Phương pháp dạy học toán học

Bài tập phương pháp
Chương I: Bộ Mơn Phương Pháp Dạy Học Tốn Học
Câu 3: Tên gọi:“Phương pháp giảng dạy Toán học” có thích hợp với bộ môn này
không ? Vì sao ?
Tên gọi “ Phương pháp giảng dạy Toán học “ chưa thích hợp với bộ môn này.
Thuật ngữ phương pháp bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp ( methodos ) có nghóa là con
đường để đạt mục đích. Theo đó “ Phương pháp giảng dạy Toán học là con đường
để đạt mục đích giảng dạy bộ môn Toán. Trong “ Luật giáo dục”, Điều 28.2, đã ghi
“ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động,
sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng môn học, từng lớp học; bồi
dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn kỹ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh”.Theo xu thế hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học ở trường
phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo phương
pháp dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận
dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo
niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập. Làm cho “ học” là quá trình kiến tạo;
Học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập khai thác và xử lý thông tin,… học
sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất là những yếu tố cần thiết đối với
người học Toán.Vì với tên gọi trên khi nhìn vào chưa thấy được hoạt động của người
học trò mà chỉ thấy được việc giảng dạy là trung tâm, hoạt động của người thầy là
chủ yếu, tồn tại một thói quen học tập thụ động” thầy giảng trò nghe”; đối với bộ
môn Toán thì càng không thể tồn tại dưới hình thức một chiều là “ thầy truyền thụ,
trò tiếp thu” mà cần phải có sự hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo của người học
trò
1
Bài tập phương pháp
.
Câu 4 : Để đưa Tin học vào giáo dục phổ thông, cần thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu
nào ?

Để đưa tin học vào giáo dục phổ thông, theo tôi cần thực hiện những
nhiệm vụ nghiên cứu sau đây :
• Nâng cao nhận thức cho cán bộ quản lý, Giáo viên và học sinh về
việc ứng dụng công nghệ thông tin trong quản lý giáo dục và dạy học.
• Sử dụng các nguồn kinh phí để đầu tư trang thiết bò về công nghệ
thông tin cho các trường .
• Bồi dưỡng cho giáo viên tất cả các bộ môn về công nghệ thông tin để
họ có thể tổ chức tốt ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học.
• Tổ chức trình diễn các tiết học có ứng dụng công nghệ thông tin trong
trường nhằm mục đích tuyên truyền, động viên các cá nhân, đơn vò tổ
chức tốt việc ứng dụng công nghệ thông tin.
• Xây dựng một số dòch vụ giáo dục và đào tạo ứng dụng trên mạng
Internet.
• Tuyển chọn, xây dựng và hướng dẫn sử dụng các phần mềm quản lý
giáo dục và dạy học.
• Nâng cao hiệu quả của việc kết nối Internet.
• Nghiên cứu để đưa các phần mềm dạy học tốt vào danh mục Thiết bò
dạy học tối thiểu.
• Tổ chức trao đổi kinh nghiệm về ứng dụng công nghệ thông tin giữa
các trường trung học trong nước và quốc tế.
Bài tập bổ sung: Để có khả năng dạy tốt mơn tốn ở trong nhà trường phổ thơng bạn
có nguyện vọng u cầu hay đề nghị gì đối với mơn học phương pháp dạy học mơn
tốn ?
2
Bài tập phương pháp
Hiện nay xu hướng là ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học nên vấn đề đặt
ra là ứng dụng như thế nào cho phù hợp và phát huy tối đa tác dụng hổ trợ của công nghệ
thông tin chứ không phải chỉ là sử dụng để thể hiện sự đổi mới về mặt hình thức trong
giảng dạy. Mà Powerpoint là chương trình thường được sử dụng trong giảng dạy kết hợp
với những phần mềm chuyên ngành nên việc hướng dẫn thiết kế giáo án bằng

Powerpoint cũng là phần nên gắn liền trong môn phương pháp dạy học Toán để thể hiện
đúng tinh thần đổi mới phương pháp dạy học và đặc biệt” nên tổ chức thao giảng thực tế
ở phòng bộ môn” để mang lại hiệu quả cao hơn.( tuy trường có tổ chức học ứng dụng
CNTT vào dạy học nhưng do đặc thù của môn Toán và để di sâu thì cần đươc thực hành
thực tế nhiều hơn )
Theo xu hướng hiện nay ngoài đổi mới phương pháp giảng dạy mà còn đổi mới ở
cả cách thức đánh giá kiểm tra nên việc xây dựng đề kiểm tra đạt chất lượng yêu cầu là
vấn đề bức thiết được đặt ra:
- Một trong những động lực quan trọng nhất thúc đẩy đổi mới phương pháp giáo
dục chính là đổi mới cách thức kiểm tra, đánh giá, cụ thể là bài kiểm tra học kỳ cho học
sinh.
- Theo Thứ trưởng Nguyễn Văn Vọng: “Điều căn bản nhất của đổi mới phương
pháp đánh giá không phải ở chỗ thi trắc nghiệm hay tự luận mà là nhằm kiểm tra được
khả năng tư duy, khả năng ứng dụng của học sinh. Do đó, cấu trúc đề thi của THCS và
PTTH sẽ là 20% đánh giá khả năng nhận biết, 30% đánh giá khả năng thông hiểu, và
50% đánh giá khả năng vận dụng. Bộ cũng đang gấp rút tiến hành xây dựng thư viện đề
thi của từng môn học cụ thể để các trường phổ thông trong cả nước có thể tham khảo.”
Trong môn phương pháp nên phân bố thêm thời gian xây dựng bộ đề cụ thể và
phân tích những ưu nhược điểm để SV rút kinh nghiệm
3
Bài tập phương pháp
Chương II: Định Hướng Quá Trình Dạy Học Môn Toán
Câu 1: Cho môt ví dụ thể hiện đồng thời tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn của
môn Toán.
Trong Toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi mọi vật liệu của đối tượng chỉ giữ lại
những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi. Sự trừu tượng hóa Toán học diễn ra
trên những bình diện khác nhau, nhưng tính trừu tượng cao độ chỉ che lấp chứ không hề
làm mônất tín thực tiễn của Toán học. tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính
thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đơi sống
thực tế.

