Chuyên đề hình học phẳng lớp 10

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
I. Véc tơ chỉ phương và pháp tuyến
1) Véc tơ
u
r
là véc tơ chỉ phương của đt (d)
0
/ /( )
u
u d u d

≠

⇔

∪ ≡


r r
r r

u
r
là véc tơ chỉ phương thì k
u
r

với mọi k
≠
0 cũng là véc tơ chỉ phương của đt đó
2) Véc tơ

n
r
là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d)
0
( )
n
n d

≠

⇔

⊥


r r
r
;
n
r
là véc tơ pháp tuyến thì
k
n
r
với mọi k
≠
0 cũng là véc tơ pháp tuyến của (d)
3) Nếu (d) có véc tơ chỉ phương là
u
r

(u
1
; u
2
) thì véc tơ pháp tuyến của nó là
n
r
(-u
2
; u
1
) hoặc
n
r
(u
2
;-u
1
)
II. Pương trình của đường thẳng
1) Đt (d) đi qua M(x
0
; y
0
) và có véc tơ chỉ phương là
u
r
(u
1
; u

2
) thì pt tham số là
0 1
0 2
x x u t
t R
y y u t
= +

∀ ∈

= +


Phương trình chính tắc là
0 0
1 2
x x y y
u u
− −
=

và Phương trình tổng quát u
2
(x - x
0
) – u
1
(y – y
0

) = 0
2) Đt (d) đi qua M(x
0
; y
0
) và có véc tơ pháp tuyến
n
r
(n
1
; n
2
) thì
phương trình tổng quát là n
1
(x-x
0
) + n
2
(y-y
0
) = 0
phương trình tham số là
0 2
0 1
x x n t
t R
y y n t
= −


∀ ∈

= +


và phương trình chính tắc là
0 0
2 1
x x y y
n n
− −
=
−
3) Đt đi qua M(x
0
; y
0
) và có hệ số góc là k thì pt theo hệ số góc là y-y
0
= k(x-x
0
)
và véc tơ chỉ phương là
(1; )u k
r

đt tạo với Ox theo chiều dương một góc
α
thì hsg k = tan
α

4) Đt (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm có tọa độ là A( x
0
;0) và B(0;y
0
) có pt là
0 0
1
x y
x y
+ =
5) Đt (d) đi qua 2 điểm M
1
(x
1
; y
1
) và M
2
(x
2
; y
2
) => véc tơ chỉ phương
1 2 2 1 2 1
( ; )u M M x x y y= − −
r uuuuuur
thì
pt tham số
1 2 1
1 2 1

( )
( )
x x x x t
y y y y t
= + −


= + −


hoặc phương trình chính tắc là
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
− −
=
− −
6) Lưu ý từ PTTS suy ra PTTQ ta có thể làm mất bằng pp cộng đại số ; hoặc có
u
r
=>
n
r

từ PTTQ suy ra PTTS ta cũng có
n
r
=>
u

r
hoặc đặt x = t rồi thế vào pt => y
III. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: cho 2 đt có PTTQ
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
d : A x B y C 0
d : A x B y C 0
+ + =


+ + =


- 1 -
1)
1 1 1
1 2
2 2 2
/ /
A B C
d d
A B C
⇔ = ≠
2)
1 1 1
1 2
2 2 2
A B C

d d
A B C
≡ ⇔ = =
3)
1 1
1 2
2 2
A B
d d
A B
× ⇔ ≠
4)
1 2 1 2 1 2
0d d A A B B⊥ ⇔ + =
5) ÁP DỤNG: cho đường thẳng (d) có phương trình: A
1
x +B
1
y +C
1
= 0

đt (d’) // (d) có dạng pt A
1
x +B
1
y +C’ = 0
đt (d’) vuông góc với (d) có pt B
1
x -A

1
y +C
2
= 0 hay -B
1
x +A
1
y +C
2
= 0
6) Trường hợp đặc biệt: (d) // Oy hoặc vuông góc với Ox và đi qua M(x
0
; y
0
) có pt x = x
0
(d) // Ox hoặc vuông góc với Oy và đi qua M(x
0
; y
0 có
phương trình y
= y
0
7) Đường phân giác của góc phần tư thứ I và III là y = x còn của góc phần tư thứ II và IV là y
= -x
8) * cho hai đt cắt nhau
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2

d : A x B y C 0
d : A x B y C 0
+ + =


+ + =


mọi đường thẳng đi qua giao điểm của
(d
1
) và (d
2
) có dạng pt
2 2
1 1 1 2 2 2
( A x B y C )+ ( A x B y C ) = 0 voi ; R 0
α β α β α β
+ + + + ∈ + >
IV. Góc và khoảng cách
1) GÓC
• 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt có 2 véc tơ chỉ phương là
u
r
(u
1
; u
2
) và
v

r
(v
1
; v
2
) khi
đó góc
α
giữa 2 đt là
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
os =
.
u v
u v u v
c
u v
u u v v
α
×
× +
=
×
+ +
r r
r r
• 2 đường thẳng có hệ số góc là k
1

và k
2
thì góc giữa chúng là
1 2
1 2
tan
1
k k
k k
α
−
=
+

2) KHOẢNG CÁCH
• Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
) tới dt Ax + By +C = 0 là MH=
0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
• Khoảng cách giữa 2 đt song song là k/h từ điểm M thuộc đt này tới đt kia
• Cho 2 đt
( )
( )

