Chuyên đề dãy số

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THÀNH PH C N THỞ Ụ Ạ Ố Ầ Ơ
Tr ng THPT Chuyên Lý T Tr ngườ ự ọ
CHUYÊN ĐỀ
DÃY SỐ
Giáo viên h ng d n: ướ ẫ Huỳnh B u Tính, Tr n Di u Minh.ử ầ ệ
- 1 -
NHÓM TH C HI N:Ự Ệ
Bùi T n Ph ng Nguy n Anh L cấ ươ ễ ộ
Tr n M Hoa D ng Minh Quânầ ỹ ươ
Tiêu Ng c Di m Quỳnh Bùi Tu n Anhọ ễ ấ
Tr n Th Thanh Huy n T ng Trung Thànhầ ị ề ố
Lê Thanh Tú

L I NÓI Đ UỜ Ầ
Trong ch ng trình toán h c THPT, các bài toán liên quan đ n dãy s là m t trong nh ngươ ọ ế ố ộ ữ
v n đ quan tr ng trong ph n đ i s và gi i tích l p 11. Dãy s là d ng toán khá ph c t p, c nấ ề ọ ầ ạ ố ả ớ ố ạ ứ ạ ầ
rèn luy n, h c t p th ng xuyên thì m i gi i nhanh và t t đ c. Vì th , dãy s th ng xu t hi nệ ọ ậ ườ ớ ả ố ượ ế ố ườ ấ ệ
trong các kỳ thi h c sinh gi i, thi Olympic toán đ đánh giá kh năng t duy c a h c sinh. Do đóọ ỏ ể ả ư ủ ọ
đ có th h c t t môn dãy s , ta c n luy n t p gi i các bài toán liên quan dãy s đ ng th i tíchể ể ọ ố ố ầ ệ ậ ả ố ồ ờ
c c tìm ra nh ng ph ng pháp hay đ gi i toán dãy s m t cách h p lý nh t. ự ữ ươ ể ả ố ộ ợ ấ
chuyên đ này, t p th t 02 l p 11A1 đã t ng h p và biên so n m t s v n đ liênỞ ề ậ ể ổ ớ ổ ợ ạ ộ ố ấ ề
quan đ n dãy s đ làm tài li u h c t p cho môn chuyên cũng nh đ nghiên c u v m t d ngế ố ể ệ ọ ậ ư ể ứ ề ộ ạ
toán khá lí thú.
Chuyên đ g m các ph nề ồ ầ :
:
1. Đ nh nghĩa và các đ nh lý c b n v dãy s .ị ị ơ ả ề ố
2. Các d ng dãy s đ c bi t.ạ ố ặ ệ
3. M t s ph ng pháp xây d ng dãy s .ộ ố ươ ự ố
4. Ph ng trình sai phân tuy n tính.ươ ế

5. Dãy s và các v n đ liên quan đ n gi i h n.ố ấ ề ế ớ ạ
- 2 -

PH N 01: Đ NH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CH T C B N C A DÃY SẦ Ị Ấ Ơ Ả Ủ Ố
I)Cac đinh nghia vê day sô:́ ̣ ̃ ̀ ̃ ́
Day sô: la ham sô ̃ ́ ̀ ̀ ́
:f S → ¡
S=
{ }
1;2;3; ;n
đ i v i dãy h u h n.ố ớ ữ ạ
S=
¥
đ i v i dãy vô h n b t đ u là ch s 0.ố ớ ạ ắ ầ ỉ ố
S=
*¥
đ i v i dãy vô h n b t đ u là ch s 1.ố ớ ạ ắ ầ ỉ ố
V i dãy ớ f:
S
→
¡
.

