Lý thuyết và bài tập đạo hàm lớp 11

Trn S Tựng i s 11
Trang 71





1. nh ngha o hm ti mt im
ã Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn khong (a; b) v x
0

ẻ
(a; b):

xx
fxfx
fx
xx
0
0
0
0
()()
'()lim
đ
-
=
-
=
x
y

x
0
lim
D
D
D
đ
(Dx = x x
0
, Dy = f(x
0
+ Dx) f(x
0
))
ã Nu hm s y = f(x) cú o hm ti x
0
thỡ nú liờn tc ti im ú.
2. í ngha ca o hm
ã í ngha hỡnh hc:
+ f
Â
(x
0
) l h s gúc ca tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti
(
)
Mxfx
00
;()
.

+ Khi ú phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti
(
)
Mxy
00
;
l:
y y
0
= f
Â
(x
0
).(x x
0
)
ã í ngha vt lớ:
+ Vn tc tc thi ca chuyn ng thng xỏc nh bi phng trỡnh s = s(t) ti thi im
t
0
l v(t
0
) = s
Â
(t
0
).
+ Cng tc thi ca in lng Q = Q(t) ti thi im t
0
l I(t

0
) = Q
Â
(t
0
).
3. Qui tc tớnh o hm
ã (C)Â = 0 (x)Â = 1 (x
n
)Â = n.x
n1

nN
n
1
ổử
ẻ
ỗữ
>
ốứ

( )
x
x
1
2
Â
=

ã

uv uv
()
ÂÂÂ
=

uv uv vu
()
ÂÂÂ
=+
uuvvu
v
v
2
Â
ổử
Â-Â
=
ỗữ
ốứ
(v ạ 0)

ku ku
()
ÂÂ
=
v
v
v
2
1

Â
ổử
Â
=-
ỗữ
ốứ

ã o hm ca hm s hp: Nu u = g(x) cú o hm ti x l u
Â
x
v hm s y = f(u) cú o
hm ti u l y
Â
u
thỡ hm s hp y = f(g(x) cú o hm ti x l:
xux
yyu
.
Â=ÂÂ

4. o hm ca hm s lng giỏc
ã
x
x
x
0
sin
lim1
đ
=

;
xx
ux
ux
0
sin()
lim1
()
đ
=
(vi
xx
ux
0
lim()0
đ
=
)
ã (sinx)Â = cosx (cosx)Â = sinx
( )
x
x
2
1
tan
cos
Â=
( )
x
x

2
1
cot
sin
Â=-
5. Vi phõn
ã
dydfxfxx
()().
D
==Â
ã
fxxfxfxx
000
()()().
DD
+ằ+Â
6. o hm cp cao
ã
[ ]
fxfx
''()'()
Â
= ;
[ ]
fxfx
'''()''()
Â
= ;
nn

fxfx
()(1)
()()
-
Â
ộự
=
ởỷ
(n ẻ N, n 4)
ã í ngha c hc:
Gia tc tc thi ca chuyn ng s = f(t) ti thi im t
0
l a(t
0
) = f
ÂÂ
(t
0
).




CHNG V
O HM
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 72

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x

0
bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử
D
x là số gia của đối số tại x
0
. Tính
D
y = f(x
0
+
D
x) – f(x
0
).
B2: Tính
x
y
x
0
lim
D
D
D
®
.

Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a) yfxxx
2

()22
==-+
tại x
0
1
=
b)
yfxx
()32
==-
tại x
0
= –3
c)
x
yfx
x
21
()
1
+
==
-
tại x
0
= 2 d)
yfxx
()sin
==
tại x

0
=
6
p

e)
yfxx
3
()== tại x
0
= 1 f)
xx
yfx
x
2
1
()
1
++
==
-
tại x
0
= 0
Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
fxxx
2
()31
=-+

b)
fxxx
3
()2
=-
c) fxxx
()1,(1)
=+>-

d) fx
x
1
()
23
=
-
e)
fxx
()sin
=
f) fx
x
1
()
cos
=

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm.
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp.

Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxxx
43
1
225
3
=-+-
b)
yxxx
x
2
32
.
3
=-+ c)
yxx
32
(2)(1)
=
d) yxxx
222
(1)(4)(9)
=
e)
yxxx
2

(3)(2)
=+-
f)
( )
yx
x
1
11
æö
=+-
ç÷
èø

g) y
x
3
21
=
+
h)
x
y
x
21
13
+
=
-
i)
xx

y
xx
2
2
1
1
+-
=
-+

k)
xx
y
x
2
33
1
-+
=
-
l)
xx
y
x
2
241
3
-+
=
-

m)
x
y
xx
2
2
2
23
=


Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
24
(1)
=++ b)
yx
25
(12)
=- c)
3211
(2 1)
=-+yxx
d)
25
(2)
=-
yxx
e)
( )

yx
4
2
32=- f) y
xx
22
1
(25)
=
-+

g)
x
y
x
2
3
(1)
(1)
+
=
-
h)
x
y
x
3
21
1
æö

+
=
ç÷
-
èø
i)
3
2
3
2
æö
=-
ç÷
èø
y
x

Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
2
252
=-+
b) yxx
3
2
=-+
c)
yxx
=+
d) yxx

2
(2)3
=-+
e) yx
3
(2)
=- f)
( )
yx
3
112=+-
Trn S Tựng i s 11
Trang 73

g)
x
y
x
3
1
=
-
h)
x
y
x
2
41
2
+

=
+
i)
x
y
x
2
4 +
=
Baứi 4: Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a)
x
y
x
2
sin
1cos
ổử
=
ỗữ
+
ốứ
b)
yxx
.cos
=
c) yx
3
sin(21)
=+

d)
yx
cot2
= e)
yx
2
sin2=+ f)
yxx
sin2
=+
g)
yx
23
(2sin2)
=+ h)
(
)
yxx
22
sincostan= i)
yxx
23
2sin43cos5
=-
k)
x
y
x
2

1
cos
1
ổử
+
=
ỗữ
ỗữ
-
ốứ
l)
yxxx
35
21
tan2tan2tan2
35
=++
Baứi 5: Cho n l s nguyờn dng. Chng minh rng:
a)
nn
xnxnxnx
1
(sin.cos)'sin.cos(1)
-
=+ b)
nn
xnxnxnx
1
(sin.sin)'.sin.sin(1)
-

=+
c)
nn
xnxnxnx
1
(cos.sin)'.cos.cos(1)
-
=+ d)
nn
xnxnxnx
1
(cos.cos)'.cos.sin(1)
-
=-+



VN 3: Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ca hm s y = f(x)
1. Phng trỡnh tip tuyn ti im M(x
0
, y
0
)
C
()
ẻ
l: yyfxxx
000
'()()
-=- (*)

2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C), bit tip tuyn cú h s gúc k:
+ Gi x
0
l hnh ca tip im. Ta cú:
fxk
0
()
Â=
(ý ngha hỡnh hc ca o hm)
+ Gii phng trỡnh trờn tỡm x
0
, ri tỡm
yfx
00
().
=
+ Vit phng trỡnh tip tuyn theo cụng thc (*)
3. Vit phng trỡnh tip tuyn (d) vi (C), bit (d) i qua im A(x
1
, y
1
) cho trc:
+ Gi (x
0
, y
0
) l tip im (vi y
0
= f(x
0

)).
+ Phng trỡnh tip tuyn (d):
yyfxxx
000
'()()
-=-
(d) qua A xyyyfxxx
1110010
(,)'()()(1)
-=-
+ Gii phng trỡnh (1) vi n l x
0
, ri tỡm
yfx
00
()
= v
fx
0
'().

+ T ú vit phng trỡnh (d) theo cụng thc (*).
4. Nhc li: Cho (
D
): y = ax + b. Khi ú:
+
d
dka
()()
D

ÔÔị=
+
d
dk
a
1
()()
D
^ị=-



Baứi 1: Cho hm s (C): yfxxx
2
()23.
==-+
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C):
a) Ti im thuc (C) cú honh x
0
= 1.
b) Song song vi ng thng 4x 2y + 5 = 0.
c) Vuụng gúc vi ng thng x + 4y = 0.
d) Vuụng gúc vi ng phõn giỏc th nht ca gúc hp bi cỏc trc ta .
Baứi 2: Cho hm s
xx
yfx
x
2
2
()

1
-+
==
-
(C).
a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im M(2; 4).
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn cú h s gúc k = 1.
i s 11 Trn S Tựng
Trang 74

