11 bài giảng hay về hàm số ôn thi đại học

BÀI GIẢNG SỐ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số
( )
y f x

trên khoảng
( ; )
a b
Tính chất 1: Hàm số
( )
y f x

trên khoảng
( ; )
a b
được gọi là:
i) Đồng biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
  
ii) Nghịch biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
  
Tính chất 2: Hàm số
( )
y f x

trên khoảng
( ; )

a b
được gọi là:
i) Đồng biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
  
, và
( ) 0
f x

tại hữu hạn điểm thuộc
khoảng
( ; )
a b
ii)
Nghịch biến nếu
f '(x) ≤0 ∀x ∈(a; b)
và
f (x) =0
tại hữu hạn điểm thuộc
khoảng
( ; )
a b

Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường
dùng tính chất 2 để áp dụng.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
( )y f x
Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm
Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
 
3 2
5
y x x
 

Lời giải
Tập xác định:
.
D R


Ta có
3
5 10
'
x
y
x


. Khi đó phương trình
' 0 2.
y x
  

Bảng xét dấu
X

0 2

y’ + || - 0 +
Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)

và
(2; )
 

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
2 3
3sin cos
2
x
y x x

  
trên khoảng
0
( , ).


Lời giải:
Tập xác định:
.

D R


Ta có
' 3cos sin 1
y x x
  
, khi đó phương trình
' 0 sin 3cos 1 sin( ) sin
3 6
2
2
7
2
6
y x x x
x k
x k
 




      

 





 


Trên khoảng 0
( , ).

y’ = 0 có một nghiệm
.
2
x


Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
( ; )
2



và nghịch biến trên khoảng
(0; )
2

.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
Phương pháp 1:
Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng
( )
f x m


Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
 


đồng biến với mọi x > 3.
Lời giải:
Tập xác định:


1
\
D R
Khi đó, ta có
 
2
2
2 4 3
1
'
x x m
y
x

  


.
Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì
 
2
' 2
2
2
2 4 3
0 3 2 4 3 0, 3.
1
2 4 3 3.
x x m
y x x x m x
x
x x m x
  
          

     
Xét hàm số
2
2 4 3
( )
f x x x
  
trên miền x > 3, ta có
4 4 0 3

'( ) .
f x x x
    

Vậy f(x) là hàm số đồng biến với
3
x

suy ra
3 9
( ) ( )
f x f
 
, vậy để
2
2 4 3 3
x x m x
    

thì
3 9
( ) .
m f
 

Phương pháp 2:
Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet
Ví dụ 4: Tim m để hàm số
3 2
3 (4)

   y x x mx m
là nghịch biến trên một đoạn có độ dài
bằng 1.
Lời giải:
Tập xác định:
.
D R


1 2
Ta có
y' =3x
2
+6x +m
. Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
bằng 1 thì phương trình:
3x
2
+6x +m =0
(4’) phải có hai nghiệm
x , x
sao cho
2 1
1
(*)
 x x
Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là
0 9 3 0 3
'
.

m m
      

Khi đó
 
2
2
1 2 1 2 1 2
1 4 1
(*) ( )x x x x x x
      
. Áp dụng định lý viet, ta có:
4
9 1 6
3
.
m
m
   
So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)
       
y x a a x a a đồng biến trên
[2:+ )

.
Lời giải
Ta có y' =3x

2
−2ax −(2a
2
−7a +7). Điều kiện để hàm số đồng biến trên


2
)
∞ + ; là

2 2
3 2 2 7 7 0 2

         

' ( ) (*) ;y x ax a a x
Ta có
2
' 7 21 21 0
a a a
     

Gọi
1 2 2 1
, ( )
x x x x
 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0,
khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là
1 2
( ; ] [ ; )

x x
  
.
Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng
[
2
; +
∞ )
thì

1 2
[2; ) ( ; ] [ ; )
x x
      
nghĩa là
1 2
2
x x
 
.
Điều kiện là:
  
1 2
1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
4
4
4

3
( )
2 2 0 2( ) 4 0
2 7 7 4
4 0
3 3



 

 

 
 
  
      
 




   


a
x x
x x
theo viet
x x x x x x

a a a
2
6
6
5
1
5
2
1
2 3 5 0
2





     
 
  
   



a
a
a
a
a a
Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp

Sử dụng các kiến thức sau:
 Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.

f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
 
 f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x

   
Lời giải:
Xét hàm số
3
( ) tan ,
3
x
f x x x  
ta có
2 2 2
2
1

'( ) 1 tan
cos
f x x x x
x
    
Dễ thấy
tan (0; )
2
x x x

  
nên
'( ) 0 (0; )
2
f x x

  

Vậy hàm số
( )
f x
đồng biến trên khoảng
(0; )
2

suy ra
3
( ) (0) 0 tan (0; )
3 3
x

f x f x x x

      
Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
cos 2 , .
2
x
x
x e x x R
     

Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

2
cos 2 0, .
2
x
x
x e x x R
      

Xét hàm số
2
( ) cos 2 ( ).
2
x
x
f x x e x x R

       Ta có
'
( ) sin 1
x
f x x e x
    
và
''
( ) cos 1 1 cos 0,
x x
f x x e x e x R
         

Vậy
'
( ) 0
f x

có nghiệm duy nhất
0.
x


Bảng biến thiên
x

0


'( )

f x
- 0 +
( )
f x
Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra:
( ) 0
f x

với
x R
 
. (đpcm).
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
  

đồng biến trên mỗi khoảng xác định của
nó. ĐS:
0.
m


Bài 2: Xác định m để hàm số
3
2

( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
      đồng biến trên khoảng (0; 3).
ĐS:
12
.
7
m 
Bài 3: Cho hàm số
4
mx
y
x m



a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định. ĐS:
2 2.
m
  

b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )

. ĐS:
2, 2
m m
  

c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1).

ĐS:
2 1.
m
   

Bài 4: Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
     
. Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R. ĐS:
.
m R
 

b. Tăng trên khoảng
(2; ).

ĐS:
5
.
12
m 
Bài 5: Cho hàm số
3 2

3 3 1 (1),
y x x mx m
    
là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng


0;

. ĐS:
1.
m
 

0




Bài 6: Cho hàm số
   
3 2
1 1
1 3 2 .
3 3
y mx m x m x
     
Tìm m để hàm số đồng biến với
2.
x

 
ĐS:
2
.
3
m

Bài 7: Cho hàm số




3 2
3 2 1 12 5 2.
y x m x m x
     
Tìm m để hàm số đồng biến trên




; 1 2; .
   
ĐS:
5
1 .
12
m  
Bài 8: Cho hàm số
2

6 2
.
2
mx x
y
x
 


Tìm m để hàm số nghịch biến trên
[1; ).


ĐS:
14
0.
5
m
  

Bài 9: Cho hàm số
mx m
y
x m



.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. ĐS:
1 0.

m
  

b) Tìm m để hàm số đồng biến với
3.
x
 
ĐS:
1 0.
m
  

Bài 10. Cho hàm số
2
( ) .
y m x x m
  
Tìm m để hàm số đồng biến trên


1;2 .
ĐS:
3.
m


Bài 11: Chứng minh rằng với mọi
2
0


 x
ta có
xxx  tan
3
1
sin
3
2
.
Hướng dẫn: Xét sự biến thiên của hàm số
xxxxf  tan
3
1
sin
3
2
)(
với







2
;0

x
.

BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số


y f x

xác định trên
.
D


o
x x

gọi là điểm cực đại của hàm số nếu




, , ,
o
a b x a b D
  
và





,
o
f x f x







\, ,
o o o
x a b x f x
 
gọi là giá trị cực đại của hàm số.

o
x x

gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu




, , ,
o
a b x a b D
  
và





,
o
f x f x







\, ,
o o o
x a b x f x
 
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm


'
f x
. Tìm
x
mà tại đó



' 0
o
f x

hoặc tại đó mà


f x
liên tục
nhưng không có đạo hàm.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.
Quy tắc 2
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm


'
f x
. Tìm các giá trị
, 1,2
i
x i  để


' 0.
f x


+ Tính


''
f x
và


"
i
f x
.
+ Dựa vào dấu của


"
f x
suy ra cực trị.
Nếu


" 0
i i
f x x x
  
là điểm cực tiểu.
Nếu


" 0

i i
f x x x
  
là điểm cực đại.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
 Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Cách 1: Dùng bảng biến thiên
Cách 2: Dùng y’’
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số


sin 2 os2 .
f x x c x
 
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có:


' 2cos2 2sin 2
 
f x x x


" 4sin 2 4cos2
  
f x x x

 

' 0 2cos2 2sin 2 0 , ( )
8 2
 
       
k
f x x x x k Z
Vậy hàm số đạt cực đại tại
2 , 2
8
C D
x k y

    , hàm số đạt cực tiểu tại
2 , 2.
8
CT
x k y

    
 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm
0
x
Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’
Ví dụ 2: Tìm giá trị của để hàm số




3 2 2
3 1 2

f x x mx m x
    
đạt cực đại tại
2.
x

Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên
.

Ta có:
2 2
y' 3x 3mx m 1
   

2
2 2
2
3 6 3
3
' 0 3 3 1 0
3 6 3
3
m m
x
y x mx m
m m
x

 




      

 



Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại
2
3 6 3
2 2 11
3
m m
x m
 
    

Vậy với
11
m

thì hàm số đạt cực đại tại
2.
x


 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của
đẳng thức cho trước.
Phương pháp: Dùng định lý viet
Ví dụ 3: Tìm
m
để hàm số




3 2
3 4 1
y x m x m x m
     
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2 .
x x
  
Lời giải
Tập xác định
.D  



 

2
2
' 3 2 3 4 1
' 0 3 2 3 4 1 0
y x m x m
y x m x m
    
      
Để hàm số đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
  
thì


1
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x
  

.






1 2 1 2 1 2
2 2 0 2 4 0
x x x x x x
        
Áp dụng định lý Viet ta có:


4 3
4 1 1
4 0 8 1 0
3 3 8
m
m
m m


       
x


2
3 6 3
3

m m
 
2
3 6 3
3
m m
 


f’(x)



0

0



f x

CD


CT
Vậy
1
8
m


thì hàm số đã cho đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
  
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
3
1
.
3
y x x m
  
Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu.
Lời giải
Điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình:
2
1
' 0 1 0
1
x
y x
x


    


 

Giá trị cực trị của hàm số tương ứng là
1
2
2
(1)
3
2
( 1)
3
y y m
y y m

  



   


Yêu cầu bài toán tương đương với:
1 2
2 2 2 2
0 ( )( ) 0 .
3 3 3 3
y y m m m
        
Nhận xét: Các em học sinh cần phân biệt 3 khái niệm là:

 Điểm cực trị của hàm số là
,
CD CT
x x
 Cực trị của hàm số là ,
CD CT
y y
 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là




, , ,
CD CD CT CT
x y x y
Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác
Ví dụ 5: Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx
  
. Tìm giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số có ba
điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng
1.

Lời giải
Ta có:



3 2
' 4 4 4
y x mx x x m
   
2
0
' 0
x
y
x m


 

 

Hàm số có ba cực trị
'
y

đổi dấu ba lần trên
' 0
D y
 
có ba nghiệm phân biệt
0
m
 
0.

m


Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 




2 2
0;1 , ;1 , ;1
A B m m C m m
    
Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác
ABC
cân tại
.
A
Gọi
D
là
trung điểm của cạnh
BC
thì Xét
ADC

vuông tại
D
, ta có
sin

AD
C
AC

Gọi
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác
ABC
, ta có:
A

2
.
2 2 2
sin
AB AB AC AC
R
C AD AD
    

4 2 3
2 2 1 0
m m m m m
       

 
 

2
1
1 1 0
1 5
2
m
m m m
m
 


     





B D C
Kết hợp điều kiện
0
m

ta được
1 5
1, .
2
m m

  
Ví dụ 6: Cho hàm số



2
1 2
.
x m x m
y
x m
   


Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị
cực trị cùng dấu.
Lời giải
Tập xác định
\{ }
D m



 
2
2
2
'
2
x mx
y

x m
 






2 2
0 2 2 0 '
.
y g x x mx m x m
       

Hàm số có cực đại, cực tiểu 'y đổi dấu 2 lần trên
D
.
 
2
2
Δ 0
1
2 1 0
0
1
2 2 0
g
m
m
g m

m
m

 

  
  
 



  



Khi đó tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ


 


 
       
 
 
 
 
'
'
'

2
. . '
'
1
0
u x
u x
y
y
u x u x
v x
y x m
v x
v x v x
u x v x u x v x
y






      
 
 





Do đó
2 1; 2 1
CĐ CĐ CT CT
y x m y x m
     

C
Đ
y
và
CT
y
trái dấu
2
. 0 6 9 0 3
CĐ CT
y y m m m
       

Vậy
m
thỏa mãn yêu cầu của đề bài
1
m
  
hoặc
1
m

và

3
m

.
Ví dụ 7: Tìm
m
để hàm số
3 2
2 3
y x x m
  
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với
đường thẳng
5 ( )
4
m
y x
   
một góc
60 .
o
Lời giải
Điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình:
2
0
6 6 0
1
x
x x
x



  



Vậy giá trị cực trị của hàm số là
1
2
(1) 1
(0)
y y m
y y m
  


 

Điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là (0; m) và (1; m-1).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có dạng
0
0
1 1
x y m
x y m
 
    

(d)
Véc tơ pháp tuyến của (d) và

( )

lần lượt là
(1;1), ( ; 4).
d
n n m

 

Yêu cầu bài toán tương đương với
0
2
2 2 2
| 4 | 1
cos( , ) cos60
2
2 16
2( 8 16) 16 16 16 0
8 4 3
8 4 3
d
m
n n
m
m m m m m
m
m


  


        

  


  


 

Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3y x x m x m   
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua
đường thẳng 2 5 0x y   .
Lời giải
Hàm số xác định trên
.

Ta có
2 2
' 3 6y x x m  

Để hàm số có hai điểm cực trị thì
'
y
phải đổi dấu hai lần
' 0
y

 
có hai nghiệm phân biệt
2 2
' 0 9 3 0 3 3 3
m m m            .
Thực hiện phép chia


f x
cho


'
f x
ta có:
     
 
2
2
1 2
1 ' 3
3 3 3
m
f x x f x m x m
     
Với
3 3
m   thì



' 0
f x

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
và hàm số


f x
đạt cực trị tại
1 2
, .
x x

Do


 
1
2
0
0
f x
f x








nên
 
 
 
 
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3
3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m

    





    


Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
 
 
2
2
2
: 3 .
3 3
m
d y m x m
   

Gọi




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho khi đó trung điểm
I
của
AB

có tọa độ là
2

1 2 1 2
( ; ) (1; 2)
2 2
x x y y
I m m
 
  
.
Các điểm cực trị




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
đối xứng với nhau qua đường thẳng
 
1 5
:
2 2
y x
  




d
  
và trung điểm

I
của
AB
phải thuộc


d

 
 
 
2
2
2
2 1
3 . 1;
0
3 2
0.
1 0
2 1 5
3 .1 .1
3 3 2 2
m
m
m
m m
m
m m


  



 
   
 
 



    



C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
2
2 3 1
y x x
   
ĐS:
2 2 13
; 5 , ;
5 5 5
CT CD
   

   

   

b.
4
48
x
y
x

 ĐS:




2;32 , 2; 32
CT CD  
c.
4 2
12 3
xy x

ĐS:






6; 33 ; 6; 33 , 0;3
CT CD  

d.
2
sin 3 cos , [0; ]
y x x x

  
ĐS:
5 7
;
6 4
CD

 
 
 

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
1
cos
2
os2
y x c
x
  ĐS:
2 3 2 3
2 ; ; 2 ;
3 4 3 4
CT k k
 

   
      
   
   

 
3 1
2 ; ; 2 1 ;
2 2
CD k k
   
   
   
   
b.
2 3
3sinx cos
2
x
y x

   ĐS:
3
2 ; 3 2
2 2 2
CT k k
 
 
 
     

 
 

3
2 ; 3 2
6 2 6
CD k k
 
 
 
   
 
 
Bài 3: Tìm các hệ số
, ,
a b c
sao cho hàm số
3 2
y x ax bx c
   
đạt cực tiểu tại điểm


1, 1 3
x f
 
và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là
2.

