quy hoạch tuyến tính bằng đô thị

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG
ĐỒ THỊ
N H Ó M T H Ự C H I Ệ N :
K i ề u t h ị p h ư ơ n g l o a n
Võ t r ư ơ n g t h a n h q u y ê n
H u ỳ n h p h ư ơ n g t h ả o

- Tìm vecto làm cực ểu (hoặc cực đại) hàm số f (X) , với các điều kiện

Với điều kiện

- Hàm f (X) gọi là hàm mục êu, các điều kiện trên gọi là điều kiện bắt buộc của bài toán

- Mỗi vecto X =(x
j
) Rn thỏa mãn hệ điều kiện ràng buộc gọi là một phương án. Ta kí hiệu tập phương án là M.∈

- Một phương án làm cực ểu hoặc cực đại, hàm mục êu gọi là phướng án tối ưu của bài toán.

- Khi f(X) và g
i
(X)(i=1, ,n) là các hàm tuyến >nh, thì bài toán đã cho được gọi là Bài toán quy hoạch tuyến >nh.

- Quy hoạch tuyến nh ( linear programming _ LP) là bài toán tối ưu hoá, trong đó hàm mục êu (objecve funcon) và các
ràng buộc đều là hàm tuyến nh.
Nhận dang:
-
Biển quyết định
-
Hàm mục tiêu
Thiết lập:

-
Hàm mục tiêu
-
Các ràng buộc
Tìm mô hình phi tuyến thích hợp
để giải quyết
Các quan hệ tuyến tính
Có vùng khả thi không ?
Vùng khả thi có hữu
hạn không ?
Tìm lời giải
Kết quả cuối cùng
Nới lỏng ràng buộc
Cấu trúc lại mô
hình
Có cực trị không
Không
Có
Sai
Đúng
Có
Có
Bước 1: Biểu diễn các điều kiện của bài toán lên mặt phẳng tọa độ x1Ox2. Xác định miền
rang buộc D.
Bước 2: Vẽ đồ thị đường mức c1x1+c2x2 =α với α giá trị
Bước 3: Xác định vecto pháp tuyến và dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vecto
cho tới vị trí tới hạn.
Bước 4: Điểm (hoặc nhiều điểm) của D nằm trên giao điểm của đường mức ở vị trí tới hạn với
miền D là lời giải của bài toán.
Cách thức giải toán

Bài toán mẫu
Một nhà quản lý trại gà dự định mua 2 loại thức ăn để trộn ra khẩu phần tốt và giá rẻ.

Mỗi đơn vị thức ăn loại 1 giá 2 đồng có chứa 5g thành phần A

4g thành phần B

0,5g thành phần C

Mỗi đơn vị thức ăn loại 2 giá 3 đồng có chứa 10g thành phần A

3g thành phần B

không có chứa thành phần C.

Trong 1 tháng, 1 con gà cần tối thiểu 90g thành phần A, 48g thành phần B và 1,5g thành phần C.

Hãy tìm số lượng mỗi loại thức ăn cần mua để có đảm bảo đủ nhu cầu tối thiểu về dinh dưỡng cho 1 con gà với giá rẻ nhất.
Bước 1 : Xác định biến quyết định
Gọi x, y lần lượt là số lượng đơn vị thực phẩm loại 1 và loại 2 cần cho 1 con gà trong 1 tháng.
Bước 2 : Xác định hàm mục êu
Hàm mục tiêu của bài toán này là cực tiểu giá mua Min Z = 2x + 3y
Bước 3 : Xác định các ràng buộc
• Thành phần A : 5x + 10y > 90
• Thành phần B : 4x + 3y > 48
• Thành phần C : 0.5x > 1,5
• Các biến dương : x, y > 0
Cách giải bài toán

Trong mặt phẳng tọa độ xOy , ta vẽ các đường thẳng:

(D1) : 5x + 10y = 90

(D2) : 4x + 3y = 48

(D3) : 0.5 x = 1.5

(D4) : x = 0

(D5) : y = 0
Cách giải bài toán
• Thành phần A : 5x + 10y > 90
• Thành phần B : 4x + 3y > 48
• Thành phần C : 0.5x > 1,5
• Các biến dương : x, y > 0

Dùng đường thẳng phí để xác định Z
min
.

Đường đẳng phí càng gần gốc O, Z càng nhỏ.

Đường thẳng phí qua điểm B cho ta Z
min
. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

5x + 10y = 90

4x + 3y = 48

suy ra x = 8,4

y = 4,8

Z = Z
min
= 2×1 + 3×2 = 2 × 8,4 + 3,48 = 31,2

Vậy lời giải tối ưu là : x = 8,4

y = 4,8
Cách giải bài toán
PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH
TRỰC GIAO CẤP 2
.
- Để mô tả tương thích miền phi tuyến người ta thường dùng những đa thức bậc hai có dạng như sau.
Giới thiệu chung
Số hệ số b trong đa thức bậc hai được xác định theo công thức sau:
Xác định tâm phương án:


Với Z
j
max
– mức trên
Z
j
min
– mức dưới
Z

j
0
– mức cơ sở
Biến mã x
j
Để ma trận có thể trực giao ta đổi biến x
j
2
thành biến x
’
j
theo công thức sau:
Giá trị mã hóa:
Để ện >nh các hệ số thực nghiệm của mô hình hồi quy toán học, trong kế hoạch thực nghiệm
người ta sử dụng các mức yếu tố theo giá trị mã hóa. Đây là đại lượng không thứ nguyên quy đổi
chuẩn hóa từ các giá trị thực của yếu tố nhờ quan hệ:
Thực hiện N thí nghiệm
Trong QHTN số thí nghiệm N tăng theo số yếu tố ảnh hưởng k (N = n
k
), số thí nghiệm tăng nhanh so với số hệ số cần xác định khi k
lớn.
Để đơn giản Box và Wilson đưa ra phương án cấu trúc có tâm bằng cách đưa thêm vào nhân phương án một số thí nghiệm. Bằng
cách làm như vậy sẽ nhận được những ước lượng không lẫn lộn giữa hiệu ứng tuyến >nh và hiệu ứng tương tác đôi.
Thực hiện N thí nghiệm:
Trong đó:
2
k
– số thí nghiệm của quy hoạch toàn phần
2
k-p

– số thí nghiệm của quy hoạch từng phần
2k – thí nghiệm bổ sung tại các điểm “sao” .Các điểm sao nằm trên các trục toạ độ của không gian yếu tố. Tọa độ các
điểm sao:
( ±α;0;0), (0;±α;0),(0;0;±α).Với α – là khoảng cách từ tâm của phương án đến các điểm sao được gọi là cánh tay đòn
sao, được xác định theo biểu thức:
α
4
+ 2
k
α
2
– 2
k-1
(k + 0,5n
0
) = 0 (với k < 5)
α
4
+ 2
k-1
α
2
– 2
k-2
(k + 0,5n
0
) = 0 (với k ≥ 5)
n
0
– số thí nghiệm tại tâm phương án.

Trong thực tế người ta đã chứng minh được α phụ thuộc vào số yếu tố (k) và số thí nghiệm ở tâm (n
o
). Giá trị α
2
được t ính theo k và no được
cho ở bảng:
Nếu sự trực giao của phưong án được xem là là êu chuẩn tối ưu hóa , thì số thí nghiệm ở tâm không chịu ràng buộc và thường n
o
= 1.
Đối với bê tông thường (CVC), quy trình thiết kế cấp phối bê tông tương đối đơn giản, thông thuờng chỉ cần thử nghiệm 3-4 cấp phối với tỷ lệ
xi măng khác nhau, chi phí một đợt thí nghiệm chỉ cần vài triệu đồng. Trong khi đó để thiết kế cấp phối bê tông đầm lăn (RCC), do phải xác
định cấp phối sao cho thỏa mãn đồng thời các yêu cầu kỹ thuật, trong đó quan trọng nhất với các đập RCC là yêu cầu về cường độ, chống
thấm và nhiệt trong RCC để khống chế nứt nẻ. Các nhà Tư vấn Việt Nam hiện thường đang phải tốn rất nhiều công sức, kinh phí để làm thí
nghiệm (thường thử nghiệm đến vài ba trăm cấp phối, kinh phí lên đến vài ba tỷ đồng – chưa kể thí nghiệm hiện trường)
Bài viết này, tác giả đã sử dụng bài toán quy hoạch thực nghiệm để Qm ra cấp phối BTĐL ban đầu cho 2 mác bê tông thiết kế khác nhau, thỏa
mãn 3 yêu cầu kể trên mà số thí nghiệm phải làm ít nhất. Kết quả có thể tham khảo trong quy trình thiết kế cấp phối BTĐL nhằm giảm kinh phí
làm thí nghiệm.
ĐẶT BÀI TOÁN MÔI TRƯỜNG
ĐẶT BÀI TOÁN MÔI TRƯỜNG
B1: Lựa chọn hàm mục êu:
Đề tài áp dụng bài toán quy hoạch thực nghiệm để >nh toán dựa trên kế hoạch thực nghiệm có khoa học để lựa chọn thành phần BTĐL tối
ưu nhằm thỏa mãn 2 hàm mục 9êu là: Cường độ chịu nén và Hệ số thấm của BTĐL sao cho nhiệt thủy hóa của BTĐL là nhỏ nhất.
Lựa chọn các yếu tố ảnh hưởng
Z
1
: Lượng dùng xi măng trong 1 m
3
bê tông (kg)
Z
2

: Hàm lượng Phụ gia khoáng (tro bay) so với tổng lượng CKD (%) .
B2: ta chuyển hệ trục tự nhiên Z
1
, Z
2
sang hệ trục
không thứ nguyên (hệ mã hoá):
Phương trình hồi quy có dạng:
y= b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
12
x
1
x
2
+ b
11
x
1
2
+ b

22
x
2
2

B3: Thực hiện N thí nghiệm:
N = 2
k
+ 2k + n
0
(k< 5)
= 2^2+2*2+1 = 9
Trường hợp có 2 yếu tố ảnh hưởng (k = 2)
Thay k = 2, α
2
= 1
Biến mã:
B4: lập bảng ma trận thực nghiệm
B5: Căn cứ vào các số liệu ở ma trận thực nghiệm ta >nh được các hệ số b theo các công thức sau đây
Kết quả là:
b’
0
= 13,84; b
1
= 9,95 ; b
2
= -1,20 ; b
12
= -0,40 ;
b

11
= -1,983 ; b
22
= 0,567
Giá trị của b
0
= b’
0
+ (-b
11
- b
22
).2/3 = 13,84 + (1,983 -0,567).2/3 = 14,78
B6 :Để kiểm tra >nh có nghĩa của các tham số, chúng ta cần làm các thí nghiệm lặp tại tâm kế hoạch:
Kế hoạch thực nghiệm tại tâm
Và các phương sai của các hệ số được Unh :