Đề thi vào trường chuyên toán Phổ Thông Năng Khiếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2010
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian phát đề
Câu 1. a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện
3 3 3
0a b c a b c      .
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0
b) Giải hệ phương trình:
 
3 3 3 2 2 2
3
1
6 3
x y z
xy yz xz
x y z x y z

  


   


     



Câu 2. a) Giải phương trình
 
2
2

2 1 12 2 1x x x    
b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng ta có bất
đẳng thức
 
2 2 2BC AB AC   

Câu 3. a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ trong chúng là
một số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất
kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
Câu 4. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC cố định có độ dài
3BC R . A là
một điểm thay đổi trên cung lớn BC. GọiE là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối
xứng của C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K 
A).
a) Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định
b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó
theo R.
c) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam
giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5. Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ
thi đấu với nhau đúng một trận).
a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) luôn tìm được ba đội
bóng đôi một chưa thi đấu với nhau.
b) Khẳng định trên còn đúng không nếu mỗi đội đã thi đấu đúng 5 trận ?
Hết
SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
…………………….. CẤP TỈNH, NĂM HỌC 2005-2006
-----------------------------
Đề chính thức Môn : TOÁN ( Vòng 2 )

( Bảng A ) Thời gian làm bài :180 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 19 – 11 – 2005
------------------------------------------------------------------
Câu 1 : (5 điểm).
Xét dãy số thực a
1
, a
2
, a
3
, …….. thỏa mãn các điều kiện: 0 < a
n
< 1 và
a
n+1
(1 – a
n
)

4
1
với mọi n = 1, 2, 3, …….
Chứng minh rằng
2
1
-
n2
1
< a
n



2
1
với mọi n = 1, 2, 3, ……..
Câu 2 : (5 điểm).
Tìm tất cả các hàm số thực f(x), g(x) thỏa mãn:
f(x) – f(y) = cos(x – y) . g(x – y) với mọi số thực x , y.
Câu 3 : (5 điểm).
Cho hai đa thức f(x) = x
4
– (1 + e
2
)x
2
+ e
2
và g(x) = x
4
– 1 ( e là cơ số của lôgarit tự
nhiên).
Chứng minh rằng với các số dương a, b phân biệt thỏa mãn a
b
= b
a
thì
f(a) . f(b) < 0 và g(a) . g(b) > 0.
Câu 4 : (5 điểm).
Cho 5 điểm phân biệt A

1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
không đồng phẳng nhưng cùng nằm trên
một mặt cầu. Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt đi qua trọng tâm của tam giác có các
đỉnh là 3 trong 5 điểm nói trên và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại, thì đồng
quy.

-------------------------Hết------------------------

Đề thi thử đại học năm 2009
Môn:
Toán
Thời gian làm bài 180 phút




A
M
S

Câu I:
(
2 điểm
)
Cho hàm số y = mx
3
+3mx
2
(m 1)x 1 (1)
i) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
ii) Xác định các giá trị của m để hàm số (1) không có cực trị.
Câu II:
(
2 điểm
)
i) Giải ph-ơng trình sau:

4x
2
1+

x =

2x
2
x +

2x +1
ii) Cho ba số thực d-ơng x,y,z và thoả mãn x + y + z =

3
2
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
x
1+x
2
+
y
1+y
2
+
z
1+z
2
Câu III:
(
2 điểm
)
1. Giải ph-ơng trình: cot 2x +

2 cos

x +

4

=

sin x + cos x

2
sin 2x
2 tan x
2. Tìm các số thực a>1 thoả mãn:
a

1
x ln xdx =
1
4
Câu IV:
(
3 điểm
)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 0) và đ-ờng tròn (C) có ph-ơng trình:
(C):x
2
+ y
2
2x 6y +1=0
Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua M(2; 0) và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB =4.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 4y 11z +26=0và hai đ-ờng
thẳng d
1
, d
2
có ph-ơng trình lần l-ợt là:
(d
1

):
x 3
2
=
y
1
=
z +1
3
;(d
2
):
x
1
=
y 4
1
=
z 3
2
Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng nằm trên mặt phẳng (P), đồng thời cắt cả d
1
, d
2
.
3. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại C.
Cho AC = a

3, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABC) bằng 60
o

. Gọi I là trung điểm AB, tính
khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Câu V:
(
1 điểm
)
Biết 6 khách vào một cửa hàng có ba quầy để mua hàng. Tìm xác suất để có 2 khách cùng vào một
quầy.
ĐỀ THI HSG TỈNH LỚP 10
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút

Bài 1. a. Giải phương trình:
23
2 4 3 4x x x x   

b. Giải hệ phương trình:
22
22
13
25
xy
xy
xy
xy













Bài 2. Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của tam thức:
 
2
axf x x b  
với
 
, 1;1ab
. Chứng minh:
  
12
1 1 2 5xx   
.
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
22
42
42
x y m
x y m


  


  



Bài 4. Cho tam giác ABC có
a
mc
. CM:
 
sin 2sinA B C
.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Tìm min của
3 3 3
333
a b c
a b c
P
mmm
  