( )n f na
.
Ky hiêu: ́ ̣
( ) { }
;
n n
u u

; v i ớ u
n
= f(n).
Trong đó:
+
0
u
hay
1
u
đ c goi la sô hang đâu.ượ ̣ ̀ ́ ̣ ̀
+
n
u
đ c goi la sô hang tông quat.ượ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ́
+n đ c goi la chi sô cua cac sô hang.ượ ̣ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ́ ̣
Day sô co thê đ c cho theo cac cach sau đây:̃ ́ ́ ̉ ượ ́ ́
1)Cho day sô b i công th c cua sô hang tông quat:̃ ́ ở ứ ̉ ́ ̣ ̉ ́
VD: Cho day sô ̃ ́
( )
n
u
v i ớ
10
2 9
n
n
u
n
+

=
−
.
2)Cho day sô b i hê th c truy hôi:̃ ́ ở ̣ ứ ̀
VD:
1
20
2 95( 2)
n n
u
u u n
=


= + ≥

.
3)Cho day sô b i ph ng phap liêt kê cac phân t .̃ ́ ở ươ ́ ̣ ́ ̀ ử
VD: dãy 0;1;2;3;4;5;…….
II)Tinh chât:́ ́
1)Day sô tăng, day sô giam:̃ ́ ̃ ́ ̉
Day sô (̃ ́
n
u
) đ c goi la day sô tăng nêu v i moi n ta co: ượ ̣ ̀ ̃ ́ ́ ớ ̣ ́
1n n
u u
+
<
.

Day sô (̃ ́
n
u
) đ c goi la day sô giam nêu v i moi n ta co: ượ ̣ ̀ ̃ ́ ̉ ́ ớ ̣ ́
1n n
u u
+
>
.
Day sô tăng hay day sô giam đ c coi la day đ n điêu.̃ ́ ̃ ́ ̉ ượ ̀ ̃ ơ ̣
VD: Xét tính đ n đi u c a dãy s sau: ơ ệ ủ ố u
n
= n + (
1
2
)
n
v i ớ
n
∀ ∈
¢
+
.
Gi i: ả
n
∀ ∈
¢
+
Ta có: u
n+1

- u
n
= (1-
1
2
n
) +
1
1
2
n+
> 0
⇒
(u
n
) là dãy tăng.
2)Day sô bi chăn:̃ ́ ̣ ̣
- 3 -

Day sô (̃ ́
n
u
) đ c goi la day sô bi chăn trên nêu tôn tai sô ượ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ́
M
sao cho:
*
,
n
n u M∀ ∈ ≤¥
Sô ́

M
nho nhât đ c goi la cân trên đung cua (̉ ́ ượ ̣ ̀ ̣ ́ ̉
n
u
).Ky hiêu ́ ̣
sup
n
u
.
Day sô (̃ ́
n
u
) đ c goi la day sô bi chăn d i nêu tôn tai sô ượ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ướ ́ ̀ ̣ ́
m
sao cho:
*
,
n
n u m∀ ∈ ≥¥
Sô ́
m
l n nhât đ c goi la cân d i đung cua (ớ ́ ượ ̣ ̀ ̣ ướ ́ ̉
n
u
).Ky hiêu ́ ̣
inf
n
u
.
Day sô (̃ ́

n
u
) đ c goi la day sô bi chăn nêu no v a bi chăn trên, v a bi chăn d i, t c la tônượ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ́ ừ ̣ ̣ ừ ̣ ̣ ướ ứ ̀ ̀
tai sô ̣ ́
m
va sô ̀ ́
M
sao cho
*
n∀ ∈¥
n
m u M≤ ≤
.
VD: Xét tính b ch n c a dãy s sau: ị ặ ủ ố u
n
= (-1)
n
+ cos n,
n∀ ∈¢
+
.
Gi i: ả u
n
= (-1)
n
+ cos n,
n
∀ ∈
¢
+

;
Ta có: -1
≤
cos n
≤
1
⇒
-2
≤
(-1)
n
+ cos n
≤
2.
V y (uậ
n
) b ch n.ị ặ
Chu y:́ ́
Moi day sô (̣ ̃ ́
n
u
) giam luôn bi chăn trên b i ̉ ̣ ̣ ở
1
u
Moi day sô (̣ ̃ ́
n
u
) tăng luôn bi chăn d i b i ̣ ̣ ướ ở
1
u

.
3) Dãy con và dãy tu n hoàn:ầ
Dãy con:
Cho dãy (u
n
)
n∀ ∈¢
+
.
L p dãy (Vậ
k
n
) v i các s h ng: Vớ ố ạ
1
n
,
V
2
n
,… ,
V
k
n
,…….