Ví dụ : Từ công thức tính diện tích hình tròn
2
s r
π
=
được ứng dụng vào việc tính
thể tích hình trụ:
2
V sh r h
π
= =
Ta có bài toán sau:
Các kích thước của 1 vòng bi cho như hình vẽ. Hãy tính thể tích của vòng bi (phần
giữa hai hình trụ).
Giải
Thể tích cần phải tính bằng hiệu các thể tích
1 2
,V V
của 2 hình trụ có cùng chiều
cao h và bán kính của các đường tròn đáy tương ứng là a, b
Ta có:
2 1
2 2 2 2
( )
V V V
a h b h a b h
π π π
= −
= − = −
4

h
a
b
Bài tập phương pháp
Câu 2: Phân tích tính thực nghiệm của môn toán trong quá trình dự đoán định lý
hàm số sin xuất phát từ hệ thức đối với tam giác vuông:
c
sin , sin
a
b
B C
a
= =
Nếu nhìn trong quá trình hình thành và phát triển, tìm tòi và phát minh thì khoa học
có tính dự đoán thực nghiệm và qui nạp. Vận dụng cả hai phương diện đó ta hình thành
cho HS định lý sin trong tam giác bất kì từ trường hợp tam giác vuông.
- Từ những hệ thức đối với tam giác vuông tại A:
c a
sin , sin , sin
a a
b
B C A
a
= = =

c
A
a
b
C B

- Đặt vấn đề dự đoán xem hệ thức còn đúng trong tam giác bất kì.
 Xét TH góc A nhọn:
Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường kính BD


a
O
D
C
B
A
5
Bài tập phương pháp
GVHD HS
Làm thế nào để vận dụng TH
tam giác vuông vào TH này.
a
O
D
C
B
A
Sin D = ?
- Vẽ tam giác BCD vuông tai C (nội
tiếp nửa đường tròn đường kính BD )
sin
BC
D
BD
=

hay a= 2R sinD
µ
µ
⇒ = =2 sin (vì A )
a R A D
Hay
= 2
sin
a
R
A

 Xét TH góc A tù

a
O
D
C
B
A
6
Bài tập phương pháp
GVHD HS
Tương tự trường hợp trên, làm thế nào
để vận dụng trường hợp tam giác
vuông.?
Đặc điểm của ABCD ? suy ra
µ
?D =
SinD = ?

Ta cũng vẽ đường tròn đường kính BD
ngoại tiếp tam giác ABC.
ABCD nội tiếp đường tròn nên
µ
µ
0
180D A
= −
0
sin sin(180 )D A⇒ = −
sin .sin 2
sin
BC a
D a BD A R
BD A
= ⇒ = ⇒ =
Ta thấy tính thực nhiệm của toán thể hiện rỏ qua ví dụ trên thông qua trường hợp
tam giác vuông- tính toán cụ thể và các kiến thức đã học
Câu 4: Có thể nhằm đạt những mục đích gì khi dạy học khái niệm hàm số ?
Khi dạy học khái niệm hàm số mục đích cần đạt được ở học sinh trung hoc phổ
thông là:
• Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm hàm số, tập xác định của hàm số, đồ thị của hàm số.
- Hiểu khái niệm hàm đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, lẻ. biết được tính chất
đối xứng của đồ thị hàm số chẵn, đồ thị hàm số lẻ.
a
O
D
C
B

A
7
Bài tập phương pháp
• Về kĩ năng:
- Biết tìm tập xác định của hàm số đơn giản
- Biết cách chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một số hàm số trên một
khoảng cho trước.
- Biết xét tính chẵn lẻ của một hàm số đơn giản
- Vận dụng các khái niệm hàm số vào trường hợp cụ thể
• Về tư duy:
Giúp HS hình thành tư duy phân tích, tổng hợp, so sánh vận động và biến đổi tư duy
linh hoạt độc lập.
• Về thái độ:
Giúp HS xây dựng được mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn.
Rèn cho HS tính cần cù, chịu khó, kiên nhẫn, chính xác
Để kiểm tra vể mức độ đạt được của HS giáo viên cần đưa ra một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a)
1y x= −
b)
1
1
2
y x
x
= + +
−
V í dụ 2 : Xét xem trong các điểm A(0;1), B(1;0), C(-2;-3), D(-3;19), điểm nào thuộc
đồ thị hàm số:
2

( ) 2 1y f x x= = +
Ví dụ 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau đây trên khoảng đã chỉ
ra:
2
) 3 1 ên R
) 2 ên (0;+ )
a y x tr
b y x tr
= − +
= ∞
Ví dụ 4: a) Xét tính chẵn lẻ của các hàm số:

4 2
3
) 3 2 7
) 6
a y x x
b y x x
= − +
= −
b) Vẽ trên cùng hệ trục ở câu a) đồ thị
1y = −
. Tìm trên đồ thj tọa độ giao điểm của
2 đồ thị
3 5y x= +
và
1y = −

