Chuyên đề số phức

Lê Anh
Chuyên đề số phức
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa số phức
• Số phức z là một biểu thức có dạng
z=a+bi
, trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn
2
1i = −
.
o a là phần thực.
o b là phần ảo.
o i là đơn vị ảo.
• Tập hợp các số phức kí hiệu là
£
.
• Đặt biệt:
o Số phức
z=a+0i
có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z=a.
o Số phức
z=0+bi
có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z=bi.
o Số phức z=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Số phức bằng nhau.
• Hai số phức
z=a+bi
và
z'=a'+b'i
bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
o

a=a'
a+bi=a'+b'i
b=b'

⇔


3. Biểu diễn hình học của số phức.
• Số phức
z=a+bi
được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy.
4. Mô đun số phức.
• Môđun số phức
z=a+bi
là số thực không âm kí hiệu
2 2
z = a +b
.
5. Số phức liên hợp.
• Số phức liên hợp của số phức
z=a+bi
là số phức
z=a-bi
.
6. Cộng, trừ, nhân và chia số phức.
• Cho hai số phức
z=a+bi
và
z'=a'+b'i
.

o Cộng hai số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
a+bi a'+b'i ' 'a a b b i+ = + + +
.
o Trừ hai số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
a+bi a'+b'i ' 'a a b b i− = − + −
.
o Nhân hai số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
a+bi a'+b'i aa'-bb' ' 'ab a b i= + +
.
o Chia hai số phức:
2 2 2 2
a+bi aa'-bb' ' '
a'+b'i ' ' ' '
ab a b
i
a b a b
+
= +
+ +
.
7. Căn bậc hai của số thực âm.
• Căn bậc hai của số thực a âm là
i a±
.
8. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
• Cho phương trình bậc hai
2

ax x+c=0b+
với
a,b,c , a 0∈ ≠¡
.
• Khi
∆
<0 phương trình có hai nghiệm phức:
1,2
2
b i
x
a
− ± ∆
=
.

II. Dạng lượng giác của số phức(dành cho chương trình nâng cao)
1
O
M(a;b)
y
x
a
b
.
Lê Anh
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +

(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
*
2 2
r a b= +
là môđun của z.
*
ϕ
là một acgumen của z thỏa
cos
sin
a
r
b
r
ϕ
ϕ

=




=


1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +

,
( )
' ' cos ' sin 'z r i
ϕ ϕ
= +
thì:
*
( ) ( )
. ' . ' cos ' sin 'z z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= + + +
 
*
( ) ( )
cos ' sin '
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= − + −
 
2. Công thức Moivre:
*n N
∈
thì
( ) ( )
cos sin cos sin

n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
+ = +
 
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
(r > 0) là
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 
+
 ÷
 
và
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 
− +
 ÷

 
III. Các dạng bài tập.
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo số phức
1. z=
( )
1 7 5i
+ −
2.
2 3 4
z=1+2i 5i 2 9i i
− + −
.
Bài 2: Cho hai số phức
1 2
2 5 , z =3-2iz i= +
.Xác định phần thực và phần ảo số phức
2
1 2
2 3z z−
Bài 3: Cho hai số phức
1 2
2 3 , z =-3-4iz i= − +
.Xác định môđun số phức
2
2 2 1
2 4 2z z z− +
Bài 4: Xác định phần ảo và tính môđun số phức z, biết:
1.
( ) ( )
2

2
z= 1-2i 1 3 2 2i i i
+ − +
2.
( ) ( ) ( )
2
1 3 1 1 2z i i i i
= − + − −
3.
4 2
1
i
z
i
+
=
+
4.
( ) ( )
2
2 1 2z i i
= + −
Bài 5 Cho số phức
( ) ( )
2
1 1 1z mi mi
= + + + +
.Xác định số thực m để z là số thuần ảo.
Bài 6: Xác định phần thực và phần ảo và tính môđun số phức liên hợp của các số phức z:
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
3 3
2
1. 1 - 1-2i 2. 3 2 4 2 5 2 3
3. z = 2 3 2 2 4 4. z =3i-4i -2i 1-2i
5. z= 1- 3 1 3 1 2
z i z i i i i i
i i
i i
= − = + − − +
− − −
+ + −
Bài 9: Xác định môđun số phức z, biết:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1. 2 2 + 2+ 2 2. 4 3 + 4+ 3 2 3z i i z i i i i
= − = − + −
Bài 10: Xác định phần thực, phần ảo các số phức z và biểu diễn các số phức đó trên mp Oxy, biết:
( ) ( )
( )
2 3
2
1. z=2-3i 2. z=-3+4i-4i 2
2-3i
3. z= 1-2i 3 2 4. z=
1+i
i

i
+
− +
Bài 11: Cho hai số phức
2 3 , z'=3-5iz i= − +
.
1. Xác định phần thực và phần ảo số phức 2z+3z’-2i+3.
2. Xác định mô đun số phức 3z-5z’-3
3. Biểu diển số phức z+z’ trên mặt phẳng Oxy.
Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1. 1-i 2 4 5 2. 1-2i 2 3 3. 1-z 2 1 2 2 3z i i z i i i i
+ − = − = − = − + −
Bài 13: Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1. z- 2+3i 1 9 2. 1-2i 2 3 10
3. 2iz+ 2-3i 1 1 3 4. 3z- 1-i 1
5. 2iz- 1-i 1 2 2 3
z i z z i
i z i i iz
z i i
= − + = −
= − − − = + −
= − +
2
Lê Anh

Bài 14: Xác định phần ảo z và tính mô đun số phức
z
, biết:
( ) ( )
z- 1 9 2+3ii z− =
Bài 15: Giải các phương trình sau
2
x 2x+5=0−
trên tập số phức.
Bài 16: Giải các phương trình sau
2
6 +10=0z z−
trên tập số phức.
Bài 17: Gọi
1 2
z , z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 +10=0z z−
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A=2 3z z+
.
Bài 18: Giải các phương trình sau
4 2
3 4=0z z+ −
trên tập số phức.
Bài 19: Giải các phương trình sau
4 2

10 +9=0x x+
trên tập số phức.
Bài 20: Tính mô đun số phức
z
, biết:
( ) ( )
( )
2 2
2
2 3 1
1 2
i i
z
i
− + +
=
−
Bài 21: Cho số phức
2 3z i= −
. Tính mô đun số phức
3
z z−
.
Bài 22: Cho số phức
2 2z i= −
. Xác định phần ảo số
( )
2
z z−
.

Bài 23: Cho số phức
1z i= +
. Tính mô đun số phức
5
z
.
Bài 24: Cho số phức
1z i= +
. Tính phần ảo và tính mô đun số phức
10
z
.
Bài 25: Với i là đơn vị ảo
2
1i = −
. Chứng minh rằng
( )
2
2 3 4 5
1 2i i i i i i
+ + + + + =
Bài 26: Với i là đơn vị ảo
2
1i = −
. Chứng minh rằng
( )
2
2008 2009 2010 2011 2012 2013
2i i i i i i i+ + + + + =
.

Bài 27: Với i là đơn vị ảo
2
1i = −
. Chứng minh rằng
2020
2 3 4 5
4 5
1
1
i i i i i
i i
+ + + + +
 
=
 ÷
−
 
Bài 28: Với i là đơn vị ảo
2
1i = −
. Chứng minh rằng
( )
40
1 1048576i
+ =
.
Bài 29: Với i là đơn vị ảo
2
1i = −
. Chứng minh rằng

( )
2
2 3 4 5 6 7 8 9
1 2i i i i i i i i i i+ + + + + + + + + =
.
Bài 30: Xác định mô đun số phức z, biết:
( ) ( )
2 3
5 3 2z i i= + − −
.
Bài 31: Xác định mô đun số phức
( )
20
1z i= +
.
Bài 32: Xác định phần ảo số phức
( )
30
1z i= +
.
Bài 33: Biểu diễn số phức
( )
6
1z i= +
trên mặt phẳng Oxy.
Bài 34: Xác định phần ảo số phức
( ) ( ) ( )
2 3 4
1 1 1z i i i= + + + + +
.

Bài 35: Xác định mô đun số phức
( ) ( )
( )
3 4
2
1 1
1 1
i i
z
i
+ + +
=
+ +
.
Bài 36: Xác định mô đun số phức z, biết
( )
( )
3
2
1 1
1 1
i
z
i
− +
=
− +
.
Bài 37: Xác định mô đun số phức z, biết
10

2 3 4 5
2 3
1 i i i i i
z
i i
+ + + + +
 
=
 ÷
−
 
Bài 38: Xác định mô đun số phức z, biết
10
2
2 3
1
3 4
i i
z i
i i
+ +
 
= + −
 ÷
−
 
Bài 39: Tính mô đun số phức z, biết:
( )
4
1 6 8z i i= + − −

.
3
Lê Anh
Bài 40: Tính mô đun số phức z, biết:
( )
2 1 4 3z i i i= − + − −
.
Bài 41: Xác định số phức liên hợp của số phức
( )
( )
2
3 4 4 3 1 2z i i i i= − − − − −
.
Bài 42: Xác định phần ảo số phức
3 4 8 6
1 4 3
i i
z
i
− + −
=
− −
.
Bài 43: Xác định phần ảo số phức
2 3 4 3 4 3
1 2 2
i i
z
i i
− − −

=
− −
.
Bài 44: Tính mô đun số phức z, biết:
( )
2
2 3
4 2 3 4
3 4
i i i
z
i i
+ + +
=
− −
.
Bài 45: Tính mô đun số phức z, biết:
( )
( )
2
2 3
2
5 8 2 6
1 2
i i i
z
i
− + −
=
−

.
Bài 46: Cho hai số phức
1 2
3 4 , z 8 6z i i= − = −
.
1. Tính giá trị biểu thức
2 2
1 1 2 2
2A z z z z= + +
2. Tính giá trị biểu thức
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
2z z z z
A
z z
− +
=
+
SỐ PHỨC
BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
Bài 1. Giải phương trình
2
2 5 4 0x x− + =
trên tập số phức.
TN THPT – 2006 Đáp số:
1
5 7
4 4

x i= +
;
2
5 7
4 4
x i= −
Bài 2. Giải phương trình
2
4 7 0x x− + =
trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 1) Đáp số:
1
2 3x i= +
;
2
2 3x i= −
Bài 3. Giải phương trình
2
6 25 0x x− + =
trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 2) Đáp số:
1
3 4x i= +
;
2
3 4x i= −
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức:
2 2
(1 3 ) (1 3 )P i i= + + −

TN THPT – 2008 (lần 1) Đáp số:
4P = −
Bài 5. Giải phương trình
2
2 2 0x x− + =
trên tập số phức.
TN THPT – 2008 (lần 2) Đáp số:
1
1x i= +
;
2
1x i= −
Bài 6. Giải phương trình
2
8 4 1 0z z− + =
trên tập số phức.
TN THPT – 2009 (CB) Đáp số:
1
1 1
4 4
x i= +
;
2
1 1
4 4
x i= −
Bài 7. Giải phương trình
2
2 1 0z iz− + =
trên tập số phức.

TN THPT – 2009 (NC) Đáp số:
1
x i=
;
2
1
2
x i= −
Bài 8. Giải phương trình
2
2 6 5 0z z+ + =
trên tập số phức.
TN THPT – 2010 (GDTX) Đáp số:
1
3 1
2 2
x i= − +
;
2
3 1
2 2
x i= − −
Bài 9. Cho hai số phức:
1
1 2z i= +
,
2
2 3z i= −
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2

2z z−
.
4
Lê Anh
TN THPT – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Bài 10. Cho hai số phức:
1
2 5z i= +
,
2
3 4z i= −
. Xác định phần thực và phần ảo của số phức
1 2
.z z
.
TN THPT – 2010 (NC) Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7
Bài 11. a/Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0z z+ + =
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
| | | |A z z= +
.
ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20
b/Cho z

1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0z z− + =
. Tính giá trị của biểu thức
( )
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
+
Bài 12. Tìm số phức z thỏa mãn
| (2 ) | 10z i− + =
và
. 25z z =
.
ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số: z = 3 + 4i
∨
z = 5
Bài 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
| (3 4 ) | 2z i− − =
.
ĐH Khối D – 2009 Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4 ), bán kính R = 2.

Bài 14. Cho số phức z thỏ mãn:
2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + +
. Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 15. Giải phương trình
4 3 7
2
z i
z i
z i
− −
= −
−
trên tập số phức.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (NC) Đáp số:
1
1 2x i= +
;
2
3x i= +
.
Bài 16. Tìm phần ảo của số phức z, biết:
2
( 2 ) (1 2 )z i i= + −
.
ĐH Khối A – 2010 (CB) Đáp số:
2−
Bài 17. Cho số phức z thỏa mãn:
3

(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của
z iz+
.
ĐH Khối A – 2010 (NC) Đáp số:
8 2
Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
| | | (1 ) |z i i z− = +
.
ĐH Khối B – 2010 (CB) Đáp số: đường tròn
2 2
( 1) 2x y+ + =
Bài 19. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện
| | 2z =
và z
2
là số thuần ảo.
ĐH Khối D – 2010 Đáp số: z
1
= 1 + i; z
2
= 1 – i; z
2

= –1 –i; z
4
= –1+ i.
Bài 20. Cho số phức z thỏ mãn:
2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i− + + = − +
. Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 21. Giải phương trình
2
(1 ) 6 3 0z i z i− + + + =
trên tập số phức.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (NC) Đáp số:
1
1 2x i= −
;
2
3x i=
.
Bài 22:
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)
2
(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
ĐS: a. a=2, b=−3
b. Tìm số phức z thỏa mãn:
( )
( )
1
1 1
3

1 2
z
z i
z i
z i

−
=

−


−

=

+

.HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1. ĐS: z=1+i
Bài 23:Giải phương trình:
4
1
z i
z i
+
 
