PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ
Trong trường phổ thông, Hình học không gian là bài toán rất khó đối với học sinh, do
đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thiết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành
giải bài toán.
Cả chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích khối đa diện( thể tích khối
chóp và khối lăng trụ )
Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành hai dạng như sau:
Cho hình chóp
Thông thường bài toán về hình lăng trụ:
Cho hình lăng trụ:
( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt
đáy.
A
C
B
S
Đa giác đáy:
- Tam giác: vuông, cân, đều, ….
- Tứ giác : Vuông, chữ nhật, …
Hình chóp đều.
A
C
B
S
O
- Hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tứ giác đều
Lăng trụ đứng
1 1 1

.ABC A B C
1
( )A A ABC⊥
Lăng trụ xiên
1 1 1
.ABC A B C
1
( )AG ABC⊥
Trường : THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
Phần II. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC VÀ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A ta có
- BC = 2 AM
- Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông :
µ
= =
Ñoái
sin
Huyeàn
b
B
a
;
µ
= =
Keà
cos
Huyeàn
c
B

a
;
µ
= =
Ñoái
tan
Keà
b
B
c
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lí hàm số côsin :
2 2 2
2 . osAa b c bc c= + −
* Định lí hàm số sin :
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
)
3. Cấc công thức tính diện tích:
a. Công thức tính diện tích tam giác:
-
1
. .

2
ABC
S BC AH
∆
=
-
µ
( ) ( )
1 . .
. . .sin . .( )
2 4
ABC
a b c
S AB AC A p r p p a p b p c
R
∆
= = = = − − −
Với
2
a b c
p
+ +
=
* Đặc biệt:

+ Diện tích tam giác vuông:
1
. .
2
ABC

S AB AC
∆
=

+ Tam giác cân:
- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
- Tính đường cao và diện tích
µ
.tanAH BH B=
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện
- Định lý pitago:
-
-
-
_h
_H
_A
_B
_C
_
M
b
c

a
b’c’
A
B
C
H
c
a
b
C
B
A
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
+ Tam giác đều
- Đường cao của tam giác đều
= =
3
.
2
h AM AB
( đường cao h = cạnh x
3
2
)
- Diện tích :
2
3
( ) .
4
ABC

S AB
∆
=
b) Hình vuông: S = cạnh x cạnh
c) Hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S =
1
2
( chéo dài x chéo ngắn )
e) Diện tích hình thang: S =
1
2
( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao
f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
i) Diện tích hình tròn : S =
2
R
π
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:
• Định lý 1 :
( )
( )
; ,
,
a b a b P
d P
d a d b
∩ ∈ 


⇒ ⊥

⊥ ⊥


• Định lý 2 : Nếu
( )
d P⊥ ⇒
d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(P).
• Định lý 3 :
( )
( )
// '
'
d d
d P
d P


⇒ ⊥

⊥


• Định lý 4 :
( )
( )
( ) ( )
d Q

Q P
d P
⊂ 

⇒ ⊥

⊥


• Định lý 5 :
( ) ( )
( )
( )
,
P Q
d Q
d P d
∩ = ∆ 

⇒ ⊥

⊂ ⊥ ∆


• Định lý 6 :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
P Q

P R R
Q R
∩ = ∆

⊥ ⇒ ∆ ⊥


⊥

( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
B
A
G
C
M
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cách xác định góc
− Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d
/
của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d
/

Ví dụ:
A
C
B
S

Xác định góc giữa SB và (ABC)
Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC)
⇒

·
·
·
( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA= =
3. Góc giữa hai mặt phẳng
A
C
B
S
M
O
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)
Ta có :
·
·
·
( ) ( )
(( ),( )) ( , )
SBC SABC BC
SM BC SBC ABC SM AM SMA
AM BC
∩ =


⊥ ⇒ = =



⊥

Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với
giao tuyến tại một điểm.
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
C. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
+ Thể tích khối chóp
=
1
. .
3
V B h
Trong đó : B là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình chóp
Các khối chóp đặc biệt :
− Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO
⊥
(BCD)
− Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O
+ SO
⊥
(ABCD)
D. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ :

+ Thể tích khối lăng trụ
=
.V B h

B: diện tích đáy
h : đường cao
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
h
S
B
A
C
H
O
C
D
B
A
S
H
A1
B
C
A
B1
C1
G
_
b
_A