8
H

z
y
x
A
D
C
B
Bài tập phương pháp
Câu 5:Hãy nêu rõ sự phân tích và tổng hợp diễn ra như thế nào khi giải bài tập
sau: “cho một tứ diện ABCD có ba mặt chung đỉnh A đều vuông. Chứng minh
rằng chân đường cao H xuất phát từ đỉnh A của tứ diện là trực tâm của tam giác
BCD”.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ 0xyz (
0 A≡
)
O(0,0,0), B(b,0,0), C(0,c,0), D(0,0,d) với ( b,c,d > 0)
Chứng minh H là trực tâm
BCD∆
PT mặt phẳng (BCD):
1
0
x y z
b c d
cdx bdy bcz bcd
+ + =
⇔ + + − =
( )
( )
( , , )

OH BCD
OH BCD
u n cd bd bc
⇒ ⊥
⇒ = =
uuur
uuuuuuv
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x=cdt
PTTS (OH): y=bdt ( )
z=bct
, , ào (*) ta có: (c )
bcd
t=
c

t R
Thay x y z v d b d b c t bcd
d b d b c


∈



+ + =
⇒
+ +

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc d b cd b c d
( , , )
c c c
H
d b d b c d b d b c d b d b c
⇒
+ + + + + +
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ,cd ,c d)
c
CH ( , cd , d)
c
CD (0, , )
( ,0, )
.
. 0 0
c c
(1)
b
BH bd bc
d b d b c

c
bd cb b
d b d b c
c d
BD b d
c cd b c d b
BH CD
d b d b c d b d b c
BH CD
= − −
+ +
= − −
+ +
= −
= −
= − + =
+ + + +
⇒ ⊥
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
9
Bài tập phương pháp
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.( ) . .
. 0

c c
(2)
c d b b c d b d
BD
d b d b c d b d b c
CH BD
−
= + =
+ + + +
⇒ ⊥
uuur
uuuur uuur
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm
BCD
∆
Ta có sơ đồ phân tích và tổng hợp diễn ra như sau:
Sơ đồ phân tích Sơ đồ tổng hợp
Oxyz (A,AB,AC,AD)

AH, PT(BCD)

H=(BCD) AH

CH. 0, . 0

CH ,

PTTS
BD BH CD
BD BH CD

≡
⇑
⇑
∩
⇑
= =
⇑
⊥ ⊥
⇑
uuur uuur uuur uuur
H là trực tâm
Oxyz (A,AB,AC,AD)

AH, PT(BCD)

H=(BCD) AH

CH. 0, . 0

CH ,

PTTS
BD BH CD
BD BH CD
≡
⇓
⇓
∩
⇓
= =

⇓
⊥ ⊥
⇓
uuur uuur uuur uuur
H là trực tâm
Câu 6: Phân tich tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh trong
việc dạy tìm ra hằng đẳng thức:(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+c
2
+2ab +2ac+2bc
Giải
Trước hết chúng ta phải biết về những tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ chung
cho HS đó là tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy logic, và tư duy
biện chứng, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái
quát hóa, trừu tượng hóa…
Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa trong môn Toán học
Sinh còn phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh do đó có điều kiện rèn luyện
những hoạt động trí tuệ cho HS.
Việc thực hiện các năng lực trên được minh họa qua ví dụ về việc tìm ra hằng đẳng
thức:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b

2
+c
2
+2ab +2ac+2bc
10
Bài tập phương pháp
Trước hết để dạy tìm ra hằng đẳng thức trên ta cần thực hiện các quá trình tư duy
sau:
∗ Liên tưởng đến các hằng đẳng thức đã học (x + y)
2
và dựa vào đó để biến đổi.
Đó chính là khái quát hóa
∗ Trong quá trình khái quát hóa đó có sự tổng hợp lại để đưa về dạng:
a
2
+ b
2
+c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
∗ Tiếp theo thực hiện các thao tác đặc biệt hóa công thức: Xem x như là
(a + b) còn y như là c: (a + b + c)
2
=[(a + b)
2
+2( a + b)c + c
2
]
Với thao tác phân tích (a + b)
2

= a
2
+ 2ab + b
2
Từ đó dẫn tới biến đổi vé trái thành vế phải
Các bước tiến hành:
(a + b + c)
2
=[(a + b)
2
+2( a + b)c + c
2
]
= (a
2
+ 2ab + b
2
+ 2ac + 2bc + c
2
)
=a
2
+ b
2
+c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
Tương tự ta có thể xem x là a, y là b+ c hoặc x là b, y là a+ c ta cũng tiến hành
các thao tác như trên để đưa về hằng đẳng thức cần tìm.
Câu 7: Phân tích tiềm năng phát triển trí tuệ chung của học sinh trong việc dạy

học sinh tìm công thức giải công thức nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra công thức nghiệm của phương trình bậc hai tổng
quát có thể tiến hành theo các bước biến đổi phương trình
0182
2
=+−
xx
đã học ở bài
“Phương trình bậc hai một ẩn”, cụ thể như sau:
11
Bài tập phương pháp
Việc hướng dẫn học sinh tiến hành quá trình trên giúp:
 Rèn luyện cho học sinh khả năng xét tính tương tự: áp dụng các bước biến đồi
của phương trình
0182
2
=+−
xx
để đưa phương trình bậc hai dạng tổng quát về dạng
bình phương của một tổng.
 Rèn luyện cho học sinh tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác: đế có thể áp dụng bài
trước vào các bước biến đổi đối với phương trình bậc hai tổng quát đòi hỏi học sinh phải
hiểu được các bước biến đổi đưa phương trình bậc hai
0182
2
=+−
xx
về dạng bình
phương của một tổng và độc lập trình bày lại các bước biến đổi đối với phương trình bậc
hai tổng quát đặc biệt học sinh phải hiểu được vì sao phải có điều kiện

