Các đề thi tuyển sinh chuyên toán Phổ Thông Năng Khiếu- ĐHQG TPHCM

CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM























Copyright 2006 ©

www.diendantoanhoc.net


MỤC LỤC




Năm học 1993 – 1994 3


Năm học 1994 – 1995 6


Năm học 1995 – 1996 8


Năm học 1996 – 1997 11


Năm học 1997 – 1998 13


Năm học 1998 – 1999 16


Năm học 1999 – 2000 19


Năm học 2000 – 2001 22

Năm học 2001 – 2002 25


Năm học 2002 – 2003 28


Năm học 2003 – 2004 31


Năm học 2004 – 2005 34


Năm học 2005 – 2006 37


Năm học 2006 – 2007 40









Năm học 1993 – 1994

Ngày thứ nhất

Bài 1

Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai
số tự nhiên nào đó.
a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2
n
P cũng là các số
“Pitago”.
b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không
phải là các số “Pitago”.

Bài 2

a) Giải phương trình căn thức :
3
4
34943123
x
xx−= − −

b) Chứng minh đẳng thức
44
49 20 6 49 20 6
3
2
++−
=

Bài 3

Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số
hòa.
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C
thắng D.

Bài 4

Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách.
2. Mận không viết thư và không sửa áo.
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo.
4. Mai không đọc sách và không sửa áo.
5. Mơ không đọc sách và không viết thư.
Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
3
Bài 5

Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều
O
A
BC
. Các đường

thẳng
,,
A
OBOCO
cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A
1
,B
1
,C
1

tương ứng. Biết rằng :
11 1 11 1
A
BOCAOBCO CBOBAOAC
SSS SSS++=++
+++ +++O

Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ngày thứ hai

Bài 1

Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau
A và B, mỗi tập có n phần tử.
Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng :

12 1
}{

nn
A
aa a a
−
<<< <=
và
12
}{
nn
Bbb bb
− 1
<
<< <
=

Hãy chứng minh đẳng thức :
|a
1
-b
1
|+|a
2
-b
2
|+…+|a
n
-b
n
|=n
2

Bài 2

Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì
của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho
các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này.

Bài 3

Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn,
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD
ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM.

Bài 4

Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ,
13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên
bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi
cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn.




Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
4
Bài 5

Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các
xâu A,B,C ,… như sau :

A=(a
1
,a
2
,…,a
32
)
B=(b
1
,b
2
,…,b
32
)
C=(c
1
,c
2
,…,c
32
)
với a
i
,b
i
,c
i
,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32.
Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy.
Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :

_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui
tắc :
(a
1
,a
2
,…,a
32
)
⇒
(a
k
,a
k+1
,…,a
31
,a
32
,a
1
,a
2
,…,a
k-1
).
_ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc
A&B
⇒
C, với
1 nếu (a

i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= b
1
= 1)
c
1
=
0 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= 0,b
1
= 1)
Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng,
bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ
được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
5
Năm học 1994 – 1995

Ngày thứ nhất

Bài 1

Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm
khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết :
a) A và C b) B và E c) B và F
d) A và F e) A và D
Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn
toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết.

Bài 2

a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ
trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó

(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?

Bài 3

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1
chia hết cho x và x+1 chia
hết cho y.

Bài 4

a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :
abcd<<<
f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d|
b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n
số thực.

Bài 5

Cho tam giác ABC
có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I.
Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc
.
0
60BAC∠=

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
6
Ngày thứ hai

Bài 1

Giải hệ phương trình
22
22
23
42
xxyy
xxyy
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
13
6
−
+=
+
−=−


Bài 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c.
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.

Bài 3

Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số
nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m
ta có :
123
,,, 0:aaa≥ .
a
mn
= a
n
+ a
m
.

Bài 4

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn
các tính chất sau :
i) x và y đều có hai chữ số
ii) x = 2y
iii) Một chữ số của
y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia
thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x.

Bài 5

Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con.
Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 120
0
.





Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
7
Năm học 1995 – 1996

Ngày thứ nhất

Bài 1

Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời
“có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông
tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi :
a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau.
b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau.
c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”.
d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”
thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi.

Bài 2

Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao
cho
AE CF
B
EDF
=
. Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD.

