giải hình học không gian bằng tọa độ oxyz
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (395.3 KB, 16 trang )
1
1. Hình chóp tam giác
Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có độ dài cạnh
AB a
=
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN,
biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Gợi ý:
Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
3 3
, , .
2 2 6
a a a
OA OB OC OG= = = =
Đặt
0.
SG z
= >
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A,
tia
Oy
chứa B và tia
Oz
nằm trên đường thẳng qua O và song
song với SG (xem hình vẽ). Khi đó
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; .
2 2 2 6
a a a a
A B C S z
−
3 3
; ; , ; ; .
12 4 2 12 4 2
a a z a a z
M N
−
Tính được
15
.
6
a
z =
Suy ra
2
10
.
16
AMN
a
S =
x
y
z
G
O
S
A
B
C
Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB
và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho
AC R
=
. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S
sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng
60
o
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,
SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp
. .
S ABC
Gợi ý:
Ta có
, 3.
AC R BC R= =
Đặt
0.
SA z
= >
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
,
O C
≡
tia
Ox
chứa A,
tia
Oy
chứa B và tia
Oz
nằm trên đường thẳng qua O và
song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; .
C A R B R S R z
Khi đó tính
được
8 3 4 2
; ;
9 9 9
R R R
H
và
2 2 2
;0; .
3 3
R R
K
Thể tích khối chóp
.
S ABC
là:
3
.
6
.
12
S ABC
R
V =
2R
x
y
z
A
S
B
C
K
H
Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có
giao tuyến là đường thẳng
∆
. Trên
∆
lấy hai điểm A,B với
AB a
=
. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong
mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với
∆
và
.
AC BD AB a
= = =
Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó
(
)
;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).
A a B C a a D a
+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm
(
)
/ 2; / 2; / 2
I a a a và bán kính
3 / 2.
=R a
+ Mặt phẳng (BCD) có phương trình
0.
x y
− =
+ Khoảng cách từ A đến (BCD) là
( )
2
,( ) .
2
a
d A BCD =
P
Q
a
a
a
y
z
x
A
B
D
C
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a,
2
SA a
=
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Gợi ý:
+ Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ, lúc đó
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;2 .
2 2 2 2
a a a a
A B C S a
−
+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là
3 2 2
; ;
10 5 5
a a a
M
và
3 2 2
; ; .
10 5 5
a a a
N
−
+ Thể tích khối chóp A.BCNM là
3
.
3 3
.
50
A BCNM
a
V =
a
2a
z
x
y
N
O
S
C
B
A
M
Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B,
2
AB BC a
= =
, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Gợi ý:
+Đặt
0.
SA z
= >
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:
(
)
(
)
(
)
2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 ,
A a B C a
(
)
;0;0 , (2 ;0; ).
M a S a z
+ Tìm được điểm
(
)
; ;0 .
N a a
+ Vectơ pháp tuyến của (SBC) là
(
)
;0;2 .
SBC
n z a
= −
+Vectơ pháp tuyến của (ABC) là
(
)
0;0;1 .
ABC
n =
+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
o
tìm được
(
)
2 3 2 ;0;2 3 .
z a S a a= ⇒
+ Suy ra
3
3
SBCNM
V a=
và
2 39
( , ) .
13
a
d AB SN =
z
y
x
N
M
C
B
A
S
Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B,
3 , 4
BA a BC a
= =
, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
2 3
SB a
=
và
30 .
o
SBC
=
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Gợi ý:
+ Kẻ
,
SO BC
⊥
khi đó
( )
SO ABC
⊥
. Tính được
3, 3 , .
SO a OB a OC a
= = =
+ Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 ;3 ;0 , 3 ;0;0 , ;0;0 , 0;0; 3 .
A a a B a C a S a−
+ Tính thể tích khối chóp S.ABC là
3
.
2 3.
S ABC
V a=
+ Phương trình mặt phẳng (SAC) là:
3 4 3 3 0.
x y z a
− + + − =
+ Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là
( )
6 7
,( ) .
7
a
d B SAC =
4a
3a
z
y
x
S
A
B
C
O
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
3
Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a,
AB = 2a, AC = 4a,
o
BAC 60
=
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường
thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện
BCDE theo a.
Giải:
60
o
4a
2a
3a
E
A
B
C
D
x
z
y
H
K
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa
độ O.
