Mô hình toán học tổng quát hai chiều ngang về xâm nhập mặn ở vùng nước ngầm ven biển

Mễ HèNH TON HC TNG QUT HAI CHIU NGANG
V XM NHP MN VNG NC NGM VEN BIN
A GENERAL MATHEMATICAL MODEL
OF TWO-DIMENSIONAL HORIZONTAL FLOW
OF SEAWATER INSTRUSION IN COASTAL AQUIFERS
TRN VN MINH
UBND Thnh ph Nng
NGUYN TH HNG
Trng i hc Bỏch khoa, i hc Nng
TểM TT
Trong bi bỏo ny cỏc tỏc gi gii thiu mụ hỡnh toỏn xõy dng c tng quỏt hai chiu
ngang mụ t xõm nhp mn vo nc ngm vựng ven bin ỳng cho trng hp dũng nc
ngm cú ỏp cng nh khụng ỏp.
Thut toỏn v chng trỡnh tớnh mụ hỡnh theo phng phỏp phn t hu hn dng yu
Galerkin c thit lp d bỏo v trớ, hỡnh dng mt phõn cỏch gia nc nht v nc
mn trong cỏc iu kin khai thỏc ngun nc nht khỏc nhau.
Kt qu tớnh toỏn trờn c so sỏnh kim chng vi cỏc phng phỏp tớnh toỏn gii tớch trong
cỏc trng hp n gin.
ABSTRACT
In this paper, the authors present a general mathematical model of two dimensional horizontal
flow of seawater intrusion into coastal confined and unconfined aquifers. Algorithms and
program of this model are formulated by weak Galerkin finite element method for prediction of
the transient effect of pumping well on seawater instrusion into coastal confined and unconfined
aquifers. The validity of the model is tested by using the analytical solutions.
1. Mở đầu
Vùng ven bờ biển, nguồn nớc nhạt chảy ra biển, hình thành vùng chuyển tiếp giữa nớc
nhạt và nớc mặn. Trong vùng này mật độ của nớc hỗn hợp biến đổi từ nớc nhạt đến nớc mặn.
Tuy nhiên dới những điều kiện nhất định, chiều rộng của vùng này là nhỏ so với chiều dày của
tầng chứa nớc; vì vậy vùng chuyển tiếp từ nớc nhạt đến nớc mặn có thể xem là một mặt phân
cách. Khi nhu cầu khai thác nớc ngầm tăng lên làm giảm lợng nớc nhạt đổ về biển, mặt phân
cách sẽ di chuyển vào phía trong đất liền. Hiện tợng này đợc gọi là sự xâm nhập của nớc biển.

Tổng quát, hình dạng và vị trí của mặt phân cách nầy thay đổi theo thời gian và thờng xảy ra
trong không gian ba chiều. Hình dạng và vị trí mặt phân cách nầy có thể xác định đợc đầy đủ
bằng mô hình toán ba chiều [3]; tuy nhiên việc giải mô hình toán ba chiều ở đây đến nay vẫn
còn rất nhiều khó khăn về mặt toán học. Do đó để nhận đợc lời giải số có thể đáp ứng đợc yêu
cầu của thực tế sản xuất, ngời ta thờng trung bình hoá phơng trình ba chiều để có đợc phơng
trình hai chiều đơn giản hơn.
Khi vùng khai thác có hình dạng tuỳ ý và có bố trí nhiều giếng bơm ở các vị trí khác
nhau, ngời ta cần phải sử dụng phơng trình hai chiều ngang (trung bình theo phơng đứng) để
xác định hình dạng và vị trí mặt phân cách giữa nớc nhạt và nớc mặn.
Trong bài báo này, các tác giả giới thiệu mô hình toán xây dựng đợc đủ tổng quát hai
chiều ngang mô tả mặt phân cách đúng cho trờng hợp dòng nớc ngầm có áp cũng nh không
áp.
Thuật toán và chơng trình tính mô hình đợc thiết lập theo phơng pháp phần tử hữu hạn
dạng yếu Galerkin để dự báo vị trí, hình dạng mặt phân cách giữa nớc nhạt và nớc mặn trong
các điều kiện khai thác nguồn nớc nhạt khác nhau.
2. Hệ phơng trình cơ bản tổng quát chỉ đạo dòng chảy hai chiều ngang
Hệ phơng trình chỉ đạo dòng chảy xâm nhập mặn của nớc ngầm vùng ven biển hai
chiều ngang không áp [3] nh sau:
-.(T f) + .(T
a
h) = I
f
+ I
s
+ q'
f
+ q'
s
(1)
Sh/t -.(T

a
)h + .(T
a
f) = -I
s
- q'
s
(2)
Trong đó:
f = h
f
/ ; T = K(H
1
+h
f
) ; T
a
= T(H
1
- h)/(H
1
+ h
f
)
Hệ phơng trình chỉ đạo dòng chảy xâm nhập mặn của nớc ngầm vùng ven biển hai
chiều ngang có áp [3] đợc cho nh sau:
-.(T f) + .(T
a
h) = I
f