Bài 3

Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số
A
abcd
=
thỏa điều kiện :
i)
2
(2abd b d a=+−)

ii) A
+ 72 là một số chính phương

Bài 4

a) Chứng minh với mọi giá trị thực của
x ta luôn có :
242
36125109xx x x 5

+
++ − +≥

b) Giải phương trình :
242
36125109342
2
x
xxx x+++ − +=−−x


Bài 5

Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa
đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
8
giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh
AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì PQ luôn đi qua một điểm cố
định.

Ngày thứ hai

Bài 1

Cho số tự nhiên n . Chứng minh rằng :

1>
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n}
thành một dãy sao cho với mọi
kn
≤
, tổng của k số đầu tiên trong
dãy không chia hết cho n.
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành
một dãy sao cho với mọi
kn
≤
, tổng của k số đầu tiên trong dãy
không chia hết cho n.

Bài 2

Giải và biện luận hệ phương trình sau :
1
2
xyz
m
xy
xyz
yz
xyz
zx
⎧
=
⎪
+

⎪
⎪
=
⎨
+
⎪
⎪
=
⎪
+
⎩

trong đó x, y, z là các ẩn số và m là tham số thực.


Bài 3


Cho là các số thực dương. Gọi A là các số lớn nhất trong
các số trên, hãy chứng minh bất đẳng thức :
1 2 1995
, , ,aa a
2
1 2 1995 1 1995
1
( 2 1995 ) ( )
2
Aa a a a a+++ > ++

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
9
Bài 4


Cho tứ giác lồi ABCD.
a)
Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài nhau thì ta luôn có
AB + CD ≤ AD + BC
b)
Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng
tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi.


Bài 5

a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn
có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho :
135 180
A
OB≤∠ ≤
oo

b)
Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình đa giác đều n cạnh .
Chứng minh rằng, luôn có thể tìm được hai đỉnh A và B của đa giác sao
cho:
(5n ≥ )
1
1 180 180AOB
n
⎛⎞
−≤∠≤
⎜⎟
⎝⎠
oo
.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
10
Năm học 1996 – 1997

Ngày thứ nhất

Bài 1


Cho số nguyên k.
a)
Chứng minh chia hết cho 11 khi và chỉ khi với t
là số nguyên
2
5kk ++5
5
1
11 4kt=+
b)
Chứng minh không chia hết cho 121.
2
3kk ++

Bài 2

Giải phương trình .
44
(2)(3)xx−+−=


Bài 3


Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi C là đường tròn
ngoại tiếp tam giác IBC.
a)
Chứng minh rằng tâm của C nằm trên đường thẳng AI.
b)
Chứng minh rằng : Tam giác ABC cân tại A
⇔
C tiếp xúc với các
đường thẳng AB, AC.


Bài 4


Chứng minh rằng, có thể chia các số 1,2,…,3N (N ≥ 2) thành ba nhóm N
số mà tổng các số chứa trong mỗi nhóm đều bằng nhau.


Bài 5


Trong giải Euro’96, sau vòng đấu loại, ở một bảng có kết quả như sau : A

nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là
thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm
thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm
thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau,
đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả
bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau.



Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
11
Ngày thứ hai

Bài 1


Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình
2
10xpx
+
+=; c,d là hai nghiệm
của phương trình . Chứng minh hệ thức :
2
10yqy++=
2
()( )()()(acadbcbd pq−−−−=−)


Bài 2

Cho x, y, z là các số thực thỏa các điều kiện :
222
5
9
xyz
xyz
+
+=
⎧
⎨
+
+=
⎩

Chứng minh :
7
1,,
3
xyz≤≤



Bài 3

a) Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng qua A và chia đôi diện
tích tứ giác ABCD.
b)
Cho tam giác ABC và đường thẳng d // BC và nằm khác phía của A đối

với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi.
Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM
tại N. Tìm quĩ tích điểm N.


Bài 4


Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho
1nn1
−
++
là số hữu
tỉ

Bài 5

a) Chứng minh với , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
3N ≥
b)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng
được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của
mỗi cột là một số chính phương.
3nm ≥


Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net

12
Năm học 1997 – 1998

Ngày thứ nhất


Bài 1


Chứng minh rằng, nếu xyz = 1 thì
111
1
111
x
xy y yz z zx
+
+=
++ ++ ++



Bài 2


Cho phương trình .
2
(2)(21)3mx mx m+−−−+=0
a)
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b)

Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
,x
2
. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp
hai lần nghiệm kia.