A(0;0;0), B(2a;0;0),
(
)
2 ;2 3;0
C a a , D(0;0;3a)
.cos60
o
AH AB a
= =
. Suy ra tọa độ của
3
; ;0
2 2
a a
H
(
)
2 ;2 3; 3
DC a a a
= −
suy ra
(
)
2;2 3; 3
u
= −
là một vecto chỉ
phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là:
2
2 3
3 3
x t
y t
z a t
=
=
= −
. Vì K thuộc DC nên
(
)
2 ;2 3 ;3 3
K t t a t
− .
Ta có
(
)
2 2 ;2 3 ;3 3
BK t a t a t
= − −
13
. 0
25
a
BK DC t= ⇔ =
. Vậy
26 26 3 36
; ;
25 25 25
a a a
K
Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z).
3
; ;
2 2
a a
EH z
= −
;
27 27 3 36
; ;
50 50 25
a a a
HK
=
Vì E, H, K thẳng hàng nên ;
EH HK
cùng phương, do đó suy ra
4
3
a
z = − . Vậy E(0;0;
4
3
a
− ).
4
2 ;0;
3
a
EB a
=
và
(
)
2 ;2 3; 3
DC a a a
= −
nên
EB
.
DC
=
( )
4
2 .2 0.2 3 3 0
3
a
a a a a
+ + − =
Vậy BE vuông góc với CD.
A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
60
o
O
H
C
A
B
S
x
y
z
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ.
Ta có:
0; ;0
2
a
A
,
0; ;0
2
a
B
−
,
3
;0;0
2
a
C
6
a
OH
=
2 2
7
3
a
CH CO OH⇒ = + =
21
.tan 60
3
o
a
SH CH⇒ = =
21
0; ;
6 3
a a
S
⇒ −
•
3
.
1 7
.
3 12
S ABC ABC
a
V SH S= =
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
4
•
(
)
0; ;0
AB a
= −
;
2 21
0; ;
3 3
a a
SA
= −
;
3
; ;0
2 2
a a
BC
=
;
2 2 2 2
21 7 3 24
; ; ; ;
6 2 3 3
SA BC a a a SA BC a
= − ⇒ =
và
3
7
; .
2
SA BC AB a
= −
.
Suy ra:
( )
3
2
; .
7 3 42
; .
2 8
24
;
SA BC AB
a a
d SA BC
a
SA BC
= = =
. ☺
☺☺
☺
B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên
cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
Giải:
K
O
A
B
C
S
x
y
z
H
Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm
của tam giác ABC.
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ.
Ta có:
0; ;0
2
a
A
−
,
0; ;0
2
a
B
,
3
0; ;0
2
a
C
.
3
3
a
CK =
2 2
33
3
a
SK SC CK⇒ = − =
3 33
0; ;
6 3
a a
S
⇒
3 33
0; ;
3 3
a a
SC
= −
;
(
)
0; ;0
AB a
=
. 0
AB SC AB SC
= ⇒ ⊥
( )
AB SC
AB ABH
AB OH
⊥
⇒ ⊥
⊥
. 11
4
SK OC a
OH
SC
⇒ = = .
Giải:
( )
2
1 5
. ,( )
3 3
ABCD ACD ACD
a
V S d B ACD S= ⇒ = . Từ đây tính được
2 5
;
3 3
A
a a
CD h= = .
O
A
C
D
B
x
y
z
Gọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có:
5
0; ;0
3
a
A
,
;0;0 , ;0;0 , ; ;
3 3 3
a a a
C D B x y
với y > 0
Từ giả thiết BC = BD = a ta giải ra được 0;
3
a
x y= = .
Vậy 0; ;
3 3
a a
B
.
2 2
2 2
; 0; ;
3 3
a a
BC BD
= −
.
(
)
( )
0;0;1
ACD
n =
;
(
)
( )
0;1; 1
BCD
n
= −
.
Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Ta có:
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0.0 0.1 1.( 1)
1
cos cos ; 45
2
0 0 1 . 0 1 1
o
ACD BCD
n n
α α
+ + −
= = = ⇒ =
+ + + +
.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
5
Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và
o
ABC 30
=
.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60
o
. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Giải:
B
A
C
S
y
x
z
H
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O
trùng điểm A.
A(0;0;0),
( )
3
;0;0 , 0; ;0 , ; ;
2 2
a a
B C S x y z
với
0; 0; 0
x y z
> > >
(
)
; ; ;0
H x y
với H là hình chiếu vuông
góc của của S trên (ABC).
(
)
1
0;0;1
n =
là vectơ pháp tuyến của (ABC) và
2
3 3
; 0; ;
2 2
a a
n AB AS z y
= = −
là vectơ pháp tuyến
của (SAB).
3
; ;0;
2 2
a a
n AC AS z x
= = −
là vectơ pháp tuyến của (SAC).
•
( )
1 2
2 2
2 2
1 2
.
1
cos ( ),( ) 3
2
n n
y
SAB ABC z y
n n
z y
= ⇔ = ⇔ =
+
(1)
•
( )
1 3
2 2
2 2
1 3
.
1
cos ( ),( ) 3
2
n n
x
SAC ABC z x
n n
z x
= ⇔ = ⇔ =
+
(2)
Từ (1), (2) ta có
x y
=
. Nên
(
)
; ;0
H x x
. Vì H thuộc BC nên
3
; ;0 , ; ;0
2 2 2
a a a
BC CH x x
= − = −
cùng
phương, suy ra
( )
3
2
3
2 1 3
2
2
a
x
x a
x
a
a
−
= ⇔ =
+
−
thay vào (1), ta được
( )
3
2 1 3
a
z =
+
.
•
( )
(
)
3
2
.
3 3
1 1 3 3
. . .
3 3 8 32
2 1 3
S ABC ABC
a
a a
V SH S
∆
−
= = =
+
. ☺
☺☺
☺
A
B
C
S
x
y
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
với điểm A.
Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0
SA=7a
2 2 2 2
49
x y z a
⇔ + + =
(1)
SB=9a
(
)
2
2 2 2
8 81
x a y z a
⇔ − + + = (2)
SC=11a
(
)
2
2 2 2
6 121
x y a z a
⇔ + − + =
(3)
Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a).
Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là
6
S
h z a
= =
.
2
1
. 24
2
ABC
S AB AC a
= =
.
3
.
48
S ABC
V a
=
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
6
2. Hình chóp tứ giác
Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a, góc
60 ,
o
BAD =
SA vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
.
SA a
=
Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt
phẳng (P) đi qua
'
AC
và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại
', '
B D
. Tính thể tích khối chóp
. ' ' '
S AB C D
.
Gợi ý:
Gọi O là giao điểm của AC và DB.
Vì tam giác ABD đều nên
3
, .
2 2
a a
OB OD OA= = =
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa B và tia
Oz
nằm trên đường thẳng qua O và song
song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
3 3
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2 2 2
a a a a
A B C D
− −
3
' 0;0; , ;0; .
2 2
a a
C S a
x
y
z
O
C
D
A
B
S
Tìm được
3
' ; ;
6 3 3
a a a
B
và
3
' ; ; .
6 3 3
a a a
D
−
Thể tích khối chóp
. ' ' '
S AB C D
là:
3 3 3
. ' ' ' . ' ' . ' '
1 1 1 3 1 3 3
, ' . ' , ' . ' . . .
6 6 6 6 6 6 18
S AB C D S AB C S AC D
a a a
V V V SA SC SB SA SC SD
= + = + = + =
Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2,
AB a AD a SA a
= = =
và SA vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng
(SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Gợi ý:
+Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
,
O A
≡
tia
Ox
chứa B, tia
Oy
chứa D và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , ; 2;0 , 0; 2;0 , 0;0; ;
A B a C a a D a S a
2 2
0; ;0 , ; ; .
2 2 2 2
a a a a
M N
( )
( )
( )
2
0;0; , ; 2;0 , 0; ; , ;0; .
2
a
AS a AC a a SM a SB a a
= − = −
Vectơ pháp tuyến của (SAC) là
(
)
2 2
, 2; ;0 .
AS AC a a
= −
x
z
y
I
N
M
D
C
B
A
S
Vectơ pháp tuyến của (SBM) là
2
2
2
, ; ;0 .
2
a
SM SB a
= − −
Vì
4 4
, . , 0
AS AC SM SB a a
= − =
nên
( ) ( ).
SAC SBM
⊥
Ta có
2 2 .
IC BC
IC IA
IA AM
= = ⇒ = −
Từ đây tìm được
2
; ;0 .
3 3
a a
I
Thể tích khối tứ diện ANIB là
3 3
1 1 2 2
, . . .
6 6 6 36
ANIB
a a
V AN AI AB
= = =
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
7
Bài 3. (Trích đề ĐH Khối A năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Gợi ý:
Gọi O là trung điểm AD, khi đó
( ).
SO ABCD
⊥
Chọn
hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa N và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:
( )
3
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2 2
3
; ;0 , ; ; .
2 2 4 2 4
a a a
A B a N a S
a a a a a
P M
−
Ta có:
3
; ; , ; ;0 .
4 2 2 2
a a a a
AM BP a
= − = − −
Thể tích của khối tứ diện CMNP là
3
3
.
96
CMNP
a
V =
x
z
y
P
M
NO
C
D
A
B
S
Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Gợi ý:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa B và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó:
( )
2 2 2
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2 2
2 2 2 2
;0;0 , ; ;0 , ;0; ,
2 4 4 4 2
2 2 2 2
; ; ; ; ; .
2 2 2 4 2
a a a
A B D S z
a a a a z
C N I
a a a a z
E z M
−
− −
Ta
có
3 2 2
;0; , 0; ;0 .
4 4 4
a z a
MN BD
= = −
a
z
x
y
N
M
E
I
O
C
D
A
B
S
+
. 0 .
MN BD MN BD
= ⇒ ⊥
+ Khoảng cách giữa MN và AC là
2
( , ) .
4
a
d MN AC =
Bài 5. (Trích đề ĐH Khối D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
90 , , 2 .
o
ABC BAD AB BC a AD a
= = = = = Cạnh bên SA vuông góc với đáy là
2.
SA a= Gọi H là hình
chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD).
Gợi ý:
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
8
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
,
O A
≡
tia
Ox
chứa B, tia
Oy
chứa D và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0;2 ;0 , 0;0; 2 .
A B a C a a D a S a Tìm
được
2 2
;0; .
3 3
a a
H
Phương trình mặt phẳng (SCD) là:
2 2 0.
x y z a
+ + − =
Khoảng cách từ H đến (SCD) là
( )
,( ) .
3
a
d H SCD
=
a
2a
a
z
x
y
C
D
A
B
S
H
Bài 6. (Trích đề ĐH Khối B năm 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
, 3
SA a SB a
= =
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
SM, DN.
Gợi ý:
Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có:
3 3
, , .
2 2 2
a a a
SO OA OB= = =
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
vuông góc với AB và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi
đó:
3 3
;0;0 , ;0;0 , ;2 ;0 , ;2 ;0 ,
2 2 2 2
a a a a
A B C a D a
− −
3 3
0;0; , ;0;0 , ; ;0 .
2 2 2
a a a
S M N a
− −
2a
a
x
z
y
N
M
C
B
A
D
O
S
+ Thể tích của khối chóp S.BMDN là
3
.
3
.
3
S BMDN
a
V =
+ cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN là
5
cos( , ) .
5
SM DN =
Bài 7. (Trích đề ĐH Khối A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D;
2 , ;
AB AD a CD a
= = =
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
60
o
. Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Gợi ý:
Từ giả thiết suy ra
( ).
SI ABCD
⊥
Đặt
0.
SI z
= >
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O I
≡
, tia
Ox
chứa D,
tia
Oy
vuông góc với AB và tia
Oz
chứa S (xem hình
vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
;0;0 , ;2 ;0 , ; ;0 , ;0;0 , 0;0; .
A a B a a C a a D a S z
− −
+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
bằng
60
o
ta tìm được
3 15
.
5
a
z =
+ Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
.
3 15
.
5
S ABCD
a
V =
2a
2a
a
z
y
x
I
C
B
A
D
S
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
9
Bài 8. (Trích đề ĐH Khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và
3.
SH a= Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng DM và SC theo a.
Gợi ý:
Trước hết chứng minh được
.
DM CN
⊥
+
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 5 5
.
5
a
DH
HD DN DC a a a
= + = + = ⇒ =
+
5 3 5
.
2 10
a a
DM HM DM DH= ⇒ = − =
+
5 2 5
;. .
10 5
a a
HN HC= =
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O H
≡
, tia
Ox
chứa N, tia
Oy
chứa D và tia
Oz
chứa S (xem hình
vẽ). Khi đó:
( )
5 5 2 5
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 ,
10 5 5
3 5
0; ;0 , 0;0; 3 .
10
a a a
N D C
a
M S a
−
−
a
x
y
z
H
N
M
C
B
A
D
S
+ Thể tích khối chóp S.CDNM là
3
.
5 3
.
24
S CDNM
a
V =
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là:
( )
2 57
, .
19
a
d DM SC =
Bài 9. (Trích đề ĐH Khối D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. cạnh
bên
,
SA a
=
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối
tứ diện SMBC theo a.
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O H
≡
, tia
Ox
song song với tia AB, tia
Oy
song song với tia
AD và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:
2
2 2 2
2 14
4 4
a a
SH SA AH a
= − = − =
do đó
3 3 3
; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
4 4 4 4 4 4
3 14
; ;0 , 0;0; .
4 4 4
a a a a a a
A B C
a a a
D S
− − −
−
a
a
x
y
z
M
H
D
A
B C
S
Ta có
2 2
2
SC SH CH a AC
= + = = nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra
14
; ; .
8 8 8
a a a
M
− −
Thể tích khối chóp S.BMC là
3
.
14
.
48
S BMC
a
V =
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
10
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành,
4 ,
AD a
=
các cạnh bên của hình chóp bằng
nhau và bằng
6
a
. Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp
S.ABCD lớn nhất.
Gợi ý:
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lư
ợt là
AB và AD. Từ giả thiết suy ra
( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥
⇒ ⊥
⊥
và
2 2
6
OA OB OC OD a SO
= = = = −
nên ABCD là
hình chữ nhật.
Đặt
0.
ON x
= >
Khi đó
2 2
4 .
OA x a
= +
2 2 2 2
2 .
SO SA OA a x
= − = −
+ Thể tích khối chóp S.ABCD là
2 2
.
1 8
. . 2 .
3 3
S ABCD
V AB AD SO ax a x
= = −
4a
x
y
z
M
N
O
C
B
A
D
S
+ Bằng cách xét hàm số
2 2
8
( ) 2
3
f x ax a x
= −
với
(
)
0; 2
x a∈
hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy
ra
.
S ABCD
V
lớn nhất khi và chỉ khi
.
x a
=
Suy ra
.
SO a
=
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
như hình vẽ. Khi
đó:
( )
2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 0;0; .
2 2 2
a a a
B a C a D a S a
− − − −
Gọi
ϕ
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì
2
cos .
5
ϕ
=
*****
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
11
3. Hình lăng trụ tam giác
Bài 1. (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007). Cho hình lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
có
1
, 2 , 2 5
AB a AC a AA a
= = =
và
120 .
o
BAC
=
Gọi M là trung điểm của cạnh
1
.
CC
Chứng minh
1
MB MA
⊥
và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
1
( ).
A BM
Giải:
a) Kẻ
.
AO BC
⊥
Ta có
2 2
4 2. .2 cos120 7.
o
BC a a a a a= + − =
. .sin120 21
. . .sin120 .
7
o
o
AB AC a
AO BC AB AC AO
BC
= ⇒ = =
2
2 2 2
21 2 7
;
49 7
5 7
.
7
=
a a
OB AB AO a
a
OC BC OB
= − = − =
= −
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó
1
21 2 7
;0;0 , 0; ;0 ,
7 7
5 7 21
0; ; 5 , ;0; 2 5 .
7 7
a a
A B
a a
M a A a
−
Ta có
( )
1
21 5 7
; ; 5 , 0; 7; 5 .
7 7
a a
MA a MB a a
= = −
2 2
1 1 1
. 5 5 0 .
MA MB a a MA MB MA MB
= − = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
a
2a
z
x
y
C
1
A
1
B
1
B
A
b) Phương trình mặt phẳng
1
( )
A BM
là:
2 7
12 5 15 21 0.
7
a
x y z
− − − =
Khoảng cách từ A đến
1
( )
A BM
là:
( )
1
5
,( ) .
3
a
d A A BM =
Bài 2. (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
có tất cả các cạnh đều
bằng a, M là trung điểm của đoạn
1
AA
. Chứng minh
1
BM B C
⊥
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
BM và
1
.
B C
Gợi ý:
Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ
Oxyz
có tia
Ox
chứa
A, tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa trung điểm của
1 1
B C
(xem hình vẽ).
Khi đó:
1
3
0; ;0 , 0; ;0 , ;0; 0; ; .
2 2 2 2 2
vµ
a a a a a
B C M B a
− −
Ta có
( ) ( )
1
3
0; ;0 , ; ; , 0; ;0 .
2 2 2
a a a
BC a BM B C a
= = = −
+
2 2
1 1
. 0 .
2 2
a a
BM B C BM B C
= − + = ⇒ ⊥
a
a
a
z
x
y
O
C
1
B
1
A
1
A
B
C
3
1
1
2
1
3
, .
30
2
( , ) .
10
10
,
2
a
BM B C BC
a
d BM B C
a
BM B C
= = =
+
2 2
2
1
3 3
, ; ; .
2 2
a a
BM B C a
= − −
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
12
Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy ABC
là tam giác vuông tại B,
, ' 2 , ' 3 .
AB a AA a A C a
= = =
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
' '
A C
, I là giao
điểm của AM và
'
A C
. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(IBC).
Giải:
Ta có
2 2 2 2
' ' 5; 2 .
AC A C AA a BC AC AB a
= − = = − =
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
,
O B
≡
tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa B’ (xem hình vẽ). Khi đó:
(0;0;0), ( ;0;0), (0;2 ;0), ; ;2 .
2
a
B A a C a M a a
Gọi
(
)
; ;
I x y z
, vì
2 2 4
2 ; ;
3 3 3
a a a
IA IM I
= − ⇒
.
Thể tích khối tứ diện IABC là:
3 3
1 1 8 4
, . . .
6 6 3 9
IABC
a a
V BA BC BI
= = =
a
2a
x
y
z
3a
I
M
C'
A'
B'
B
A
C
+ Gọi
n
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (IBC). Khi đó
2 2
8 4
, ;0;
3 3
a a
n BI BC
= = −
cùng phương với
(
)
' 2;0;1
n = −
. Mặt phẳng (IBC) đi qua B và có vectơ pháp tuyến
(
)
' 2;0;1
n = −
nên có phương trình:
2 0.
x z
− + =
Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là
( )
2
| 2 | 2 5
,( ) .
5
( 2) 1
a a
d A IBC
−
= =
− +
Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008). Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có độ dài cạnh bên
bằng
2 ,
a
đáy ABC là tam giác vuông tại A,
, 3
AB a AC a
= =
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
'.
A ABC
và cosin của góc giữa hai
đường thẳng
'
AA
và
' '.
B C
Giải:
+ Gọi O là trung điểm BC, H là trung điểm AB, K là trung
điểm AC thì OHAK là hình chữ nhật. Ta có:
2 2
2 2 2 2
2 , ,
2
' ' 4 3.
BC
BC AB AC a OA a
OA AA OA a a a
= + = = =
= − = − =
2
2 2 2
2
2 2 2
3
;
4 2
3
.
4 2
a a
OH OA AH a
a a
OK OA AK a
= − = − =
= − = − =
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa H, tia
Oy
chứa K và tia
Oz
chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:
x
y
z
K
H
O
C'
B'
A'
A
B
C
( )
3 3 3
' 0;0; 3 , ; ;0 , ; ;0 , ; ;0 .
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
A a A B C
− −
+ Thể tích khối chóp
'.
A ABC
là
3 3 3
'.
1 1 3 3
' , ' . ' .
6 6 2 2 2
A ABC
a a a
V A A A B A C
= = − − =
+
(
)
3; ;0 .
BC a a= −
Gọi
ϕ
là góc giữa
'
AA
và
' '.
B C
Khi đó:
'.
1
cos cos( ', ) .
'. 4
AA BC
AA BC
AA BC
ϕ
= = =
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
13
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc
60
o
ACB
=
, biết
rằng
' ' 7,
AA BA a= =
mặt bên
( ' ')
ABB A
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng
( ' ')
ACC A
tạo với
(ABC) một góc
60 .
o
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Gợi ý:
+ Gọi O là trung điểm AB, M là trung điểm AC. Khi đó
' , ' , .
A O AB A O OM OM AB
⊥ ⊥ ⊥
Đặt
0,
OA x
= >
khi đó
2 2
' 7 ; .
3
x
OA a x OM= − =
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa M và tia
Oz
chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
2 2
( ;0;0), 0, ;0 , ' 0;0; 7 .
3
x
A x M A a x
−
Theo giả thiết thì
1
cos 2 .
2
x a
ϕ
= ⇒ =
Suy ra
4
4 , ; ' 3.
3
a
AB a BC OA a= = =
Thể tích khối lăng trụ
đã cho là
3
1 1 4
. ' . . ' .4 . . 3 8 .
2 2
3
ABC
a
V S OA AB BC OA a a a
= = = =
x
z
y
M
O
C'
A'
B'
B
A
C
Bài 6. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
đáy ABC là tam giác
vuông,
1
, 2.
AB AC a AA a= = =
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn
1
AA
và
1
BC
. Chứng minh MN
là đường vuông góc chung của
1
AA
và
1
BC
. Tính thể tích khối chóp
1 1
.
MA BC
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O A
≡
, tia
Ox
chứa B,
tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1 1
1
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 , ;0; 2 ,
2 2
0; ; 2 , 0;0; , ; ; .
2 2 2 2
B a C a A a B a a
a a a a
C a a M N
+
( ) ( )
1 1
; ;0 , 0;0; 2 , ; ; 2 .
2 2
a a
MN AA a BC a a a
= = = −
1
1
1
. 0
. 0
MN AA
MN AA
MN BC
=
⇒ ⊥
=
và
1
MN BC
⊥
do đó MN là
đường vuông góc chung của
1
AA
và
1
BC
.
a
a
z
x
y
N
M
C
1
B
1
A
1
A
B
C
Tính thể tích khối chóp
1 1
MA BC
là
1 1
3
2
.
12
MA BC
a
V =
Bài 7. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008). Cho lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy ABC là tam
giác vuông,
, ' 2.
AB BC a AA a= = =
Gọi M trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ
. ' ' '
ABC A B C
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
, ' .
AM B C
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O B
≡
, tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa B’ (xem hình
vẽ). Khi đó:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0;0;0 , 0; ;0 , ' ;0; 2 , ' 0;0; 2 , ' 0; ; 2 , 0; ;0 .
2
a
A a B C a A a a B a C a a M
+ Thể tích của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
là
3
2.
V a=
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
14
+ Ta có:
( ) ( )
2
2 2
; ;0 , ' 0; ; 2 , ' ;0; 2 .
2
2
, ' ; 2; .
2
a
AM a B C a a AB a a
a
AM B C a a
= − = − = −
= − − −
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng
, '
AM B C
là
( )
, ' . '
7
, ' .
7
, '
AM B C AB
a
d AM B C
AM B C
= =
a
a
z
x
y
M
C'
A'
B'
B
A
C
Bài 8. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009). Cho lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có
'
BB a
=
; góc giữa
đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng
60
o
; tam giác ABC vuông tại C và
60
o
BAC
=
. Hình chiếu
vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ
diện
'
A ABC
theo a.
Gợi ý:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt
AC x
=
, suy
ra
3, 2 .
BC x AC x
= =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ. Ta có
( )
( )
( )
3
;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;0 , ; ;0 .
3 3
x x
A x B x C G
2
2
2 3 13
; ;0
3 3 3
13
' .
9
x x x
BG BG
x
GB a
−
= ⇒ =
⇒ = −
a
x
y
z
G
B'
C'
A'
A
C
B
Sử dụng giả thiết góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng
' 60
o
B BO
=
suy ra
3 13
.
26
a
x =
Vậy
3 13 3 39 3
; ; ' .
26 26 2
a a a
AC BC OB= = = Thể tích khối tứ diện
'
A ABC
là
3
'
9
.
208
A ABC
a
V =
Bài 9. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010). Cho lăng trụ tam giác đều
. ' ' '
ABC A B C
có
AB a
=
,
góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng
60
o
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
Gợi ý:
Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho, tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa B và tia
Oz
song song với tia AA’ (xem
hình vẽ). Khi đó:
3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0
2 2 2
−
a a a
A B C
3 3 3
' ;0; , ;0; .
2 2 6 2
a a a a
A G
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
3
. ' ' '
3
.
8
ABC A B C
a
V =
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là
7
.
12
a
R =
z
x
y
G
O
C'
B'
A'
A
B
C
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
15
K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB,
AB BC
⊥
. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của A'B' và BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng
2
7
a
. Góc giữa hai mặt
phẳng (AB'C) và (BCC'B') bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp MABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp B'ANC theo a.
Giải:
M
N
C'
B'
A
B
C
A'
x
y
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
điểm B.
Đặt AB = x (x>0) thì BC = 2x.
Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0)
A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0;
2
x
; y).
( )
0; ; , ' 2 ;0;
2
x
AM y B C x y
= − = −
2
; ' ;2 ;
2
xy
AM B C xy x
⇒ =
(
)
2 ; ;0
AC x x
= −
( )
; ' .
