phương pháp đặt ẩn phụ

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Ví dụ:
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
ì
ï
+ - - =
ï
ï
í
ï
+ + - - =
ï
ï
î

Đặt
u x y
v x y
ì
ï
= +
ï
í
ï
= -
ï
î

ta có hệ
2 2
2
2
3
2
u v
u v
uv
ì
ï
- =
ï
ï
ï
í
+ +
ï
- =
ï
ï
ï
î
2
2 4
( ) 2 2
3
2
u v uv

u v uv
uv
ì
ï
+ = +
ï
ï
ï
Û
í
+ - +
ï
- =
ï
ï
ï
î

Thế (1) vào (2) ta có
8 9 3 0uv uv uv uv+ + - = =Û

Kết hợp với (1) ta có
4, 0u v= =
(vì
u v>
).
1.
5
( ) 6
x

x y
y
x
x y
y
ì
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
í
ï
ï
+ =
ï
ï
ï
î

2.
2 2
3
6
xy x y
x y x y xy
ì
ï
- + = -

ï
ï
í
ï
+ - + + =
ï
ï
î
3.
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y
ì
ï
ï
+ =
ï
ï
ï
í
ï
ï
- =

ï
ï
ï
î
4.
3
2 3
4
2
1 (4 2) 0
x x
y
y y x
ì
ï
ï
+ + =
ï
ï
í
ï
ï
+ - - =
ï
ï
î
5.
3
(3 ) 2 2 2 1 0
2 2 (2 1) 1

x x y y
x y
ì
ï
- - - - =
ï
ï
í
ï
- - - =
ï
ï
î
6.
2 2
41
2 1
x y
x y x y
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
+ - - =
ï
ï
î

7.
2 2
1 3
2
xy x y
x y x y
ì
ï
+ - =
ï
ï
í
ï
- =
ï
ï
î

8.
3 3 3
2
8 16
( 2) 8
x y y
x xy y
ì
ï
+ =
ï

ï
í
ï
+ =
ï
ï
î

9.
2 2
2
4 1
2
1
x y xy y
y
x y
x
ì
ï
+ + = -
ï
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
ï
+

ï
î

10.
2 2
1
( ) 1 4
1
4
x y
xy
x y
xy
xy xy
ì
æ ö
ï
÷
ï
ç
÷
+ + =
ï ç
÷
ç
ï
÷
ç
è ø
ï

í
ï
+
ï
+ + =
ï
ï
ï
î

11.
2 2 2 2
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
ì
ï
+ - - + - =
ï
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï

-
ï
î

12.
4 2 2
2 2
4 4 2
2 6 23
x x y y
x y x y
ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
î

13.
2
2
(1 ) ( 2 ) 5
(1 )( 2 2) 2
y x x y x
y x y x

ì
ï
+ + - =
ï
ï
í
ï
+ - - =
ï
ï
î

14.
1 2 2 2 4
3 2 3
x y x y
x y
ì
ï
- - - + + =
ï
ï
í
ï
+ - =
ï
ï
î

15.

4 2 2
2 2
4 6 9
2 22
x x y y
x y x y
ì
ï
- + - = -
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
î

16.
2 2
3 2 2
1 3
1
x xy y y
x x y x x
ì
ï
+ + + =
ï
ï

í
ï
+ + = +
ï
ï
î

17.
3
4
1 8
( 1)
x x y
x y
ì
ï
- + = +
ï
ï
í
ï
- =
ï
ï
î

18.
3 6
6 2 6
(1 2 ) 3

4 5
y x y x
x y x
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î

19.
3 3 2
2 2 2
3 3 2
1 3 2 2
x y y x
x x y y
ì
ï
- + - =
ï
ï
í
ï
+ - - - = -

ï
ï
î

20.
2 2
2
1
5
57
4 3 (3 1) 0
25
x y
x x y x
ì
ï
ï
+ =
ï
ï
ï
í
ï
ï
+ - + + =
ï
ï
ï
î

21.
3 3 3
2 2
(9 )
6
y x x
x y y x
ì
ï
= -
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î

22.
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
ì
ï
+ + + =
ï

ï
í
ï
+ = + +
ï
ï
î

23.
2 2 4 2
2
1 3
2
x y y y
xy x y
ì
ï
+ + =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î

24.
2 2 2 2
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0

1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
ì
ï
+ - - + - =
ï
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
+
ï
î

25.
3 3 3
2 2
27 9 125
45 6 75 0
x y y
x y y x
ì
ï

- = -
ï
ï
í
ï
- + =
ï
ï
î

26.
2 2
( 1)( 1)( 2) 6
2 2 3 0
x y x y
x y x y
ì
ï
- - + - =
ï
ï
í
ï
+ - - - =
ï
ï
î
27.
3 3 2 2
3 3 3( ) 5