Trong đó dãy (n
k
) là các s t nhiên tăng vô h n.ố ự ạ
Dãy (V
k

n
)
đ c g i là dãy con c a (uượ ọ ủ
n
).
Nh n xét:ậ (u
n
) là dãy con c a chính nó v i nủ ớ
k
=k.
VD: Cho dãy (u
n
) xác đ nh b i:ị ở
1
1
0 1
( 1)
n n n
u
u u u
+
≤ <


= −

v i ớ
n∀ ∈¢
+
.

CMR: dãy (u
2n+1
) là dãy gi m và dãy (ả u
2n
) là dãy tăng.
Gi i: Áp d ng ph ng pháp quy n p ta d dàng suy ra đpcm.ả ụ ươ ạ ễ
Dãy tu n hoàn:ầ
Dãy tu n hoàn c ng tính:ầ ộ
Dãy (u
n
) đ c g i là tu n hoàn c ng tính khi và ch khi ượ ọ ầ ộ ỉ
l
∃ ∈
¢
+
sao cho u
n+l
= u
n

n
∀ ∈
¢
+
.
S ố l min đ c g i là chu kì c s c a dãy (ượ ọ ơ ở ủ u
n
).
Đ c bi t: (ặ ệ u
n

) tu n hoàn c ng tính, chu kì ầ ộ l=1 là dãy h ng.ằ
- 4 -

VD: Dãy s (ố u
n
) xác đ nh b i uị ở
0
= 1, u
1
= 0, u
n+1
= u
n
+ u
n-1
v i n = 1,2,3,…… tu n hoàn v i chu kì 6:ớ ầ ớ
1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,…….
Dãy tu n hoàn nhân tính: ầ
Dãy (u
n
) đ c g i là tu n hoàn nhân tính khi và ch khi ượ ọ ầ ỉ
l
∃ ∈
¢
+
, l>1 sao cho u
n.l
= u
n

n
∃ ∈
¢
+
.
S ố l min đ c g i là chu kì c s c a dãy (ượ ọ ơ ở ủ u
n
).
Bài t p:ậ
1) Cho dãy (u
n
) v i ớ u
n
=
2
( 2)
,
( 1)
n n
n
n
+
∈
+
¥
và dãy (x
n
) xác đ nh b i ị ở x
n
= u

1
.u
2
.u
3
…u
n
.
a) CMR dãy (u
n
) tăng, (x
n
) gi m.ả
b) CMR x
n
=
2
2( 1)
n
n
+
+
.
2) Dãy (u
n
) xác đ nh b i:ị ở
1 2 3
1 3
1
n n n

u u u
u u u
− −
= = =


= +

,
4n∀ ≥
.
CMR: dãy (u
n
) tăng
3.n
∀ ≥
3) Xét tính b ch n c a dãy ị ặ ủ u
n
:
u
n
= (1+
1
n
)
n

n∀ ∈¢
+
.

4) Dãy (u
n
) xác đ nh b i:ị ở
1
0 1
1
(1 )
4
n
n n
u
u u n
+
+
< <



− > ∀ ∈


¢
. CM: dãy (u
n
) tăng và b ch n.ị ặ
5) Dãy (u
n
) xác đ nh b i:ị ở
1
1

1
2
1
n
n
n
u
u
u
u
+
=


+

=

+

v i ớ
1.n∀ ≥
CM: dãy (u
2n+1
) tăng và dãy (u
2n
) gi m.ả
6) Cho
\ .k ∈¤ ¢
CMR dãy (u

n
) xác đ nh b i:ị ở
0
1
1 1
1
1
*.
n n n
u
u
u ku u n
+ −
=


= −


= − ∀ ∈

¥
Không là dãy tu n hoàn. ầ
- 5 -

PH N 02: M T S D NG DÃY S Đ C BI TẦ Ộ Ố Ạ Ố Ặ Ệ
C p s c ng: ấ ố ộ
Đ nh nghĩa:ị
Dãy đ c g i là c p s c ng khi và ch khi k t s h ng th 2 tr đi m i s h ng b ngượ ọ ấ ố ộ ỉ ể ừ ố ạ ứ ở ỗ ố ạ ằ
s h ng đ ng tr c nó c ng v i s không đ i. S không đ i đ c g i là công sai.ố ạ ứ ướ ộ ớ ố ổ ố ổ ượ ọ

Ký hi u: ệ
Có
: s h ng đ u tiênố ạ ầ
: s h ng th n (t ng quát)ố ạ ứ ổ
: công sai
1. Nh n xét:ậ
-
- Dãy xác đ nh b i:ị ở

