Một vài ứng dụng của Maple trong giảng dạy toán cao cấp

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA MAPLE TRONG GIẢNG
DẠY TOÁN CAO CẤP
Huỳnh Ngọc Tuấn
Bộ môn Cơ bản
Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán rất mạnh mẽ
được phát triển bởi các nhà nghiên cứu của Đại học Waterloo (Canada) từ năm 1980 và được
thương mại hoá bởi công ty Warterloo Maple Inc.(), phiên bản
Maple đầu tiên ra đời năm 1980, đến nay đã phát triển đến phiên bản 13 (2009) và ngày càng
hoàn thiện hơn. Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trên tất cả các hệ điều hành, cấu
trúc linh hoạt dễ sử dụng, đặc biệt có trình trợ giúp Help nên tạo điều kiện cho người dùng dể
sử dụng. Từ phiên bản 7 Maple đã cung cấp các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học đối với
toán phổ thông và đại học. Với ưu điểm đó thì Maple trở thành sự lựa chọn sử dụng của nhiều
nước trên thế giới.
Một số tính năng cơ bản của Maple như sau:
- Là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số;
- Có thể thực hiện hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình toán học phổ thông và
đại học;
- Cung cấp các công cụ minh họa hình học thuận tiện như: Vẽ đồ thị tĩnh hoặc động của
các đường, các mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ trục tọa độ khác nhau;
- Ngôn ngữ lập trình đơn giản và mạnh mẽ có khả năng tương tác với các ngôn ngữ khác
như Latex, Word, HTML,...
- Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác
trực tiếp;
- Một chương trình trợ giúp hiệu quả cho giảng viên và sinh viên trong việc dạy và học.
Trong nội dung của bài viết này, chúng tôi không có tham vọng trình bày hết những ưu việt
của Maple, chỉ trình bày một số vấn đề mà chúng tôi gặp trong quá trình giảng dạy môn Toán
cao cấp tại trường Cao đẳng Thương mại.
Khi giảng dạy đến vấn đề hàm số, giới hạn của hàm số và xây dựng bài toán tích phân
Riemann. Rõ ràng sẽ chẳng có hệ thống máy nào có thể thay giảng viên trình bày để sinh viên
hiểu được bản chất của hai vấn đề này, nhưng nếu không có máy thì người giảng viên cũng rất
khó khăn trong việc trình bày các vấn đề trên một cách tới nơi, tới chốn.

1. Hàm số và giới hạn của hàm số:
a. Hàm số
Hiện tại cách giảng dạy chung của các trường phổ thông là lấy cái đích cuối cùng là vẽ
được đồ thị hàm số (rất nặng nề, thiếu đi tính thực tế vì lớp hàm số có thể khảo sát và vẽ được
đồ thị rất ít).
Do đó, khi dạy vấn đề này nên lấy hàm số khởi điểm nhẹ nhàng và dễ hiểu, minh họa
đơn giản vì hiện tại trong thực tế thì mọi hàm số đều vẽ được bằng máy.
Bây giờ chúng ta thử xét một hàm số mà đối với các bước “khảo sát” sẽ ngán ngẩm khi
gặp nó như:
( )
( )
( )
x
x
xf
sincos
cossin
=
.
Nhưng đối với máy tính thì việc tính toán các điểm rất đơn giản và muốn bao nhiêu
điểm đều có thể được. Chẳng hạn kết quả tính toán được cho như bảng sau:

Nếu dùng máy chúng ta có một hệ thống tọa độ thì nó cũng sẽ tạo cho chúng ta một
hình dạng chung của đồ thị. Và đồ thị được vẽ như sau( nhờ máy):

b. Giới hạn của hàm số
Một vấn đề nan giải là người giảng viên làm sao trình bày cho sinh viên cảm nhận được
bản chất của giới hạn mà không nhất thiết phải đi quá sâu vào các định nghĩa khô khan và khó
hiểu. Với Maple, giảng viên có thể minh họa cho sinh viên nhìn thấy bản chất của vấn đề.
Ví dụ: Xét giới hạn của hàm số

( )






=
→
x
xxf
x
1
sin.lim
0
, chỉ cần với lệnh sau, sinh viên sẽ
nhìn thấy quá trình tiến tới giới hạn của hàm số trên.
>picts:=[seq(plot([x*sin(1/x)*piecewise(x<-1/i,1,x<=1/i,0,1),x,-x],x=-0.5..0.5,
color=[red,blue,blue],discont=true,numpoints=1000),i=3..100)]:display(picts,insequence=true);
2. Bài toán xây dựng tích phân Riemann
Tổng của tích phân Riemann là một khái niệm khá mơ hồ đối với những người mới tiếp
xúc lần đầu. Việc minh họa nó bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật đã giảm đi phần nào
tính trừu tượng của nó, tuy nhiên hiện nay nếu không có sự hỗ trợ của máy thì một giảng viên
cũng chỉ có thể minh họa đến hình vẽ sau đây. Giả sử xét tổng Riemann của hàm số sau:
( )
( ) ( )
31cos1sin
22
++−−−+=
xxxxxf

>with(student):
Middebox(sin(x^2+x-1)-cos(x^2-x+1)-3,x=-3..3,15);
Với hình vẽ này thì sinh viên khó có thể hình dung được rằng khi lấy một phân hoạch
đủ mịn thì diện tích hình thang cong bằng tổng của một số hình chữ nhật lộn xộn trên. Để thấy
được điều này thì ta cần đưa ra một dãy hình vẽ minh họa để thấy được quá trình xấp xỉ hình
thang cong, máy tính là công cụ lý tưởng nhất cho ta thực hiện ý tưởng trên bằng cách lấy bề
rộng phân hoạch bước sau bằng ½ bước trước, như thế chỉ cần qua 3 bước thì chúng ta thấy rất
rõ quá trình xấp xỉ một cách hoàn hảo.
>middlebox(sin(x^2+x-1) - cos(x^2-x+1) + 3, x=-3..3,30);
middlebox(sin(x^2+x-1) - cos(x^2-x+1) + 3, x=-3..3,60);
middlebox(sin(x^2+x-1) - cos(x^2-x+1) + 3, x=-3..3,120);

Để thuyết phục hơn chúng ta có thể đưa ra hàng loạt các ví dụ khác mà nếu không có
máy tính và phần mềm trợ giúp thì ta khó thực hiện được điều này.
Như vậy, Maple là một công cụ rất hữu ích cho những người học toán, dạy toán và làm
toán nói chung. Nhờ có nó, chúng ta có thể đỡ vất vả hơn rất nhiều, công việc lao động trí óc sẽ
đạt được năng suất cao hơn, hiệu quả hơn.