0
≠
a
.
 Đặc biệt quá trình hướng dẫn học sinh thực hiệc .?.
Hãy điền các biểu thức thích hợp vào chỗ trống (…)
a) Nếu
0
>∆
thì từ phương trình (1) suy ra
...
2
±=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm:
......,
21
==
xx
Phương trình:
0182
2
=+−
xx
)0(0
2
≠=++
acbxax

Bước 1: Chuyển số hạng tự do sang
vế phải
Bước 1: Chuyển số hạng tự do sang vế
phải
182
2
−=−
xx
cbxax
−=+
2
Bước 2: Chia hai vế cho hệ số 2 Bước 2: Chia hai vế cho hệ số
0
≠
a
2
1
4
2
−=−
xx
Hay:
2
1
2..2
2
−=−
xx
a
c

x
a
b
x
−=+
2
Hay:
a
c
a
b
xx
−=+
2
..2
2
Bước 3: Thêm vào hai vế cùng một
số để vế trái thành một bình phương
Bước 3: Thêm vào hai vế cùng một số
để vế trái thành một bình phương
222
2
2
1
22..2
+−=+−
xx
( )
4
7

2
2
=−
x
22
2
222
..2






+−=






++
a
b
a
c
a
b
a
b

xx
Hay:
)1(
4
4
2
2
2
2
a
acb
a
b
x
−
=






+
Đặt:
acb 4
2
−=∆
12
Bài tập phương pháp
b) Nếu

0
=∆
thì từ phương trình (1) suy ra
...
2
=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép:
...
21
==
xx
giúp rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ quan trọng: tính linh hoạt , tính độc
lập trong việc tính toán tìm ra công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong Trường
hợp
0,0
=∆>∆
Tr ường hợp :
0
>∆






∆−−
=

∆+−
=
⇔
∆
±=
∆
±=+⇔
a
b
x
a
b
x
a
a
a
b
x
2
2
2
4
2
)1(
2
1
2
Tr ường hợp :
0
=∆

a
b
xx
a
b
x
2
0
2
)1(
21
−
==⇔
=+⇔
 Trong quá trình biến đổi phương trình bậc hai dạng tổng quát về dạng bình
phương của một tổng tính linh hoạt của tư duy thể hiện rõ ở khả năng chuyển hướng của
tư duy, rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược tư duy (thể hiện ở bước biến đổi (*)),
lấy đích của một quá trình làm điểm xuất phát cho một quá trình mới còn điểm xuất phát
của quá trình đã biết trở thành đích của quá trình mới. Do đó học sinh không chỉ biết vận
dung hằng đẳng thức :
2
2
2
..2







++=






+
a
b
a
b
xx
a
b
x
mà còn có thể chuyển :
22
2
..2






+=







++
a
b
x
a
b
a
b
xx
 Ở ?2 giải thích vì sao khi
0
<∆
thì phương trình vô nghiệm: để giải thích được
điều này đòi hỏi học sinh phải tư duy lôgic phân tích thấy được điều vô lý:
0
2
≥






+
a
b
x

còn
0
44
4
22
2
≤
∆
=
−
aa
acb
13
Bài tập phương pháp
Nên phương trình
2
2
2
4
4
2
a
acb
a
b
x
−
=







+
vơ nghiệm.
 Sau khi thực hiện xong ?1 và ?2 GV u cầu học sinh tóm tắt quy trình giải
phương trình bậc hai gồm các bước sau:
• B
1
: Xác định các hệ số a, b, c.
• B
2
:Tính
acb 4
2
−=∆
.
• B
3:
Tìm nghiệm:
o Nếu
∆
>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :
a
b
x
2
1

∆+−
=
,
a
b
x
2
2
∆−−
=
.
o Nếu
∆
= 0 thì phương trình có nghiệm kép:
a
b
xx
2
21
−==
.
o Nếu
∆
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
Đây là q trình tổng hợp tồn bộ quy trình giải phương trình bậc hai bằng cơng
thức nghiệm giúp học sinh có cái nhìn tổng qt về việc giải một phương trình bậc hai.
Câu 8: Hãy nêu một vài cơ hội có thể rèn luyện ngơn ngữ logic cho HS khi dạy học
phương trình ( PT )
Mơn tốn có tiềm năng rèn luyện cho HS tư duy logic. Mặt khác tư duy khơng tách
rời ngơn ngữ được hồn thiện trong sự trao đổi ngơn ngữ và ngược lại. Nên tư duy logic

còn thể hiện ở ngơn ngữ logic.
Cụ thể những cơ hội để GV rèn luyện cho HS ngơn ngữ logic thơng qua dạy học
phương trình.
 Trong dạy học khái niệm phương trình, nghiệm phương trình:
GV giúp HS khơng chỉ lĩnh hội nội hàm của khái niệm PT mà còn phải nhận dạng được
PT thơng qua các VD → GV cần: Đưa ra VD đa dạng như PT có một nghiệm, hai
nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm.
GV chú ý HS:
° Dấu “=” trong PT A(x) = B(x) chỉ mang tính hình thức và khác với dấu “=”
trong cách viết hai biểu thức đồng nhất (như hằng đảng thức).
° Khi giải các pt khơng viết dấu bằng liên tục mà phải xuống dòng.
Ví dụ : Khơng nên viết 2x+3 = 24:9+5 = 4+5 = 9
14
Bài tập phương pháp
Nên viết:
2 3 24 : 6 5
2 3 4 5
2 3 9
.........
x
x
x
+ = +
+ = +
+ =
Khi dạy học về nghiệm GV cần kết hợp nói thêm giá trị x thế nào thì không là
nghiệm pt.
Ví dụ: Trong các số 1,2,1/8 số nào là nghiệm của phương trình:
2
3 1 3x x x+ + =

