Đề cương toán rời rạc 2 (ĐHSPKTHưng yên)

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 1

                  


 








 

8 2



Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 2

 1
 2
 4
Bài 1   6
 6

- chu trình -  8
 12
 12
ông 13
 14
Bài 2  18
 18
-  18
2.2.2.  20
 20
Bài 3 Euler 22
 22
 22
 23
Bài 4  26
 27
Bài 5 nh Euler và Hamilton. 31
 31
 31
 32
 33
Bài 6  34
 34
 37
 40
Bài 7 Cây và cây khung 42
7.1. Cây và cây khung 42
7.1.1. Cây 42
 43
 45

 48
 50
Bài 8  53
 53
 55
 56
 57
Bài 10  60
 60
-Bellman 61
Dijkstra 63
Bài 11  66
 66
 70
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 3
 71
Bài 12  72
-  72
 73
 73
 76
Bài 13  87
 87
13.1.1 Các bài toán liên  87
 88
 trình 90
 91
u 95

 104
 105
 106
 106
 109
 112
Bài 14  115
 115
 116
14.3 Bài  116
 118

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 4

Hình 1.1  6
Hình 1.2  7
Hình 1.3   7
Hình 1.4  8
Hình 1.5  9
Hình 1.6  10
 11
Hình 1.8  12
Hình 1.9  13
Hình 1.10  14
Hình 1.11 
3
, C
4

, C
5
, C
6
15
Hình 1.12 
3
, W
4
, W
5
, W
6
15
Hình 1.13 
1
, Q
2
, Q
3
15
Hình 1.14  16
Hình 1.15 
4
 16
Hình 1.16  17

1
18
 22


1
, G
2
, G
3
23

1
, H
2
, H
3
23
 24
 26

3

2
, và G
1
27

5

6
28
 30
 33

 35
 41
 42
 44
 49
 53

1
53
 55
 57
 66
 70

f
 75
-Fullkerson 82
 83
Hình 12.4  84
 85
 92
 92
 93
 94
 95
 96
Hình 13. 98
 99
Hình 13.9 Phân c 101
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 5
 101
 103
 104
 105
 108
 109
 110
 110
 111
 111
 113
 115

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 6
Bài 1 
1.1. 
     
kiểu và số lượng 


 



Hình 1.1 Sơ đồ mạng máy tính.


ính nào
đơn đồ thị vô
hướng

Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp không có
thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh.



Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 7

Hình 1.2 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại.

Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp không có
thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai cạnh e
1
và e
2
được gọi là
cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.

Hình 1.3 Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo.





khuyên 

giả đồ thị vô hướng,
au:

Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp không có
thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết phải khác nhau) của V gọi là cạnh. Cạnh e
được gọi là khuyên nếu nó có dạng e = (u, u).
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 8

Hình 1.4 Mạng máy tính với kênh thoại một chiều.

                   




Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp có thứ tự
gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.
đa
đồ thị có hướng:

Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp có thứ tự
gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Hai cung e
1
, e
2
tương ứng với cùng
một cặp đỉnh được gọi là cung lặp.
 

 
chúng.
1.2. - chu trình - 

Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dương, trên đồ thị vô
hướng G = (V, E) là dãy x
0
, x
1
,…, x
n-1
, x
n
trong đó u = x
0
, v = x
n
, (x
i
, x
i+1
)

E, i = 0, 1, 2,…, n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh:
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 9
(x
0

, x
1
), (x
1
, x
2
), …, (x
n-1
, x
n
)
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu
trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu trình được gọi
là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại.
 
Còn d, e, c, a 



Hình 1.5 Đường đi trên đồ thị


các cung.
a 1.7
Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó, n là số nguyên dương, trên đồ thị có
hướng G = (V, A) là dãy x
0
, x
1
,…, x

n-1
, x
n

trong đó u = x
0
, v = x
n
, (xi, x
i+1
)

E, i = 0, 1, 2,…, n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cung:
(x
0
, x
1
), (x
1
, x
2
), …, (x
n-1
, x
n
)
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu
trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu trình được gọi
là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại.

 

 




Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 10




Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường đi giữa hai
đỉnh bất kỳ của nó.


 

Hình 1.6 Đồ thị G và H.

Ta gọi đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị H = (W, F), trong đó W

V và F

E.


các thành phần liên thông 


1
, H
2
, H
3
.




Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng với các cạnh liên thuộc với nó
khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị. Cạnh e được gọi là cầu nếu
việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị.
 

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 11



Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thông mạnh nếu luôn tìm được đường đi
giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng
với nó là vô hướng liên thông.






Hình 1.7 Đồ thị liên thông mạnh G và đồ thị liên thông yếu H.
 




Đồ thị vô hướng liên thông là định hướng được khi và chỉ khi mỗi cạnh của nó nằm trên
ít nhất một chu trình.

Điều kiện cần. 
nh.
Điều kiện đủ. 

 

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 12






1.3.1. Đồ thị vô hướng liên thông




Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau nếu (u,v) là cạnh của đồ thị
G. Nếu e = (u, v) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với hai đỉnh u và v,
hoặc cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh
đầu của cạnh (u, v).


Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc với nó và sẽ ký hiệu là
deg(v).

Hình 1.8 Đồ thị vô hướng
 
deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f) = 3,
deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = 0
đỉnh cô lập

Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng với m cạnh. Khi đó tổng bậc của tất cả
các đỉnh bằng hai lần số cung.
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 13
  ng deg(u) 
trong deg(v)

2m = 6n
Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa là có bậc là số lẻ) là một số
chẵn.
 