Baứi 3: Cho hm s
x
yfx
x
31
()
1
+
==
-
(C).
a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im A(2; 7).
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc honh.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc tung.
d) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn song song vi ng thng
d: yx
1
100
2
=+.

e) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng
D: 2x + 2y 5 = 0.
Baứi 4: Cho hm s (C):
yxx
32
3.
=-
a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im I(1, 2).
b) Chng minh rng cỏc tip tuyn khỏc ca th (C) khụng i qua I.
Baứi 5: Cho hm s (C):
yxx
2
1.
= Tỡm phng trỡnh tip tuyn vi (C):
a) Ti im cú honh x
0
=
1
.
2

b) Song song vi ng thng x + 2y = 0.




VN 4: Tớnh o hm cp cao
1. tớnh o hm cp 2, 3, 4, ta dựng cụng thc:
( )
nn

yy
/
()(1)
-
=
2. tớnh o hm cp n:

ã
Tớnh o hm cp 1, 2, 3, , t ú d oỏn cụng thc o hm cp n.

ã
Dựng phng phỏp quy np toỏn hc chng minh cụng thc ỳng.


Baứi 1: Cho hm s
fxxx
()3(1)cos
=+
.
a) Tớnh
fxfx
'(),''()
b) Tớnh fff
''(),'',''(1)
2
p
p
ổử
ỗữ
ốứ

Baứi 2: Tớnh o hm ca cỏc hm s n cp c ch ra:
a)
yxy
cos,'''
=
b)
yxxxxy
432
52547,''
=-+-+ c)
x
yy
x
3
,''
4
-
=
+

d)
yxxy
2
2,''
=- e)
yxxy
sin,''
=
f)

yxxy
tan,''
=

g)
yxy
23
(1),''
=+ h)
yxxy
63(4)
44,=-+ i)
yy
x
(5)
1
,
1
=
-

Baứi 3: Cho n l s nguyờn dng. Chng minh rng:
a)
n
n
n
n
x
x
()

1
1(1)!
1
(1)
+
ổử
-
=
ỗữ
+
+
ốứ
b)
n
n
xx
()
.
(sin)sin
2
p
ổử
=+
ỗữ
ốứ
c)
n
n
xx
()

.
(cos)cos
2
p
ổử
=+
ỗữ
ốứ

Baứi 4: Tớnh o hm cp n ca cỏc hm s sau:
a) y
x
1
2
=
+
b) y
xx
2
1
32
=
-+
c)
x
y
x
2
1
=

-

d)
x
y
x
1
1
-
=
+
e)
yx
2
sin
= f)
yxx
44
sincos
=+
Trn S Tựng i s 11
Trang 75

Baứi 5: Chng minh cỏc h thc sau vi cỏc hm s c ch ra:
a)
yxx
xyyxxy
sin
''2('sin)0
ỡ

=
ớ
+=
ợ
b)
yxx
yy
2
3
2
''10
ỡ
ù
=-
ớ
+=
ù
ợ

c)
yxx
xyxyy
222
tan
''2()(1)0
ỡ
=
ớ
-++=
ợ

d)
x
y
x
yyy
2
3
4
2(1)''
ỡ
-
=
ù
ớ+
ù
Â
=-
ợ



VN 5: Tớnh gii hn dng
xx
ux
ux
0
sin()
lim
()
đ

Ta s dng cỏc cụng thc lng giỏc bin i v s dng cụng thc

xx
ux
ux
0
sin()
lim1
()
đ
=
(vi
xx
ux
0
lim()0
đ
=
)

Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
x
x
x
0
sin3
lim
sin2

đ
b)
x
x
x
2
0
1cos
lim
đ
-
c)
x
x
x
0
tan2
lim
sin5
đ
d)
x
xx
x
4
cossin
lim
cos2
p
đ

