Tuyển tập Tích phân (đáp án chi tiết) - GV.Lưu Huy Thưởng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.33 MB, 120 trang )
TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
HÀ NỘI, 4/2014
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
1
3
1
0
I x dx
=
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
I x dx
= +
∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
I x dx
= −
∫
d)
1
2 3
4
0
( 1)( 2 5)
I x x x dx
= − − +
∫
e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫
Bài giải
a)
1
4
3 1
1 0
0
1
4 4
x
I x dx
= = =
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
I x dx
= +
∫
Chú ý:
1
(2 1) 2 (2 1)
2
d x dx dx d x
+ = ⇒ = +
1 1
4
3 3 1
2 0
0 0
(2 1)
1 1 81 1
(2 1) (2 1) (2 1) 10
2 2 4 8 8
x
I x dx x d x
+
⇒ = + = + + = = − =
∫ ∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
I x dx
= −
∫
Chú ý:
1
(1 4 ) 4 (1 4 )
4
d x dx dx d x
− = − ⇒ = − −
1 1
4
3 3 1
3 0
0 0
(1 4 )
1 1 81 1
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 5
4 4 4 16 16
x
I x dx x d x
−
⇒ = − = − − − = − = − + = −
∫ ∫
d)
1
2 3
4
0
( 1)( 2 5)
I x x x dx
= − − +
∫
Chú ý:
2 2
1
( 2 5) (2 2) ( 1) ( 2 5)
2
d x x x dx x dx d x x− + = − ⇒ − = − +
1 1
2 3 2 3 2
4
0 0
1
( 1)( 2 5) ( 2 5) ( 2 5)
2
I x x x dx x x d x x
⇒ = − − + = − + − +
∫ ∫
2 4
1
0
( 2 5)
1 615 671
. 162
2 4 8 8
x x− +
= = − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫
Chú ý:
2
( 3 1) (2 3)
d x x x dx
− + = −
1 1
2 3 2 3 2
5
0 0
(2 3)( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)
I x x x dx x x d x x
⇒ = − − + = − + − +
∫ ∫
2 4
1
0
( 3 1)
1 1
0
4 4 4
x x− +
= = − =
HT 2.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
0
I xdx
=
∫
b)
7
2
2
2
I x dx
= +
∫
c)
4
3
0
2 1
I x dx
= +
∫
d)
1
2
4
0
1
I x x dx
= +
∫
e)
1
2
5
0
1
I x x dx
= −
∫
f)
1
2
6
0
(1 ) 2 3
I x x x dx
= − − +
∫
g)
1
2 3
7
0
1
I x x dx
= +
∫
h)
1
2 3 2
8
0
( 2 ) 3 2
I x x x x dx
= − − +
∫
Bài giải
a)
1
1
0
I xdx
=
∫
1
0
2 2
3 3
x x
= =
b)
7
7
2 2
2
2 16 38
2 ( 2) 2 18
3 3 3
I x dx x x= + = + + = − =
∫
c)
4
3
0
2 1
I x dx
= +
∫
4
4
0
0
1 1 2 1 26
2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 9
2 2 3 3 3
x d x x x= + + = + + = − =
∫
d)
1 1
2 2 2 2 2 1
4 0
0 0
1 1 2 2 2 1
1 1 (1 ) . (1 ) 1
2 2 3 3 3
I x x dx x d x x x
= + = + + = + + = −
∫ ∫
e)
1
2
5
0
1
I x x dx
= −
∫
1
2 2 2 2 1
0
0
1 1 2 1 1
1 (1 ) . (1 ) 1 0
2 2 3 3 3
x d x x x
= − − − = − − − = + =
∫
f)
1 1
2 2 2
6
0 0
1
(1 ) 2 3 2 3 ( 2 3)
2
I x x x dx x x d x x= − − + = − − + − +
∫ ∫
2 2 1
0
1 2 2 2
. ( 2 3) 2 3 3
2 3 3
x x x x= − − + − + = − +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
g)
1 1
2 3 3 3 3 3 1
7 0
0 0
1 1 2 4 2 2
1 1 ( 1) . ( 1) 1
3 3 3 9
I x x dx x d x x x
−
= + = + + = + + =
∫ ∫
h)
1 1
2 3 2 3 2 3 2
8
0 0
1
( 2 ) 3 2 3 2 ( 3 2)
3
I x x x x dx x x d x x
= − − + = − + − +
∫ ∫
3 2 3 2 1
0
1 2 4 2 4 2
. ( 3 2) 3 2 0
3 3 9 9
x x x x= − + − + = − = −
HT 3.Tính các tích phân sau:
a)
4
1
1
dx
I
x
=
∫
b)
1
2
0
2 1
dx
I
x
=
+
∫
c)
0
3
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
e)
1
5
2
0
( 2)
4 5
x dx
I
x x
−
=
− +
∫
Bài giải
a)
4
4
1 1
1
2 4 2 2
dx
I x
x
= = = − =
∫
b)
1 1
1
2 0
0 0
(2 1)
1
2 1 3 1
2
2 1 2 1
d x
dx
I x
x x
+
= = = + = −
+ +
∫ ∫
c)
0 0
0
3 1
1 1
(1 2 )
1
1 2 1 3
2
1 2 1 2
d x
dx
I x
x x
−
− −
−
= = − = − − = − +
− −
∫ ∫
d)
1 1
2
2 1
4 0
2 2
0 0
( 1) ( 2 2)
1
2 2 5 2
2
2 2 2 2
x dx d x x
I x x
x x x x
+ + +
= = = + + = −
+ + + +
∫ ∫
e)
1 1
2
2 1
5 0
2 2
0 0
( 2) ( 4 5)
1
4 5 2 5
2
4 5 4 5
x dx d x x
I x x
x x x x
− − +
= = = − + = −
− + − +
∫ ∫
HT 4.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
e
dx
I
x
=
∫
b)
0
2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
c)
1
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
