Các bài toán về khoảng cách và góc hình học không gian trọng tâm trong đề thi đh

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Chủ đề 13: CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
 
P là góc
giữa đường thẳng
a
và hình chiếu a

của nó trên
 
P , kí hiệu
là
 
 
,a P hay
 
 
,P a .
Đặc biệt:
 Khi
a
thuộc

 
P hoặc
a
song song với
 
P thì




0
, 0
a P

.
 Khi
a
vuông góc với
 
P thì
 
 
0
, 90a P  .
Như vậy, ta luôn có
 
 
0 0
0 , 90a P  .
Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC a ,

3
2
a
SA SB SC   .
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng
 
ABC .
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
 
ABC .
Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC .
Ngoài ra, theo giả thiết ta có SA SB SC  nên SO là trục đường tròn
của ABC , suy ra
 
SO ABC và
 
 
,SO d S ABC .
Trong SAO vuông tại O , ta có:
1
2 2
a
OA BC  (trung tuyến thuộc
cạnh huyền)
2
2
2

2 2 2
3
2 2 2
a a a
SO SA OA
 
 
    
 
 
 
 
 
2
2
a
SO  .
b) Vì
 
SO ABC nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên
 
ABC , do đó
 
 

,SA ABC SAO .
a'
a
O
P

B
A
C
S
O

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Trong SAO vuông tại O, ta có:

3
2
cos
3
3
2
a
OA
SAO
SA
a
   .
Vậy ta được
 
 
3
cos ,

3
SA ABC  .
Dạng 2: Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng
 
P và
 
Q , ta lựa chọn
một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn điểm O, từ đó hạ OE , OF theo thứ tự vuông góc
với
 
P và
 
Q .
+ Bước 2: Tính số đo góc

EOF .
+ Bước 3: Khi đó,
   
 

,P Q EOF nếu

0
90EOF  và
   

 

0
, 180P Q EOF  nếu

0
90EOF  .
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Tìm giao tuyến
 
d của
 
P và
 
Q .
+ Bước 2: Chọn điểm O trên
 
d , từ đó dựng
 
Ox d trong
 
P , và
 
Oy d trong
 
Q .
+ Bước 3: Tính số đo của góc

xOy
.

+ Bước 4: Khi đó,
   
 

,P Q xOy nếu

0
90xOy 
và
   
 

0
, 180P Q xOy  nếu

0
90xOy 
.
P
Q
O
F
E
Q
d
P
x
y
O

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là
60
0
và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’.
a. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy
b. Tính góc giữa BC và AC’
c. Tính góc giữa (ABB’A’) và mặt đáy.
Lời giải:

a). Ta có d[(ABC), (A’B’C’)] = d[A, (A’B’C’)] = AH.
Ta có

0
( ', ( ' ' ')) ( ', ) ' 60 .AA A B C AA AH AA H  
Xét tam giác vuông AA’H vuông tại H, ta có

0 0
3 3
tan60 ' tan60 3 .
' 2 2
AH a a
AH A H
A H
    
b). Ta có


 

 

, ' ' ', ' ' .BC AC B C AC AC H 
Vì tam giác AHC’ vuông tại H nên ta có


tan ' 3.
'
AH
AC H
C H
 

a) Từ H dựng ' ' ( ' ')HK A B K A B  khi đó ta có ' 'A B AK (Định lý 3 đường vuông góc)
Vậy

[( ' '), ( ' ' ')] .ABB A A B C AKH
Xét tam giác vuông HKB, ta có

3 3
sin '
' 2 4
HK a
B HK
HB
   
Xét tam giác vuông AHK, ta có


tan 2 3.
AH
AKH
HK
 
C
B
A
A'
C'
B'
H
K

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380


Ví dụ 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
2AB a , 3SA a và vuông góc với mặt phẳng
 
ABCD .
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng
 
SAD và
 
SBC .

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng
 
SBC và
 
SCD .
Lời giải:
a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến. Giả sử AD BC E 
   
SAD SBC SE   .
Nhận xét rằng: AD BD vì ABCD là nửa lục giác đều, SA BD
Suy ra
 
BD SAD BD SE  . Hạ DF SE F  , suy ra
 
BDF SE .
Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng
 
SAD và
 
SBC là

BFD .
Vì ABE đều nên 2AE AB a  và vì CDE đều nên DE CD a  .
Trong SAE vuông tại A , ta có:
 
 
2
2
2 2 2 2

3 2 7SE SA AE a a a     7SE a  .
Hai tam giác vuông SAE và DEF có chung góc

E nên chúng đồng dạng, suy ra:

DF DE
SA SE

. 3. 21
7
7
SA DE a a a
DF
SE
a
    .
Trong ABD vuông tại A , ta có:

0
.sin 2 .cos60 3BD AB BAD a a   .
Trong BDF vuông tại D , ta có:

3
tan 7
21
7
BD a
BFD
DE
a

  

BFD nhọn.
B
E
A
S
D
C
F
O

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Vậy ta được
   
 
tan , 7SAD SBC  .
Cách 2: Nhận xét rằng: AD BD vì ABCD là nửa lục giác đều,
SA BD
Suy ra
 
BD SAD .
Trong
 
SAC , hạ AJ SC tại J , ta có: BC AC vì ABCD là nửa
lục giác đều, BC SA

Suy ra
 
BC SAC BC AJ 
 
AJ SBC  .
Trong
 
SAC hạ OK SC tại K , suy ra OK AJ .
Do đó
   
 
   

, , ,SAD SBC BD AJ BD OK KOB   .
Trong nửa lục giác đều ABCD, ta có:
2 3 3
.
3 2 3
a a
OC   ,
3 1 3 2 3
.
2 3 2 3
a a a
OB    .
Trong SAC vuông tại A , ta có:
 
 
 
2

2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 4 6SC SA AC SA AB BC a a a a        
6SC a  .
Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn

C nên chúng đồng dạng, suy ra:
OK OC
SA SC

3
3.
. 6
3
6
6
a
a
SAOC a
OK
SC
a
    .
Trong KOB vuông tại K , ta có:

6
2
6
cos
4
2 3

3
a
OK
KOB
OB
a
   .
Vậy ta được
   
 
2
cos ,
4
SAD SBC  .

B
A
S
D
C
K
O
J
B
A
S
D
C
O
J

H
I

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

b) Trong
 
SAC , hạ AJ SC tại J , ta có: BC AC vì ABCD là nửa lục giác đều, BC SA
Suy ra
 
BC SAC BC AJ 
 
AJ SBC  .
Hạ AH CD tại H , suy ra:
CD AH
CD SA





 
CD SAH 
   
SCD SAH  và
   
SCD SAH SH  .

Hạ AI SH tại I , suy ra
 
AI SCD .
Do đó
   
 

,SCD SBC IAJ .
Trong SAH vuông tại A , ta có:
3
2
a
AH  và
 
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
3
33
2
AI SA AH a
aa
    
 
 
 
15
5
a
AI  .

Trong SAC vuông tại A , ta có: 3AC SA a 
1 2 6
2 2 2
SA a
AJ SC    .
Trong AIJ vuông tại I , ta có:

15
10
5
cos
5
6
2
a
AI
IAJ
AJ
a
   .
Vậy ta được
   
 
10
cos ,
5
SCD SBC  .
Dạng 3: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Trong mặt phẳng
 
,O d hạ OH d với H d .
Bước 2: Thực hiện việc xác định độ dài OH dựa trên hệ thức lượng
trong tam giác, tứ giác và đường tròn.
H
O
d

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Chú ý: + Nếu tồn tại đường thẳng
a
qua O và song song với d thì
   
, ,d O d d A d , với A a .


+ Nếu AO d I  thì
 
 
,
,
d O d
OI
d A d AI


.
Ví dụ 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
tâm O , SA a và vuông góc với mặt phẳng
 
ABCD . Gọi I ,M theo thứ tự là trung điểm của SC , AB .
a) Chứng minh rằng
 
OI ABCD .
b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM , từ đó suy ra khoảng cách từ S đến CM .
Lời giải:

a) Trong SAC , ta có: OI là đường trung bình OI SA 
 
OI ABCD  .
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên CM , ta có:
CM HI
CM OI





 
CM IOH  CM OH  .
Trong ABC có K là trọng tâm, ta có:
1 2
2 2
a

OB AC  ,
1 2
3 6
a
OK OB  .
Trong OCK vuông tại O , ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 20
2 2
6 2
OH OK OC a
a a
    
