KĨ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP

Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 1

Chuyên đề: SỬ DỤNG PHÉP NHÂN LIÊN HỢP TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN
CHỨA CĂN
Th.S. Đỗ Viết Tuân
A. Đặt vấn đề
Trong quá trình giải các bài toán đại số, việc sử dụng quy tắc nhân liên hợp được sử dụng khá
phổ biến. Chúng ta có thể gặp quy tắc nhân liên hợp trong các bài toán giải phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình, trong tính giới hạn, hay tính tích phân…
Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả muốn tổng kết lại một số ứng dụng của phép nhân liên hợp
trong giải toán qua một số ví dụ cụ thể.

B. Một số bài toán cụ thể
1. Ứng dụng trong giải phương trình và bất phương trình chứa căn
Mục đích của việc sửa dụng phép nhân liên hợp trong các bài toán này là để làm xuất hiện nhân tử
chung của phương trình và bất phương trình nhằm đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.
Chúng ta có thể tìm hiểu thông qua một số ví dụ chi tiết sau:
1.1. Phương trình chứa căn
Ví dụ 1: Giải phương trình sau
2 2
15 3 2 8 (1)x x x    
Lời giải:
Ta có:
2 2
(1) 15 8 3 2x x x     
2 2
2 2
15 8

3 2
15 8
x x
x
x x
  
  
  
2 2
7
3 2 (*)
15 8
x
x x
  
  

(*) có nghiệm thì
2
3 2 0 .
3
x x   
Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 2

Mặt khác:
2 2
(1) 15 4 3 3 8 3x x x       

2 2
2 2
1 1
3( 1)
15 4 8 3
x x
x
x x
 
   
   

2 2
1 1
( 1) 3 0
15 4 8 3
x x
x
x x
 
 
    
 
   
 

2 2
1 0
1 1
3 0 (**)

15 4 8 3
x
x x
x x
 



 

  

   


Do
2
3
x  nên
2 2
15 4 8 3x x     và 1 0x  
2 2
1 1
15 4 8 3
x x
x x
 
 
   

(**) 0 (**)VT   vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1.x 
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0 (2)x x x x      
Giải
Điều kiện:
1
6,
3
x   khi đó:
2
(2) ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x         
3 1 16 1 6
( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x
x x
   
     
   

3( 5) 5
( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x
x x
 

     
   

Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 3

3 1
( 5) 3 1 0
3 1 4 1 6
x x
x x
 
     
 
   
 

3 1
3 1 0 (*)
3 1 4 1 6
5 0
x
x x
x

   



   

 



Theo điều kiện 3 1 0 (*) 0x VT     (*) vô nghiệm.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm: 5x  .
Bài tập luyện tập
Giải các phương trình sau
1.
2
2010 ( 1 ) 1
x
x x   Đs: x = 0
2.
2
2 5 2 1 2 13 0x x x      Đs: x = 3
3.
2
3
5 1 9 2 3 1x x x x      Đs: x = 1
4.
2 2
2 9 2 1 4x x x x x       Đs: x = 0, x = 8/7

1.2. Bất phương trình chứa căn

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau:
1

3 2 4 1
5
x
x x

    (3)
Giải
Điều kiện:
1
4
x  
Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 4

( 1) 1
5
3 2 4 1
x x
x x
  

  
 
1 1
1 0
5
3 2 4 1

x
x x
 
   
 
  
 

Nhận thấy
1 1
0
5
3 2 4 1x x
 
  
nên phương trình tương đương với: 1 0 1x x   
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là:
1
;1 .
4
S
 
 
 
 

Bài tập luyện tập
Giải các bất phương trình sau
1.
 