( 1)( 1)( 2) 0
x y x y x y
x y x y
ì
ï
- + + + - =
ï
ï
í
ï
+ - - + =
ï
ï
î

28.
2 2
3 3
2
( 1) 1
x y x
x y
ì
ï
+ =
ï
ï
í
ï
- + =

ï
ï
î

29.
2
4 2 2 2
3 0
3 5 0
x xy x y
x x y x y
ì
ï
+ - + =
ï
ï
í
ï
+ - + =
ï
ï
î

30.
2 2
2 2
( )( ) 3
( )( ) 15
x y x y
x y x y

ì
ï
- - =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
ï
î

31.
2 2
2 2
3 85
4( )
3
1 13
2
3
x y
x y
x
x y
ì
ï
ï
+ + =
ï

ï
+
ï
í
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
î

32.
2 2
2 2
3 2
1
1
2
4
y
x
x y
x
x y
y
ì
ï
ï

+ =
ï
ï
+ -
ï
í
ï
ï
+ - =
ï
ï
ï
î

33.
3
2
2
7
2( 2) 2
4
x y
y x x
ì
ï
ï
- + =
ï
ï
ï

í
ï
ï
+ - + = -
ï
ï
ï
î

34.
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
ì
ï
- + =
ï
ï
í
ï
- + = -
ï
ï
î

35.
2 3 2

4 2
1
(2 1) 1
x x y xy xy y
x y xy x
ì
ï
+ - + - =
ï
ï
í
ï
+ - - =
ï
ï
î

36.
2 2
2 2
1 1
1
x x y y
x y xy
ì
ï
+ + = + -
ï
ï
í

ï
+ - =
ï
ï
î
37.
2
2
3
2 3
1 1
1 4
1
4
x x
y y
x x
x
y
y y
ì
æ ö
ï
÷
ï
ç
÷
+ + + =
ï ç
÷

ç
ï
÷
ç
è ø
ï
í
ï
ï
+ + = -
ï
ï
ï
î
38.
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
ì
ï
- - =
ï
ï
í
ï
- + = - + +
ï
ï

î

39.
2 2 2
( ) 1
( 1) ( 1) 1
x y x y
x xy y y xy
ì
ï
- = -
ï
ï
í
ï
+ + = + +
ï
ï
î

40.
2 2
4 2 2
2 22 0
4 6 9 0
x y x y
x x y y
ì
ï
+ + - =

ï
ï
í
ï
- + - + =
ï
ï
î

41.
2 2
(2 1) 4( 1) 22
( 1)( 2) 1
x y
xy x y
ì
ï
- + - =
ï
ï
í
ï
- - =
ï
ï
î

42.
2
3 2 2

2
2 3 2
4 1 3 ( 1)
x y x
x x y
y y x
ì
ï
-
ï
ï
+ =
ï
í
-
ï
ï
- = -
ï
ï
î

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN
1.
;
x
u x y v
y
= + =
6.

,u x y v x y= + = -

7.
1
,
x
u x v
y y
= - =
8.
2
,u v x
y
= =

21.
{ }
, ( ; ) (0; 0), (1;2), (2;2)
y
u v x x y
x
= = =ị

22.
2
1
,
x
u v x y
y

+
= = +
23.
{ }
1
, ( ; ) (1;1), ( 1; 1)u y v x x y
y
= + = = - -ị

25. Chia ri t n ph
1 5 2
( , ) ; , ;5
3 2 3
x y
ỡ ỹ
ổ ử ổ ử
ù ù
ữ ữ
ù ù
ỗ ỗ
ữ ữ
=
ỗ ỗ
ớ ý
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ù ỗ ỗ ù
ố ứ ố ứ
ù ù

ợ ỵ

26.
{ }
1, 1 ( ; ) (2; 3), (3; 2)u x v y x y= - = - =ị

27.
1, 1u x v y= + = -
28.
{ }
( ; ) (1;1), (2; 0)x y =

29.
{ }
( , ) (1;1), (0; 0)x y =
30.
{ }
( ; ) (1;2), (2;1)x y =

31.
1
,u x y v x y
x y
= + + = -
+
32.
2 2
1,
x
u x y v

y
= + - =
33.
7
( , ) 2;
4
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
34.
3 2
,u x y v x xy= = -
35.
2
,u x x v xy= - =
36.
2 2
1, 1u x v y= + = -

37.
1

, ( ; ) (1;1)
x
u x v x y
y y
= + = =ị

38.
1,u x v y= - =
39.
( ), ( )u xy x y v xy x y= + - = -
40.
2
2; 3u x v y= - = -
41.
2 2
4 4; 2u x v y y= - = -
42.
1
( ; ) (2;1), (1; )
2
x y
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
=
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