   
   
   
20
a
OH 
.
K
A
d
O
a
K
A
d
O

H
I
D
C
A
B
S
O
I
M
H

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Trong OIH vuông tại O, ta có:
2
2
2
2 2 2
3
2 10
20
a a a
IH OI OH
 
 
    

 
 
 
 
30
10
a
IH  .
Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng
30
10
a
.
Vì SI CM C  nên
 
 
,
2
,
d S CM
SC
d I CM IC
 
   
30
, 2 , 2
5
a
d S CM d I CM IH    .
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng
 
P , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Để dựng OH với H là hình chiếu vuông góc của O
lên
 
P ,ta thực hiện:
 Lấy đường thẳng
a
nằm trong
 
P .
 Dựng mặt phẳng
 
Q qua O vuông góc với
a
cắt
 
P
theo giao tuyến b (cần chọn
a
sao cho mặt phẳng
 
Q
dễ dựng).
 Trong
 
Q , hạ OH b tại H .
Bước 2: OH là khoảng cách từ O đến

 
P . Tính độ dài của đoạn OH là khoảng cách từ O đến
 
P .
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
1. Cho đường thẳng
 
d

 , để tính khoảng cách giữa d và
 

ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chọn một điểm A trên d , sao cho khoảng cách từ A đến
 

có thể được xác định dễ
nhất.
Bước 2: Kết luận
 
 
 
 
, ,d d d A
 
 .
A
D
B

C
M
O
H
K
P
Q
H
O
a
b

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

2. Cho hai mặt phẳng song song
 
P và
 
Q , để tính khoảng cách giữa
 
P và
 
Q ta thực hiện theo
các bước:
Bước 1: Chọn một điểm A trên
 
P , sao cho khoảng cách từ A đến

 
Q có thể được xác định dễ
nhất.
Bước 2: Kết luận
   
 
 
 
, ,d P Q d A Q .
Ví dụ 5: Hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh
a
và có góc

0
60BAD  . Đường thẳng SO
vuông góc với mặt phẳng
 
ABCD và
3
4
a
SO  . Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của BE .
a) Chứng minh
   
SOF SBC .
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng
 
SBC .
Lời giải:

a) Với giả thiết, ta có: OBE đều OF BC  .
Mặt khác, ta cũng có:
 
SO ABCD SO BC  .
Suy ra
 
SO SOF
   
SOF SBC  .
b) Trong SOF hạ OH SF , suy ra
 
OH SBC
 
 
,OH d O SBC  .
Trong SOF vuông tại O, ta có:
2 2 2
1 1 1
OH OS OF
 
3
8
a
OH  .
Vì
   
AO SBC C  nên:
 
 
 

 
,
1
2
,
d O SBC
OC
AC
d A SBC
 
 
 
 
 
3
, 2 , 2
4
a
d A SBC d O SBC OH    .
Ví dụ 6: Cho hình chóp .S ABCD có 6SA a và vuông góc với mặt phẳng
 
ABCD , đáy ABCD là nửa
lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính 2AD a .
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng
 
SCD .
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng
 
SBC .
D

C
A
B
S
O
F
E
H

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

c) Tính diện tích của thiết diện hình chóp .S ABCD với mặt phẳng
 

song song với mặt phẳng
 
SAD và cách một khoảng bằng
3
4
a
.
Lời giải:
a) Nhận xét rằng:
CD AC
CD SA






 
CD SAC 
   
SCD SAC  .
Hạ AH SC , ta có ngay
 
AH SCD .
Vậy AH là khoảng cách từ điểm A tới
 
SCD .
Trong SAB vuông tại A , ta có:
   
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
6 3
AH SA AC a
a a
    
2AH a 
.
Gọi I là trung điểm của AD , suy ra: BI CD
 
BI SCD 
 
 

 
 
, ,d B SCD d I SCD  .
Mặt khác, ta lại có
 
AI SCD D  nên:
 
 
 
 
,
1
2
,
d I SCD
ID
AD
d A SCD
 
 
 
 
 
1 1 2
, ,
2 2 2
a
d I SCD d A SCD AH    .
b) Nhận xét rằng: AD CB
 

AD SCB 
 
 
 
 
, ,d AD SBC d A SBC  .
Hạ AK BC , ta được:
BC AK
BC SA





 
BC SAK 
   
SBC SAK  và
   
SBC SAK SK  .
Hạ AG SK , ta có ngay
 
AG SBC .
Vậy AG là khoảng cách từ điểm A đến
 
SBC .
Trong SAK vuông tại A, ta có:
 
2 2
2 2 2 2

1 1 1 1 1 3
2
36
2
AG SA AK a
aa
    
 
 
 
6
3
a
AG  .
N
K
E
G
D
C
A
S
B
H
I
M

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

c) Nhận xét rằng:
AK AD
AK SA





 
AK SAD  .
Giả sử mặt phẳng
 

song song với
 
SAD cắt AK tại E , khi đó:
   
 
3 1
,
4 2
a
d SAD AE AK

  
E là trung điểm của AK .
Ta đi xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng
 


qua E và song song với
 
SAD như sau:
   
   
   
SAD
ABCD Ex Ex AD
SAD ABCD AD




  


 




Và Ex cắt AB , CD theo thứ tự tại M , N là trung điểm của mỗi đoạn.
Trong
 
SAB , dựng My SA và cắt SB tại Q là trung điểm của SB .
Trong
 
SCD , dựng Nz SD và cắt SC tại P là trung điểm của SC .
Vậy thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng

 

là MNPQ, ngoài ra vì: MN CD PQ  MNPQ là
hình thang.
MQ SA
 
MQ ABCD  MQ MN  MNPQ là hình thang vuông.
Từ đó, ta được
 
1
.
2
MNPQ
S MN PQ MQ  .
Trong đó:
 
1 3
2 2
a
MN AD BC   vì MN là đường trung bình của tứ giác ABCD,
1
2 2
a
PQ BC  vì PQ là đường trung bình của SBC ,
1 6
2 2
a
MQ SA  vì MQ là đường trung bình của SAB .
Suy ra
2

1 3 6 6
.
2 2 2 2 2
MNPQ
a a a a
S
 
  
 
 
.
Dạng 5: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Phương pháp:
1. Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a
và b , ta lựa chọn một trong các
cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Dựng mặt phẳng
 
P chứa b song song với
a
.

Bước 2: Chọn M trên
a
, dựng
 
MH P tại H .
Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng
1
a a và cắt b tại B .
Bước 4: Từ B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt
a
tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc
chung của
a
và b .

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Dựng mặt phẳng
 
P vuông góc với
a
tại O.
Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc
1
b của b trên
 
P . Dựng
hình chiếu vuông góc H của O trên
1
b .
Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng song song với

a
, cắt b tại B .
Bước 4: Từ B , dựng đường thẳng song song với OH , cắt
a
tại A . Đoạn AB là đoạn vuông góc
chung của
a
và b .
Cách 3: Áp dụng cho trường hợp a b . Ta thực hiện theo các
bước sau:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng
 
P chứa b , vuông góc với
a
tại A .
+ Bước 2: Dựng AB b tại b . Đoạn AB là đoạn vuông
góc chung của
a
và b .

a'
a
B
P
H
A
b
M
O

P
H
A B
a
b
b'
A
P
B
a
b

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380


2. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Tính độ dài đoạn vuông góc chung (nếu có).
Cách 2: Tính
 
 
,d a

với
 

là mặt phẳng chứa b song song với
a

.
Ví dụ 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh
a
, góc

0
60A  và có đường cao
SO a .
a) Tính khoảng cách từ O đến
 
SBC .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB .
Lời giải:

a) Hạ OI BC và kéo dài OI cắt AD tại J .
Ta có:
BC OI
BC SO





 
BC SOI 
   
SBC SOI  và
   
SBC SOI SI  .
Hạ OH SI

 
OH SBC  . Vậy OH là khoảng cách từ O
đến
 
SBC .