Qui tắc biến đổi tương đương:hiểu định nghĩa hai phương trình tương đương,
phương trình hệ quả.
Nắm vững các qui tắc biến đổi tương đương.
Cho ví dụ cụ thể vận dụng qui tắc
Ví dụ:Trong các căp pt sau chỉ ra các cặp pt tương đương. Vì sao ?
2
/ 5x+1=4 và 5x 4a x x+ =
/ x-2 1 và x-2 = 1b x x− = +
 Dạy học giải phương trình:
° Chú ý HS nêu điều kiện để các biểu thức có nghĩa
° GV giúp HS có ý thức cần nắm vững các qui tắc biến đổi tương đương vì nó là
căn cứ chủ yếu để thực hiện các bước giải pt .

Biện pháp: Trong quá trình biến đổi GV yêu cầu HS giải thích tại sao lại thực hiện
được bước đó.
° Giúp HS nhận dạng nắm vững cách giải từng loại PT( PT chứa ẩn ở mẫu, PT
chứa trị tuyệt đối, PT chứa căn đơn giản, PT đưa về PT tích).
Biết vận dụng định lý Vi-et vào việc xét dấu nghiệm của PT bậc hai
Ví dụ:: Giải PT:
2
2 2 2
4
2x 1
/ 2
x 1 1
/ (x +2x) (3 2) 0
/ x-1 3
/ x - 8x - 9=0
a
x

b x
c
d
− =
− −
− + =
=
Ví dụ::Tìm hai số có tổng bằng 15, tích bằng -34
 Cho HS nhận dạng một số sai lầm khi biến đổi
15
Bài tập phương pháp
Ví dụ:
( 2)( 3) ( 2)(4 )x x x x− − = − −
Sai lầm thường gặp: giản ước (x-2) ở hai vế
Cách làm đúng: Chuyển vế, đặt thừa số chung đưa về PT tích.
Ví dụ::
2 2
(5 3) ( 1)x x− = −
Sai lầm thường gặp:bỏ mũ hai vế
Cách làm đúng: chuyển vế- áp dụng hằng đẳng thức , đưa về PT tích.
Câu 9 : Hãy hoạt động hóa các mục đích dạy học Toán sau đây:
a) Nắm vững khái niệm hàm số
b) Hoạt động hóa kỹ năng giải phương trình bậc hai
a/ Nắm vững khái niệm hàm số
Hoạt động 1: Ôn lại- yêu cầu HS nhắc lại khái niệm hàm số đã học ở lớp7.
Hoạt động 2: Yêu cầu HS lấy các ví dụ thực tế - ví dụ thuần túy toán học, hàm số có
tập xác định ( TXĐ) hữu hạn- vô hạn, hàm số cho bởi công thức, hàm số cho bởi ảng.
Ví dụ: Thống kê nhiệt độ cơ thể của bệnh nhân (hàm số cho ở dạng bảng và có tập xác
định hữu hạn)
Thời điểm (h ) 9 10 11 12 13 14

Nhiệt độ 37.5
0
38
0
41
0
37
0
36
0
35
0
Ví dụ: y=2x+5 (HS dạng thuần túy toán học và có tập xác định vô hạn là
toàn bộ tập số thực )
Hoạt động 3: Yêu cầu HS nhắc lại thế nào là tập xác định của hàm số
GVHD:Tìm TXĐ của hàm số
( ) 2 5f x x= +
Hoạt động 4: Yêu cầu HS tìm TXĐ của hàm số
3
/ g(x)=
x+6
/ h(x)= 2 1
a
b x x+ + −
Hoạt động5: Nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số.
Nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số y=ax+b (là đường thẳng);
y = ax
2
(là parabol )
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x+1; dự đoán f(-2) theo đồ thị

16
Bài tập phương pháp
b) Hoạt động hóa kỹ năng giải phương trình bậc hai
Sau khi học sinh đã nắm được các bước cơ bản để giải phương trình bậc hai giáo
viên cho các bài tập áp dụng từ dễ đến khó nhằm giúp cho học sinh biết vân dụng và
khắc sâu kiến thức trong quá trình giải bài tập:
Ví dụ : Giải các phương trình bậc hai sau:
0153)
2
=++
xxa
Đối với những bài tập đầu giáo viên nên yêu cầu học sinh giải chi tiết và đủ các
bước (xác định hệ số a, b, c; tính
∆
hoặc
'
∆
; tìm nghiệm ) nhằm giúp học sinh ghi nhớ
công thức nghiệm cũng như biệt thức
∆
và
'
∆
:
•
1,5,3
−===
cba
•
0374

2
>=−=∆ acb

• Vì
0
>∆
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
6
375
2
,
6
375
2
21
−−
=
∆−−
=
+−
=
∆+−
=
a
b
x
a
b
x
0143)

2
=−+
xxb
Giáo viên gọi hai HS lên giải: học sinh 1 giải theo b còn học sinh 2 giải theo
'
b
.
Học sinh 1 giải theo b Học sinh 2 giải theo
'
b
•
0284
2
>=−=∆ acb
• Phương trình có hai nghiệm
phân biệt là:
5
72
10
724
5
72
10
724
2
1
−−
=
−−
=

+−
=
+−
==
x
x
•
07
2''
>=−=∆ acb
• Phương trình có hai nghiệm
phân biệt là:
5
72
5
72
2
1
−−
=
+−
==
x
x
Từ đó giáo viên cho học sinh so sánh hai cách giải xem cách nào đơn giản hơn
(Đây là bước rèn luyện cho học sinh óc quan sát trước khi giải bài toán: khi nào áp dụng
∆
và khi nào thì áp dụng
'
∆

. Học sinh sẽ nhận thấy khi hệ số b là chẵn thì nên giải
phương trình bậc hai theo
'
∆
).
0165)
2
=+−
xxc
17
Bài tập phương pháp
Vì ta mới vừa đưa ra nhận xét khi hệ số b chẵn thì giải theo
'
∆
, do đó học sinh sẽ
giải theo
'
∆
mà ít học sinh nào thất được
0
=++
cba
thì phương trình sẽ có một
nghiệm là 1 và một nghiệm là
5
1
=
a
c
.

0144)
2
=++
xxd
2
1
0)12(
2
−=⇔
=+⇔
x
x
Giáo viên đưa ra một bài giải phương trình bậc hai như trên và yêu cầu học sinh
nhận xét xem cách giải trên chính xác hay không? Từ đó, học sinh sẽ thấy được không
phải cứ gặp phương trình bậc hai là phải áp dụng công thức nghiệm hoặc các trường hợp
đặc biệt
0
=++
cba
hay
0
=+−
cba
mà ta còn có thể vận dụng các hằng đẳng thức
trong việc giải phương trình bậc hai.
Qua hai bài tập b, c và d hình thành cho học sinh kỹ năng ban đầu khi giải phương
trình bậc hai:
• Nhận xét xem có rơi vào các trường hợp đặc biệt:
0
=++

cba
hay
0
=+−
cba
không.
• Phương trình bậc hai đã cho có dạng hằng đẳng thức hay không ?
• Quan sát xem nên giải theo
∆
hay
'
∆
.
18
Bài tập phương pháp
Chương IV:Phương Pháp Dạy Học Môn Toán
Câu 5: Hãy trình bày cơ sở lý luận của tư tưởng “vừa dạy vừa luyện “trong dạy
học môn toán.
Trong quá trình dạy học thì hình thức luyện tập để củng cố tri thức có một ý nghĩa
rất quan trọng. Bởi vì môn toán là một môn công cụ tri thức, môn toán mang đặc điểm là
môn có tính trừu tượng cao và kĩ năng toán học được dùng rộng rãi trong việc học
những môn học khác và trong đời sống.
Do đó cần dạy cho HS có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng ứng dụng những
tri thức đó.
Tổ chức cho HS học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng
tạo, rèn luyện cho HS những kĩ xảo những phương thức tư duy cần thiết. Đó chính là
những hoạt động rất quan trọng trong việc học tập và luyện tập của HS.
Và học toán chính là học làm toán do đó luyện tập là học tập. Vì vậy về nguyên tắc
thì luyện tập phải diễn ra ngay trong quá trình chiếm lĩnh tri thức, đan kết vói quá trình
chiếm lĩnh tri thức chứ không phải chỉ được thực hiện sau quá trình này.

do đó để HS luyện tập tốt thì người làm giáo viên cần phải cung cấp những phương pháp
để giải quyết một bài toán như thế nào ?
Phương pháp giải một bài toán :
• Tìm hiểu nội dung đề bài.
• Tìm cách giải.
• Trình bày lời giải.
• Nghiên cứu lời giải - ứng dụng thực tế.
Cần dạy cho HS hiểu và vận dụng được những gợi ý có tính chất tìm đoán để thực
hiện các bước này với tư cách là những tri thức phương pháp, cần cho HS tập luyện
những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp.
Cùng với những phương pháp co tính thuật giải, cần quan tâm đến cả tri thức về
những phương pháp có tính chất tìm đoán.
19
Bài tập phương pháp
Ngoài ra người giáo viên còn phải xây dựng hệ thống bài tập phân bâc từ dễ đến khó
để tạo hứng thú cho HS khi luyện tập.
Những vấn đề trên chính là cơ sở lý luận của tư tưởng ừa dạy vừa học và tư tưởng
này là một đặc điểm của phương pháp dạy học toán.
Ví dụ: Sau khi HS học về công thức giải phương trình bậc hai.
Áp dụng giải các phương trình
a/ 5x
2
– x + 2 = 0
b/ 4x
2
– 4x + 1 = 0
Qua việc giải các phương trình góp phần cũng cố công thức cho HS.
Câu 6 : Cho một ví dụ về việc vận dụng tư tưởng chủ đạo “ Hoạt động và hoạt
động thành phần “ trong dạy học môn Toán.
Ví dụ : Giải phương trình :

3 2 1x x− = +
Qua ví dụ trên chúng ta đã vận dụng tư tưởng chủ đạo” Hoạt động và hoạt động thành
phần”đó là:
 HĐ1 : HS nhận dạng được đó là phương trình có dấu giá trị tuyệt đối, tứ đó HS sử
dụng ngôn ngữ , hoạt động trí tuệ, phân tích , tổng quát, khái quát hóa
 HĐ2: Phân tích hoạt động
HS phân tích ra thành các hoạt đông thành phần đó là hoạt động phân chia ra 2 trường
hợp :
TH1:
3 0 3x x
− ≥ ⇒ ≥
TH2:
3 0 3x x− 〈 ⇒ 〈
 HĐ3 : Lựa chọn hoạt động: Đò là HS lựa chọn xem trường hợp nào thỏa mãn với
điều kiện và trường hợp nào không thỏa mãn để từ đó HS kết luận ra nghiệm của
phương trình đã cho.
 HĐ4 : Quá trình giải toán(Hoạt động toán học)
*Điều kiện
3 0 3x x− ≥ ⇒ ≥
Ta được:
3 2 1x x− = +
4x⇔ = −
(Loại)
* Điều kiện:
3 0 3x x− 〈 ⇒ 〈
20
Bài tập phương pháp
Ta được
3 2 1x x
− = +

2
3
x⇒ =
(thỏa)
Vậy nghiệm của phương trình là
2
3
x =
Câu 7: Cho ví dụ về cách gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế - từ nội bộ toán
học ?
1.Ví dụ về cách gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế :
Chương V: Thống kê ( lớp 10)
* Thống kê là hoạt động có ứng dụng rộng rãi trong đời sống. Ví dụ: thống kê
thành tích học tập của một lớp( một trường ), thống kê trình độ dân trí, cơ cấu ngành
nghề ….Ta đã làm quen với thống kê ở lớp 6 ( biểu đồ phần trăm ), ở lớp 7 chương III
tập 2. Hôm nay thông qua chương này ta sẽ tìm hiểu thêm về thống kê để thấy rõ vai trò
tác dụng của thống kê trong cuộc sống và những năng cơ bản về thống kê để đáp ứng
yêu cầu công việc….
* Gợi động cơ mở đầu tìm hiểu định lý cosin.
Đo khoảng cách giữa hai vật A - B bị chắn bởi một vật cản.
Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu Định lý cosin để có thể tính được AB khi chúng bị
chắn ?
C
B
A
2.Ví dụ về cách gợi động cơ mở đầu xuất phát từ nội bộ toán học:
c
b
a

R
C
B
A
 HĐ1 : Cho tam giác ABC vuông ở A, nội tiếp đường tròn bán kính R và BC = a,
CA = b, AB = c. Tính sinA, sinB, sinC = ?
Ta được:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
21
Bài tập phương pháp
 HĐ 2 : vậy đối với trường hợp tam giác bất kì nội tiếp đường tròn đường kính BD
thì hệ thức trên còn đúng hay khơng ?
Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường kính BD

a
O
D
C
B
A
Bằng cách “khái q hóa” ván đề ta đã gợi mở cho học sinh tìm hiểu định lý hàm
số sin.
Câu 8: Cho ví dụ về cách gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc.
• Ví dụ về cách gợi động cơ trung gian :
Sau khi dạy xong về bình phương của tổng với hai số hạng . Gọi HS viết công thức về

tổng bình phương của hai số hạng
( a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Vậy áp dụng công thức trên tính ( 3x + y )
2
= ?
( 3x + y )
2
= ( 3x )
2
+ 2.3x.y + y
2
= 9x
2
+ 6xy + y
2
.
Với 3x = 2x + x. Thay vào công thức ( 3x + y )
2
= ?
( 3x + y )
2
=[( 2x+x) + y ]
2
= ( 2x + x )
2

+ 2.(2x + x).y + y
2

= ( 2x )
2
+ 2.2x.x + x
2
+2.(2x + x).y + y
2
= 9x
2
+ 6xy + y
2
.
Gọi HS viết công thức bình phương của một tổng với 3 số hạng.
( a+ b +c )
2
= ?
Từ ví dụ cụ thể trên học sinh tin tưởng mình có thể viết được công thức bình
phương của một tổng với 3 số hạng bằng cách quy về bình phương của một tổng với
hai số hạng bằng cách đặt a + b = d hay a+ c = e hoặc b + c = f. Xét tương tự bình
phương của một tổng với 2 số hạng HS dễ dàng tìm ra công thức bình phương của
một tổng với 3 số hạng ( a+ b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

+ 2ab + 2ac + 2 bc
• Ví dụ về gợi động cơ kết thúc:
Sau khi giải phương trình 3
x
+ 4
x
= 5
x
giáo viên nhấn mạnh việc khảo sát hàm số,
cách tư duy hàm đã giúp ta giải được phương trình trong trường hợp này.
Sau khi học xong bài về các tỉ số lựơng giác của góc nhọn đã giúp ta có thể tính
được chiều cao của ngọn tháp và khoảng cách giữa hai điểm mà ta không thể đo
trực tiếp
22
Bài tập phương pháp
Câu 9: Cho ví dụ về ba cấp độ dạy học tri thức phương pháp đã nêu trong giáo
trình.
1. Dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng
qt.
Đối với những tri thức phương pháp quy định trong chương trình cần xuất phát từ
chương trình và sách giáo khoa để lĩnh hội được mức độ hồn chỉnh, mức độ tường
minh và mức độ chặt chẽ của q trình hình thành những tri thức phương pháp đó.
Một điều quan trọng trong việc truyền thụ và củng cố những tri thức phương pháp
là nên phối hợp nhiều cách thể hiện những phương pháp đó.
Ví dụ: Phương pháp giải phương trình bậc hai tổng qt, các bước tiến hành
để xây dựng đạo hàm,...
Ví d ụ: Trong việc dạy quy tắc tính đạo hàm, sau khi hướng dẫn cho học sinh
nắm vững công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, đạo hàm của hàm
hợp giáo viên cho các ví dụ cụ thể minh hoạ cho học sinh thấy được công thức được
vận dụng như thế nào.

Công thức tính đạo hàm của hàm tích:
'''
)( uvvuuv
+=
Ví dụ minh hoạ: Tính đạo hàm của hàm số sau:
)1.()(
2
+=
xxxf
[ ]
( )
234322'232
'
3
'
23'
2222.)1(2)1.()1()1.()( xxxxxxxxxxxxxxf
++=++=+++=+=
2. Thơng báo tri thức phương pháp trong q trình hoạt động.
Đối với những tri thức phương pháp chưa được quy định trong chương trình, ta
vẫn có thể suy nghĩ khả năng thơng báo chúng trong q trình học sinh tiến hành hoạt
động nếu những tiêu chuẩn sau đây được thỏa mãn:
1. Những tri thức phương pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt
động quan trọng nào đó được quy định trong chương trình.
2. Việc thơng báo những tri thức này là dễ hiểu và tốn ít thời gian.
Ví dụ 1: Chứng minh định lí về tổng các góc trong của một tam giác.
Nhân việc kẻ thêm đường phụ trong khi chứng minh định lí này, có thể thơng báo cho
học sinh những tri thức phương pháp sau đây:
23
Bài tập phương pháp

• Để tìm cách chứng minh một định lí, có khi phải vẽ thêm đường phụ.
• Việc vẽ thêm một đường phụ là xuất phát từ việc phân tích kĩ giả thiết và kết
luận.
Ví dụ 2: Khi giải và biện luận phương trình
xax
−=+
1
2
sách giáo khoa
dùng phép biến đổi hệ quả để đi đến 2ax = a
2
- 1 rồi thay vào phương trình đầu để lấy
nghiệm nếu có phần phức tạp trong tính tốn. Ta có thể hướng dẫn học sinh đặt thêm
điều kiện phụ x ≤ a và coi đó là phép biến đổi tương đương rồi xét:
• a = 0 phương trình vơ nghiệm.
• a ≠ 0 thì
a
a
x
2
1
2
−
=
với
a
a
a
≤
−

2
1
2
. Điều này chỉ thỏa mãn với x > 0.
Qua đây, ta cung cấp cho học sinh một phương pháp biến đổi tương đương các
phương trình chứa căn thức thường gặp nhưng sách giáo khoa khơng trình bày.
Chú ý rằng: Có thể những tri thức phương pháp này chưa làm ta thỏa mãn vì chúng
cung cấp ít thơng tin cho việc giải quyết bài tốn. Nhưng vấn đề là ở chỗ: liệu nội
dung tương ứng, liệu mục đích dạy học nội dung đó, liệu quỹ thời gian và những yếu
tố khác có cho phép ta thơng báo những tri thức phương pháp đó chi tiết hơn và có
hiệu lực chỉ dẫn hoạt động tốt hơn hay khơng. Dù sao thì những tri thức phương pháp
đó cũng giúp ích ít nhiều cho việc giải quyết bài tốn đã đặt ra.
Ví dụ 3: Sau khi học định lý về dấu của tam thức bậc hai giáo viên đưa ra bài tập
sau:
)315)(72()( xxxf
−−=

)315)(72()( xxxf
−−=
có hai nghiệm
5,
2
7
21
==
xx
Bảng xét dấu
x
2
7

5
f(x) - 0 + 0 -
 Qua bài tập này giáo viên cầân chú ý cho học sinh: Việc xét dấu tam thức bậc hai
)315)(72()( xxxf
−−=
là tích của hai nhò thức bậc nhất, trước đây ta phải lập bảng
và sử dụng đònh lý về dấu tam thức bậc nhất. Từ nay trở đi ta sử dụng đònh lý về dấu
tam thức bậc hai (việc cung cấp tri thức phương pháp này thoã mãn hai tiêu chuẩn:
tri thức phương pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan
24
Bài tập phương pháp
trọng nào đó được qui đònh trong chương trình, việc thông báo tri thức này dễ hiểu
và tốn ít thời gian).
3. Tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp
Đối với những tri thức phương pháp khơng quy định chương trình mà chỉ thỏa
mãn tiêu chuẩn thứ nhất chứ khơng thỏa mãn tiêu chuẩn thứ hai đã nêu ở mục trên thì
ta có thể đề cập ở mức độ thấp nhất: Chỉ tập luyện những hoạt động ăn khớp với
những tri thức phương pháp đó.
Những tri thức như thế cần được giáo viên vận dụng một cách có ý thức trong
việc ra bài tập, trong việc hướng dẫn và bình luận hoạt động của học sinh. Nhờ đó
học sinh được làm quen với những phương pháp tương ứng và nhận ra sự cần thiết
của những phương pháp này.
Ví dụ 1: Rèn luyện khả năng chứng minh hình học(Ví dụ này được trình bày
dựa theo Walsch, 1975. )
Một con đường có hiệu quả để phát triển ở học sinh năng lực chứng minh tốn
học là tạo điều kiện cho họ tập luyện dần dần những hoạt động ăn khớp với một chiến
lược giải tốn chứng minh hình học. Chiến lược này kết tinh lại ở học sinh như một
bộ phận kinh nghiệm mà họ thu lượm được trong q trình giải những bài tốn này.
Đương nhiên, sự kết tinh này khơng nên để diễn ra một cách tự phát mà trái lại cần có
những biện pháp được thực hiện một cách có mục đích, có ý thức của giáo viên. Giáo

viên ln ln lặp đi lặp lại một cách có dụng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi như:
• Hãy vẽ một hình theo những dữ kiện của bài tốn. Những khả năng có thể xảy ra?
• Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?
• Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có giả thiết giống hoặc gần
giống với giả thiết của bài tốn?
• Kết luận nói gì? Điều đó còn có thể được phát biểu như thế nào?
• Những định lí nào có kết luận giống hoặc gần giống với kết luận của bài tốn ?
• Đã biết bài tốn nào tương tực hay chưa ?
• Cần có kẻ thêm đường phụ hay khơng ?
• ...
Những chỉ dẫn kiểu như các câu hỏi này gắn liền với những bài tốn cụ thể nhưng
được phát biểu một cách tổng qt để học sinh có thể vận dụng vào những tình huống
tương khác nữa. Với thời gian, họ sẽ ý thức được những câu hỏi hoặc chỉ dẫn này
25