ĐS:

3; 9; 2
a b c
   
Bài 4: Tìm các hệ số
, ,
a b c
sao cho hàm số
3 2
y x ax bx c
   
đạt cực trị bằng 0 tại điểm
2x  
và đồ thị hàm số đi qua điểm
 
1;0A
. ĐS: 3; 0; 4a b c   
Bài 5: Tìm m để hàm
m
x
mxx
y



4
2
đạt cực tiểu tại
0
x 1


. ĐS:
1
m


Bài 6: Tìm m để hàm số
a. đạt cực đại tại . ĐS:
2
m

b. đạt cực tiểu tại . ĐS:
1
m
 

Bài 7: Tìm m để các hàm số sau có cực trị
a.




3 2 2 2
3 3 1 1
y x mx m x m
     
có cực trị. ĐS: 22  m
b.
1
mx
5mxx

y
2



có cực trị. ĐS:
2
1
2
1
 m
Bài 8: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước.
a.


4 2
2 1 5
y x m x m
    
có 3 cực trị. ĐS: 1

m
b.
3
1
3
y x x m
  
có hai cực trị trái dấu. ĐS:
3

2
3
2
 m
c.




3 2 2 2
3 1 3 7 1 1
y x m x m m x m
        

đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ
nhỏ hơn 1. ĐS:
1

m

Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số


3 2 2
3 2 3 4
y x mx m m x
     
có hai điểm cực trị nằm về hai
phía của Oy ĐS: 13




m
Bài 10: Tìm m để hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2 2
y x m x m m x m
       
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
thoả mãn điều kiện
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
  
. ĐS:


1;5
m
Bài 11: Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 2

y x 3x m x m
   
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua
đường thẳng
x 2y 5 0
  
ĐS:
0
m


Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
1
y x (m 2)x (5m 4)x m 1
3
      
đạt cực trị tại
1 2
x , x
sao cho
1 2
x 1 x
  
. ĐS:
3
m
 

Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số

3 2
1
y x mx x m 1
3
    
có hai điểm cực trị
1 1 2 2
(x , y ), (x , y )
sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. ĐS:
0
3
132
min  md

Bài 14: Cho hàm số
 
3 2 2 3
3 3( 1) 1y x mx m x m m     
. Tìm m để hàm số
 
1
có cực trị
đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ
O
bằng
2
lần khoảng
cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. ĐS:
223;223  mm

Bài 15: Cho hàm số
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
     
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực
trị tạo thành tam giác vuông cân. ĐS: 2
9
1
3
m
Bài 16: Cho hàm số
3 2
3
y x x m
  
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao
cho góc
120
o
AOB 
. ĐS: 4
3
2
m
Bài 17: Tìm

m
để hàm số






3 2 2
3 1 2 3 2 1
       
y x m x m m x m m có đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng
1
5
4
y x
  
một góc
45 .
o
ĐS:
3 15
2
m


Bài 18: Cho hàm số



2
2 2 4
2
x m x m
y
x
   


.
Chứng minh rằng với mọi
m
hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không
phụ thuộc
m
. Tính độ dài khoảng cách đó. ĐS:
4 5

Bài 19: Tìm
m
để hàm số


3 2
2 1 1
y mx m x x
    
đạt cực đại tại
1
x

, đạt cực tiểu tại
2
x
và
2 1
16
.
9
x x  ĐS:
3
.
7
m

Bài 20: Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2
3 5
y x mx x
    
có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng
9 14 1 0.
x y
  
ĐS:
4
m
 

Bài 21: Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1.
y x m x m
    
Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam
giác có diện tích lớn nhất. ĐS: m = 0.
BÀI GIẢNG SỐ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số )(xfy

xét trên tập .
- Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu .
- Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu .
2. Phương pháp tìm min và max
Phương pháp 1: Bảng biến thiên
Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên.
Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục trên đoạn.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
2
3( 1)
( )
2 2

x
f x
x x


 
trên khoảng


;
 

Lời giải
Tập xác định
Ta có
2
2 2
6
1 (1)
3 3
'( ) ; '( ) 0
5
(2 2)
1 ( 1) 2
x f
x
f x f x
x x
x f


  


  

 
    


2
3
)( 

xfLim
x
Bảng biến thiên
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
12)(max  xxf
D
;
1
5
6
)(min  xxf
D

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
4)( xxxf 

trên miền xác định của nó.
Lời giải
Tập xác định


2;2D
Ta có: 20)('
4
1)('
2


 xxf
x
x
xf
2)2(;22)2(;0)2(;2)2(  ffff
Vậy
222)(max  xxf
D
; 22)(min  xxf
D

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
x
x
y
2
ln

 trên đoạn


3
;1 e
Lời giải
Ta có :
2
)ln2(ln
'
x
xx
y


;


 














32
3
;1
;11
2ln
0ln
0'
eex
ex
x
x
y
Khi đó 0)1(

y ;
2
2
4
)(
e
ey 
;
3
3
9
)(
e
ey 

Vậy
 
2
2
;1
4
max
3
ex
e
y
e

; 10min  xy
Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số
)sincos2(sin
cos
2
xxx
x
y


trên khoảng







3
;0


Lời giải
Hàm số xác định trên khoảng






3
;0









3
;0

x ta có
0cos

x

. Chia cả tử và mẫu cho
x
cos
ta được:
)tan2(tan
1
tan2
1
2
xxx
y




Đặt
x
t
tan


thì


3;0
3
;0 







 tx

Khi đó ta có:
)(
)2(
1
2
1
2
tg
ttt
y 





 
 












1
0
0430)('
)2(
43
2
1
)('
3
24
2
2
t
t
ttttg
tt
tt
t
tg
Bảng biến thiên
t

0 1
3
)(' tg
- 0 +
)(tg

2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy


4
12)(minmin
1;0
3
;0









xttgy
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm
y
x
,

thay đổi và thỏa mãn 1


yx . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức





xyxyyxS 253434
22
 .
Lời giải
Ta có
S


xyxyyxyx 2591216
3322







xyyxxyyxyx 3431216
3
22



xyxyyx 34311216
22
 12216
22

 xyyx
Đặt
xy
t


với











4
1
;0
4
1
4
0
2
t
yx
xy
Ta được

12216
2
 ttS

với







4
;0

t








4
1
;0
16
1
0'232' tStS

Bảng biến thiên
t

0
16
1
4
1
)(' tg


0

)(tg
12

16
191

2
25
Dựa vào bảng biến thiên ta có:






















4
32
;
4
32
4
32
;
4
32
16
1
2
25
)(minmin
4
1

;0
yx
yx
ttgS
2
1
4
1
2
25
)(maxmax
4
1
;0







yxttgS
Ví dụ 6: Tìm m để phương trình


xxmxxx  4512
(1) có nghiệm.
Lời giải
Điều kiện:
40



x
.
Khi đó
 
)(
45
12
1 xF
xx
xxx
m 



Ta có:
12)(  xxxxf

có
 
)(4;0,0
122
1
2
3
)(' xfx
x
x
xf 



tăng trên


4;0 và




4;0,0)(  xxf .
xxxg  45)(

có
 
)(4;0,0
42
1
52
1
)(' xgx
xx
xg 





 giảm trên



4;0

và


4;0,0)(  xxg
Do đó
)
(
x
F

là hàm tăng trên


4;0 .
Ta có bảng biến thiên:
x

0
4

)(' xF


)(xF
)0(F

)4(F

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm )4()0( FmF




12
25
12


 m
Ví dụ 7: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn


24
3
 xyyx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của biểu thức




123
222244
 yxyxyxA
.
Lời giải
Từ giả thiết ta có

     
3 2 3
2 2
1
4 2 1 .
2
x y x y x y xy x y x y
            
Ta viết








2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 1 3 2 1
 
           
 
 
A x y x y x y x y x y x y
     
   
2 2
2 2 2 2 2 2
2

2 2 2 2
1
3 2 1
4
9
2 1
 
      
 
 
    
x y x y x y
x y x y
4
Đặt
t =x
2
+y
2
, khi đó biểu thức
2
9 1
2 1 ( )
4 2
A t t t
   
Dễ thấy dùng đạo hàm suy ra
min
9 1 1
.

16 2 2
A t x y
     
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
1
2



x
x
y trên đoạn


2;1 .
Đs:
)1(0min);1(2max  fyfy

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1)3(
2
 xxy

trên đoạn


2;0 .
Đs:

5min;3max  yy

Bài 3: Cho 1,0,0




yxyx .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
yx
P 33
2
 .
Đs:


















3
3
3
3
3
2
3
log1;
2
3
log
4
9
min));0;1((10max yPyP
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
x
x
xx
y
66
44
cos
sin
cossin


 .
Đs:
1max;
7

5
min  yy
.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
3
1
1
)(
2
2
2
3
2
2
























xx
xx
xx
xx
xf

Đs: 2min;2max



yy
Bài 6: Cho hai số thực 0,0


yx

thay đổi thỏa mãn điều kiện xyyxxyyx 
22
)( . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức

33
11
yx
A 
. Đs:
2
1
16max  yxA
Bài 7: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn
4
5
 yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
yx
S
4
14
 . Đs: )1(5max SS



Bài 8: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn
2
22
 yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức


xyyxP 32

33
 . Đs:
7min,
2
13
max  PP

Bài 9: Cho
2
3
;0,,  zyxzyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
zyx
zyxP
111

.
Bài 10: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn


24
3
 xyyx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức




123

222244
 yxyxyxA
. Đs:
2
1
16
9
min  yxA
Bài 11: Tìm m để phương trình




mxxxxx  4sincossin4cossin4
26644

có nghiệm.
Đs:
1
16
9


m

Bài 12: Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
3
x y z
  

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
1 1 1 1x y z
P
y z x x y z
  
   
 
BÀI GIẢNG SỐ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài toán: Cho đồ thị




:
C y f x

và điểm




,
o o o
M x y C

. Viết phương trình tiếp

tuyến của tại


, .
o o o
M x y

Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của


C
tại


,
o o o
M x y
có dạng




0
'
o o
y y f x x x
  

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Bài toán: Cho đồ thị

(
C
)
: y =f
(
x
)
và một số k  ∈.Viết phương trình tiếp tuyến của
(
C
)
có hệ số góc là
k
.
Phương pháp:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với




:
C y f x
 tại điểm có hoành độ


'
i i i
x f x k x
  
là nghiệm của phương trình



' .
f x k


+ Giải phương trình


' , 1;2
i
f x k x x i   

+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là


i i
y k x x y
  
* Các dạng biểu diễn của hệ số góc
k
+ Dạng trực tiếp
.
k



+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương
O
x
góc
tan
k
   

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng


: a .
d y x b k a
   

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng


: a 1, 0.
d y x b ka a
     

+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng


: a
d y x b
 
một góc
tan .

1
k a
ka

   


Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.
Bài toán: Cho đồ thị




:
C y f x
 và điểm


,
A a b
. Viết phương trình tiếp tuyến của


C
đi qua
.
A

Phương pháp:
Cách 1:

+ Giả sử đường thẳng


d
đi qua


,
A a b
tiếp xúc với




:
C y f x

tại điểm có hoành
độ
i
x

phương trình đường thẳng


d
có dạng







'
i i i
y f x x x f x
  

+ Do












, ' *
i i i
A a b d b f x a x f x    

+ Giải phương trình


* .
i

x


+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là






'
i i i
y f x x x f x
  

Cách 2:
+ Đường thẳng


d
đi qua


,
A a b
với hệ số góc
k

có phương trình là


y k x a b
  
.
+ Đường thẳng


d
tiếp xúc với đồ thị




:C y f x
 
hệ phương trình




 
'
f x k x a b
f x k

  






có nghiệm








' *
f x f x x a b   

+ Giải phương trình


* , 1;2
i
x i 

+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là







'
i i i
y f x x x f x
  
.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
3 2,
y x x
  
biết tiếp tuyến đi qua
điểm


1;4 .
A 

Lời giải
Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
2 3
0 0 0 0 0 0 0
'( )( ) (3 3)( ) 3 2 ( )

y y x x x y x x x x x d
        

Vì điểm
( 1, 4) ( )
A d
 
nên ta có

2 3
0 0 0 0
0
3 2
0 0
0
4 (3 3)( 1 ) 3 2
1
2 3 1 0
1
2
x x x x
x
x x
x
      
 


     