+ I
s
+ q'
f
+ q'
s
(3)
Sh/t -.(T
a
)h + .(T
a
f) = -I
s
- q'
s
(4)
với: f =
f
/ ; T = K(H
1
- H
2
); T
a
= T(H
1
- h)/(H
1
- H
2

)
ở đây T đợc gọi là hệ số dẫn truyền của tầng thấm; đối với tầng thấm không đẳng hớng ta có T
= (T
x
,T
y
)
Từ các hệ phơng trình (1), (2) và (3), (4) ở trên đã thiết lập riêng lẻ cho dòng chảy xâm
nhập mặn hai chiều ngang không áp và có áp; chúng tôi viết lại hệ phơng trình nầy ở dạng
tổng quát đúng cho cả dòng chảy không áp lẫn có áp nh sau:
'
s
'
fsfayaxyx
qqII)
y
h
T(
y
)
x
h
T(
x
)
y
f
T(
y
)

x
f
T(
x
+++=











+





+

+






(5)
,
ssayaxayax0
qI)
y
f
T(
y
)
x
f
T(
x
)
y
h
T(
y
)

x
h
T(
xt
h
S
=











+





+

+








(6)
ở đây:
f
fsff
;
h)1(
f


=

+
=
[ ] [ ]
2f1yy2f1xx

Hh)1(HKT;Hh)1(HKT +=+=
;

]Hh)1(H[
)hH(
TT;
]Hh)1(H[
)hH(
TT
2f1
1
yay
2f1
1
xax
+

=
+

=
và:
+ Đối với trờng hợp không áp = 0
+ Đối với trờng hợp có áp = 1
Trong đó:

f
- mật độ của nớc nhạt;
s
- mật độ của nớc mặn

S
0
- độ trử nớc riêng ; t- thời gian quan sát
h
f
- chiều cao mực nớc ngầm so với mực chuẩn

f
,
s
- cột nớc thuỷ lực của vùng nớc nhạt, nớc mặn tơng ứng
I
f
, Is- lợng nớc cung cấp cho nớc nhạt, nớc mặn trong tầng thấm nớc
q'
f
, q'
s
- các điểm nguồn hoặc điểm tụ trong vùng nớc nhạt và nớc mặn
Kx, Ky- hệ số thấm theo phơng x, y
Hệ phơng trình vi phân ở trên bao gồm các phơng trình (5) và (6) là những phơng trình
vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, việc giải tìm nghiệm chính xác của hệ phơng trình rất khó
thực hiện.
3. Phơng pháp giải số
Để giải gần đúng các hệ phơng trình trên chúng tôi sử dụng phơng pháp phần tử hữu
hạn Galerkin đợc thiết lập ở dạng chuẩn, với phần tử tam giác và giả sử rằng tại mỗi phần tử
các giá trị của hệ số thấm theo các phơng x, y là không thay đổi ta có các phơng trình thiết lập
cho một phần tử nh sau:

Trong đó:

N
i
(e)
-

trong đó i =1,2,3 là hàm dạng của phần tử tam giác (ở đây chọn bậc nhất)
L(P)
m
với m =1,2 là các phơng trình vi phân (5) hoặc (6), thiết lập cho mỗi phần tử.
A - diện tích phần tử
Giá trị của h đợc xấp xỉ theo công thức:


=
=
n
1i
i
)e(
i
)e(
hNh
(8)
Trong đó:
h
(e) -
giá trị gần đúng của chiều sâu mặt phân cách tại một điểm trong phần tử
n - số nút của phần tử; h
i
- chiều sâu mặt phân cách tại các nút của phần tử

Sau khi thực hiện các phép biến đổi toán học, ta nhận đợc hệ phơng trình tuyến tính
sau:
[ ] [ ]














+
+
+

+
+
+


















+
+
=

n
1
2f1

2f
snfn
1s1f
n
)e(
sn
)e(
fn
1
)e(
1s
)e(
1f
n
1
b
n
1
a
R
.
.
R
]Hh)1(H[
]hHh)1[(
qq
.
.
qq
3

A
)II(
.
.
3
A
)II(
h
.
.
h
K
f
.
.
f
K
(9)
)7()( dAPLN
m
A
i

[ ] [ ]
[ ] [ ]

+

=

++















+
n
1
sn
1s
n
)e(
sn

1
)e(
1s
tt
n
1
b
n
1
b
h
.
.
h
t
C
q
.
.
q
3
AI
.
.
3
AI
h
.
.
h

t
C
K
f
.
.
f
K
(10)
Với:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
)n,1i(RR;qq;qqqq
CC;KK;KK
m
1e
)e(
ii
m
1e

)e(
sisi
m
1e
)e(
si
)e(
fisifi
m
1e
m
1e
)e()e(
bb
m
1e
)e(
aa
===+=+
===


===
= ==
[ ]

