BÁO CÁO ĐỒ ÁN II Áp dụng thuật toán conjugate gradient cho phương pháp nghịch đảo sóng toàn phần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

BÁO CÁO ĐỒ ÁN II

Áp dụng thuật toán conjugate gradient cho phương pháp
nghịch đảo sóng tồn phần
Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN TRUNG DŨNG

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Ngọc Quang

Hà Nội, Tháng 07/ 2022

20185395


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
1. Mục tiêu và nội dung của đồ án
(a)
(b)
2. Kết quả đạt được
(a)
(b)
(c)
3. Ý thức làm việc của sinh viên:
(a)

(b)
Hà Nội, ngày ... tháng ... năm
2022
Giảng viên hướng dẫn

TS. NGUYỄN TRUNG
DŨNG

1


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

Lời cảm ơn
Để hoàn thành bài báo cáo môn học, em xin chân thành cảm ơn thầy TS Nguyễn
Trung Dũng đã cung cấp truyền đạt cho em những kiến thức, kĩ năng để giúp em có
những kiến thức hoàn thiện bài báo cáo này.
Mặc dù đã cố gắng hoàn thành tốt nhất bài báo cáo, xong do thời gian và kiến thức
của em còn hạn chế nên bài báo cáo của em khơng tránh khỏi những sai sót. Em rất
mong có thể nhận được sự đánh giá và góp ý của thầy cơ để bài báo cáo của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 07 năm 2022

1


Mục lục

Lời nói đầu

3

1 Phương pháp nghịch đảo sóng tồn phần

5

1.1

Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Phương pháp nghịch đảo sóng trong mơi trường bị giới hạn . . . . . . . .

8

2 Thuật toán Conjugate Gradient

10

2.1

Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 3. Áp dụng thuật tốn conjugate gradient cho phương pháp nghịch
đảo sóng

13

3.1

Code matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2

So sánh hàm misfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Kết Luận

19

Tài liệu tham khảo

20

2


Lời nói đầu
Tai biến địa chất là một dạng tai biến môi trường phát sinh trong thạch quyển.
Các dạng tai biến địa chất chủ yếu gồm núi lửa phun, động đất, nứt đất, lún

đất, trượt lở đất. Chúng liên quan tới các q trình địa chất xảy ra bên trong
lịng trái đất. Nguyên nhân chính là do lớp vỏ trái đất hồn tồn khơng đồng
nhất về thành phần và chiều dày, có những khu vực vỏ trái đất mỏng manh hoặc
các hệ thống đứt gãy chia cắt vỏ trái đất thành những khối, mảng nhỏ. Do vậy,
lớp vỏ trái đất trong thực tế luôn chuyển động theo chiều đứng cũng như chiều
ngang, gây ra sự xô lệch và va chạm giữa các mảng địa chất, dẫn đến tai biến
địa chất. Theo Sở Địa Chất Hoa Kỳ(Smith, 1996), tai biến địa chất là: “Một điều
kiện, một quá trình gây nguy hiểm, đe dọa sức khỏe con người, tài sản công dân,
chức năng hay kinh tế cộng đồng” Động đất hay Địa chấn cũng được coi là tai
biến địa chất, là sự rung chuyển trên bề mặt Trái Đất do kết quả của sự giải
phóng năng lượng bất ngờ ở lớp vỏ Trái Đất và phát sinh ra sóng địa chấn. Hoạt
động địa chấn của một khu vực là tần suất, loại và kích thước của trận động đất
trải qua trong một khoảng thời gian. Từ chấn động cũng được sử dụng cho rung
động địa chấn nhưng không gây ra động đất. Nó cũng xảy ra ở các hành tinh,vệ
tinh có cấu tạo với lớp vỏ ngoài rắn như Trái Đất. Ở bề mặt Trái Đất, các trận
động đất biểu hiện bằng cách rung chuyển và di chuyển hoặc phá vỡ mặt đất.
Khi tâm chấn của một trận động đất lớn nằm ngồi khơi, đáy biển có thể bị dịch
3