Bài 3


Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km. Thị
trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d
(km/h) không đổi. Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x
(km/h)
không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y
(km/h) không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu
Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về
hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A
một khoảng cách là
1
3
D
. Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B;
tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp
nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là
5
27
D

. Hãy tìm vận
tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng
vận tốc thêm 7,5 km/h thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa.

Bài 4


Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm D. Từ một điểm A bất kỳ
nằm trên đường tròn thứ nhất kẻ tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất cắt đường

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
13
tròn thứ hai tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng điểm A cách đều các đường
thẳng BD và CD.

Bài 5


Số nguyên A được tạo thành bằng các chữ viết liền nhau các số nguyên
dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
12345 585960
A
=
.
a)
Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A
1
tạo bởi các
chữ số còn lại là nhỏ nhất;

b)
Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A
2
tạo bởi các
chữ số còn lại là lớn nhất.

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Tìm tất cả các số dương x, y thỏa :
14
3
3
xy
xy
⎧
+
≤
⎪
⎨
⎪
+
=
⎩

b)
Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa :
149
3

12
xyz
xyz
⎧
+
+=
⎪
⎨
⎪
+
+≤
⎩



Bài 2

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2
n
+ 3
n
chia hết cho 5.
b)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2
n
+ 3
n
chia hết cho 25.

Bài 3

Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đó
mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước. Biết
rằng :
i)
Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã
đi được cả hai nước Pháp và Ý. Còn số người đã đi được cả hai
nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước
Anh và Pháp.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
14
ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi
Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người
đã đi Pháp.
a)
Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước.
b)
Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp.


Bài 4

a)
Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD ,
ta có :
AC
2

+ BD
2
= AD
2
+ BC
2
+ 2AB.CD
b)
Chứng minh rằng với mọi tứ giác lồi ABCD với hai đáy ta có:
AC
2
+ BD
2
≤ AD
2
+ BC
2
+ 2AB.CD
Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.


Bài 5


Cho dãy n số a
1
, a
2
, …, a
n

(trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0
hoặc 1) thỏa :
(*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng
nhau.
a) Chứng minh n ≤ 36
b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số a
n+1
tùy ý (0 hay 1) thì
tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a
1
, a
2
,
a
3
, a
4
và a
n-3
, a
n-2
, a
n-1
, a
n
trùng nhau.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
15
Năm học 1998 – 1999

Ngày thứ nhất

Bài 1

a) Giải phương trình
52xx7
−
=−
.
b)
Giải hệ phương trình
231
327
xy
xy

5
+
−=
⎧
⎨
+=
⎩



Bài 2

a) Chứng minh hằng đẳng thức :
222 2
(1)44(mm m mmm+− + + = ++
2
1)
0
.
b)
Cho phương trình
22
(1)1mx m m x m
−
+− ++= (1). Tìm điều kiện
của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1.


Bài 3

a) Giải và biện luận theo m bất phương trình
(2)(3)(3)( 1)
x
xm x xm+−>−+−
b)
Cho
33 2
11
:
ab ab
Aab
ab
ab
2
−
−
−
−
⎛⎞
−−
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
−
⎝⎠
.
Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa; rút gọn A.

Bài 4


Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường
thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại
Q. BP cắt CQ tại I.
a)
Cho CM = 1, hãy tính BI, CI.
b)
Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I.


Bài 5


Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.
Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0
điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
16
Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội
xếp thứ 3 được 5 điểm. Các đội còn lại có số điểm khác nhau. Hãy cho biết số
đội đã tham dự giải và số điểm của các đội còn lại (có giải thích rõ).

Ngày thứ hai


Bài 1

a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 2
n
-1 chia hết cho 7.
b)
Cho số nguyên tố p ≥ 5. Đặt A = 3
p
– 2
p
– 1. Chứng minh A chia hết
cho 42p.


Bài 2


Cho hai số nguyên dương a và b. Biết rằng trong bốn mệnh đề P, Q, R, S
dưới đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai :
P = “a = 2b + 5”
Q = “(a + 1) chia hết cho b”
R = “(a + b) chia hết cho 3”
S = “(a + 7b) là số nguyên tố”
a) Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong bốn mệnh đề trên (có giải thích).
b) Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thỏa ba mệnh đề đúng còn
lại.

Bài 3

a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng,
trong các điểm đã cho có thể tìm được 2 điểm sao cho khoảng cách

giữa chúng không lớn hơn
2
2
.
b)
Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng
trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có
diện tích không lớn hơn
1
32
.