1 1 1 1
2 2 2 2
d : A x B y C 0
d : A x B y C 0
+ + =


+ + =


ta có 2 đường phân giác của góc giữa 2dt này
là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +

3) HÌNH CHIẾU CỦA M LÊN(d)
Cách 1:
B
1
viết phương trình đt (M
x
):
qua M
( ) ( )

x
M d


⊥

B
2
tìm tọa độ H là giao điểm của (M
x
) và (d) bằng cách giải
- 2 -
Hệ pt của 2 đt đó
Cách 2: cho (d) Ax + By +C = 0 và M(x
0
; y
0
)
( )
. 0
d
H d
MH u MH u
∈



⊥ ⇔ =



uuuur uur uuuur r

0 1 0 2
Ax By C 0
( ). ( ) 0
H H
H H
x x u y y u
+ + =

⇔

− + − =


0 0
Ax By C 0
( ). ( )( ) 0
H H
H H
x x B y y A
+ + =

⇔

− + − − =


4) Xác định M’ đối xứng với M qua (d)
Cách 1

Ta làm

b1; b2 như trên sau đó áp dụng ct H là trung điểm của MM’


Cách 2:
( )
' '. 0
d
H d
MM u MM u
∈



⊥ ⇔ =


uuuuur uur uuuuur r

/ /
0 1 0 2
Ax By C 0
( ). ( ) 0
H H
x x u y y u
+ + =

⇔


− + − =


/ /
0 0
0 0
A( ) B( ) C 0
2 2
( ). ( )( ) 0
H H
x x y y
x x B y y A

+ +
+ + =

⇔


− + − − =

5) Đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua đường thẳng (
∆
):
 Nếu (d ) // (
∆
) ta lấy M thuộc (d) tìm M’ đối xứng với M qua (
∆
) khi đó đt (d’) là đt đi
qua điểm M’ và song song với d

 Nếu (d) cắt (
∆
) tại điểm M, ta lấy điểm A thuộc (d) và tìm A’ đx với A qua (
∆
), sau đó
viết ptđt (d’) đi qua 2 điểm M và A’
BÀI TẬP
Phần 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Bài1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4; 1),B(1;5);C( 4; 5)− − −
Viết phương trình các đường thẳng sau
1) 3 cạnh của tam giác
2) Đường cao AH
( )
∈H BC
3) Các đường trung tuyến
1 1
BB ,CC

( )
1 1
B AC,C AB∈ ∈
4) Đường trung trực của AB
5) Các đường phân giác
2 2
BB ,CC

( )
2 2
B AC,C AB∈ ∈

Bài2. Cho 3 điểm M(-1;1), N(1;9), P(9;1) lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA
- 3 -
1) Viết phương trình các cạnh của tam giác
2) Viết pt đường trung trực của cạnh AC
Bài3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4; 1)−
và phương trình hai đường
trung tuyến
1 1
BB :8x y 3 0,CC :14x 13y 9 0− − = − − =
. Tính tọa độ các điểm B, C.
Bài4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4; 1)−
và phương trình hai đường
phân giác
2 2
BB : x 1 0,CC : x y 1 0− = − − =
. Tính tọa độ các điểm B, C.
Bài5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
C( 4; 5)− −
và phương trình đường cao
AD:x 2y 2 0+ − =
, đường trung tuyến
1
BB :8x y 3 0− − =
.Tính tọa độ các điểm A, B.
Bài6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
B(1;5)
và phương trình đường cao

AD:x 2y 2 0+ − =
, đường phân giác
1
CC : x y 1 0− − =
.Tính tọa độ các điểm A, C.
Bài7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4; 1)−
và phương trình trung tuyến
1
BB :8x y 3 0− − =
, phương trình đường phân giác
2
CC :x y 1 0− − =
.Tính tọa độ các điểm B,
C.
Bài8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(4; 1)−
và phương trình trung tuyến
1
BB :8x y 3 0− − =
, phương trình đường phân giác
2
BB : x 1 0− =
.Tính tọa độ các điểm B, C.
Bài9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
B(1;5)
và phương trình đường cao
AD:x 2y 2 0+ − =
, phương trình đường trung tuyến
1