e)
1
5
2
0
2
4 5
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Bài giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
a)
1 1
1
ln ln ln 1 1
e
e
dx
I x e
x
= = = − =
∫
b)
0
2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
0
0
1
1
(1 2 )
1 1 1 ln 3
ln 1 2 (ln1 ln 3)
2 1 2 2 2 2
d x
x
x
−
−
−
= − = − − = − − =
−
∫
c)
1
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
(
)
2
1
2 1
0
2
0
1
1 1 1 ln 2
ln 1 (ln 2 ln1)
2 2 2 2
1
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
1
2
2
0
( 2 2)
1
2
2 2
d x x
x x
+ +
=
+ +
∫
2 1
0
1 1 1 5
ln 2 2 (ln 5 ln 2) ln
2 2 2 2
x x= + + = − =
e)
1 1
2
2 1
5 0
2 2
0 0
( 4 5)
2 1 1 1 1 2
ln 4 5 (ln 2 ln 5) ln
2 2 2 2 5
4 5 4 5
d x x
x
I dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫
HT 5.Tính các tích phân sau:
a)
2
1
2
1
dx
I
x
=
∫
b)
0
2
2
1
(2 1)
dx
I
x
−
=
−
∫
c)
1
3
2
0
(3 1)
dx
I
x
=
+
∫
Bài giải
a)
2
2
1 1
2
1
1 1 1
1
2 2
dx
I
x
x
= = − = − + =
∫
b)
0 0
0
2 1
2 2
1 1
(2 1)
1 1 1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 6 3
(2 1) (2 1)
d x
dx
I
x
x x
−
− −
−
= = = − = − =
−
− −
∫ ∫
c)
1 1
1
3 0
2 2
0 0
(3 1)
1 1 1 1 1 1
.
3 3 3 1 12 4 6
(3 1) (3 1)
d x
dx
I
x
x x
+
= = = − = − + =
+
+ +
∫ ∫
HT 6.Tính các tích phân sau:
a)
1
3
1
0
x
I e dx
=
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
x x
I e e dx
= +
∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
x x
I e e dx
= −
∫
d)
1
4
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
e)
2
2
5
2 2
1
( 1)
x
x
e dx
I
e
=
−
∫
f)
2
2
6
2 3
1
(1 3 )
x
x
e dx
I
e
=
−
∫
g)
1
7
0
2 1
x x
I e e dx
= +
∫
h)
1
2 2
8
0
1 3
x x
I e e dx
= +
∫
i)
1
9
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
a)
1
3
3 3 1
1 0
0
1 1
3 3 3
x x
e
I e dx e
= = = −
∫
b)
1 1
4
3 3 1
2 0
0 0
(2 1)
1 1
(2 1) (2 1) (2 1) .
2 2 4
x
x x x x
e
I e e dx e d e
+
= + = + + =
∫ ∫
4
(2 1)
1 81
2 4 4
e
+
= −
4
(2 1)
81
8 8
e +
= −
c)
1 1
3 3
3
0 0
1
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 )
4
x x x x
I e e dx e d e
= − = − − −
∫ ∫
4 4 4
1
0
(1 4 ) (1 4 ) 81 (1 4 )
1 1 81
.
4 4 4 4 4 16
x
e e e
− − − −
= − = − − =
d)
1 1
1
4 0
0 0
( 1)
1
ln 1 ln( 1) ln 2 ln
2
1 1
x
x
x
x x
d e
e dx e
I e e
e e
+
+
= = = + = + − =
+ +
∫ ∫
e)
2 2
2
2 2
2
5 1
2 2 2 2 2 4 2 4
1 1
( 1)
1 1 1 1 1
.
2 2
( 1) ( 1) 1 2( 1) 2( 1) 2( 1)
x
x
x x x
d e
e dx e
I
e e e e e e
−
= = = − = − + =
− − − − − −
∫ ∫
f)
2 2
2
2
2
6 1
2 3 2 3 2 2 4 2
1 1
(1 3 )
1 1 1 1 1
.
6 6
(1 3 ) (1 3 ) 2(1 3 ) 12(1 3 ) 12(1 3 )
x
x
x x x
d e
e dx
I
e e e e e
−
−
= = − = − = −
− − − − −
∫ ∫
g)
1 1
1
7 0
0 0
1 1 2 1
2 1 2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 (2 1) 2 1 3
2 2 3 3
x x x x x x
I e e dx e d e e e e e= + = + + = + + = + + −
∫ ∫
h)
1
2 2
8
0
1 3
x x
I e e dx
= +
∫
1
2 2 2 2 1 2 2
0
0
1 1 2 1 8
1 3 (1 3 ) . (1 3 ) 1 3 (1 3 ) 1 3
6 6 3 9 9
x x x x
e d e e e e e
= + + = + + = + + −
∫
i)
1
9
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
1
1
0
0
( 1)
2 1 2 1 2
1
x
x
x
d e
e e
e
+
= = + = + −
+
∫
HT 7.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
ln
e
x
I dx
x
=
∫
b)
2
1
3 ln 1
e
x
I dx
x
+
=
∫
c)
3
3
1
(3 ln 1)
e
x
I dx
x
+
=
∫
d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
e)
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
f)
6
1
(3 ln 1)
e
dx
I
x x
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
g)
7
1
3 ln 1
e
x dx
I
x
+
=
∫
h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
=
+
∫
Bài giải
a)
2 2 2
1 1
1 1
ln ln ln ln 1 1
ln (ln )
2 2 2 2
e e
e
x x e
I dx xd x
x
= = = = − =
∫ ∫
b)
2
2 1
1 1
3 ln 1 3 ln 3 5
(3 ln 1) (ln ) ln ( 1) 0
2 2 2
e e
e
x x
I dx x d x x
x
+
= = + = + = + − =
∫ ∫
c)
3 4
3
3 1
1 1
(3 ln 1) (3 ln 1)
1 1 64 1 85
(3 ln 1) (3 ln 1) .