+













=
2
kjkik
kj
2
jij
kiji
2

i
ay
)e(
2
kjkik
kj
2
jij
kiji
2
i
ax
)e(
)e(
b
ccccc
ccccc
ccccc
A4
T
bbbbb
bbbbb
bbbbb
A4
T
K
Trong đó:
So
(e)
- độ trử nớc của phần tử tam giác

a
i
, b
i
, c
i
- các hệ số của hàm dạng Ni
Sơ đồ tính:
Miền tính toán là một hình chữ nhật nằm ngang, đợc giới hạn bởi chiều dài (L) thẳng
góc với bờ biển, chiều rộng song song và trùng với bờ biển. Kích thớc của miền tính toán phụ
thuộc vào sơ đồ bố trí giếng bơm và chiều dài mũi nêm mặn ban đầu (L
0
). Sơ đồ tính đợc thể
hiện nh ở Hình 2:
Hình 2- Sơ đồ lới với phần tử tam giác
Điều kiện ban đầu và điều kiện biên:
- Điều kiện ban đầu:
[ ] [ ]










=

+













=
100
010
001

3
A
SC;
ccccc
ccccc
ccccc
A4
T
bbbbb
bbbbb
bbbbb
A4
T
K
)e(
0
)e(
2
kjkik
kj
2
jij
kiji
2
i
)e(
y
2
kjkik
kj

2
jij
kiji
2
i
)e(
x
)e(
a
Bờ
biển
y
x
Q
1
Q
2
q
n1
q
n2
A
B
C D
Tại thời điểm ban đầu t = 0 chiều sâu (h) của mặt phân đợc xác định theo công thức
của Ghyben-Herzberg:
f
fs
f
hh

=
(11)
- Điều kiện biên:
- Biên AB: q
n1
= 0 hoặc bằng một giá trị cho trớc.
- Biên CD: q
n2
= 0 hoặc bằng một giá trị cho trớc.
- Biên AC: h = 0 hoặc bằng một giá trị cho trớc tại thời điểm ban đầu
- Biên BD:
0=


y
f

Hệ phơng trình (9) và (10) đợc giải theo phơng pháp gradient liên hợp; bớc một phơng
trình (9) đợc giải lặp để tìm các giá trị f
i
, sau đó thế các giá trị f
i
vào phơng trình (10) và giải
hệ phơng trình nầy ta sẽ tìm đợc các giá trị h
i
tại các nút lới của miền tính toán.
Quá trình giải đợc lặp lại cho các bớc thời gian tiếp theo, với xử dụng điều kiện ban
đầu là các giá trị h

i
đã tính đợc ở bớc thời gian trớc.
4. Kiểm tra mô hình
4.1. Số liệu tính toán
Khu vực tính toán là Hoà Khánh, thành phố Đà Nẵng, khi có ba giếng bơm khai thác
hoạt động theo sơ đồ không áp Hình 1(a) với các số liệu sau:
Hệ số thấm K= 8.1 m/ngày; lợng nớc ngấm đều I = 0 m/ngày; độ trữ nớc riêng So =
0.6; chiều sâu của tầng không thấm Ht = 25 m; lu lợng các giếng bơm tại các điểm có toạ độ
(x,y): Q
1
(x
1
,y
1
)=Q
1
(1000,0)=120m3/ngày, Q
2
(x
2
,y
2
)=Q
2
(1000,100)= 60m3/ngày, Q
3
(x
3
,y
3

) =
Q
3
(1000,-100) = 60 m3/ngày; biên bên trái ( x=0) h= 0 m; biên trên và dới q
n
= 0.
Do vùng khảo sát có tính đối xứng qua trục ox, nên miền tính toán đợc chọn là một
nửa hình chữ nhật nằm ngang có cạnh oy trùng với bờ biển rộng 400m, chiều dài thẳng góc
với bờ biển dài 1100m, miền tính toán đợc chia thành 44 phần tử hình tứ giác, 60 nút, bớc lới
(x,y) = (100m,100m).
4.2. Kết quả tính toán
Kết quả tính toán vị trí và hình dạng mặt phân cách theo thời gian trong mặt phẳng
thẳng đứng thẳng góc với bờ biển đi ngang qua trục ox nh sau:

Bảng 1- Vị trí và chiều sâu mặt phân cách (h) theo thời gian (t)
X 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
H ban đầu 0 -16.00 -22.80 -25 -25 -25 -25 -25 -25 -25 -25 -25
H(t=8000) 0 -8.91 -14.78 -20.17 -23.95 -24.95 -24.99 -25 -25 -25 -25 -25
H(t=14000) 0 -7.54 -12.36 -16.78 -20.96 -24.1 -24.95 -24.99 -25 -25 -25 -25
H(t=20000) 0 -6.76 -10.96 -14.83 -18.56 -22.05 -24.34 -24.95 -24.99 -25 -25 -25
Trên cơ sở số liệu ở Bảng 1 vị trí và chiều sâu mặt phân cách (h) theo thời gian (t) đợc
biểu diễn qua đồ thị Hình 3. Qua số liệu trên cho thấy tại thời điểm ban đầu ( t=0) mũi nêm
mặn nằm ở vị trí cách bờ biển 250 m, cách giếng khai thác 750 m, sau một khoảng thời gian