AA : 2x 11y 3 0+ + =
.Tính tọa độ các điểm
A, C.
Bài10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết
( )
A 1;3
và
hai đường trung tuyến lần lượt có phương trình
x 2y 1 0;y 1 0− + = − =
.
Bài11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
( )
A 2;2
và hai đường cao lần lượt
có phương trình
9x 3y 4 0;x y 2 0− − = + − =
. Lập phương trình các cạnh của tam giác đó.
Bài12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết
( )
A 2; 1−
và
các đường phân giác trong của các góc B và C lầ lượt các phương trình
x 2y 1 0;x y 3 0− + = + + =
.
Bài13. cho tam giác ABC cân tại A AB: 2x-y+5=0; AC: 3x+6y-1=0 viết pt BC qua M(2;-1)
Bài14. cho (d): x+2y-3=0 và (d’): 3x-y+2=0 viết pt đường thẳng qua M93;1) và cắt (d) và (d’) tại
A ,B mà AB tạo với d và d’ một tam giác cân đáy AB
Phần 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN CÁC ĐIỀU KIỆN CHO
TRƯỚC và các ứng dụng
Bài 1: Viết phương trình tham số và tổng quát của đt (d)

1) (d) qua M(2;1) và có véc tơ chỉ phương
u
r
(2;4)
2) (d) qua N(-2;3) có véc tơ pháp tuyến là
n
r
(5;1)
3) (d) qua P(5;3) và B(1;6)
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng thỏa mãn các điều kiện sau
1) Đi qua A(-1;3) và //Ox
2) Đi qua B(-2;-3) và vuông góc với Ox
3) Đi qua M(1;4) và // (d): 3x-2y+1=0
4) Đi qua N(-1;-4) và vuông góc với (d’): 2y=5x+3
5) Đi qua P(4;2) và có hệ số góc k =-3
6) Đi qua P(5;3) và B(1;6)
- 4 -
Bài 3: xét vị trí tương đối của 2 đt
1)
4 2 8 '
&
5 4 3 '
x t x t
y t y t
= − = +
 
 
= + = −
 
2)

5
1 & 4 0
x t
y t x y
= +


= − − + − =

Bài 4: cho A(3;-2) tìm hình chiếu của A lên đt (d) x+3y+2=0
Bài 5: cho M(2;0) và (d): x-y+2=0
1) tìm H là hình chiếu của M lên (d)
2) tìm M’ đối xứng với M qua (d)
Bài 6: Biện luận số giao điểm của 2 đt
(d): x+my=2 và d’ 2mx+y=m+1
Bài 7: viết pt d’ đối xứng với d qua a với
1) d: 2x-y+5=0 và a: 2x-y+7=0
2) d: 2x+3y+3=0 và a: 2x+4y-1=0
Bài 8: tính khoảng từ M dến (d)
1) d: 3x-4y+8=0 và M(4;-3)
2) d:
1
3 2
x t
y t
= +


= −


và M(5;-1)
Bài 9: viết pt đường phân giác của góc tạo bởi 2 đt sau:
1) x-y+1=0 và 2x-y+7=0
2) x+y-5=0 và
1
3 4
x t
y t
= +


= +

Bài 10: cho đt d: x+y+1=0 và M(3;1)
1) tìm A thuộc d sao cho AM=
13
2) tìm B thuộc d sao cho BM ngắn nhất
Bài 11: tìm góc giữa 2 đt sau:
1) d: x-2y+1=0 và d’: x+3y+3=0
2) d: 3x-7y+20=0 và d’: 2x+5y-13=0
Bài 12: viết ptdt d thỏa mãn
1) qua A9-2;0) và tạo d
1
: x+3y-3=0 một góc 45
0
2) qua B(-1;2) và tạo với d
2
:
2 3
2

x t
y t
= +


= −

một góc 60
0
Bài 13: viết ptddt qua A91;2) và cách đều B(2;3) C(4;5)
Phần 3:
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A,
( )
M 1; 1−
là trung điểm của cạnh BC, trọng tâm tam giác ABC
là
3
G ;0
2
 
 ÷
 
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác đó.
Bài 2:
- 5 -
Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua
các điểm

( ) ( ) ( ) ( )
M 4;5 ,N 6;5 ,P 5;2 ,Q 2;1
và diện tích của hình chữ nhật bằng 16
Bài 3:
Cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB, AD theo thứ tự là
x 2y 2 0;2x y 1 0+ − = + + =
.
Cạnh BD chứa điểm
M(1;2)
. Tìm tọa độ các đỉnh.
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại B, phương trình cạnh AB có dạng
3x y 2 3 0− − =
, tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC là
( )
I 0;2
,
B Ox∈
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 5:
Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC là
y 2=
, đỉnh A thuộc đường thẳng
x y 2 0+ − =
và
diện tích tam giác là
2
3
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết A có hoành độ dương.