OvUv
vvm )deg()deg(2

Do deg(v) 




1.3.2. Đồ thị có hướng liên thông

Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai đỉnh u và v là kề nhau, và nói
cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung này là đi ra khỏi đỉnh u và vào đỉnh
v. Đỉnh u(v) sẽ được gị là đỉnh đầu (cuối) của cung (u,v).



Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị có hướng là số cung của đồ thị
đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là deg
+
(v) (deg
-
(v))

Hình 1.9 Đồ thị có hướng
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 14
 Ta có
deg

-
(a)=1, deg
-
(b)=2, deg
-
(c)=2, deg
-
(d)=2, deg
-
(e) = 2.
deg
+
(a)=3, deg
+
(b)=1, deg
+
(c)=1, deg
+
(d)=2, deg
+
(e)=2.


Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng. Khi đó
2m =
deg ( ) deg ( )vv







đồ thị vô hướng tương ứng 





n





3
, K
4
, K
5


Hình 1.10 Đồ thị đầy đủ

n
-


n


1
, v
2
,. . . .v
n

1
,v
2
), (v
2
,v
3
) . . . (v
n-1
,v
n
),
(v
n
,v
1
).

3
, C
4
, C
5
, C

6
cho trong hình 2.2
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 15

Hình 1.11 Đồ thị vòng C
3
, C
4
, C
5
, C
6



n

n


n
(xem hình 2.3).

Hình 1.12 Đồ thị bánh xe W
3
, W
4
, W

5
, W
6


 Q
n

n

 

n


Hình 1.13 Đồ thị lập phương Q
1
, Q
2
, Q
3

phía



Y.

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 16
 Đơn đồ thị là đồ thị hai phía khi và chỉ khi nó không chứa chu trình độ dài
lẻ.



   
 
 

2,3,
K
3,3,
K
3,4
nh 1.14.

Hình 1.14 Đồ thị hai phía


        


4

1.15).

Hình 1.15 Đồ thị K
4
là đồ thị phẳng



4
trong
hình 1.15).
                  


Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 17


 Đồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không chứa đồ thị con đồng
cấu với K
3,3
hoặc K
5
.

3,3

5


3,3







o trong Hình 1.16 chia

1,
R
2,
. . . .R
6
.

Hình 1.16 Các miền tương ứng với biểu diễn phẳng của đồ thị
 


. Giả sử G là đồ thị phẳng liên thông với n đỉnh, m cạnh.
Gọi r là số miền của mặt phẳng bị chia bởi biểu diễn phẳng của G. Khi đó
r = m-n + 2






là
r = 30-20+2=12.
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 18
Bài 2 







         

2.2.1. Ma trận kề - Ma trận trọng số

1
,
e
2
, . . . ,e
m
}


A=( a
i,j
: i, j = 1, 2, . . . ,n)

a
i,j
 j hay (i, j)  E, i, j =1, 2,. . ., n.
a
i, j

 

1
2
3
4
5
6
1
0
1
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
3
1
1
0
1
0
0
4
0

0
1
0
1
1
5
1
1
0
1
0
1
6
0
0
0
1
1
0

Hình 2.1 Đồ thị vô hướng G và Đồ thị có hướng G
1

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 19

 a[i,j]=a[j,i], 
-




j).
3) N

p
, i,j=1, 2,. . . ,n A
p



p
-
trung gian.
 
 
1


1
2
3
4
5
6
1
0
1
1
0

0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0
1
0
1
0
0
4
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
1
0
1

6
0
0
0
0
1
0

Chú ý: 

 




C= {c[i,j], i, j = 1, 2,. . ., n}
  E và c[i,j]=   E
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 20
  
: 0, +

, -

.

không, chúng ta



2


2.2.2. Danh sách cạnh (cung)



 


 

Chú ý

 
1
) cho trong Hình 2.1 là:
Đầu
Cuối

Đầu
Cuối
1
2

1
2
1
3

1
3
2
3

3
2
2
5

3
4
3
4

5
4
4
5

5
6
4
6

6
5
5
6

 G 
1

2.2.3. Danh sách kề




Ke(v)= { u  V: (v,u) E }
Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 21


for u  Ke(v) do. . .
 




Hình 2.2 Danh sách kề của đồ thị G và G
1
cho trong Hình 2.1




Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 22
Bài 3 Euler

-1783). Thành





Hình 3.1 Mô hình 7 cây cầu ở Konigsberg



hình trên.
Bài toá



 






1


3



3
 
2

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 23

Hình 3.2 Đồ thị G
1
, G
2
, G
3


2
ler a, b, c, d, e, a.

3

3
là

1


Hình 3.3 Đồ thị H

1
, H
2
, H
3





 Đồ thị vô hướng liên thông G là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh
của G đều có bậc chẵn.

 



v  v
1


v
2


. . .

1

i+1


i-l

i+1

deg(v
i


k
g

k

Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 24

 



 

N

 


ta có thể xây dựng chu trình Euler trong G như sau




 



Hình 3.4 Minh hoạ cho chứng minh Định lý 3.1
 

 


Giáo trình TOÁN RỜI RẠC 2 Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012

Trang 25




Euler trong G.
void Euler_Cycle()
{
STACK= ; CE= ;
Chon u la mot dinh nao do cua do thi;
STACK u;
while (STACK!=) do
{
X=top(STACK); /* x la phan tu dau STACK*/
if (Ke(x)!=)

{
Y=dinh dau tien trong danh sach Ke(x);
STACK y;
/* loai bo canh (x,y) khoi do thi */
Ke(x)=Ke(x)\ { y} ;
Ke(y)=Ke(y)\{ x} ;
}
else
x STACK; CE x;
}
}