Với hình thoi ABCD, ta có: BD a vì ABD đều
2
a
OB  ,
3
2 2. 3
2
a
AC AO a   .
Trong OBC vuông tại O , ta có:
 
2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 13
3
3
2
OI OB OC a
a
a
    
 
 
 
39

13
a
OI  .
Trong SAE vuông tại A , ta có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 16
3
39
13
OH SO OI a a
a
    
 
 
 
3
4
a
OH  .
B
C
A
D
S
O
J
I
H

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Vậy khoảng cách từ O đến
 
SBC bằng
3
4
a
.
b) Nhận xét rằng: AD BC
 
AD SBC 
   
 
 
 
, , ,d AD SB d AD SBC d J SBC   .
Mặt khác, ta lại có
 
JO SBC I  nên:
 
 
 
 
,
2
,

d J SBC
IJ
OI
d O SBC
 
 
 
 
 
3
, 2 , 2
2
a
d J SBC d O SBC OH    .
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng
3
2
a
.
Ví dụ 8: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’. Đs:
3
3
a

Lời giải
a) Ta có
' '
' ( ' ' )

' ( ì ( ' '))
BC B C
BC A B CD
BC CD v CD BCC B


 

 



O
C
B
D
A
A'
D'
B'
C'
I
K
A
B
C
D
O
I
J

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

b) Theo câu a, ta có ' ( ' ' )BC A B CD tại O.
Ta có '/ / ' ' ( ' ' )AD BC AD A B CD  tại I. Vậy hình chiếu của AB’ lên (A’B’CD) là IB’.
Vậy ta có d(BC’, AB’) = d(O, IB’) = OK (
'OK IB
).
Xét tam giác vuông IOB’, ta có
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
.
'
3
2
2
a
OK
OK OI OB a a
a
      
 
 
 

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và

3SA a . Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa SI và AC.
Lời giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD, từ O dựng đường thẳng d song song với SA, khi đó mặt phẳng chứa BD và d
vuông góc với AC tại O. Từ I hạ IK BD tại K và từ S hạ
SH d
tại H thì suy ra KH là hình chiếu vuông
góc của SI lên mặt phẳng (BD, d). Từ O hạ
ON HK
tại N, khi đó d(SI, AC) = ON.

Xét tam giác vuông OKH, ta có
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 8 1 25
3 3
2
4
ON OK OH SA a a a
a
      
 
 
 
. Suy ra
3
.
5
a
ON 
A

B
C
D
S
O
I
K
H
N

Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA =
a. Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE.
Đs:
3
( , ) .
5
a
d S BE 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại bằng a.
a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông;
b) Tính đường cao SH của hình chóp.
2 2
ax

SH
a x



Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc

. Tính
a) Chiều cao hình chóp S.ABCD;
b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng (SCD);
c) Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng trung trực cạnh BC.
Ds: a)
5
tan
2
a

b)
2
5 tan
5tan 4
a
HI




c)
2

3 5
tan
16
a


Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi, góc A = 120
0
, BD = a, cạnh bên SA vuông với đáy, góc giữa
mặt (SBC) và đáy là 60
0
. Tính
a) Đường cao của hình chóp Ds:
3
2
a

b) Khoảng cách từ A đến (SBC). Ds:
3
4
a

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vuông góc với
đáy. Gọi D là trung điểm của AB. Tính
a) Góc giữa AC và SD; Ds: tan(AC, SD)=
2 2
4a h
b


b) Khoảng cách giữa AC và SD; Ds:
2 2
4
ah
a h


Khóa học: 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Bài giảng độc quyền bởi:
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

c) Khoảng cách giữa BC và SD. Ds:
2 2
4
bh
b h

Bài 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) AD và SB Đs:
21
7
a

b) SA và BD Đs:
21
7
a

Bài 7: Cho 2 hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo) và ABEF (AE là đường chéo) không cùng nằm trong
một mặt phẳng và thoả mãn: AB = a, AD = AF = a
2
, AC  BF. Gọi HK là đường vuông góc chung của
AC và BF (H  AC, K  BF).
a. Gọi I là giao điểm của đường thẳng DF với mặt phẳng chứa AC và song song BF.
Tính tỉ số
DF
DI
. Đs:
1
2

b. Tính độ dài đoạn HK. Đs:
3
a
HK 

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, độ dài các cạnh AB = 2a,
BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a
2
.
a. Tính chiều cao hình chóp SABCD theo a.
b. Gọi M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK =
3
a
. Hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và SK theo a.
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a  và
0
BAC 120 ,  BB' a. Gọi I là trung điểm của CC'.

a) Chứng minh rằng tam giác AB' I vuông ở A.
b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB' I). =>
30
cos
10
 