Bài 6:
Cho hai đường thẳng
( )
1 2
d : x y 0;(d ):2x y 1 0− = + − =
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
biết
( ) ( )
1 2
A d ,B d ,C∈ ∈
và
D Ox∈
Bài 7:
Cho hình chữ nhật ABCD có
( )
A 1;1
, đường chéo BD có phương trình
3x 4y 1 0+ + =
, C nằm trên
đường thẳng
( )
d :x y 2 0+ + =
. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
Bài 8:
Cho tam giác ABC có đỉnh
( )
A 2; 1−
, hai đường phân giác trong của góc ABC và ACB lần lượt có
phương trình
x 2y 1 0,x y 3 0− + = + + =

. Viết phương trình cạnh BC.
Bài 9:
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân có phương trình hai cạnh là
2x y 3 0,x 2y 1 0+ − = − + =
, cạnh còn lại chứa điểm
( )
M 3;1
Bài 10:
Cho hai đường thẳng
( ) ( )
1 2
d : y x 3, d : y x 7= − + = − +
. Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác vuông
cân ABC biết
( )
A 2;4
và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên hai đường thẳng đã cho.
Phần 4: luyện tập
1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1), cạnh AB có pt:
0154 =++ yx
, cạnh AC có phương
trình:
0352 =++ yx
a.Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC.
b. Tìm tọa độ đỉnh B và phương trình cạnh BC.
2. Tam giác ABC có trung điểm của BC là M(-1; 1). Phương trình cạnh AB:
02 =−+ yx
và phương
trình AC:
0362 =++ yx

. Xác định toa độ các đỉnh của tam giác.
3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4; -5) và hai đường cao có phương
trình là
0435 =−+ yx
và
01383 =++ yx
.
4. Cho điểm A(1;2) và đường thẳng D:
a. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua D.
b. Viết phương trình đường thẳng D’ đối xứng với D qua A.
5. Cho điểm M(1; 2)
- 6 -
a. Lập phương trình đường thẳng d qua M và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện
tích
bằng 4.
b. Lập phương trình đường thẳng d’qua M chắn trên hai trục tọa độ các đoạn thẳng bằng
nhau.
c. Lập phương trình đường thẳng qua điểm Mvà cắt các trục tọa độ tại các điểm A và B sao cho
M là trung điểm của AB.
7. Cho P(3;0) và hai đường thẳng
03:;022:
21
=++=−− yxdyxd
a. Tìm tọa độ giao điểm của
1
d
và
2
d
.

b. Gọi d là đường thẳng qua P và cắt
1
d
,
2
d
lần lượt tại A và B sao cho PA = PB. Viết phương
trình d.
8. Tam giác ABC có phương trình cạnh AB:
0135 =+− yx
, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt
là
02227;0134 =−+=+− yxyx
. Lập phương trình hai cạnh AB, BC và đường cao thứ 3 của tam
giác.
9. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1; 3) và hai đường trung tuyến có phương
trình:
012:;01:
21
=+−=− yxdyd
10. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4; -5) và hai đường cao hạ từ hai đỉnh còn
lạicó phương trình:
0435 =−+ yx
và
01383 =++ yx
.
11. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung
tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình:
032;01232 =+=+− yxyx
.

12. Cho tam giác ABC có B(2;-7), đường cao AH:
073 =++ yy
, trung tuyến CI:
072 =++ yx
.
Viết phương trình ba cạnh của tam giác.
13. Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3).
a. Biết đường cao BH:
02535 =−+ yx
, đường cao CK:
01283 =−+ yx
. Tìm tọa độ B và C
b. Biết đường trung trực của AB là:
0423 =−+ yx
và trọng tâm G(4;-2). Tìm tọa độ B và C.
14. Biết phương trình hai cạnh của tam giác là:
0625 =+− yx
và
02174 =−+ yx
. Viết phương
trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ.
15. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2; -1)đường cao và phân giác trong qua
hai đỉnh A và C lần lượt là:
02743 =+− yx
,
052 =−+ yx
16. Cho tam giác ABC có phân giác của góc A có phương trình
02:
1
=++ yxd

, đường cao kẻ từ B
có phương trình là
012:
2
=+− yxd
. Cạnh AB qua M(1;-1). Tìm phương trình cạnh AC .
17. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1;-1) là trung điểm của cạnh BC và trọng tâm G(
0;
3
2
). Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
18. Cho A(0;2), B(
1;3 −−
). Tìm tọa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
19. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0; 2) và
022: =+− yxd
. Tìm trên d hai điểm B và C sao
cho Tam giác ABC vuông ở B và có AB = 2BC.
20. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(-2; 0) và hai đường thẳng
052:
1
=+− yxd
.
03:
2
=−+ yxd
.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua I cắt cả hai đường thẳng
21
;dd

lần lượt tại A và B sao cho
IBIA 2=
21. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1; 1), B(4; -3), tìm trên trên đường thẳng
012: =−− yxd
một
điểm C sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
22. Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A(-1; 4), B(1; -4) và đường thẳng BC đi qua điểm M(2;
2
1
)
tìm tọa độ đỉnh C.
- 7 -
23. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(
0;
2
1
), phương trình đường thẳng AB là:
022 =+− yx
và
AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết đỉnh A coa hồnh độ âm.
24. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
0:
1
=− yxd
.
012:
2
=−+
yxd
. Tìm tọa độ các đỉnh

của hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc
1
d
. Đỉnh C thuộc
2
d
và các đỉnh B và D thuộc trục hồnh.
25. Cho tam giác ABC với
5=AB
, C(-1; -1), đường thẳng AB có phương trình