3 3 4 3 12 4
e e
e
x x
I dx x d x
x
+ +
= = + + = = − =
∫ ∫
d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
3 2
1
(4 ln 3 ln 2ln 1) (ln )
e
x x x d x
= + − +
∫
4 3 2
1
(ln ln ln ln )
e
x x x x
= + − +
(1 1 1 1) 0 2
= + − + − =
e)
2 2
2
2
5
(ln )
ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln 2
ln ln
e e
e
e
e e
d x
dx
I x e e
x x x
= = = = − =
∫ ∫
f)
6
1
(3 ln 1)
e
dx
I
x x
=
+
∫
1
(3 ln 1)
1
3 3 ln 1
e
d x
x
+
=
+
∫
1
1
ln(3 ln 1)
3
e
x= +
1 ln 4
(ln 4 ln1)
3 3
= − =
g)
7
1 1
3 ln 1 1
3 ln 1 (3 ln 1)
3
e e
x dx
I x d x
x
+
= = + +
∫ ∫
1
1 2 16 2 14
. (3 ln 1) 3 ln 1
3 3 9 9 9
e
x x= + + = − =
h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
= =
+
∫
1
1
(3 ln 1)
1 1 4 2 2
.2 3 ln 1
3 3 3 3 3
3 ln 1
e
e
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫
HT 8.Tính các tích phân sau:
a)
2
2
1
0
cos sin
I x xdx
π
=
∫
b)
2
2
2
0
sin cos
I x xdx
π
=
∫
c)
4
3
3
0
sin 2 cos2
I x xdx
π
=
∫
d)
4
4
0
sin
cos
x
I dx
x
π
=
∫
e)
2
5
0
sin 3 cos 1
I x x dx
π
= +
∫
f)
2
6
0
cos
3 sin 1
x
I dx
x
π
=
+
∫
Giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
a)
2 2
3
2 2
2
1 0
0 0
cos 1
cos sin cos (cos )
3 3
x
I x xdx xd x
π π
π
= = − = − =
∫ ∫
b)
2
2
2
0
sin cos
I x xdx
π
=
∫
2
3
2
2
0
0
sin 1
sin (sin )
3 3
x
xd x
π
π
= = =
∫
c)
4 4
4
3 3
4
3 0
0 0
1 sin 2 1
sin 2 cos2 sin 2 (sin2 )
2 8 8
x
I x xdx xd x
π π
π
= = = =
∫ ∫
d)
4 4
4
4 0
0 0
(cos )
sin 2 2
ln(cos ) ln ln1 ln
cos cos 2 2
d x
x
I dx x
x x
π π
π
= = − = − = − + = −
∫ ∫
e)
2 2
2
5 0
0 0
1 1 2 1 4
sin 3 cos 1 3 cos 1 (3 cos 1) . (3 cos 1) 3 cos 1 1
3 2 3 3 3
I x x dx x d x x x
π π
π
= + = + + = + + = − = −
∫ ∫
f)
2 2
2
6 0
0 0
(3 sin 1)
cos 1 2 4 2 2
3 sin 1
3 3 3 3 3
3 sin 1 3 sin 1
d x
x
I dx x
x x
π π
π
+
= = = + = − =
+ +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
I.DẠNG 1:
dx
ax b
+
∫
1
ln
ax b C
a
= + +
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
1
0
3 1
dx
x
+
∫
b)
0
1
1 3
dx
x
−
−
∫
c)
1
0
1 3
2 1 4 2
dx
x x
−
+ −
∫
Giải
a)
1
1
0
0
1 1 ln 4
ln 3 1 (ln 4 ln1)
3 1 3 3 3
dx
x
x
= + = − =
+
∫
b)
0
1
1 3
dx
x
−
−
∫
0
1
1 1 ln 4
ln 1 3 (ln1 ln 4)
3 3 3
x
−
= − − = − − = −
c)
1
1
0
0
1 3 1 3 1 3 1 3
ln 2 1 ln 4 2 ln 3 ln 2 ln1 ln 4
2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
dx x x
x x
− = + + − = + − +
+ −
∫
1 3 1
ln 3 ln
2 2 2
= +
HT 2.Tính các tích phân sau:
a)
2
4 3 2
1
2
1
3 2 5 1
x x x x
I dx
x
+ − + −
=
∫
b)
1
3 2
2
0
3 2 1
2
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
c)
0
3 2
3
1
2 3 4 1
1 2
x x x
I
x
−
− + −
=
−
∫
Giải
a)
2
4 3 2
1
2
1
3 2 5 1
x x x x
I dx
x
+ − + −
=
∫
2
2
2
1
5 1
( 3 2 )
x x dx
x
x
= + − + −
∫
3 2
2
1
3 1 8 1 1 3
2 5 ln 6 4 5ln 2 2 5ln1 1
3 2 3 2 3 2
x x
x x
x
= + − + + = + − + + − + − + +
13
5 ln 2
3
= +
b)
1
3 2
2
0
3 2 1
2
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