2
2
2
21
3 9 2
x
x
x
 
 
ĐS:
 
9 7
; \ 0
2 2
S
 
 
 
 

2. 1 1x x x    Đs: [0; 1]
3.
2
1 2 1
2 9
x
x
x
  


Đs:
45
0;
8
 
 
 

2. Ứng dụng trong bài toán hệ phương trình đại số
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2
3
3
1 1 4( ) 3( ) (4 )
(4)
5 1 2 4 (4 )
x y x y x y a
x y x b

      


   



Giải:
Điều kiện 0x y 
Phương trình (4a) tương đương với

Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 5

  
2
4( ) 1 3( ) 1 0
2( ) 1
2( ) 1 2( ) 1 0
3( ) 1
2 2 1 0 2 1 2
1
2( ) 1 0 ( )
3( ) 1
x y x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y y x
x y Loai
x y x y
       
 
      
   
     





   
   


Thay vào phương trình (4b), ta có
 
 
 
 
 
3
3
3
3
3
2
3
3 3
2
2
3
3 3
2
2
3
3 3
5 1 1 2 4
5 1 2 1 2 1 1 0
5( 1) 2( 1)

1 0
5 1 2
1 2 1 2 1
5( 1) 2
( 1) 1 0
5 1 2
1 2 1 2 1
1
5( 1) 2
1 0
5 1 2
1 2 1 2 1
x x x
x x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x
    
        
 
    

 
   
 
 
 
    
 
 
   
 
 



 

  

 
   


Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1
1;
2
 

 
 

Bài tập luyện tập
Giải các hệ phương trình sau
1.
2 2 4
2 5 2 5 6
x y
x y

 


   


Đs: (2; 2)
Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 6

2.
1 7 4
1 7 4
x y
y x

   



   


ĐS:
 
3;3
3.
3 3
3 3
x x y
y y x

  


  


ĐS:
 
1;1
4.
  
2 2
1 1 1
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x xy xy x

    




    

Đs:
   
3 11 3 11
; 1; 1 ; ;
2 2
x y
 
  
 
 
 
 

3. Ứng dụng trong các bài toán tính giới hạn
1.3. Giới hạn dãy số
Ví dụ 5: Tính giới hạn sau

3 23
lim( 1 1)n n n   
Ví dụ 6: Tính giới hạn
 
2
3
lim 2 5 8 3 1 7 .
2

n
n
 
      
 
 
 

Bài tập luyện tập
Tính các giới hạn sau:
3
2 3 2
1. ( 2 ); 2. ( 2 )lim n n n lim n n n   

2
3
4
1
3.lim
n n
n n n
 
 

4. lim
4n
2
+ 1 – 2n – 1
n
2

+ 4n + 1 – n


1.4. Ứng dụng tính giới hạn hàm số
Ví dụ 7: Tính giới hạn sau
Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 7

43
0
1 1
3 4
lim
1 1
2
x
x x
x

  
 

Bài tập luyện tập
1)
3
3 2
2
1

5 7
lim
1
x
x x
x

  

2)
2x
2xx10
lim
3
2x




3)
3
2
x 2
8x 11 x 7
lim
x 3x 2

  
 
4)

0
1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x

  
5)
3
0
1 2 . 1 4 1
lim
x
x x
x

  

4. Kỹ thuật nhân liên hợp trong tính tích phân
Ví dụ 8: Tính tích phân
/4
5
2
/4
sin
1
x
I dx
x x





 


Lời giải
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với (
2
1 x x  ) ta có:

/4
4
2
5
2
/4
4
4 4
2 ' ''
5 5
4 4
sin
( 1 )sin
1
1 sin sin
x
I dx x x xdx
x x

x xdx x xdx I I




 
 


 
   
 
    
 
 

+) Tính
'
5
I . Đặt x = -t, khi đó ta có:

4 4
' 2 2 ' '
5 5 5
4 4
1 sin( ) ( ) 1 sin 0.I t t d t t tdt I I
 
 



          
 

+) Tính
''
5
I . Dùng công thức tích phân từng phần với
Trung tâm luyện thi EDUFLY

Bài giảng độc quyền bởi
Trung tâm EDUFLY –Hotline: 0987708400 Page 8


sin x cos
u x du dx
dv dx v x
 
 

 
  
 


4
''
4 4
5
4 4
4

cos cos sin 2I x x xdx x

 
 

 

     


Vậy
5
2I 
Bài tập luyện tập
Tính các tích phân sau
1)
1
2 2
0
2 1
xdx
x x  

2)
2
0
xdx
x 2 2 x  


3)
1
2
2
0
( 1 )
1
x x dx
x x
 
 