Bài 4


Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
x + y + z = p + q + r = 1 và pqr ≤
1
2
.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
17
a) Chứng minh rằng nếu :
x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥
2
x
y

+

b) Chứng minh rằng : px + qy + rz ≥ 8xyz


Bài 5

a) Hãy chỉ ra cách sắp 8 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,…, 8 thành 1 dãy
a
1
, a
2
,…, a
8
sao cho với 2 số a
i
, a
j
bất kỳ (i < j) thì mọi số trong dãy
nằm giữa a
i
và a
j
đều khác
2
ij
aa
+
.
b)

Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên
1
luôn
tìm được cách sắp thành dãy a
,2, , N
1
, a
2
,…, a
N
sao cho dãy thỏa mãn điều
kiện như câu a).

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
18
Năm học 1999 – 2000

Ngày thứ nhất


Bài 1


Cho .
2
() 2( 2) 6 1fx x m x m=− + + +
a)
Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b)
Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để
phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.


Bài 2


a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện
22

11xyyx−+ −=1
(1)
Chứng minh rằng (2)
22
1xy+=
b) Từ đẳng thức (2) có suy ra đẳng thức (1) được hay không ? Giải thích
rõ câu trả lời.


Bài 3

a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện
3
x
yz
+
+=,
1111
3xyz
+
+=
.
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3.
b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình :
2
3
1111
3
21
xyz

xyz
yz
⎧
+
+=
⎪
⎪
+
+=
⎨
⎪
⎪
+=
⎩



Bài 4

Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1 và 4 tiếp xúc ngoài
với nhau. Một tiếp tuyến chung ngoài của tiếp xúc với lần
lượt tại A, B. Tìm bán kính của đường tròn (C) tiếp xúc đồng thời và
AB.
12
(),()CC
12
(),()CC
12
(),()CC
12

(),()CC

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
19
Bài 5

a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3). Chứng minh rằng dù
lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng
tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau.
b)
Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt. Điều khẳng
định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời.

Ngày thứ hai

Bài 1

a)
Biết rằng x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0.
Viết phương trình bậc hai nhận
33
12

,
x
x làm hai nghiệm.
b)
Giải bất phương trình :
222
(410)7(411)7xx xx++ − +++<0
4



Bài 2

a)
Khai triển biểu thức
4
(1)nn
+
+ thành dạng 2k + 1 và phân tích k
thành các thừa số.
b)
Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên
tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bậc 4 của hai
số nguyên dương liên tiếp.


Bài 3


Cho tam giác ABC có diện tích S và một điểm P nằm trong tam giác.

a)
Gọi S
1
, S
2
, S
3
lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB.
Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của
22
12
SSS
2
3
+
+ .
b)
Gọi P
1
, P
2
, P
3
lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và
AB. Đường thẳng đi qua P
1
và song song BC cắt AB và AC tại BB
1

và C

1
. Đường thẳng đi qua P
2
và song song CA cắt BC và BA tại
C
2
và A
2
. Đường thẳng đi qua P
3
và song song AB cắt CA và BC
tại A
3
và B
3
B . Hãy xác định vị trí điểm P để tổng diện tích ba hình
thang BCC
1
BB
1
, CAA
2
C
2
và ABB
3
A
3
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá
trị đó.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
20
Bài 4


Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước n x n ô bằng các viên gạch
dạng như hình vẽ bên dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát.
a)
Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích
thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại một góc
nhà.
b)
Hãy chứng minh rằng,. luôn luôn tồn tại cách lát
nền nhà có kích thước 2
k
x 2
k
(k nguyên dương) với
ô trống còn lại nằm ở vị trí (i, j) bất kỳ.


Bài 5

a) Chứng minh đẳng thức
||2max{,},
x

yxy xyxy++ − = ∀ ∈\
b)
Chứng minh đẳng thức
22111
4max , , , , 0
ab ab ab ab
abc
ab ab c ab ab c a b c
+− +−
⎧⎫
+−+++= ∀
⎨⎬
⎩⎭
≠

trong đó max là kí hiệu số lớn nhất trong các số đi kèm.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
21
Năm học 2000 – 2001

Ngày thứ nhất


Bài 1


Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0
a)
Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x
1
– x
2
và 2x
2
– x
1
.

b)
Hãy tính giá trị của biểu thức :
12 21
|2 | |2 |
A
xx xx
=
−+ −.