-

e)
x
xx
xx
0
1sincos
lim
1sincos
đ
+-

f)
x
x
x
2
2
1sin
lim
2
p
p
đ
-
ổử
-
ỗữ
ốứ

g)
x
xx
2
limtan
2
p
p
đ
ổử
-
ỗữ
ốứ
h)
x
x
x
6
sin
6
lim
3
cos
2
p
p
đ
ổử
-
ỗữ

ốứ
-




VN 6: Cỏc bi toỏn khỏc

Baứi 1: Gii phng trỡnh
fx
'()0
=
vi:
a)
fxxxx
()3cos4sin5
=-+
b)
fxxxx
()cos3sin21
=++-

c)
fxxx
2
()sin2cos
=+ d)
xx
fxx
cos4cos6

()sin
46
=
e)
x
fxx
3
()1sin()2cos
2
p
p
+
=-++ f)
fxxxxx
()sin33cos33(cos3sin)
=-+-
Baứi 2: Gii phng trỡnh
fxgx
'()()
=
vi:
a)
fxx
gxx
4
()sin3
()sin6
ỡ
=
ớ

=
ợ
b)
fxx
gxxx
3
()sin2
()4cos25sin4
ỡ
=
ớ
=-
ợ

c)
x
fxx
gxxxx
22
2
()2cos
2
()sin
ỡ
=
ù
ớ
ù
=-
ợ

d)
x
fxx
x
gxxx
2
()4cos
2
()8cos32sin
2
ỡ
=
ù
ớ
ù
=
ợ

Baứi 3: Gii bt phng trỡnh
fxgx
'()'()
>
vi:
a) fxxxgxxx
32
()2,()32
=+-=++ b)
2
()28,()
= =

fxxxgxx

c)
x
fxxxgxx
2
323
()23,()3
2
=-+=+- d)
fxgxxx
x
3
2
(),()
==-

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 76

Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R:
a)
mx
fxvôùifxxmx
3
2
'()0()35
3
>=-+-

b)
mxmx
fxvôùifxmx
32
'()0()(1)15
32
<=-++-

Baøi 5: Cho hàm số
32
23.
yxxmx
=-+-
Tìm m để:
a)
'()
fx
bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b)
'()0
fx
³
với mọi x.
Baøi 6: Cho hàm số
32
()(3)2.
32
mxmx
fxmx
=-+ +

Tìm m để:
a)
'()0
fx
<
với mọi x.
b)
'()0
=
fx có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Trong trường hợp
'()0
=
fx có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc
vào m.

Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 77

BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
32
(4)

=-
b)
yxx
(3)(1)
=+-
c) yxx
6
22
=-+

d) yxx
2
(21)
=-
e)
yxxx
23
(21)(42)
=+- f)
x
y
x
19
1
+
=
+

g)
xx

y
x
2
32
23
-+
=
-
h) y
xx
2
1
2
=
-
i)
22
32
yx
()
=-
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
42
37
=-+
b)
yx
2
1

=-
c) yxx
2
32
=

d)
x
y
x
1
1
+
=
-
e)
x
y
x
2
1
=
-
f)
x
y
x
3
-
=

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
3
sin(2)
=-+
b)
yx
tan(cos)
=
c)
xx
y
xx
sin
sin
=+
d)
xx
y
xx
sincos
sincos
+
=
-
e) yxx
2
cot(1)
=-
f) yxx

22
cos(22)
=++

g)
yx
cos2
= h)
yx
32
cot1=+ i)
yxx
22
tan(34)
=+
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với:
a) Cyxx
32
():32
=-+
tại điểm
M
(1,2).


b)
xx
Cy
x
2

45
():
2
++
=
+
tại điểm có hoành độ x
0
0.
=

c)
Cyx
():21
=+
biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
1
.
3
=

Bài 5: Cho hàm số yxx
32
52
=-+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
sao cho tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng
yx
31.

=-+

b) Vuông góc với đường thẳng yx
1
4.
7
=-

c) Đi qua điểm
A
(0;2)
.
Bài 6: a) Cho hàm số
x
fx
x
cos
().
cos2
=
Tính giá trị của
ff
''.
63
pp
æöæö
+
ç÷ç÷
èøèø

b) Cho hai hàm số
fxxx
44
()sincos
=+ và
gxx
1
()cos4.
4
= So sánh
fx
'()
và
gx
'()
.
Bài 7: Tìm m để
fxxR
()0,
¢
>"Î
, với:
a) fxxmxx
32
()(1)21.
=+-++
b)
fxxmxxmx
1
()sinsin2sin32

3
= +
Bài 8: Chứng minh rằng
fxxR
()0,
¢
>"Î
, với:
a)
fxxx
()2sin.
=+
b) fxxxxxx
9632
2
()2361.
3
=-+-+-

Bài 9:
a)