1
2
0
1
2)
x x dx
x
= − −
−
∫
( )
3 2
1
0
1 1 1
ln 2 ln1 ln 2 ln 2
3 2 3 2 6
x x
x
= − − − = − − − − = −
c)
0
3 2
3
1
2 3 4 1
1 2
x x x
I
x
−
− + −
=
−
∫
0
2
1
3 1
2 2( 2 1)
x x dx
x
−
= − + − +
− +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
3 2
0
1
3 1
ln 2 1
3 2 2 4
x x
x x
−
= − + − − − +
1 1 1 3 1 ln 3 7
( ln1) ( ln 3)
4 3 2 2 4 4 3
= − − + + − = −
II.DẠNG 2:
2
dx
ax bx c
+ +
∫
HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt)
a)
1
0
( 1)( 2)
dx
x x+ +
∫
b)
1
0
( 1)(3 )
dx
x x
+ −
∫
c)
1
0
( 1)(2 3)
dx
x x+ +
∫
Giải
a)
1 1 1
0 0 0
( 2) ( 1)
1 1
( 1)( 2) ( 1)( 2) 1 2
x x
dx
dx dx
x x x x x x
+ − +
= = −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( )
1 1
0 0
1 2 1 4
ln 1 ln 2 ln ln ln ln
2 3 2 3
x
x x
x
+
= + − + = = − =
+
b)
1
0
( 1)(3 )
dx
x x
+ −
∫
1 1
0 0
( 1) (3 )
1 1 1 1
4 ( 1)(3 ) 4 3 1
x x
dx dx
x x x x
+ + −
= = +
+ − − +
∫ ∫
( )
1 1
0 0
1 1 1
ln 3 ln 1 ln
4 4 3
x
x x
x
+
= − − + + =
−
1 1 ln 3
ln1 ln
4 3 4
= − = −
c)
1 1
0 0
(2 3) 2( 1)
( 1)(2 3) ( 1)(2 3)
x x
dx
dx
x x x x
+ − +
=
+ + + +
∫ ∫
1
0
1 2
1 2 3
dx
x x
= −
+ +
∫
( )
1 1
0 0
1 2 1 6
ln 1 ln 2 3 ln ln ln ln
2 3 5 3 5
x
x x
x
+
= + − + = = − =
+
HT 4.Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
12
dx
x x− −
∫
b)
0
2
1
2 5 2
dx
x x
−
− +
∫
c)
2
2
1
1 2 3
dx
x x
− −
∫
Giải
a)
1
2
0
12
dx
x x− −
∫
=
1 1
0 0
( 3) ( 4)
1
( 3)( 4) 7 ( 3)( 4)
x x
dx
dx
x x x x
+ − −
=
+ − + −
∫ ∫
( )
1
1 1
0 0
0
1 1 1 1 1 4
ln 4 ln 3 ln
7 4 3 7 7 3
x
dx x x
x x x
−
= − = − − + =
− + +
∫
1 3 4 1 9
(ln ln ) ln
7 4 3 7 16
= − =
b)
0
2
1
2 5 2
dx
x x
−
− +
∫
=
0 0 0
1 1 1
(2 1) 2( 2)
1
1 ( 2)(2 1) 3 ( 2)(2 1)
2( 2)( )
2
x x
dx dx
dx
x x x x
x x
− − −
− − −
= =
− − − −
− −
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
( )
0
0
1
1
1 1 2 1
ln 2 ln 2 1
3 2 2 1 3
dx x x
x x
−
−
= − = − − −
− −
∫
0
1
1 2 1 ln 2
ln (ln 2 ln1)
3 2 1 3 3
x
x
−
−
= = − =
−
c)
2 2 2
2
1 1 1
1 ( 1)(1 3 )
1 2 3
3( 1)( )
3
dx dx dx
x x
x x
x x
= =
+ −
− −
− + −
∫ ∫ ∫
2
1
3( 1) (1 3 )
1
4 ( 1)(1 3 )
x x
dx
x x
+ + −
=
+ −
∫
( )
2
2
1
1
1 3 1 1
ln 1 3 ln 1
4 1 3 1 4
dx x x
x x
= + = − − + +
− +
∫
2
1
1 1 1 3 1 3
ln (ln ln1) ln
4 1 3 4 5 4 5
x
x
+
= = − =
−
HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
a)
2
2
1
dx
x
∫
b)
1
2
0
(3 1)
dx
x +
∫
c)
0
2
1
(1 2 )
dx
x
−
−
∫
d)
0
2
1
9 6 1
dx
x x
−
− +
∫
e)
0
2
1
16 8 1
dx
x x
−
− + −
∫
Giải
a)
2
2
1
dx
x
∫
2
1
1 1 1
1
2 2
x
= − = − + =
b)
1
1
0
2
0
1 1 1 1 1
.
3 (3 1) 12 3 4
(3 1)
dx
x
x
= − = − − =
+
+
∫
c)
0
2
1
(1 2 )
dx
x
−
−
∫
0
0
1
2
1
1 1 1 1 1
.
2 2 1 2 6 3
(2 1)
dx
x
x
−
−
= = − = − − + =
−
−
∫
d)
0
2
1
9 6 1
dx
x x
−
− +
∫
0
0
1
2
1
1 1 1 1 1
.
3 3 1 3 12 4
(3 1)
dx
x
x
−
−
= = − = − − + =
−
−
∫
e)
0
2
1
16 8 1
dx
x x
−
− + −
∫
0 0
0
1
2 2
1 1
1 1 1 1 1
.