_C
_D
_M
_O
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
E. TỶ SỐ THỂ TÍCH
- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên
trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã
cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:
+ Cách 1:
o Xác định đa giác đáy
o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt
phẳng đáy)
o Tính thể tích khối chóp theo công thức
+ Cách 2
o Xác định đa giác đáy
o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện
tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho
và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Ta có :
.
.
. .
S MNK
S ABC
V
SM SN SK
V SA SB SC

=
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối
chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
n
B
C
A
S
N
K
M
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN
bằng cách sử dụng trực tiếp các công thức toán
Phương pháp:
+ Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
+ Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Ví dụ mẫu 1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a
2
, AC = a
3
, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB =
3a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải:
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
 Lời giải:
Ta có : AB = a
2
,
AC = a
3

SB =
3a
.
*
∆
ABC vuông tại B nên
2 2
BC AC AB a= − =
⇒

2
ABC
1 1 . 2
S . . 2.
2 2 2
a
BA BC a a
∆
= = =

*
∆
SAB vuông tại A có
2 2
SA SB AB a= − =
* Thể tích khối chóp S.ABC
2 3
.
1 1 . 2 . 2
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
Ví dụ mẫu 2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB =
3a
, BC = a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
60
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Sai lầm của học sinh:
− Gọi M là trung điểm BC
− Ta có AM
⊥
BC
SM
⊥

BC

⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SM AM SMA= = =
(Hình vẽ sai)
 Lời giải đúng:
* Ta có : AB =
3a
,
(SBC)
∩
(ABC) = BC
AB
⊥
BC ( vì
∆
ABC vuông tại B)
SB
⊥
BC ( vì
( )
SB
ABC
AB hc=

⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SB AB SBA= = =
*
∆
ABC vuông tại B có AB =
3a
,BC =a
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
A
C
B
S
60
M
S
B
C
A
60
S
B
C
A
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền

⇒

2
ABC
1 1 . 3
S . . 3.
2 2 2
a
BA BC a a
∆
= = =
*
∆
SAB vuông tại A có AB= a,
µ
0
60B =
⇒

.tan 60 3
o
SA AB a= =
* Thể tích khối chóp S.ABC
2 3
.
1 1 . 3 . 3
. . . .3
3 3 2 2
S ABC ABC
a a

V S SA a= = =
 Nhận xét:
− Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60
o
, do đó mất 0.25 điểm
− Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ
cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC
o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy
thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí
đầu mút của cạnh giao tuyến
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp
đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao
tuyến.
Ví dụ mẫu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên
(ABCD)
 Lời giải:
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a ,

( )

SC
ABCD
AC hc=

⇒

·
·
·
( ,( )) ( , ) 60
o
SC ABCD SC AC SCA= = =
* Diện tích hình vuông

⇒

2
ABCD
S a=
*
∆
SAC vuông tại A có AC=
2a
,
µ
0
60C =

⇒

.tan 60 6
o
SA AC a= =
* Thể tích khối chóp S.ABCD
3
2
.
1 1 . 6
. . . . 6
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
60
A
B
D
C
S
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
01
Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a.
Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
6
a
V =

b) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( AB’C’).
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. ĐS.
3
36
a
V =
02
Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a. ĐS.
3
2
12
a
V =
03
Cho lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a
3
,
cạnh A
/
B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ĐS.
3
6
2
a

V =
04
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a
2
, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB =
3a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
. 2
6
a
V =
05
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SB =
5a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
. 3
3
a
V =
06
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a
3
,
·
0
AC 120B =

,cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
2 . 3
3
a
V =
07
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
2
, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SC =
5a
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS.
3
2
3
a
V =
08
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = AC = a
2
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS.
3
2
3
a
V =
09

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
3
, cạnh bên bằng 2a.Tính thể
tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
3
4
a
V =
10
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a
.Tính thể
tích khối chóp S.ABCD ĐS.
3
4
3
a
V =
11
. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a,
·
0
60ACB
=
, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45
0
.Tính thể tích khối
chóp S.ABC.

ĐS.
3
3
6
a
V =
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
12
. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
ĐS.
3
6
6
a
V =
13
. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB =
3a
, BC = a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
60
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS.
3
3
2

a
V =
14
. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC =
2a
, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
45
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS.
3
2
12
a
V =
15
. Cho lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC =
2a
, mặt phẳmg (A
/
BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30
0
.Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS.