032 =−+ yx
vàtrọng tâm của tam giác ABC tuộc đường thẳng
02 =−+ yx
. Hãy tìm tọa độ các
đỉnh A và B.
26. Cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có
phương trình:
01043 =++ yx
và
01 =+− yx
. Điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách
C một khoảng bằng
2
. Tìm tọa độ ncác đỉnh của tam giác ABC.
CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình chính tắc của đường tròn:
Đường tròn (C ) có
2 2 2

( , )
( ) : ( ) ( )
tamI a b
C x a y b R
BkinhR

⇔ − + − =


2. Phương trình tổng quát của đường tròn:
Cho đường cong (C ) có pt: x
2
+y
2
-2ax-2by+c = 0
Là phương trình đường tròn nếu a
2
+b
2
-c > 0 khi đó
2 2
( ; )TamI a b
BkinhR a b c



= + −


* Chú ý nếu hệ số của x và y trong pt tổng quát không giống nhau thì kết luận ngay đó không phải

là pt đường tròn
B. CÁC DẠNG ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP:
1. viết ptdt có đường kính AB:
2
AB
R
TâmItrungdiemAB

=











++
−+−=
)
2
,
2
(
)()(
2
1

22
BABA
ABAB
yyxx
I
yyxxR
2. viết ptdt qua A và có tâm I
TâmI
R AI

⇔

=

3. viết ptdt có tâm I và tiếp xúc đt d:Ax+By+C= 0
( / )
TâmI
R d I d

⇔

=






+
++

=
22
BA
CBbAa
R
TâmI
4. viết ptdt qua 3 điểm A, B, C ta thế lần lượt 3 điểm vào pttq bấm máy => a, b, c
5. viết ptdt đi qua 2điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. thế 2điểm A, B vào ptrq, thế tâm
I(a,b) vào đường thẳng d ta được hệ 3 pt bấm máy => a, b, c
- 8 -
6. viết ptdt tiếp xúc với 2 đt d
1
, d
2
và có tâm thuộc d. thế điểm I vào pt d được pt(1). Tâm I thuộc
đường phân giác của góc tạo bời d
1
, d
2
được 2pt (2) hoặc (3). Ta có 2 thợp














)3(
)1(
)2(
)1(
7. viết ptdt có tâm I(a,b) và tiếp xúc với Ox => bán kính R = | b|
8. viết ptdt có tâm I(a,b) và tiếp xúc với Oy =>bán kính R = | a|
9. viết ptdt có tâm I(a,b) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ
⇔
|a| = |b| = R
⇔



=
=
|a| R I(a,-a) Tâm :TH2
|a| R a)I(a, Tâm :TH1
C. Tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn có tâm I(a,b) và bán kính R. Tiếp tuyến của đường tròn có t/h sau:
1. biết tiếp điểm M(x
0
, y
0
) ta có pttt là:
• (x-a)(x
0
-a)+(y-b)(y-y

0
) = R
2
• (x
0
-a)( x – x
0
) + (y
0
-b)(y-y
0
) = 0
2. tiếp tuyến vuông góc với Ox có dạng x = a
±
R
Lưu ý tiếp tuyến không vuông góc với Ox có dạng y = kx+m
3. tt qua A(x
1
, y
1
) có pt y = k(x-x
1
) +y
1
4. tt hợp với Ox góc
α
thì k = tan
±
α
5. tt hợp đt

∆
một góc
α
thì
• Cách 1: Trường hợp 1: tan
α
=
1
1
1 kk
kk
+
−
với k
1
là hsg của
∆
Trường hợp 2: xét x = a
±
R
• Cách 2: gọi pt tiếp tuyến Ax +By +C = 0 ta có : d(I,
∆
) = R (1) và cos
α
=
1 1
2 2 2 2
1 1
.
A A B B

A B A B
+
+ +

(2) giải A từ pt 2 thế vào pt 1
6. tt vuông góc với
∆
thì k =
1
1
k
−
với k
1
là hsg của
∆
7. tt song song với
∆
thì k = k
1
với k
1
là hsg của
∆
8. Tiếp tuyến đi qua một điểm A
• Nếu IA = R => A thuộc (C) th́ A là tiếp điểm (dạng 1)
• Nếu IA < R => A nằm trong (C ) nên không có tt
• Nếu IA > R thí A nằm ngoài đường tròn nên có 2 tiếp tuyến
Cách 1: đường thẳng qua A(x
1