4 4 1 4 20 5
16 8 1 (4 1)
dx dx
x
x x x
−
− −
= − = − = = − + = −
−
− + −
∫ ∫
HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
1
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
b)
3
2
0
3
dx
x
+
∫
c)
2
2
2
0
2 3
dx
x
+
∫
Giải
a)
1
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
1 0
2 2
2
0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
4
π
=
b)
3
2
2
0
3
dx
I
x
=
+
∫
Đặt:
3 tan
x t
=
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
3
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
; Với
3
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
2
2 2
2
0 0
2
3 3
3 1
cos (3 tan 3)
cos .
cos
dt dt
I
t t
t
t
π π
⇒ = =
+
∫ ∫
4
0
3
3
dt
π
=
∫
4
0
3 3
3 12
t
π
π
= =
c)
2 2
2 2
3
2
2
0 0
3
2 3
2
2
dx dx
I
x
x
= =
+
+
∫ ∫
2
2
2
0
1
2 3
2
dx
x
=
+
∫
Đặt:
3
tan
2
x t
=
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
6
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
2
2 6
x t
π
= ⇒ =
6 6 6
6
3 0
2 2 2
0 0 0
2
1 6 6 6 6 6
2 3 3 6 1 6 6 36
2 cos ( tan ) cos .
2 2
cos
dt dt
I dt t
t t t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
0
1
2
1
( 1) 1
dx
I
x
−
=
+ +
∫
b)
4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫
Giải
a)
0
1
2
1
( 1) 1
dx
I
x
−
=
+ +
∫
Đặt:
1 tan
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= − ⇒ =
Với
0
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
1 0
2 2
2
0 0 0
2
1 4
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
b)
4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
4
2
2
( 2) 4
dx
x
=
− +
∫
Đặt:
2 2 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
2 0;
x t
= ⇒ =
Với
4
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
2 0
2 2
2
0 0 0
2
2 1 1 1
2 1 2 2 8
cos (4 tan 4)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
c)
1
3
2
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫
1
2
0
1 3
2 4
dx
x
=
+ +
∫
Đặt:
1 3
tan
2 2
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
3
.
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0
6
x t
π
= ⇒ =
;Với
1
3
x t
π
= ⇒ =
3 3
3
2 2 2
2
6 6
3 2 3
3 3 3 1
2 cos ( tan ) cos .
4 4
cos
dt dt
I
t t t
t
π π
π π
⇒ = = =
+
∫ ∫
3
3
6
6
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 9 18 18
dt t
π
π
π
π
π π π
= = − =
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
III.Dạng 3:
2
mx n
dx
ax bx c
+
+ +
∫
HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt)
a)
1
1
2
0
1
4 3
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
b)
0
2
2
1
2 10
2
x
I dx
x x
−
+
=
− + +
∫
c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫
Giải
a)
1
1
2
0
1
4 3
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
1
0
( 1)
( 1)( 3)
x dx
x x
−
=
+ +
∫
Xét đồng nhất thức:
( ) 3
1 3
( 3)( 1) 3 1 ( 3)( 1) ( 3)( 1)
A b x A B
x A B Ax A Bx B
x x x x x x x x
+ + +
− + + +
= + = =
+ + + + + + + +
Đồng nhất thức hai vế ta được:
1 2
3 1 1
A B A
A B B
+ = =
⇔
+ = − = −
Vậy,
( )
1
1
1 0
0
2 1
2 ln 3 ln 1
3 1
I dx x x
x x
= − = + − +
+ +
∫
4
(2 ln 4 ln2) (2 ln 3 ln1) 2 ln ln 2
3
= − − − = −
b)
0
2
1
2 10
2
x
dx
x x
−
+
− + +
∫
0
1
2 10
( 2)(1 )
x
dx
x x
−
+
=
+ −
∫
Xét đồng nhất thức:
( ) 2
2 10 2
( 2)(1 ) 2 1 ( 2)(1 ) ( 2)(1 )
B A x A B
x A B A Ax Bx B
x x x x x x x x
− + +
+ − + +
= + = =
+ − + − + − + −
Đồng nhất thức hai vế ta được:
2 2
2 10 4
B A A
A B B
− = =
⇔
+ = =
Vậy,
( )
0
0
2 1
1
2 4
2 ln 2 4 ln 1
2 1
I dx x x
x x
−
−
= + = + − −
+ −
∫
(2ln 2 4 ln1) (2 ln1 4 ln 2) 2ln 2 4 ln 2 ln 4 ln16 ln 64
= − − − = + = + =
c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫
0
1
7 4
( 2)(1 2 )
x
dx
x x
−
−
=
+ −
∫
Xét đồng nhất thức:
( 2 ) 2
7 4 2 2
( 2)(1 2 ) 2 1 2 ( 2)(1 2 ) ( 2)(1 2 )
B A x A B
x A B A Ax Bx B
x x x x x x x x
− + +
− − + +
= + = =
+ − + − + − + −
Đồng nhất thức hai vế ta được:
2 4 3
2 7 2
B A A
A B B
− = − =
⇔
+ = =
Vậy,
( )
0
0
3 1
1
2 3
ln 1 2 3ln 2
1 2 2
I dx x x
x x
−
−
= + = − − + +
− +
∫
3
( ln1 2 ln 2) ( ln 3 3 ln 2) ln 3 ln 2 ln
2
= − + − − + = − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
a)
1
1
2
0
(3 1)
2 1
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
b)
0
2
2
1
3 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
Giải
a)
1 1 1 1
1
2 2 2 2
0 0 0 0
(3 1) 3( 1) 2
3 1 3 2
1
2 1 ( 1) ( 1) ( 1)
x dx x
x
I dx dx dx
x
x x x x x
+ + −
+
= = = = −
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1
0
2
3 ln 1 (3 ln 2 1) (3 ln 1 2) 3 ln 2 1
1
x
x
= + + = + − + = −
+
b)
0
2
2
1
3 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
( )
0 0
2 2
1 1
3 1
2 1
3 1
2 2
(2 1) (2 1)
x
x
dx dx
x x
− −
− +
−
= =
− −
∫ ∫
0
0
1
2
1
3 1 1 1 3 1 1
. . ln 2 1 .