3
6
3
a
V =

16
. Cho lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a
3
, hình chiếu vuông
góc của A
/
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A
/
A hợp với
mặt đáy (ABC) một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS.
3
12 3V a=
17
. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA =

3a
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối
chóp S.AMN.
ĐS.
3
3
6
a
V =
18
. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA =
3a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối
chóp S.AMN và A.BCNM. ĐS.
3
3
6
a
V =
,
3
3
2
a
V =
19
. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD.
ĐS.

3
3
a
V =
20
. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a,
( )SA ABCD
⊥
và
SA a
=
.Tính thể tích khối chóp
.S BCD
theo a. ĐS.
3
6
a
V =
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
21
.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là
0
60
.
Tính thể tích khối chóp theo a ? ĐS.

3
6
18
a
V =
22
.Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60
0
. Tính thể tích khối chóp theo a. ĐS.
3
3
12
a
V =
23
.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
2
, các cạnh
bên bằng
3a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS.
3
2 2
3
a
V =
24
.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, 2AB a AD a

= =
;
( )
SA ABCD
⊥
. Cạnh bên SB bằng
3a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS.
3
2 2
3
a
V =
25
.Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a,
( )SA ABC
⊥
, góc giữa SB và
mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS.
3
6
3
a
V =
26
.Cho hình chóp S.ABC có
SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác
vuông tại B,
AB a 3, AC 2a= =
, góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng
0
60
. Tính
thể tích khối chóp S.ABC. ĐS.
3
3
2
a
V =
27
.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 30
0
. Gọi M là trung điểm SB. Tính
thể tích khối chóp M.ABC. ĐS.
3
3
9
a
V =
28
.Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết
SA (ABC)
⊥
và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60
o

. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS.
3
V a=

29
.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CA. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC. ĐS.
1
2
1
4
V
V
=
30
.Cho hình chóp S.ABC có SB =
2a
,AB=AC = a,
·
0
60BAC
=
, Hai mặt bên (SAB) và
(SAC) cùng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS.
3
3
12
a
V =

( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
31
.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a
2
, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS.
3
4
a
V =
32
. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a .
a). Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều .
b). Tính thể tích của khối chóp SABCD . ĐS.
3
2
6
a
V =
33
.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD . Biết
AB = 3a, BC = 4a và
·
0
45SAO
=

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS.
3
10V a=
34
.Cho lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A
/
A=A
/
B=A
/
C , AB = a,
AC =
3a
, cạnh A
/
A tạo với mặt đáy góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS.
3
6
a
V =
35
.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA

⊥
(ABC)
và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ
S đến mặt phẳng (AMB). ĐS.
3
3
, 2
3
AMB
a V
V d a
S
= = =
V
36
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC =
2a
, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
45
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC
37
Cho lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC =

2a
,
mặt bên (A
/
BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30
0
.Tính thể tích khối lăng trụ.
38
Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
AC a=
, biết
( )SA ABC⊥
và
SB
hợp với đáy một góc
0
60
. Tính thể tích của khối chóp.
DẠNG 2 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP
01
TÝnh thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã chiÒu réng b»ng 2,chiÒu dµi b»ng 3 vµ chiÒu cao
b»ng 4
02
Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1, chiều dài bằng

3
và
đường chéo của hình hộp hợp với đáy một góc bằng 30
0
03
Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân công bội bằng 2.
Thể tích bằng 64. Tìm các kích thước đó.
04
Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm
98cm
3
. Khi đó tính độ dài cạnh của hình lập phương.
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
Trng: THPT Nguyn Th Minh Khai Giỏo viờn : Khng Thanh Hin
05
ỏy ca hỡnh hp ng ABCD.ABCD l hỡnh thoi cnh a, gúc BAD bng 60
0
, AC
= BD. Tớnh th tớch ca hỡnh hp.
06
ỏy ca hỡnh hp ABCD.ABCD l hỡnh thoi cnh bng 6cm, gúc BAD bng 45
0
;
cnh bờn AA = 10cm v to vi ỏy mt gúc 45
0
. Tớnh th tớch ca khi hp ú.
07
Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh a v gúc BAD bng 60
0
,

