−
+ =
=
;
(
)
(
)
3 2 1 1
3 2
2
log log log log 1
4
x y
xy
+ =
=
;
( )
3 lg
26
1
2
10 250
x y
y
x y x y
x y
− −
−
− + + =
−
=
;
( )
4 2 2
2 2
2 log 1 log log 2
log 5 log 6
x
y y
y
y
x
y x
+ + = −
+ =
;
(
)
(
)
2 2 4 2
2 4
2
2 log log 2 log 2 log 3
3
log 2 log 0
3 1
x y x y x
xy y
x
x y x
+ − = + −
+
− =
− + −
;
( )
( ) ( )
1 lg
10 60
lg lg 1 lg 3
x y
x y x y
+ +
=
− + + = +
;
(
)
( )
( )
2 2
3
1 log
2 2
3 3
3 15
log log 0
x y
x y x y
+ +
=
− − − =
;
( )
( )
5
5
.3
27
3log
y x
x y
x y x y
−
+ =
+ = −
;
( )
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
=
− =
;
(
)
2
2
3
2 10
3 1 log 1
27
y
y x
x
+
+ =
=
;
5
5
7 .log 2
4.7 log 2
y
y
x
x
= −
+ =
;
( )
2 2
3
4 32
log 1
y
x
y x
x y
+
=
− =
;
( )
2
3 .2 576
log 4
x y
y x
=
− =
;
Hệ phương trình đại số
211
2
log
2 1
y y
y x
x x
−
=
− =
;
2
4
2 2 1
1 6 log
2 . 2
x x
x y
y y
+
= +
= +
;
3
log 2
1
2 3 56
3.2 3 87
x y
x
x x y
+ +
+ +
+ =
+ =
;
3
log
4
3
log 3 7
625
y
y
x
x
+ =
=
;
20 300
3
3
log 3 1
x
y
x y
=
− =
;
( )
lg 2
2
5 1
3 26.3 27
x y
x y
x y
−
−
−
=
− =
;
( )
2
2 log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y
=
= +
;
2
1
2 2
2 log 3 15
3 .log 2 log 3
y
y y
x
x x
+
− =
= +
;
5
2
log 2 log
log 3
log
3
2
x
y
y
x
y
x
=
=
;
( )
9
log 4
2 2
8 1
4 7.2 8
x y
x y x y
−
− −
=
− =
;
( )
9 3
2 .8 2 2
1 1 1
log log 9
2 2
x y
y
x
−
=
+ =
;
( )
3
2
log 3
2 12 3 81
x
x y
y y y
+ =
− + =
;
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
+ =
− =
;
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y
+ = +
+ = +
;
(
)
( )
2 1 2 2 1
3 2
1 4 5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
− − + − +
+ = +
+ + + + =
;
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
6 0
x y
x y y
− =
+ − =
;
(
)
1 2 log 2 log 1
2 3
x y
xy
xy
x y
+
+ =
− =
;
3 3
log log
2 3
9 27
20. 7. 81
log log 3
y x
x y
x y
+ =
+ =
;
( )
log
5
2
.
log .log 3 2
y
x
y
y x x
y y x
=
− =
;
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
− + =
− =
;
2 2
2 2
2
2
log log 0
3 5 9 0
3
x x
x
x x
− <
− + + >
;
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
=
+ =
;
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log log 2 1 log 3
log 1 log 4 2 2 4 log 1
x y x x y
x
xy y y x
y
+ − + = +
+ − + − + = −
;
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
;
( ) ( )
( )
2
3
3 3
2
2
2 5
log 1 log 1 log 4
log 2 5 log 2 5
x x
x x
x x a
− +
+ − − >
− + − =
;
Tìm
a
để hệ có nghiệm:
2 2
2 3
log .log
x y a
x y x y b
− =
+ − =
;
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
0
x y
x y ay
− =
+ − =
;
(
)
2 3
3 3
2
3 3 3
1
3 3
3
x y x y
x y
y a x
+ +
+
−
+ =
+ =
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
212
XV. HỆ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
Bài 1.