Bài 2

a) Giải hệ phương trình :
26
8
xy
xy
−
=
⎧
⎨
=
⎩

b) Giải hệ phương trình :
2
2( )
2( 1)
x
yz

x
yz
xy z
⎧
+=
⎪
=
+
⎨
⎪
=
+
⎩



Bài 3

a) Giải phương trình
1
1xx
x
++=
.
b)
Gọi
,
α
β
là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt

là m và n. Tìm m và n nếu
5
7
α
β
=
.


Bài 4


Cho tam giác ABC có đường cao BD. Giả sử (C) là một đường tròn có tâm
O nằm trên đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M, N.
a)
Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên một đường tròn.
b)
Chứng minh rằng
A
DM CDN
∠
=∠ .

Bài 5


Trong một giải bóng đá có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Trong
mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không có
điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
22
a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được
những điểm số nào.
b)
Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số
điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được.

Ngày thứ hai

Bài 1

a) Cho số nguyên không âm A. Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề
P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai :
P : “A + 51 là số chíng phương”
Q : “Chữ số tận cùng của A là 1”
R : “A – 38 là số chính phương”
b) Có thể xếp hay không các số 0, 1, 2,…, 9 lên các đỉnh của một đa giác
đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá
trị hoặc 5.
3, 4, 5,3, 4−−−


Bài 2


Giải các hệ phương trình :
a) b)
3

2( )
3(3 2 )
xy x y
yz y z
zx z x
=+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=+
⎩
3
3
3
3
()
()1
()1
()
12
2
2
12
x
yz t
yzt x
ztx y
txy z

⎧
++ =
⎪
++ =
⎪
⎨
++ =
⎪
⎪
++ =
⎩



Bài 3

a) Cho bốn số nguyên dương a
1
, a
2
, a
3
, a
4
sao cho
1
với mọi
và tổng S = a
k
ak≤≤

1, 2, 3, 4k =
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là một số chẵn. Chứng minh
rằng có ít nhất một trong các số dạng
±
a
1
,
±
a
2
,
±
a
3
, a±
4
có giá trị
bằng 0.
b)
Cho 1000 số nguyên dương a
1
, a
2

,…, a
1000
sao cho
1
với mọi
và tổng S = a
k
ak≤≤
1,2, ,1000k =
1
+ a
2
+…+ a
1000
là một số chẵn. Hỏi
trong các số dạng a
±
1
,
±
a
2
, …,
±
a
1000
có số nào bằng 0 hay không ?
Giải thích vì sao.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
23
Bài 4

a) Cho góc vuông xAy và đường tròn C tâm O tiếp xúc với Ax và Ay lần
lượt tại P và Q. d là một tiếp tuyến thay đổi của C. Gọi a, p, q lần lượt
là các khoảng cách từ A, P, Q đến đường thẳng d. Chứng minh rằng
khi d thay đổi thì tỷ số
2
a
p
q
không đổi.
b)
Khẳng định trên còn đúng không nếu xAy không phải là góc vuông ? Vì
sao ?


Bài 5

a) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện :
222
2( )abc abbcca++≤ ++ (1)
Chứng minh bất đẳng thức
2( )a b c ab bc ca++≤ + +
(2)
Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ?

b) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực
thỏa điều kiện p + q + r = 0. Chứng minh apq + bqr + crp ≤ 0.


















Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
24
Năm học 2001 – 2002

Ngày thứ nhất

Bài 1

a) Giải bất phương trình
12 1
x
x
+
>−
.
b)
Giải hệ phương trình
17
2
17
3
x
y
y
x
⎧
+
=
⎪
⎪
⎨
⎪
+
=
⎪
⎩

Bài 2


Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình
2
10
x
ax++= và
2
0
x
bx c++= có nghiệm chung, đồng thời các phương trình
2
0
x
xa++= và
2
0
x
cx b++= cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b +
c.

Bài 3

a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm
M, N sao cho
3
A
B

AM CN==
. Gọi K là giao điểm của AN và DM.
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ADK nằm trên cạnh BC.
b)
Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường
thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên
d. Chứng minh rằng
( ) ( )
A
CSBD
⊥
và ( ) ( )SAC SBD
⊥
.


Bài 4


Cho tứ giác lồi ABCD có AB vuông góc với CD và
2, 13, 8, 5
A
BBC CDDA== ==
.
a)
Đường (BA) cắt đường (DC) tại E. Hãy tính AE.
b)
Tính diện tích của tứ giác ABCD.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
25