2 2 1 2 4 4 2 1
(2 1)
dx x
x x
x
−
−
= + = − −
− −
−
∫
3 1 3 1 3 1
ln1 ln 3 ln 3
4 4 4 12 4 6
= + − + = − +
c)
1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 5
(2 3)
3 2
2 2
(2 3) (2 3)
x
x
dx dx
x x
+ −
+
= =
+ +
∫ ∫
1
2
0
3 1 5 1
. .
2 2 3 2
(2 3)
dx
x
x
= −
+
+
∫
1
0
3 5 1
ln 2 3 .
4 4 2 3
x
x
= + +
+
3 1 3 5 3 5 1
ln 5 ln 3 ln
4 4 4 12 4 3 6
= + − + = −
HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
1
1
2
0
3 1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
b)
3
2
2
1
3 2
4 5
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
3 1
4 4 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Giải
a)
1
1
2
0
3 1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Chú ý:
2
( 1)' 2
x x
+ =
Nên:
1
1
2
0
3
.2 1
2
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
1
2 2
0
3 2 1
.
2
1 1
x
dx
x x
= +
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 2
2
1 1
x dx
dx
x x
= +
+ +
∫ ∫
Xét:
1 1
2
2 1
0
2 2
0 0
( 1)
3 2 3 3 3 3 ln 2
ln 1 (ln 2 ln1)
2 2 2 2 2
1 1
d x
x
M dx x
x x
+
= = = + = − =
+ +
∫ ∫
Xét:
1
2
0
1
dx
N
x
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
0
2 2
2
0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
M dt t
t t
t
t
π π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
4
π
=
Vậy,
1
3 ln 2
2 4
I M N
π
= + = +
b)
3
2
2
1
3 2
4 5
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
Chú ý:
2
( 4 5)' 2 4
x x x
− + = −
Khi đó:
3 3
2
2 2 2
1 1
3
(2 4) 8
3 2 4 1
2
8.
2
4 5 4 5 4 5
x
x
I dx dx
x x x x x x
− +
−
= = +
− + − + − +
∫ ∫
3 3
2 2
1 1
3 2 4 1
8
2
4 5 4 5
x
dx dx
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
+ Xét:
3 3
2
2 2
1 1
( 4 5)
3 2 4 3
2 2
4 5 4 5
d x x
x
M dx
x x x x
− +
−
= =
− + − +
∫ ∫
=
2 3
1
3 3
ln 4 5 (ln 2 ln 2) 0
2 2
x x
− + = − =
+ Xét:
3
2
1
1
8
4 5
N dx
x x
=
− +
∫
3
2
1
8
( 2) 1
dx
x
=
− +
∫
Đặt:
2 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
3
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
4
2 2
4
4 4
8 8 8 4
cos (tan 1)
dt
N dt t
t t
π π
π
π
π π
π
−
−
−
⇒ = = = =
+
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
Vậy,
2
4
I M N
π
= + =
c)
1
3
2
0
3 1
4 4 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Chú ý:
2
(4 4 2)' 8 4
x x x
− + = −
Ta có:
1 1
3
2 2
0 0
3 1
(8 4)
3 1
8 2
4 4 2 4 4 2
x
x
I dx dx
x x x x
− +
−
= =
− + − +
∫ ∫
1 1
2 2
0 0
3 8 4 1
8 2
4 4 2 4 4 2
x dx
dx
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
+) Xét:
1 1
2
2 1
0
2 2
0 0
(4 4 2)
3 8 4 3 3 3
ln 4 4 2 (ln 2 ln 2) 0
8 8 8 8
4 4 2 4 4 2
d x x
x
M dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫
+) Xét:
1 1
2 2
0 0
1 1
2 2
4 4 2 (2 1) 1
dx dx
N
x x x
= =
− + − +
∫ ∫
Đặt:
2 1 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
2
2 cos
dt
dx
t
⇔ =
Đổi cận:Với
0 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
4
2 2
4
4 4
1 1 1
2 2 2 4
2 cos (tan 1)
dt
N dt t
t t
π π
π
π
π π
π
−
− −
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Vậy,
3
4
I M N
π
= + =
HT 11.Tính các tích phân sau:
a)
0
3 2
1
2
1
5 6 1
3 2
x x x
I dx
x x
−
− + −
=
− +
∫
b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=
+ +
∫
c)
0
3 2
3
2
1
3 6 1
2 2
x x x
I dx
x x
−
+ − +
=
+ +
∫
d)
2
2
2
1
7 12
x
I dx
x x
=
− +
∫
Giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
a)
0 0
3 2
1
2 2
1 1
5 6 1 2 3
2
3 2 3 2
x x x x
I dx x dx
x x x x
− −
− + − − +
= = − +
− + − +
∫ ∫
0 0
2
1 1
2 3
( 2)
3 2
x
x dx dx
x x
− −
− +
= − +
− +
∫ ∫
+) Xét:
0
2
0
1
1
1 5
( 2) 2 2
2 2 2
x
M x dx x
−
−
= − = − = − + = −
∫
+) Xét:
0 0
2
1 1
2 3 2 3
( 1)( 2)
3 2
x x