( là các s th c) ố ự
là 1 c p s c ng.ấ ố ộ
Tính ch t:ấ
1. Công th c s h ng t ng quát:ứ ố ạ ổ
là CSC có
Ch ng minh: ứ
…
Suy ra:
Nh n xét: ậ mà:
thì
- 6 -

2. (Th ng dùng ch ng minh CSC):ườ ứ
3. T ng c a n s h ng đ u tiên:ổ ủ ố ạ ầ
là c p s c ng đ t:ấ ố ộ ặ

Có
Hay
Ch ng minh:ứ
Có

Nh n xét:ậ
Ví d :ụ
Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế theo th t l p thành m t c p s c ng thì ứ ự ậ ộ ấ ố ộ theo
th t cũng l p thành m t c p s c ng (gi s ứ ự ậ ộ ấ ố ộ ả ử )
Gi i:ả
theo th t l p thành m t c p s c ng khi và ch khiứ ự ậ ộ ấ ố ộ ỉ
- 7 -

T c là khi và ch khi ứ ỉ theo th t l p thành m t c p s c ng.ứ ự ậ ộ ấ ố ộ
C p s nhân: ấ ố
Đ nh nghĩa:ị
Dãy đ c g i là c p s nhân khi và ch khi k t s h ng th 2 tr đi m i s h ng b ngượ ọ ấ ố ỉ ể ừ ố ạ ứ ở ỗ ố ạ ắ
s h ng đ ng tr c nó nhân v i s không đ i. S không đ i đ c g i là công b i.ố ạ ứ ướ ớ ố ổ ố ổ ượ ọ ộ
Ký hi u: ệ
Có
: s h ng đ u tiênố ạ ầ
: s h ng th n (t ng quát)ố ạ ứ ổ
: công b iộ
Nh n xét:ậ
-
- Dãy xác đ nh b i:ị ở

( là các s th c khác không) ố ự
là 1 c p s nhân.ấ ố
Tính ch t:ấ
1. Công th c s h ng t ng quát:ứ ố ạ ổ
là CSN có
Ch ng minh: ứ
…
Suy ra:

Nh n xét: ậ mà:
- 8 -

thì
2.
3. T ng c a n s h ng đ u tiên:ổ ủ ố ạ ầ
là c p s nhân đ t:ấ ố ặ

Có
Ch ng minh:ứ
Có
T ng các s h ng c a CSN lùi vô h n:ổ ố ạ ủ ạ
1 CSN đ c g i là lùi vô h n khi và ch khi công b i ượ ọ ạ ỉ ộ th a ỏ
Dãy là CSN lùi vô h n v i công b i ạ ớ ộ
Có
Ví d :ụ
1. Tính
Gi i: ả
- 9 -

2. Cho dãy s ố xác đ nh b i ị ở và v i m i ớ ọ . Ch ng minhứ
r ng dãy s ằ ố xác đ nh b i ị ở v i m i ớ ọ là m t c p s nhân. Hãy cho bi tộ ấ ố ế
s h ng đ u và công b i c a c p s nhân đó.ố ạ ầ ộ ủ ấ ố
Gi i: ả
T công th c xác đ nh dãy s ừ ứ ị ố và , ta có:
v i m i ớ ọ .
T đó suy ra dãy s ừ ố là m t c p s nhân v i s h ng đ uộ ấ ố ớ ố ạ ầ
và công b i ộ .
3. Các s ố theo th t đó l p thành m t c p s c ng; đ ng th iứ ự ậ ộ ấ ố ộ ồ ờ
các số theo th t đó l p thành m t c p s nhân. Tìm ứ ự ậ ộ ấ ố và .

Gi i: ả
V i ớ theo th t đó l p thành m t c p s c ng, ta có:ứ ự ậ ộ ấ ố ộ

hay
Ta l i có: ạ
)
)
4. Tìm 3 s t o thành c p s c ng có t ng b ng 6, bi t r ng n u hoán đ i v trí s h ng thố ạ ấ ố ộ ổ ằ ế ằ ế ổ ị ố ạ ứ
nh t và s h ng th hai đ ng th i gi nguyên s h ng th ba ta đ c c p s nhân.ấ ố ạ ứ ồ ờ ữ ố ạ ứ ượ ấ ố
- 10 -

Gi i: ả
G i 3 s c n tìm theo th t là : ọ ố ầ ứ ự
Ta có: (thay vào d i)ướ
và
Ta có 2 dãy s tho mãn:ố ả
+v iớ ta có dãy là dãy h ng: 2 , 2 , 2ằ
+v i ớ ta có dãy -4 , 2, 8
Bài t p:ậ
1. Ch ng minh các m nh đ sau đúng v iứ ệ ề ớ :
3. Cho l p thành c p s nhân. Cmr:ậ ấ ố
4. Tìm đ dài ộ các c nh tam giác ABC vuông t i A theo th t l p thành c p s nhân.ạ ạ ứ ự ậ ấ ố
Tìm công b i c a c p s đó.ộ ủ ấ ố
5. Cmr đi u ki n c n và đ đ 3 s ề ệ ầ ủ ể ố t o thành c p s c ng là 3 s ạ ấ ố ộ ố
l p thành c p s nhân.ậ ấ ố
M t s dãy s đ c bi t:ộ ố ố ặ ệ
1. Dãy Fibonacci:
1.1 Đ nh nghĩa: Dãy ị xác đ nh b i:ị ở
- 11 -

đ c g i là dãy Fibonacciượ ọ
Dãy Fibonacci vi t d ng li t kê:ế ạ ệ
1.2 Các đ nh lý:ị
Đ nh lý 1: Cho dãyị là dãy Fibonacci:
Khi đó:
Đ nh lý 2: (Công th c Binet)ị ứ
Cho là dãy Fibonacci:
S h ng t ng quát c a dãy là:ố ạ ổ ủ
- 12 -

H qu :ệ ả
a. Khi thì:
b.
2. Dãy Farey:
Đ nh nghĩa: Dãy Farey b c n là dãy s g m các phân s t i gi n n m gi a 0 và 1 có m u sị ậ ố ồ ố ố ả ằ ữ ẫ ố
không l n h n n và s p theo th t tăng d n.ớ ơ ắ ứ ự ầ
Ví d :ụ
b c 1ậ
b c 2ậ
b c 3ậ
b c 4ậ
Tính ch t:ấ
a. N u ế và là các s k nhau trong dãy Farey v i ố ề ớ thì
b. N u ế v i ớ nguyên d ng và ươ thì và là các s kố ề
nhau trong dãy Farey b c Maxậ
c. N u ế v i các s ớ ố và trong dãy Farey nào đó v iớ thì ( đ c g i làượ ọ
mediant c a ủ và )
3. Dãy Lucas:
Đ nh nghĩa: Dãy ị xác đ nh b i:ị ở
- 13 -

Dãy Lucas vi t d ng li t kê:ế ạ ệ
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,
Tính ch t:ấ
a.
V i ớ là t l vàng (ỉ ệ
b. Tính chia h t gi a các s Lucasế ữ ố
chia h t choế n u m là s l . ế ố ẻ
c. M i liên h v i các s Fibonacci:ố ệ ớ ố
1. S Lucas liên h v i s Fibonacci b i cácố ệ ớ ố ở h ng đ ng th cằ ẳ ứ sau:

Ho c t ng quát h n là công th c sau:ặ ổ ơ ứ
v i m i ớ ọ
2.
3.
4.
d. Khi ch s là s nguyên tỉ ố ố ố
L
n
đ ng d v i 1 mod n n u n làồ ư ớ ế s nguyên tố ố.
e. S nguyên t Lucasố ố
S nguyên t Lucasố ố là s Lucas, và đ ng th i là m tố ồ ờ ộ nguyên tố. Các s nguyên t Lucas nhố ố ỏ
nh t đ c bi t là:ấ ượ ế
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,
4. C p s nhân c ng:ấ ố ộ
Dãy đ c g i là c p s nhân c ng n u nh ượ ọ ấ ố ộ ế ư , ta có:
là các h ng s )ằ ố
Đ c bi t:ặ ệ
dãy là CSN công b i là ộ .
- 14 -

dãy là CSC công sai là .
Dãy s th c:ố ự
Đ nh nghĩa:ị
Theo quan đi m c a lý thuy t t p h p dãy s là m t ánh xể ủ ế ậ ợ ố ộ ạ , trong đó là t p h p sậ ợ ố
t nhiên, ho c t p con c a t p s t nhiên nh h n / l n h n m t s t nhiênự ặ ậ ủ ậ ố ự ỏ ơ ớ ơ ộ ố ự m nào đó. Khi đó
thay cho ta dùng kí hi uệ .