AB hp vi ỏy ABCD mt gúc

. Tớnh th tớch ca khi hp ú
08
Các đờng chéo của các mặt bên của một khối hộp chữ nhật bằng:
5
,
10
,
13
10
Tính thể tích của khối lập phơng có tổng diên tích các mặt bằng 24
DNG 3: TH TCH KHI LNG TR
01
Tớnh th tớch khi lng tr tam giỏc u cnh ỏy bng a, chiu cnh bờn bng 2a.
02
Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diên tích xung quanh
bằng 480.Tính thể tích khối lăng trụ đó ( S-xq=chu vi đáy *cạnh bên )
03
Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15 cạnh bên tạo với đáy góc 30
0
và có chiều cao bằng 8.Tính thể tích của KLT
04
Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37 chiều cao của khối lăng trụ
bằng trung bình cộng của các cach đáy. tính V KLT
05
Cho khi lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC vuụng ti A, AC = a, gúc ACB
bng 60
0
. ng thng BC to vi (AACC) mt gúc 30

0
.
a. Tớnh di on thng AC
b. Tớnh th tớch khi lng tr ó cho.
06
Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú tt c cỏc cnh bng a. Tớnh th tớch
khi chúp A. BCCB.
07
Cho hỡnh lng tr xiên ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, cnh bờn to vi
ỏy mt gúc 60
0
. Hỡnh chiu ca A trờn mt phng (ABC) l trung im ca BC. Tớnh th tớch
ca khi lng tr ó cho.
08
Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B v AB = a,
BC = 2a, AA = 3a. Mt phng (P) i qua A v vuụng gúc vi CA ln lt ct CC v BB
ti M v N.
a. Tớnh th tớch khi chúp C.AAB
b. Chng minh AN

AB
c. Tớnh th tớch khi t din AAMN.
d. Tớnh din tớch tam giỏc AMN.
09
Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú cnh bờn AA to vi ỏy mt gúc 60
0
, BC = a v
hỡnh chúp A.ABC l hỡnh chúp u. Tớnh th tớch khi lng tr theo a.
10
Cho lng tr ng ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng, AB = BC = a, cnh bờn

AA=
2a
. Gi M l trung im ca BC. Tớnh theo a th tớch ca khi lng tr ABC.ABC
( Su tm v biờn son ) PP: Tớnh th tớch khi a din
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ĐS. V =
3
2
2
a
; d =
7
7
a
10
Cho lăng trụ đứng ABC. A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác vuông có AB=AC= a, AA
1
=
2a
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA
1
và BC
1

. Chứng minh MN là đường vuông góc
chung của AA
1
và BC
1
. Tính thể tích khối chóp MA
1
BC
1
. ĐS: V=
3
2
12
a
11
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a
.
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’.
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’)
DẠNG 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI CHÓP ĐỀU
01
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60
0
. Tính thể
tích hình chóp S.ABC theo a.
02
Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45
0

.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
03
Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
04
Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Tính thể tích hình chóp.
05
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
·
0
45SAC =
. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD
DẠNG 5: TỈ SỐ THỂ TÍCH
01
Cho khối chóp S.ABC. Trên 3 đương thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’
khác với S. Gọi V và V’ lần lược là thể tích của các khối chóp A.ABC và S.A’B’C’. Chứng
minh rằng
. .
' ' ' '
V SA SB SC
V SA SB SC
=
02
Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho

1
3
CM CD=
. Tính tỉ số thể tích
của hai tứ diện ABMD và ABMC
03
Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’. Tính tỉ số của khối chóp A.BB’C’C và
khối lăng trụ ABC.A’B’C’
04
Cho tứ diện ABCD, các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC = 4BM,
AC = #AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số
A Q
A D
và tỉ số thể tích 2
phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
3
5
A Q
A D
=
;
1
2
7
13
V
V
=
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền

05
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA
⊥
(ABCD), SA = 2a. Gọi
B’, D’ là hình chiếu của A trên SB,SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’.Tính thể tích khối
chóp S. AB’C’D’.
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC.
Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP).
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TN – THPT QUA CÁC NĂM
01
( 2008 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB=a; BC=
3a
và SA=3a
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
02
( 2008(2)) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh SA vuông góc với BC.
2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
03
( 2009 ) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
·
0
120BAC =
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
04
( 2010 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng
0
60
. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD
05
( 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AD=CD=a, AB=3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy
một góc
0
45
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
06
( 2012)Cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA
= BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
06
( 2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc
0
30
Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
07
( ĐH-KA - 13)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
·
0

ABC 30=
, SBC
là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
08
( ĐH-KB - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
09
( ĐH-KD - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy,
·
0
120=BAD
, M là trung điểm cạnh BC và
·
0
45=SMA
. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện
Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền
( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện