CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTOR

CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHUƠNG
PHÁP VÉCTƠ
1)Xác định một điểm thoả mãn một đẳng thức
vectơ cho trước.
2)Dựng một điểm thoả mãn một hệ thức vectơ.
3)Dựng một vectơ thoả mãn một hệ thức vectơ.
4)Chứng minh một hệ thức vectơ.
5)Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng
hay độ dài.
CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHUƠNG
PHÁP VÉCTƠ
6)Các bài toán có tính chất hình học.
7)Chứng minh sự song song của hai đường thẳng.
8)Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
9)Sự đồng phẳng của các điểm và các vectơ
10) Những bài toán liên quan đến sự thẳng hàng
của ba điểm .
CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG
PHÁP VÉCTƠ
11) Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một hệ
điểm.
12) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn một điều kiện cho trước.
13) Tìm điểm M sao cho biểu thức độ dài đạt giá trị lớn
nhất hay giá trị nhỏ nhất.
14) Chứng minh các bất đẳng thức vectơ; giải phương
trình; tìm giá trị cực đại, cực tiểu của một hàm số….
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
11) Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một hệ
điểm.
12) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn một điều kiện cho trước.

13) Tìm điểm M sao cho biểu thức độ dài đạt giá trị lớn
nhất hay giá trị nhỏ nhất.
14) Chứng minh các bất đẳng thức vectơ; giải phương
trình; tìm giá trị cực đại, cực tiểu của một hàm số….
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
Ta thấy các sách giáo khoa đều yêu cầu học sinh
giải những bài tập chủ yếu sau:

Quy ước:
Sách giáo khoa Hình học 10 (Sách chỉnh lí hợp
nhất năm 2000), viết tắt là S1 và sách giáo
khoa Hình học 10 nâng cao (năm 2006), viết
tắt là S2 .
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
1. Xác định một điểm thoả mãn một đẳng thức
vectơ cho trước.

Ví dụ 1: (Sách S1_bài 4/tr 12)
Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn
điều kiện:

Ví dụ 2: (Sách S2_bài 12/tr 14)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O.
Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
0MA MB MC− + =
uuur uuur uuuur r
; ;OM OA OB ON OB OC OP OC OA= + = + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur

ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
2. Dựng một điểm thoả mãn một hệ thức vectơ.

Ví dụ 3: (Sách S1_bài 5/tr 9)
Cho vectơ AB và một điểm C. Hãy dựng điểm D sao cho
Chứng minh rằng điểm D như vậy là duy nhất.

Ví dụ 4: (Sách S2_bài 5/tr 9)
Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy vẽ các véctơ bằng vectơ AB và
có:
a)Các điểm đầu là B, F, C.
b)Các điểm cuối là F, D, C.
AB CD=
uuur uuur
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
3. Dựng một vectơ thoả mãn một hệ thức
vectơ.

Ví dụ 5: (Sách S2_bài 21/tr 23)
Cho tam giác vuông cân OAB với OA=OB=a.
Hãy dựng các véctơ sau đây và tính độ dài
của chúng.
21 11 3
; ; 3 4 ; 2,5 ;
4 4 7
OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB+ − + + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG

SÁCH GIÁO KHOA
4. Chứng minh một hệ thức vectơ.

Ví dụ 6: (Sách S1_bài 1/tr 9)
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

Ví dụ 7: (Sách S2_bài 23/tr 24)
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn AB
và CD. Chứng minh rằng:
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
2MN AC BD AD BC= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
5. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng
hay độ dài.

Ví dụ 8: (Sách S1_bài 5/tr 44)
Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF.
Chứng minh rằng:

Ví dụ 9: (Sách S2_bài 20/tr 18)
Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
. . . 0BC AD CA BE AB CF+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD BE CF AE BF CD AF BD CE+ + = + + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA

6. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai
đường thẳng song song.

Ví dụ 10: (Sách S2_bài 4/tr 70)
Trên hình 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và
A’B’C’ có chung đỉnh A Gọi I và J lần lượt là trung điểm
của hai đoạn thẳng BB’ và CC’. Chứng minh rằng
a)
b)
'; 'AI CC AJ BB⊥ ⊥
' 'BC B C⊥
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
7. Những bài toán liên quan đến sự
thẳng hàng của ba điểm

Ví dụ 11: (Sách S2_bài toán 3/tr 21)
Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và
tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a)Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh:
b)Chứng minh:
c)Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng .
2AH OI=
uuur uur
OH OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
8. Những bài toán liên quan đến trọng tâm của một
hệ điểm.


