chuyên đề 10 phương trình lượng giác

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


1
CHUYÊNĐỀ10.

CÁCDẠNGCƠBẢN
I.Phươngtrìnhbậcnhấtđốivới
sin x
và
cos x

Dạng:
sin cos ( , 0)axbxcab+= ¹

Phươngphápgiải:
+Phươngpháp1.Đưaphươngtrìnhvềdạng:
22 22 22
sin cos
ab c
xx
ab ab ab
+=
++ +

+Phươngpháp2.Đặt
2
2
2
2
sin

1
tan
1
2
cos
1
t
x
x
t
t
t
x
t
é
ê
=
ê
+
=
ê
ê
-
=
ê
ê
+
ë
(Lưuý:Phảixét
cos 0

2
x
=
)
Bàitập1.(ĐH_D2007)Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
2
sin cos 3 cos 2
22
xx
æö
÷
ç
÷
++=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(1)
Hướngdẫn:Tacó:(1)
131
1 sin 3 cos 2 sin cos
22 2
xx x x+ + = + =

Bàitập2.(ĐH_A2009)Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
()
()()

12sincos
3
1 2sin 1 sin
xx
xx
-
=
+-
(2)
Hướngdẫn:
+Điềukiện
1
sin 1 & sin
2
xx¹¹

ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


2
+Tacú(2)
cos 3 sin sin 2 3 cos2 cos cos 2
36
xxx xx x
pp
ổử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
- = + += -

ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ốứ ố ứ

Bitp3.(H_B2009)Giiphngtrỡnhlnggiỏcsau:
()
3
sin cos sin 2 3 cos 3 2 cos 4 sinxxx x x x++=+

Hngdn:Biniphngtrỡnhvdng:
()
3
2
sin 2 sin cos sin 2 3 cos 3 2cos 4
sin 1 2 sin cos sin 2 3 cos 3 2 cos 4
sin 3 3 cos 3 2 cos 4
cos 3 cos 4
6
xxxx x x
xxxx xx
xxx
xx
p
-+ + =
- + + =
+ =
ổử

ữ
ỗ
ữ
-=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

Bitp4.(H_D2009)Giiphngtrỡnhlnggiỏcsau:
3cos5 2sin3 cos2 sin 0xxxx =

Hngdn:Biniphngtrỡnhvdng:
()
3 cos 5 sin 5 sin sin 0 3 cos 5 5 sin 5 2 sinxxxx x xx-+-= - =

Bitp5.Tỡm
m
phngtrỡnh
2sin cos 1xm x m+=-
cúnghimthuc
;
22
pp
ộự
ờỳ
-
ờỳ

ởỷ

Hngdn:
+Nu
2
sin 0
cos 0
2
cos 2 cos 1 1
2
x
x
x
x
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
=
ớ
ù
=-=-
ù
ù
ù
ợ
thayvoptthykhụngthamón
+t

tan
2
x
t =
aphngtrỡnhvdng
2
() 4 1 2ft t t m=-+=

Do
;;11
22 2 44
x
xt
pp pp
ộự ộự
ờỳ ờỳ
ẻ- ẻ- - Ê Ê
ờỳ ờỳ
ởỷ ởỷ

+Lpbngbinthiờncahmstúsuyra
13m-Ê Ê
lgiỏtrcntỡm



ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


3

II.Phươngtrìnhđẳngcấpbậc2,bậc3đốivới
sin x
vàcos x 
Dạngđẳngcấpbậc2:
22
sin sin cos cosaxbxxcxd++=

Dạngđẳngcấpbậc3:
()
32 23
sin sin cos sin cos cos sin cos 0axbxxcxxd xmxnx+++++=

Phươngphápgiải:
+Xéttrườnghợp
cos 0x =

+Xéttrườnghợp
cos 0x ¹

đặt
tantx=


Bàitập1.(B2009)Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
33 22
sin 3 cos sin cos 3 sin cosxxxxxx-= -

Hướngdẫn:
+Tathấy
cos 0x =

khôngthỏamãn
+Xét
cos 0x ¹
.Biếnđổiphươngtrìnhvềdạng:
()
()
322
tan 3 tan 3 tan tan 1 tan 3 0xxxxx-= -  - + =

Bàitập2.Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
() ( )
2
sin tan 1 3sin cos sin 3xx xx x+= - +

Hướngdẫn:
+Điềukiện
,
2
xkk
p
p
¹+ Î

+Chiacả2vếphươngtrìnhcho
2
cos x
tacó:
()
()
()

32 2 2 2
tan tan 3 tan 3 tan 3 1 tan 0 tan 1 tan 3 0xx x x x x x+- + -+ =+ -=

Bàitập3.Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
3
8cos cos3
3
xx
p
æö
÷
ç
÷
+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Hướngdẫn:Biếnđổiphươngtrìnhvềdạng:
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


4
3
3
33 2 2
13

8 cos sin 4 cos 3 cos
22
3 sin cos 3 cos sin 3 cos sin cos 0
xx xx
xx xx xxx
æö
÷
ç
÷
ç
-=-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
++ - -=

Bàitập4.Tìm
m
đểphươngtrình
2
cos 4 sin cos 2 0mx xxm-+-=
cónghiệmthuộc
0;
4
p
æö

÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Hướngdẫn:
+Với
0; cos 0
4
xx
p
æö
÷
ç
÷
Î>
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.Chia2vếcho
2
cos x

,rútgọntađược:
2
2
2 tan 4 tan 2
tan 2
xx
m
x
++
=
+

+ Đặt
()
tan 0;1txt=Î
 phương trình trở thành
2
2
242
()
2
tt
ft m
t
++
==
+
. Lập bảng
biếnthiêntừđótacó
8

1
3
m<<
làgiátrịcầntìm.
II.Phươngtrìnhđốixứngvới
sin x
và cos x 
Dạng:
()()
sin cos sin cos 0
km
ax xbxx c+ +=

Phươngphápgiải:Đặt
sin cos 2 2txx t=-££

Bàitập1.(ĐH_A2007)Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
()()
22
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2xx xx x+++=+

Hướngdẫn:Biểnđổiphươngtrìnhvềdạng:
()( )
()
sin cos 0
sin cos sin cos 1 sin cos 0
sin cos 1 sin cos 0
xx
xxxx xx
xx x x

é
+=
ê
++ =
ê
+- + =
ê
ë

Bàitập2.Giảicácphươngtrìnhlượnggiácsau:
a)
33
3
1 sin cos sin2
2
xx x++ =

b)
1tan 22sinxx+=

c)
sin cos 4 sin 2 1xx x-+ =

ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


5
Hngdn:
a) PT
()( )

1 sin cos 1 sin cos 3 sin cos 0x x xx xx+ + - - =

b) PT
sin cos 2 2 sin cos 0xx xx+- =

c) t
sin cos 2txxt=-Ê
.Phngtrỡnhcúdng:

()
()
()
2
2
2
02
41 1
41 1
20
41 1
t
tt
tt
t
tt
ộ
ỡ
ù
ÊÊ
ù

ờ
ù
ờ
ớ
ù
ờ
+-=
ù
ù
ợ
ờ
+-=
ờ
ỡ
ù
-Ê<
ù
ờ
ù
ờ
ớ
ù
ờ
-+ - =
ù
ờ
ù
ợ
ở

Bitp3.Tỡm
m
phngtrỡnh
33
sin cosxxm-=
cúnghim.
Hngdn:TacúPT
()( )
sin cos 1 sin cosxx xxm- + =

t
()
sin cos 2 2txx t=- -ÊÊ
.Khiúphngtrỡnhcúdng:
2
3
1
132
2
t
tmttm
ổử
-
ữ
ỗ
ữ
+=-+=
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ốứ

Xộthms
3
() 3ft t t=- +
vi
22t-ÊÊ
.Davobngbinthiờntacú
1; 1m
ộự
ẻ-
ờỳ
ởỷ
l
giỏtrcntỡm.
BITPTNGHP
Bitp1.(H_D2008)Giiphngtrỡnhlnggiỏcsau:
()
2 sin 1 cos2 sin2 1 2cosxxx x++=+

Hngdn:Biniphngtrỡnhvdng:
()
()
()()
2
2sin12cos 1 sin2 12cos 0
2sin cos 1 2cos 1 2cos 0
1

cos
2
sin 2 1
xx x x
xx x x
x
x
+-+-+=
+-+=
ộ
ờ
=
ờ

ờ
=
ờ
ở

Bitp2.(H_B2007)Giiphngtrỡnhlnggiỏcsau:
2
2sin 2 sin7 1 sinxx x+-=

Hngdn:Biniphngtrỡnhvdng:
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


6
()
()

2
2 sin 2 1 sin 7 sin 0 cos 4 2 cos 4 sin 3 0xxx xxx-+ - =- + =

Bàitập3.(ĐH_A2006)Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
()
66
2 sin cos sin cos
0
22sin
xxxx
x
+-
=
-

Hướngdẫn:
+Điềukiện
2
sin
2
x ¹

+Biểnđổiphươngtrìnhvềdạng:
2
sin 2 1
31
2 1 sin 2 sin 2 0
4
42
sin 2

3
x
xx
x
é
=
æö
ê
÷
ç
ê
÷
=
ç
÷
ç
ê
÷
ç
èø =-
ê
ë

Bàitập4.(ĐH_A2005)Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
32
cos 3 cos2 cos 0xx x-=

Hướngdẫn:Biểnđổiphươngtrìnhvềdạng:
()
3

1cos6 1cos2
cos2 0 cos 6 cos2 1 4 cos 2 3 cos 2 cos 2 1
22
xx
xxxxxx
++
-= =- =

Bàitập5.(ĐH_D2003)Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
222
sin tan cos 0
24 2
xx
x
p
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø

Hướngdẫn:Biểnđổiphươngtrìnhvềdạng:
()()( )
2

2
1cos
2
1 cos 1 cos
. 0 1 cos 1 sin sin cos 0
22
cos
x
xx
xxxx
x
p
æö
÷
ç
÷

ç
÷
ç
÷
ç
-+
èø
-=+- +=

Bàitập6.Giảiphươngtrìnhlượnggiácsau:
()( )
1tan 1sin2 1tanxx x-+=+


Hướngdẫn:Biểnđổiphươngtrìnhvềdạng:
() ()
2
2
2tan
1 tan 1 1 tan 2 tan 1 tan 0
1tan
x
xxxx
x
æö
÷
ç
÷
-+ =+ +=
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