Tìm
a
để hệ có nghiệm:
( )
( )
2 2
2 2
1
2 7 1
1
3 10 5 2 2
a
x xy y
a
x xy y
−
+ − ≥
+
+ − ≤ −
Nhân hai vế của (1) với (–2) rồi cộng với (2) ta có:
( )
2
4
3
1
x y
a
−
+ ≤
+
(3)
Điều kiện cần:
(3) có nghiệm
⇔
1 0 1
a a
+ < ⇔ < −
Điều kiện đủ:
Với
1
a
< −
thì
1
2
1 1
1 1
a
a a
−
= − + < −
+ +
và hệ sau có nghiệm
( )
( )
(
)
(
)
{ }
2 2
2 2
2
2 2
2 7 1
2 7 1
3 3
1 1
, ; , ;
2 2 2 2
3 10 5 2
3 0
x xy y
x xy y
x y
x xy y
x y
+ − = −
+ − = −
−
⇔ ⇔ ∈ −
+ − = −
+ =
Từ đó suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.
Kết luận:
Hệ bất phương trình có nghiệm
⇔
1
a
< −
Bài 2.
Tìm
a
để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
2
2 2
2
1
x
x y x a
x y
+ = + +
+ =
Điều kiện cần:
Nếu
(
)
,
x y
là một nghiệm thì
(
)
,
x y
−
cũng là nghiệm của hệ
nên để hệ có nghiệm duy nhất thì
0
x
=
. Thế
0
x
=
vào hệ suy ra
0 2
a a
= ∨ =
Điều kiện đủ:
Với
2
a
=
dễ thấy hệ có 2 nghiệm
(
)
(
)
0; 1 , 1;0
−
(loại)
Với
0
a
=
thì hệ
⇔
( )
( )
2
2 2
2 1
1 2
x
x y x
x y
+ = +
+ =
Từ (2) suy ra:
1; 1
x y
≤ ≤
, khi đó:
0 2
2 2 1
x
x x x y x
+ ≥ + = + ≥ +
, từ đó hệ có nghiệm duy nhất
(
)
(
)
; 0;1
x y =
Bài tập:
Tìm
a
để hệ có nghiệm duy nhất:
2
2 2 2
2
4
xyz z a
xyz b
x y z
+ =
+ =
+ + =
;
2
2 2
1 sin
tan 1
ax a y x
x y
+ − = −
+ =
;
3
2 2
2
log
3
y a
x y a
x a
x y
−
− + =
−
+ =
;
Tìm
a
để hệ có nghiệm
b
∀
:
( ) ( )
2 2
2
1 1 2
1
a y
x b
a bxy x y
+ + + =
+ + =
;
( )
( )
5 5
4 2
1 1
e 1
bx
a x y
a by a
− + =
+ + =
;
( )
( )
2 2
3 2
2 1
1 1
bx
a by a
a x y
+ + =
− + =
Hệ phương trình đại số
213
XVI. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Bài 1.
Giải hệ phương trình
4 2
1 1
x x y
y y x
+ + + =
+ + + =
Từ điều kiện
0, 0
x y
≥ ≥
⇒
4 2 ; 1 1
y x
+ ≥ + ≥
và hệ
⇔
0
x y
= =
Bài 2.
Giải hệ phương trình
2 2 2
2 3
2 0
2 4 3 0
x y x y
x x y
− + =
− + + =
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
3 3
2 2
1 1 1 1
1
1 1
0
2 1 1 0 0 2 1 1 2 1 0
x x
y y y y
y
x x
x
x y x y x
= ≤ ⇒ − ≤ = ≤ ⇒ − ≤
= −
+ +
⇔ ⇔
=
− + + = = − + + ≥ − ≥
Bài tập:
2
4
2
4
2 1 4 3
2 1 4 3
x x y
y y x
= − ⋅ −
= − ⋅ −
;
4 4 4
1x y z
x y z xyz
+ + =
+ + =
;
( )
( )
2 2
4
4
1 1 1
xy x y
x y
= +
+ + − =
;
2
2
2
2
1
2
1
2
1
z
x
z
x
y
x
y
z
y
=
+
=
+
=
+
;
2
2
3
4 2
4
6 4 2
2
1
3
1
4
1
x
y
x
y
z
y y
z
x
z z z
=
+
=
+ +
=
+ + +
;
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
yz x z
zx y x
xy z y
= − −
= − −
= − −
;
2
4
2
4
1
2 3
1
2 3
x
y
y
x
+ =
+ =
;
2
2
2
2 1
2 1
2 1
x y
y z
z x
= +
= +
= +
;
( )
( )
2
2
4
2
2
4
1
1 1 8
1
1 1 8
x
y
y
x
+ + =
+ + =
;
2 2 2 2 2 2
3
1
3
x y z
xyz
x y y z z x
+ + =
=
+ + =
;
3
9
3 6
x y
x y
=
+ =
( )
(
)
(
)
( )
( )( )
2 4 7
2 4 7
1 1 1 1
1 1 1 1
x x x y
y y y x
+ + + = +
+ + + = +
;
1 2 3
1 2 3
x y
y x
+ = + +
+ = + +
;
2 2
2
4 6
2 8 3 7
x y xy
x y x
+ + =
+ = +
;
2
2
2
2
2
2
x
y
x x
y
z
y y
z
x
z z
=
+ −
=
+ −
=
+ −
;
4
4
4
1
1
1
x
y
x x
y
z
y y
z
x
z z
=
+ −
=
+ −
=
+ −
;
4
6
4
6
4
6
2
3 5
2
3 5
2
3 5
x
y
y
z
z
x
+ =
+ =
+ =
;
2
2
2
2 1
2 1
2 1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
=
−
=
−
=
−
;
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
214
XVII. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
Bài 1.
Tìm
a
để hệ phương trình
1 2
3
x y a
x y a
+ + + =
+ =
có nghiệm.
Nếu
a
< 0 thì hệ vô nghiệm. Xét
a
≥
0:
Đặt
1 0
2 0
u x
v y
= + ≥
= + ≥
. Hệ
⇔
( )
2 2
, 0
3 1
u v
u v a
u v a
≥
+ =
+ = +
(
)
(
)
2 2
: 3 1
C u v a
+ = +
là họ các đường tròn tâm O(0, 0) bán kính
( )
3 1
R a
= +
(
)
:
d u v a
+ =
là họ các đường thẳng // với nhau tạo với
O
u
góc 135
°
Xét đường thẳng
( )
1
( ) : 3 1
d u v a
+ = +
đi qua A(
R
, 0); B(0,
R
)
∈
(C)
và đường thẳng
( )
2
( ) : 6 1
d u v a
+ = +
tiếp xúc với (C) tại M
Nhìn vào đồ thị
⇒
để hệ có nghiệm thì (
d
) cắt (C) tại điểm có tọa độ dương
⇔
(
d
) nằm giữa (
d
1
) và (
d
2
)
⇔
( ) ( )
3 1 6 1
a a a
+ ≤ ≤ +
⇔
2
2
3 3 0
3 21
3 15
2
6 6 0
a a
a
a a
− − ≥
+
⇔ ≤ ≤ +
− − ≤
Bài 2.
Cho hệ bất phương trình:
2
2
2 0
4 6 0
x x a
x x a
+ + ≤
− − ≤
a.
Tìm
a
để hệ có nghiệm.
b.
Tìm
a
để hệ có nghiệm duy nhất.
( )
( )
2
2
2
2
2
2 0
4
4 6 0
6
a f x x x
x x a
x x
a g x
x x a
≤ = − −
+ + ≤
⇔
−
≥ =
− − ≤
(P
1
):
y
=
f
(
x
) là 1 parabol quay bề lõm
xuống dưới và có đỉnh là (
−
1, 1)
(P
2
):
y
=
g
(
x
) là 1 parabol quay bề lõm lên trên và cắt (P
1
) tại
8
0;
7
x x
−
= =
a.
Hệ đã cho có nghiệm
⇔
Đường thẳng
y
=
a
đi qua miền gạch chéo tạo bởi
(P
1
) và (P
2
)
⇔
0
≤
a
≤
1.
b.
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
⇔
Đường thẳng
y
=
a
cắt miền gạch chéo tại
một điểm duy nhất
⇔
a
=
0 hoặc
a
=
1.
3a+3
v
O
u
3a+3
6a+6
6a+6
y
O
x
-1
-2 2 4
1
-2/3
Hệ phương trình đại số
215
XVIII. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
Bài 1.
Giải hệ phương trình
( )
( )
2 2
1 1 1
1 1 2
x y y x
x y
− + − =
− + =
Điều kiện:
1 ; 1
x y
− ≤ ≤
. Đặt
[
]
cos ; cos ; , 0;
x y
= α = β α β∈ π
thì hệ
( )
( )
( )
sin 1
0
2 2
1
1 cos 1 cos 2
sin cos sin cos 1 0 0
x
y
π π
α + β =
α + β = α =
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
− α + β =
α − α − α α − = β =
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
{
}
2 2 2
2 ; 2 ; 2
x x y y y y z z z z x x
+ = + = + =
(1)
Dễ thấy
0
x y z
= = =
là một nghiệm của hệ (1) và
1; 1; 1
x y z
= ± = ± = ±
không là
nghiệm của (1). Khi đó biến đổi (1)
⇔
2 2 2
2
2
2
; ;
1 1 1
y
x
z
y z x
x y z
= = =
− − −
Đặt
(
)
tan , ; ;
2 2 4
x
π π π
= α α ∈ − α ≠ ±
suy ra
tan 2 ; tan 4 ; tan 8 tan
y z x
= α = α = α = α
⇒
8
7
k
k
π
α = α + π ⇔ α =
⇒
( )
2 4
; ; tan ; tan ; tan ; 0; 1; 2; 3
7 7 7
k k k
x y z k
π π π
= = ± ± ±
XIX. GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.
Tìm
m
để hệ bất phương trình có nghiệm
( )
( )
2
2
2 2 0
7 7 0
x m x m
x m x m
− + + <
+ + + <
(1)
(1)
⇔
( )( )
( )( )
2 0
7 0
x x m
x x m
− − <
+ + <
. Gọi
{
}
{
}
{ } { }
1 2
3 4
min 2; , max 2;
min 7; , max 7;
x m x m
x m x m
= =
= − − = − −
, khi đó:
(1) có nghiệm
⇔
2; 7
m m
≠ ≠
và
(
)
(
)
1 2 3 4
; ;x x x x
≠ ∅
∩
⇒
0
m
<
Ngược lại với
0
m
<
thì dễ thấy hệ luôn có nghiệm
0
x
=
. Vậy ycbt
⇔
0
m
<
Bài 2.