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

chuyển đủ để gây ra sóng thần. Động đất cũng có thể kích hoạt lở đất và hoạt
động núi lửa. Xuyên suốt lịch sử loài người, động đất đã để lại những hậu quả
vô cùng nghiêm trọng, điển hình như một số trận động đất sau: Damghan (Iran)
là trận động đất kinh hoàng xảy ra vào ngày 22/12/856 CN, giết chết 200.000
người và gây ra sóng xung kích có thể cảm nhận được ở các thành phố lân cận
Trận động đất Aleppo ở Syria năm 1138 lên tới 8,5 độ Richter với hơn 230.000

người được cho là đã chết. Các nhà nghiên cứu ước tính trận động đất Chihli
ở Trung Quốc năm 1290 có cường độ khoảng 9 độ Richter và gây ra cái chết
của khoảng 100.000 người. Với cường độ 8 độ Richter, trận động đất ở Thiểm
Tây, Trung Quốc năm 1556 đã giết chết 830.000 người Các nghiên cứu ước tính
trận động đất ở Shamakhi, Azerbaijan năm 1667 có cường độ 6,9 độ richter và
gây ra cái chết của hơn 80.000 người Trận động đất 8,2 độ richter, 2,2 gigaton
ở Đường Sơn, Trung Quốc năm 1976 chỉ kéo dài 10 giây nhưng đã gây ra một
lượng thiệt hại vô cùng lớn. Khoảng 225.000 người đã mất mạng trong thảm họa
này Trận động đất Port-au-Prince (Haiti) năm 2010 mạnh 7 độ Richter để lại
hậu quả thảm khốc, khiến 316.000 người chết, 300.000 người bị thương và một
triệu người mất nhà cửa
Do hậu quả nghiệm trọng của những tai biến địa chất để lại, em quyết định
lấy đề tài “Áp dụng thuật toán conjugate gradient cho phương pháp nghịch đảo
tồn phần sóng địa chất” là đề tài cho Đồ Án II của mình. Trong đồ án, em sẽ tìm
hiểu về phương pháp nghịch đảo sóng tồn phần, thuật tốn tối ưu Conjugate
Gradient nhằm mục đích tối ưu nghiệm, có thể đưa ra kết quả chính xác nhất
nhằm dự báo động đất.

4


Chương 1
Phương pháp nghịch đảo sóng tồn
phần
1.1

Giới thiệu chung

Như đã được đánh giá bởi Vireux và Operto (2009), phương pháp đảo ngược
dạng sóng đầy đủ (FWI) cung cấp tiềm năng mô tả các cấu trúc dưới bề mặt ở

độ phân giải cao bằng cách trích xuất nội dung thơng tin đầy đủ của các dạng
sóng hồn chỉnh. Các trường sóng địa chấn thu được từ thử nghiệm không phá
hủy (NDT) bằng cách sử dụng các cảm biến và nguồn hoạt động nằm trên bề
mặt tự do, sau đó đảo ngược cho các cấu trúc vận tốc sóng dưới bề mặt khai
thác (Vs và Vp của tế bào). Phương pháp FWI là khả năng tạo ra tất cả các
phương thức truyền sóng có thể có của các trường sóng địa chấn (sóng cơ thể và
sóng Rayleigh) bằng mơ phỏng số, sau đó so sánh với các lợi ích đo được để suy
ra các đặc tính phức tạp dưới bề mặt. FWI đã được sử dụng rộng rãi ở quy mô
km (Pratt et al., 1998; Pratt, 1999; Shipp và Singh, 2002; Ravaut et al., 2004;
Cheong et al., 2006; Sheen et al., 2006; Brenders và Pratt, 2007; Askan và cộng
sự, 2007; Sears và cộng sự, 2008; Choi và Alkhalifah, 2011; Prieux và cộng sự,
5