, y
1
) có phương tŕnh (d): A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0
Tt tiếp xúc với đ (C ) suy ra R = d(I,(d)) nay là pt đẳng cấp ta chọn một giá tri của A hoặc
B (hợp lý) suy ra gtri còn lại
Cách 2: th
1
: tt qua A(x
1
, y
1
) có pt y = k(x-x
1
) +y
1
(d)

R = d(I,d)
Th
2
: xét đt x = x
0
kiểm tra điều kiện

R = d(I,d)
9. đường tròn nội tiếp tam giác ABC có 3 cạnh

- 9 -
 t́m A, B, C
 viết pt phân giác góc A
(1)
(2)



 thế B, C vào nếu trái dấu => phân giác góc trong (nhận)
 viết phương tŕnh phân giác góc B rồi thế A,C vào để chọn phân giác góc trong
 tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương tr 2 đường phân giác trên
 R = d(I,AB)
D. BÀI TẬP:
1. Tìm tâm và bán kính nếu là đường tròn của các pt sau:
a. x
2
+y
2
-2x-2y-2= 0
b. 3x
2
+3y
2
-15x-9y+1= 0
c. 3x
2
+y
2
-4x-2y+5= 0
d. x

2
+y
2
-2y+5= 0
2. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a. đường kính AB mà A(1,2) ; B( -3,4)
b. có tâm I(2;-3) và qua B( -5; 4)
c. có tâm I(6;-7) và tiếp xúc với Ox
d. tâm I( 5;-2) và tiếp xúc với Oy
e. tâm I( 3; -2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : 3x – 4y +1 = 0
f. qua 3 điểm A(2, 0); B(0,1); C(-1,2)
g. qua M(2,4) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ
h. tâm I thuộc đường thẳng (d): 2x – y – 4 = 0 và tiếp xúc với 2 trục tọa độ
i. tâm thuộc đường thẳng (d): 3x + 7y + 1= 0 và qua 2 điểm M(2,1) ; N(1,3)
j. qua A(5,3) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x +3y +2 = 0 tại điểm B(1, - 1)
3. Lập phương trình đường tròn :
- 10 -
a. Đi qua 3 điểm A(1,1) ; B(1, - 1); C(2,0)
b. Đi qua 2 điểm M(1,2) ; N(-1,-1) và có tâm thuộc Ox
c. Tiếp xúc với Ox tại A(6,0) và qua điểm B(9,9)
d. Qua M(1,2) và tiếp xúc với (d): 3x – 4y +2 = 0 tại N(-2,-1)
e. Có tâm thuộc đường thẳng x = 3, tiếp xúc với Oy và qua A(5,4)
f. Qua A(-4,4) tiếp xúc với đường thẳng (d): 3x +4y – 5 = 0 và có bán kính bằng 1
g. Qua A(1,-2) và qua giao điểm của đường thẳng (d): x – 7y + 10 = 0 với đường tròn x
2
+ y
2
– 2x +
4y – 20 = 0
4. Viết phương trình đường tròn qua A( 1,1) và tiếp xúc với trục tung tại điểm H(0,-2) . Viết phương

trình tiếp tuyến tại điểm A
5. Lập phương trình đường tròn :
a. Có tâm I(1,-2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x + y – 2 = 0
b. Có tâm trên đường thẳng 2x – y – 3 = 0 và tiếp xúc với 2 trục tọa độ
c. Qua 3 điểm A(3,0); B(-1,2); C(7,2)
d. Qua A(5,3) và tiếp xúc vơi đt (d) : x + 3y + 2 = 0 tại B(1,-1)
6. lập phương trình đường thẳng // x – 2y = 0 và chắn trên đường tròn x
2
+ y
2
– 8x = 0 một dây có độ
dài bằng 2
7. Cho A( -12,0) và B(0,5)
a. Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường tròn đường kính OM
b. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Suy ra phương trình đường tròn nội tiếp
tam giác OAB
c. CMR 2 đường tròn trên tiếp xúc nhau
8. Cho tam giác ABC lần lượt có các cạnh AB: 4x + 3y – 1 = 0; AC: 3x + 4y – 6 = 0; BC: y = 0
a. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A
b. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC
9. Cho đường tròn (C ): x
2
+ y
2
– 2y = 0 . Tìm iếp tuyến và tiếp điểm biết
a. Tiếp tuyến qua A(1,2)
b. Tiếp tuyến qua B(1,3)
10. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):
a. (C ):
2 2