Giải hệ bất phương trình:
( )
( )
2
3 2
5 4 0 1
3 9 10 0 2
x x
x x x
+ + <
+ − − >
(1)
⇔
4 1
x
− < < −
. Đặt
( )
3 2
3 9 10
f x x x x
= + − −
. Ta có
( )
(
)
2
3 2 3
f x x x
′
= + −
(
)
0 3; 1
f x x x
′
= ⇔ = − =
. Lập bảng biến thiên với chú ý
(
)
(
)
4 10; 3 17;
f f− = − =
(
)
1 1
f
− =
suy ra
(
)
(
)
0 , 4; 1
f x x
> ∀ ∈ − −
. Vậy nghiệm của hệ (1), (2) là
(
)
4; 1
− −
Bài tập:
Tìm
a
để hệ có nghiệm
2
2
2 1 0
4 2 3 0
x x a
x x a
− + − ≤
+ + − ≤
;
( )
2
2
7 8 0
1 3 3 2
x x
a x a x
+ − <
+ > + −
(
)
( )
2 2 2
2 2
2 3 6 0
2 5 5 6 0
x a x a
x a x a a
+ − − <
− + + + + ≥
( )
2
2 2
2 1 0
2 1 0
x x a
x a x a a
− + − ≤
− + + + ≤
2
3 2
3 4 0
3 15
x x
x x x a a
− − ≤
− ≥ +
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
216
XX. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC & CAO ĐẲNG
Bài 1.
(TSĐH 2008 – khối A)
Giải hệ PT:
( )
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
+ + + + = −
+ + + = −
(1)
Đặt
2
u x y
v xy
= +
=
thì hệ (1)
⇔
2
2
2
5
0
0
4
5
5 1
4
4
u uv v
u u uv
u
v u
u v
u v
+ + = −
− − =
=
⇔ ⇒
= −
+ = −
+ = −
Xét
( )
2 2
3
3
3
0
0
5 25
; ;
5
5 5
4 16
4
4 4
u
x y y x
x y
v
xy x
=
+ = = −
⇔ ⇔ ⇔ = −
= −
= − =
Xét
( )
2
2
2
1 1
1 1
1
2 2
5 3
3 3
2 1 0
4 2
2 2
u x y
v u x
v u
u v y
u
v xy
= − + = −
= − =
= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = − = −
+ =
= − = −
Bài 2.
(TSĐH 2008 – Khối D)
Giải hệ PT:
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
+ + = −
− − = −
Giải
Điều kiện:
1, 0
x y
≥ ≥
. Hệ phương trình
⇔
(
)
(
)
(
)
( )
2 1 0 1
2 1 2 2 2
x y x y
x y y x x y
+ − − =
− − = −
Từ điều kiện suy ra
0
x y
+ >
nên
(
)
(
)
1 2 1 0 2 1 3
x y x y⇔ − − = ⇔ = +
Thay (3) vào (2) ta được
(
)
(
)
1 2 2 1 2
y y y y
+ = + ⇔ =
(do
1 0
y
+ >
)
5
x
⇒ =
Vậy nghiệm của hệ là
(
)
(
)
; 5; 2
x y =
.
Bài 3.
(TSĐH 2003 – Khối B)
Giải hệ phương trình
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
+
=
+
=
Giải
Hệ
( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 2 3 2
3 2
3 2 3 3 0
, 0
, 0 , 0
yx y yx y
yx y
xy x xy x y y x x y xy x y
x y
x y x y
= + = +
= +
⇔ = + ⇔ − = − ⇔ − + + =
>
> >
3 2
3 2 0
x y
x x
=
⇔
− − =
( )
( )
2
1
1 3 2 2 0
x y
x y
x x x
=
⇔ ⇔ = =
− + + =
Hệ phương trình đại số
217
Bài 4.
(TSĐH 2003 – Khối A)
Giải hệ phương trình
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
− = −
= +
(1)
Giải
Điều kiện
0 , 0
x y
≠ ≠
.
(1)
⇔
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
− = −
= +
( )
3
3
3
1 1
1 0 1 0
2 1 0
2 1
2 1
x y
x y
xy xy
x x
y x
y x
− + = + =
=
⇔ ⇔ ∨
− + =
= +
= +
•
Ta có
( )
( )
3 2
1
1 5
2 1 0
1 0
2
x y
x y
x y
x x
x y x x
x y
= =
=
=
⇔ ⇔
− ±
− + =
− + − =
= =
•
Xét hệ
3
4
3
1
1
1
1 0
2
1
2 0
2 1
y
y
x
xy
x
x
x x
y x
x
= −
+ =
= −
⇔ ⇔
−
+ =
+ + =
= +
Xét hàm số
( ) ( )
4 3
3
1
2 4 1 0
4
f x x x f x x x
′
= + + ⇒ = + = ⇔ = −
.