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

2011; Prieux và cộng sự, 2013; Métivier và cộng sự, 2014; và nhiều người khác)
. Nó cũng đã được sử dụng để xác định đặc tính vật liệu ở quy mô centimet và
mét (Kallivokas và cộng sự, 2013; Tran và Hiltunen, 2012; Tran và McVay, 2012;
Tran và cộng sự, 2013; Nguyen và cộng sự, 2016a, b ; Sullivan v cng s, 2016;
v Kăohn v cng s 2016). Cn lưu ý rằng các phương pháp FWI có sẵn này
được phát triển cho các phương tiện không bị ràng buộc (ví dụ: sóng lan truyền
trong mơi trường vơ hạn của trái đất).
Để đánh giá mố cầu, dữ liệu dạng sóng với nội dung tần số chiếm ưu thế trong
khoảng 200 Hz đến 1200 Hz dự kiến sẽ được phát triển từ các nguồn tác động
trong quá trình thử nghiệm hiện trường (Jalinoos và cộng sự, 1996). Với VS bê
tông khoảng 2000 m / s, bước sóng (vận tốc / tần số) khoảng từ 2 đến 10 m. Vì
bước sóng gấp vài lần độ dày của mố (1-1,5 m), dung dịch mơi trường khơng liên

kết khơng cịn giá trị (Oliver và cộng sự 1954, Zerwer và cộng sự 2000). Trong
trường hợp này, trụ cầu phải được coi như một tấm mỏng và sự truyền sóng phải
được mơ phỏng trong mơi trường có giới hạn. Ưu điểm của cách tiếp cận được
trình bày này là trụ cầu có thể được coi là một bài tốn 2-D. Các phương trình
sóng 2-D được suy ra bằng cách lấy giá trị trung bình (tích phân) của các ứng
suất theo chiều dày, hoặc các phương trình sóng độc lập với chiều dày.

6


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

Mơ hình đúng thu được các dữ liệu từ thực tế, cịn mơ hình xuất phát là mơ
hình đồng nhất đơn giản.

7


PPSPPTTH

1.2

Nguyễn Ngọc Quang

Phương pháp nghịch đảo sóng trong mơi trường bị
giới hạn

Một phương pháp đảo ngược dạng sóng đầy đủ (FWI) mới cho môi trường bị

giới hạn đã được phát triển. Phương pháp này bao gồm lập mơ hình chuyển tiếp
để mơ phỏng q trình truyền sóng cho dữ liệu dạng sóng ước tính và nghịch
đảo liên hợp để khớp với dữ liệu ước tính với dữ liệu đo được để chiết xuất các
đặc tính vật liệu (VS và VP) của mơi trường được thử nghiệm. Các thuộc tính
vật liệu được cập nhật lặp đi lặp lại cho đến khi phần dư (chênh lệch giữa dữ
liệu ước tính và dữ liệu đo được) không đáng kể.
Trong môi trường bị giới hạn, các phương trình điều chỉnh vận tốc của hạt là:
1 δσ
δσ
δvx
= ( xx + xz )
δt
p δx
δz
δvz
1 δσ
δσ
= ( xz + zz )
δt
p δx
δz
Các phương trình điều chỉnh ứng suất kéo trung bình là:
δσxx
2λµ
δv
2λµ δvz
=(
+ 2µ) x +
δt
2µ + λ

δx
2µ + λ δz
δσzz
2λµ
δv
2λµ δvx
+ 2µ) z +
=(
δt
2µ + λ
δz
2µ + λ δx
δσxz
δv
δv
= µ( x + z )
δt
δz
δx
Trong đó (vx, vz) là vectơ vận tốc của hạt,(σxx, σzz, σxz) là ứng xuất kéo
trung bình (stress tensor), ρ là mật độ khối lượng, µ, λ là hệ số Lamé của vật
liệu. Các hệ số của Lamé được tính từ VS và VP như sau:
λ = pVp2 − 2pVs2 , µ = pVs2
8