N dx dx
x x
x x
− −
− + − +
= =
− −
− +
∫ ∫
Dùng đồng nhất thức ta tách được:
( )
0
0
1
1 1
ln 1 ln 2 ( ln1 ln 2) ( ln 2 ln 3) ln 3
1 2
N dx x x
x x
−
−
− −
= + = − − − − = − − − − − =
− −
∫
Vậy,
1
5
ln 3
2
I M N
= + = −
b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=
+ +
∫
1
2
2
0
19 9
( 3 10 )
2 1
x
x x dx
x x
+
= + − +
+ +
∫
+) Xét:
1
3 2
2 1
0
0
3 1 3 49
( 3 10) 10 ( 10) 0
3 2 3 2 6
x x
M x x dx x
= + − = + − = + − − = −
∫
+) Xét:
1 1 1
2 2 2
0 0 0
19( 1) 10
19 9 19 10
1
2 1 ( 1) ( 1)
x
x
N dx dx dx
x
x x x x
+ −
+
= = = −
+
+ + + +
∫ ∫ ∫
1
0
10
19 ln 1 (19 ln 2 5) (19 ln 1 10) 19 ln 2 5
1
x
x
= + + = + − + = −
+
Vậy,
2
79
19 ln 2
6
I M N= + = −
c)
0
3 2
3
2
1
3 6 1
2 2
x x x
I dx
x x
−
+ − +
=
+ +
∫
0
2
1
10 1
1
2 2
x
x dx
x x
−
+
= + −
+ +
∫
+) Xét:
0
2
0
1
1
1 1
( 1) 1
2 2 2
x
M x dx x
−
−
= + = + = − − =
∫
+) Xét:
0
2
1
10 1
2 2
x
N dx
x x
−
+
=
+ +
∫
0
2
1
5(2 2) 9
2 2
x
dx
x x
−
+ −
=
+ +
∫
=
0
2 2
1
5(2 2)
9
2 2 2 2
x
dx
x x x x
−
+
−
+ + + +
∫
0
2
1
2 2
5
2 2
x
P dx
x x
−
+
=
+ +
∫
0
2
2 0
1
2
1
( 2 2)
5 5 ln 2 2 5(ln2 ln1) 5 ln 2
2 2
d x x
x x
x x
−
−
+ +
= = + + = − =
+ +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
0
2
1
9
2 2
dx
Q
x x
−
=
+ +
∫
0
2
1
9
( 1) 1
dx
x
−
=
+ +
∫
Đặt:
1 tan
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= − ⇒ =
Với
0
4
x t
π
= ⇒ =
4
2 2
0
9
cos (tan 1)
dt
Q
t t
π
⇒ =
+
∫
4
4
0
0
9
9 9
4
dt t
π
π
π
= = =
∫
9
5 ln 2
4
N P Q
π
⇒ = − = −
3
1 9
5 ln 2
2 4
I M N
π
⇒ = + = + −
d)
2
1
16 9
1
4 3
I dx
x x
= + −
− −
∫
=
( )
2
1
16 ln 4 9 ln 3
x x x+ − − −
=
1 25ln2 16ln 3
+ −
.
HT 12.Tính các tích phân sau:
a)
2
5 3
1
dx
I
x x
=
+
∫
b)
1
3
0
( 1)
xdx
I
x
=
+
∫
Giải
a)
2
5 3
1
dx
I
x x
=
+
∫
Ta có:
3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
x
x
x x x x
= − + +
+ +
⇒
2
2
2
1 1 3 1 3
ln ln( 1) ln 2 ln 5
1
2 2 2 8
2
I x x
x
= − − + + = − + +
b)
1
3
0
( 1)
xdx
I
x
=
+
∫
Ta có:
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
x x
x x
x x
− −
+ −
= = + − +
+ +
1
2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
I x x dx
− −
⇒ = + − + =
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)
1.
1
7
2 5
0
(1 )
x
I dx
x
=
+
∫
2.
1
5 3 6
0
(1 )
I x x dx
= −
∫
3.
4
3
4
1
1
( 1)
I dx
x x
=
+
∫
4.
2
10 2
1
.( 1)
dx
I
x x
=
+
∫
5.
2
7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫
6.
3
6 2
1
(1 )
dx
I
x x
=
+
∫
7.
1
2
4
0
( 1)
(2 1)
x
I dx
x
−
+
=
∫
8.
( )
( )
1
99
101
0
7 1
2 1
x
I dx
x
−
=
+
∫
9.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
10.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
11.
2
2
3
1
1 x
I dx
x x
−
=
+
∫
12.
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
14.
1
4 2
0
1
xdx
I
x x
=
+ +
∫
15.
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Bài giải
1.
(
)
3
2
1 1
7
2 5 2 5
0 0
(1 ) (1 )
x xdx
x
I dx
x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
2
1 2
t x dt xdx
= + ⇒ =
Đổi cận: Với
0 1;
x t
= ⇒ =
Với
1 2
x t
= ⇒ =
2
3
5 5
1
( 1)
1 1 1
.
2 4
2
t
I dt
t
−
⇒ = =
∫
2.
1 1
5 3 6 3 3 2
0 0
(1 ) (1 )
I x x dx x x x dx
= − = −
∫ ∫
Đặt
3 2 2
1 3
3
dt
t x dt x dx x dx= − ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận: Với
0 1;
x t
= ⇒ =
Với
1 0
x t
= ⇒ =
1
7 8
6
0
1 1 1
(1 )
3 3 7 8 168
t t
I t t dt
⇒ = − = − =
∫
3.
4 4
3 3
3
4 4 4
1 1
1
( 1) ( 1)
x dx
I dx
x x x x
= =
+ +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
Đặt
4 3 3
4
4
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
4
3 3
x t
= ⇒ =
3 3
3
1
1 1
1 1 1 1 1 1 3
ln ln
4 ( 1) 4 1 4 1 4 2
dt t
I dt
t t t t t
⇒ = = − = =
+ + +
∫ ∫
4.