Lập BBT ta có:
( )
3
1
Min 0
4
f x f
= − >
nên hệ này vô nghiệm.
Kết luận:
Vậy hệ có 3 nghiệm
( )
1 5 1 5 1 5 1 5
1,1 , , , ,
2 2 2 2
− + − + − − − −
Bài 5.
(TSĐH 2004 – Khối D)
Tìm
m
để hệ
1
1 3
x y
x x y y m
+ =
+ = −
có nghiệm.
Giải
Đặt
0; 0
u x v y
= ≥ = ≥
. Sử dụng
( ) ( )
3
3 3
3
u v u v uv u v
+ = + − +
thì
YCBT
3 3
1
1 3
0, 0
u v
u v m
u v
+ =
⇔ + = −
≥ ≥
có nghiệm
1
0, 0
u v
uv m
u v
+ =
⇔ =
≥ ≥
có nghiệm.
2
0
u u m
⇔ − + =
có 2 nghiệm
, 0
u v
≥ ⇔
1 4 0
1
. 1 0 0
4
0
m
P u v m
S u v m
∆ = − ≥
= = ≥ ⇔ ≤ ≤
= + = ≥
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương
218
Bài 6.
(TSĐH 2006 – Khối A)
Giải hệ PT
3
1 1 4
x y xy
x y
+ − =
+ + + =
Giải
Điều kiện:
1, 1, 0
x y xy
≥ − ≥ − ≥
. Đặt
t xy
=
(
0
t
≥
) thì
2
t xy
=
. Ta có:
( )
2
3
3
3
2 2 1 16
1 1 4
1 1 16
x y xy
x y t
x y xy
x y xy x y
x y
x y
+ = +
+ = +
+ − =
⇔ ⇔
+ + + + + + =
+ + + =
+ + + =
Thay
2
, 3
xy t x y t
= + = +
vào phương trình thứ hai ta nhận được:
2 2
3 2 2 3 1 16 2 4 11
t t t t t t
+ + + + + + = ⇔ + + = −
( ) ( )
2
2 2
0 11
0 11
3
3 26 105 0
4 4 11
t
t
t
t t
t t t
≤ ≤
≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ =
+ − =
+ + = −
Với
3
t
=
ta có
6, 9
x y xy
+ = =
. Suy ra, nghiệm của hệ là
(
)
(
)
; 3; 3
x y =
.
Bài 7.
(TSĐH 2005 – Khối B)
Giải hệ phương trình
( )
( )
( )
2 3
9 3
1 2 1 1
3log 9 log 3 2
x y
x y
− + − =
− =
Giải
Điều kiện:
1
0 2
x
y
≥
< ≤
;
(
)
(
)
3 3 3 3
2 3 1 log 3log log log
x y x y x y
⇔ + − ⇔ = ⇔ =
Thay
y x
=
vào (1) ta có
( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1
x x x x x x
− + − = ⇔ − + − + − − =
( ) ( )
1 2 0 1, 2
x x x x
⇔ − − = ⇔ = =
Vậy hệ có hai nghiệm là
(
)
(
)
; 1; 1
x y =
và
(
)
(
)
; 2; 2
x y =
Bài 8.
(TSĐH 2002
−
−−
−
khối D)
Giải hệ phương trình:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
Hệ
⇔
3 2 3 2 2
2 5 4 5 4 0 5 4 0
2 2 0 2
x
x x x
y y y y y y y
y y y
= − − + = − + =
⇔ ⇔
= = > =
1 4
0 2
y y
x x
= =
⇔ ∨
= =