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

Kỹ thuật chênh lệch hữu hạn vận tốc-ứng suất so le trong miền thời gian
(Virieux, 1986) được sử dụng để giải các phương trình trên. Ưu điểm của kỹ
thuật này bao gồm nguồn hoạt động có thể được biểu thị bằng vận tốc hoặc ứng
suất; một biểu diễn ổn định và chính xác cho ranh giới bề mặt phẳng được thực
hiện một cách thuận tiện; và thuật toán có thể được thực hiện trên máy tính vơ
hướng, véc tơ hoặc máy tính song song.
Sau đây là đồ thị mơ phỏng sự lan truyền sóng trong mơi trường 2D:

9


Chương 2
Thuật tốn Conjugate Gradient
2.1

Giới thiệu chung

Hệ phương trình đại số tuyến

a
a
 11 12

 a21 a22

 ..
..
 .
.


am1 am2

tính
...
...
...
...





 
a1n
x
b
  1  1
   
a2n   x2   b2 
  =  
. .
.. 
.   ..   .. 
   
amn
xn
bn

xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực như trong kinh tế,thống kê, hệ thống điện,
xử lý ảnh, tối ưu hóa ,giải số các phương trình vi phân,... với kích thước của bài

tốn n có thể là 2 hoặc đến hàng chục triệu. Do đó một yêu cầu cần thiết là cần
có các phương pháp hiệu quả để giải hệ đại số tuyến tính nói trên. Các nhà Tốn
học đã nghiên cứu các phương pháp giải hệ ĐSTT và phân loại thành 2 nhóm
phương pháp giải: phương pháp trực tiếp (phương pháp cho ta nghiệm đúng của
hệ sau một số hữu hạn các phép tính) và phương pháp lặp (phương pháp xây
dựng một dãy vô hạn các xấp xỉ xk mà giới hạn của nó là nghiệm gần đúng của
hệ)
10


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

Phương pháp conjugate gradient tuyến tính được đề xuất bởi Hestenes và
Stiefel vào những năm 1950 như một phương pháp lặp để giải hệ thống tuyến
tính với ma trận hệ số xác định dương. Nó là một giải pháp thay thế cho phép
khử Gauss rất thích hợp để giải các bài toán lớn. Đầu tiên, chúng là một trong
những thứ hữu ích nhất kỹ thuật giải hệ phương trình tuyến tính lớn. Thứ hai,
chúng có thể được điều chỉnh để giải quyết các vấn đề tối ưu hóa phi tuyến. Bằng
cách biến đổi hay xử lý ma trận trước, thuật tốn CG có thể cải thiện một cách
đáng kể sự hội tụ của nghiệm.
Phương pháp gradient liên hợp phi tuyến đầu tiên được giới thiệu bởi Fletcher
và Reeves vào thập niên 1960. Nó là một trong những kỹ thuật sớm nhất được
biết đến để giải quyết vấn đề phi tuyến quy mơ lớn vấn đề tối ưu hóa. Trong
những năm qua, nhiều biến thể của lược đồ ban đầu này đã được đề xuất, và một
số được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Các tính năng chính của các thuật tốn
này là rằng chúng khơng u cầu lưu trữ ma trận và nhanh hơn so với phương
pháp steepest decent method.