2 2
9
10 2 10 10 2
1 1
.( 1) ( 1)
dx x dx
I
x x x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
10
1
t x
= +
9 9
10
10
dt
dt x dx x dx⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 2
x t
= ⇒ =
; Với
10
2 2 1
x t
= ⇒ = +
10 10
2 1 2 1
2 2
2 2
1 1 1 1 1
5 5 1
( 1)
dt
I dt
t t
t t t
+ +
⇒ = = − −
−
−
∫ ∫
10
2 1
2
1 1
ln( 1) ln
5
t t
t
+
= − − +
10
10
1 1 1 1
(10 ln 2 ln(2 1) ) ( ln 2 )
5 5 2
2 1
= − + + − − +
+
5.
2
7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫
2
7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
x x
dx
x x
−
=
+
∫
.
Đặt
7 6 6
7
7
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
2 128
x t
= ⇒ =
128 128
128
1
1 1
1 1 1 1 2 1
(ln 2 ln 1 )
7 (1 ) 7 1 7
t
I dt dt t t
t t t t
−
⇒ = = − = − +
+ +
∫ ∫
1 1 10 2
(7 ln 2 2 ln129) ( 2 ln 2) ln 2 ln129
7 7 7 7
= − − − = −
6.
3 3
6 2
2 6
1 1
2
1
(1 )
. ( 1)
dx dx
I
x x
x x
x
= =
+
+
∫ ∫
Đặt
2
1 1
t dt dx
x
x
= ⇒ = −
: Đổi cận:Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
1
3
3
x t= ⇒ =
3
1
3
6
4 2
2 2
1
3
3
1
1
1 1
t
I dt t t dt
t t
⇒ = − = − + −
+ +
∫ ∫
=
117 41 3
135 12
π
−
+
7.
1 1
2
2
4 2
0 0
( 1)
1
2 1
(2 1) (2 1)
x
x dx
I dx
x
x x
−
−
=
+
+ +
=
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
Chú ý:
'
2
1 3
2 1
(2 1)
x
x
x
−
=
+
+
Đặt:
2 2
1 3
2 1 3
(2 1) (2 1)
x dx dx dt
t dt
x
x x
−
= ⇒ = ⇒ =
+
+ +
Đổi cận: Với:
0 1
x t
= ⇒ = −
; Với
1 0
x t
= ⇒ =
1
3
2 1
0
0
1 1
3 9 9
t
t t dt
−
−
⇒ = = = −
∫
8.
( )
1 1
99 99
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 1
2 1
x dx x x
I d
x x x
x
− − −
= =
+ + +
+
∫ ∫
100
100
1
1 1 7 1 1
2 1
0
9 100 2 1 900
x
x
−
= ⋅ = −
+
9.
x
2
2
4
1
1
1
x
I d
x
+
=
+
∫
Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= − ⇒ = +
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= ⇒ =
Với
3
2
2
x t
= ⇒ =
⇒
3 3
2 2
2
0 0
1 1 1
2 2 2 2
2
dt
I dt
t t
t
= = −
− +
−
∫ ∫
3
1 2 1
.ln ln(3 2 2)
2
2 2 2 2
0
t
t
−
= = −
+
10.
x
2
2
4
1
1
1
x
I d
x
−
=
+
∫
Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
−
−
=
+
+
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= + ⇒ = −
Đổi cận: Với
1 2;
x t
= ⇒ =
Với
5
2
2
x t
= ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
5
2
2
2
2
dt
I
t
⇒ = −
+
∫
.
Đặt
2
2 tan 2
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =
;
1 2
5 5
tan 2 arctan 2; tan arctan
2 2
u u u u= ⇒ = = ⇒ =
⇒
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
u
u
I du u u
= = − = −
∫
11.
2
2
3
1
1 x
I dx
x x
−
=
+
∫
Ta có:
2
2
1
1
1
1
x
I dx
x
x
−
=
+
∫
. Đặt
1
t x
x
= +
2
1
1
dt dx
x
⇒ = −
Đổi cận: Với
1 2;
x t
= ⇒ =
Với
5
2
2
x t
= ⇒ =
5
5
2
2
2
2
5 4
ln ln ln2 ln
2 5
dt
I t
t
= − = − = − + =
∫
12.
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Ta có:
4 2 2
4 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
( 1)
1 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
− + +
+ − +
= = + = +
+ + + − + + + +
⇒
1 1
3
2 3 2
0 0
( )
1 1 1
.
3 4 3 4 3
1 ( ) 1
d x
I dx dx
x x
π π π
= + = + =
+ +
∫ ∫
13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
3 3
3 3
2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12
( 1)( 1) 1 1
x
I dx dx
x x x x
π
= = + = − +
− + − +
∫ ∫
14.
1
4 2
0
1
xdx
I
x x
=
+ +
∫
.
Đặt
2
t x
=
2
2
dt
dt xdx xdx⇒ = ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
Đổi cận:
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
1 1
x t
= ⇒ =
1 1
2 2
2
0 0
1 1
2 2
6 3
1
1 3
2 2
dt dt
I
t t
t
π
⇒ = = =
+ +
+ +
∫ ∫
15.
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Ta có:
2
2
4 2
2
2
1
1
1
1
1
1
x
x
x x
x
x
+
+
=
− +
+ −
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= − ⇒ = +
1
2
0
1
dt
I
t
⇒ =
+
∫
.
Đặt
2
tan
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =
⇒
4
0
4
I du
π
π
= =
∫