4 4 17 0x y x y+ + + − =
tại điểm M( 2,1 )
b. (C ):
2 2
2 6 5 0x y x y+ − + + =
biết tiếp tuyến // d: 2x + y – 1 = 0
c. (C ):
2 2
6 2 6 0x y x y+ − + + =
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1, 3 ). Tìm tọa độ tiếp điểm
d. (C ):
2 2
6 2 5 0x y x y+ − − + =
biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 2x – y + 1 = 0
11. Cho đường tròn : (C ): x
2
+ y
2
= 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đtròn:
a. Tại điểm
(1, 3)M
b. Tiếp tuyến // (d): 3x – y + 17 = 0
c. Tiếp tuyến vuông góc (d): x + 2y + 5 = 0
d. Tiếp tuyến đi qua điểm A( 2, -2)
12. Cho đường tròn : (C ): x
2
+ y
2
– 2x – 2y – 23 = 0. Tìm tiếp tuyến (d) của (C ) biết:
a. (d)

⊥
3x – 4y +2 = 0
b. (d) // 3x – 4y + 1 = 0
c. (d) qua M(0,6)
d. (d) qua N(2,8)
e. tạo với Ox một góc 45
0
- 11 -
13. Cho (C ): x
2
+ y
2
– 4x + 8y – 5 = 0. Định m để đường thẳng (d) : x + ( m – 1)y + m = 0 tiếp xúc
(C )
14. Cho A(2,0); B(6,4) . Viết phương trình (C ) tiếp xúc với Ox tại A và khoảng cách từ tâm (C ) tới B
bằng 5
15. Cho đường tròn (C ): x
2
+ y
2
+ 2x – 4y = 0. cắt Ox tại A, O và cắt Oy tại O, B
a. viết phương trình tiếp tuyến tại O, A, B
b. viết phương trình tiếp tuyến với (C ) xuất phát từ M(4,7)
16. Cho đường cong (C
m
): x
2
+ y
2
– 2(m – 1 )x – 2my + 1 = 0.

a. Tìm m để (Cm ) là đường tròn có bán kính bằng 2
b. Tìm tập hợp tâm I khi (C
m
) là đường tròn
17. (C
m
): x
2
+ y
2
– (m – 2 )x + 2my – 1 = 0
a. Tìm tập hợp tâm của đường tròn (C
m
)
b. Cho m = - 2 và A(0,-1) viết phương trình tiếp tuyến với (C
2
) xuất phát từ A. Gọi T
1
, T
2
là 2 tiếp
điểm tính T
1
T
2
18. (C
m
): x
2
+ y

2
– 2mx – 2(m+1)y + 4m = 0
a. Tìm tập hợp tâm của (C
m
):
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C
2
): biết tiếp tuyến // (d): 2x + y = 1 = 0
19. Tìm giao điểm :
a. Của 2 đường tròn: x
2
+ y
2
+ 2x + 2y -1 = 0 và :x
2
+ y
2
– 2x + 2y – 7 = 0
b. Của đường thẳng (d): x – 2y – 5 = 0 và (C ): x
2
+ y
2
– 2x - 4y - 11 = 0
20. Xét vị trí tương đối của (d): 3x + y + m = 0 và (C ): x
2
+ y
2
–4x + 2y = 1 = 0
21. (C
m

):4x
2
+4y
2
– 8mx – 8y + 4 + 3m
2
= 0
a. CMR: (C
m
) là đường tròn. Tìm tập hợp tâm
b. CMR (C
m
) ln tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định
22. Cho họ (C
m
): x
2
+ y
2
– 2(3m+ 1 )x – 8my + 16m = 0
a. Tìm tập hợp tâm (C
m
)
b. CMR (C
m
) ln tiếp xúc với nhau tại 1 điểm có định
23.
CHUYÊN ĐỀ ELIP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phương trình chính tắc của (E)

1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
với b
2
=a
2
-c
2

( với a>b)
Có đỉnh A
1
(-a,0); A
2
(a,0); B
1
(0-b); B
2
(0,b); TRỤC LỚN A
1
A
2

= 2a; TRỤC BÉ B
1
B
2
=2b
TIÊU CỰ F
1
(-c,0); F
2
(c,0) ; TIÊU ĐIỂM F
1
F
2
= 2c; TÂM SAI e=c/a (0<e<1)
HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ là giao điểm x=
±
a và y=
±
b có chiều dài 2a và chiều rộng 2b
2. chuyển về phương trình chính tắc: A
2
x
2
+B
2
y
2
= C
2
ta chia 2 vế cho C

2

≠
0 ta được pt
22
2
22
2
// BC
y
AC
x
+
=1
B. LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP:
1. Cho 2 trong 3 giá trò a, b, c thì sử dụng công thức b
2
=a
2
-c
2
2. đi qua A(x
0
,y
0
) và có 2 tiêu điểm F
1
(-c,0); F
2
(c,0)

⇔
thế điểm A vào pt chính tắc ta được
(pt1)
- 12 -
thế c vào pt b
2
=a
2
-c
2
(pt2) . giải hệ trên ta được a, b, c
3. (E) đi qua 2 điểm A, B ta thế toạ độ 2 điểm vào pt chínhtắc . bấm máy giải hê => a, b
4. cho trục lớn và tâm sai=> giá trò a, thế vào e=c/a => c, b
2
=a
2
-c
2
=> b
cho trục nhỏ và tâm sai



⇔
coe
cob






=
+=
⇔
e
a
c
cb
222
a
sử dụng phương pháp thế => a,c
C. T ̀ M ĐIỂM M THUỘC (E) THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
5. qua M và Mnhìn 2 tiêu diểm dưới một góc vuôngCÁCH1





=
∈
⇔
0
)(
21
NFNF
EptM

CÁCH2 M thuộc đtròn tâm 0 bán kính R =cvậy ta có hệ phương trình
2 2 2
2 2

2 2
( 0) ( 0)
1
x y c
x y
a b

− + − =

⇔

+ =


6. cho bán kính qua tiêu điểm trái và tiêu điểm phải







−=
+=
⇔
M
M
x
a
c

aMFp
x
a
c
aMFT
2
1
:
:
7. M thuộc (E) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc
α
⇔





++=++=+=
∈
α
cos 2.2)(
)(
21
2
2
2
121
2
2
2

1
2
21
2
21
PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFF
EM
8. Tim toạ độ nguyên của (E) : x = { x
∈
Z /
a x a− ≤ ≤
} rồi thế vào pt tim ra y nguyên
tương ứng
D. BÀI TẬP
câu1. Xác định tiêu cự, tiêu điểm , độ dài 2 trục của các ELIP sau:
a. 4x
2
+ 9y
2
= 36
b. x
2
+4y
2
= 64
c. 4x
2
+ 9y
2
= 5

d. x
2
+ 4y
2
= 1
e. 3x
2
+ 4y
2
– 48 = 0
f. x
2
+ 5y
2
– 20 = 0
câu2. Lập phương trình chính tắc của (E) có:
a. Tiêu cự 2
5
; trục lớn có đọ dài bằng 6
b. Một tiêu điểm là (
3−
; 0) và qua điểm (
3
; 1/2)
c. Một đỉnh (4;0) và qua điểm (2;
3 3
2
)
- 13 -
d. Qua 2 điểm M(4;

3−
) và N(
2 2
; 3)
caâu3. Lập phương trình (E) thỏa mãn điều kiện sau:
a. Độ dài nửa trục lớn là 4 và độ dài trục nhỏ là 6
b. Độ dài trục lớn là 10 , tiêu cự là 6
c. Độ dài trục lớn là 8 , tâm sai là
3
2
d. Qua điểm M(1;
3
2
) và tiêu điểm F(
3
; 0)
e. Một đỉnh (0; -2) và tiêu điểm F(1;0)
caâu4. (*) Viết phương trình (E) :
a. Tâm sai 3/5 và trục bé là 8
b. Qua M(
3 4
;
5 5
) và tam giác MF
1
F
2
vuông tại M
c. Qua điểm A(2; -5/3) và tâm sai =2/3
caâu5. Tìm diểm M thuộc (E) và thỏa mãn các điều kiện tương ứng sau:

a. x
2
+ 5y
2
= 20. (E) . M
∈
(E) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 90
0
b. 3x
2
+ 4y
2
= 48 (E) . M
∈
(E) sao cho
1
2
3
5
MF
MF
=
c.
2 2
1
25 9
x y
+ =
(E). M
∈

(E) sao cho MF
1
= 2MF
2
d. x
2
+ 4y
2
= 4. (E) . M
∈
(E) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 60
0
caâu6. Cho (E ):
2 2
1
9 5
x y
+ =
a. Tìm tiêu điểm , tâm sai, đỉnh của (E)
b. Một đường thẳng qua F
1
và vuông góc với ox cắt (E) tại A, B. Tính AB
c. CMR
2
1 2
.OM MF MF+
là một hằng số
caâu7. Cho (E ): 4x
2
+ 9y

2
= 36
a. Tìm tiêu điểm, tâm sai, đỉnh của (E )
b. M thuộc (E) mà x
m
=
5
. Tìm MF
1
, MF
2
c. CMR:
2
1 2
.ON NF NF+
là một hằng số
d. Một đường thẳng đi qua F
2
và vuông góc với ox cắt (E) tại 2 điểm A, B. Tính diện tích tam
giác ABF
1

caâu8. Cho (E): x
2
+ 9y
2
= 9. Tìm M
∈
(E) sao cho
a. MF

1
= 2MF
2
b. MF
1

⊥
MF
2
c. (MF
1
,MF
2
) = 60
0
caâu9. Cho (E): 7x
2
+ 16y
2
= 112. Tìm M trên (E) mà bán kính tiêu điểm trái bằng 5/12
caâu10. . Cho (E): 9x
2
+ 25y
2
= 225
a. M
∈
(E) sao cho 3MF
1
- 2MF

2
= 1
b. Tìm M thuộc (E ) mà nhìn hai tiêu điểm 1 góc 60
0
c. Chứng minh rằng ON
2
+ NF
1
.NF
2
là một hằng số
- 14 -