11


PPSPPTTH

2.2

Nguyễn Ngọc Quang

Thuật tốn

Xét x0 ;
Tính tốn f0 = fx0 , ▽f0 = ▽fx0
Đặt p0 = − ▽ f0 , k = 0
r0 = Ax0 − b While ▽fk ̸= 0
Tính αk =

rkT rk
;
pTk Apk

Tính xk+1 = xk + αk .pk
Tính ▽fk+1 ;
βk+1

T
▽ fk+1
▽fk+1
;
=

▽fkT ▽ fk

pk+1 = − ▽ fk+1 + βk+1 pk+1 ;
k = k + 1;
end (while)

12


Chương 3
3. Áp dụng thuật toán conjugate
gradient cho phương pháp nghịch đảo
sóng
3.1

Code matlab

Đoạn code dưới đây đã áp dụng thuật toán Conjugate Gradient nhằ tối ưu
GraV p, GraV s nhằm tối ưu hóa, giảm thời gian tìm nghiệm một cách đáng kể.
Gra_S_arr = r e s h a p e (Gra_Vs , 1 , 6 0 ∗ 8 0 ) ;
Gra_P_arr = r e s h a p e (Gra_Vp, 1 , 6 0 ∗ 8 0 ) ;
gra = z e r o s ( 1 , 2 ∗ 6 0 ∗ 8 0 ) ;
gra (1:60∗80)= Gra_S_arr ;
gra ((60∗80+1):2∗60∗80)= Gra_P_arr ;
i f k == 1
gra1=gra ;
elseif k > 1
%l o a d f i l e
13

PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

l o a d ( s t r c a t ( ’ grad_iter_ ’ , num2str ( k − 1 ) , ’ . mat ’ ) ,
’Gra_Vs ’ , ’ Gra_Vp ’ ) ;
g r a d _ l a s t ( 1 : 6 0 ∗ 8 0 ) = r e s h a p e (Gra_Vs , 1 , 6 0 ∗ 8 0 ) ;
g r a d _ l a s t ( ( 6 0 ∗ 8 0 + 1 ) : 2 ∗ 6 0 ∗ 8 0 ) = r e s h a p e (Gra_Vp, 1 , 6 0 ∗ 8 0 ) ;
%%%%%
beta_N=sum ( gra . ∗ ( gra−g r a d _ l a s t ) ) ;
beta_D=sum ( gra . ∗ g r a d _ l a s t ) ;
gra1 = gra + ( beta_N/beta_D ) . ∗ g r a d _ l a s t ;

end
%reshape , s u a t gra_vs
grad_last_arr = gra1 ;
%%%%%%%%%%%%%
Gra_S_arr=grad_last_arr ( 1 : 6 0 ∗ 8 0 ) ;
Gra_Vs = r e s h a p e ( Gra_S_arr , 6 0 , 8 0 ) ;
%reshape , s u a t gra_vp
%%%%%%%%%%%
Gra_P_arr=grad_last_arr ( ( 6 0 ∗ 8 0 + 1 ) : 2 ∗ 6 0 ∗ 8 0 ) ;
Gra_Vp = r e s h a p e ( Gra_P_arr , 6 0 , 8 0 ) ;
%%%%%%%%%%%%%%%%
%dung l e n h save

save ( s t r c a t ( ’ grad_iter_ ’ , num2str ( k ) , ’ . mat ’ ) , ’Gra_Vs ’ , ’Gra_Vp ’ , ’ V

14

PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

Các kết quả của GraV p, GraV s sau 10 vòng lặp
Sau vòng lặp thứ nhất

Sau vòng lặp thứ 10

15


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

Các kết quả của V p, V s sau 10 vòng lặp
Sau vòng lặp thứ nhất

Sau vòng lặp thứ mười

16


PPSPPTTH

3.2

Nguyễn Ngọc Quang

So sánh hàm misfit

Hàm misfit khi không sử dụng phương pháp Conjugate Gradient

Hàm misfit khi có sử dụng phương pháp Conjugate Gradient

17


PPSPPTTH

Nguyễn Ngọc Quang

Nhận xét: Do một số nguyên nhân như tập số liệu chưa đủ lớn, còn nhiều sai
số nên phương pháp Gradient liên hợp chưa đạt hiệu quả rõ rệt. Tuy nhiên ở
vòng lặp thứ 9, chúng ta cũng đã nhận được một sự khác biệt nhẹ ở giá trị hàm
misfit

18