=
 ÷
−
 

ĐS: z∈{0;1;−1}
Bài 24:Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
5
Lê Anh
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z∈{0;i;−i}
Bài 25:Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z. ĐS: z=0, z=−1,
1 3
2 2
z i= ±
Bài 26:Giải phương trình:
2
4 3
1 0
2
z
z z z− + + + =
.
HD: Chia hai vế phương trình cho z
2
. ĐS: z=1±i,
1 1
2 2
z i= − ±

.
Bài 27:Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung ĐS:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i= − = ± = − ±
.
Bài 28:Cho phương trình: (z + i)(z
2
−2mz+m
2
−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức.
Bài 29:Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
α
làm nghiệm biết:
a.
α
= 2−5i b.
α
= −2−i

3
c.
α
=
3 - 2i
Bài 30:Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
−iz
2
−2iz−2 = 0. b. z
3
+(i−3)z
2
+(4−4i)z−7+4i = 0.
Bài 31:Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
2 2z i z z i− = − +
.ĐS:
2
4
x
y =
.
Bài 32:Trong các số phức thỏa mãn
3
2 3
2
z i− + =
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi.

3
2 3
2
z i− + =
⇒ … ⇒
( ) ( )
2 2
9
2 3
4
x y− + + =
.
* Vẽ hình ⇒|z|
min
⇒z. ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
z i
− −
= +
.
Bài 33:Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a.
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+

. b.
( )
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +
 ÷
 
.
HD: Sử dụng công thức Moivre. ĐS: a. Phần thực
1
16
−
, phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
Bài 34:Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực −2
10
, phần ảo: 2
10
+1.

(
.
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
( )
!
!
kn
n
A
k
n
−
=
, n≥k>0.
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:
( )
!!
!
knk
n
C
k
n
−
=
, n≥k≥0.
4. Quy ước n!=0!=1.

5. Nhị thức Newton
( )
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba ++++++=+
−−−−−− 11222222110

.
Công thức số hạng tổng quát:
kknk
nk
baCT
−
+
=
1
, 0≤k≤n.
6
Lê Anh

B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2








+
x
x
,(x>0).ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3
1









+
x
x
với x>0.ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3
1
, biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−
+
+

+
nCC
n
n
n
n
,
4. (n nguyên dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 495
5. (ĐH_Khối D 2005)Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2
4

2
3
2
2
2
1
=+++
++++ nnnn
CCCC
(n là số nguyên dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)ĐS:
4
3
=M
6. (ĐH_Khối A 2006)Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x







+
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 210
7. (ĐH_Khối D 2008)Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3

2
1
2
=+++
−n
nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).ĐS: n=6
8. (ĐH_Khối D 2007)Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)
5
+x
2
(1+3x)
10
.ĐS: 3320
9. (ĐH_Khối D 2003)Với n là số nguyên dương, gọi a
3n
−
3
là hệ số của x
3n
−
3

trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để
a
3n
−
3
=26n.ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối D 2002)Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =L
.ĐS: n=5
11. (ĐH_Khối B 2008)Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2

1
1
11
=








+
+
+
+
++
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
12. (ĐH_Khối B 2007)Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3
n

C
n
0
−3
n
−
1
C
n
1
+3
n
−
2
C
n
2
−3
n
−
3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,

k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 22
13. (ĐH_Khối B 2006)Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của
A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.ĐS: k=9
14. (ĐH_Khối B 2003)Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+
−
++

−
+
−
+
+

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).ĐS:
1
23
11
+
−
++
n
nn
15. (ĐH_Khối B 2002)Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong
2n điểm A
1
A

2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
, tìm n.ĐS: n=8
16. (ĐH_Khối A 2008)Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó n∈N* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2

1
0
=+++
n
n
a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n
.ĐS: a
8
=126720
17. (ĐH_Khối A 2007)Chứng minh rằng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−

+ + + + =
+
L
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
7
Lê Anh
18. (ĐH_Khối A 2005)Tìm số nguyên dương n sao cho
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n

nnnn
CnCCCC 
, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
19. (ĐH_Khối A 2004)Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
. ĐS: 238
20. (ĐH_Khối A 2002)Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n

x
n
n
x
x
CCCC








+

















++
















+








=









+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1

0
3
2
1
22222222 
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.ĐS: n=7, x=4
21. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)
n
.
b. Tính các tổng S
1
=1−C
n
2
+C
n
4
−C
n
6
+… S
2
=C
n

1
−C
n
3
+C
n
5
−…
22. Chứng minh rằng C
100
0
–C
100
2
+C
100
4
–C
100
6
+ … –C
100
98
+C
100
100
=–2
50
.
−o0o−

8