Ví dụ 12: (Sách S1_bài 3/tr 16)
Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và
G’. Chứng minh: .Từ đó suy ra một điều
kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Ví dụ 13: (Sách S2_bài 27/tr 24)
Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng mimh rằng
hai tam giác PRT và QSU có cùng trọng tâm.
3 ' ' ' 'GG AA BB CC= + +
uuuur uuur uuur uuuur
ĐỐI CHIẾU VỚI BÀI TẬP TRONG
SÁCH GIÁO KHOA
9. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn một điều
kiện cho trước.

Ví dụ 14: (Sách S1_bài 6/tr 44)
Cho hai điểm A, B cố định và một số dương k không
đổi. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho


Ví dụ 15: (Sách S2_bài 12/tr 52)
Cho đoạn thẳng AB cố định, AB=2a và một số .Tìm
tập hợp các giá trị của M sao cho
.MA MB k=
uuur uuur
2 2 2
MA MB k− =
2

k
Nhận xét:

Có thể nói là các loại bài tập 1, 4, 5, 8 chiếm
tỉ lệ tương đối nhiều còn các loại bài tập 6, 7
có không nhiều trong các sách giáo khoa.
Vả lại, phát biểu các bài toán đưa ra trong
sách giáo khoa thường đã chứa đựng vectơ
hoặc trong giả thiết hoặc là trong kết luận.

Điều đó làm hạn chế khả năng phát triển tư
duy, biết chọn lọc một phương pháp giải tốt
cho một bài toán.
Nhận xét:

Như vậy thì trái với nhiệm vụ của việc dạy Hình
Học ở trường phổ thông.

Do đó, điều cần dạy cho học sinh là trước một
bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học, phải
biết lựa chọn giữa ba phương pháp (tổng hợp,
vectơ, toạ độ) một phương pháp cho lời giải tốt
nhất.
Nhận xét:

Vì thế, nên đưa ra vài bài toán phát biểu
bằng ngôn ngữ tổng hợp mà lời giải bằng
phương pháp véctơ ưu việt hơn so với hai
hai phương pháp kia để học sinh phân tích
và chọn cách giải .

Cho tam giác ABC cân tại A. Từ chân
đường cao AH kẻ .M là trung
điểm HD. Chứng minh:
B
C
A
H
D
M
AM BD⊥
HD AC⊥
Ví dụ

Dùng phương pháp véctơ

Ta có:
( ) ( )
( )
( )
1
AM BD = AH + AD HD - HB
2
1
= AH HD - ADHB do AH HB,AD HD
2
⊥ ⊥
uuuuruuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
uuuuruuuur uuuuruuuur
Giải
Giải


Vậy :
( ) ( )
( )
( )
1
= AH HD+ ADHC do HB = -HC
2
1
= AH HD+ HD - HA HC
2
1 1
= HD AH + HC = HDAC = 0
2 2
 
 
uuuuruuuur uuuuruuuur uuuur uuuur
uuuuruuuur uuuur uuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuuruuuur
AM BD⊥

Dùng phương pháp tổng
hợp:

Gọi F là trung điểm CD, K
là giao điểm của đường
thẳng AM và HF.

Trong tam giác BCD có
HF là đường trung bình

ứng với cạnh BD nên
HF//BD.
B
C
A
H
D
M
F
K
Giải

Do đó để chứng minh
ta chỉ cần chứng minh

Hai tam giác vuông AHD và
HCD có
nên đồng dạng.

Do đó ta có:
B
C
A
H
D
M
F
K
AM BD⊥
AM HF⊥

· ·
·
( )
HAD CHD AHD= cuøng phuï
2 2
AD HD
HD CD
AD HD AD HD
MD DF MD DF
=
⇔ = ⇔ =
Giải

Mà :

Suy ra hai tam giác ADM và HDF đồng
dạng. Do đó:

Suy ra tứ giác ADKH nội tiếp.

Vậy:

Hay:
·
·
90ADM HDF= =
o
·
·
·

·
:
MAD MHF
Hay KAD KHD
=
=
·
·
90
o
AKH ADH= =
AM HF⊥
Giải

Dùng phương pháp tọa độ:

Xây đựng hệ trục tọa độ vuông góc
với: HC là trục hòanh, HA là trục tung.

Khi đó tọa độ của các điểm là: H(0; 0),
A(0; a), C(b; 0), B(-b; 0).

Phương trình
đường thẳng AC:

Phương trình
đường thẳng HD:
B(-b;0)
C(b;0)
A(0;a)

H(0;0)
D
M
1
x y
b a
+ =
0
x y
a b
− =
Giải