N u ế là h u h n ta có dãy h u h n:ữ ạ ữ ạ
Ng c l i nó đ c xem là vô h n:ượ ạ ượ ạ
Đôi khi, dãy h u h n cũng có th đ c xem là vô h n v i các ph n t t thữ ạ ể ượ ạ ớ ầ ử ừ ứ m tr đi là b ngở ằ
nhau.
Khi b t đ u t ph n tắ ầ ừ ầ ử dãy th ng đ c ký hi u: ườ ượ ệ
v iớ là ph n t thầ ử ứ .
Ng i ta th ng xét h n các dãy b t đ u t ph n tườ ườ ơ ắ ầ ừ ầ ử a
1
.
v iớ là ph n t thầ ử ứ
Ý nghĩa th c t :ự ế
Trong nhi u bài toán, dãy s có th đ c t o d ng qua quá trình thu th p d li u. Các d li uề ố ể ượ ạ ự ậ ữ ệ ữ ệ
thu th p có th g m nhi u s tậ ể ồ ề ố ừ . T p h pậ ợ các s nàyố có th tứ ự, nghĩa là có số
đ u tiên (ầ ), s th 2 (ố ứ ) và các s ti p theo.ố ế
Biên c a dãy:ủ
Cho dãy . T p h p các giá tr c a dãy:ậ ợ ị ủ
đ c g i làượ ọ biên c a dãyủ đó.
- 15 -

Biên này không có th t . Ví d , cho dãyứ ự ụ , có biên là {-1,1}. Nó có 2 ph n t thay đ iầ ử ổ
là 1 và -1.
Dãy s th c đ n đi u:ố ự ơ ệ

Đ nh nghĩaị
Cho dãy s th cố ự v iớ x
n
là các s th cố ự . Nó là
. Tăng khi và ch khiỉ ,
. Gi mả khi và ch khiỉ ,
N u dãy có đ c m t trong hai tính ch t này, ta g i dãy đó làế ượ ộ ấ ọ dãy đ n đi uơ ệ .
Ví d : v i dãy ụ ớ
Ta có .
Do nên , hay .
Suy ra là dãy tăng.
Tính đ n đi u và d u c a đ o hàm:ơ ệ ấ ủ ạ
M t cách đ xác đ nh m t dãy có đ n đi u hay không là d a vào đ o hàm c aộ ể ị ộ ơ ệ ự ạ ủ hàm số t ngươ
ng.ứ
Ví d nh cho dãy ụ ư . Xét hàm s :ố
v iớ
L yấ đ o hàmạ c a nó, ta thu đ c:ủ ượ
Đ o hàm này nh h nạ ỏ ơ 0 khi . Đi u này x y ra v i m iề ả ớ ọ , nên dãy là dãy
gi m.ả
Dãy s th c b ch n:ố ự ị ặ
- 16 -

Dãy bị ch n trênặ khi và ch khiỉ t n t iồ ạ đóở , . Số đ c g i làượ ọ giá
tr ch n trênị ặ .
Ng c l i, dãyượ ạ bị ch n d iặ ướ khi và ch khi t n t iỉ ồ ạ đóở , . Số
đ c g i làượ ọ giá tr ch n d iị ặ ướ .
N u m t dãy có c 2 tính ch t trên thì dãy đó đ c g i làế ộ ả ấ ượ ọ dãy b ch nị ặ .
Ví d : dãyụ b ch n d i b i 0 vì nó luôn có giá tr d ng.ị ặ ướ ở ị ươ
Gi i h n c a m t dãy s th c:ớ ạ ủ ộ ố ự
Khái ni m gi i h n c a dãy s b t ngu n t vi c kh o sát m t s dãy s th c, có th ti nệ ớ ạ ủ ố ắ ồ ừ ệ ả ộ ố ố ự ể ế "r tấ