, '
; '
AM B C AC
d AM B C
AM B C
=
2
2 2 2 2
2 2 4
2
7 7
4 17
4
4
x y
a xy a
x y x y
x y x
−
⇔ = ⇔ =
+
+ +
(1)
(
)
' 0; ;
AB x y
= −
và
(
)
2 ; ;0
AC x x
= −
nên
(
)
2
', ;2 ;2
AB AC xy xy x
=
nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến là
(
)
;2 ;2
n y y x
=
(vì
n
cùng phương với ',
AB AC
) và (BCC'B') có vectơ pháp tuyến là
(
)
0;1;0
j =
.
( )
2 2 2
2 2
.
1 2 11
cos ( ' ),( ' ') 5 4 16
2 2
5 4
n j
y
AB C BCC A y x y x y
n j
y x
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =
+
(2)
Thế (2) vào (1), giải phương trình ta được kết quả
4
11
a
y =
và
2
x a
=
.
Vậy
3
1 1 4 16 11
.AA'= .2 .4 .
3 2 33
11
MABC ABC
a a
V S a a
= =
☺
☺☺
☺
• Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a
Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng:
(
)
2 2 2
1
: 2 2 2 0
S x y z a x by cz d
+ + + + + + =
với tâm
( )
2 2 2
1 1
; ; ,
T a b c R a b c d
− − − = + + −
Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ của chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ:
2
1
2
2
1
2
2
1
3
16 8 11
. 0
11 11
3
31
4 4 . 0
3
13
11
4 4 . 0
11
8
16 8 . 0
a a
a a c d
b a
a a b d
R a
a
c
a a a d
d a
a a a d
= −
+ + =
= −
+ + =
⇔ ⇒ =
= −
+ + =
=
+ + =
. ☺
☺☺
☺
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
16
4. Lăng trụ tứ giác
Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011). Cho lăng trụ
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình
chữ nhật,
, 3
AB a AD a
= =
. Hình chiếu vuông góc của điểm
1
A
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao
điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng
1 1
( )
ADD A
và
( )
ABCD
bằng
60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ
đã cho và khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
1
( )
A BD
theo a.
Gợi ý:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa
độ
Oxyz
như hình vẽ. Khi đó:
3 3 3
; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
2 2 2 2 2 2
3
; ;0 .
2 2
a a a a a a
A B C
a a
D
− − −
−
Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng
1 1
( )
ADD A
và
( )
ABCD
bằng
60
o
tìm được
1
3
0;0; .
2
a
A
Suy ra
1
3
0; ; .
2
a
B a
−
Thể tích khối lăng trụ đã cho là
1 1 1 1
3
.
3
.
2
ABCD A B C D
a
V =
a
z
x
y
O
D
1
C
1
B
1
C
B
A
D
A
1
Khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
1
( )
A BD
là
( )
1 1
3
,( ) .
2
a
d B A BD =
D12: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính
thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Giải:
C
D
A
C'
B'
A'
D'
B
x
y
z
Từ giả thiết ta tính được
'
2
a
AC AA= =
và
2
a
AB
=
.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với
điểm A.
Ta có: A(0;0;0),
0; ;0
2
a
B
,
; ;0
2 2
a a
C
,
;0;0
2
a
D
' 0;0;
2
a
A
, ' 0; ;
2
2
a a
B
, ' ; ;
2 2
2
a a a
C
, ' ;0;
2
2
a a
D
0; ;0
2
a
AB
=
; ' 0; ;
2
2
a a
AB
=
; ' ; ;
2 2
2
a a a
AC
=
.
2
; ' ;0;0
2 2
a
AB AB
= ⇒
3
; ' . '
4 2
a
AB AB AC
=
3
' '
1 2
; ' . '
6 48
ABB C
a
V AB AB AC
⇒ = =
.
•
;0;0
2
a
CB
= −
, ' 0; ;
2
2
a a
CD
= −
( )
2 2
; ' 0; ; 0; 2;1
4
2 2
a a
CD CD n
⇒ = ⇒ =
là VTPT của mặt
phẳng (BCD’) nên (BCD’):
2
2 0
2
a
y z
+ − =
( )
2 2
2
2.0 0
2
6
,( ')
6
( 2) 1
a
a
d A BCD
+ −
⇒ = =
+
. ☺
☺☺
☺
HẾT
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