g n"ầ m t s nào đó. Ch ng h n, xét dãy s th c:ộ ố ẳ ạ ố ự
Hay
Khi cho n tăng lên vô h n thì phân sạ ố tr nên nh tuỳ ý, do đó s h ng th ở ỏ ố ạ ứ c a dãyủ có
th ti n g n đ n 1 v i kho ng cách nh tuỳ ý . Ng i ta di n đ t đi u đó b ng đ nh nghĩa sau:ể ế ầ ế ớ ả ỏ ườ ễ ạ ề ằ ị
Đinh nghĩa
Cho dãy s th c ố ự và m t s th cộ ố ự . Khi đó n u:ế
thì đ c g i làượ ọ gi i h n c a dãyớ ạ ủ . Khi đó ta cũng nói dãy h i t .ộ ụ
Gi i h n c a dãy th ng đ c kí hi u:ớ ạ ủ ườ ượ ệ
Ho cặ
(khi )
- 17 -

Các đ nh lý c b nị ơ ả
1. N u dãyế có gi i h n h u h n thì nó b ch n.ớ ạ ữ ạ ị ặ
2. Dãy h i t ch có m t gi i h n.ộ ụ ỉ ộ ớ ạ
3.
4.
5. Dãy đ n đi uơ ệ tăng (gi m) h i t khi và ch khi nó b ch n trên (d i).ả ộ ụ ỉ ị ặ ướ
Tính ch t:ấ
N u các dãy ế và h i t vàộ ụ
thì
và (n uế L
2
và khác 0)
M t s gi i h n c b n:ộ ố ớ ạ ơ ả
- 18 -

Vô cùng bé, vô cùng l n:ớ
N u m t dãy s có gi i h n là 0 thì nó đ c g i là m t vô cùng bé. N uế ộ ố ớ ạ ượ ọ ộ ế :
thì dãy đ c g i là vô cùng l n. Khi đó taượ ọ ớ

cũng vi t:ế
Dãy tu n hoàn:ầ
1. Dãy tu n hoàn c ng tính:ầ ộ
Dãy đ c g i là dãy tu n hoàn c ng tính khi và ch khi ượ ọ ầ ộ ỉ sao cho
S ố nh nh t đ c g i là chu kì c s c a dãy ỏ ấ ượ ọ ơ ở ủ
Đ c bi t: ặ ệ tu n hoàn c ng tính, chu kì ầ ộ là dãy h ng.ằ
2. Dãy tu n hoàn nhân tính:ầ
Dãy đ c g i là dãy tu n hoàn nhân tính khi và ch khi ượ ọ ầ ỉ sao cho
S ố nh nh t đ c g i là chu kì c s c a dãy ỏ ấ ượ ọ ơ ở ủ
L u ý:ư Dãy tu n hoàn chu kì k thìầ max { } và min { } i nên
nó b ch nị ặ
Ví d : Cm dãy ụ tu n hoàn c ng tính chu kì 2 khi và ch khi có d ng:ầ ộ ỉ ạ
Gi i:ả
Xét dãy xác đ nh b i:ị ở
- 19 -

B ng quy n p ta cm ằ ạ có:
Ng c l i, v i dãy ượ ạ ớ có:
s là dãy c ng tính, chu kì 2.ẽ ộ
PH N 03: M T S PH NG PHÁP XÂY D NG DÃY SẦ Ộ Ố ƯƠ Ự Ố
Xây d ng dãy h i t b ng ph ng trìnhự ộ ụ ằ ươ
Có th xây d ng dãy s h i t v m t s ể ự ố ộ ụ ề ộ ố xu t phát t m t ph ng trình có nghi m là ấ ừ ộ ươ ệ theo
cách sau:
Ví d 1ụ : Xét = , là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
2
=2. Ta vi t l i d i d ng ế ạ ướ ạ
và ta thi t l p dãy s th a mãn ế ậ ố ỏ . N u dãy này h i t thì gi i h n s là ế ộ ụ ớ ạ ẽ .
T ng t nh v y, ta có th xây d ng đ c dáy s ti n v căn b c ươ ự ư ậ ể ự ượ ố ế ề ậ c a ủ nh sau:ư
Cũng v i gi i h n c n đ n là ớ ớ ạ ầ ế , ta có th xây d ng dãy khác theo “phong cách” nh v y:ể ự ư ậ
- 20 -